Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista"

Transkriptio

1 Solmu 1 Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematiikan opetussunnitelmista Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan perustyökalustoa Tässä artikkelissa kootaan tiiviiseen muotoon perustiedot kompleksiluvuista, johdatellaan eräiden kompleksisten funktioiden pariin, esitellään muutama kompleksilukujen geometrinen sovellus, analyyttisen geometrian perusobjektien ja geometristen peruskuvausten kompleksilukuversiot ja lopuksi hahmotellaan algebran peruslauseen todistus Tämä lause on implisiittisesti mukana, kun esimerkiksi polynomien jaollisuutta tarkastellaan, mutta sen todistamista on pidetty liian haastellisena koulumatematiikkaan Artikkelin lopussa on muutama tehtävä Niiden ratkaisut esitetään seuraavassa Solmun numerossa Kirjoittajaa on paikoin inspiroinut Marian Dincăn ja Marcel Chiriţăn teos Numere Complexe în Matematica de Liceu (Bukarest 1996 Perusteoriaa ja geometriaa Kompleksilukujen algebraa 1 Lukuparien joukossa R = {(x, y x R, y R} määritellään (x, y + (x, y = (x + x, y + y, (x, y(x, y = (xx yy, xy + x y Näin R :sta tulee algebrallinen kunta C, jossa yhteenlaskun neutraalialkio on (0, 0, alkion (x, y vasta-alkio on ( x, y; kertolaskun neutraalialkio on (1, 0 ja alkion (x, y (0, 0 käänteisalkio on ( x x + y, C:n alkiot ovat kompleksilukuja y x + y Kuvaus f : R C, f(x = (x, 0, on laskutoimitukset säilyttävä bijektio Näin ollen R = f(r on reaalilukujen joukon kanssa isomorfinen C:n osajoukko Merkitään (x, 0 = x ja samastetaan R ja R Täten C on R:n laajennus 3 Koska (0, 1(y, 0 = (0, y, on (x, y = (x, 0 + (0, 1(y, 0 = x + (0, 1y Merkitään (0, 1 = i Silloin (x, y = x + yi Jos z = x + yi, merkitään x = Re z, y = Im z Kertolaskun määritelmän mukaan i = (0, 1(0, 1 = ( 1, 0 = 1 Kompleksilukujen kertolasku voidaan suorittaa reaalilukujen laskutoimituksin lisäyksellä i = 1 Kompleksilukua i sanotaan imaginaariyksiköksi

