KERTAUSHARJOITUKSIA. Tilastojen esittäminen a) vuotiaita tyttöjä Koko väestö Näiden tyttöjen osuus

Transkriptio

1 KERTAUSHARJOITUKSIA Tilastoje esittämie. a) -9 vuotiaita tyttöjä 377 Koko väestö Näide tyttöje osuus 3, 0 % 9 73 b) Pojat ja tytöt: = Osuus koko väestöstä, % 9 73 c) Ikäluokka 0-4: = Osuus koko väestöstä 7,8 % 9 73 Vastaus: a) 3,0 % b), % c) 7,8 % 3. a) Kukkie lukumäärä x Frekvessi f Suhteellie frekvessi f % (%) 3, 4,0 0,0 9 9, 7 0 0,0 8 4, , 0, 3,, 3, 4 3,0 4,0 0 0, Yhteesä 00 00,0 9

2 b) f %(%) kukkie lkm 4. Luokitellaa aieisto 8 luokkaa. Piei arvo o 47 cm ja suuri 80 cm ja cm = 4, cm, jolloi sopiva pyöreä luokkaväli o cm. 8 Luokat Todelliset luokkarajat (cm) Luokkakeskus x (cm) Frekvessi f Suhteellie frekvessi sf% (%) 4-49 [44,; 49,[ [49,; 4,[ [4,; 9,[ [9,; 4,[ 73-9 [4,; 9,[ [9,; 74,[ [74,; 79,[ [79,; 84,[ 8 00 Piirretää histogrammi f ,, 9,, 73, 80, pituus (cm) 9

3 . Sektoreita vastaavat keskuskulmat: Vettä, Rasvaa 3, Proteiieja 9, Hiilihydraattia 9, rasvaa proteiiia hiilihydraatteja vettä Keskiluvut. Vuode keskilämpötila Eossa x 3,8 + (,) + ( 3,7) + 4,7+,+ 8+ 7,+ 3,3+ 9,+ 4, + (,) + ( 7,4) x = = C, C Vastaus: Keskilämpötila, C 7. Keskiarvot: x Ikä x = = a = 0, 4 a 0 x Pituus x = = cm = 7, 9 cm 0 x Paio x = = kg = 4, 7 kg 0 x Rita x = = cm = 89, cm 0 x Vyötärö x = = cm =, cm 0 97

4 x Latio x = = cm = 90, cm 0 x 9, 9 + 9, 7 + 8, , 87 Paioideksi x = = = 8, 9 0 Kaikki alipaioisia, joillaki jopa merkittävää alipaioa. Vastaus: Ikä 0,4 a, pituus 7,9 cm, paio 4,7 kg, rita 89,7 cm, vyötärö, cm, latio 90, cm, paioideksi 8,9 Kaikki alipaioisia. 8. Oppilaita 4, eljäsosa eli säilyttää keskiarvosa, kolmasosa eli 8 ostaa keskiarvosa yhdellä, loppuje eli 4 8 = 0 oppilaa uusi keskiarvo a Luoka keskiarvo x = f x 7, + 8(7, + ) + 0 a = 8, a = 9 0a = 79 a = 7,9 Lopuilla 0 oppilaalla keskiarvo pitää ousta 7,9 7, = 0,4. Vastaus: Nousua pitää olla 0,4 9. Kuude kurssi arvo saa pysyy samaa, kolme kurssi arvosaa ousee yhdellä. Vaha keskiarvo, eli kurssie keskimääräie arvosaa o a. Uusi keskiarvo 8 ( a ) x = f x a+ 3 + = 8, a + 3= 7 9a = 9 a 7,7 Vastaus: Jai ykyie keskiarvo o 7,7. 98

5 0. Taulukoidaa asiakkaide käyttämät rahamäärät Ostoste arvo ( ) Luokkakeskus x( ) Frekvessi f Summafrekvessi sf 0< x < x < x < x < x Yhteesä 9 Tyyppiarvo Mo = ja moodiluokka 0-30, koska sitä o eite. Mediaai Md = 7 ja mediaailuokka 0 90, koska tässä luokassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 9 34, =. f x Keskiarvo x = = 9 Vastaus: Mo =, Md = 7, x =. Taulukoidaa palveluajat Aika (mi) x f sf (mi) 3, 3 4 3, , 4 8, 97 7, 8 0 Yhteesä 0 Tyyppiarvo Mo = 4, mi ja moodiluokka 4 mi, koska sitä o eite Mediaai Md = 4, mi ja mediaailuokka 4 mi, koska tässä luokassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 0, =. f x Keskiarvo x = =, + 33, + 44, +, + 8, mi 44, mi 9 Vastaus: Mo = 4, mi, Md = 4, mi, x = 4,4 mi 99

6 . Luvut,, a, 3; keskiarvo a x Keskiarvo x = + b g + a + 3 = a a = 4a a = 3 Vastaus: 3 3. Luvut b, b, b; keskiarvo Keskiarvo Vastaus: b = tai b = ( ) 3 x x = b + b+ b = b b = 0 ( ) ± ( ) 4 ( ) b = 9 b = + = 9 b = = 4. Arvosaat 8,, 8, 7, x; keskiarvo 7,0 x Keskiarvo x = x = 70, 9 + x = 3 x = Vastaus: 00

