Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI...

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI..."

Transkriptio

1 Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN LASKUSÄÄNNÖT KOMPLEKSIYHTÄLÖT5 TEHTÄVIÄ 0 RATKAISUJA3

2 Monisteesta Tämä moniste on ensisijaisesti tarkoitettu johdannoksi kompleksilukujen opiskeluun lukion pitkän matematiikan opiskelijoille Sen suunnittelu alkoi tammikuussa 003 Jyväskylän Normaalikoululla suorittaessamme opettajan pedagogisia aineopintojen viimeistä harjoittelujaksoa Sen tarkoitus on johdattaa lukija kompleksilukujen teoriaan selkeällä tavalla siten, että esitiedoiksi riittävät lukion pitkän matematiikan pakollisten kurssien tiedot Näin ollen moniste toimii myös itseopiskelumateriaalina Monisteen sisältämä teoria on sen tarkoitusta ajatellen pyritty esittämään pääasiassa seikkaperäisesti, kysymyksiä herättäen Lisäksi teorian omaksumisen helpottamiseksi monisteeseen on lisätty useita kuvia selityksineen Esimerkit, sekä tehtäväosiot on pyritty laatimaan siten, että ne tukevat teorian oppimista mahdollisimman monipuolisesti, ja useat vaikeusasteet huomioiden Lisäksi näiden avulla opiskelijalle herätetään kysymyksiä, jotka vaativat enemmän tarkastelua Itseopiskelun tueksi tehtävien ratkaisut ovat merkitty monisteen loppuosaan Ylioppilastehtävät ovat myös huomioitu tehtäväosioissa, ja ne ovat merkitty oppikirjoista tutulla hakasuljemerkinnällä, esimerkiksi [K97/6] Muita tekstin joukossa esiintyviä merkintöjä ovat kirjaviitteet, kuten (MT ), joka tarkoittaa esimerkiksi WSOY:n Matematiikan taito -kirjasarjan teoksia, jotka ovat monisteen kirjoittamisen hetkellä käytössä Jyväskylän Normaalikoululla Tulevaisuudessa tarkoituksenamme olisi lisätä monisteeseen napakoordinaattien käsittelyä, jolloin kompleksiluvuille saataisiin lisää esitystapoja, sekä näiden avulla johdettavia tuloksia Myös tehtävien ratkaisuiden esittäminen sähköisessä muodossa kuuluu suunnitelmiin Huomautuksena mainittakoon, että moniste on todellakin vain johdatus kompleksilukujen teoriaan Kompleksilukujen teoriaa löytyy useista matematiikan perusteoksista, joita suosittelemme kaikille lukijoille tietojen syventämistä varten Suositeltavista kirjoista

3 mainittakoon Tom M Apostol n teos Mathematical Analysis (second edition), sekä Richard Courant n ja Frit John n kirjoittama Introduction to Calculus and Analysis - kirja Jyväskylässä keväällä 003 Tekijät Pertti Pitkänen, Lauri Horttanainen 3

4 Kompleksiluvut Johdannoksi Olkoon tehtävänä ratkaista seuraavat yhtälöt: a ) 4 4 0, b ) , c ) 4 3 0, d ) 4 + π 0, e ) + 0 Mihin lukujoukoista N, Z, Q ja R edellä olevien yhtälöiden ratkaisut kuuluvat? Kertausta lukujoukoista Johdantotehtävä käsittelee perinteisten yhtälöiden ratkaisemisen lisäksi lukujoukkoja Niistä ensimmäinen on luonnollisten lukujen joukko N, joka sisältää ei-negatiiviset kokonaisluvut siis N {0,,, 3, } Lisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon kaikki negatiiviset kokonaisluvut, saadaan kokonaislukujen joukko Z {, -, -, 0,,, } Edellä saatua kokonaislukujen joukkoa voidaan edelleen laajentaa rationaalilukujen p joukoksi Q { : p, q Z, q 0} Voimme kuitenkin johdantotehtävän d) -kohdan q tavalla muodostaa yhtälön, jolla ei ole ratkaisua missään edellä mainituista joukoista Lisäämällä tällaiset ei-rationaaliset ratkaisut, kuten saadaan reaalilukujen joukko R π ja rationaalilukujen joukkoon, Näin lukujoukkojen laajentaminen on edennyt luonnollisten lukujen joukosta N reaalilukujen joukkoon R Uudet luvut on aina lisätty edelliseen lukujoukkoon, jolloin uusi lukujoukko on laajempi kuin edellinen sisältäen edeltävän lukujoukon Seuraavan sivun kaavio selvittää lukujoukkojen laajentamista vielä rakenteellisesti: 4

