Antti Majaniemi Matematiikka IV Tilastot ja todennäköisyys

Transkriptio

1 Atti Majaiemi Matematiikka IV Tilastot ja todeäköisyys ( x) ( x) -x x 06 ISBN

2 Tämä teos o lisesoitu Creative Commos Nimeä-EiKaupallie 4.0 Kasaivälie -lisessillä. Tarkastele lisessiä osoitteessa Atti Majaieme perikuta o päättäyt ataa tämä teokse käytettäväksi yllä olevalla lisessillä. Paiatus ei ollut eää kaattavaa alhaise kysyä vuoksi, mutta tällä tavalla oppimateriaali o edellee opiskelijoide ja oppilaitoste käytettävissä. Tämä teos o ladattavissa osoitteessa Turussa Jari Majaiemi attimajaiemi.fi

3 Sisällys ja johdato Sisällys ja johdato i Tilasto-opi alkeita. Keskiarvot. Tilastollisia peruskäsitteitä 3.3 Jakauma tuuslukuja 5.4 Likimai ormaali jakauma. Luottamusvälit 7.5 Otos. Keskiarvo keskivirhe 9 Diskreetit ja jatkuvat todeäköisyysjakaumat 5. Satuaismuuttuja ja pistetodeäköisyydet 5. Diskreeti jakauma odotusarvo ja variassi 7.3 Jatkuvat jakaumat 8. Normaalijakauma 0 3 Todeäköisyyskäsitteistä 5 3. Joukko-opi käsitteistöä (kertaus) 5 3. Klassie todeäköisyys Todeäköisyyde perusomiaisuuksia Pistetodeäköisyydet 8 4 Kokeide yhdistämie 3 4. Tuloperiaate 3 4. Kokeide yhdistämie Kertosääö ja additiivisuude yhteiskäyttö 33 5 Kombiaatio-oppia Tuloperiaate Permutaatiot ja kombiaatiot 37 6 Diskreeteistä jakaumista 4 6. Biomijakauma 4 *6. Geometrie jakauma Hypergeometrie jakauma Poisso-jakauma 46 i

4 7 Jatkuvia jakaumia Yleistä. Tasaie jakauma Ekspoettijakauma 53 8 Satuaismuuttujie laskutoimituksia Satuaismuuttuja muuokset Satuaismuuttujie summa ulotteie jakauma Satuaismuuttujie riippumattomuus Odotusarvoa ja variassia koskevia tuloksia Kovariassi ja korrelaatio 65 9 Normaalijakauma yhteys muihi jakaumii 7 9. Keskeie raja-arvolause 7 9. Otoskeskiarvo Otosvariassi ja Studet-jakauma Variassi arvioiti, -jakauma 83 0 Hypoteesi testaus Normaalijakauma odotusarvo testaus Normaalijakauma variassi testaus Kahde jakauma odotusarvo vertailu Kahde jakauma variassi vertailu Suhteelliste osuuksie testaus Käytety jakauma sopivuus tilastoaieisto malliksi 96 Vastauksia 99 Liite: Stadardiormaali jakauma kertymäfuktio arvoja 0 ii

5 Tämä moistee alkupuoli o muokattu aikaisemmasta moisteesta mm. site, että satuaismuuttujia ja ormaalijakaumaa koskeva luku o siirretty aikaisemmaksi. Näi siksi, että lukuvuode lopussa aika yleesä loppuu keske ja jos tämä moistee aihepiiriä käsitellää viimeiseä, aiaki lukuje asioita olisi hyvä ehtiä esitellä, jos ei muute ii piirto- tai siirtoheittime avulla. Nämä asiat voisi sijoittaa myös matematiika kurssie johoki aikaisempaa kohtaa, esim. differetiaaliyhtälöide käsittely jälkee. Koko moistee läpikäymie voisi sopia valiaiselle tilastotietee ja todeäköisyyslaskea kurssille. Moisteesee loppupuolelle o lisätty aika paljo todeäköisyyslasketaa (luvut 8 ja 9), jotta myös lisätylle tilastolaskealle saadaa matemaattista pohjaa. Harjoitustehtävie laatimisessa ole välttäyt jolleki opitosuualle liittyviä saotoja ja käyttäyt aika paljo yleisimikkeitä "tuottee", "joki ihmisjouko" tms. "eräs omiaisuus". Ajatuksea o, että opettaja voi tarvittaessa muuttaa imikkeitä (kirjallisuudesta löytyvie esimerkkie avulla ja opiskelijoide kassa pohtimalla) juuri opetettavalle opitosuualle soveltuviksi. Ku tilastotieteessä tehdää matemaattisesta laskeasta (joka pohjaa o tämä moistee tasolla aika usei ormaali-, biomi-, Studet- tai -jakauma) tilastollisia johtopäätöksiä, täytyy iide tekemisessä olla erityise varovaie, jotta vältyttäisii virhepäätelmiltä. Oikeide johtopäätöste teko voi vaatia paljo syvällisempää tilastollista äkemystä kui tästä moisteesta saa. Joissaki oppikirjoissa o tällaisista asioista hyviä varoittavia esimerkkejä. Moistee laatimisessa ole käyttäyt apua mm. seuraavia suomekielisiä oppikirjoja ja moisteita: Holopaie: Tilastomatematiika perusteet (Otava), Holopaie, Pulkkie: Tilastolliset meetelmät (Weili + Göös), Lauoe, Sorvali, Toivoe: Tekiste ammattie matematiikka 3E (WSOY), Pelkoe: Tilastomatematiikka (Gummerus), Raija Tuohi: Tilastomatematiika oppijakso (Moiste, Turu ammattikorkeakoulu), Äijälä: Todeäköisyyslasketa ja tilastotiede (Tammertekiikka). Apua o ollut myös käsi kirjoitettu moiste, joka laadi aikoiaa Turu yliopistossa, ku lueoi siellä todeäköisyyslaskea cl-kurssi. Maiittakoo myös seuraava aika uusi, laaja ja aiaki päällisi puoli katsottua hyvä äköie oppikirja: A. Hayter: Probability ad Statistics for Egieers ad Scietists sekä Shaumi sarja moisteet Probability ja Statistics. Kiitokset erityisesti Ritva Metsäkylälle, joka o oikolukeut moistetta sitä myöte ku ole saaut sitä kirjoitetuksi. Jäljelle jääeistä virheistä voi kuiteki syyttää vai itseäi. iii

6 Turussa Atti Majaiemi Ole päivittäyt Atti Majaieme alkuperäisee moisteesee esimerkkejä ja harjoitustehtäviä tämä päivä tilateesee paremmi sopiviksi. Turussa Jari Majaiemi iv

7 Tilasto-opi alkeita Lukuje x, x,..., x ( :t 0) Täte o lukuje x i kääteislukuje x i aritmeettise keskiarvo kääteisluku. Aritmeettie eli "tavallie" keskiarvo lasketaa usei : , :t paiokertoimia. Opitojaksosta ( op) opiskelija sai arvosaa ja opitojaksosta (6 op) arvosaa 4. Arvosaoje paiottamato keskiarvo x + 4 paiotettu keskiarvo, paioia opitopistemäärät 3, x Jos luvuista x i o osa samoja ( f i kpl x i :tä, yhteesä kpl), ii keskiarvo voidaa laskea paiotettua, paioia lukuje x i esiitymismäärät eli : x f x fk xk f f k f x i i.

8 Erää luoka matematiika arvosaoje oli seuraavalaie x i f i f i % 0 3, 70 7, 4 4 4, , , 5 5 7, 4 yht. 7 00, 00 ja x , Keskiarvo voidaa laskea myös frekvessiproseteilla: 3, , , 4 5 x, Hyviä aikoia alkupalkka a. vuoa palkka ousi 0 % palkka,0 a. - " - ousu oli 6 % palkka,06,0 a 3. - " - - " - oli % palkka,0,06,0 a. Samaa loppupalkkaa päästäisii, jos kertojaa olisi jokaisea vuoa luku 3, 0, 06 0,, 0595 keskimääräie ousu o 5,95 % (eikä 6 % kute aritmeettie keskiarvo ataisi). Keskimääräie kasvu o siis kasvukertoimie geometrie keskiarvo. Matka s ajettii kolme kertaa ja opeudet olivat 60, 80 ja 00 (km/h). Laske keskiopeus. Kokoaismatka 3s, kokoaisaika t s s s s 3 vk t , 6 (km/h) (eikä 80 km/h). v k o opeuksie harmoie keskiarvo.

