Korkojen aikarakenteen ja tulevan inflaation välinen yhteys

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Korkojen aikarakenteen ja tulevan inflaation välinen yhteys"

Transkriptio

1 Korkoje aikaraketee ja tuleva iflaatio välie yhteys Perttu Tuomi Pro gradu -tutkielma Kasataloustietee laitos Tamperee yliopisto Toukokuu 2000

2 1 Tamperee yliopisto Kasataloustietee laitos TUOMI PERTTU: Korkoje aikaraketee ja tuleva iflaatio välie yhteys Pro gradu-tutkielma *, 63 s., 13 liites. Kasataloustiede, rahoitus, rahapolitiikka Toukokuu 2000 Tässä tutkielmassa o selvitetty sekä teoreettisesta että empiirisestä äkökulmasta, mite korkoje aikarakee ja tuleva iflaatio liittyvät toisiisa. Erityisesti viime aikoia o tutkittu mahdollisuutta käyttää korkoje aikarakeetta periteiste iflaatioidikaattoreide rialla. Korkoje aikaraketeella o aiaki kolme suhteellista etua periteisii idikaattoreihi verrattua, oleaie kiiittymie tulevaisuude odotuksii, reaaliaikaisuus ja eksaktius. Tutkimuksessa esitetyistä teorioista erityisesti Fisher- ja odotushypoteesit tukevat oletusta, että korkoja voidaa käyttää meestyksekkäästi iflaatioidikaattoreia. Teorioita tukevia tuloksia ovat empiirisissä tutkimuksissa saaeet muu muassa Davis ja Faga (1997), Campbell ja Shiller (1991), Frakel ja Low (1994) sekä Mishki (1990a, 1990b). Tutkimuksessa esitetää aikaraketee estimoiissa robustiksi todistettu Nelso & Siegel -meetelmä (NS). Ku käytetää NS-mallitusta, kyetää tuottamaa tarkasti halutu maturiteeti spot-korot ja samalla välttämää pitkii korkoihi liittyvä kupokiefekti. Meetelmää o sovellettu Suome korkoaieistoo tammikuusta 1993 joulukuuhu Ekoometrise testaukse kaalta kyseie meetelmä parataa huomattavasti aieisto laatua. Tutkimukse ekoometrisessa osassa käytetää sekä Grager-kausaallisuustestiä että Estrella ja Mishkii (1997) -mallia korkoje aikaraketee ja iflaatio välise yhteyde tutkimisee. Grager-testie perusteella voidaa todeta, että korkoerolla o selkeä kausaalisuhde tulevaa iflaatio muutoksee. Erityise hyviä tuloksia saadaa, ku iflaatiomuutokse selittäjää käytetää viide vuode ja kolme kuukaude spot-korkoje erotusta. Se sijaa Estrella ja Mishkii malli ei toimi Suome aieistossa. Malli eri testit eivät tuota riittävä hyviä tuloksia estimoitiperiodi sisällä, ja tämä lisäksi useissa tapauksissa residuaalit ovat sekä autokorreloitueita että heteroskedastisia. Suurimpaa syyä heikkoihi tuloksii saattaa olla malli suhteellise yksikertaie spesifikaatio. Tutkimuksessa tehdyt Grager-testit kute myös Estrella ja Mishkii -malli lisätestaukset atavat olettaa, että jatkotutkimuksissa kaattaa tutkia Estrella ja Mishkii mallitukse pohjalta laajeettuja malleja ja keskittyä tarkastelemaa erityisesti korkoero ja iflaatio välistä dyamiikkaa. * Halua kiittää Suome Paki kasatalousosasto hekilökutaa euvoista ja materiaalisesta avusta, Suome Paki kirjastoa aieistoista, Kari Takalaa ekoometrisesta ohjauksesta sekä Paula Viléiä kieliasu tarkistuksesta ja hekisestä tuesta.

3 2 SISÄLTÖ 1 JOHDANTO TALOUSTEORIAA KOROISTA YLEISTÄ KORKOJEN AIKARAKENNE KESKUSPANKIN NÄKÖKULMASTA FISHER-HYPOTEESI ODOTUSHYPOTEESIT LIKVIDITEETTIPREFERENSSITEORIA MUITA KORKOJEN AIKARAKENNEMALLEJA JOUKKOVELKAKIRJAT YLEISTÄ NOLLAKUPONKIVELKAKIRJAT KUPONKIVELKAKIRJAT TERMIINIKOROT AIKARAKENTEEN ESTIMOINTI YLEISTÄ NELSON & SIEGEL -MENETELMÄ ESTIMOINTI SUOMEN AINEISTOLLA HYÖDYT TAVALLISEEN KORKOAINEISTOON VERRATTUNA EMPIIRINEN TESTAUS AIKAISEMPIA TUTKIMUSTULOKSIA EKONOMETRISIA METODEJA TUTKIMUKSESSA SOVELLETTAVA MENETELMÄ AINEISTO JA AIKASARJOJEN OMINAISUUDET GRANGER-KAUSAALISUUSTESTITULOKSET ESTRELLAN JA MISHKININ -MALLIN TESTAUS SUOMEN AINEISTOON YHTEENVETO LÄHTEET LIITTEET LIITE LIITE LIITE LIITE LIITE LIITE LIITE

4 3 1 Johdato Moet keskuspakit (esim. Suome, Ruotsi, Eglai sekä Euroopa keskuspakki) julkistivat 1990-luvulla lopputavoitteeksee iflaatio pitämise alhaisea. Tähä iflatio targetig -teoria mukaisee toimitaa liittyy oleaisesti iflaatioäkymie tarkkailu ja mahdollisimma varhaie reagoiti iflaatio kiihtymisee. Erityisesti viime vuosia o laajemmi tutkittu mahdollisuutta käyttää korkoje aikarakeetta periteiste iflaatioidikaattoreide rialla. Eri maturiteeti velkakirjoilla käydää markkioilla lähes katkeamatota kauppaa, ja se vuoksi ostooteerauksista voidaa reaaliaikaisesti tulkita markkioide tulevaisuude odotuksia. Korkoje aikaraketeella o aiaki kolme suhteellista etua periteisii idikaattoreihi verrattua, oleaie kiiittymie tulevaisuude odotuksii, reaaliaikaisuus ja eksaktius. Tutkimus jakaatuu kolmee osaa. Esiksi työssä selvitetää teoreettisesta äkökulmasta, mite korkoje aikarakeetta voidaa selittää, ja mite tuleva iflaatio liittyy siihe. Toiseksi perehdytää ogelmii, jotka liittyvät korkoje aikaraketee estimoitii kupokivelkakirjoje oteerauksista. Samassa yhteydessä esitetää Nelso & Siegel -meetelmä (NS) aikaraketee estimoitii ja sovelletaa sitä Suome 1990-luvu kuukausiaieistoo. Tutkimukse kolmaessa osassa käytetää kahta ekoometrista meetelmää aikaraketee ja tuleva iflaatio välise yhteyde selvittämiseksi. Korkoje aikaraketee ja iflaatio välie yhteys pohjautuu suurelta osi Fisherhypoteesii ja odotushypoteesi eri modifikaatioihi. Fisher-hypoteesi yhdistää iflaatio-odotukset oleaisesti imelliskorkoihi, ja odotushypoteesit kiiittävät eri maturiteettie spot-korot toisiisa. Tutkimuksessa esitellää ii saottu Nelso & Siegel -aikaraketee estimoitimeetelmä (NS), joka o erityisesti rahapolitiika kaalta robusti estimoitimeetelmä. Tämä jälkee NS-meetelmää käytetää Suome korkoje aikaraketee estimoi-

5 4 tii tammikuusta 1993 joulukuuhu Aikaväli o istitutioaaliste seikkoje vuoksi suhteellise lyhyt tilastollisee tarkasteluu. Toisaalta otosperiodi o selkeä kokoaisuus pitkie korkomarkkioide syystä yhteisvaluutta euroo siirtymisee ja o site laadullisesti erittäi hyvä ekoometrisee testauksee. NS-mallituksella voidaa tuottaa tarkasti halutu maturiteeti spot-korko ja samalla kyetää välttämää pitkissä markkiakorkoprokseissa esiityvä kupokiefekti. Ekoometrise testaukse kaalta kyseie meetelmä parataa huomattavasti aieisto laatua. Korkoje aikaraketee kykyä eustaa iflaatiota o tutkittu viime vuosia paljo. Esimerkiksi Davis ja Faga (1997) toteavat tutkimuksessaa, että kotimaie korkoje aikarakee eustaa huomattavasti paremmi iflaatiota kui pörssikurssit, riskipreemiot tai kotimaa ja ulkomaa korkoero. Vastaavia lupaavia tuloksia aikaraketee ja iflaatio yhteydestä o raportoitu useissa tutkimuksissa, esimerkiksi Campbell ja Shiller (1991), Frakel ja Low (1994), Mishki (1990a) sekä Mishki (1990b). Tässä tutkimuksessa käytetää sekä Grager-kausaallisuustestiä että Estrella ja Mishkii (1997) -mallia korkoje aikaraketee ja iflaatio välise yhteyde tutkimisee 1990-luvu Suome aieistosta. Grager-testie perusteella voidaa todeta, että korkoero o selkeässä kausaalisuhteessa tulevaa iflaatio muutoksee. Erityise hyviä tuloksia saadaa, ku iflaatiomuutokse selittäjää käytetää viide vuode ja kolme kuukaude spot-korkoje erotusta. Se sijaa Estrella ja Mishkii malli ei toimi Suome aieistoo, mikä johtuee iukasta mallispesifikaatiosta. Työ o jäseelty site, että luvussa kaksi perehdytää korkoje aikaraketee teoreettisii malleihi ja luvussa kolme paeudutaa velkakirjoje erityispiirteisii. Luvussa eljä esitellää Nelso & Siegel -aikaraketee estimoitimeetelmä ja sovelletaa sitä Suome aieistoo. Luvussa viisi esitetää aikaraketee ja tuleva iflaatio empiiriste testie tulokset, ja lukuu kuusi o kerätty yhteeveto työstä.

6 5 2 Talousteoriaa koroista 2.1 Yleistä Rahoitusmarkkioide velkakirja- ja korkomarkkiat jaetaa yleisesti lyhye ja pitkä rahoitukse markkioihi, jolloi lyhyihi rahamarkkioihi lasketaa kuuluviksi alle vuode mittaie rahoitus. Näillä markkioilla tärkeimpiä perusistrumetteja ovat valtioide ja yrityste liikkeelle laskemat velkakirjat. Perusistrumetteja eemmä volatiilisista hyödykkeistä tärkeimpiä ovat korkotermiiit, -optiot ja korovaihtosopimukset (s. korkoswapit). Useimmat edellä maiituista istrumeteista ovat jälkimarkkiakelpoisia, jolloi hitoje kehityksestä saadaa lähes katkeamattomasti tietoa markkioilta. Korkorakeeteorioide esittely jälkee perehdytää tarkemmi liikkeellä olevii joukkovelkakirjoihi ja iihi liittyvii matemaattisii kaavoihi, mutta tässä vaiheessa määritellää yleisellä tasolla muutama perustermi, joihi tullaa viittamaa seuraavissa kappaleissa. Velkakirja maturiteetilla eli juoksuajalla kuvataa, kuika pitkä aika laia lopullisee eräpäivää o (maturity date). Spot-korolla tarkoitetaa velkakirja korkoa, joka astuu voimaa heti ja pysyy kiiteää sovittuu päivämäärää asti. Termiiikorko o puolestaa kaupakäytipäivää sovittu kiiteä korko, joka astuu voimaa ealta sovittua tulevaisuude hetkeä (arvopäivä, settlemet date) ja pysyy kiiteää sovittuu päivämäärää asti. 2.2 Korkoje aikarakee keskuspaki äkökulmasta Moissa teollistueissa maissa o eteki 1990-luvulta lähtie alettu kiiittää huomiota kuluttajahitaiflaatio torjumisee. Tällä tavoi pyritää luomaa parhaat mahdolliset olosuhteet taloudelliselle toimialle (Svesso 1994b, 4). Esimerkiksi Forsma (1997) kuvaa iflaatio haittavaikutuksia. Tähä liittye moet keskuspakit julkistivat 1990-luvulla lopputavoitteeksee iflaatio pitämise alhaisea. Tavoitteesee liittyy oleaisesti iflaatioäkymie tarkkailu ja mahdollisimma aikai-

7 6 e reagoimie iflaatio kiihtymisee. Kyseiste seikkoje huomioo ottamie liittyy Iflatio targetig -teoriaa, joka kehittämisessä o asioituut erityisesti ruotsalaie Lars Svesso (1999). Rahapolitiika tavoittee julkistamise tehtävää o lisätä keskuspaki uskottavuutta, ja samalla mahdollisesti tasoittaa iflaatio-odotuste heilahduksia. Tällaise julkistetu tavoittee avulla o myös helpompi ohjata rahapolitiikkaa sekä arvioida tavoittee oistumista. (Svesso 1994b,5). Suomi asetti helmikuussa 1993 rahapolitiika tavoitteeksi pohjaiflaatio pitämise oi kahde prosettiyksikö tasolla (Bak of Filad Bulleti 1993, 16). Tämä lisäksi muu muassa Ruotsi, Iso-Britaia ja Uusi-Seelati ovat valieet vastaavalaise tavoittee. Myös Yhdysvaltai keskuspakki, Federal Reserve, o osoittaut rahapolitiikassaa selkeää iflaatiovastaista ajattelua, vaikkei se avoimesti ole julkistaut rahapolitiikkasa lopputavoitteita. Perustamisestaa lähtie myös EKPJ o ilmoittaut tavoitteeksee euroaluee yhdemukaistetu kuluttajahitaiflaatio pitämise alhaisea ja vakaaa. Eli iflaatio pidetää olla ja kahde prosettiyksikö välissä 1. Rahapolitiika kaalta eri varallisuushyödykkeet, kute korot, valuuttakurssit, pörssikurssit, ovat tärkeitä elemettejä, joide välityksellä rahapolitiikka välittyy reaalitaloutee. Jos ämä raketeelliset relaatiot ovat ajassa vakaita, voidaa iitä käyttää idikaattoreia tai iille voidaa jopa ataa tavoitetasoja 2. Toisaalta riippumatta iide roolista trasmissiokaavassa, voidaa iitä käyttää tulevaisuude idikaattoreia. Ajattelu ojaa vahvasti oletuksee, että varallisuushyödykkeet ovat ratioaalisesti hioiteltuja ja iihi sisältyy kaikki oleaie iformaatio. Vaikka rahapolitiika muutokset havaitaa heti, e vaikuttavat vasta oi 1 2 vuode viiveellä reaalitaloutee. Rahapolitiika trasmissio viivee pituudesta johtue 1 Tosi EKPJ: lopputavoitteisii kuuluu myös M3-rahamäärä vuotuise kasvu pitämie keskimääri 4,5 prosetissa. 2 Periteisesti yksi lopputavoitteista o ollut esimerkiksi valuuttakurssi tavoitetaso pitämie. Joskaa se ei eää viime vuosia ole ollut läsimaissa kovi suosittua.

8 7 o tärkeää, että keskuspakilla o käytettävissä mahdollisimma varhai reaalitaloude muutoksia hyvi eakoivaa aieistoa. Periteisesti moissa teollisuusmaissa o käytetty raha-aggregaatteja 3 keskeisimpiä idikaattoreia, mutta keskuspakit joutuvat etsimää jatkuvasti uusia ja tehokkaampia iformaatiolähteitä. Esimerkiksi periteiset raha-aggregaatit ovat idikaattoreia hiema ogelmallisia, koska e ovat joissai tapauksissa osoittautueet epästabiileiksi. Tämä voi johtua esimerkiksi rahoitusmarkkioide uusie istrumettie käyttööotosta tai rahoitusmarkkioita koskevie lakie muutoksista (Svesso 1994b, 7). Velkapapereilla käydää jälkimarkkioilla (sekudaarimarkkioilla) lähes katkeamatota kauppaa, ja siksi kursseista saadaa reaaliaikaista tietoa markkioide tulevaisuude odotuksista. Tavaomaisista kulutushyödykkeistä poikete varallisuushyödykkeitä hakitaa erityisesti iide tulevaisuudessa tuottamie kassavirtoje perusteella. Se vuoksi iide hiat määräytyvät tulevaisuude tuotto- ja riskiodotuksista. Viime vuosia useat maat ovat alkaeet kiiittämää rahapolitiika suuittelussaa yhä eemmä huomiota myös korkoje aikaraketeesee. Jos markkiat käyttävät kaike saatavilla oleva iformaatio ja ovat ratioaaliset, ii hitoje pitäisi sisältää arvokasta tietoa tulevaisuudesta. Erityisesti keskuspakkia kiiostavat iflaatio-odotukset ivoutuvat oleaisesti velkakirjoje hioitteluu. Tämä Irvig Fisheri jo 1930-luvulla muotoilema teoreema o ollut useimpie korkoje aikarakeeteorioide peruslähtökohta. Korkoje aikaraketee iformaatiolla o aiaki kolme suhteellista etua periteisii idikaattoreihi verrattua:! oleaie kiiittymie tulevaisuude odotuksii! reaaliaikaisuus! eksaktius, eli tietoja ei revisioida myöhemmi 4. Jo graafisesti tarkasteltua voidaa olettaa iflaatiovauhdilla ja imelliskoroilla oleva jokilaie relaatio (Kuvio 2.1). 3 Näistä maista erityisesti Saksassa raha-aggregaateilla o ollut vakat periteet. 4 Esimerkiksi bruttokasatuottee eakkotietoja tarkistetaa useita kertoja ee lopullisia lukuja, jotka julkaistaa oi 18 kuukaude viiveellä.

9 % Suome 10 v. obligaatiokorko, % 12 kk heliborkorko, v.1999 alusta euriborkorko(360), % Kasallie kuluttajahitaiflaatio Suomessa Kuvio 2.1 Iflaatio ja imelliskorot Suomessa. Lähde: Suome Pakki Erityisesti viime vuosia akateemisessa maailmassa o laajasti tutkittu korkoje aikarakeetta ja se sisältämää iformaatiota. Toisaalta esimerkiksi Suomessa tämä ala empiirisellä tutkimuksella ei istitutioaaliste seikkoje vuoksi ole voiut olla pitkiä periteitä, koska esimerkiksi helibor-korkoja 5 o oteerattu vasta vuodesta 1987 lähtie. 2.3 Fisher-hypoteesi Klassie korkoje talousteoria perustuu suurelta osi Irvig Fisheri päätelmii imelliskorkoje ja iflaatio välisestä yhteydestä. Tämä ykyää Fisher-hypoteesia tuettu teoreema julkaistii esimmäise kerra jo vuoa 1930 ilmestyeessä kirjassa: The Theory of Iterest: As Determied by Impatiece to Sped Icome ad Opportuity. Hypoteesi taustalla o ajatus, että sijoittajilla o mahdollisuus ives- 5 Helibor-korot (Helsiki iterbak offered rate) olivat viide suurimma paki sijoitustodistuste oteerauste keskikorkoja. Vuode 1999 alusta lähtie Helibor-korot o korvattu EKP: julkaisemilla Euribor-koroilla.

10 9 toida joko reaalipääomaa reaalikorolla tai imellisee (rahamääräisee) pääomaa imellisellä korolla. Rahamääräisestä sijoituksesta täytyy silloi tarjota reaalikorkotuoto lisäksi korvaus odotetusta rahaarvo heikkeemisestä. Toisi saoe reaalipääoma ja rahoitusistrumetit ovat sijoittajille täydellisiä substituutteja 6. Fisherihypoteesi tasapaiorelaatio esitetää muodossa: ( )( ) 1+ r = 1+ r 1+ i r ex, (2.1) jossa käytetyt symbolit tarkoittavat seuraava: r = imelliskorko, r = reaalikorko, i ex = odotettu iflaatio. Muuettaessa lauseke suoraksi imelliskoro selitykseksi saadaa Fisher-hypoteesi yleie esitystapa: r = r + iex + iex r. (2.2) Usei vielä kaava 2.2 esitetää yksikertaistetussa muodossa pelkkää reaalikoro ja odotetu iflaatio summaa, eli kaava viimeie termi jätetää pois. Kyseie yleistys ei aiheuta suurta harhaa, jos reaalikorko ja odotettu iflaatio ovat lukuarvoiltaa pieiä. Kaava 2 muuttujista aioastaa imellie korko o ex ate havaittavissa, koska iflaatio ja reaalikorko pystytää toteamaa vasta maturiteeti lopussa. Jos kaikki tietäisivät tuleva iflaatio oleva olla, olisivat havaitut korot suoraa reaalisia. Luoollisestikaa todellisuudessa tilae ei ole tällaie, eivätkä sijoittajat edes voi eustaa tulevaa iflaatiota täydellisesti. Kuiteki ratioaaliste odotuste hypoteesii ojautue oletamme, että sijoittajat eivät erehdy sääömukaisesti, vaa eusteet ovat keskimääri oikeita. Eli Fisher-hypoteesi perusteella omiaalie spotkorko sisältää eustee tulevasta reaalikorosta ja iflaatiosta. 6 Taustaoletuksea o, että reaalipääomaa voidaa varastoida ilma kustauksia.

11 Odotushypoteesit Puhtaa odotushypoteesi (Pure Expectatios Hypothesis, PEH) perusteella yhde pitkä velkakirjalaia pitämisestä maturiteettiisa asti saadaa sama tuotto kui toistetuista sijoituksista lyhyihi velkakirjoihi. Vaihtoehtoisesti teoria voidaa määritellä myös, että velkakirja seuraava periodi odotettu tuotto o sama riippumatta velkakirjoje maturiteettieroista. (Bhattacharya ja Costatiides 1989,129). Hypoteesi pääasiallisea kehittäjää pidetää Frederick Lutzia (1940), vaikka teoria perustuu suurelta osi edellä esitettyy Fisher-hypoteesii. Puhtaa odotusteoria mukaa sijoittajie oletetaa oleva riskieutraaleja, jolloi he eivät vaadi riskipreemiota lyhyissä eivätkä pitkissä koroissa. Tällöi he sijoittavat korkeimma tuoto atavaa velkakirjaa riippumatta se maturiteetista. Toisaalta esimerkiksi liikkeellä oleva vela määrä ei vaikuta korkoraketee muotoo, jollei se muuta odotuksia (Kettue 1995, 16). Teoria mukaa korkorakee o markkioide tulevaisuude spotkorkoeusteide suora ilmetymä. Jos hypoteesi pitää paikkasa, korkokäyrä voi ousta (laskea) aioastaa tilateissa, joissa markkioilla odotetaa lyhyide spotkorkoje ouseva (laskeva) tulevaisuudessa ykyhetkee verrattua. Jos sijoittajat odottavat spot-korkoje ouseva, he sijoittavat mieluummi lyhyihi velkakirjoihi. Tämä o ratioaalie johtopäätös, koska odotuste toteutuessa he voivat lähi tulevaisuudessa ivestoida lyhyistä sijoituksista vapautuvat pääomasa ykyhetkeä korkeammalla korolla. Ku useilla sijoittajilla o samakaltaiset äkemykset, he ajavat toimillaa lyhyide velkakirjoje hiat ylös (ja siksi tuotot laskevat) ja vastaavasti pitkie velkakirjoje hiat alas (tuotot ousevat). Tällaise toimia tuloksea markkioilla havaitaa hyvi pia ouseva korkorakee. Puhtaa odotusteoria mukaa markkioilla havaitut termiiikorot vastaavat odotettuja tulevia spot-korkoja seuraavasti:

12 11 F ( ) = E r, (2.3) 0 1, 2 0 1, 2 jossa käytetyt symbolit tarkoittavat seuraavaa: = termiiikorko hetkellä 0 periodilta yksi periodille kaksi, 0F 1, 2 0Er ( 1, 2) = odotettu spot-korko periodilta yksi periodille kaksi. Sijoitushorisoti ollessa kaksi vuotta, markkiat ovat odotushypoteesi esittämässä tasapaiossa aioastaa, jos seuraava relaatio o voimassa: 2 ( 1 r ) = ( 1+ r )( + r ) +, (2.4) 0,2 0,1 1 jossa symbolit merkitsevät: r0,2 1,2 = kahde vuode spot-korko p.a, r0,1 = yhde vuode spot-korko p.a., r = odotettu yhde vuode spot-korko p.a. periodilta yksi periodille 2. 1,2 Kaavaa 4 muokkaamalla huomataa, että tämä hetke pitkä spot-vuosikorko voidaa esittää odotettuje spot-vuosikorkoje geometrisea keskiarvoa, ( )( ) 1+ r 2 02, = 1+ r01, 1+ r12,. (2.5) Vastaavalla aalogialla myös pitemmät kui kahde vuode korot voidaa esittää geometrisea keskiarvoa tämä hetke lyhyestä korosta ja sarjasta tulevia lyhyitä korkoja. (Vahae 1988, ) Ku puhtaassa odotushypoteesissa sallitaa pitkie velkakirjoje ylituottoje suhteessa lyhyihi oleva aia olla, sallitaa odotushypoteesissa (Expectatios Hypothesis, EH) ylituottoje eroava ollasta, mutta oleva vakio yli aja (Campbell et al. 1997, 413). Se vuoksi odotushypoteesi o vai yleisempi muoto puhtaasta odotushypoteesista oletettaessa, että korkoje aikaraketeesee sisältyy vakioaikapreemio.

13 Likviditeettipreferessiteoria Likviditeettipreferessiteoria (Liquidity-Preferece Theory) perustuu myös rahoitusmarkkioilla vallitsevie odotuste tärkeytee, mutta se ataa odotusteoriaa eemmä paioa sijoittajie riskipreferesseille. Likviditeettipreferessiteoria kritisoi odotusteoriaa täydellise varmuude oletuksesta. Mitä kauempaa tulevaisuudessa olevia korkoja pitää eustaa, sitä vaikeampaa eustamisesta tulee. Likviditeettipreferessiteoria mukaa sijoittajat ovat epävarmuudesta johtue riskikarttajia verrattua odotusteoriaa, joka mukaa he ovat riskieutraaleja. Toisi saoe he sijoittavat mieluummi lyhyihi joukkovelkakirjoihi, koska korkoje oustessa e voidaa muuttaa markkioilla helpommi ja pieemmillä pääomatappioilla rahaksi kui vastaava liikkeellelaskija pitemmä maturiteeti joukkolaiat. Pitkäaikaiste joukkovelkakirjoje arvo o myös diskottotekijä vuoksi herkempi korkoje muutoksille. Likviditeettipreferessiteoria pääasiallisea kehittäjää pidetää Joh Hicksiä (1946), joka jälkee malli teoreettisessa kehittelyssä o asioituut mm. Richard Roll (1970). Teoria olettaa, että mitä pitempi velkakirja maturiteetti o, sitä korkeampi o tuoto oltava korvauksea hitariskistä. Toisaalta pitkiä velkakirjasijoituksia preferoivat sijoittajat 7 voivat tällaisissa tapauksissa asaita ylimääräistä tuottoa likviditeettipreemiota ilma lisäriskiä (Elto ja Gruber 1987, 463). Likviditeettipreferessiteoria mukaa korkoraketee tulisi aia olla ouseva 8, koska termiiikorot ovat positiivisesti harhaisia eusteita tulevista lyhyistä koroista, ja harhaisuus suureee maturiteeti kasvaessa. Empiirisissä tutkimuksissa tämä o havaittu oleva yleisi tilae, mutta ei suikaa aioa. Teoriaa tukee kuiteki se, että lyhyide velkakirjoje tuotot ovat keskimääri vaihdelleet moissa maissa vähemmä kui pitkie velkakirjoje. Tämä puoltaa käsitystä pitkii velkakirjoihi sisältyvä preemio olemassaolosta. (Nelso 1979, 128-9). 7 Esimerkiksi vakuutusyhtiöt preferoivat usei pitkiä velkakirjoja lyhyihi verrattua. 8 Vaikka markkiat odottaisivat lyhyide spot-korkoje laskeva, o ouseva korkorakee kuiteki mahdollie. Tämä tarkoittaa, että riskipreemiot ovat mittavia ja täte eutralisoivat korolaskuodo-

14 Muita korkoje aikarakeemalleja Markkioide segmetoitumisteoria (Segmeted Market Theory) pohjautuu väitteesee, että moet laiaajat kute myös sijoittajat preferoivat voimakkaasti juuri tiety maturiteeti velkakirjoja. Culbertsoi esittämä teoria perustuu oletuksee, että eri maturiteettiset velkakirjat eivät ole sijoittajille substituutteja (Bhattacharya ja Costatiides 1989,130). Tällöi ei voida tietää, oko aikapreemio riippuvaie ajasta positiivisesti vai egatiivisesti. Tämä teoria perustelee aikapreemio olemassaolo täysi toisi kui likviditeettipreferessiteoria tai odotushypoteesi. Markkioide segmetoitumisteoria mukaa sijoittajat ovat ii suuria riskikaihtajia, että he operoivat aioastaa tiety juoksuaja velkakirjoilla, eivätkä eri maturiteettie tuottoerot vaikuta heidä päätöksiisä. Yleie mielipide sekä esimerkiksi moet lehtijutut sisältävät implisiittisesti markkioide segmetoitumisteoria uskomuksia. Se sijaa akateemisessa maailmassa teoria ei ole juuri saaut suosiota. Yleisi vastaväite o, että markkioilla o kuiteki sijoittajia, jotka preferoivat suurempia tuottoja, ja siksi poistavat segmetoitumisteoria väittämät seuraukset. (Elto ja Gruber 1987, 460). Modigliai ja Sutch (1966) käyttävät markkioide segmetoitumisteoria muutamia havaitoja hyväksee preferred habitat-teoriassaa, mutta toisaalta he ottavat huomioo malli rajoitukset ja korvaavat iitä muilla argumeteilla. Tässäki teoriassa sijoittajat ovat riskikarttajia, ja heillä o joki suuittelujakso, jossa he preferoivat sijoituste ja velkoje maturiteettie kohtaatoa (matchig). Tällöi he järjestävät esi velkojesa ja sijoitustesa maturiteetit samoiksi, ja vasta tämä jälkee he sijoittavat liikeevät varat parhaite tuottavii maturiteetteihi. Teoria mukaa eri maturiteettiset sijoitukset eivät ole lähellekää täydellisiä substituutteja toisillee. tuksie vaikutukset. Jos tulevie spot-korkoje oletetaa laskeva todella huomattavasti, voi korkorakee käätyä laskevaksi. (Elto ja Gruber, 1987, 464)

15 14 3 Joukkovelkakirjat 3.1 Yleistä Joukkovelkakirjat voidaa jakaa ryhmii eri tekijöide perusteella, esimerkiksi liikkeellelaskija tai korkosopimustyypi perusteella. Yrityste liikkeelle laskemii velkatodistuksii liittyy aia keskeytys- ja tappioriski, joita ei valtio laskemii velkakirjoihi sisälly aiakaa periaatteessa. Velalle maksettava korko voi olla vaihtuva, jolloi tuotto o sidottu esimerkiksi yritykse tuloksee, tai korko o kiiteä, jolloi kupokituotot o ilmoitettu sitovasti etukätee. Kiiteätuottoisia velkakirjoja o markkioilla kahdelaisia: ollakupokija kupokivelkakirjoja. Nollakupokilaia imellisarvo maksetaa takaisi yhdellä kertaa eli maturiteeti lopussa, ku taas kupokivelkakirjoille maksetaa tietyi väliajoi määrätty osa imellisarvosta takaisi. Käytäössä melkei kaikki markkioilla olevat velkakirjat tuottavat kupokimaksuja, sillä aioastaa lyhyissä maturiteeteissa o ollakupokilaioja. Tämä voi johtua siitä seikasta, että useimmat sijoittajat suosivat sääöllisesti tilitettäviä kupokituottoja. Seuraavissa kappaleissa perehdytää tarkemmi, millaisia tekisiä ogelmia puhtaide ollakupokilaioje puute aiheuttaa korkoje aikaraketee tutkimisee. Suomessa pitkie maturiteettie velkakirjamarkkiat kehittyivät vasta 1990-luvu alkupuolella, jolloi Suome valtio laiaotto kasvoi jyrkästi. Vuode 2000 tammikuussa Suome rahoitusmarkkioilla oteerattii kuutta eri valtio velkakirjaa, joide kupokikorot vaihtelivat 3,75 prosetista 10,0 prosettii. Vastaavie laioje liikkeellä oleva määrä o vajaat 36 Mrd. euroa, joka vastaa oi 32 prosettia vuode 1998 imellisestä bruttokasatuotteesta. Kuviossa 3.1 esitetää valtio laiakaa kasvu, ja tällä hetkellä liikkeellä olevie velkakirjoje määrä.

16 15 SUOMEN VALTION VIITELAINOJEN LIIKKEESSÄ OLEVA MÄÄRÄ a eräätyvä laia, 10 % b eräätyvä laia, 3.75 % c eräätyvä laia, 9.5 % d eräätyvä laia, 7.25 % e eräätyvä laia, 6 % f eräätyvä laia, 5 % Kaikki valtio viitelaiat 40 Mrd. euroa 30 f e 20 d c 10 b a Kuvio 3.1 Suome valtio viitelaiat tammikuussa Lähde Suome Pakki. Vuode 1999 aikaa Suome valtio velka o käätyyt laskuu, ja ykyiste suuitelmie mukaa uusia laioja lasketaa liikkeelle aioastaa osittai kuolettamaa eräätyviä laioja. Nettomääräisesti valtio laiamäärää pyritää laskemaa tulevie vuosie aikaa (Hallitukse ohjelma 1999). Toisaalta vuode 1999 alussa laseerattu euro-valuutta o keskittäyt Euroopa velkakirjamarkkioita EU: reuavaltioista Keski-Euroopa markkioille. Markkioide keskittymie ja valtava kasvu ovat heijastueet myös emissioide imelliskokoje kasvua. Kasaivälisesti vuode 1999 kolme esimmäise eljäekse aikaa ettomääräisesti liikkeelle lasketuista joukkovelkakirjalaioista 45 prosettia oli euromääräisiä (Bak for Iteratioal Settlemets 1999, 71). Useat teollistueet maat, kute Yhdysvallat, Iso-Britaia, Raska, Australia ja Ruotsi ovat laskeeet markkioille myös ii saottuja reaalivelkakirjoja, joide imellie tuotto o sidottu kuluttajahitaideksii. Ku lisätää reaalivelkakirjat tavalliste kupokivelkakirjoje rialle saadaa tarkempi kuva markkioide iflaatio-

17 16 odotuksista kui pelkkiä tavallisia velkakirjoja tutkimalla 9. Esimerkiksi Evas (1998) ja Kadel et al. (1996) ovat saaeet tutkimuksissaa reaali- ja imellisvelkakirjoje iformaatiosisällöistä hyviä tuloksia. Tämä vaatii kuiteki, että kaikkie seurattavie velkakirjoje markkioilla o tarpeeksi likviditeettiä, esimerkiksi Ruotsissa reaalivelkakirjoje kaupakäytimäärät ovat viime aikoia jääeet vaatimattomiksi (Svesso 1994a, 11). Kaikkie keskuspakkie erityisesti eksplisiittise iflaatiotavoittee asettaeide keskuspakkie o järkevää seurata markkioilla esiityviä iflaatio-odotuksia, jolloi markkioide iflaatio-odotuste ja keskuspaki tavoittee välie ero kuvastaa rahapolitiika uskottavuutta. Myös Suomessa oli 1960-luvulla valtio ideksivelkakirjoja, mutta ykyää jo Suome ideksilaki kieltää tällaiste velkakirjoje liikkeelle lasku. Toisaalta laajemmi ajateltua myös valuuttalaiat ovat ideksilaioja, koska iide markkamääräiset maksut ovat sidottuja valuuttakurssikehityksee. Markkioilla o olemassa myös moimutkaisempia velkakirjoja, jotka ovat sekoituksia kiiteätuottoisista istrumeteista ja johdaaisista. Esimerkkiä tällaisista voidaa maiita yritykse joukkovelkakirjalaia, joka lupaa tietyt kiiteät (omiaaliset) kupokituotot ja se lisäksi osto-optio. Puhtaimmassa muodossaa korkoje aikarakeetutkimus keskittyy aioastaa kiiteätuottoisii valtio obligaatioihi, ja mahdolliset verotukselliset vaikutukset yritetää elimioida. Moimutkaisempie istrumettie hioista ei voi laskea helposti implisiittistä diskottokorkokataa, koska hitoihi vaikuttaa paljo useampia fudametteja kui valtio laskemii kiiteäkorkoisii joukkovelkakirjoihi. Tämä vuoksi tässä työssä keskitytää pelkästää valtio liikkeelle laskemii kiiteäkorkoisii velkakirjoihi, koska tällöi omiaalisii kassavirtoihi ei liity riskiä. Aioa vaihteleva tekijä diskottokorkokata sisältäee iformaatiota makrotaloude muuttujista, kute iflaatiosta ja bruttokasatuotteesta. 9 Itse asiassa esimerkiksi Iso-Britaia ja Yhdysvaltoje liikkeelle laskemat reaalivelkakirjat eivät tuota täysi reaalisia tuottoja, koska imellistä kupokimaksua ei koroteta ideksi viimeisimmällä 12 kuukaude muutoksella vaa 8 kuukautta viivästetyllä lukuarvolla. Tämä aiheuttaa joitaki tekisiä ogelmia implisiittise reaalikorkoje aikaraketee mallitamisee. (Barr ja Campbell 1997, 363).

18 luvulle asti joukkovelkakirjoje hitoje tutkimie o mielletty ikävämmäksi alaksi kui esimerkiksi osakkeide arvottamie. Tämä johtuu suurelta osi siitä, että kiiteäkorkoiste joukkovelkakirjoje kupokituotot ja maturiteetit ovat ealta ilmoitettuja, ja siksi velkakirjoje arvottamisee ei liity ii paljo epävarmuustekijöitä kui osakkeide. (Elto ja Gruber 1987, 449). Se sijaa ja 1990-luvulla tuottokäyrie iformaatiosisältöö ja iide tutkimisee o kiiitetty paljo huomiota. 3.2 Nollakupokivelkakirjat Nollakupokivelkakirjalle ei makseta mitää kupokituottoja ee eräätymistä, vaa laia koko imellisarvo maksetaa maturiteeti lopussa kerralla takaisi. Tällöi velkakirja hita määräytyy seuraavasti 10 : P = 1 1 ( + I ) jossa symbolit tarkoittavat:, (3.1) P = velkakirja hita, maturiteetti -vuotta, I = diskottokorkokata. Nollakupokivelkakirjat oteerataa yleesä prosettiosuutea imellisarvosta. Eli jos velkakirja eräätymisee o aikaa tasa yksi vuosi ja velkakirja tuotoksi vaaditaa 10 prosettia, se tämä hetke hita o 90,91 prosettia imellisarvosta. 10 Luettavuude helpottamiseksi kaavoissa käytetää diskreeti aja esitystä. Jatkuva (i) ja diskreeti (I) spot-koro välie suhde o i = exp( I ). Tämä yhteys o johdettavissa rajaarvolausekkeesta ( ) ( ) 100 * 1 + I v exp I *, ku korolaskutiheys, v. Ilmaistua jatkuva aja muodossa o kaava 3.1 p = ( i ) exp *, josta spot-korko o edellee i p = l. Vastaava ekspoetiaalie relaatio pätee myös muihi diskreeti ja jatkuva aja käsitteisii.

19 18 Kaava 3.1 diskottokorkokata vastaa ollakupokivelkakirja tapauksessa myös velkakirja juoksuajatuottoa (yield to maturity). Vastaavasti tuotto voidaa laskea seuraavasti velkakirja hia avulla, 1 + = 1 I P. (3.2) Ku kaava 3.2 ilmaistaa lieaarisessa muodossa käyttäe tuoto ja hia logaritmeja, saadaa lauseke muotoo: i 1 = p. (3.3) Tarkasti määriteltäessä korkoje aikarakeeteoria selvittää, miksi eri maturiteettisilla ollakupokivelkakirjoilla o erilaiset juoksuaja tuotot 11. Toisi saoe se tutkii tulevie spot-korkoje määräytymistä. Yksittäie spot-korko pätee vai yhtee maturiteettipisteesee eli tällä spot-korolla voidaa diskotata aioastaa laia eräpäivää ajoittuvia kassavirtoja. Kuviossa 3.2 esitetää kaksi mahdollista spot-korkoje aikarakeetta. 11 Moesti termi o virheellisesti määritelty, että siihe liittyvät tutkimukset selittäisivät kupokivelkakirjoje tuottoeroja.

20 19 Spot-korkoje aikarakee % Maturiteetti, v 10 Kuvio 3.2 Esimerkkejä spot-korkoje aikaraketeista. Aikaraketee muoto lasketaa juoksuajatuottoje erotuksia (yield spread) seuraavalla idetiteetillä: S 1, I I1. (3.4) Vastaava tulos saadaa logaritmoiduilla termeillä: s 1, i i1. (3.5) 3.3 Kupokivelkakirjat Puhtaimmillaa kappaleessa 2 esitetyt teoriat kuvaavat ollakupokilaioje hioittelua ja iistä pohjautuvie korkoje aikaraketeita. Empiirisessä korkoje aikarakeetutkimuksessa joudutaa kuiteki turvautumaa myös kupokivelkakirjoihi,

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 206 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 5. harjoitus, viikko 7 5. 9.2.206 R ma 0 2 F455 R5 ti 0 2 F9 R2 ma 4 6 F455 R6 to 2 4 F455 R3 ti 08 0 F455 R7 pe 08 0 F455 R4 ti 2 4 F455

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 04 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 6. harjoitus, viikko 0 3. 7.3.04 R ma 0 D5 R5 ti 4 6 C09 R ma 4 6 D5 R6 to 4 C09 R3 ti 08 0 D5 R7 pe 08 0 D5 R4 ti 4 C09 R8 pe 0 D5. Laske

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN 00 N:o 22 LIITE KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN. Positioriskin laskemisessa käytettävät määritelmät Tässä liitteessä tarkoitetaan: arvopaperin nettopositiolla samanlajisen arvopaperin pitkien

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Verkoston ulkoisvaikutukset

Verkoston ulkoisvaikutukset Verkosto ulkoisvaikutukset Varia luku 35 Luettavaa Varia (2006, 7. paios, luku 35, s.658 655) Forget produtivity: more people should joi Faebook saatavilla http://www.ab.et.au/ews/stories/2008/1 1/27/2431283.htm

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. HUUTOKAUPOISTA A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. 2. Huutokauppapelejä voidaan käyttää taloustieteen

Lisätiedot

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

Inflaatio, deflaatio, valuuttakurssit ja korot Rahatalouden perusasioita I

Inflaatio, deflaatio, valuuttakurssit ja korot Rahatalouden perusasioita I Inflaatio, deflaatio, valuuttakurssit ja korot Rahatalouden perusasioita I 26.10.2010 Hanna Freystätter, VTL Rahapolitiikka- ja tutkimusosasto Suomen Pankki 1 Inflaatio = Yleisen hintatason nousu. Deflaatio

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Parametrien oppiminen

Parametrien oppiminen 38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

TURUN YLIOPISTON HOITOTIETEEN LAITOKSEN SIDOS- RYHMÄKYSELYN TULOKSET 2011

TURUN YLIOPISTON HOITOTIETEEN LAITOKSEN SIDOS- RYHMÄKYSELYN TULOKSET 2011 TURUN YLIOPISTON HOITOTIETEEN LAITOKSEN SIDOS- RYHMÄKYSELYN TULOKSET TAUSTA Laaduhallita o osa Turu yliopisto hoitotietee laitokse keskeistä seurata- ja kehitystoimitaa. Hoitotietee laitokse laaduhallia

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

pq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489

pq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489 Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa

Lisätiedot

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat

Lisätiedot

Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Rahamäärä, hintataso ja valuuttakurssit

Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Rahamäärä, hintataso ja valuuttakurssit Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Rahamäärä, hintataso ja valuuttakurssit Monisteen sisältö Rahamäärän ja inflaation yhteys pitkällä aikavälillä Nimelliset ja reaaliset valuuttakurssit Ostovoimapariteetti

Lisätiedot

Osa 15 Talouskasvu ja tuottavuus

Osa 15 Talouskasvu ja tuottavuus Osa 15 Talouskasvu ja tuottavuus 1. Elintason kasvu 2. Kasvun mittaamisesta 3. Elintason osatekijät Suomessa 4. Elintason osatekijät OECD-maissa 5. Työn tuottavuuden kasvutekijät Tämä on pääosin Mankiw

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Kappale 6: Raha, hinnat ja valuuttakurssit pitkällä ajalla. KT34 Makroteoria I. Juha Tervala

Kappale 6: Raha, hinnat ja valuuttakurssit pitkällä ajalla. KT34 Makroteoria I. Juha Tervala Kappale 6: Raha, hinnat ja valuuttakurssit pitkällä ajalla KT34 Makroteoria I Juha Tervala Raha Raha on varallisuusesine, joka on yleisesti hyväksytty maksuväline Rahan yksi tehtävä on olla vaihdon väline

Lisätiedot

Ehdollinen todennäköisyys

Ehdollinen todennäköisyys Ehdollie todeäköisyys Kerrataa muutama todeäköisyyslaskea laskusäätö. Tapahtuma E komplemettitapahtuma E o "E ei tapahdu". Koska todeäköisyyksie summa o 1, P ( E = 1 P (E. Joskus o helpompi laskea komplemettitapahtuma

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Advisory Corporate Finance. Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla. Tutkimus Syyskuu 2009

Advisory Corporate Finance. Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla. Tutkimus Syyskuu 2009 Advisory Corporate Finance Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla Tutkimus Syyskuu 2009 Sisällysluettelo Yhteenveto... 3 Yleistä... 3 Kyselytutkimuksen tulokset... 3 Markkinariskipreemio Suomen

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä Kuluttajan teoriaa tähän asti Valintojen tekemistä niukkuuden vallitessa - Tavoitteen optimointia rajoitteella Luento 6 Kuluttajan ylijäämä 8.2.2010 Budjettirajoite (, ) hyödykeavaruudessa - Kulutus =

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

Makrokatsaus. Huhtikuu 2016

Makrokatsaus. Huhtikuu 2016 Makrokatsaus Huhtikuu 2016 Positiiviset markkinat huhtikuussa Huhtikuu oli heikosti positiivinen kuukausi kansainvälisillä rahoitusmarkkinoilla. Euroopassa ja USA:ssa pörssit olivat tasaisesti plussan

Lisätiedot

Eurojärjestelmän rahapolitiikka Tavoite, välineet ja tase

Eurojärjestelmän rahapolitiikka Tavoite, välineet ja tase Samu Kurri Kansainvälisen ja rahatalouden toimisto, Suomen Pankki Eurojärjestelmän rahapolitiikka Tavoite, välineet ja tase Elvyttävä kansalaisosinko tilaisuus 6.2.2016 Esitetyt näkemykset ovat omiani.

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Klicka här, skriv ev. Undertitel

Klicka här, skriv ev. Undertitel Klicka här, skriv ev. Undertitel Vanhempainraha on vanhemmille maksettava korvaus, jotta he voisivat töissä olon sijaan olla kotona lastensa kanssa. Tätä korvausta maksetaan yhteensä 480 päivältä lasta

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Kysely yritysten valmiudesta palkata pitkäaikaistyötön

Kysely yritysten valmiudesta palkata pitkäaikaistyötön Kysely yritysten valmiudesta palkata pitkäaikaistyötön 18.2.2005 1 KYSELY YRITYSTEN VALMIUDESTA PALKATA PITKÄAIKAISTYÖTÖN 1 1 Yhteenveto Yrityksiltä kysyttiin eri toimenpiteiden vaikuttavuudesta pitkäaikaistyöttömien

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1 Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 2 ermiini- ja futuurihintojen määräytyminen 1. ermiinien hinnoittelusta Esimerkki 1 Olkoon kullan spot -hinta $ 300 unssilta, riskitön korko 5 % vuodessa

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ. Työstä eläkkeelle tulokehitys ja korvaussuhteet. Eläketurvakeskuksen raportteja 2010:3. Juha Rantala ja Ilpo Suoniemi

TIIVISTELMÄ. Työstä eläkkeelle tulokehitys ja korvaussuhteet. Eläketurvakeskuksen raportteja 2010:3. Juha Rantala ja Ilpo Suoniemi R RAPORTTEJA Eläketurvakeskuksen raportteja 2010:3 TIIVISTELMÄ Juha Rantala ja Ilpo Suoniemi Työstä eläkkeelle tulokehitys ja korvaussuhteet Tutkimuksessa arvioitiin, mitä muutoksia henkilön tuloissa ja

Lisätiedot

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

sama kuin liikkeeseenlaskijan muilla vakuudettomilla sitoumuksilla Nordea Pankki Suomi Oyj:n Structured Products -yksikkö

sama kuin liikkeeseenlaskijan muilla vakuudettomilla sitoumuksilla Nordea Pankki Suomi Oyj:n Structured Products -yksikkö Lainakohtaiset ehdot Nordea Pankki Suomi Oyj 11/2003 Erillisjoukkovelkakirjalaina Nordea Pankki Suomi Oyj:n joukkovelkakirjaohjelman lainakohtaiset ehdot Nämä lainakohtaiset ehdot muodostavat yhdessä Nordea

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

KUINKA KESKUSPANKIT TOIMIVAT RAHOITUSMARKKINOILLA? MIKSI KESKUSPANKEILLA ON VALUUTTAVARANTO?

KUINKA KESKUSPANKIT TOIMIVAT RAHOITUSMARKKINOILLA? MIKSI KESKUSPANKEILLA ON VALUUTTAVARANTO? KUINKA KESKUSPANKIT TOIMIVAT RAHOITUSMARKKINOILLA? MIKSI KESKUSPANKEILLA ON VALUUTTAVARANTO? Pentti Pikkarainen Pankkitoimintaosasto 12.4.2005 PANKKITOIMINTAOSASTO Pankkitoimintaosasto vastaa seuraavista

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Makrotaloustiede 31C00200

Makrotaloustiede 31C00200 Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Harjoitus 5 1.4.2016 Arttu Kahelin arttu.kahelin@aalto.fi Tehtävä 1 a) Käytetään kaavaa: B t Y t = 1+r g B t 1 Y t 1 + G t T t Y t, g r = 0,02 B 2 Y 2 = 1 + r g B 1

Lisätiedot

Kokonaistarjonta kokonaiskysyntä malli (AS AD) Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2017

Kokonaistarjonta kokonaiskysyntä malli (AS AD) Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2017 Kokonaistarjonta kokonaiskysyntä malli (AS AD) Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2017 1 Sisältö AS AD lyhyellä ja pitkällä tähtäimellä Malli avotaloudessa kiinteillä ja kelluvilla kursseilla Tarjonta ja

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot