Harjoitukset 1 : Tilastokertaus
|
|
- Harri Nurmi
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus ) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa. Voit kerrata oleaiset teemat tarvittaessa kurssikirjasta Stock & Watso: Itroductio to Ecoometrics. Kirja esimmäie luku käsittelee tämä harjoitukse teemoja. Vastauksissa tulisi olla äkyvissä käyttämäsi päättely ja oleaiset kaavat. Tehtävät saa tehdä 1-2 opiskelija ryhmissä. Jokaie palauttaa oma vastauksesa Mycourses-sivusto kautta. 1. Normaalijakauma ja stadardiormaalijakauma, keskeie raja-arvolauseke ja todeäköisyyksie laskemie Y o ormaalijakautuut seuraavasti: Y N (30, ). Tehtäväao mukaa Y o ormaalijakautuut, µ = 30 ja σ 2 =. Y stadardisoidaa, jotta todeäköisyyksie laskemisee voidaa käyttää s stadardiormaalijakaumaa. Stadardoiti: jos Y (µ,σ 2 ), ii Y µ Y µ σ N (0,1). Merkitää Z ( σ = Y 30 ). Tehtävissä 1a-c tarvittavat todeäköisyydet saadaa seuraavilla kaavoilla: Pr(Y z) = Φ(z), Pr(Y z) = 1 Φ(z) ja Pr(z 1 Y z 2 ) = Φ(z 2 ) Φ(z 1 ) Laske seuraavat todeäköisyydet: (a) Laske Pr(Y 25) Pr(Y 30) = Pr( Y 30 (b) Laske Pr(Y 26) ) = Φ( 1.767) 4% Pr(Y 26) = 1 Pr(Y 26) = 1 Pr( Y 30 1 Φ( 1.414) 92% (c) Laske Pr(30 Y 33) Pr(30 Y 33) = Pr(Y 33) Pr(Y 30) = Pr( Y 30 = Pr(Z 1.061) Pr(Z 0) = Φ(1.061) Φ(0) 0.556% 0.5% 0.36% ) = 1 Pr(Z 1.414) ) Pr( Y ) Kurssikirja sivut käsittelevät kohtia a-c Muuttuja Y havaiot (Y i = 1,...,) ovat jakautueet riippumattomasti ja samoi (eli i.i.d.). Perusjoukossa o µ Y = 100 ja σ 2 Y = 51. Käytä keskeista raja-arvolauseketta (egl. cetral limit theorem) seuraavissa laskuissa. Huom: kirjoita auki lauseke ja miksi/mite hyödyät sitä. Perusjoukossa siis µ Y = 100 ja σ 2 Y = 51. Emme kuitekaa tiedä Y-muuttuja jakaumaa, oko se ormaalijakautuut vai ei. Keskeise raja-arvolausee mukaa ku Y o i.i.d, ii, muuttuja otoskeskiarvo Ȳ jakauma lähestyy ormaalijakaumaa site, että Ȳ N (µ Y,σ 2 Ȳ ), missä σ2 Ȳ = σ2 Y Stadardisoidu otoskeskiarvo Ȳ µ Y σ Y jakaumaa voidaa siis approksimoida stadardiormaalijakaumalla N(0,1). Oleaista o huomata otosvariassi lasketa σ 2 Ȳ = σ2 Y. Ku µ Y = 100 ja σ 2 Y = 51 otoskoo kasvaessa Ȳ (100, 51 muuttujaa Z:lla. Ȳ 100 ) ja 51 N (0, 1). Merkitää jällee stadardiormaalijakautuutta. 1
2 (d) Satuaisotokse koko o = 100. Mikä o todeäköisyys, että otoksesta laskettu keskiarvo (Ȳ ) o välillä ? Toisi saoe, laske Pr(99 Y 101). Lasketaa aluksi otoskeskihajota 51 ku =100. σȳ = Pr(99 Ȳ 101) = Pr( Ȳ ) Pr(1.400 Z 1.400) = Φ(1.400) Φ( 1.400) 92% % 4% (e) Satuaisotokse koko o = 400. Laske Pr(99 Y 101)). Mite otoskoko vaikuttaa vastauksiisi? Lasketaa otoskeskihajota ku =400. σȳ = Pr(99 Ȳ 101) = Pr( Ȳ ) Pr(2.01 Z 2.01) = Φ(2.01) Φ( 2.01) 99.75% % = 99.5% Huomaamme, että otoskoo kasvattamie pieetää otoskeskihajotaa ja tällöi myös ratkaistava todeäköisyyde arvo kasvaa verrattua edellisee kohtaa. Kurssikirja sivut 4-53 käsittelevät kohtie d) ja e) teemoja Y o riippumattomasti ja samoi jakautuut (i.i.d) Beroulli-satuaismuuttuja, jolle p = 0,32. (Beroullijakautuee muuttuja havaiot saavat vai arvoja 1 tai 0, ja iille o tapaa käyttää merkitää p = Pr(Y = 1). Vastaavasti Pr(Y = 0) = 1 p. Beroulli-muuttuja omiaisuus o myös, että µ y = p ja σ 2 Y = p (1 p) (f) Käytä keskeistä raja-arvolauseketta ja laske Pr(0, 27 Y 0, 37) =290 kokoisessa otoksessa.(ȳ viittaa jällee otoskeskiarvoo) Tälle Beroulli-muuttujalle µ Y = p = 0.32 ja σ 2 Y = p (1 p) = = Koska muuttuja o jakautuut i.i.d keskeistä raja-arvolausetta voi soveltaa aiemma tehtävä tapaa. Nyt otoskeskiarvo Ȳ viittaa Y = 1 tapahtumie osuutee otoksessa. Lasketaa aluksi otoskeskihajota σȳ = 290 = Pr(0.027 Ȳ 0.37) = Pr( Ȳ ) Pr(1.31 Z 1.31) = Φ(1.31) Φ( 1.31) 96.64% 3.336% 93% 2
3 2. Odotusarvo, ehdollie odotusarvo, ehdollie todeakoisyys, riippuvat ja riippumattomat muuttujat Alla olevassa taulukossa o aettu tiedot (hypoteettise) väestö koulutustasosta jaoteltua isä koulutukse mukaa, eli lapse ja häe isäsä koulutuksie yhteisjakaumasta. Tarvittavat todeäköisyydet löytyvät suoraa tauluko soluista. Ei yliopistotutkitoa (Y=0) O yliopistotutkito (Y=1) Yhteesä Isällä ei yliopistotutkitoa (X=0) Pr(X=0,Y=0)=37.5 % Pr(X=0,Y=1)= 12.3 % Pr(X=0) 49. % Isällä yliopistotutkito (X=1) Pr(X=1,Y=0)= 16.0 % Pr(X=1,Y=1)= 34.2 % Pr(X=1) 50.2 % Yhteesä Pr(Y=0) 53.5 % Pr(Y=1) 46.5 % 100 % Muista kirjoittaa auki tehtävässä käyttämäsi kaavat. (a) Laske odotusarvo E(Y ). Mikä o se tulkita? Etä 1 - E(Y )? E(Y ) = k i=1 y i Pr(Y = y i ) (1) E(Y ) = 0 Pr (Y = 0) + 1 Pr (Y = 1) (2) = (3) = (4) Beroulli-muuttujalle E(Y ) = P r (Y = 1). Saamme se myös suoraa tauluko sarakkeesta "O yliopistotutkito". Odotusarvo kuvastaa tässä tapauksessa väestö keskimääräistä koulutusastetta, eli osuutta väestöstä jolla o yliopistotutkito. Vastaavasti E(Y ) = Pr(Y = 0) kuvastaa osuutta väestöstä jolla ei ole yliopistotutkitoa. (b) Laske E(Y X = 1) ja E(Y X = 0) Mikä o äide tulkita? Ehdollise todeäköisyyde kaava o seuraava: E(Y X = x) = = k i=1 y i Pr (Y = y i X = x) (5) k i=1 y i Pr (Y =y i,x =x) Pr (X =x) (6) Beroulli-muuttuja tapauksessa kaava o seuraava : E(Y X = x) = 0 Pr (Y =0,X =x) Pr (X =x) + 1 Pr (Y =1,X =x) Pr (X =x) (7) Kaavassa käytettävät todeäköisyydet löytyvät suoraa edellisestä taulukosta. E(Y X = 1) = E(Y X = 0) = Pr (Y =1,X =1) Pr (X =1) = % Pr (Y =1,X =0) Pr (X =0) = % 3
4 Ehdolliset odotusarvot kuvastavat korkeasti kouluttautueide osuutta iide joukossa joilla o korkeasti koulutettu isä(x=1) ja joide isä ei ole korkeastikoulutettu. Koska kyseessä Beroullimuuttuja, ii silloi aiemmi lasketuissa todeäköisyyksissä Y saa aia arvo 1. (c) Laske keskimääräie korkeasti kouluttautueide osuus iille, joilla o korkeasti kouluttautuut isä sekä iille, joide isä ei ole korkeasti kouluttautuut Tämä vastaa b-kohtaa (d) Poimimme satuaisesti valitu hekilö ja toteamme että häellä o yliopistotutkito. Millä todeäköisyydella tämä hekilo isä o suorittaut yliopistotutkio? Tiedetää, että hekilöllä o yliopistotutkito eli Y=1. Mikä o ehdollie todeäköisyys että isällä o yliopistotutkito (X=1), ku lapsella o tutkito (Y=1)? Pr(X = 1 Y = 1) = Pr(X =1 Y =1) Pr(Y =1) = 34.2% 46.5% = 73.5% (e) Ovatko lapse ja isä koulutustaso toisistaa riippumattomia? Jotta oma ja vahemma koulutustaso eli X ja Y olisivat toisistaa riippumattomia, täytyy seuraava ehdo täyttyä: Pr(X = x Y = y) = Pr(Y = y) Pr(X = 1 Y = 1) = Pr(X =1 Y =1) Pr(Y =1) = 73.5% 46.5% = Pr(Y = 1) Kurssikirja sivut käsittelevät tämä harjoitukse teemoja. 3. Hypoteesitestaus, t-testi ja p-arvo, luottamusväli ja keskivirhe (a) Meillä o oletus (väittämä), että kauppakorkeakoulu opiskelijoide keskimääräie pituus o µ Y = 175 cm. Altistamme väittämä hypoteesitestille. Suoritamme se poimimalla satuaisotokse opiskelijoita. Saamme =100 kokoisesta otoksesta otoskeskiarvo Ȳ = 174 cm ja otoskeskihajoa sȳ = 3,6 cm. Mikä o hypoteesitesti muoto? Mikä o t-testi tulos, eli mitä voimme saoa väittämästämme? Jos meillä olisiki =450 kokoie otos (ja sama mittaustulos), mitä tapahtuisi testille? Hypoteesimme koskee perusjouko omiaisuutta µ Y, ja testaamme olettamaamme siitä otokse avulla. Otokse mittaustulos Ȳ = 174, sȳ = 3.6 cm. Mitä voimme saoa µ Y :stä tämä perusteella? Hypoteesiasetelmamme o H 0 : µ Y = 175 ja H 1 : µ Y 175, eli suoritamme kaksisuutaise t-testi hypoteesillemme. Lasketaa t-testisuure, ku perusjouko hajota(σ 2 ) o tutemato. Tällöi keskivirhee laskemie perustuu mitattuu otoskeskihajotaa. SE(Ȳ )= = t = Ȳ µ Y,0 = Testausmeetelmä o seuraava: SE(Ȳ ) = i) Vertaa testisuuretta valittuu kriittisee arvoo, hylkää H 0 jos t > t cr i t tai ii) Laske testisuuree p-arvo, hylkää H 0 jos p-arvo< valittu merkitsevyystaso 5% merkitsevyyttä vastaava kriittie arvo o suurella otoksella kaksisuutaisessa testissä i) Koska t = > 1.96 voimme hylätä ollahypoteesi 5%-tasolla 4
5 ii)p-arvo=2 Φ( t ) = 2 Φ( ) = %. Voimme hylätä ollahypoteesi, koska % < 0.05%. Tuloksia voidaa tulkita seuraavasti. P-arvo tarkoittaa pieitä tilastollise merkitsevyyde tasoa, jolla ollahypoteesi voidaa hylätä. Testi tuloksea ollahypoteesi jää voimaa, koska saatu p-arvo o %. Yleesä hypoteesi testauksessa käytetää 1%, 5%, 10% merkitsevyystasoja. Toie p-arvo tulkita o, että jos ollahypoteesimme pitää paikkasa, olisi % todeäköisyys saada äi poikkeava arvo otoksesta. Ku otoskoko o 450, ii silloi saadaa seuraava testisuure: t = Ȳ µ Y,0 SE(Ȳ ) = = 5.92 Otoskoo kasvaessa t myös kasvaa. Myös tässä tapauksessa hylkäämme ollahypoteesi, mutta yt aiempaa vielä suuremmalla varmuudella. Nyt p-arvo o 2 Φ( t ) = 2 Φ( 5.92 ) = p < %. Jos tehtävä arvot olisivat Ȳ = cm ja sȳ = 3,6 cm, ii silloi 100 havaio otokse tapauksessa ollahypoteesi jää voimaa(laske itse) ja 450 havaio otoksessa ollahypoteesi hylätää. T-jakauma vai ormaalijakauma? Huomaa, että tämä t-testisuure o laskettu kokoisesta otoksesta estimoidulla keskivirheellä, jote pieellä otoksella t oudattaisi t-jakaumaa 1 vapausasteella (merkitää t t 1 ). Suurilla otoksilla ja silloi ku voimme käyttää keskivirhee lasketaa populaatio hajotatietoa, oudattaa testisuure likimai stadardiormaalijakaumaa. Käytäössä jo =100-otoksella o stadardiormaalijakauma hyvä approksimaatio (=100 tapauksessa t-testisuuree kriittie arvo o 1.9). Kurssikirja sivu 92 käsittelee tätä aihetta. Huomaa, että Stata laskee t- testisuureille, p-arvoille ja luottamusväleille otoskokoo ja t-jakaumaa perustuvat arvot. (b) Tutkimme yläastelaiste päättötodistuste keskiarvoja pääkaupukiseudulla ja saimme =370 kokoisesta satuaisotoksesta otoskeskiarvo Ȳ = ja otoskeskihajoa sȳ = 1,6. Mikä o tällä perusteella 95% luottamusväli koko pääkaupukiseudu keskiarvolle µ y? Mikä o luottamusväli tulkita? Luottamusväli kaava: Ȳ t cr i t SE(Ȳ ) µ Y Ȳ + t cr i t SE(Ȳ ), missä t cr i t viittaa kriittisee t-arvoo. Perusjouko hajota o tutemato, jote keskivirhe lasketaa estimoide otokse hajoasta a)-kohda tapaa. Keskivirhe o SE(Ȳ ) = s Y = 1.6 = Ku meillä o suu- 370 ri otos eli =370 ja haluamme laskea 95% luottamusväli, käytämmä kriittistä arvoa Eli luottamusvälii kuuluvat arvot, jotka ovat 1.96 keskivirhee päässä otoskeskiarvosta. 95% luottamusväli o seuraava: µ Y µ Y Luottamusväli voidaa myös merkitä µ y = ± 1.63 Tämä tarkoittaa, että jos toistaisimme 370 hege otoksia loputtomasti, 95 prosetissa otoksista otoskeskiarvo osuisi tälle valille. Käytäössä saomme, että päättötodistuste keskiarvo o 95% todeäköisyydellä tällä välillä. (c) Poimimme b-kohda lisäksi myös 250 satuaista yläastee päättötodistukse keskiarvoa Jyväskyläseudulta,missä otoskeskiarvoksi tuli Ȳ J =7, ja otoskeskihajoaksi sȳ,j =2. Merkitää 5
6 b-kohda pääkaupukiseudu tuloksia Ȳ pk ja sȳ,pk.ȳ PK ja Ȳ J ovat satuaismuuttujia, ja myös äide kahde seudu otoskeskiarvoje erotus Y PK - Y J o satuaismuuttuja. Ȳ PK - Ȳ J : keskivirhe o SE(Ȳ PK - Ȳ J ) = SE(Ȳ PK ) 2 + SE(Ȳ J ) 2. Oko ero pääkaupukiseudu ja Jyvaskylä seudu välillä tilastollisesti merkitsevä? (Eli voitko hylätä hypoteesi Ȳ PK - Ȳ J = 0 vastahypoteesi Ȳ PK - Ȳ J 0 hyväksi?) Satuaismuuttujamme o kahde estimaattori erotus. Keskivirhee kaava avulla voimme laskea hypoteesitesti tai luottamusvali samaa tapaa kui a- ja b- kohdissa. Lasketaa Jyväskylä keskivirhe SE( Y J )= = Eli ku otoskeskiarvoje erotus o 7. = 0.2 ja erotukse keskivirhe o o t-testisuure hypoteesille, että alueide keskiarvot ovat yhtäsuuret(eli erotus o olla): t = (Ȳ PK ȲJ ) SE(Ȳ PK Ȳ J ) = P-arvo suoritetulle testille o 2 Φ( t ) = 2 Φ( 1.32 ) = Emme voi hylätä ollahypoteesia yhtäsuuruudesta 5% tasolla, eli toteamme että pääkaupukiseudu ja Jyväskylä seudu keskiarvot ovat yhtä suuret. (d) Mikä o 95% luottamusväli ja 5% taso hypoteesitesti välie suhde? 95%: luottamusväli sisältää kaikki e arvot, joita ei voida hylätä 5% merkitsevyystasolla. Ks. alla oleva kuva 1: stadardiormaalijakaumassa 95% pita-alasta o välillä -1,96 1,96 (siie alue). Vastaavasti tämä haaruka ulkopuolelle (valkoiset häät) jää 2 2, 5% = 5% jakauma todeäköisyysmassasta. 5% merkitsevyysastetta vastaava kriittie arvo o 1,96: jos stadardiormaalijakaumaa oudattava testisuure o kauempaa ollasta kui 1,96 (tai -1,96), o alle 5% todeäköisyys saada arvo äi kaukaa keskiarvosta. Tällöi hylkäämme ollahypoteesi. Jos taas testisuure o välillä [-1,96, 1,96], o suurempi kui 5% todeäkoisyys saada tämä arvo testisuureelle ollahypoteesi ollessa voimassa, jote emme hylkää ollahypoteesia. 95%: luottamusväli sisältää kaikki arvot, joita ei voida hylätä 5% merkitsevyystasolla: arvot, jotka ovat ±1,96 keskivirhee sisällä lasketusta estimaatista. Kuva 1: Jos Z N(0,1) ii 95% todeäköisyysmassasta o välillä [-1.96,1.96] (e) Kumpi o leveämpi, 99% vai 95% luottamusväli? 99% luottamusvali o leveämpi. 95% luottamusvali sisältää kaikki e arvot, joita ei voida hylätä 5% merkitsevyysasteella eli 1,96 keskivirhee sisällä olevat. 99% luottamusväli sisältää e arvot, joita ei voida hylätä 1% merkitsevyysasteella eli 2,5 keskivirhee päässä olevat arvot. Se sisältää siis eemma arvoja, kauempaa lasketusta estimaatista olevia arvoja. Kuva 2 havaiollistaa tätä. 6
7 Kuva 2: Luottamusvälit Sivuhuomio otaatiosta. Satuaismuuttujaa merkitaa tässä tehtävässä Y:lla, populaatiokeskiarvo o µ Y ja populaatio keskihajota σ Y (variassi σ 2 Y ). Otokse keskiarvoo viitataa Ȳ :lla ja otoskeskihajotaa sȳ :llä. Otoskeskiarvo Ȳ o estimaattimme populaatio keskiarvoksi jota voidaa myös merkita µ ˆ Y. Tyypillisesti yläviiva (egl. bar) viittaa keskiarvoo ja hattu (egl. hat) estimaattii. Esimerkiksi regressiossa saadut kertoimet ovat estimaatteja ja iitä merkitää ˆβ. Kurssikirja sivut 71-4 käsittelevät tämä harjoitukse asioita 4. Todellie arvo ja estimaatti, hypoteesitestaus, todeäköisyys, keskeie raja-arvolauseke, keskivirhe ku populaatio jakauma o tuettu ja estimoiti otoksesta ku se o tutemato Amerikkalaie gallup-yritys suoritti kyselytutkimukse, jossa 600 ääioikeutetulta demokraatilta kysyttii, kumpaa kahdesta ehdokkaasta he aikovat ääestää puoluee presidettiehdokkaaksi. 270 ääestäjää kertoi ääestaväsä Berieta ja 330 kertoi ääestäväsä Hillarya. Koska ehdokkaita o kaksi, ehdokas joka saa yli 50% ääistä voittaa vaalit. Ääestyspäätostä voidaa kuvata Beroulli-muuttujalla, jolle Y=1 jos ääestää Berieta ja Y=0 jos ääestää Hillarya. Tuleva ääestystulos o mielekiio kohteemme, jota voimme arvioida kyselytutkimukse perusteella: estimoimme oikeaa ääestystulosta p = Pr(Y = 1) kyselytutkimukse otoskeskiarvolla ˆp. (Ks. tehtävässä 1 kuvatut tiedot Beroullimuuttuja omiaisuuksista.) (a) Mikä o kyselytutkimukse perusteella estimaatti perusjouko keskiarvoksi ˆp? Tulkitse se merkitys saoi. Estimoi myös ˆp keskivirhe. = 600, josta 270 kertoi ääestäväsä Berietä, 330 ääestäväsä Hillarya. Määrittelimme ääestysmuuttuja ii päi, että Y=1 jos ääestää Berietä ja Y=0 jos ääestää Hillarya. Y: todellista jakaumaa eli oikeaa ääestyskäyttäytymistä kuvaa: Pr(Y=1)=p=µ y,pr(y=0)=1-p ja var(y)=p(1- p) ˆp = = 45%. Kyselytutkimukse keskiarvo perusteella arvioimme ääestystulokse oleva 44% ääistä Berielle ja 56% ääistä Hillarylle. Emme tue todellista jakaumaa, jote estimoille todellista hajotaa otokse keskihajoa avulla. SE ( ˆp ) = sȳ = Beroulli-muuttuja variassi o σ 2 Y = p (1 p), jota siis estimoidaa otokse variassilla s2 Ȳ = ˆp (1 ˆp). Siispä: SE( ˆp) = sȳ 2 = ˆp (1 ˆp) = 600 = s 2 Ȳ 7
8 (b) Atoiko kyselytutkimus tilastollisesti merkitsevää äyttöä siitä, että Hillary oli kaatusluvuissa vastaehdokkaa edellä? (Muodosta hypoteesi, suorita hypoteesi testaus ja tulkitse tulos.) Laske myös 95 %: luottamusvali ääestystulokselle. Suoritamme siis yksisuutaise hypoteesitesti eli: H 0 : p = 0,5 vs. H 1 : p < 0,5. Koska =600, käytetää stadardiormaaliapproksimaatiota testisuuree kassa. Tällöi yksisuutaiselle testille kriittie arvo o 1,645. Yksisuutaise testi ( < -suutaa ) p-arvo kaava: p-arvo=φ(t) = Φ( ˆp µ SE( ˆp) ) = Φ( ) Φ( 2.463) Koska yksisuutaisessa testissä p-arvo = < 0.01 (ja koska t = > 1,645) hylkäämme ollahypoteesi, H 0 : p = 0,5 1% merkitsevyystasolla, ja vaihtoehtoishypoteesi p < 0,5 jää voimaa. Hillary o siis Berietä edellä. 95% luottamusväli Berie ääiosuudelle p o 0,45±1,96 0,0203 eli 0,41-0,49. p=0,5 ei siis ole 95% luottamusvälillä. (c) Diktaattori toteuttaa maassaa vaalit. Hä väittää 70% ääestäee uudelleevalitsemisesa puolesta. Kasaivälise ihmisoikeusorgaisaatio edustajaa epäilet vaalitulokse ollee sormeiltu ja oistut suorittamaa 290 hege satuaisotaa ääioikeutetusta populaatiosta. Kute edellä, ääestystä voidaa kuvata Beroulli-muuttujalla Y, jolla Y=1 jos ääestää diktaattoria ja Y=0 jos ääestää vastaehdokasta. Väitetty ääestystulos o siis p = 0,70. Merkitää kyselytutkimukse tulosta ˆp:lla. Otoksessasi 190 ääioikeutettua kertoi ääestäeesä uudelleevalia puolesta. Mitä voimme päätellä diktaattori väittämästä? (Käytä keskeistä raja-arvolauseketta ˆp suhtee. Jos p = 0,70 pitäisi paikkasa, mikä olisi todeäköisyys löytää ˆp ? Vertaa tehtävää 1.d-f.) Kute edellä, ääestystä voidaa kuvata Beroulli-muuttujalla Y, jolla Y=1 jos ääestää diktaattoria ja Y=0 jos ääestää vastaehdokasta. Y: todellista jakaumaa eli oikeaa ääestyskäyttäytymistä kuvaa: Pr (Y = 1) = ˆp, Pr(Y = 0) = 1 p ja µ Y = p,var(p) = p (1 p). Diktaattori väittämä mukaa siis p = 0,70. Merkitää kyselytutkimukse tulosta ˆp:lla.190 äätä 290:sta oli kyllä, eli ˆp = = 0.66 < 0.7. Meillä o Y: väitetty jakauma µ Y = 0.70, jolloi σ 2 Y = p (1 p) = Keskeise raja-arvolausekkee mukaa: ku muuttuja Y o i.i.d, ii ku, muuttuja otoskeskiarvo Ȳ jakauma lähestyy ormaalijakaumaa, toisi saoe Ȳ N (µ Y,σ 2 ), mis- Ȳ sä σ 2 Ȳ = σ2 Ȳ. Stadardisoidu otoskeskiarvo jakauma lähestyy siis stadardiormaalijakaumaa N(0,1). Voimme 290 hege otokse turvi tutkia hypoteesia stadardiormaalijakauma omiaisuuksie avulla: Ȳ N (0.66,0.21) ja Z = Ȳ hajotatietoihi:se(p) = σ Y σ 2 Y = 290 N (0, 1). Nyt keskivirhe perustuu populaatio = Jos pitäisi paikkasa, että 70% väestöstö ääesti diktaattori puolesta (p = µ Y = 0.70), mikä o todeäköisyys, että 290 hege otoksessa kyllä-ääiosuus olisi korkeitaa 0.66%. Jos Ȳ N (0.66,0.22), mikä o Pr(Ȳ 0.65)? Pr( ˆp 0.66) = Pr( ˆp ) = Pr(Z 1.49) Φ( 1.49) 6.5% Todeäköisyys saada 190 kyllä-äätä 290 hege otoksessa, jos todellie kyllä-ääestysaste olisi ollut 70% o siis 6.5%. Huomaa otaatio (kute edellisessä tehtävässä ja 1.f-tehtävässä). Eli p o todellie tulos ja ˆp o estimaattimme ääestystuloksesta. (p = Pr(Y = 1) = µ y ja ˆp = Pr (Ŷ = 1) = Ȳ ) Beroulli-
9 muuttuja variassi o σ 2 Y = var(p) =p (1 p). Huomaa että a.- ja b.-kohdassa voimme estimoida p:tä ja var(p):tä ˆp: avulla, c.-kohdassa p ja var(p) ovat tuettuja. 9
8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotTilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
Lisätiedotpq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489
Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
Lisätiedot6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Lisätiedot1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotLuottamusvälit. Normaalijakauma johnkin kohtaan
Luottamusvälit Normaalijakauma johnkin kohtaan Perusjoukko ja otanta Jos halutaan tutkia esimerkiksi Suomessa elävien naarashirvien painoa, se voidaan (periaatteessa) tehdä kahdella tavalla: 1. tutkimalla
LisätiedotSisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.
Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotKaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
LisätiedotKURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA
KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA X = S = s = Otossuureita X i tai x = x i (otoskeskiarvo) (X i X) = (x i x) = Xi x i E(X) =µ, var(x) = σ X x tai, E(S )=σ (otosvariassi) Normaalijakautuee populaatio
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotValitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi.
9.10.2018/1 MTTTP1, luento 9.10.2018 KERTAUSTA TESTAUKSESTA, p-arvo Asetetaan H 0 H 1 Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi. Lasketaan otoksesta testisuureelle arvo. 9.10.2018/2
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotTeoria. Tilastotietojen keruu
S-38.348 Tietoverkkoje simuloiti / Tuloste keruu ja aalyysi Teoria Johdato simuloitii Simuloii kulku -- prosessi realisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tuloste keruu ja aalyysi
LisätiedotOtoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät
Lisätiedot4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
Sisältö Peruskäsitteet Diskreetit satuaismuuttujat Diskreetit jakaumat (lkm-jakaumat) Jatkuvat satuaismuuttujat Jatkuvat jakaumat (aikajakaumat) Muut satuaismuuttujat lueto04.ppt S-38.45 - Liikeeteoria
LisätiedotMTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotOtoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654
1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotParametrin estimointi ja bootstrap-otanta
Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
16.11.2017/1 MTTTP5, luento 16.11.2017 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla ~,, ~,,. 16.11.2017/2 Esim. Tutkittiin uuden menetelmän käyttökelpoisuutta
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
Lisätiedot