9 ! x 0 käyttämie: Arvioidaa, että lukuje x i (i,..., k ) aritm. keskiarvo x 0. Lukuje x i poikkeamat tästä apukeskiarvosta x 0 ovat xi' xi x 0 xi x0 + xi'. x x x x x i ( 0+ i' ) 0+ xi' x0+ xi'. Keskiarvo apukeskiarvo + poikkeamie keskiarvo. Esimerkki: Luvut, 7, 4, 5, 8, 6, 3, 4, 6, 3 (0 kpl). Valitaa x 0 4. Poikkeamat:, 3, 0,, 4,,, 0,,. 8 Poikkeamie summa +8 x , 8. Esimerkissä 3 esiityi yksikertaie esimerkki ". Siihe oli koottu erää luoka matematiika arvosaat frekvesseiee (viereie kuva). Tilasto o siiä mielessä #$, että arvosaat o esitetty suuruusjärjestyksessä. Aieistoa o myös "", koska samat arvosaat o kerätty yhtee. Voidaa myös saoa, että esim. arvosaa 3 o arvosaaväli ("#"),5 3,5 ". Tässä tilastossa tutkimuskohteia ("$%#) ovat 5 luoka oppilaat a, a,..., a7. Tilastoyksikköje joukko yht. 7 a, a,..., a7 muodostaa ". Tutkittavaa o omiaisuus "meestymie matematiikassa". Se o eräs tähä populaatioo liittyvä """ (tilastollie suure). Muuttuja x saamat arvot x i : 0,,, 3, 4, 5 ja äide frekvessit f i :,, 4, 3, 5, muodostavat tilastollise muuttuja x. Tämätyyppistä jakaumaa saotaa myös, koska se ilmoittaa, mite frekvessit ovat jakautueet x: arvoje keske (paljoko o ollia, ykkösiä je ts. mikä o 0: frekvessi, mikä : je). x i f i

10 Edellie muuttuja x o luoteeltaa & : se arvot muuttuvat hyppäyksittäi. Diskreeti muuttuja "vastakohta" o (esim. ikä, pituus, estemäärä paio je). Toisetyyppie perusjaottelu o seuraava: A. Edellie muuttuja x o eräs (määrällie). Se arvot x i ovat lukuja, jote ' & " ( ja "#". B. )" (laadulliset) kute sukupuoli, puoluekata, luoetyyppi, ammatti je ovat sellaisia, että iistä ei voida laskea keskiarvoa tai keskihajotaa tms., vaa jakaumaa täytyy kuvata toisetyyppisillä """ (kute moodi). Tuuslukuja esitellää myöhemmi. Frekvessijakauma (x: arvot x i ja iide frekvessit f i ) erilaisia graafisia esitystapoja (kaavioita, diagrammeja) o suuri joukko mm. Excelissä. Seuraavassa kuvassa o äistä esitystavoista muutama. Jatko kaalta tärkeä esitystapa o s. #$#, jossa o yhdistetty pisteet ( xi, fi ) murtoviivalla' 4 i i Käyrää voitaisii saoa myös jakauma (tai muuttuja x) $#$#. Arvosaa 3 läheisyydessä käyrä o ylimmillää, ts. arvosaoje määrä yksikköä kohti o suurimmillaa eli arvosaatiheys o suurimmillaa. 4

11 Tiheys pieeee käyrä alku- tai loppupäähä päi metäessä. Käyrästä ähdää mm., että se o aika hyvi symmetrie. Toie tärkeä käyrä saadaa, ku tutkitaa mite frekvessit kertyvät arvosaoje mukaa. Tämä saadaa F i avulla: * * $ * i i Summafrekvessikäyrää saotaa myös $##$#. Diskreeti muuttuja kertymäfuktio o porrasfuktio, sillä esim. arvosaoje ja 3 välillä ei kerry yhtää arvosaaa, jote tällä välillä fuktio arvo o vakio. Kohdassa 3 arvosaoja kertyy 3 kpl, jote tässä kohdassa käyrässä o 3 yksikö suuruie hyppäys. Voidaa myös ajatella, että esim. arvosaa 3 o luoka,5 3,5 luokkakeskus ja kaikki arvosaat 3 eivät ole samaarvoisia vaa iitä kertyy tasaisesti kohdasta,5 kohtaa 3,5. Täte 3 yksikö suuruie hyppäys voidaa korvata jaalla kohtaa 3 edeltävä portaa (askelma) keskikohdasta seuraavaa. Näi saadaa jatkuva viiva, joka myös o piirretty edellisee kuvaa. Jakaumaa kuvataa graafiste esitystapoje lisäksi s. tuusluvuilla. Nämä jaetaa kahtee tyyppii:!)+),-./.0(keskikohtaa ilmaisevat luvut): x f i x i, 5

12 & eli tyyppiarvo (Mo). Tämä o se muuttuja arvo, jolla o suuri frekvessi. Edellisessä esimerkissä Mo 3 ja x,93. Moodia voidaa käyttää myös kvalitatiivisille muuttujille. Jos muuttuja x ilmaisee esim. puoluekaa (vaikkapa jossaki kuassa), ii x: jakaumasta ei voida laskea keskiarvoa, mutta moodi ilmaisee se puoluee, jolla o suuri kaatus. &(Md) o se kohta, joho meessä o kertyyt puolet (eli 50 %) muuttuja arvoista. Tämä arvo ähdää jatkuvaksi viivaksi muutetusta kertymäkäyrästä "takaperi": * i / % 5 i & ( Mediaaiarvo o s. 50 % : ". 5 %: fraktiilia eli sitä x: arvoa, mihi meessä o kertyyt 5 % x: arvoista, saotaa esimmäiseksi " tai "" 3. Vastaavasti 75 %: kohta o kolmas kvartiili eli $"#" 3. Edellisessä kuvassa Q,3 ja Q 3 3,4. 4!5670!-./.0 (kuika laajalle x: arvot ovat hajaatueet tai kuika paljo e keskimääri poikkeavat jostaki keskikohtaa esittävästä x: arvosta): "#" suurimma ja pieimmä esiityvä x: arvo erotus. Esimerkiksi edellä käsitellyllä luokalla vaihteluväli o Jollaki toisella luokalla keskiarvo voi olla sama, mutta vaihteluväli esim "Q Q 3 Q. Jos jakauma o symmetrie, ii 50 % x: arvoista o välillä Md ± Q. Edellisessä kuvassa 6

13 Q 3, 4, 3 0, 55. (Mea deviatio) d fi xi x poikkeamie itseisarvoje keskiarvo. Koska itseisarvolausekkeide käsittely o hakalaa, käytetää yleesä eliöllisiä poikkeamia, jolloi saadaa seuraavat hajotaluvut: ) (Stadard deviatio) σ fi( xi x) poikkeamie eliöide keskiarvo eliöjuuri. /8"%8σ. Keskihajota σ o koko aieisto hajota. Siitä käytetää myös merkitää σ ja saotaa -hajota. Jos koko aieistosta otetaa : kappalee, ii suuretta s f ( x x) i i saotaa tai ( ) -hajoaksi ja merkitää myös s :llä. Vastaavasti puhutaa. Jos esim. 0 kappalee otoksesta lasketaa otoshajota s, sitä voidaa käyttää koko aieistosta (esim kpl) lasketu keskihajoa σ likiarvoa, jos jakauma o "lähes ormaali". Tästä puhutaa lähemmi jatkossa. Maiitaa vielä jakauma vioutta (skewess) mittaavia lukuja. x Mo x Md 9 sp 3( ) (kokeellisesti saatu s s likiarvo). Positiivisesti eli oikealle violla jakaumalla ovat moodi ja mediaai keskiarvoa pieemmät ja site s p >0. / g ( xi x) 4 s 4. 7

14 Edellä käsitelty matematiika arvosaoje jakauma o eräs tilastollie jakauma. Se frekvessikäyrä (tiheysfuktio kuvaaja) ja summakäyrä (kertymäfuktio kuvaaja) olivat muodoltaa seuraavalaiset: i * i x i i Jos arvosaoja olisi paljo ja arvosteluväli olisi lyhempi (esim. ¼-umeroa), ii f i - käyrä olisi muodoltaa lähellä s. Gaussi kellokäyrää (viereie kuva), joka o todeäköisyyslaskea atama erää teoreettise (mutta käytäössä tärkeä) jakauma, " frekvessifuktio. Todeäköisyyslaskeassa frekvessifuktioita saotaa yleesä tiheysfuktioiksi. Normaalijakaumaa käytetää useide tilastolliste jakaumie matemaattisea mallia. Eräs todeäköisyyslaskea avulla saatava "yrkkisäätö" sille, milloi tilastollise muuttuja x jakauma o likimai ormaalijakauma o seuraava: Jos tilastollise muuttuja x arvoje vaihtelut johtuvat useista, toisistaa riippumattomista satuaisista seikoista, ii x: jakauma o likimai ormaalijakauma. Tällöi x: jakauma käsittelyssä voidaa käyttää ormaalijakaumalle johdettuja matemaattisia tuloksia. : Likimai ormaaleja jakaumia voisivat olla esim. seuraavat: suuresta ihmisjoukosta muodostettu paiojakauma pituusjakauma arvosaajakauma, 8