5 Lukujoukkojen laajentaminen Huomautus Luonnollisten lukujen joukkoon kuuluvat edellä kirjoitetun mukaan kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut siis myös nolla kuuluu tähän joukkoon Kuitenkin asiayhteydestä riippuen, matematiikan kirjallisuudessa nollaa ei toisinaan sisällytetä luonnollisten lukujen joukkoon, jolloin lukujoukon alkioita ovat pelkästään positiiviset kokonaisluvut Kompleksilukujen määrittely Tarkastellaan vaiheittain johdantotehtävän e) -kohdan yhtälön + 0 ratkaisemista: + 0 ± Kuten huomaamme, yhtälöllä + 0 ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa R, koska neliöjuurta ei ole määritelty negatiivisille luvuille Lukualueiden laajennuksen rakenteesta johtuen edellä mainitulla yhtälöllä ei siis myöskään ole ratkaisua missään joukoista N, Z tai Q Näin syntyy luonnollinen tarve reaalilukujen joukon R laajentamiselle Tämä laajentaminen tapahtuu muodollisesti juuri edellä kirjoitetun yhtälön ratkaisun avulla: Määritellään nyt muodollisesti, että i Määritelmästä seuraa heti, että i R (kuten edellä totesimme) ja se toteuttaa ehdon i Tätä lukua i kutsutaan imaginaariyksiköksi 5

6 Heti seurauksien huomaamisen jälkeen määritelmästä herää useita kysymyksiä, kuten mihin joukkoon tämä luku i kuuluu? ja Miten luku i sijaitsee lukusuoraan nähden? Vastaukset näihin kysymyksiin saadaan laajentamalla reaalilukujen joukko R kompleksilukujen joukoksi C ottamalla käyttöön imaginaarilukujen joukko I {a + bi : a, b R, b 0} Jos ilmaisemme reaalilukujen joukon R samanlaisessa muodossa kuin imaginaarilukujen joukon I, niin saamme esityksen R { a + bi : a R, b 0}{ a : a R} Tällöin kompleksilukujen joukko on reaalilukujen joukon R ja imaginaarilukujen joukon I yhdiste, toisin sanoen C R I { a + bi : a, b R} Tästä nähdään, että reaaliluvut todellakin kuuluvat kompleksilukujen joukkoon Laajennus näkyy kaavion muodossa seuraavasti: Reaalilukujen laajentaminen kompleksiluvuiksi Kompleksiluvut ovat siis muotoa a + bi, missä kertoimet a ja b ovat reaalilukuja kerrointa a sanotaan kompleksiluvun reaaliosaksi, ja sitä merkitään usein Re( ) a Vastaavasti kerrointa b kutsutaan kompleksiluvun Im( ) b imaginaariosaksi, ja sitä merkitään Kompleksilukujen joukkoa C kuvaa lukusuoran sijasta -ulotteinen taso, jonka akseleina ovat reaalilukujen joukko ja niiden imaginaarilukujen joukko, joiden reaaliosa on nolla (siis toinen akseli on joukko { a + bi : a, b R, a 0} { bi : b R} ): 6

7 Kompleksilukujen joukko C Geometrisesti kuvasta näkee, että reaalilukujen joukko R on todellakin osa kompleksilukujen joukkoa C Yleinen kompleksiluku a + bi voidaan esittää tason pisteparina ( a, b), mutta tämä ei ole kovinkaan havainnollinen ja käytännöllinen esitystapa Usein kirjallisuudessa kompleksiluvut esitetään muodossa a + bi, jolloin lukua ajatellaan geometrisesti pisteen ( a, b) paikkavektorina Seuraavat kuvat havainnollistavat kompleksilukujen esitystapoja: Kompleksiluku pisteparina Kompleksiluku vektorina 7