7 . Arvosaat 8,, 8, 7, x; keskiarvo vähitää 7, x Keskiarvo x = x 7, 9 + x 7, 0 x +,8 7, 0 x, 7 0 Nollakohdat x, 7 = 0 x =, 7 x = 8, Koska keskiarvo pitää ousta, ii myös arvosaa pitää ousta. Arvosaa o olta yli 8, eli 9 tai 0. Vastaus: Arvosaa tulisi olla 9 tai 0. Hajotaluvut. Normitetut arvot: x x Matematiikka z mat = s = 8 7, 3 0,, x x Ruotsi zru = 7, 7, = 03, s, Koska matematiika ormitettu arvosaa o parempi kui ruotsi, Oskari meestyi paremmi matematiikassa. Vastaus: Oskari meestyi suhteellisesti paremmi matematiikassa. 7. Normitetut arvot: x x Pituushyppy z pit = 4, 40, = 07, s 07, x x Eglati ze = 77, 7, = = 00, s, Koska pituushypy ormitettu arvosaa o parempi, ii Sirkka meestyi suhteellisesti paremmi pituushypyssä. 0

8 Eglai arvosaa 9 ormitettu arvo (eli kuika mota hajota-askelta ollaa keskiarvosta): x x z egl = s = 9 7, =,, Vastaava pituushypy tulos o,-pituushypy keskihajoa askelta yli pituushypy keskiarvo: Pituushyppy: x+, s = 4, 0 m +, 0, 7 m = 4, 9 m Vastaus: Pituushypy tulos oli suhteellisesti parempi ja eglai arvosaaa 9 vastaava pituushypy tulos o 4,9 m. 8. Normitettu arvo Vastaus: Keskihajota o 0,. x x z = s x = 8,, x = 7, 7, z =, 8, 7, 7 =, s s 0, = s : s = 0, 9. Esimerkiksi aieisto A:,, 0 ja 0 aieisto B: 7,7,8 ja Luvut, 7, 7, 8, 9, 0 Moodi Mo = 7, koska sitä o eite Mediaai Md = 7,, koska se o suuruusjärjestyksee asetetu aieisto keskimmäiste lukuje keskiarvo. Laskimella: x keskiarvo x = = = 7 7,83 ( x x) ( 7 ) + (7 7 ) (0 7 ) keskihajota s = =, 47 Vastaus: Mo = 7, Md = 7,, x = 7,83, s =,47 0

9 3. Taulukoitu aieisto x f sf Yhteesä Moodi Mo = 0, koska sitä o eite Mediaai Md =, koska tässä kohdassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 3 =. Laskimella f x 90 Keskiarvo x = = =, f ( x x) 9 (0, ) + (, ) (, ) Keskihajota s = =, Vastaus: Mo = 0, Md =, x =,, s =, 3. Järjestetää aieisto suuruusjärjestyksee: 3, 3, 3, 37, 37, 37, 38, 39, 39, 40, 4, 4, 4, 43,43, 44, 4 Moodi Mo = 37, koska iitä o eite. Mediaai Md = 39 koska se o suuruusjärjestyksee asetetu aieisto keskimmäie luku. Vaihteluväli R = 4 3 = 0, suurimma ja pieimmä arvo väli. Laskimella x Keskiarvo x = = = 39 39, 7 7 Keskihajota ( x x) (3 39 ) + (37 39 ) (37 39 ) laskimella s = = , Vastaus: Mo = 37, Md = 39, R = 0, x = 39, s = 3, 03

10 33. Taulukoidaa v.00 avioliito solmieide aiste iät. Ikä x f sf (a) Yhteesä 99 Moodi Mo = 7 a ja moodiluokka o 9 a, koska sitä o eite. Mediaai Md = 7 a, koska tässä kohdassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 99 = 3 484,. Laskimella f x keskiarvo x = = a 3,8 a 99 keskihajota f ( x x) 779 (7 3,8) ( 3,8) (7 3,8) s = = 99 7,4 Vastaus: Mo = 7 a, Md = 7 a, x = 3,8 a s = 7,4 a 34. x 90, + 78, +, , a) Keskiarvo x = = 0 Vaihteluväli R =,3 mg 4,4 mg = 7,9 mg Keskihajota 04 mg = 80, mg ( x x) (9,0 8,0) + (7,8 8,0) (,3 8,0) s = = mg =,37... mg,38 0 mg b) Arvo 8 o (ormitus) 8,0 8, 0 0,0 keskihajoa päässä keskiarvosta.,38 c) Kaksi hajotaa alaspäi 8, 0 mg, 38 mg 3, mg Kaksi hajotaa ylöspäi 8,0 mg +,38 mg,8 mg

11 Arvot 3,3 mg ja,8 mg ovat kahde hajoa päässä keskiarvosta. Vastaus: a) x = 8, 0 mg, R = 7,9 mg, s =,38 mg b) 0,0 keskihajoa päässä c) Arvot 3,3 mg ja,8 mg ovat kahde hajoa päässä keskiarvosta. 3. Taulukoitu ikäjakauma Ikä x f Yhteesä 9 73 Moodi Mo = a Keskiarvo f x x = = 39, a 9 73 Keskihajota s = f ( x x) 8337 ( 39, ) 30 7 (7 39, ) (9 39, ) =,7 973 Vastaus: Mo =, x = 39,, s =,7 0

12 Korrelaatio ja regressio 3. a) Laskimella regressiosuora yhtälö y =, x, Korrelaatiokerroi r = 0,9 b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio. c) y( 40) =, 40, = 49, 9 Vastaus: a) Regressiosuora yhtälö o y =, x,. Korrelaatiokerroi o 0,9. b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio c) Eustearvo 49,9 37. a) Laskimella regressiosuora yhtälö y = 3, x 93, 3 Korrelaatiokerroi r = 0,84 b) Voimakas positiivie korrelaatio c) y( 0) = 3, 0 93, 3 0 (solua/ml) Vastaus: a) Regressiosuora yhtälö o y = 3, x 93, 3. Korrelaatiokerroi o 0,84. b) Voimakas positiivie korrelaatio c) Eustearvo 0 solua/ml 38. a) Laskimella regressiosuora yhtälö y = 404, x+ 777 Korrelaatiokerroi r = 0,999 b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio c) y(0) = 404, Vastaus: a) Regressiosuora yhtälö o y = 4, 04x Korrelaatiokerroi o 0,999. b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio c) Eustearvo 980 kg/ha 39. a) Laskimella regressiosuora yhtälö y = 0, 00083x+ 49, 9884 Korrelaatiokerroi r = 0,9999 b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio c) y( 0) = 0, , 9884 = 49, 9884 (m) d) Ku y = 0,0, ii 0, 0 = 0, 00083x + 49, , 00083x = 0, 03 : 0, x 40, ( C ) Vastaus: a) Regressiosuora yhtälö o y = 0, 00083x+ 49, Korrelaatiokerroi o 0,9999. b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio c) Eustearvo 49,9884 m d) Eustearvo 40, C. 0

13 Empiirie todeäköisyys 40. P("Vuoa 00 sytyyt suomalaisvauva o tyttö") = Vastaus: 0, , a) P("Vastasytyee pituus o 0 cm") = 03 0, b) P(("Vastasytyee pituus o vähitää cm") = 933 Vastaus: a) 0, b) 0,4 4. O A B AB yhteesä suomalaiset japailaiset saksalaiset islatilaiset eskimot itiaait = 04, 933 Lasketaa todeäköisyydet taulukkoo O A B AB suomalaiset 3 0 0, , , = 0,074 japailaiset , , , , saksalaiset 938 0, , , ,0 9 islatilaiset 00 0, , , , eskimot 30 0, , = 4 0,0 4 itiaait 0, , , = 07

14 43. Lammiko kaloje määrä x Pyydetyssä uudessa erässä o merkittyjä kaloja samassa suhteessa kui koko lammikossa. 30 = 0 x x = 300 Vastaus: Lammikossa oli oi 300 kalaa. Klassie ja geometrie todeäköisyys 44. a) P("Suomalaie o sytyyt karkauspäivää") = b) Suomalaisista o sytyyt karkauspäivää = 4, Vastaus: a) Suomalaie o sytyyt karkauspäivää todeäköisyydellä 0, b) Karkauspäivää sytyeitä oi "Riks, mutta ei raks eikä poks" = = 9 riks 7 raks 47 poks 3 Vastaus: Yhteesä 9 o Riks, mutta ei raks eikä poks. 4. A = Pii likiarvo 7 esimmäistä desimaalia oikei. umero o todeäköisyydellä 0. umero o 4 todeäköisyydellä 0 3. umero o todeäköisyydellä 0 4. umero o todeäköisyydellä 0. umero o 9 todeäköisyydellä 0. umero o todeäköisyydellä 0 08

15 7. umero o todeäköisyydellä 0 7 F I HG 0 K J = P("Näppäillää pii 7 esimmäistä desimaalia oikei") = 7 0 Vastaus: Pii likiarvo 7 esimmäistä desimaalia o oikei todeäköisyydellä a) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o ") = P(". opalla ja toisella ") = = 3 b) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o 7") = = 3. oppa 4 3 c) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o ") = = 3 8. oppa oppa 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 3 b) c) oppa 48. Yksi kortti voidaa jakaa pelaajalle vai kerra ja korttie jakojärjestyksellä ei ole merkitystä. F Yhdelle pelaajalle 3 voidaa jakaa = H G I K J tavalla 3 F Sellaisia jakoja, joissa ei ole yhtää pistekorttia o k = H G 38I K J 3 38I F P("Pelaaja ei saa yhtää pistekorttia") = H G k = F HG Vastaus: Todeäköisyydellä 0, KJ I KJ 0008,

16 49. Laatikossa umerolaput,, 4, 4, 9, 9. P("Numeroista muodostuu alkuluku") = P ( " tai 9 tai 4") = + + = 0 = 30 3 Vastaus: Todeäköisyydellä P("Ooa löytää omat lapaset kahdella ostolla") = P(". o oma ja. o oma lapae") = = 0, 0 Vastaus: Todeäköisyydellä 0,0.. a) Esimmäie hekilö voi valita paikkasa mistä tahasa jolloi toiselle jää kaksi mahdollista viidestä jäljellä olevasta. P("Kaksi hekilöä saavat vierekkäiset paikat pyöreässä pöydässä") = = b) Esimmäie hekilö istuu pöydä päädyssä (paikkoja o eljä) tai keskipaikalla (paikkoja o kaksi). P("Kaksi hekilöä saavat vierekkäiset paikat suorakulmio muotoisessa pöydässä") = = = 30 Vastaus: Todeäköisyydellä a) b) 4.. A = Pikku-Oskari äppäilee hätäumero. umero o todeäköisyydellä 0. umero o todeäköisyydellä 0 3. umero o todeäköisyydellä 0 P("Pikku-Oskari äppäilee hätäumero ") = = 000 Vastaus: a) Pikku-Oskari äppäilee hätäumero todeäköisyydellä Hekilö voidaa valita ryhmää vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. Ryhmä viidestä jäseestä o F jo kaksi tiettyä hekilöä valittu, jote jäljellä olevat kolme jäsetä voidaa valita k = H G I K J eri tavalla. 3 0