2 Solmu 4 Kompleksiluvun z = x + yi liittoluku eli konjugaatti on z = x yi Liittoluvun muodostus noudattaa sääntöjä z 1 + z = z 1 + z, z 1 z = z 1 z Luvun z = x + yi itseisarvo eli moduli on reaaliluku z = x + y Pätee z = zz, josta seuraa mm z 1 z = z 1 z ja z 1 = z z Kompleksilukujen geometrinen esitys 5 Koska (joukkoina R ja C ovat samat, kompleksiluku z = (x, y = x + iy voidaan samastaa tason koordinaattipisteen P = (x, y tai origon O tähän koordinaattipisteeseen yhdistävän vektorin OP = x i + y j kanssa Kompleksilukujen yhteenlaskua vastaa vektorien yhteenlasku ja kertolaskua, jossa toinen tulon tekijä on reaaliluku, vektorin kertominen reaaliluvulla Joukko R on tässä mallissa x-akseli Selvästi OP = z 6 Positiivisen x-akselin ja vektorin OP välinen x- akselista positiiviseen kiertosuuntaan mitattu kulma on kompleksiluvun z argumentti arg z Koska x = Re z = z cos(arg z ja y = Im z = z sin(arg z, on z = z (cos(arg z + i sin(arg z = z (cos(arg z + nπ + i sin(arg z + nπ Nähdään heti, että arg(z = π arg z = arg z (mod π 7 Jos z 1 = z 1 (cos t 1 + i sin t 1 ja z = z (cos t + i sin t, niin z 1 z = z 1 z (cos t 1 cos t sin t 1 sin t +i(cos t 1 sin t + sin t 1 cos t = z 1 z (cos(t 1 + t + i sin(t 1 + t Tästä seuraa z 1 z = z 1 z ja arg(z 1 z = arg(z 1 + arg(z (mod π Tulos yleistyy induktiolla tuloon, jossa on mielivaltainen määrä tekijöitä Tästä seuraa erityisesti, että jos z = r(cos t + i sin t, niin z n = r n (cos nt + i sin nt, kun n N (de Moivren kaava Osamäärälle saadaan z 1 = z ( 1 z, arg z1 = arg z 1 arg z (mod π z z Kompleksiset juuret sekä eksponentti- ja logaritmifunktio 8 Jos n a on luku, jolle ( n a n = z, ja jos a = r(cos t + i sin t niin jokainen luvuista n r (cos t + kπ n + i sin t + kπ, (1 n k = 0, 1,, n 1, voi olla n a Luvut (1 ovat yhtälön z n = a ratkaisut Esimerkkejä 3 1 on joko 1, cos π 3 +i sin π 3 = i tai cos 4π 3 + i sin 4π 3 3 = 1 i i on joko cos π 4 + i sin π 4 = 1 i 5π + tai cos 4 + sin 5π 4 = 1 i 9 Koska e it = k=0 (it k k! = 1 t! + t4 4! + i(t t3 3! + t5 5! = cos t + i sin t, voidaan kirjoittaa z = r(cos t + i sin t = re it (Eulerin kaava 10 Edellisen perusteella e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y Siis e z = e x = e Re z ja arg e z = y = Im z (Voidaan osoittaa, että sarjan avulla määritelty kompleksinen eksponenttifunktio toteuttaa samat laskusäännöt kuin reaalinen eksponenttifunktiokin Olkoon w = w (cos φ + i sin φ mielivaltainen kompleksiluku Yhtälö e z = w merkitsee, että e x = w eli x = ln w ja y = arg w (mod π Kompleksiluvun w logaritmilla log w on siten äärettömän monta arvoa: log w = ln w + i arg w + nπi Arvoista yksi on aina valittavissa niin, että sen imaginaariosa on välillä [0, π[ Ne logaritmin ominaisuudet, jotka ovat seurausta eksponenttifunktion laskusäännöistä, periytyvät sellaisinaan kompleksisille logaritmeille Siten mm log(w 1 w = log w 1 + log w Esimerkkejä Koska arg( 1 = π, log( 1 = iπ + nπi log(ei = 1 + iπ + nπi 11 Yleinen potenssi z w määritellään nyt lukuna e w log z Potenssilla on yleensä äärettömän monta eri arvoa Esimerkki i i = e i log i = e i(i π +nπ = e π nπ Luvun i i likiarvoja ovat siten esim 0, (n = 3, 0,0788 (n = 0 ja (n = 4