15 eri työtekijöillä sama työvaihee tekemisee käytetty aika, jos äitä työtekijöitä o aika paljo. joki autotyypi automoottorie kestoikä (esim. laskettua km:issä ee esimmäistä moottoriremottia). Jos suuree arvo määrittämiseksi tehdää useita toisistaa riippumattomia mittauksia samoissa olosuhteissa, ii mittausarvoissa esiityy eroja. Tämä mittausarvoje jakauma o likimai ormaali. Normaalijakauma yhteydessä johdetaa myöhemmi tulos, joka ataa keskihajoa σ suuruudesta jokilaise kuva. Likimai ormaaleihi jakaumii sovellettua tulos o seuraava: - Jos tilastollise muuttuja x jakauma o likimai ormaali, ii suuillee 68 % x: arvoista o välillä x σ x+ σ 95 % x: arvoista o välillä x 96, σ x+, 96σ 99 % x: arvoista o välillä x, 6σ x+, 6σ. ; Oletetaa, että suuresta määrästä matematiika kokeita, joissa maksimipistemäärä o 0, o saatu tulokset x, σ 3, 5. Jos jakauma malliksi otetaa ormaalijakauma, ii suuri piirtei 68 % (eli. /3) pistemääristä o välillä 8,5 5,5 ja 95 % o välillä ±, 96 3, 5 eli suuillee välillä 5 9. Lauseessa esim. väliä x 96, σ x+, 96 σ saotaa <' "#". Tämä väli päätearvoja x, 96σ ja x+, 96σ $%<' tai myös <'. Jos edellise esimerki mukaisesta koepistejoukosta valitaa umpimähkää yksi, ii 68 % varmuudella (ts. todeäköisyydellä 0,68) tämä arvosaa o välillä 8,5 5,5. Koska vai 68 % arvosaoista o tällä välillä, ii otetaa aika suuri eli 3 %: riski, jos väitetää että yhdessä valiassa saadaa tällä välillä oleva arvosaa. 9

16 Tilastollise jakauma tutkimisessa joudutaa tyytymää usei otoksee (esim. laaduvalvoassa tutkitaa vai osa tehdyistä tuotteista). Tällöi heräävät mm. seuraavat kysymykset: Mite pitkälle meeviä johtopäätöksiä otoskeskiarvosta x otos ja otoshajoasta eli ( )-hajoasta s voidaa tehdä koko populaatiota ajatelle. Kuika voimakkaasti otoskoko vaikuttaa. Esim. turha suuri otos merkitsee usei lisäkustauksia. Mite otos pitäisi tehdä. Mite kysely pitäisi tehdä, jotta se olisi luotettava (ei esim. puhelikyselyä; lisäksi kaikkie kyselyy mukaa joutueide pitäisi oikeastaa vastata, sillä muute jakauma helpsti "vioutuu"). Eräs aika itsestää selvältä tutuva perustulos o seuraava: - Otoskeskiarvo x otos ja otoshajota s ovat hyviä estimaatteja (arvioita) koko populaatio keskiarvolle x ja keskihajoalle σ (sitä parempia, mitä suurempi otos o ja mitä paremmi otos o oistuttu suorittamaa). Oletetaa, että tehtaa valmistamie tuotteide kestoaikoje jakaumaa voidaa pitää likimai ormaalia. Tehdas testasi kestoaikoja 00 kpl otoksella, ts. sataa tuotetta käytettii, kues e meivät rikki ja kestoajat luokiteltii esimerkiksi 00 0 yhtä pitkää luokkaa. Ajatellaa, että tulokseksi saatii esim. tueissa laskettuia x otos 990, s60 (( ) -hajota). Tästä voidaa päätellä Lausee mukaa, että kaikilla tuotteilla kestoaikoje keskiarvo ja keskihajota ovat x 990, σ 60. Lausee mukaa taas esim. 95 %:lla tuotteista kestoikä o suuillee välillä 990± 96, 60 eli välillä

17 Lopuista 5 %:sta puolet eli,5 % kestävät alle 870 ja puolet yli 0 tutia. Täte 97,5 % varmuudella (tai 97,5 % todeäköisyydellä) umpimähkää valittu tuote kestää yli 870 tutia. Kovasti yksikertaistae voidaa saoa myös, että jos tehdas ataa tuotteellee 870 tui takuu, se ottaa,5 % riski. Takuuehtoje määrittämie ei tietekää käytäössä ole äi yksikertaista vaa riippuu mm. siitä, kuika herkästi viallie tuote palautetaa. Otoshajoa s avulla voidaa tutkia, paljoko otoskeskiarvo poikkeaa koko populaatio keskiarvosta, ts. paljoko otoskeskiarvossa o virhettä. Ku käytetää todeäköisyyslasketaa ja sovelletaa se atamia tuloksia, saadaa tähä kysymyksee seuraava vastaus : - Oletetaa, että tilastollise muuttuja x jakauma o likimai ormaali ja otoskoko 30. Silloi ) 95 %: varmuudella koko populaatio keskiarvo poikkeaa s otoskeskiarvosta korkeitaa luvu, 96 verra, ts. ) 99 %: varmuudella ± 96, "., ± 6. "., Edellisessä esimerkissä tuottee kestoikää arvioitaessa otoksesta 00 saadut arvot olivat x otos 990, s60. Täte ) 95 % varmuudella kaikkie tuotteide kestoiä keskiarvo o välillä ) 99 % varmuudella 60 x 990±, ± (h), x 990±, 6 990± 6. 00

18 s Lauseessa 3 esiityvää lukua sx, joka kerrottua luvulla,96 tai,6 ataa virherajat, saotaa. Jos otoskoko < 30, virherajoja täytyy suuretaa eli e täytyy kertoa eräällä :tä suuremmalla luvulla t. Tämä kerroi o peräisi eräästä toisesta jakaumasta, Studeti t -jakaumasta ja se arvoja saadaa mm. seuraavasta taulukosta: %,, 6, 4, 3,, 0, 0 99% 3, 9, 3, 8, 5,,, Suuree arvo määrittämiseksi tehdyt mittaukset atavat tiety mittaustuloste jakauma, joka o likipitäe ormaali, jos mittauksia o suuri määrä ja e ovat toisistaa riippumattomia. Ku mittauksia o vähäisempi määrä, kyseessä o itse asiassa otos tästä jakaumasta ja tähä otoksee voidaa soveltaa edellisiä tuloksia. Ajatellaa, että tehdää esim. 0 tällaista mittausta ja äide keskiarvoksi saadaa x otos 8, 5 ja (-)- hajoaksi s068,. Tällöi mittauste keskiarvo keskivirhe o 0, 68 s x 0, Jos käytetää 95 % varmuutta, tämä luku o kerrottava luvulla,96 ja t-luvulla,. Koska,, 96 0, , < 0, 5, ii tulos o, että suuree todellie arvo (äärettömä moe mittaukse keskiarvo) o x 8, 5± 0, 5 95 % varmuudella. Ku aikaisemmi moistee I ja III osassa laskettii suureide z f ( x, y) virheitä kokoaisdifferetiaali avulla, muuttujie x ja y arvot virheiee aettii yleesä esim. muodossa x, 56± 0, 03 ja y 3, ± 0, 5, ts. ajateltii, että esim. x: arvoksi o mitattaessa saatu,56 ja arvioitii, että mittausarvossa o virhettä korkeitaa 0,03 puolee tai toisee. Esimerkki äyttää, mite mitattavie suureide x ja y virheitä voidaa arvioii sijaa laskea tilastolliste meetelmie avulla. Tuottee keskipaioksi ilmoitettii 75 g. Puittii 3 tuotetta, joista keskiarvoksi saatii 7 g ja otoshajoaksi

19 g. Laske pitääkö ilmoitus tämä otokse mukaa paikkasa, jos käytetää 95 % luotettavuustasoa (varmuutta). Koska, 96 3, 8, ii 95 % varmuudella kaikkie 3 tuotteide keskipaio o välillä 7± 3, 8 eli välillä 68, 75,8. Täte kaikkie tuotteide keskipaio voi olla jopa 75,8 g, ts. ilmoitettua keskipaioa 75 (g) ei voi tämä otokse atama tiedo perusteella pitää liia suurea. Siis ilmoitus pitää paikkasa. Vastauksia moistee lopussa. Harjoituksia A, B. Laske sopivaa apukeskiarvoa käyttäe lukuje 7, 4,, 6, 8, 6, 7 (aritmeettie) keskiarvo. Laske myös samoje lukuje geometrie ja harmoie keskiarvo.. Tieosuudesta o 0 %:lla opeusrajoitus 50, 30 %:lla 80 ja lopulla 00. Kuika suuri o maksimikeskiopeus, joho tällä tieosuudella voidaa päästä opeusrajoituksia oudattae?.3 Yritykse liikevaihto laski kahtea peräkkäiseä vuotea % kumpaaki. Millaie ousu tarvittaisii kolmatea vuoa, jotta äide kolme vuode keskimääräie kasvu olisi %?.4 Diskreeti muuttuja x arvot ovat 4, 5, 6, 7, 8, 9 ja iide frekvessit,, 8, 3, 6,. Esitä x: jakauma a) taulukkoa, b) frekvessikäyrää, c) jaadiagrammia, jossa pisteistä ( xi, fi ) o piirretty x-akselille kohtisuoraa jaat, d) pylväsdiagrammia, joissa em. jaat o leveetty esim. ½ yksikö levyisiksi pylväiksi, e) histogrammia, jossa yhtä leveät pylväät ovat kiii toisissaa ja y- akselia ovat frekvessiprosetit. Tällöi pylväskuvio yhteispitaala o. f) Piirrä x: kertymäkäyrä. g) Määritä jakauma keskiluvut ja hajotaluvut (opettele, mite laskimestasi saadaa keskiarvo, - hajota ja otoshajota). 3

20 .5 Piossa olevat laudat luokiteltuia 30 cm pituisii luokkii jakautuivat seuraava tauluko mukaisesti (lautoje pituuksie sijaa kyseessä voisi olla esim. työsuorituksii käytettäviä aikoja tms.): Piirrä jakauma frekvessi- ja luokkaväli luokkakeskus xi fi% summakäyrät ja määritä jälkimmäisestä jakauma mediaai, kvartiilipoikkeama sekä kuika suuri osa laudoista o välillä (Vihje: murtoviivaa ei tässä tehtävässä ole luoollista vetää portaide keskikohtie kautta.) Tämä ataa todeäköisyyde sille, että piosta umpimähkää vedetty lauta o pituudeltaa kyseisellä välillä. Laske myös lautoje keskipituus ja keskihajota..6 Tilastollise muuttuja jakauma o likimai ormaali, keskiarvoa 7,4 ja hajotaa,86. Laske 95: ja 99 %: luottamusvälit..7 Erää tuottee keskipaio pitäisi olla vähitää,00 kg. Otostutkimus ataa seuraavat paiot: 8 kpl,90 kg, 0 kpl,95 kg, kpl,98 kg, 4 kpl,05 kg. Kuika paljo vähitää tuotteet ovat tämä otokse perusteella alipaioisia, jos käytetää 95 % varmuutta?.8 Pakkaukse keskipaioksi ilmoitettii 0,700 kg. Tutkituista 0 tuotteesta 6 paioi 69 g ja 4 paioi 70 g. Oko ilmoitettu keskipaio hyväksyttyje rajoje välissä, jos käytetää 99 % varmuutta?.9 Auto erää osa tms. kulutuskestävyys arvioitii km:ksi ja keskihajota 5000 km:ksi. Keskimääräise kulutuskestävyyde tutkimiseksi päätettii tehdä otos. Kuika suureksi otoskoko o valittava, jotta otoskeskiarvo ei poikkeaisi todellisesta eempää kui 5% 95%: varmuudella? 4

21 Diskreetit ja jatkuvat todeäköisyysjakaumat Viidessä kortissa ovat luvut,, 3, 4 ja 5 (yksi kussaki). Vedetää äistä korteista umpimähkää yksi. Tutkitaa mahdollisuutta saada tulokseksi esim. parillie luku? Kaikkie tuloste joukko o E {,, 3, 4, 5 }. Tapausta "saadaa parillie luku" vastaa osajoukko A {, 4 }. Koska kaikki viisi tulosta ovat yhtä mahdollisia ja A:ssa iistä o kaksi, ii A: (Probability) o P( A) ( 0, 4 40%). 5 Esitetää tälle tehtävälle toiselaieki matemaattie malli, joka sopii myös sellaisii tapauksii, missä tulokset eivät ole yhtä mahdollisia. Olkoo X, joka ilmoittaa saadu pistemäärä. X: arvot ja iide todeäköisyydet (s. ) ovat x :,, 3, 4, 5 i pi:,,,, ( i,,..., 5 ). Todeäköisyys, että X: arvo o parillie, o vastaavie pistetodeäköisyyksie summa: P( X parillie) p+ p4 5. Kaikkie pistetodeäköisyyksie summa o, ts. p i. Neljästä kortista, joissa ovat luvut,, 3 ja 4, ostetaa umpimähkää yksi ja palautetaa se. Sitte ostetaa umpimähkää toie kortti, joka voi siis olla myös sama kui esi ostettu. Olkoo X satuaismuuttuja, joka ilmoittaa saadu kahde luvu summa. Viereisestä yhteelaskutaulusta ähdää mahdolliset summa arvot ja kuika moella eri tavalla kuki summa saadaa. Esim. 4 saadaa summia 3+, + ja +3, ts. 5

22 kolmella korttiyhdelmällä 6:sta mahdollisesta korttiyhdelmästä. Site todeäköisyys saada summa 4 o 3/6. Satuaismuuttuja X muodostavat X: arvot ja iide todeäköisyydet: x :, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i pi:,,,,,, Tässä esimerkissä kaikki pistesummat eivät eää ole yhtä mahdollisia. Todeäköisyys, että pistesumma o aiaki 7 eli että X saa arvo joka o 7 tai eemmä, o vastaavie pistetodeäköisyyksie summa: 3 P( X 7) Koska pistetodeäköisyyksie summa o, ii komplemettitapaukse "pistesumma o pieempi kui 7 " todeäköisyys voidaa laskea seuraavasti: 3 3 P( X < 7) 6 6. Koska X saa vai erillisiä arvoja, se jakauma o ja sitä kuvataa tavallisesti jaadiagrammilla (viereie kuva). Joskus o hyödyllistä ajatella todeäköisyys, jota o kaikkiaa yksikkö. Tässä esimerkissä todeäköisyysmassa o jakautuut lukuje,, 8 kohdalle, symmetrisesti kohtaa 5 ähde. Satuaismuuttuja X arvo kohdassa x saadaa, ku lasketaa yhtee kaikki kohtaa x meessä kertyyt todeäköisyysmassa. Esim

23 F( 3) Teoreettisemmi saottua F voidaa määritellä yhtälöllä F( x) P( X x). Kertymäfuktio kuvaaja o porrasfuktio, joka piei arvo o 0 (ku x< ) ja suuri (ku x 8). Lukuje 5, 6, 6, 6, 7, 7 keskiarvo 5 x , 7. Tässä esiityvät kertoimet ovat samat kui pistetodeäköisyyksie arvot, jos ajatellaa luvuista valituiksi umpimähkää yksi ja satuaismuuttuja X ilmoittaa saadu luvu. Siis x p i x i 67,. Tätä summaa saotaa todeäköisyyslaskeassa (Expected value).. Jos satuaismuuttuja saa arvot x, x, ja äide todeäköisyydet ovat p, p,, ii X: ja ( ) σ ( ) ( ). Variassi eliöjuurta σ saotaa.! Jos X ilmoittaa yhdessä opaheitossa saadu tulokse, ii ja E( X ) Var( x) (, 5 +, 5 + 0, 5 + 0, 5 + 5, +, 5 ), 9. 6 Jos suoritetaa useita heittoja peräkkäi, o odotettavissa että saatuje pistemäärie keskiarvo o 3, 5; sitä varmemmi, mitä eemmä heittoja o. Keskihajota σ Var( X ), 70. 7

24 Paio, pituude, aja tms. mittauksissa kokee tulos voi usei olla mikä tahasa reaaliluku jollaki välillä [c,d], mahdollisesti koko reaalilukualueella. Jos satuaismuuttuja X ilmoittaa tällaise kokee tulokse, X: jakauma o. Tällöi X: arvot x muuttuvat jatkuvasti, ilma hyppäyksiä ja site kertymäfuktio F kuvaaja o $% ouseva, katkeamato käyrä (sillä x: kasvaessa todeäköisyysmassaa kertyy jatkuvasti). Siiä kohdassa, missä kertymäfuktio F( x) kasvaa jyrkimmi eli missä derivaatta F ( x) o suurimmillaa, c d todeäköisyysmassa lisäys yksikköä kohti eli s. todeäköisyystiheys o suurimmillaa. Samalla tavoi muissaki kohdissa kertymäfuktio derivaatta kuvaa todeäköisyystiheyttä tässä kohdassa. Siksi o luoollista asettaa seuraava määritelmä: Jatkuva satuaismuuttuja X täyttää ehdo ( ) ( ). $% Todeäköisyys sille, että c satuaismuuttuja X arvo o jollaki välillä a b, saadaa kertymäfuktio avulla seuraavasti: () "( < #) (#) ( ), d ts. laskemalla kohtaa b meessä kertyyt todeäköisyysmassa määrä ja vähetämällä siitä kohtaa a meessä kertyyt määrä. Sama todeäköisyys voidaa laskea myös tiheysfuktio avulla itegraalia () "( #) ( ) <, # sillä b f ( x) dx F x a a b ( ) F( b) F( a) P( a< X b). 8

25 Tulokset () ja () ovat graafisesti esitettyiä seuraavat: $% P(a < X < b ) c a b d $% P(a < X < b) c a b d Jatkuvalla jakaumalla esim. todeäköisyys, että X saa arvo b o P( X b) 0, sillä muute kertymäkäyrässä olisi hyppäys kohdassa b. Siksi esim. välie a< X < b ja a< X b todeäköisyydet ovat yhtä suuret. Yleisesti jatkuvalla jakaumalla yksittäiste pisteide todeäköisyyksillä ei ole mitää käyttöä, koska e ovat kaikki 0. Niide tilalle tuleeki "äärettömä lyhyelle välille dx sijoittuee todeäköisyysmassa määrä f( x) dx. Jos X: arvot muodostavat väli c d (kute edellisissä kuvissa), ii koko tälle välille sijoittuee todeäköisyysmassa määrä tulee olla eli ( ). & Diskreetillä jakaumalla vastaava tulos oli p i. Kertymäfuktio arvo kohdassa x saadaa "laskemalla yhtee" kohtaa x meessä kertyyt todeäköisyysmassa:. & ( ) ( ) $% c () x d 9

26 Esim. Mathematica-ohjelmassa tiheysfuktiolla o imi PDF Probability Distributio Fuctio ( jakaumafuktio). Kertymäfuktiolla taas o imi CDF Cumulative Distributio Fuctio ( kumulatiivie jakaumafuktio). Jatkuvalla jakaumalla ja määritellää seuraavasti (jos X: arvot sijoittuvat välille c d): ( ) ( ), σ ( ) ( ). & & ' o variassi eliöjuuri ja sitä merkitää σ :lla. ) Esitellää aluksi. Se tiheysfuktiota merkitää f: sijasta ϕ :llä. Tiheysfuktio ϕ arvot saadaa yhtälöstä ϕ( ) π, missä x saa kaikki reaalilukuarvot. Kuvaaja o y-akseli suhtee symmetrie, jote odotusarvo 0. Lisäksi keskihajota σ kute voidaa todistaa. Tiheyskäyrä o tyyppiä y e x, joho o ekspoettii ja lausekkee etee lisätty sellaiset kertoimet, että kokoaispita-ala eli todeäköisyysmassa määrä o ja keskihajota o. Kertymäfuktiota merkitää vastaavalla isolla kirjaimella: Φ( ) ϕ ( ). Kertymäfuktio arvot o taulukoitu, 0

27 koska itegraali laskemisessa jouduttaisii käyttämää likiarvomeetelmiä. Eräs tällaie taulukko o kopioitu tämä moistee loppuu. Φ( 0) (symmetria ojalla) Φ( ) 0, 84 (taulukko, laski tms.) Φ() 0,977 ( - " - ) Edellee, jos X o satuaismuuttuja, joka jakauma o stadardiormaali, ii P( X ) Φ( ) Φ ( ) 036, P( X > ) P( X ) Φ( ) 0, 03 Symmetria ojalla Φ( ) Φ( ), vrt. viereie kuva. Esim. Φ( ) Φ( ) 0, 03 ja Φ( x) Φ( x) ) P( X ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) [ Φ( )] Φ( ) 0, 68. ) ( Se tiheysfuktio o ( ) σ π ( ) σ, missä ja σ ovat jakauma parametrit (odotusarvo ja keskihajota). Kuvaaja o kohtaa ähde symmetrie σ π 0 σ 0

28 Kuvaaja o sitä "laakeampi", mitä suurempi keskihajota σ o. Kertymäfuktio F( x) arvoje x F( x) f( x) dx 0 σ 4 0 laskemie palautetaa stadardiormaali jakauma kertymäfuktio arvoje laskemisee seuraava tulokse avulla (tod. luvussa 8): ( ) Φ( ). σ Oletetaa, että satuaismuuttuja X jakauma o ormaali, parametreia 75 ja σ. Tämä merkitää lyhyesti *+(75, ). Vastaava yleie merkitä o *+(,σ ) tai joskus X ~ N(,σ). Esim. todeäköisyys, että X: arvo o korkeitaa 87 voidaa laskea seuraavasti: P( X 87) F( 87) Φ( ) Φ ( ) 0, 84. Tämä jakauma voisi olla matemaattisea mallia suure ihmisjouko paiojakaumalle, jos paioje keskiarvo o 75 kg ja hajota kg. Tulokse mukaa korkeitaa 87 kg paiavia o tässä joukossa. 84 %. Laske todeäköisyys sille, että (,σ)-ormaalise satuaismuuttuja X arvo poikkeaa odotusarvostaa korkeitaa,96 kertaa keskihajoa verra. P( 96, σ X + 96, σ ) F( + 96, σ ) F( 96, σ ) +, 96 σ 96, σ Φ( ) Φ( ) σ σ Φ( 96, ) Φ(, 96) Φ( 96, ) [ Φ( 96, )] Φ( 96, ) 0, , 950.

29 Siis 95 % X: arvoista poikkeaa odotusarvostaa korkeitaa,96 kertaa keskihajoa verra. Toisi saoe 95 % X: arvoista o välillä ±, 96 σ, jos X: jakauma o ormaali. Näi o perusteltu. luvu Lausee toie kohta. Harjoituksia A, B. Heität kerra oppaa ja marka rahaa. Raha umeropuoli ataa pistemäärä ja vastakkaie puoli pistemäärä 3. Satuaismuuttuja X ilmoittaa saadu pistesumma. a) Määritä X: saamat arvot ja iide pistetodeäköisyydet. b) Piirrä jakauma graafie esitys, c) Määritä X: kertymäfuktio ja piirrä se kuvaaja. d) Laske X: odotusarvo ja keskihajota σ.. Rahaheitossa umeropuoli o klaava ja toie puoli kruua (tai kruuu). Satuaismuuttuja X ilmoittaa kruuie lukumäärä kolmessa heitossa. Määritä X: jakauma ja kertymäfuktio..3 Laske edellise tehtävä mukaise satuaismuuttuja odotusarvo ja variassi..4 Sadasta arvasta yksi voittaa 00 euroa, 3 voittaa 50 euroa ja 8 voittaa 0 euroa. Laske voito odotusarvo..5 Satuaismuuttuja X saa arvot,,3,4,5 ja äide todeäköisyydet ovat 5/k, 4/k, 3/k, /k, /k. Laske k, ja σ..6 a) Määritä sellaie k: arvo, että f ( x) k si x, ku 0 x π 0 muulloi käy joki jatkuva satuaismuuttuja X tiheysfuktioksi. Laske, millä todeäköisyydellä X: arvo o b) korkeitaa, c) yli. d) Määritä vastaava kertymäfuktio. e) Laske kohdat b) ja c) kertymäfuktio avulla. c / x, ku x.7 Olkoo f ( x). a) Laske, millä c: arvolla f( x) 0, ku x< käy tiheysfuktioksi? b) Määritä sellaie luvu a arvo, että P( x> a) / 3. 3

30 .8 Olkoo X: jakauma ormaali, parametreia ja σ. Laske P( 3< X < 4 )..9 Oletetaa, että suomalaiste mieste pituusjakauma o (lähes) ormaali, parametreia 75 cm ja σ 8 cm. Kuika mota % miehistä o yli m pitkiä?.0 Olkoo X ~ N(0,). 4 a) Todista, että P( X > k) ( Φ ( k)) b) Määritä sellaie k: arvo, että P( X > k) 0, 37.. Tuottee paio oudattaa ormaalijakaumaa, joka odotusarvo o 80 kg ja hajota 4 kg. a) Suuriko osa tuotteista o kg paioisia? b) Millä todeäköisyydellä umpimähkää valitu tuottee paio o yli 88 kg?. Olkoo X ~ N(0, 3) ( σ 3). Laske a) P( X <3 ), b) P( X >8 ), c) P( 9< X < )..3 Sada tuottee otaassa saatii keskimääräiseksi alkoholipitoisuudeksi,5 % ja hajoaksi 0,05 %. Kuika suuri osa tuotteista ylittää tälle tuotteelle sallitu pitoisuude,5 %?.4 Tehtaa valmistamie tuotteide lujuude tulisi olla (vähitää) 3000 N/cm. Tuotteista otettii äytteitä aia silloi tällöi. Tämä perusteella arvioitii lujuude odotusarvo (keskiarvo) oleva 3700 N/cm ja keskihajoa 400 N/cm. Kuika suuri osuus tuotteista täyttää lujuusvaatimukse?.5 Levyistä hylätää alle 34 mm paksuiset ja yli 35 mm paksuiset. Mitattii 500 levyä ja iistä 30 todettii oleva liia ohue ja 90 liia paksu. Laske levyje paksuude keskiarvo ja keskihajota (olettae, että paksuus o ormaalijakautuut). Ohje: Yhtälöistä P( X < 34) ja P( X > 35) saat suureille ja σ yhtälöpari, ku esität e Φ: avulla. Moisteessa oleva tauluko käyttämisessä "takaperi" tarvitset säätöä Φ( x) Φ( x).