17 F Kaikkiaa kahdeksasta voidaa muodostaa = H G 8 I K J erilaista ryhmää. F P ("Tietyt kaksi tulee valituksi viide hege ryhmää") = H G I K J k = 3 F HG I K J = 0 = 8 4 Vastaus: Tietyt kaksi hekilöä tulevat valituksi viide hege ryhmää todeäköisyydellä 0, Oikea jakojärjestys S T R Vastaaottaja Jakojärjestys Suotuisat alkeistapaukset eri kohdissa Levy ostojärjestys S T R a) b) S R T R S T c) R T S T S R a) T R S c) a) P("Raakel saa oma CD:sä") = = 3 b) P("Kaikki saavat omasa") = c) P("Kukaa ei saa omaasa") = = 3 d) P("Aiaki yksi saa omasa") = P("Kukaa ei saa omaasa") = = 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 3 b) c) 3 d) ,. Laatikossa valkoista palloa Palloje kokoaismäärä P("Kahdella ostolla molemmat pallot valkoisia") = 3 = 3 = = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 90) = 3 = + = 0

18 3 = = 9 Ei käy, koska palloje määrä > 0 Vastaus: Palloja o 0.. Oistumise todeäköisyys pelissä o p Epäoistumise todeäköisyys pelissä o p Kahde peräkkäise oistumise todeäköisyys o yhtä suuri kui epäoistumise todeäköisyys. p p = p p + p = 0 Vastaus: p 08, p = ± 4 ( ) p = + 0, 8 p = 8, Ei käy, koska todeäköisyys 0 p 7. P("Pelaaja saa voito oepyörässä") = k = 0 = Vastaus: Voitto tulee todeäköisyydellä. 8. a) P("Oepyörällä saadaa 0") = k = b) P("Oepyörällä ei saada ") = k = c) P("Oepyörällä saadaa suurempi kui 3") = k = = 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) b) c) a) Ykkösrigi pita-ala k = π 0 π 9 = 9π Koko taulu pita-ala = π 0 = 00π P("Saadaa ") = k = 9π 00 = 9 00 = 09, π b) 9 ja 0 rigi pita-ala k = π = 4π Koko taulu pita-ala = π 0 = 00π P("Saadaa 9 tai 0") = k = 4π 00 = 4 00 = 004, π Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,9 b) 0,04.

19 0. Koliko keskipistee tulee sijoittua kauemmaksi kui, cm päähä eliö reuoista. Suotuie alue o eliö muotoie, eliö sivu pituus o 4,7 cm, cm =,3 cm P("Kolikko o ruudu sisällä") = k = 3, 47, Vastaus: Todeäköisyydellä 0,4. cm cm 04, 4,7 cm k, m,3 m, m Lukumäärie laskemie. Villapusero mahdollisuutta Hame mahdollisuutta Kegät mahdollisuutta Hattu 7 mahdollisuutta Erilaisia asukokoaisuuksia 7 = 00 Yhde hatu voi valita trioo vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä, jote F7 erilaisia hattutrioja 3 3 Vastaus: 00 ja 3 HG I K J =. a). umero mahdollisuutta (). umero mahdollisuutta (0 tai ) 3. umero mahdollisuutta (0 tai ) 4. umero mahdollisuutta (0 tai ). umero mahdollisuutta (0 tai ) Erilaisia viisiumeroisia lukuja, joissa o vai 0 ja o = b). umero mahdollisuutta ( tai ). umero mahdollisuutta ( tai ) 3. umero mahdollisuutta ( tai ) 4. umero mahdollisuutta ( tai ). umero mahdollisuutta ( tai ) Erilaisia lukuja, joissa umerot tai o = 3 c). umero 9 mahdollisuutta (,,3,4,,,7,8,9). umero 9 mahdollisuutta (0,,,3,4,,,7,8) 3. umero 8 mahdollisuutta (,,3,4,,,7,8) 4. umero 7 mahdollisuutta (,,3,4,,,7). umero mahdollisuutta (,,3,4,,) Erilaisia lukuja, joissa sama umero esiityy vai kerra 9987 = 7 Vastaus: a) b) 3 c) 7 3

20 3.! 7! = Kokeilemalla saadaa 0! = , jote N = 0 Vastaus: N = 0 4. a). oppilas voi istua yhtee 7 pulpetista. oppilas voi istua yhtee pulpetista 3. oppilas voi istua yhtee pulpetista 7. oppilas voi istua yhtee pulpetista Erilaisia istumajärjestyksiä 7!, b) ). oppilas voi istua yhtee 40 pulpetista. oppilas voi istua yhtee 39 pulpetista 3. oppilas voi istua yhtee 38 pulpetista 7. oppilas voi istua yhtee 4 pulpetista Erilaisia istumajärjestyksiä , (Saadaa kätevästi laskime permutaatiotoimiolla 40 Pr 7) c) Aikaa kuluu a-kohda järjestyksie läpikäymisee Vastaus: a), b), c) 3, 0 vuotta. a). kortti voidaa valita tavalla. kortti voidaa valita tavalla. kortti voidaa valita tavalla Erilaisia järjestyksiä! 8, , 0 3, 0 (vuotta) b) Yksi kortti voidaa valita vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. Erilaisia viide korti kombiaatioita F HG I = KJ c) Pataässä voidaa valita tavalla FI Loput 4 korttia voidaa valita tavalla 4KJ Erilaisia kombiaatioita 4 HG F H G I K J = Vastaus: a) 8, 0 7 b) c)

21 . a) Mies voidaa valita tavalla Naie voidaa valita 4 tavalla Erilaisia sekapareja 4 = 0 b) Yksi aie voidaa valita parii vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. F4 Erilaisia aispareja HG I K J = c). paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä. paikalle jooo voidaa valita yksi 4 miehestä 3. paikalle jooo voidaa valita yksi 3 miehestä 4. paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä. paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä Erilaisia miesjooja! = 0 Vastaus: a) 0 b) c) 0 7. Yksi tyttö (poika) voidaa valita ryhmää vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. F8I Tytöt voidaa valita = 3 tavalla HG KJ Pojat voidaa valita Ryhmä voidaa valita 8 Vastaus: FI = tavalla HG KJ F I HG KJ F H G I K J = = Eri mahdollisuudet ovat JVAO JAVO JAOV VJAO VAJO VAOJ. Mahdollisuuksia yhteesä. Vastaus: tapaa 9.. amiohappo voidaa valita 0 tavalla. amiohappo voidaa valita 0 tavalla 00. amiohappo voidaa valita 0 tavalla Erilaisia proteiieja 0 00 Vastaus: 0 00

22 70.. kirjai voidaa valita tavalla. kirjai voidaa valita 8 tavalla 3. kirjai voidaa valita 8 tavalla. umero voidaa valita 0 tavalla. umero voidaa valita 0 tavalla Erilaisia rekisterilaattoja 8800 = Vastaus: a) Paluumatkaa voi käyttää samaa reittiä Reitti A B voidaa kulkea tavalla Reitti B C voidaa kulkea 3 tavalla Reitti C B voidaa kulkea 3 tavalla Reitti B A voidaa kulkea tavalla Erilaisia reittejä 33 = 3 b) ) Paluumatkaa ei voi käyttää samaa reittiä Reitti A B voidaa kulkea tavalla Reitti B C voidaa kulkea 3 tavalla Reitti C B voidaa kulkea tavalla Reitti B A voidaa kulkea tavalla Erilaisia reittejä 3 = Vastaus: a) 3 b) 7. Hampurilaie voidaa valita tavalla Perua-aos voidaa valita 3 tavalla Juoma voidaa valita 4 tavalla Jäätelö voidaa valita 4 tavalla Erilaisia ruoka-aoksia 344 = 40 Vastaus: 40

23 Laskusäätöjä 73. a). heitto A voittaa A ei voita. heitto B voittaa B ei voita 3. heitto C voittaa C ei voita 4. heitto A voittaa A ei voita. heitto B voittaa B ei voita. heitto C voittaa C ei voita P("A voittaa") = P("A voittaa. kierroksella tai A voittaa. kierroksella tai kukaa ei saa kuutosta") = F H G I K J, b) P("B ei voita") = P("B voittaa") = P("B voittaa. kierroksella tai B voittaa. kierroksella") F I = HG K J, Vastaus: a) 0,98 b) 0,78 A voittaa 7

24 74. Pussissa o hedelmäkaramellia (H) ja 0 salmiakkikaramellia (S). a) P("Kaikki kolme karamellia ovat salmiakkia") = P("SSS") = , b) P("Joukossa o vai yksi salmiakki") = P("SHH tai HSH tai HHS") = , c) P("Joukossa o aiaki salmiakki") = P("Ei yhtää salmiakkia") = P("HHH") = , Vastaus: a) 0,74 b) 0,3 c) 0, Lelulaatikossa o kaksi puaista (P), kaksi siistä (S) ja kaksi vihreää (V) leikkiautoa. a) P("Autot samaväriset") = P("PP tai SS tai VV") = + + = 30 = b) P("Autot eriväriset") = P("Autot samaväriset") = 4 = Vastaus: a) b) 4 7. Käytettävissä kirjaimet L, A, U, D, A, T, U, R. kirjai L todeäköisyydellä 8. kirjai A todeäköisyydellä 7 3. kirjai U todeäköisyydellä 4. kirjai D todeäköisyydellä. kirjai A todeäköisyydellä 4. kirjai T todeäköisyydellä 3 7. kirjai U todeäköisyydellä 8. kirjai R todeäköisyydellä 8

25 P("LAUDATUR") = 0, Vastaus: 0, A = "Vähitää kahdella sama sytymäpäivä" A = "Kaikilla eri sytymäpäivä". hekilö sytymäpäivä voi olla mikä tahasa vuode 3:sta päivästä eli 3 3. hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 3 3 P(A) = P( A) = , 7 (Laskimella permutaatiotoimiolla (3 Pr )/3 0 ) Vastaus: 0,7 78. Kellolaitteessa kolme osaa A, B ja C. (A toimii, A ei toimi) a) P("Kaikki osat toimivat") = P("ABC") = 0, 90 0, 987 0, 99 0, 94 b) P("Mikää osa ei toimi") = P(" A B C ") = 0, 04 0, 0 0, 00, 7 0 c) P("Vähitää kaksi osaa toimii") = P("AB C tai A B C tai A BC tai ABC") = 0, 90 0, 989 0, , 90 0, 0 0, , 04 0, 989 0, , 90 0, 989 0, 99 0, 9997 Vastaus: a) 0,94 b),7 0 c) 0, Ruokailijoita = 9 hekilöä. 80. Täydeetty taulukko B B Yhteesä A 9 =7 9 A 7 = 43 =7 yht smörgareit 4 raskiksii 4 9

26 8. Taulukoidaa tiedot: P T yhteesä oli 3 4 ei yhteesä Vastaus: Poikia oli 0 ja tyttöjä Alue A Alue B Ei Kyllä Yhteesä Ei Kyllä Yhteesä Naiset Miehet Yhteesä Uihäiröitä proseteia Alue A Alue B Ei Kyllä Kyllä % Ei Kyllä Kyllä % Naiset % 00 = % 300 = Miehet 47 % 00 = % 700 = % 000 = % 000 = Taulukosta ähdää, että alueella B sekä aisilla että miehillä esiityy uihäiriöitä prosetuaalisesti eemmä kui alueella A. Toisaalta alueella A esiityy paradoksaalisesti kokoaisuudessaa prosetuaalisesti eemmä uihäiriöitä kui alueella B ( 0 % ja 9 %). 83. Yksi umero voidaa valita lottorivii vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole 39 merkitystä, jote käytetää kombiaatioita. Erilaisia lottorivejä = F H G I K J 7 a) A = "Neljä oikei" Neljä umeroa oikeasta rivistä voidaa valita F 7 HG I 4K J tavalla Kolme umeroa lottorivii kuulumattomista umeroista voidaa valita F HG I 3 tavalla 3 KJ 0

27 F7 P(A) = H G I K JF H G 3I K J k = 4 3 F39I HG 7KJ 0, 00 b) A = "Kuusi mutta ei lisäumeroa oikei" Kuusi umeroa oikeasta rivistä voidaa valita F 7 HG I K J tavalla Yksi umero lottorivii ja lisäumeroihi kuulumattomista umeroista voidaa valita tavalla F HG 9 I KJ F7 P(A) = H G I K JF H G 9I K J k = F39I HG 7KJ 3, 0 c) A = "Kuusi ja lisäumero oikei" Kuusi umeroa oikeasta rivistä voidaa valita F 7 HG I K J tavalla Kolme umeroa lisäumeroihi kuuluvista umeroista voidaa valita F7 P(A) = H G I K JF H G 3 I K J k = F39I HG 7KJ 37, 0 Vastaus: a) 0,0 b),3 0 c),37 0 F 3 HG I K J tavalla 84. Hevoe voidaa valita kaksarii F vai kerra ja järjestyksellä ei ole merkitystä, jote erilaisia kaksaririvejä o = H G 0I K J. P("Veikkaaja saa kaksari") = k = F H G Vastaus: 4 0 I KJ = 4

28 8. a) Yhdeksästä umerosta valitaa seitsemä kombiaatioita. Näitä o 9 7 kappaletta. b)vääriä umeroita o 9 4 =. Neljä oikei voidaa valita tavalla F Kolme vääri voidaa valita 0 3 HG I K J = tavalla F Erilaisia rivejä, joissa eljä oikei 0 H G I 3K J = kappaletta. F HG I K J = 3 Vastaus: a) 3 b) 0 8. a) P("Kortti o pata tai ässä") = = = 3 b) A = "Otettaessa viisi korttia kaikki ovat samaa maata". kortti o samaa maata todeäköisyydellä. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 3. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 4. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 0. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 9 P(A) = 0 9 0, Vastaus: a) 4 3 b) 0,0098

29 87.. arpa. arpa 3. arpa 4. arpa. arpa 00 voitto 99 voitto ei voittoa 98 voitto ei voittoa 97 voitto ei voittoa 9 voitto 9 97 ei voittoa ei voittoa P("Saadaa päävoitto") = = = 00, Vastaus: 0,0 Normaalijakauma 88. Jootusaja keskiarvo x = 8 ja keskihajota s = 3. x x Muuttuja ormeeraus z = s a) Odotusaika korkeitaa 0 miuuttia F 0 8 P(x < 0) = P H G I z < K J 3 F = H G I Φ K J 3 Φb07, g = 0, z 3

30 b) Odotusaika 0 miuuttia F P( < x < 0) = P < z < 3 3 I HG K J F I HG 3 K J b g b07, g c h b07, g Φbg = Φ Φ = Φ = Φ + = 0, , 843 = 0, 899 Vastaus: a) 0,748 b) 0,899 3 z 89. Pakkaukse massa vähitää 70 g. F Pb I x 70g = P z K J HG = P z 0, 833 = P z < 0, 833 = Φb0833, g = 0, 797 Vastaus: Todeäköisyydellä 0,797. b b g g 0,833 z 90. Pakkaukse massa yli 0 g 9% = 0,9 todeäköisyydellä. P( x 0 ) = 0,9 F 0 x P z 09, I HG K J = F 0 xi Φ HG K J = 09, 0 x = 4, ( ) 0 x = 3, 8 x = 3, 3 (g) Vastaus: Keskipaio pitää säätää 3,3 grammaksi. 0 x s 0,9 z 4

31 9. Pakkaukse paio o yli 300 g 90 % = 0,90 todeäköisyydellä P(x 300) = 0,90 F P z 090, s I HG K J = F I < HG s K J = F I HG s K J =, P z 090, Φ s =, 0 s = 78, (g) 8, Vastaus: Pakkauksie keskihajota o 7,8 grammaa. 9. a) Pussi paiaa 70 g tai eemmä. F P(x 70) = P H G I z K J = P( z 0 ) = P(z < 0) = 0, , g z b) Pussi paiaa vähemmä kui 80 g. F P( x < ) = H G I 80 Φ K J b = Φ 7, = 09, g,7 z c) Pussi paiaa g 7 g 0,83 0,83 z

32 b g F HG b g b g c b gh Φ b083, g P < x < 7 = P < z < = P 0,83 < z < 0,83 = Φ 083, Φ 083, = = 0, 797 = 0934, d) Pussi paiaa yli 90 g. F P(x > 90) = P z > HG = Φ F H G b g = Φ 333, = 0, 999 = 0, I K J I K J Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,00 b) 0,9 c) 0,934 d) 0,000. I K J 3,33 z 93. Mita ylittävät: F 0, P(x >,0) = P H G I z > K J 008, b g Φb g = P z > 0, = 0, = 0, 737 = 043, Mita alittavat: F, P(x < 0,97) = P H G z < 008, 097 I K J b, g Φb, g = P z < 037 = 0 37 = 0, 480 = 030, 0,37 0, z z P("Osa hylätää") = P(x >,0) + P(x < 0,97) = 0,43 + 0,30 = 0,3, % Vastaus: Osista joudutaa hylkäämää, %.

33 Biomitodeäköisyys 94. a) A = "Jukka F saa kaksi voittoa eljästä arvasta" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 4, =, = 0,, = = 0, = 08, 8 F 4 P(A) = HG I K J,,, b) A = "Jukka saa aiaki yhde voito" A = " Jukka ei saa yhtää voittoa" 4 P(A) = P( A ) = 0, 88 0, 400 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,09 b) 0, a) Maiokse kuulee 040, 0= 8 kuulijaa A = "Viisi kuulijaa F kahdeksasta ostaa tuottee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 8, =, = 00,, = = 00, = 09, =F H G I K J 8 3 P(A) = P 0, 0 0, 9 0, b) A = "Eitää F kaksi kuulijaa kahdeksasta ostaa tuottee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 8, = 0,,, = 00,, = = 00, = 09, P(A) = +F P P + 8 P = H G I K J F + H G I,,, K J,,, Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,00000 b) 0, a) A = "Viidestä F matkustajasta yksi joutuu tarkastuksee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J =, =, = 00,, = = 00, = 098, =F H G I K J 4 P(A) = P 0, 0 0, 98 0, 09 b) A = "Eitää F kaksi matkustajaa viidestä joutuu tarkastuksee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J =, = 0,,, = 00,, = = 00, = 098, P(A) = +F P P + P = H G I K J F + H G I,,, K J,,, Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,09 b) 0,

34 97. A = " opaheitolla aiaki kaksi kuutosta" A = " opaheitolla 0 tai kuutosta" k k Toistokoe P k p q, k 0,, p, q p k F = H G I K J = = = = = = F F + = 09 H G I K J F + H G I K J HG F H G I K J I ( P 0 P ) KJ, P(A) = P( A ) = Vastaus: Todeäköisyydellä 0,9. HARJOITUSKOE. x Yhteesä f Pylväsdiagrammi f arvosaa Laskimella fx Keskiarvo x = = = 8 8, Keskihajota f ( x x) 0 (4 8 ) + 8 ( 8 ) (0 8 ) s = =, 39 Vastaus: Keskiarvo 8, ja keskihajota,39 8

35 . Vuosi x CO (ppm) y a) Laskimella regressiosuora yhtälö: y = a+ bx a = 03,80 87 b =, y = 03, 8 +, 347 x b) Euste pitoisuudelle (y), ku vuosi (x) o 00: y = 03, , x = 03, , (ppm) Vastaus: a) y = 03, 8 +, 347 x b) 37 ppm k 3. P( A) = 4 Naiset: P( aie värisokea ) = 0, = 0 Miehet: P( mies värisokea ) = 0,08 70 = Vastaus: Naiset 0,00, miehet 0,08 4. Halaajat muodostavat pari. Lasketaa, kuika moella eri tavalla voidaa valita 30:stä: Vastaus: = Oepyörät ovat riippumattomia toisistaa. Yhde luvu todeäköisyys o /0 = 0,, koska umeroita 0 ja suotuisia yksi. a) P( kumpiki ollia ) = P(. olla) P(. olla) = 0, 0, = 0,0 b) Pitää saada sama umero. Tällöi. umero voi olla mikä tahasa, kuha toie o sama kui se. P( sama umero ) = P(. mikä tahasa) P( sama kui :llä ) = 0,= 0, c) Pitää saada eri umero. Tällöi. umero voi olla mikä tahasa, kuha toie ei ole sama kui se. Toisella oepyörällä o täte 9 suotuisaa kymmeestä. P( sama umero ) = P(. mikä tahasa) P( eri kui :llä ) = 0,9= 0,9 Vastaus: a) 0,0 b) 0, c) 0,9 9

36 . Siise pallo todeäköisyys o 0 % = 0,. Koska pallot aia palautetaa, siise pallo todeäköisyys säilyy samaa. P( pallo siie ) = P(S)=0, P( pallo ei ole siie ) = P(S) = 0, =0,4 a) P( vai. ja 3. ja. pallot ovat siisiä ) = P(.S) P(. ei S) P(3.S) P(4.eiS) P(.S) = 0, 0, 4 0, 0, 4 0, = 0,034 0,03 b) P(. ja 3. ja. pallot ovat siisiä ) = P(.S) P(. mikä tahasa ) P(3.S) P( 4. mikä tahasa ) P(.S) = 0, 0, 0, = 0, 0, c) P( korkeitaa eljä siistä palloa ) = P( kaikki pallot siisiä )= 0, 0, 0, 0, 0, = 0,94 0,9 d) P( vähitää yksi siie pallo )= P( ei yhtää siistä palloa) = 0, 4 0, 4 0, 4 0, 4 0, 4 = 0,9897 0,990 Vastaus: a) 0,03 b) 0, c) 0,9 d) 0, Kuusiumeroisessa luvussa, jossa kaikki umerot ovat eri suuria. voidaa valita 9:stä ( 9),. myös yhdeksästä (0 9, paitsi se mikä o esimmäie), 3. umero kahdeksasta, je. k k = 9987 P( A) = = = = 0, Vastaus: 0, 8. Nopeudet ovat jakautueet ormaalisti keskiarvoa 8, km/h ja keskihajotaa 8,0 km/h ) P( yliopeus ) = P(x > 90) = 90 8, P( z > ) = P( z > 0,) = P( 0,) = φ(0,) = 0,77 7,4 % 8, 0 0, 30

37 ) P(x > 00) = 00 8, P( z > ) = P( z >,8) = P(,8) = φ(0, ) = 0, 978 3, % 8, 0,8 Vastaus: ) 7,4 % ) 3, % HARJOITUSKOE x Keskiarvo x = = = 0 Tyyppiarvo Mo = ( x x) ( ) + ( ) (7 ) Keskihajota s = =,0 0 Vastaus: Keskiarvo o, tyyppiarvo ja keskihajota,0.. a) Regressiosuora yhtälö y = 0, x+ 438, b) Eustearvo eliiälle y( 8) = 0, 8 +, (a) c) Eustearvo katoajalle, ku y = 8 8 = 0, x +, 438 0, x = 8, :( 0, ) x 740 (vrk) Vastaus: a) y = 0, x+ 438, b) 34 a c) 740 vrk 3. A = "Nostettaessa viisi korttia saadaa MAMMA" 3. kortti o M todeäköisyydellä. kortti o A todeäköisyydellä 4 3. kortti o M todeäköisyydellä 3 4. kortti o M todeäköisyydellä. kortti o A todeäköisyydellä 3

38 P(A) = = 0 Vastaus: Todeäköisyydellä P("Puolisot kuuluvat samaa veriryhmää") = P("A ja A tai B ja B tai AB ja AB tai O ja O") = 0, 44 0, , 7 0, 7 + 0, 08 0, , 3 0, 3 = 0, 3 Vastaus: Puolisot kuuluvat samaa veriryhmää todeäköisyydellä 0,3.. A = "Aiaki kahdella sama sytymäpäivä" A = "Kaikilla eri sytymäpäivä". eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 3 3. eri sytymäpäivä todeäköisyydellä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä P(A) = P( A ) = , (Laskime permutaatiotoimiolla (3 Pr 3)/3 3 ) Vastaus: Aiaki kahdella sama sytymäpäivä todeäköisyydellä 0,73.. P("Oppilas tulee keskiviikkoa ajoissa kouluu") = P("ti ja ke ajoissa tai ti myöhässä ja ke ajoissa") = 0,7 0,9 + 0,3 0,7 = 0,84 Vastaus: Oppilas tulee keskiviikkoa ajoissa kouluu todeäköisyydellä 0, Haastatteluaja keskipituus miuuttia Haastatteluaja hajota s Haastattelu pituus o alle 30 miuuttia 9 % = 0,9 todeäköisyydellä. P(x 30) = 0,9 30 P z = 0,9 s Φ = 0,9 s 3

39 0,9 s,449 Kuvaajie perusteella =,449 s s,449s = :,449 s 3, 0 Vastaus: Keskihajoa oltava korkeitaa 3,0 miuuttia. 8. Mustie palloje lukumäärä P("Molemmat mustia palloja") = 0,0 = 00, = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 0) = 84 = + = 84 = = 4 Ei käy, koska > 0. Vastaus: Laatikossa o mustaa palloa. 33

40 HARJOITUSKOE 3 x Keskiarvo x = = 389 Keskihajota ( x x) (3 388,87...) + ( 388,87...) ( 388,87...) s = = 00. kävijämäärä kelloaika Hiljaisimmat tuit olivat klo ja vilkkaimmat tuit olivat klo 7 9, jolloi kävi 80 8 keskimääri = hekilöä tuissa. 3. Taulukoidaa oppilaitoksee valittuje suhteelliset osuudet. Osasto A Osasto B Koko oppilaitos Tytöt = % = 0% =, % Pojat = % = 9% = 8, 87% Taulukosta ähdää, että kummallaki osastolla tyttöje hyväksymisprosetti o yhde prosettiyksikö suurempi ja koko oppilaitokse kohdalla taas poikie hyväksymisprosetti o suurempi. (Tällaista saotaa s. Simpsoi paradoksiksi). 4. Astiassa 3 keltaista, puaista ja 9 siistä kuulaa. a) P("Saadaa samaväriset kuulat kahdella ostolla") = P("KK tai PP tai SS") b) P("Saadaa keltaiset kuulat") = P("KK") = F 3 I HG 8 K J = F I 9 HG K J F + H G I 8 K J F + H G I 8 K J = =

41 c) P("Kumpikaa kuulista ei ole keltaie tai molemmat ovat siisiä") = P(" KK tai SS") = P(" KK ") F I HG K J = = 8 3 Vastaus: a) 7 8 b) 3 c) Kahdeksa umero lottorivejä kaikkiaa =, joista suotuisat saadaa seuraavasti: 8 F7 Oikeat eljä umeroa voidaa valita HG I 4K J F3I eri tavalla ja väärät eljä eri tavalla. HG 4KJ F Suotuisat alkeistapaukset k = H G 7 I K J F H G 3I K J P("Neljä oikei 8 rasti systeemissä") = Vastaus: 0, k 4 4 = 0, P("Aiaki yksi poika") = P("Ei yhtää poikaa") = 4 F H G I K J = 7. Kahvipaketi paio o alle a grammaa 97, % = 0,97 todeäköisyydellä F P(x a) = 0,97 a P z HG 00I K J = 097, 0 F H G I K J = Φ a , 0 a 00 = 9, 0 0 a 00 = 9, a = , 0 a = 00 9, 480 Vastaus: Välillä 480 g, 0 g o 9 % paketeista., % 9 %, % b a z 3

42 8. Ihmiste määrä Valitaa : ihmise joukosta pareja eli kahde kombiaatioita b g gb gb g b gb 3g... F HG I K J =! =!! 3... = ( ) = 3 = 0 Vastaus: Juhlissa oli osallistujaa. ( ) ± ( ) 4 ( 3) = 9 = + = 9 = = Ei käy, koska lukumäärä > 0 3