Matemaattisen analyysin tukikurssi

Transkriptio

1 Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola

2 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen supistaminen Neliöjuurilavennus Kuristusperiaate Laajennetut reaaliluvut (Äärettömyyksien kanssa toimiminen) Funktion jatkuvuus

3 Funktion raja-arvo Olkoot f : A R funktio, missä A on R:n osajoukko. Tutkitaan pistettä x0, jonka ei välttämättä tarvitse kuulua joukkoon A, mutta sen ympärillä (ympäristössä) tulee olla joukon A pisteitä. Raja-arvon määritelmä: Olkoot ε mielivaltainen luku, kunhan se on suurempaa kuin nolla. Sanotaan, että funktiolla f on raja-arvo lim x x0 f x = a pisteessä x0, jos voidaan löytää luku δ ε (eli riippuu epsilonista), joka on suurempaa kuin nolla, ja jolla pätee seuraavaa: x x 0 < δ ε f x a < ε Huomaa, että raja-arvon määritelmä mukaan raja-arvo ei riipu siitä, miten funktio on määritelty kyseisessä pisteessä.

4 Esimerkki Olkoot funktio f: R\{1} R, f(x) = 2x Osoita, että funktion raja-arvo pisteessä x 0 = 1 on 2. Eli osoita, että: f(x) = 2. lim x 1 Osoitetaan tämä raja-arvon määritelmää käyttäen: Olkoot ε > 0. Valitaan deltaksi luku δ = ε 2. Tämä on sallittua, koska ε 2 > 0. Nyt, oletetaan, että x x 0 = x 1 < δ Tällöin seuraa: f x 2 = 2x 2 = 2(x 1) = 2 x 1 = 2 x 1 < 2δ = 2 ε 2 = ε Raja-arvon määritelmän nojalla siis: lim f(x) = 2 x 1 Mistä tiesimme valita deltaksi ε? Vastaus: Sopiva delta yleensä löytyy, 2 kun lähestyy todistusta takaperin.

5 Toispuolinen raja-arvo Olkoot f : A R funktio, missä A on R:n osajoukko. Nyt tutkitaan pistettä x 0, jonka ei välttämättä tarvitse kuulua joukkoon A, mutta sen oikealla(vasemmalla) puolella tulee olla joukon A pisteitä. Tällöin voidaan määritellä oikean(vasemman)-puoleinen raja-arvo. Määritelmä on muuten sama raja-arvon määritelmän kanssa, mutta nyt rajoituksen x x 0 < δ sijaan tyydymme käsittelemään oikeanpuoleisessa raja-arvossa tapausta x 0 < x < x 0 + δ ja vasemmanpuoleisessa raja-arvossa tapausta x 0 δ < x < x 0. Toispuolisia raja-arvoja merkitään: Oikeanpuoleinen: lim f(x) Vasemmanpuoleinen: lim f(x) x x 0 + x x 0 Esimerkiksi, kun f x = x, voisimme olla kiinnostuneita oikeanpuoleisesta raja-arvosta lim f(x), koska raja-arvoa lim f(x) ei x 0+ x 0 ole olemassa

6 Rationaali esityksen supistaminen Tutkitaaan funktiota f: R\{2} R, f(x) = x2 4x + 4 x 2 Raja-arvon tutkimiseksi pisteessä x 0 = 2, tulee rationaalifunktion esityksen lauseketta supistaa. Tähän on eri tekniikoita: Käytetään polynomien jakokulmaa Hieman työläs tapa, mutta toimii varmasti. Arvaillaan nollakohtia ja käytetään tunnettuja kaavoja

7 Rationaali esityksen supistaminen Tutkitaaan funktiota f: R\{2} R, f(x) = x2 4x + 4 x 2 Raja-arvon tutkimiseksi pisteessä x 0 = 2, tulee rationaalifunktion esityksen lauseketta supistaa. Tähän on eri tekniikoita: Käytetään polynomien jakokulmaa Hieman työläs tapa, mutta toimii varmasti. Arvaillaan nollakohtia ja käytetään tunnettuja kaavoja x 2 4x + 4 x 2 = x2 2x x 2 = (x 2)2 x 2 = x 2 x = 0, eli lim x 2 f(x) = 0

8 Neliöjuurilavennus Laske raja-arvo lim x 4 f(x) Olkoot funktio f: R\{4} R, f(x) = 1 x 3 x 2 16 Lavennetaan funktion lauseketta tekijällä: 1 + x 3 1 x 3 = x 2 16 = = (1 x 3)(1 + x 3) (x 2 16)(1 + x 3) 1 x 3 2 (x 4)(x + 4)(1 + x 3) = 1 (x 3) (4 x)(x + 4)(1 + x 3) 4 x 4 x x x 3 = 1 x x 3 x

9 Kuristusperiaate Olkoot f : A R funktio, missä A on R:n osajoukko. Tutkitaan taas pistettä x0, jonka ympäristössä tulee olla joukon A pisteitä. Kuvitellaan tilanne, jossa olemme löytäneet kaksi muuta funktiota g ja h siten, että kun tarkastelemme funktioita pisteen x0 ympäristössä, niin pätee: g x f x h x Jos tämän lisäksi tiedämme, että funktioilla g ja h on samat raja-arvot lim g(x) = a = lim h(x), niin tällöin tiedämme, että: x x 0 x x0 Ns. kuristusperiaatteen mukaan pätee: lim f(x) = a x x0

10 Esimerkki Laske raja-arvo lim x 0 f(x), kun f x = xcos( 1 x ) Funktiossa f esiintyy trigonometrinen funktio cos(x), jolle tiedämme, että pätee: cos x 1,1 kaikilla x R Tiedämme siis myös, että cos( 1 x ) saa arvoja vain väliltä miinus yhdestä plus yhteen. Tällöin tämän funktion itseisarvolle pätee tietenkin: cos( 1 ) 1 kaikilla x R x Tätä tieto hyväksikäyttäen tiedämme, että on pakko päteä: cos( 1 x ) 1 x cos 1 x x 1 xcos( 1 x ) x Valitaan siis kaksi funktiota: h x = x ja g x = x, joille pätee: g x f x h x ja lim x 0 g(x) = 0 = 0 = 0 = lim x 0 h(x) Nyt kuristusperiaatteen mukaan: lim f(x) = 0 x 0

11 Laajennetut reaaliluvut Raja-arvot ovat käyttökelpoisia nimenomaan silloin, kun haluamme tutkia miten jonkin funktio käyttäytyy argumentin mentäessä äärettömyyksiin. Tällöin on hyvä tietää, mitä on sallittua tehdä suorittaessa laskutoimituksia äärettömyyksillä. Laajennettu reaalilukujen joukko on: R = R Näiden kahden äärettömyys alkion lisäksi sovimme äärettömyyksiä koskevista laskutoimituksista. Sen sijaan, että luettelisin niitä tässä (katso luentomoniste sivu 29), tyydyn mainitsemaan, mitkä ovat kiellettyjä muotoja :, ja 0 Näitä ei siis ole määritelty laajennetuissa reaaliluvuissa.

12 Esimerkki Laske raja-arvo lim x (x 2 x) Nyt, emme voi laskea raja-arvo sijoittamalla, sillä muuten saamme kielletyn muodon: Muokataan siis lauseketta hieman: x 2 x = x x 1 x 1 = = Lopussa saadut muodot + a ja ovat sallittuja laajennetuissa reaaliluvuissa sopimuksin + a =, a R ja =. Laske raja-arvo lim x ( x3 + 2 x ) x x = x(x2 + 2 x ) x = x x x = Suoraan sijoittamalla olisimme saaneet kielletyn muodon:

13 Funktion jatkuvuus Olkoot f : I R funktio, missä I on väli tai välien yhdiste. Tutkitaan pistettä x0, joka kuuluu I:hin. Jatkuvuuden määritelmä: Funktio f on jatkuva pisteessä x0, jos sen raja-arvo x0 :ssa on sen arvo f(x0). Funktion kuvaaja ei siis katkea, kun lähestymme pistettä x0 kummasta tahansa suunnasta. Formaalisti: f on jatkuva pisteessä x 0 I lim x x0 f(x) = f(x 0 ) Huomio. Yleensä jatkuvuudesta puhutaan toteamalla, että f on jatkuva joukossa A tai vaan f on jatkuva. Ensimmäisellä tarkoitetaan sitä, että jos f on jatkuva jossain joukossa A, niin se on jatkuva kaikissa joukon A pisteissä. Jälkimmäisellä tarkoitetaan sitä, että f on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.

14 Esimerkki Osoita, että funktio f R R, f(x) = x on jatkuva Osoitetaan, että: lim x x0 f x = f(x 0 ) = x 0 Olkoot ε > 0. Valitaan deltaksi δ = ε. Nyt, jos x x 0 < δ, niin seuraa: f x f(x 0 ) = x x 0 < δ = ε Koska x 0 on tässä mielivaltainen, niin yllä oleva pätee kaikilla x 0 R. Funktio f on siis jatkuva (eli jatkuva R:ssä), koska funktion raja-arvo on sama kuin funktion arvo jokaisessa pisteessä. Osoita, että funktio f R R, f(x) = (2x 2 + x 5) 17 on jatkuva Nyt kannattaa hyödyntää valmiiksi todistettuja tietoja: (i) Polynomifunktiot ovat jatkuvia (ii) Yhdistettyfunktio jatkuvista funktioista on jatkuva Koska f voidaan esittää yhdistettynä funktiona jatkuvista funktioista: f = g h, missä h x = 2x 2 + x 5 ja g x = x 17, niin f on tällöin jatkuva