3 Solmu 3 Kompleksitason geometriaa 1 Jos z = x + yi on kompleksitason piste, niin z = x yi on z:n symmetriapiste x-akselin suhteen, z = x yi on z:n symmetriapiste origon suhteen ja z = x + yi on z:n symmetriapiste y-akselin suhteen 13 Jos z 1 ja z ovat kompleksitason pisteitä, niin z on samalla suoralla kuin z 1 ja z, jos ja vain jos jollain reaaliluvulla k on eli z z z z 1 = k z = z kz 1 1 k ( Jos k < 0, z on pisteiden z 1 ja z välissä, jos 0 < k < 1, z on z:n ja z 1 :n välissä, ja jos 1 < k, z 1 on z:n ja z :n välissä Yhtälön ( kanssa yhtäpitäviä samalla suoralla olemisen ehtoja ovat ja z = pz 1 + qz, p, q R, p + q = 1 az + bz 1 + cz = 0, a, b, c R, a + b + c = 0, a + b + c 0 Esimerkki Janan [z 1, z ] keskipisteessä k = 1, joten keskipiste on z M = z 1 + z Jos z 3 on kolmas piste, kolmion, jonka kärjet ovat z 1, z ja z 3 painopiste on se piste, jossa jana [z 3, z M ] jakautuu suhteessa : 1; tämä piste on (k = 1 z M + 1 z G = z = 1 (z 1 + z + z 3 = (z 1 + z + z 3 14 Pisteet z 1, z, z 3 ja z 4 ovat samalla ympyrällä, jos ja vain jos joko arg z 4 z 1 = arg z 4 z 3 tai z z 1 z z 3 arg z 4 z 1 + arg z z 3 = π Tämä merkitsee, että z z 1 z 4 z 3 kaksoissuhde z 4 z 1 z z 1 z z 3 z 4 z 3 = z 4 z 1 z z 1 : z 4 z 3 z z 3 on reaalinen Jos suhde on reaalinen, pisteet z 1, z, z 3 ja z 4 ovat samalla ympyrällä tai samalla suoralla Jos pisteet eivät ole samalla suoralla ja kaksoissuhde on negatiivinen, nelikulmio z 1 z z 3 z 4 on kupera ja sen ympäri voidaan piirtää ympyrä 15 Olkoon z 1 z z n kupera positiivisesti suunnistettu monikulmio kompleksitasossa Merkitään z n+1 = z 1 Osoitetaan, että monikulmion pinta-ala on ( S = 1 n Im z k+1 z k Tämä nähdään seuraavasti: Ensinnäkin jokaiselle kompleksiluvulle z on z z k + z z k+1 = z z k + z z k+1, joten edellisen yhtälön lauseke on aina reaalinen Tästä seuraa ( n Im (z k+1 + z(z k + z ( n ( = Im z k+1 z k + Im z z k + z z k+1 ( n + Im(n z = Im z k+1 z k Koska pinta-alaksi väitetyn summan arvo ei muutu,kun jokaiseen z k :hon lisätään z, voidaan monikulmio siirtää niin, että origo on sen sisäpuolella Jos nyt z k = r k (cos t k + i sin t k, on Im(z k+1 z k = r k+1 r k sin(t k+1 t k eli kaksi kertaa sen kolmion ala, jonka kärjet ovat O, z k ja z k+1 Koska koko monikulmion ala saadaan laskemalla yhteen kaikkien kolmioiden Oz k z k+1 alat, väite seuraa 16 Samoin suunnistetut kolmiot A 1 A A 3 ja B 1 B B 3 ovat yhdenmuotoiset, jos (esim A 1 A A 1 A 3 = B 1B B 1 B 3 ja A A 1 A 3 = B 1 B B 3 Jos pistettä A i (B i vastaa kompleksiluku a i (b i, niin yhdenmuotoisuusehdoista edellinen sanoo, että kompleksiluvuilla a a 1 ja b b 1 on sama moduli, a 3 a 1 b 3 b 1 jälkimmäinen, että niillä on sama argumentti Yhdenmuotoisuus vallitsee siis, jos (ja elleivät kolmiot surkastu, vain jos a a 1 = b b 1 (3 a 3 a 1 b 3 b 1 Jos kolmiot ovat vastakkaisesti suunnistetut, saadaan pari samoin suunnistettuja kolmioita peilaamalla toinen kolmio x-akselin yli Yhdenmuotoisuusehto on tässä tapauksessa a a 1 a 3 a 1 = b b 1 b 3 b 1

4 4 Solmu Yhtälö (3 voidaan kirjoittaa symmetriseen muotoon det a 1 a a 3 b 1 b b 3 = 0 [Oletamme kolmirivisten determinanttien perusominaisuudet tunnetuiksi; ne eivät riipu siitä, ovatko determinantin alkiot reaalisia vai kompleksisia] 0 Suoran z+z+c = 0 eli (+x+i( y+c = 0 kulmakerroin on k = + i( = i + (5 Jos suoran ja x akselin välinen kulma on φ, niin k = tan φ = sin φ Yhtälöstä (5 voidaan ratkaista cos φ 17 Jos kolmio A 1 A A 3 on yhdenmuotoinen kolmion A A 3 A 1 kanssa, se on tasasivuinen Edellisin merkinnöin tämä toteutuu, kun det a 1 a a 3 a a 3 a 1 = 0 ja edelleen = cos φ + i sin φ cos φ i sin φ = eiφ e iφ = eφi, φ = i ( log Edellinen yhtälö on yhtäpitävä yhtälön a 1 + a + a 3 = a 1 a + a a 3 + a 3 a 1 kanssa ja edelleen yhtälön kanssa (a 1 a + (a a 3 + (a 3 a 1 = 0 Analyyttisen geometrian yhtälöiden kompleksimuotoja 18 Yhtälöparit ja z = x + iy, z = x iy x = 1 (z + z, y = 1 i (z z = i (z z ovat yhtäpitävät Tätä tietoa hyväksi käyttäen relaatiot f(x, y = 0 voidaan muuntaa relaatioiksi φ(z, z = 0 19 Suoran yhtälö ax + by + c = 0 muuntuu muotoon a bi (z +z (z z+c = 1 ((a biz +(a+ibz+c = 0 eli z + z + c = 0, (4 missä c on reaaliluku Jos suora kulkee pisteen z 0 kautta, on oltava c = z 0 z 0 Suoran yhtälö on siis (z z 0 + (z z 0 = 0 Jos z, z 1 ja z eivät ole samalla suoralla, ne muodostavat kolmion, joka ei ole (suoraan yhdenmuotoinen sen kolmion kanssa, jonka kärjet ovat z, z 1 ja z Edellä kolmioiden yhdenmuotoisuudesta tehty tarkastelu merkitsee, että pisteet ovat samalla suoralla, jos ja vain jos det z z 1 z z z 1 z = 0 Kahden eri suoran z + z + a = 0 ja βz + βz + b = 0 väliseksi kulmaksi saadaan φ 1 φ = i ( log i ( log β = i ( β β log β Tästä saadaan suorien yhdensuuntaisuudelle ehto β = β eli β β = 0 ja kohtisuoruudelle β = β eli + β β = 0 Ehto toteutuu esim jos β = i 1 Pisteen z 0 kautta kulkevan ja suoraa (4 vastaan kohtisuoran suoran yhtälöksi saadaan edellisestä Yhtälöparista (z z 0 (z z 0 = 0 { z z = z0 z 0, z + z = c saadaan pisteen z 0 kohtisuoraksi projektioksi suoralla (4 z 1 = z 0 z 0 c Pisteen z 0 etäisyys suorasta (4 on z 0 z 1 = z 0 z 0 + z 0 + c = z 0 + z 0 + c

5 Solmu 5 Pisteen z 0 kautta kulkeva kompleksiluvun w esittämän vektorin suuntaisen suoran pisteissä z on z z 0 = tw, missä t on reaaliluku Tämä merkitsee, että pisteissä toteutuu yhtälö eli z z 0 w = z z 0 w wz wz + wz 0 wz 0 = 0 Kun tätä verrataan yhtälöön (4 (jossa c on reaalinen!, saadaan = iw 3 Ympyrän x +y +ax+by+c = 0 yhtälöksi saadaan kuten kohdassa 19 zz + z + z + c = 0, (6 missä = 1 (a ib Jos ympyrän keskipiste on µ ja säde r, niin ympyrän yhtälö on myös (z µ(z µ = r Siis = µ ja c = µ r Pisteen z 0 potenssi ympyrän (6 suhteen on z 0 µ r = z 0 z 0 + z 0 + z 0 + c Tavalliset geometriset transformaatiot kompleksitasossa 4 Jos T : C C on jokin kompleksitason transformaatio, niin merkitään T (z = z, T (z k = z k jne Tason siirto on kuvaus T (z = z + w 5 Tason kierto origon ympäri kulman φ verran vastapäivään on T (z = e iφ z Kierto pisteen w ympäri on T (z = w + e iφ (z w = e iφ z + w(e iφ 1 Olkoon a = 1, a 1 ja T (z = az + b Silloin T (z = az + b (a 1, a 1 b joten T on kierto pisteen ympäri Kahden kierron a 1 yhdistäminen on kierto tai siirto: jos T 1 (z = a 1 z + b 1, T (z = a z + b ovat kiertoja, niin T (T 1 (z = (a a 1 z + a b 1 + b, missä a 1 a = 1 6 Kuvaus T (z = z on peilaus x-akselin yli Origon kautta kulkeva suora l: z + z = 0, on kohdan mukaan vektorin w = i suuntainen Transformaatio T (z = w(wz = w z = z koostuu kierrosta, jolla suora l kääntyy x-akseliksi, peilauksesta x-akselin yli ja kierrosta, jolla x-akseli palautuu suoraksi l Transformaatio on siis peilaus suorassa l Yleinen suora z + z + c = 0 leikkaa x-akselin pisteessä c Näin ollen peilaus tässä suorassa on + T (z = ( z + c + c + 7 Origokeskinen homotetia, jossa homotetiasuhde on k R, on T (z = kz Homotetia, jonka homotetiakeskus on w, on T (z = w + k(z w = kz + (1 kw 8 Olkoon a = a e iφ C mielivaltainen Kuvaus ( T (z = az + b = a z + b ( = a (e iφ z + b a a on translaatiosta, kierrosta ja homotetiasta yhdistetty Koska kukin näistä kuvaustyypeistä säilyttää kuvioiden yhdenmuotoisuuden, T on yhdenmuotoisuuskuvaus Numeron 16 tarkasteluista seuraa, että jokainen yhdenmuotoisuuskuvaus on joko muotoa T (z = az + b tai T (z = az + b 9 Inversio origokeskisessä 1-säteisessä ympyrässä on kuvaus T (z = 1 z Inversio z 0-keskisessä ja r-säteisessä ympyrässä määrittyy kaavalla T (z = z 0 + Algebran peruslause r z z 0 30 Todistetaan algebran peruslause Sen mukaan jokaisella polynomilla P (z = z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, missä kertoimet a j ovat kompleksilukuja, on ainakin yksi nollakohta, ts yhtälöllä P (z = 0 on ainakin yksi ratkaisu Todistus vaatii hiukan analyysin käsitteitä ja tietoja 31 Kompleksilukujonolla z j, j = 1,,, eli (z j on raja-arvo z, jos z n z on mielivaltaisen pieni kaikilla tarpeeksi suurilla n:n arvoilla (Tämä voidaan lausua täsmällisemminkin, mutta tarpeisiimme riittää tämä Jos P on polynomi, w j = P (z j ja jonolla (z j on rajaarvo z, niin jonolla (w j on raja-arvo w = P (z Tämä seuraa siitä, että w j w = P (z j P (z = z n j z n + a n 1 (z n 1 j z n a 1 (z j z = z j z Q(z j, z Kun j on tarpeeksi suuri, z j z on pieni; tällöin lauseke Q(z j, z on kiinteän ylärajan alapuolella, ja tulo z j z Q(z j, z tulee sekin mielivaltaisen pieneksi

6 6 Solmu 3 Tarkastellaan kaikkien niiden reaalilukujen joukkoa E, jotka jollain z:n arvolla ovat muotoa P (z Luku x on E:n alaraja, jos jokainen E:n alkio on x Jokainen ei-positiivinen luku on E:n alaraja Reaalilukujen perusominaisuuksia on, että E:n alarajojen joukossa on suurin alaraja (Sitä kutsutaan myös E:n infimumiksi ja merkitään inf E Olkoon tämä suurin alaraja a Havaitaan, että jos P (z a, on olemassa z z siten, että P (z < P (z Jos nimittäin kaikilla z C olisi P (z P (z, olisi P (z a:ta suurempi E:n alaraja 33 Osoitetaan, että jollain z 0 pätee yhtälö P (z 0 = a Tehdään vastaoletus: P (z > a kaikilla z Jos näin on, voidaan löytää luku z 1, jolle P (z 1 < a + 1 ja päättymätön lukujono (z j, jolla on esim ominaisuus P (z j+1 a < 1 ( P (z j a ja siis myös P (z j < a + 1 j Koska P (z = z n 1 + a n 1 z + + a 1 z n 1 + a 0 z n ja koska termit, joissa z on nimittäjässä, tulevat pieniksi, kun z on suuri, niin P (z tulee suureksi, kun z on tarpeeksi suuri Tästä seuraa, että kaikki jonon (z j luvut ovat jossain neliössä Q = {z C R < Re z < R, R < Im z < R} Jaetaan Q neljään yhtä suureen neliöön Koska jonossa (z j on äärettömän monta lukua, jossain näistä neljästä neliöstä, esim neliössä Q 1, on äärettömän monta luvuista z j Prosessia voidaan jatkaa: jos Q 1 jaetaan neljäksi neliöksi, jossain näistä, esim neliössä Q, on äärettömän monta luvuista z j jne Neliöt (Q m ovat sisäkkäin ja niiden sivujen 1 pituudet ovat R Tästä seuraa, että neliöiden kärkipisteet muodostavat kompleksilukujonot, joilla on sa- m ma raja-arvo z 0 Lukujonosta (z j voidaan poimia ääretön osajono (z jk, jonka raja-arvo on myös z 0 Jonon P (z jk raja-arvo on P (z 0 Jos olisi P (z 0 > a, jouduttaisiin ristiriitaan ominaisuuden P (z jk < a + 1 j k kanssa Siis P (z 0 = a 34 Osoitetaan vielä, että a = 0 Oletetaan, että näin ei ole, että a > 0 ja P (z 0 = w 0 = a(cos φ 0 + i sin φ 0 = ae iφ0 Nyt voidaan kirjoittaa P (z = (z z 0 n +b n 1 (z z 0 n 1 + +b 1 (z z 0 +w 0 Olkoon k pienin indeksi, jolla b k 0 Silloin P (z = w 0 + b k (z z 0 k (1 + Q(z, missä Q(z on polynomi, jonka arvot ovat pieniä, kun z on lähellä z 0 :aa Voidaan esimerkiksi valita niin pieni r, että kun z = z 0 + re iφ, niin Q(z < 1 ja samalla r k b k < a Näillä z:n arvoilla P (z = ae iφ0 + r k b k 1 + Q(z e i(kφ++β(z, missä = arg b k ja β(z = arg(1 + Q(z Tehdystä oletuksesta seuraa, että β(z < π ja 1 + Q(z < 4 Edelleen löytyy φ niin, että kφ + + β(z = φ 0 + π Mutta tällä φ:n arvolla P (z = P (z 0 + re iφ = (a r k b k 1 + Q(z e iφ0 ja P (z < a Tultiin ristiriitaan sen kanssa, että a on P (z :n arvojen alaraja Siis vastaoletus onkin väärä, ja P (z 0 = 0 Algebran peruslause on todistettu Tehtäviä 35 Johda sin 6x:n ja cos 6x:n lausekkeet sin x:n ja cos x:n polynomeina 36 Laske sin k 37 Jos a ja b ovat kokonaislukuja, niin z = a + ib on kompleksinen kokonaisluku Jos kompleksista kokonaislukua z ei voida kirjoittaa muotoon z = z 1 z, missä z 1 ja z ovat kompleksisia kokonaislukuja 1, niin z on kompleksinen alkuluku Selvitä, mitkä joukon {3, 5, 7} luvut ovat kompleksisia alkulukuja 38 Selvitä, mitä tapahtuu suoralle ja ympyrälle inversiokuvauksessa 39 Olkoon ε 1 yhtälön z 3 = 1 jokin ratkaisu Osoita, että pisteet z 1, z ja z 3 ovat tasasivuisen kolmion kärjet jos ja vain jos z 1 + εz + ε z 3 = 0 40 Kuperan nelikulmion ABCD sivuille piirretään (ulkopuolisesti tasasivuiset kolmiot ABM, BCN, CDP ja DAQ Osoita, että nelikulmioilla ABCD ja MNP Q on sama painopiste 41 Selvitä, miten säännöllinen 5-kulmio voidaan konstruoida lähtemällä yhtälön z 5 = 1 ratkaisusta

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUISTA. y. x 2 + y 2

KOMPLEKSILUVUISTA. y. x 2 + y 2 Matematiikan olympiavalmennus KOMPLEKSILUVUISTA 1 Perusteoriaa ja geometriaa 1.1 Kompleksilukujen määritelmä ja perusalgebraa 1. Joukossa R = {(x, y) x R, y R} määritellään yhteen- ja kertolasku kaavoilla

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi Funktiot Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b, Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen

Lisätiedot

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio 2 Kompleksiluvut 2A Kompleksilukujen konstruktio Kompleksiluvut ovat syntyneet reaaliluvuista luonnollisen tarpeen myötä: kaikilla epätriviaaleilla polynomiyhtälöillä, kuten yhtälöllä z 2 +1 = 0, ei ole

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: 6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI...

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI... Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) . Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Valintakoe

Valintakoe Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

Kompleksilukujen kunnan konstruointi

Kompleksilukujen kunnan konstruointi Kompleksilukujen kunnan konstruointi Seuraava esitys osoittaa, miten kompleksilukujoukko voidaan määritellä tunnetuista reaalisista käsitteistä lähtien. Määrittelyjen jälkeen on helppoa osoittaa Mathematican

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot