SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien

Transkriptio

1 SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että vaihtosähköpiirien analyysistä tulee hetkellisarvoilla auttamattoman hankalaa. Nyt kehitetään kompleksilukuja hyödyntäen työkalu, jolla vaihtosähköpiirien analyysi yksinkertaistuu. 1

2 Vaihtosähköpiirien analyysi Oletus: Tasasähköpiirien analyysi on jossain määrin hallussa. 1. Sinimuotoiset suureet.. Tehollisarvo. 3. Passiivikomponenttien virta-jännite-yhtälöt sinimuotoiselle sähkölle. 4. Osoitetaan, että hetkellisarvoilla laskeminen on toivotonta. 5. Tehdään sinimuotoisesta suureesta tehollisarvon osoitin. 6. Kompleksilukulaskennan peruslaskutoimitukset. 7. Impedanssit osoitinmuodossa ja yleistetty Ohmin laki. 8. Käytetään tasasähköpiirien analyysissä opittuja menetelmiä vaihtosähköpiirien analysointiin.

3 Miksi kompleksilukuja? Piirilaskennasta tulee ikävän monimutkaista, jos analyysiin käytetään sinimuotoisten vaihtosähkösuureiden hetkellisarvoja. Kompleksiluvuilla luodaan työkalu vaihtosähköpiirien analyysille. osoitinlaskenta Osoitinlaskennan avulla tasasähköpiireistä tuttuja laskentamenetelmiä voidaan kätevästi käyttää myös vaihtosähköpiirien analysoinnissa. 3

4 HETKELLISARVOSTA TEHOLLISARVON OSOITTIMEKSI Osoittimen pituus on sinimuotoisen suureen tehollisarvo. Osoittimen kulma positiivisesta reaaliakselista on sinimuotoisen suureen nollavaihekulma. Huomaa, että osoitin ei sisällä tietoa sinisuureen taajuudesta. Siksi osoittimia voidaan käyttää vain silloin, kun tarkasteltavat sinisuureet ovat samantaajuisia. 4

5 Esimerkki: Osoitinlaskenta Im Im A α Re y x Re π i A tehollisarvon 6 osoitin. Muunna sitten osoitin polaarimuodosta trigonometriseen muotoon. a) Tee aikatason vaihtovirrasta ( t) = 5sin 00πt + b) Muunna trigonometrisessa muodossa oleva jännite U = 150 j0 V polaarimuotoon ja edelleen aikatason vaihtojännitteeksi. c) Muunna jännite U = 150 j0 V polaarimuotoon. 5

6 KOMPLEKSILUKUJEN PERUSLASKUTOIMITUKSET Kompleksiluvun z = x + jy reaalilukupari (x, y) esittää kompleksitason pistettä. Kompleksitason vaaka-akselia kutsutaan reaali- ja pystyakselia imaginääriakseliksi. Kompleksiluvun z reaaliosa on x (Re{ z } = x) ja imaginääriosa on y (Im{ z } = y). Kerroin j on imaginääriyksikkö, jolle pätee j = 1. Yhteenlasku: reaali- ja imaginääriosat summataan keskenään: c = a + jb, f d je Re{ c f } a d = + c + f = a + jb + d + je = a + d + j ( b + e) Im c + f = b + e. + = +, { } Kertolasku: kompleksilukuja kerrotaan kuten polynomeja: cf = a + jb d + je = ad + jae + jbd + j be = ad be + j ae + bd ( )( ) ( ) Re{ cf } = ad be, { } Im cf = ae + bd. Jotta kompleksilukujen osamäärän reaali- ja imaginääriosa saadaan selville, tarvitaan kompleksikonjugaattia. Kun f = d + je, sen kompleksikonjugaatti f * on f * = d je. d je) c a + jb ( a + jb)( d je) ad jae + jbd j be ad + be + j ( bd ae) = = = = f d + je d + je d je d jde + jde j e d + e c ad + be = f d + e ( )( ) c bd ae =. f d + e Re, Im 6

7 OSOITTIMIEN TULO POLAARIMUODOSSA Tarkastellaan kahden osoittimen, A α ja B β, tuloa: [ cos( ) sin( )] [ cos( ) sin( )] ( α ) ( β ) ( α ) ( β ) ( α ) ( β ) ( α ) ( β ) ( α ) ( β ) ( α ) ( β ) jab α β α β A α B β = A α + ja α B β + jb β = AB cos cos + jab cos sin + jabsin cos + j ABsin sin [ cos cos sin sin ] [ cos( ) sin ( ) sin( ) cos( )] = AB + + ( α + β ) = ( α ) ( β ) ( α ) ( β ) ( α + β ) = ( α ) ( β ) + ( α ) ( β ) cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos( ) sin ( ) A α B β = AB α + β + jab α + β = AB α + β Osoittimen tulo: pituudet kerrotaan keskenään ja kulmat lasketaan yhteen. 7

8 OSOITTIMIEN OSAMÄÄRÄ POLAARIMUODOSSA Tarkastellaan kahden osoittimen, A α ja B β, osamäärää: ( β ) jb sin( β ) ( α ) + jasin( α ) ( ) sin ( ) cos( α ) + sin( α ) [ cos β sin β ] cos( β ) + sin ( β ) [ cos β sin β ] [ cos( α ) cos( β ) + sin( α ) sin ( β )] + jab sin ( α ) cos( β ) cos( α ) sin( β ) B cos ( β ) jb cos( β ) sin ( β ) + jb cos( β ) sin ( β ) + B sin ( β ) ( α β ) = ( α ) ( β ) + ( α ) ( β ) ( α β ) = ( α ) ( β ) ( α ) ( β ) α ABcos( α β ) + jabsin( α β ) = cos( ) sin( ) = α β + j α β β sin ( β ) + cos ( β ) B cos A α Acos = B β Bcos β + jb β = = [ A ja ] B ( ) jb ( ) [ B jb ] B ( ) jb ( ) AB [ ] cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin A A A B B B B A α A = α β B β B Osoittimen osamäärä: pituudet jaetaan keskenään ja kulmat vähennetään toisistaan. 8

9 Esimerkkejä: OSOITINLASKENTA Sievennä seuraavia lausekkeita siten, että pystyt lopulta esittämään lausekkeen yhtenä osoitinsuureena. 1) o j4 ) ( 1+ j )( 3 j ) 90 o 3) j 9