31 3 Todeäköisyyskäsitteistä Esimerkiksi joukkoje A {, 3, 4, 5 } ja B { 4, 5, 6, 7 } eli muodostuu A:ha tai B:he (tai molempii) kuuluvista alkioista: A B {, 3, 4, 5, 6, 7 }. muodostuu A:ha ja B:he kuuluvista alkioista eli äide joukkoje yhteisistä alkioista: A B { 4, 5 }. Jos lisäksi o aettu joki, esim. E {,,..., 0 }, voidaa puhua esim. jouko A (tämä perusjouko suhtee). Se muodostuu iistä perusjouko alkioista, jotka eivät kuulu A:ha. A: komplemettiä merkitää A :lla. Tässä esimerkissä A: A { 6, 7, 8, 90, }. Jouko A eli merkitää ( A) :lla. Tässä esimerkissä ( A) ( B) 4. Yhdistee A B alkiomäärä saadaa ku lasketaa yhtee A: ja B: alkiomäärät ja summasta väheetää A: ja B: yhteiset alkiot, jotka muute tulisivat lasketuiksi mukaa kahdesti. Siis () ( A B) ( A) + ( B) ( A B). Tässä esimerkissä ( A B) merkitää :llä. : Kokeessa o vai äärellie määrä tuloksia ja e ovat yhtä mahdollisia. Joistaki tai kaikista tuloksista muodostuvia joukkoja saotaa. Kaikkie tuloste joukko E { e, e,..., e } o s. tapaus. Jos kokeessa o yhtä mahdollista tulosta, ii tapaukse A o ( ) ( ) 5

32 Nopaheitossa varma tapaus o E {,, 3, 4, 5, 6 } ja eräs tapaus o se, että "tulos o aiaki 3 (eli vähitää 3)". Tämä tapaus o E: osajoukko A { 3, 4, 5, 6 } ja se todeäköisyys o 4 P( A) 66, 7 %. 6 3 A: komplemettitapaus (vastakohta) A o se, että tulos o korkeitaa, siis A {, } ja se todeäköisyys o P( A) 6 3, myös P( A) P( A) 3 33, 3 %. ) ( ) 0 eli jokaise tapaukse todeäköisyys o 0. ) ( ) eli varma tapaukse todeäköisyys o. 3) ( ) 0 eli mahdottoma tapaukse todeäköisyys o 0. 4) ( ) ( ) eli komplemettitapaukse todeäköisyys o miius alkuperäise tapaukse todeäköisyys. 5) ( ) ( ) + ( ) ( ) 6) : ( ) ( ) + ( ), jos. Kohtie ) - 4) tulokset todistetaa klassise todeäköisyyde määritelmä avulla seuraavasti: ( A) 0 P( A) 0, P( E), P( ) 0, Merkitää A: alkiomäärää k:lla jolloi A:ssa o k alkiota ja k k P( A) P( A) mukaa todeäköisyys sille että B tapahtuu (ts. että kokee tulos kuuluu A:ha tai B:he tai molempii) saadaa, ku lasketaa yhtee A: ja B: todeäköisyydet ja summasta väheetää todeäköisyys sille, että tapahtuvat. Tämä tulos todistetaa 6

33 (klassise todeäköisyyde tilateessa) kohda 3. lopussa maiitu tulokse avulla seuraavasti: P( A B) ( A B) ( A) + ( B) ( A B) ( A) ( B) ( A B) + P( A) + P( B) P( A B). taas seuraa välittömästi yhteelaskusääöstä ja kohdasta 3). Se mukaa todeäköisyys, että A tai B tapahtuu o A: todeäköisyys + B: todeäköisyys, mikäli tapaukset A ja B ovat, ts. e eivät sisällä yhteisiä tuloksia.! koskeva tulos ( ) ( ) voidaa esittää myös muodossa "todeäköisyys, että A (ts. että tuloksea ei ole mikää A:ha kuuluva tulos) o A: todeäköisyys". " Nopaheitossa tapaus "korkeitaa " o A {, } ja tapaus "aiaki 4" o B { 4, 5, 6 }. Nämä tapaukset ovat erillisiä ( A B ). Täte additiivisuude ojalla todeäköisyys, että saadaa "korkeitaa tai vähitää 4" o 3 P( A B) Tapaukset C {, 4, 6 } ("saadaa parillie tulos") ja D { 3, 4, 5, 6 } ("saadaa vähitää 3") taas eivät ole erillisiä vaa C D { 4, 6 }. Todeäköisyyde, että saadaa "parillie tulos tai vähitää 3" laskemisee käy yhteelaskusäätö: 5 6. P( C D) P( C) + P( D) P( C D) + (Tarkistus: C D {, 3, 4, 5, 6 }, jote P( C D) 5 6.) # Todeäköisyys, että korttipakasta ostettu kortti o pata tai ässä o yhteelaskusääö ojalla P( pata tai ässä) P( pata) + P( ässä) P( pata ja ässä)

34 Kaikkie tuloste jouko E { e, e,..., e } osajoukkoja saottii tapauksiksi ja esim. tapaus A { e, e } vastaa sitä, että kokee tuloksea o e tai e. Yksialkioisia osajoukkoja { e },{ e },...,{ e } saotaa $ ja iide todeäköisyyksiä p, p,..., p saotaa $. Klassista todeäköisyyskäsitettä voidaa käyttää vai, jos jokaise tulokse todeäköisyys eli jokaie pistetodeäköisyys p i o yhtä suuri. Pistetodeäköisyyksiä voidaa käyttää yleisemmiki. Niide ei tarvitse olla yhtä suuria, kuha e vai täyttävät seuraavat ehdot: () jokaie p i 0, () p i, (3) tapaukse A todeäköisyys o vastaavie pistetodeäköisyyksie summa, ts. jos esimerkiksi A { e, e3, e7 }, ii P( A) p + p + p 3 7. O helppo todistaa, että Lauseessa maiitut 6 tulosta ovat edelleeki voimassa ja site käytettävissä. % Oepyörää, joka o jaettu 3 sektorii suhteessa : 4 : 7, pyöräytetää kerra. Kokeessa o 3 mahdollista tulosta x 9, x 3 ja x 3 0 (kuva). Koska , eri sektorie todeäköisyydet ovat (4) 3 0 (7) 9 () 4 7 p, p, p3 ( p i ) (jos pyörittämisessä ei ole häiriöitä). Todeäköisyys, että yhdessä pyöräytyksessä saadaa tulos x tai x o p+ p 6 / 3. Todeäköisyys, että saadaa tulos x 3 0, o 7/3 ja todeäköisyys, että ei saada tulosta x 3 0, o 7 / 3 6 / 3 (komplemettitapaus). 8

35 Tässä esimerkissä kokeelle saatii todeäköisyysmalli, käyttämällä apua oepyörä geometriaa: pistetodeäköisyydet valittii sektorie koo perusteella. & (Tilastollie todeäköisyys). Jos oepyörä pysähtymisessä epäilee oleva "vilppiä", o turvauduttava tilastollisee meetelmää, useaa pyöräytyksee. Jos äissä :ssä pyöräytyksessä esim. tulos x 3 0 esiityy f kertaa, ii suhteellise frekvessi f / tulisi : kasvaessa "lähestyä" likiarvoltaa lukua p 3 7 / 3 0, 538. Lähestymisee liittyy kuiteki tietty tilastollie epävarmuus (toisi kui tavallisee raja-arvoo). Voiha imittäi käydä ii, että esim 00 pyöräytyksessä saadaa joka kerta sattumalta tulos 3, vaikka oepyörä olisi kuossaki. Tällaise poikkeuksellise tulokse mahdollisuude pitäisi kuiteki käydä hyvi pieeksi, jos toistomäärää kasvatetaa tai tehdää useita pieempiä koesarjoja. Harjoituksia A, B 3. Joukossa A o 7 alkiota ja joukossa B 34 alkiota. Yhteesä alkioita o 44. Laske ( A B). 3. Pussissa o 3 puaista, 5 mustaa ja 8 valkoista palloa. Näistä otetaa umpimähkää yksi. Laske todeäköisyys, että otettu pallo a) o puaie tai musta, b) ei ole musta. Käytä laskuissa Lausee merkitätapoja. (A pu. palloje joukko je). 3.3 Noppaa heitetää kahdesti. Laske todeäköisyys, että saatu summa o a) 3 tai 9, b) korkeitaa 4, c) yli 4. (Tee yhteelaskutaulu samaa tapaa kui. luvu esimerkissä.) 3.4 Laske todeäköisyys, että kahde opa heitossa pistesumma o a) alle 4, b) yli 0, c) vähitää 4, d) korkeitaa 0, e) alle 4 tai yli 0, f) välillä [4,0]. 3.5 Opiskelijoista sai ala-arvoise matematiika kokeissa 5%, fysiika kokeissa % ja molemmissa 7%. Millä todeäköisyydellä 9

36 satuaisesti valittu opiskelija hylättii aiaki toisessa äistä kokeista? 3.6 Luvuista,, 00 valitaa umpimähkää yksi. Laske todeäköisyys, että tämä o jaollie a) 3:lla, b) 5:llä c) 3:lla ja 5:llä (eli 5:llä), d) 3:lla tai 5:llä. Käytä apua yhteelaskusäätöä. 3.7 Tikka heitetää tauluu, joka muodostuu rekaista,,0 ja jossa 0-ympyrä säde o sama kui,,9 -rekaide leveydet. a) Laske pistetodeäköisyydet, olettae että heitto osuu tauluu ja o täysi summittaie. b) Mikä o todeäköisyys, että heitossa saadaa pistemäärä 4, 5 tai 8? c) Etä todeäköisyys, että saadaa korkeitaa 8? 3.8 Valitaa yksi reaaliluku lukusuora väliltä [0,3] ja toie väliltä [, 0 ] satuaisesti. Laske todeäköisyys sille, että lukuje erotus o yli 3. (Ohje: Kaikki mahdolliset tapaukset voidaa esittää xytaso alueea E {( x, y) : 0 x 3, y 0 } ja lopputulokseltaa "suotuisat" tapaukset alueea A {( x, y) : x y> 3} {( x, y) : y< x 3 }.) 3.9 Lukusuora väliltä [0,] valitaa reaaliluku x satuaisesti. Mikä o todeäköisyys, että se. desimaali o ja toie o 3 (ts. että 0, x 0, , 4 tai, x, , 4). 30

37 4 Kokeide yhdistämie Joukkoje A ja B muodostuu kaikista sellaisista (järjestetyistä) pareista ( ab,, ) missä a A ja b B. Toisi saoe A B {( a, b) : a A, b B}. Jos A {,, 3 } ja B { r, s}, ii A B {(, r),(, s),(, r),(, s),( 3, r),( 3, s)}. Tulojouko alkiot (6 paria) voidaa havaiollisesti esittää s. puudiagrammi avulla (viereie kuva). Tässä tulojoukossa o 3 6 paria, sillä jokaista A: alkiota kohti löytyy B: alkiota, ja koska A:ssa o 3 alkiota, pareja o 3 kpl. Samalla periaatteella päätellää yleisesti seuraava tulos: 3 r s r s r s Jos A:ssa o m alkiota ja B:ssä alkiota, ii tulojoukossa A B o m alkiota (paria). Tehdää kaksi koetta peräkkäi (esim. opa ja rahaheitto tai kaksi opaheittoa). Silloi, o () ( ) ( ) ( ) () Perustellaa tätä klassisessa tapauksessa. Jos. kokeessa tapahtuu A ja. kokeessa B, ii tuloksea o joki ( ab, ) -pari. Oletetaa, että. kokeessa o m tulosta ja iistä A:ha kuuluu h kpl sekä. kokeessa o tulosta ja iistä B:he kuuluu k kpl. Tällöi ( ab, ) -pareja o hk kpl kaikista m parista. Site todeäköisyys, että A B tapahtuu eli tuloksea o joki ( ab, ) -pareista, o 3

38 hk h k P( A B) P( A) P( B). m m Heitetää oppaa kahdesti. Todeäköisyys, että. kerralla tulee 6 ja. kerralla 5 tai 6, o Pakasta vedetää korttia. Laske todeäköisyys, että molemmat ovat patoja. Voidaa ajatella että kortit vedetää peräkkäi. Ku. kortti o pata, o toista vedettäessä jäljellä pataa 5 kortista. Kertosääö mukaa tulos o 3 3 P( ". o pata" ja ". o pata" ) Suuressa tuote-erässä o % virheellisiä.tuotteista otetaa satuaisesti kaksi. Laske todeäköisyys, että kumpiki o a) virheellie, b) virheetö. a) Todeäköisyys, että. o virheellie, o 0,0. Koska tuote-erä o suuri, yhde virheellise tuottee poistumie ei vaikuta saottavasti tilateesee. Site myös todeäköisyys, että. o virheellie, o 0, 0. Kertosääö mukaa todeäköisyys, että kumpiki o virheellie, o 0, 0 0, 0 0, , 04%. b) Käyttämällä kertosäätöä edelliste tapauste komplemettitapauksii, saadaa tulos P( "kumpiki virheetö" ) 0, 98 0, 98 96%.! Veikataa yksi rivi (3 ottelua) satuaisesti. Todeäköisyys, että. ottelu o oikei, o /3. Todeäköisyys, että. ja. ovat oikei, o / 3 / 3 je. Todeäköisyys, että saadaa 3 oikei, o ( / 3) 3 6, Todeäköisyys, että ei saada 3 3. yhtää oikei, o ( / 3) 54, 0 3

39 Yhteelaskusäätö ja additiivisuus ovat "tai-säätöjä", jotka koskevat yhde kokee eri tapauksia. Esim. additiivisuus voidaa esittää seuraavassa muodossa: ( " tai tapahtuu") ( ) + ( ), jos A ja B ovat sama kokee kaksi erillistä tapausta (ts. e eivät sisällä samoja tuloksia) Kertosäätö ("ja-säätö")taas koskee kahde kokee suorittamista peräkkäi: (" ja tapahtuvat") ( ) ( ), jos A o. kokee joki tapaus ja B o. kokee joki tapaus Näitä säätöjä käytetää joskus yhdessä siihe tapaa kui seuraava esimerki c)-kohta osoittaa. " a) Yksi opaheitto, E {,..., 6 }. A: "saadaa tai " A {, } B: "saadaa 4, 5 tai 6" B { 4, 5, 6} Todeäköisyys, että yhdessä kokeessa tapahtuu A tai B (ts. että tulos kuuluu joukkoo A B ) o P( A B) P( A) + P( B), koska A B b) Kaksi opaheittoa. A ja B kute yllä. Todeäköisyys, että. kerralla tapahtuu A ja. kerralla B o 3 P( A B) 6 6 c) Kaksi opaheittoa yht'aikaa. Lasketaa todeäköisyys, että toisella heitolla tapahtuu A ja toisella B, ts. ". kerralla A ja. kerralla B" tai ". kerralla B ja. kerralla A" : P( A B B A) Tilaetta voidaa havaiollistaa puudiagrammilla:

40 A /6 A 3/6 B 3/6 B /6 P(" A B" B A") A B 3 3 ja tai " ja Laske todeäköisyys, että Harjoituksia A, B a) kahdessa opaheitossa ei saada yhtää 6:ta, b) vedettäessä kahdesta pakasta kummastaki yksi kortti, molemmat ovat ässiä. 4. Laske todeäköisyys, että kahdessa opaheitossa saadaa a). kerralla 6 ja toisella ei, b) tarkallee yksi Mikä o todeäköisyys, että a) lotottaessa yksi rivi saadaa kaikki 7 oikei (39 luvusta, ei lisäumeroita), b) Vakioveikkauksessa veikattaessa 3 kohdetta umpimähkää saadaa yksi oikei (vaihtoehdot ovat, x, ). 34

41 4.4 0 pallo joukossa o 3 mustaa. Palloista otetaa satuaisesti kolme. Laske todeäköisyys, että a) kaikki kolme ovat mustia, b) mikää ei ole musta, c) palloista kaksi o mustaa arva joukossa o 0 voittoa. Ostat esimmäiseä arpoja. Kaksi esimmäistä arpaasi ei tuottaut voittoa. Laske todeäköisyys, että a) kolmaella arvalla saat voito, b) kolmaella ja eljäellä saat voitot, c) kolmaella tai eljäellä saat voito, mutta et molemmilla. 4.6 Hekilöt A, B, ja C ampuvat maalii. Heidä osumistodeäköisyytesä ovat vastaavasti 0,70, 0,90 ja 0,60. Kuki ampuu kerra. Laske seuraavat todeäköisyydet (vastaukset umero tarkkuudella): a) kaikki saavat osuma, b) A ja C osuvat, mutta B ei, c) maalii tulee tarkallee kaksi osumaa, d) maalii tulee tarkallee yksi osuma, e) maalii tulee korkeitaa yksi osuma. 4.7 a) Laatikossa o 3 valkoista ja 5 siistä palloa. Otetaa kaksi palloa umpimähkää. Mikä o todeäköisyys, että e ovat samavärisiä? b) "Pikakuljetukse" kolme autoa ovat palvelukutoisia todeäköisyydellä 0,85, 0,75 ja 0,55. Laske todeäköisyys, että kuljetustilaukse tullessa aiaki yksi autoista o kuossa (käytä komplemettitapausta). 4.8 Kolmiumeroisista luoollisista luvuista valitaa satuaisesti yksi. Mikä o todeäköisyys, että tässä luvussa esiityvät umerot 5 ja 6 peräkkäi tässä järjestyksessä? (Esimmäie umero ei voi olla 0.) 35

42 5 Kombiaatio-oppia Kombiaatio-oppi eli kombiatoriikka käsittelee mm. äärellisii joukkoihi liittyviä lukumääräkysymyksiä. Seuraavassa o muutama tällaie kysymys: Moeeko eri järjestyksee 3 eri kirjaita a, b, c voidaa järjestää: abc, acb, bac, bca, cab, cba, siis kuutee järjestyksee. Motako järjestettyä paria äistä kirjaimista saadaa: (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, a), (a, b), siis 6 paria. Motako -alkioista osajoukkoa eli yhdelmää äistä kirjaimista saadaa (osajoukoissa ei alkioide järjestys vaikuta mitää): {a, b}, {a, c}, {b, c}, siis 3 osajoukkoa. Motako sellaista paria (x, y) saadaa, jossa x valitaa äistä kirjaimista ja y luvuista ja 3: (a, ), (a, 3), (b, ), (b, 3), (c, ), (c, 3). Tämätapaisii kysymyksii etsitää jatkossa joitaki laialaisuuksia ja iitä käytetää todeäköisyyksie laskemisee. Edellisessä luvussa oli itse asiassa eräs tällaie lukumääriä koskeva tulos, imittäi se, että jos A:ssa o m alkiota ja B:ssä alkiota, ii tulojoukossa A B o m alkiota (paria). Tämä tulos voidaa esittää myös seuraavassa muodossa: : Jos a voidaa valita m:stä ja b :stä alkiosta, ii erilaisia ( ab, ) -pareja o m kpl. Tuloperiaate yleistyy kolmikoihi ( a, b, c ) ja yleisesti (järjestettyihi) k- jooihi ( a, a,, a k ). 3 tytöstä ja pojasta saadaa tyttö-poika pareja 3 6 kpl: ( t, p ), ( t, p ), ( t, p ), ( t, p ), ( t3, p ), ( t3, p ). (parit (, ) p t i j eivät aa uusia tyttö-poika-yhdelmiä). 36

43 Jos a:lla o mahdollista arvoa a, a ja b:llä samoi b, b sekä c:llä 3 arvoa c, c, c3, ii järjestettyjä ( a, b, c) -kolmikkoja o 3 kpl. Kirjoita e äkyvii! Tuloperiaatteesta seuraa muutama kombiaatio-opi perustulos. Niitä esitellää seuraavassa umeroitua luetteloa. ) alkiota voidaa järjestää ( )( )! eri järjestyksee. Toisi saoe ( lue: " kertoma"). alkioksi voidaa valita mikä tahasa :stä alkiosta,. alkioksi mikä tahasa jäljellä olevasta ( ):stä alkiosta je, ja viimeise alkio kohdalla o vai yksi valitamahdollisuus. a) 6 hekilöä voidaa järjestää jooo 6! 70 eri järjestyksee (missä kaksi 6-jooa ovat erilaisia, jos e eroavat aiaki joo yhdessä kohdassa toisistaa). b) 4 kirjaimesta S, M, A, U saadaa 4! 4 erilaista 4-kirjaimista "saaa". Seuraavassa e o kirjoitettu pystyriveittäi tiettyä systemaattista järjestystä oudattae (yritä ymmärtää käytetty systematiikka): SMAU MSAU ASMU USMA SMUA MSUA ASUM USAM SAMU MASU AMSU UMSA SAUM MAUS AMUS UMAS SUMA MUSA AUSM UASM SUAM MUAS AUMS UAMS ) Jos :stä alkiosta otetaa k alkiota kerrallaa, ii äistä :stä alkiosta muodostettuja k-jooja ( a, a,, a k ) saadaa ( )( ) ( k+ ) 37

44 kappaletta. Toisi saoe : alkio lukumäärä o ( ) ( + ).. alkio voidaa valita :stä,. alkio ( ):stä, je, ja viimeie eli k:s alkio ( ( k )) ( k+ ) :stä alkiosta. 6 hekilöstä saadaa erilaisia 4 hekilö "soppajooja" kpl. 3) Jos :stä alkiosta otetaa k alkiota, aia välillä palauttae saatu alkio, ii erilaisia k-jooja saadaa k (sillä jokaisessa vaiheessa o valitamahdollisuutta). a) Yksi veikkausrivi o 3-joo ( a,, a3 ), missä jokaisella ottelulla a i o 3 tulosmahdollisuutta. Täte erilaisia veikkausrivejä o 3 3, 6 milj. kappaletta. b) Biteistä 0, saadaa 8-bittisiä "tavuja" (ts. 8- jooja) 8 56 kpl. Vieressä o lueteltu kaikki 3- bittiset "tavut". Niitä o 3 8 kappaletta ) Seuraava esimerkki auttaee esimerki jälkeise tulokse ymmärtämistä. Motako sellaista 5 umeroista lukua o, joissa o 3 ykköstä ja elosta (esim 44, 44 je)? 5 umeroa voidaa järjestää 5! eri järjestyksee. Nyt kuiteki ykköste vaihto keskeää ei muuta lukua, jote ykköste osalta aia 3! järjestyksistä ataa sama luvu ja vastaavasti eloste osalta!. Siksi permutaatioide määrä o jaettava 3!:lla ja!:lla: 5! !! 3 38

45 5) :stä alkiosta saadaa k: alkio yhdelmiä (ts. osajoukkoja, jolloi alkioide järjestys ei vaikuta mitää)!!( )! (lue: " yli k") kappaletta. Toisi saoe : alkio lukumääräo " yli k". a) (Lotto) 39 pallosta saadaa 7 pallo yhdelmiä 39 39! , 4 milj. 7 7! 3! b) 5 kortista saadaa erilaisia 5 korti yhdelmiä , 6 milj ! 5 keskeää samalaista valkoista ja 3 mustaa palloa asetetaa jooo. Kuika mota eriäköistä 8 pallo jooa saadaa? Kysymys voidaa muuttaa muotoo: kuika mota 5 pallo yhdelmää 8 paikasta saadaa (äihi 5 paikkaa sijoitetaa valkoiset pallot ja loppuihi mustat). Vastaus o 8 8 5! 5! 3! (sup 5!:lla Harjoituksia A, B a) Motako ollatota 3-umeroista lukua o? b) Etä sellaisia 3- umeroisia lukuja, joissa sama umero esiityy vai kerra (umero 0 voi esiityä muualla paitsi ei alussa)? 39

46 5. a) Kuika mota istumajärjestystä 8 hekilöllä o 8-kulmaisessa pöydässä, jos jokaie paikka o eriarvoie? b) Etä, jos paikat ovat samaarvoisia? 5.3 Kuudesta pojasta arvotaa 4 00m: viestijoukkue. Motako erilaista joukkuetta voidaa valita, ku a) juoksujärjestyski arvotaa, b) järjestyksee ei kiiitetä huomiota? 5.4 Luokassa o 8 tyttöä ja 3 poikaa. Motako a) poika-tyttö, b) poika-poika, c) tyttö-tyttö -paria voidaa äistä muodostaa? 5.5 Motako erilaista istumajärjestystä luoka 3 oppilaasta saadaa? poikaa ja 4 tyttöä asettuvat jooo site, että tytöt ovat alussa. Kuika mota erilaista jooa saadaa? yhtäsuuresta pallosta o 3 samaväristä ja loput keskeää ja esi maiittuje kassa erivärisiä. Kuika mota eriäköistä 6 pallo jooa äistä saadaa? (vrt. Esim. 4) 5.8 a) 0 hekilöä kättelevät kaikki toisiaa. Motako kättelyä suoritetaa? b) 8 joukkuetta pelaavat pareittai (yksi pari aia kerra ts. ei eriksee koti- ja vierasottelua). Motako ottelua pelataa? 5.9 Mielipidekyselyssä oli 6 kysymystä ja iistä jokaisessa oli 5 erilaista vastausmahdollisuutta. Paljoko vastausmahdollisuuksia oli kaikkiaa (ku jokaisee kysymyksee pitää vastata)? 5.0 Oppilaa tulee vastata 0 kysymyksestä kahdeksaa. a) Motako erilaista vastauskombiaatiota (yhdelmää) häellä o? b) Etä jos äide 8 vastaukse joukossa tulee olla vastaukset 3 esimmäisee kysymyksee? 5. Motako erilaista komiteaa, jossa o 3 miestä ja aista voidaa valita 7 miehestä ja 5 aisesta? 5. 0 hekilöstä valitaa 6 hekilöie letopallojoukkue.motako valitamahdollisuutta o? poikaa ryhmittyvät kahdeksi 5-jäseiseksi joukkueeksi. Motako erilaista ottelijayhdelmää voidaa muodostaa? 40