8 Lisäksi kompleksiluku a + bi voidaan esittää reaali- ja imaginaariosien avulla muodossa Re( + i 3 ) Im( 3 ) Jatkossa käytämme selvyyden vuoksi pääsääntöisesti a b kompleksiluvusta esitystä a + bi Muutkin esitystavat on hyvä muistaa, koska niitäkin käytetään yleisesti kirjallisuudessa Huomautus Edellä määrittelimme muodollisesti, että i ja totesimme, että tämä toteuttaa yhtälön i Tämän saman yhtälön toteuttaa myös luku Siis tämän nojalla kompleksiluku i ei olisi yksikäsitteinen! Tätä edellä kuvattua yksikäsitteisyyden ongelmaa ei tule, jos määrittelemme, että imaginaariyksikkö i on kompleksitason piste (0,) (ks MT 3, ensimmäinen painos, s 69) Esimerkki olkoon i (0,), (,0 ) ja + 3 i (,3) Tällöin nämä kompleksiluvut sijaitsevat kompleksitasossa seuraavasti: 3 Kompleksiluvut, ja kompleksitasossa 3 Jatkossa jätämme kertomerkin pois kompleksilukujen esityksestä Seuraavaksi tutustumme kompleksilukuihin liittyviin käsitteisiin ja määritelmiin: 8

9 Argumentti Kompleksiluvun a + bi argumentiksi sanotaan kulmaa, jonka kompleksilukua vastaava vektori muodostaa reaaliakselin kanssa Kirjallisuudessa kompleksiluvun argumentti ilmaistaan usein merkinnällä arg( ) ϕ Kompleksiluvun argumentti ei ole yksikäsitteinen, koska reaaliakselin kanssa samanarvoisen kulman muodostaa ϕ :n π pituiset monikerrat, toisin sanoen argumentti on jaksollinen, ja jakso on π Laskuissa argumentista käytetään kulmaa, joka on välillä ] π,π ] päähaaraksi Tätä kutsutaan argumentin Kompleksiluvun argumentti Kuvasta katsottuna kompleksiluvun a + bi argumentti arg() saadaan määritetyksi tangentin avulla: b b tan(ϕ ) ϕ arctan( ) Siis kompleksiluvun a + bi a a b argumentti arg( ) arctan( ) a Kompleksiluvun itseisarvo Kompleksiluvun a + bi itseisarvo eli moduli määritellään yhtälönä a + b Tämä tarkoittaa geometrisesti tulkittuna pisteen ( a, b) etäisyyttä origosta ja 9

10 käyttämässämme esitystavassa kompleksilukua a + bi vastaavan paikkavektorin pituutta Siis kompleksiluvun itseisarvo on reaaliluku (siis R ) Kompleksiluvun itseisarvo eli moduli Liittoluku Kompleksiluvun a + bi liittoluku eli kompleksikonjugaatti on kompleksiluku a bi Geometrisesti tämä tarkoittaa kompleksiluvun a + bi peilaamista reaaliakselin suhteen Liittoluvun argumentti on alkuperäisen kompleksiluvun argumentin vastaluku, toisin sanoen arg( ) arg( ) ja itseisarvo on sama kuin alkuperäisen kompleksiluvun itseisarvo, siis Lisäksi liittoluvulle pätee yhtälö (miksi?) Kompleksiluvun liittoluku (kompleksikonjugaatti) 0

11 Vastaluku Kompleksiluvun a + bi vastaluku on ( a + bi) a bi Kompleksiluvulle ja sen vastaluvulle pätee luonnollinen yhtälö + ( ) 0 ja vastaluvun itseisarvo on sama kuin alkuperäisen kompleksiluvun itseisarvo, Lisäksi arg( ) arg( ) + π (itse asiassa arg( ) arg( ) + ( n + ) π, missä n on kokonaisluku eli n Z ) Geometrisesti vastaluku saadaan peilaamalla alkuperäinen kompleksiluku origon suhteen: Kompleksiluvun vastaluku Esimerkki Määritä kompleksiluvulle a ) arg() b ) c ) Ratkaisu: 3 + i a ) Yllä olevan teorian nojalla arg( ) ϕ arctan( ), joten ϕ 0, 588 rad 3 b ) c ) 3 i

12 Kompleksilukujen laskusäännöt Seuraavassa määritellään kompleksilukujen summan ja tulon laskusäännöt Lisäksi tarkastellaan kompleksilukujen osamäärän laskemista Olkoon nyt a + bi ja c + di Tällöin :n ja :n summa on + ( a + bi) + ( c + di) a + c + bi + di ( a + c) + ( b d) i, + eli kompleksilukujen summassa reaali- ja imaginaariosat summataan keskenään Kompleksilukujen erotus määritellään kuten vastaavien tason vektoreiden, + ( ) Geometrisesti kompleksilukujen summa ja erotus on mielekästä ajatella niitä vastaavien paikkavektorien summana ja erotuksena: Kompleksilukujen ja summa Vastaavasti :n ja :n tulo saadaan määriteltyä seuraavasti (vrt binomien tulo) ( a + bi)( c + di) ac + bdi + ( ad + bc) i ac bd + ( ad + bc) i Tulo poikkeaa etumerkkiensä puolesta hieman tavanomaisesta binomien tulosta Tämä johtuu imaginaariyksikön i toteuttamasta yhtälöstä (ominaisuudesta) i

13 Kompleksilukujen ja tulon itseisarvolle, sekä argumentille on voimassa seuraavat ominaisuudet:, arg( ) arg( ) + arg( ) Sekä kompleksilukujen tulo että yhteenlasku voidaan kirjoittaa myös pisteparien muodossa, mutta se ei välttämättä havainnollista laskusääntöjen määrittelemisen perusteita (ks tehtävä ) Kompleksilukujen summan ja tulon määrittelemisen jälkeen herää kysymys: Miten lasketaan kompleksilukujen ja osamäärä? Pohditaan aluksi, miten lasketaan osamäärä, eli luvun käänteisluku Olemme edellä todenneet, että kompleksiluvun a + bi itseisarvo määritellään yhtälönä + a b Käänteisluvun laskemiseksi tutkitaan ensin kompleksiluvun ja sen liittoluvun tuloa: ( a + bi)(a bi) a ( bi) a ( b i ) a ( b ) a + b Siis kompleksiluvun ja sen liittoluvun tulo on sama kuin kompleksiluvun itseisarvon neliö Tästä yhtälöstä saamme ratkaistua edellä kirjoitetun osamäärän (Jotta osamäärä olisi määritelty, täytyy muistaa, että ei saa olla nolla, siis 0 ), eli Tämän avulla yleisten kompleksilukujen ja osamäärä saa muodon Kompleksilukujen ja osamäärän itseisarvolle ja argumentille pätee lähes vastaavat ominaisuudet kuin niiden tulollekin: 3

14 , arg( ) arg( ) arg( ) Käytännössä kompleksilukujen ja osamäärä lasketaan laventamalla ensin lauseketta nimittäjässä olevan kompleksiluvun liittoluvulla ja sieventämällä saatu lopputulos Seuraava esimerkki havainnollistaa laskusääntöjen käyttämistä: Esimerkki olkoon 5i ja i Määritä kompleksiluvuille ja + a ) Summa +, b) tulo, c ) käänteisluku ja d ) osamäärä Ratkaisu: a ) b ) + ( + 5i) + ( i) ( + ) + (5 ) i 3 4i + ( + 5i)( i) i + 5i 5i + 3i 5( ) 7 3i + c ) Lasketaan ensin :n itseisarvon neliö ja määritetään tämän jälkeen osamäärä: ( i)( + i) i ( ), jolloin osamäärälle saadaan + i + i d ) Esitämme tässä kohdassa kaksi erilaista tehtävän ratkaisutapaa: Tapa Voimme tässä ratkaisutavassa hyödyntää edellisen kohdan vastausta Määritimme siinä osamäärän muodossa a + bi Nyt kysytty osamäärä voidaan esittää muodossa 4

15 , joten tulon laskusäännön nojalla ( i)( 5i) i i i i + i Tapa Lavennetaan osamäärää ensin nimittäjän liittoluvulla ja sievennetään saatu + 5i ( + i)( + 5i) + 5i + i + 5i 5 + 7i 3 + 7i lopputulos: i ( + i)( i) i + i i ( ) i Esitetyistä tavoista jälkimmäinen on yleensä käytännöllisin Kompleksiyhtälöt Pohditaan seuraavaksi kompleksiyhtälöiden ratkaisemista, joiden aste on korkeintaan kaksi Aluksi yhtälöiden ratkaisemista ajatellen mieleen tulee kysymys Milloin kompleksiluvut a + bi ja c + di ovat yhtä suuria? Vastaus tähän löytyy kertoimien keskinäisestä vertailusta (kompleksilukujen identtisyys): a c ja b d Siis kompleksiluvut ja ovat yhtä suuret täsmälleen silloin, kun niiden reaaliosat sekä imaginaariosat ovat yhtä suuria Useiden yhtälöiden ratkaisu perustuu juuri tähän kompleksilukujen identtisyyteen Olkoon a ja b kompleksilukuja (siis a, b C ) ehdolla a 0 Tarkastellaan nyt ensimmäisen asteen yhtälön a + b 0 ratkaisemista: a + b 0 a b b a 5

16 Huomaamme, että ensimmäisen asteen yhtälö on ratkaistavissa edellä esitettyjen laskusääntöjen avulla Esimerkki Ratkaise yhtälö ( + i) + i 0 Ratkaisu: Esitämme yhtälön ratkaisemiseen kaksi erilaista tapaa: Tapa : ( + i ) + i 0 ( + i) i i Sievennetään nyt saatu osamäärä yllä + i olevalla laskusäännöllä: i + i ( i)( i) i ( i)( + i) 5 i Nyt siis yhtälön 5 5 ( + i) + i 0 Tapa ratkaisu on kompleksiluku i 5 5 Merkitään kompleksiluku muotoon c + di ja sijoitetaan tämä yhtälöön :n paikalle Sievennetään saatu yhtälö muotoon, jossa tuntemattomat parametrit ovat yhtälön vasemmalla puolella ja loput tekijöistä oikealla puolella Tällöin voimme vertailla kertoimia identtisyyden nojalla: ( + i ) + i 0 ( + i )( c + di) + i 0 c + di + ci + di + i 0 ( c d) + ( c + d) i i ( c d) + ( c + d) i 0 i c d c + d 0 c 5 d 5 Siis yhtälön toteuttaa kompleksiluku i 5 5 Esimerkki Ratkaise yhtälö i 6

17 Ratkaisu: Merkitään a + bi a bi Sijoitetaan nämä yhtälöön ja vertaillaan lopuksi kertoimia: a + bi + ( a bi) i 3 a bi + 3i 3a b 3 a 3 b 3 Siis yhtälön ratkaisu on 3i 3 Tutkitaan nyt toisen asteen yhtälöä a + b + c 0, jonka diskriminantti on D b 4ac Jos yhtälössä esiintyvät kertoimet ovat reaaliset, niin myös D on reaalinen, ja lisäehdolla D 0 yhtälön ratkaisut ovat myös reaaliset Jos taas D < 0, niin toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa juuriksi b ± D b ± ( )( D) b ± ( ) ( D) b ± i ( D) a a a a b ± i a ( D) a Siis yhtälön a + b + c 0 ratkaisuiksi saadaan kompleksiluvut, jotka ovat toistensa liittolukuja Toisen asteen ratkaisukaava on voimassa myös, kun kertoimet a, b ja c ovat kompleksilukuja ( a 0 ): a + b + c 0 + b a c a korotetaan vasen puoli neliöön (ks MT ), jolloin yhtälö saadaan muotoon b b c b b 4ac b b 4ac ( + ) ( + ) + ± a 4a a a 4a a 4a b b 4ac ± a a b ± b 4ac a 7

18 Usein kertoimien ollessa kompleksilukuja, myös diskriminantti on kompleksiluku, jonka neliöjuuren ratkaiseminen onnistuu yllä esitetyllä kertoimien vertailulla Ratkaisukaavan johtamisen tarkempi tarkastelu jää harjoitustehtäväksi Esimerkki Ratkaise yhtälö + ( i) i 0 Ratkaisu: Käytetään ratkaisukaavaa: Yhtälön + ( i) i 0 kertoimet ovat a, b i ja ( i) ± ( i) 4 ( i) c i Tällöin ratkaisuksi saadaan + i ± 3 + 4i Saamme ratkaistua yhtälön muodossa c + di, jos pystymme lausumaan neliöjuuren 3 + 4i muodossa 3 + 4i u + vi, missä u ja v ovat reaalilukuja ( u, v R ) Edellä olevasta yhtälöstä saamme 3 + 4i ( u + vi), josta sievenee muotoon u v u v 3 + uvi 3 + 4i Tästä saamme yhtälöparin uv 4 u v u v 3, josta sijoittamalla saadaan v 3 Tämä sievenee niin sanotuksi bikvadraattiseksi v yhtälöksi v 4 + 3v 4 0, jonka ratkaisut ovat v ± Tällöin u ± Valitsemme näistä ratkaisuparin u v (Miksi valitsemme näin?) Siis 3 + 4i + i, joten alkuperäinen yhtälömme ratkaisu saadaan muotoon + i ± 3 + 4i + i ± ( + i), joten i tai Tämä esimerkki ei varsinaisesti kuulu pitkän matematiikan syventävien kurssien oppimäärään 8

19 Koska kompleksiluvuille ei voida järkevästi määritellä suuruusjärjestystä, niin pelkästään kompleksilukuja sisältäviä epäyhtälöitä ei voida myöskään ratkaista (ks tehtävä X) Koska esimerkiksi kompleksilukujen itseisarvot ovat reaalilukuja, niin näiden avulla voidaan määritellä epäyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista normaalien reaalisien epäyhtälöiden tapaan Tarkastellaan nyt erään tällaisen epäyhtälön ratkaisua esimerkin avulla: Esimerkki Millä kompleksiluvuilla luku ( i ) on positiivinen? Piirrä kuvio [K97/6] Ratkaisu: Ratkaistavana on epäyhtälö ( i ) > 0 Koska > 0 aina kun 0, niin ( i ) > 0, jos i > 0 i < ( 0 ) Siis epäyhtälön toteuttavat kaikki kompleksitason pisteet, joiden etäisyys kompleksiluvusta i on pienempää, kuin Merkitään a + bi ja sijoitetaan tämä yhtälöön: a + bi i < a + ( b ) < a + ( b ) < ( a 0) + ( b ) < Epäyhtälön toteuttaa kaikki kompleksiluvut, jotka ovat -säteisen, ( 0,) -keskisen ympyrän sisällä olevat kompleksiluvut, nollaa (origoa) lukuun ottamatta Epäyhtälön ( i ) > 0 ratkaisujoukko 9

20 Tehtäviä Tehtävissä * merkatut tehtävät eivät kuulu lukion pitkän matematiikan syventävien kurssien oppimääriin p Miksi rationaalilukujen joukkoa Q { : p, q q Z, q 0} ei voida esittää järjestetyssä muodossa, kuten luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen joukkoja? Olkoon 3 + i Määritä a ) arg( ) b ) c ) d) 3 Olkoon, w C Osoita, että w w 4 Määritä + 3i, kun 3 i 3 + i 5 Määritä vakio a siten, että kompleksiluku ai on a ) reaalinen b ) puhtaasti + 3ai imaginaarinen 6 Mille kompleksitason pisteille 7 Määritä kompleksiluku, jolle π arg( )? (Piirrä kuva) 4 π arg( ) ja Mitkä kompleksitason pisteet toteuttavat yhtälön i 4? Piirrä kuva 9 Ratkaise epäyhtälö < 0 Mitkä kompleksitason pisteet toteuttavat yhtälön + i 6 + i Kirjoita kompleksilukujen summa ja tulo pisteparien avulla * Ratkaise yhtälö ( + 3i) + 6i 0 3 Laske kompleksilukujen i ja + 3i summa ja erotus Tarkista tulos geometrisesti vektoreiden avulla 4 Ratkaise yhtälö 0 +, kun a) R, b) C 0

21 4 5 Laske ( i ) 6 Millä ehdolla kompleksiluvulle pätee 7 Ratkaise yhtälö i( + )? 8 Ratkaise kompleksiluku yhtälöstä 4 i + 9 Millä :n arvoilla lauseke i saa reaalisen arvon? Milloin erityisesti tämä arvo on? [K69] 0 Missä kompleksitason alueessa? Esitä alue myös graafisesti Miksi kompleksiluvuille ei voida määritellä järjestystä? Onko i > 0? Missä kompleksitason pisteissä + on reaalinen? [K74] 3 a) Laske kompleksilukujen i ja + 3i tulo b) Johda lausekkeet kompleksilukujen a+ bija c+ diosamäärän reaali- ja imaginaariosalle c) Sovella edellisen kohdan tulosta kompleksilukujen + i ja i osamäärän laskemiseen 5 [S0/4] 4 Millä kompleksiluvuilla luku ( i) on positiivinen? Piirrä kuvio[k97/6b] 5 Määritä kompleksiluvut + iy, joille i [K94/4b] 6 Olkoon w i Määritä kompleksiluku, jolle + w on puhtaasti imaginaarinen ja w reaalinen [K93/4b] 7 Ajan hetkellä t 0 ovat pisteet () t ja () t kompleksitasolla paikoissa t t () t t+ ie, () t 3+ t+ ie Määritä pisteiden välinen etäisyys hetkellä t Milloin etäisyys on suurin? Määritä lim ( t) ( t ) [K95/9a] t 8 Määritä lausekkeen + i suurin ja pienin arvo, kun on kompleksitason käyrällä [K96/7b]

22 9 Kompleksiluku + iy on myös vektori i + y j Määritä kaikki kompleksiluvut,, joille pätee Tässä tarkoittaa vektoreiden ja skalaarituloa ja kompleksilukujen ja tuloa [S98/7b] 30 Miten määritellään kompleksiluvun + iy liittoluku? Osoita määritelmän perusteella, että kahden kompleksiluvun ja tulolle pätee yhtälö [K0/4] Ratkaise

23 Ratkaisuja Seuraavassa ratkaisuja ylioppilastehtäviin 3 a) ( i )( + 3i) + 3i i 3 i + i i b) Määritellään a + bi ja c + di Nyt a + bi c + di Lavennetaan nimittäjän liittoluvulla c di, jolloin nimittäjästä tulee reaalinen a + bi ( a + bi)( c di) ac + bd adi + bci ac + bd + ( bc ad i c + di ( c + di)( c di) c + d c + d ) ac + bd c + d bc ad + i c + d ac + bd bc ad Siis Re ja Im c + d c + d c) 5 + i ja i 5 + ( ) Re + ( ) 5 ( ) ja Im 3 + ( ) Siis + 3i 4 Tarkastellaan epäyhtälöä ( i ) > 0, joka toteutuu, kun > 0 0 ja i > 0 i < Olkoon + iy Nyt + iy i < + ( y ) i < Tarkastellaan siis kompleksiluvun + ( y ) i itseisarvoa, joka saadaan laskettua helposti kaavalla + Re( ) Im( ) Saadaan ehto ( ) + ( y ) < + ( y ) < 4, jonka toteuttava pisteparien joukko on sellaisen ympyrän sisus, jonka keskipiste on (0,) ja säde on 3

24 Vastaus: { : i < ; 0} 5 ( + iy) ( + iy)( + iy) y + yi i Jotta kaksi kompleksilukua olisivat samat, täytyy niiden reaali- ja imaginaariosien olla keskenään samat Yhtälöstä y + yi i saadaan yhtälöpari: y 0 ± y Tarkastellaan vaihtoehdot erikseen y y ) y, sijoitetaan y yy y y Ei ratkaisuja, koska y R y ) sijoitetaan y y yy y y ± ja y m (Huom Ylemmät ja alemmat etumerkit vastaavat toisiaan) 4

25 Vastaus: i tai + i 6 Olkoon + yi + w + yi + i + + ( y ) i Re( + w) + ja Im( + w) y + w on puhtaasti imaginaarinen, kun Re( + w) + 0 w ( + yi)( i) + y + ( y ) i Re( w) + y ja Im( w) y w on puhtaasti reaalinen, kun Im( w) y 0 y Sijoituksella saadaan siis y Vastaus: i 7 Seuraavassa kolme eri tapaa ratkaista tehtävä ) Etäisyys t + ie + t + ie ie t t t t (3 ) 3 (3) ( ) 9 + e + e t e t Koska on aidosti vähenevä, kun t 0, niin etäisyys on suurin, kun t 0 t t lim ( t) ( t) lim 9 + e 9 0 3, koska e 0 t t t Vastaus: Etäisyys on 9 + e t Etäisyys on suurin, kun 0 t Raja-arvo on 3 ) Määritellään etäisyysfunktio f ( t) t 9 + e Funktion f kulkua tutkimalla voidaan selvittää suurin etäisyys Derivoimalla saadaan f ( t) 9 + e t ( e t ) e t 9 + e t, joka on negatiivinen kaikilla t 0 Siispä f on aidosti vähenevä kaikilla t 0 ja f on suurin, kun t 0 3) Funktion f ( t) t 9 + e sijasta voidaan tarkastella juurrettavaa 9 + e t t t Määritellään g( t) 9 + e g ( t) e, joka on negatiivinen kaikilla t 0 5

26 Siis g (t) on aidosti vähenevä, josta seuraa, että myös g (t) on aidosti vähenevä ja g (t) on suurin, kun t 0 8 Olkoon + yi ( + yi)( yi) + y y ± Merkitään f ( ) + i Tällöin f ( ) + i + yi + + yi i + yi + + ( y ) i ( ) + y + + ( y ) ( ) + y + + ( y ) ( + y ) y + + y y + y + 4 Tässä ratkaisu jakautuu kahteen haaraan Tutkitaan ensin, mitä tapahtuu, kun y ) Kun y, on f ( ) 4 Merkitään g( ) 4 Funktio g() on jatkuva suljetulla välillä [, ] ja derivoituva välin sisäpisteissä, joten se saa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä Derivaatan nollakohdat: g ( ) ( ) ( ) korotetaan potenssiin, jolloin pitää olla > 0 ± 6

27 joista ei käy, koska > 0 g( ) 4 ( ) 4 4 Arvot päätepisteissä g( ) 6, g ( ) ) Kun y, on f ( ) 4 + Merkitään h( ) 4 + Funktio h() on jatkuva suljetulla välillä [, ] ja derivoituva välin sisäpisteissä, joten se saa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä Derivaatan nollakohdat: h ( ) 0 korotetaan potenssiin, jolloin pitää olla > 0 eli < 0 ± joista ei käy, koska < 0 h ( ) 4 + Arvot päätepisteissä h ( ) 6, h ( ) V: Pienin arvo on 4, suurin Määritellään a + bi ai + b j ja c + di ci + d j Skalaaritulo ac + bd Kompleksilukujen tulo ( a + bi)( c + di) ac bd + ( ad bc) i + 7

28 Saadaan yhtälö ac + bd ac bd + ( ad + bc) i Kompleksiluvut ovat samat, kun niiden reaaliosat ja imaginaariosat ovat samat Saadaan yhtälöpari ac + bd ac bd ad + bc 0 bd bd ad + bc 0 bd 0 ad + bc 0 Jos b d 0, niin yhtälöt toteutuvat Tällöin ja ovat reaalisia Jos b 0 ja d 0, niin yhtälöstä ad + bc 0 saadaan ad 0 Koska d 0, niin a 0 Siis 0 Jos d 0 ja b 0, niin yhtälöstä ad + bc 0 saadaan bc 0 Koska b 0, niin c 0 Siis 0 Vastaus: 0 tai 0 tai ja ovat reaalisia 30 Kompleksiluvun + iy liittoluku iy Määritellään a + bi ja c + di ( a + bi)( c + di) ac bd + ( bc + ad) i ac bd ( bc ad) i Toisaalta ( a + bi)( c + di) ( a bi)( c di) ac bd ( bc ad) i Siis Merkitään + iy Nyt siis iy Tällöin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon ( + iy) + ( iy) + 0 Sievennyksen jälkeen saadaan 8

29 y i(y y) 0 Kompleksiluku on nolla, kun sen reaali- ja imaginaariosa on nolla Saadaan yhtälöpari y y y 0 Alemmasta yhtälöstä saadaan y y 0 ( ) y 0 y 0 tai Sijoitetaan ylempään yhtälöön y 0 : Ei ratkaisua : y y 4 y ± 7 4 ± 7 Siis ratkaisuja ovat 7 + i ja 7 i 9

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Valintakoe

Valintakoe Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot