TMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003"

Transkriptio

1 TMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003 Vaasan Yliopisto, 2003 Teknillinen tiedekunta Matemaattisten tieteiden laitos PL 700 (Wolffintie 34) VAASA Vaasan yliopisto

2 Matemaattinen analyysi 2003, sisältö: 1. Johdanto Kurssin tavoitteet 1 2. Matriisilaskentaa Lineaarialgebran kertausta Sisätulojanormi Lineaarinen riippumattomuus ja kanta Kannanvaihto Matriisin rangi Lineaarikuvaus Lineaarikuvauksen matriisi Ydin ja kuva Matriisin ominaisarvot Similaarisuus Matriisin diagonalisointi Matriisin LU-hajoitelma Matriisin QR-hajoitelma Matriisin singulaariarvohajoitelma Matriisin definiittisyys Yleinen lineaariavaruus* * 3. Ääriarvotehtäviä Yhden muuttujan tapaus, kertaus Kahden muuttujan tapaus ilman rajoitteita Gradientti, välttämätön ehto Hessian, riittävä ehto Optimin etsiminen numeerisesti Esimerkkejä Monen muuttujan tapaus ilman rajoitteita Rajoitteellinen optimointi, yhtälörajoite Sijoituskeino Lagrangen kertojat, yhtälörajoite Resurssirajoite, resurssin varjohinta Rajoitteellinen optimointi, epäyhtälörajoite Graafinen ratkaisu Laskeva ja käypä suunta Lagrangen kertojat, epäyhtälörajoite Optimointitehtävän relaksaatio Pienimmän neliösumman menetelmä Approksimointi polynomilla 91

3 Lineaarisen mallin sovitus Jonot ja sarjat Supremum ja infimum Jonon suppeneminen Sarjan suppeneminen Majoranttiperiaate, suppenemistestejä Transientin kassavirran nykyarvo Potenssisarja, suppenemisväli Taylorin ja MacLaurinin sarjat Taylorin polynomi Dynaamisen ilmiön mallinnus Differentiaaliyhtälö Ensimmäisen kertaluvun DY Separoituva DY Muotoa y = f( y x ) oleva DY Lineaarinen 1. kertaluvun diff.yhtälö Sovelluksia Lääkkeen määrä elimistössä Eksponentiaalinen kasvu Logistinen kasvu Auton hinta Numeerinen simulointi kertaluvun lineaarinen vakiokert. DY kertaluvun lin. vakiokert. DY-ryhmä Yleinen tasapainon stabiilisuus Kirjallisuutta *

4 1.1. Kurssin tavoitteet 1 1. Johdanto 1.1 Kurssin tavoitteet Tämän kurssin tavoite on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet jatkaa operaatioanalyysin ja taloustieteiden opiskelua. Jatkossa opiskelija saa tutustua sovelluksiin, joissa saatu hyöty riippuu monesta muuttujasta. Luonnollinen tehtävä silloin on löytää muuttujille sellaiset arvot, että hyöty saadaan mahdollisimman suureksi. Tämän perustehtävän ratkaisemista sanotaan optimoinniksi. Jo talousmatematiikan perusteissa tutustuttiin lineaariseen optimointiin. Tällä kurssilla tavoitefunktio ja rajoitteet saavat olla epälineaarisia. Kurssin sisältö jakautuu karkeasti neljään osaan: 1. matriisilaskentaa 2. optimointia 3. jonoja ja sarjoja 4. differentiaaliyhtälöitä Kurssin alussa esitettäviä matriisien ominaisuuksia tarvitaan myöhemmin optimoinnin ja differentiaaliyhtälöiden yhteydessä. Matriiseja opiskelija tulee tarvitsemaan muillakin kursseilla, joten asiakokonaisuus on tärkeä. Matriisiosuus alkaa lineaarialgebran kertauksella, jota luultavasti ei tämän kurssin tentissä tulla kysymään. Missä kertaus loppuu ja uusi materiaali alkaa riippuu kulloisenkin vuoden luennoijasta ja edeltävien kurssien toteutuksesta. * merkinnät, sanonnat * matriisilaskut Excel:llä *graafiset esitykset * analyysi, harjoittele kirjainten käsittelyä lausekkeissa

5 2 1. Johdanto

6 2.1. Lineaarialgebran kertausta 3 2. Matriisilaskentaa 2.1 Lineaarialgebran kertausta Merkitsemme koulumatematiikasta tuttua vektoria ~v = 2~i + 3~j sarake matriisilla µ 2 v = =(2 3) T 3 Merkintätavan muutos helpottaa jatkossa siirtymistä useammankuinkahdenko- ordinaatin vektoreihin. Yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen on nyt helposti määriteltävissä. µ µ µ µ = = µ µ µ = = Perinteinen ja hyvä tapa saada mielikuva edellä olleista vektoreista on ajatella ne siirtymisinä. ( 2 3 ) T = kaksi oikealle ja kolme ylös, ( 5 1 ) T = viisi oikealle ja yksi ylös ja ( 2 3 ) T +(5 1) T = kaksi oikealle ja kolme ylös ja vielä viisi oikealle ja yksi ylös = seitsemän oikealle ja neljä ylös (ks. Kuva 2.1). Käytämme n-alkioisten vektoreiden joukolle merkintää IR n = {a =(a 1 a 2... a n ) T a j IR,j =1, 2,...,n}. Sanomme IR n :ää n-ulotteiseksi Euklidiseksi vektoriavaruudeksi. IR 1,IR 2 ja IR 3 ovat lukion matematiikasta tutut lukusuora, taso ja kolmiulotteinen avaruus. (Meidän käyttämämme merkintä IR n muistuttaa siitä, että vekrotin koordinaatit a j ovat reaalilukuja. Monessa kirjassa halutaan korostaa Eukleideen nimeä, ja sillon vastaava merkintä yleensä one n.)

7 4 2. Matriisilaskentaa Figure 2.1: ( 2 3 ) T +(5 1) T =(7 4) T Yleistämme IR 2 :ssa niin luonnolliset yhteenlasku- ja reaaliluvulla kertomis-säännöt IR n :ään seuraavasti. Olkoot a =(a 1 a 2... a n ) IR n, b =(b 1 b 2... b n ) IR n, c =(c 1 c 2... c n ) IR n ja µ IR. a + b = c c j = a j + b j, j =1,...,n (2.1) µa = c c j = µa j, j =1,...,n (2.2) On tärkeätä huomata, että vektoreille on sovittu kahden vektorin yhteenlasku ja vektorin kertominen reaaliluvulla, mutta kahden vektorin kertomista ei ole määritelty. Yllä sovittu merkintä, noudattelee matriisinotaatiota. Joskus on tarpeen erotella matriisin alkioita (vektorin koordinaatteja) toisistaan. Seuraavassa kaksi esimerkkiä, joissa erottimet ovat tarpeen. Sovitaan vielä merkinnöistä µ ax yz 2 =(ax, yz 2 ) T, µ 2.4 =(2.4; 1.3) T, = ( ) T (2.3) 1 = ( ) T (2.4) e k = (δ 1k δ 2k... δ nk ) T, (2.5) missä δ kk =1, ja δ jk =0, kun j 6= k Esimerkiksi IR 3 :ssa 0 = 0 0, 1 = 1 1, e 1 = 1 0, e 2 = 0 1, e 3 =

8 2.1.1 Sisätulo ja normi 2.1. Lineaarialgebran kertausta 5 Kahden vektorin a IR 3 ja b IR 3 sisätulo ha bi ja vektorin a IR 3 normi kak määritellään seuraavasti ha bi = a T b =(a 1 a 2 a 3 ) b 1 b 2 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (2.6) b 3 kak = p q ha ai = a a2 2 + a2 3 (2.7) Sisätulo on siis lukiosta tuttu pistetulo ja normi on vektorin pituus. Nyt yleistämme seuraavasti. Määritelmä Kahden vektorin a IR n ja b IR n sisätulo ha bi ja vektorin a IR n normi kak ovat ha bi = a T b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n (2.8) kak = p q ha ai = a a a2 n (2.9) Sisätulon arvo on reaaliluku, joten sisätulo ei ole vektoreiden välinen laskutoimitus. (Siksi vältämme nyt pistetulomerkintää.) Kahden vektorin sanotaan olevan kohtisuorassa toisiaan vastaan eli ortogonaaliset (merkitään a b) jos niiden sisätulo on nolla, a b ha bi = 0. Normi on mitta vektorin suuruudelle. Kaksi vektoria ovat lähellä toisiaan, jos niiden erotuksen normi on pieni Esimerkki Olkoon a IR N N:stä havaintoarvosta muodostuva havaintovektori (aikasarja). Havaintosarjan keskiarvo on µ a =(a 1 + a a N )/N = N 1 ha 1i (2.10) Havaintojen poikkeama keskiarvosta (vaihtelu) saadaan vähentämällä keskiarvo jokaisesta havainnosta ã =(a 1 µ a,a 2 µ a,...,a N µ a ) T = a µ a 1 (2.11) Vaihtelun suuruutta on tapana mitata varianssilla s 2 a,jokaon s 2 a = kãk2 N 1 = (N 1) 1 ha µ a 1 a µ a 1i = (N 1) 1 (ha ai µ a ha 1i µ a h1 ai + µ 2 ah1 1i) = at a Nµ 2 a N 1 ( IR) (2.12) Olkoon b IR N toinen aikasarja ja µ b sen keskiarvo ja b IR N sen poikkeama keskiarvosta. Jos kummankin aikasarjan poikkeamat keskiarvosta noudattavat yhteistä rytmiä, niin tulo ã j bj on useimmiten positiivinen. Silloin hã bi = P ã j bj on

9 6 2. Matriisilaskentaa positiivinen. Tätä yhteisvaihtelua on tapana mitata kovarianssilla cov(a, b) = hã bi N 1 = (N a) 1 ha µ a 1 b µ b 1i = (N a) 1 (ha bi µ b ha 1i µ a h1 bi + µ a µ b h1 1i) = at b Nµ a µ b N 1 (2.13) Kahden aikasarjan välinen korrelaatio r ab määritellään lausekkeella r ab = cov(a, b) s a s b (2.14) Seuraavassa taulukossa on kolme aikasarjaa ja vastaavat varianssit, kovarianssit ja korrelaatiokertoimet. j a j b j c j µ a =1.013 µ b =2.959 µ c =4.997 s a =0.219 s b =0.429 s c =0.643 cov(a, b) =0.012, r a,b =0.126 cov(a, c) =0.132, r a,c =0.941 cov(b, c) =0.014, r b,c =0.053 Esimerkki Yhteisvaihtelua käsitellään paljon riippuvuusanalyysin kurssilla. Tälä kurssilla emme jatka aiheen käsittelyä enempää kuin yhdellä huomiolla. Koska usein taloudelliset aikasarjat esitetään muodossa, jossa havaintojen keskiarvo on likimain nolla, ymmärretään helposti aikasarjojen ortogonaalisuus ja korreloimattomuus samaksi asiaksi. Tämä ei kuitenkaan ole totta. Seuraava vastaesimerkki osoittaa eron.

10 2.1. Lineaarialgebran kertausta 7 j a j b j 1-1,000 3, ,000 5, ,000 2, ,000 3, ,000 4, ,000 5,000 µ s cov(a, b) =1.222 r a,b =1.000, ha bi =0 Aikasarjat korreloivat täydellisesti, vaikka ovatkin keskenään ortogonaaliset lineaarinen riippumattomuus ja kanta Esimerkki Olkoon yrityksen A osakkeen arvo 20 C ja yrityksen B osakkeen arvo 10 C. Sijoittaja tarkastelee omaisuutensa rakennetta ryhmittelemällä sijoittamansa rahat kolmeen osaan mekaaninen puunjalostus, paperi ja kemianteollisuus. Yrityksen A liikevaihdosta puolet tulee sahatavarasta ja puolet paperin valmistuksesta. Yrityksen B liikevaihdosta puolet tulee hienopaperista ja puolet värikemikaalien myynnistä. Yritysten osakkeiden arvojen jakautumiset eri toimialoille voidaan esittää vektoreilla v A = 10 10, v B = 0 5. (2.15) 0 5 Sijoittaja haluaa sijoittaa 1000 C siten, että 50% sijoituksesta menee paperinvalmistukseen loppu jakautuu tasan mekaanisen puunjalostuksen ja kemian teollisuuden kesken. Tavoitteena on siis jakauma w 1 = (2.16) 250 Tämä onnistuu ostamalla 25 kappaletta A-osaketta ja 50 kappaletta B-osaketta, sillä w 1 = = =25v A +50v B (2.17) Toinen sijoittaja haluaa sijoittaa 1000 C siten, että 50% sijoituksesta menee mekaaniseen puuhun ja loput tasan paperiteollisuuteen ja kemian teollisuuteen. (Siis

11 8 2. Matriisilaskentaa w 2 = (500; 250; 250) T.) Tämä on jo vaikeampaa. johtaa seuraavaan päättelyketjuun Perusteellinen ratkaisuyritys Gauss xv A + yv B = w 2 (2.18) x y 0 5 = µ 10 5 x = y :10 : : ei ratkaisua! /// Sovimme seuraavista sanonnoista. Määritelmä Olkoon u, v 1, v 2,...v m IR n vektoreita ja λ 1, λ 2,...,λ m IR reaalilukuja. (1) Jos u = λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m niin sanomme, ettävektori u on lineaarikombinaatio (linear combination) vektoreista {v 1, v 2,...,v m }. (2) Vektorijoukon {v 1, v 2,...,v m } IR n kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko on sen virittämä aliavaruus (a subspace of IR n spanned by {v 1, v 2,...,v m }) span{v 1, v 2,...,v m } = {u IR n u on lineaarikombinaatio vektoreista v j }

12 2.1. Lineaarialgebran kertausta 9 Määritelmä (1) Vektorijoukko {v 1, v 2,...,v m } IR n on lineaarisesti riippuva (sidottu) (linearly dependent), jos on olemassa reaaliluvut λ 1, λ 2,...,λ m IR, joista ainakin yksi ei ole nolla, niin että λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = 0 (2) Vektorijoukko {v 1, v 2,...,v m } IR n on lineaarisesti riippumaton (vapaa) (linearly independent), jos se ei ole sidottu, eli (λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = 0) (λ 1 = λ 2 =...= λ m =0) Lineaarisesti riippuva eli sidottu vektorijoukko voidaan myös luonnehtia sanomalla, että vektorijoukko on sidottu, jos ainakin yksi vektoreista voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa. Vektorijoukko ei välttämättä viritä kokoir n :ää. Esimerkissä toisen sijoittajan tavoitejakauma w 2 ei ole toteutettavissa v A :n ja v B :n lineaarikombinaationa (w 2 / span{v A, v B }). Jos toinen sijoittaja haluaa toteuttaa suunnitelmansa, niin hänen tulee etsiä kolmas yritys C niin, että w 2 Span{v A, v B, v C }.Asiaonselvä, jos Span{v A, v B, v C } =IR 3. Tämän kappaleen lopussa saamme ehdon sille, että vektorijoukko virittää IR n :n. Määritelmä Jos vektorijoukko E = {v 1, v 2,...,v m } IR n on lineaarisesti riippumaton, niin sanomme että se on virittämänsä aliavaruuden span{v 1, v 2,...,v m } kanta (base). Vektoreita v j E sanotaan kantavektoreiksi. Jos kantavektorit ovat keskenään ortogonaaliset eli hv j v k i = 0, kun j 6= k, niin kanta on ortogonaalinen (orthogonal). Jos kanta on ortogonaalinen ja lisäksi kv j k =1,j =1,...,m, niin kanta on ortonormitettu (orthonormal). Esimerkki Tutkitaan muodostavatko esimerkin vektorit {v A, v B } virittämänsä aliavaruuden kannan. Lineaarisen riippumattomuuden määritelmän perusteella riittää osoittaa, että (λ 1 v A + λ 2 v B = 0) (λ 1 = λ 2 =0) Osoitamme tämän seuraavasti λ 1 v A + λ 2 v B = 0 λ λ = 10λ 1 = 0 10λ 1 + 5λ 2 = 0 5λ 2 = 0 λ 1 = λ 2 =

13 10 2. Matriisilaskentaa Siis vektorit muodostavat kannan. /// Esimerkki Olkoon esimerkin sijoittajilla käytettävissään kolmas osake, C-osake, johon liittyvä jakauma on v C =(1050) T. Sijoitusneuvoja neuvottelee asiakkaidensa kanssa ja määrittää kullekin sopivan jakauman w. Voidaanko tämä jakauma aina toteuttaa lineaarikombinaationa vektoreista {v A, v B, v C }, eli onko span{v A, v B, v C } =IR 3? Olkoon nyt w IR 3 mikä tahansa asiakkaan toivoma painovektori. Määritämme sitä vastaavat lineaarikombinaation kertoimet λ 1, λ 2 ja λ 3 siten, että λ 1 v A + λ 2 v B + λ 3 v C = w (2.19) λ λ λ = w 1 w 2 (2.20) w λ 1 λ 2 = λ 3 w 1 w 2. (2.21) w 3 Tästä yhtälöryhmästä saadaan λ:t aina ratkaistua, sillä yhtälöryhmän kerroinmatriisin determinantti ei ole nolla. Siis span{v A, v B, v C } = IR 3 ja mikä tahansa asiakkaan toivoma painovektori voidaan toteuttaa vektoreiden {v A, v B, v C } lineaarikombinaationa. /// Pian esimerkkimme sijoitusneuvoja saa vastauksen muutamaan peruskysymykseensä. Sitä ennen määrittelemme vielä aliavaruuden dimension ja annamme muutaman muutaman kantoihin liittyvän ominaisuuden lauseiden muodossa. Voidaan osoittaa, että jos lineaarisesti riipppumattomat vektorijoukot E 1 = {v 1, v 2,...,v p } IR n ja E 2 = {u 1, u 2,...,u k } IR n virittävät saman lineaarisen aliavaruuden H =span(e 1 )=span(e 2 ), niin kannoissa E 1 ja E 2 on yhtä monta kantavektoria. Tämä oikeuttaamäärittelemään. Määritelmä Lineaarisen aliavaruuden H IR n dimensio, dim(h) onsen kannan kantavektoreiden lukumäärä. Lause dim(ir n )=n Todistus. Selvästi E = {e 1, e 2,...,e n } on IR n :n kanta.

14 2.1. Lineaarialgebran kertausta 11 Lause Olkoon E = {v 1, v 2,...,v m } IR n joukko vektoreita ja olkoon V matriisi, jonka sarakkeina ovat vektorit v 1, v 2,...,v m.(v on siis (n m)-matriisi.) Silloin E on IR n :n kanta, jos ja vain jos m = n ja lisäksi det(v) 6= 0. Todistus. [ ] Oletetaan ensin, että E on IR n :n kanta. Lauseen (2.1.1) mukaan m = n. Koska m = n matriisi V on neliömatriisi ja voimme päätellä seuraavasti (vertaa esimerkin 2.1.5päättelyyn) E on kanta E = {v 1, v 2,...,v n } on lineaarisesti riippumaton ((λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0) (λ 1 = λ 2 =...= λ n =0)) λ 1 0 λ ryhmällä V 2. = 0.. on vain triviaali ratkaisu λ n 0 det(v) 6= 0 [ ] Oletetaan toiseksi, että m = n ja det(v ) 6= 0. Vastaavapäättely kuin edellä osoittaa, että E on lineaarisesti riippumaton. Lisäksi voimme päätellä, että det(v) 6= 0 ryhmällä V λ 1 λ 2.. n = w on ratkaisu kaikilla w IR λ n jokainen w IR n voidaan lausua lineaarikombinaationa Siis E on IR n :n kanta. w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n E virittää IR n :n Esimerkki a) Vektorijoukko E 1 = , 3 1 0, on IR 3 :n kanta sillä =436= 0

15 12 2. Matriisilaskentaa b) Vektorijoukko E 2 = 10 2, 3 1, ei ole IR 3 :n kanta sillä =0 c) Vektorijoukko E 3 = 10 2, ei ole IR 3 :n kanta sillä kantavektoreita on liian vähän (E 3 ei viritä IR 3 :a). d) Vektorijoukko E 4 = 10 2, 3 1, 1 0, ei ole IR 3 :n kanta sillä kantavektoreita on liian monta (E 4 ei ole vapaa). /// Joissakin tilanteissa laskeminen helpottuu, jos lineaariselle aliavaruudelle H = span{v 1, v 2,...,v m } on käytettävissä ortonormaali kanta. Voidaan osoittaa, että ortonormaali kanta aina löytyy. Seuraava menettely antaa ortogonaalisen kannan, josta ortonormaali kanta saadaan kertomalla jokainen kantavektori norminsa käänteisluvulla. Lause (Gram-Schmidt) Olkoon {v 1, v 2,...,v m } lineaarisesti riippumaton ja H = span({v 1, v 2,...,v m }) IR n. Jos asetetaan u 1 = v 1 u 2 = v 2 hv 2 u 1 i hu 1 u 1 i u 1 u 3 = v 3 hv 3 u 1 i hu 1 u 1 i u 1 hv 3 u 2 i hu 2 u 2 i u 2. u m = v m hv m u 1 i hu 1 u 1 i u 1 hv m u 2 i hu 2 u 2 i u 2 hv m u m 1 i hu 2 u m 1 i u m 1 niin {u 1, u 2,...,u m } on H:n ortogonaalinen kanta. Lisäksi Todistus. HT. span{u 1, u 2,...,u k } =span{v 1, v 2,...,v k }, kun 1 k m.

16 2.1. Lineaarialgebran kertausta 13 Määritelmä Olkoon H IR n lineaarinen aliavaruus. H:n ortogonaalikomplementti (orthogonal complement) H koostuu niistä IR n :n vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa kaikkia H:n vektoreita vastaan. Siis H = {x IR n hx hi =0, kaikille h H} Olkoon H IR n lineaarinen aliavaruus ja V = {v 1, v 2,...,v k } sen kanta. Nyt siis dim(h) = k n. Laajennetaan vektorijoukko V kanonisen kannan vektoreilla joukoksi V asettamalla v j = v j,kunj =1,...,k ja v k+i = e i,kuni =1,...,n. Soveltamalla Gram-Schmidt -prosessia tähän vektorijoukkoon sillä muutoksella, että jos askeleella i saadaan u i = 0, niin hylätään u i ja jätetään jatkossa u i lausekkeista pois. Tämä Gram-Schmidt -prosessin muunnelma johtaa ortonormaaliin IR n :n kantaan, jonka ensimmäiset k kantavektoria {u 1, u 2,...,u k } virittävät H:n ja loput n k kantavektoria {u k+1, u k+2,...,u n } virittävät H:n ortogonaalikomplementin H. Erityisesti siis dim(h)+dim(h )=n (2.22) ja jokainen x IR n voidaan yksikäsitteisellä tavalla esittää muodossa x = λ 1 u λ k u {z k + λ } k+1 u k λ n u n (2.23) {z } H H Kannanvaihto Laskeminen on aina helpointa, jos käytetään kanonista kantaa E = {e 1, e 2,...,e n }. (Huomaa merkintäsopimus (2.5).) Valitettavasti joskus on pakko vaihtaa kantaa. Seuraava tarkastelu kannattaa ensimmäisellä lukukerralla lukea kursoorisesti. Lue se uudelleen ja tarkemmin, kun siihen myöhemmin viitataan.

17 14 2. Matriisilaskentaa Määritelmä Olkoon E = {u 1, u 2,...,u n } lineaariavaruuden IR n kanta. Jos x IR n ja sen esitys kannassa E on x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n, niin kertoimista muodostamme vektorin ~x = ~x E = x 1 x 2.. x n IR n, jota sanomme vektorin x IR n koordinaattivektoriksi kannassa E. (Jos kanta on selvä se jätetään merkitsemättä.) Olkoon seuraavassa E = {u 1, u 2,...,u n } ja E = {u 1, u 2,...,u n} kaksi IR n :n kantaa. Koska jokainen E:n kantavektori voidaan lausua yksikäsitteisellä tavalla kannassa E, on olemassa reaaliluvut a ij siten, että u 1 = a 11 u 1 + a 21 u a n1 u n u 2 = a 12 u 1 + a 22 u a n2 u n (2.24). u n = a 1n u 1 + a 2n u a nn u n u 1 u 1 u 2. = u AT 2. (2.25) u n u n Määritelmä Jos kaava (2.25) on voimassa, niin sanomme, että A T on kannanvaihtomatriisi. Huomaa, että kaavan (2.25) vasen (oikea) puoli ei oikeastaan ole matriisi. Matriisihan on lukukaavio, mutta (2.25):ssa on kaavio, jonka alkiot ovat kaavioita. Tällaista tietorakennetta sanomme tensoriksi. Tällä kurssilla emme opettele tensorilaskentaa, mutta on hyvä tuntea termi. Kun lasketaan Mathematica -ohjelmalla tai vastaavalla muulla ohjelmalla matriisilaskuja, tulee lausekkeita kirjoittaessa helposti syntaksivirheitä. Jos silloin virheilmoituksessa esiintyy sana tensor, niin kannattaa tarkistaa, ettei ole sijoittanut matriisin alkioksi vektoria. Olkoon nyt x vektori, jolla on eri kannoissa esitykset x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n = x 1u 1 + x 2u x nu n. (2.26)

18 2.1. Lineaarialgebran kertausta 15 Silloin x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n (2.27) = x 1 (a 11 u 1 + a 21 u a n1 u n) (2.28) + x 2 (a 12 u 1 + a 22 u a n2 u n) x n (a 1n u 1 + a 2n u a nn u n) = (a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n )u 1 (2.29) +(a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n )u (a n1 x 1 + a n2 x a nn x n )u n x 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n x 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. x n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n (2.30) ~x = A~x (2.31) Kokoamme joitakin kannanvaihdon ominaisuuksia lauseiksi, joihin vetoamme myöhemmissä kappaleissa. Lause Olkoon E = {u 1, u 2,...,u n } ja E = {u 1, u 2,...,u n} kaksi IR n :n kantaa ja x IR n.josa T on kannanvaihtomatriisi siten, että u 1 u 2. u n = AT niin koordinaattivektoreille on voimassa u 1 u 2.. u n ~x = A~x ~x = A 1 ~x Todistus. Edellä tuli perusteltua kaikki muu paitsi käänteismatriisin A 1 olemassaolo. Matriisin A sarakkeiden tulee olla lineaarisesti riippumattomat, sillä muuten kannan E kantavektorit eivät olisi lineaarisesti riippumattomat. Siis det(a) 6= 0. Mistä edelleen seuraa käänteismatriisin olemassaolo. Esimerkki Tarkastellaan IR 2 :n kantoja E = {u 1, u 2 } ja E = {u 1, u 2}, joille ½ µ u1 = 0.5u 1 u 2 = 1.5u 1 2u A T = (2.32),

19 16 2. Matriisilaskentaa Figure 2.2: Eräs mahdollinen esimerkin realisaatio. Siis A = µ ja A 1 = µ (2.33) Vektorin x =3u 1 + u 2 esitys kannassa E saadaan laskemalla ~x = µ µ µ A~x = = (2.34) x = 3u 1 2u 2 (2.35) Vektorin y =2u 1 2u 2 esitys kannassa E saadaan laskemalla ~y = µ µ µ A 1 ~y = = (2.36) y = u 1 + u 2 (2.37) Kuvassa 2.2 on piirretty esimerkkitilanne, jossa kannanvaihtomatriisi on sama kuin edellä. Huomaa kuitenkin, että laskut edellä laskettiin käyttän koordinaattivektoreita ja kannanvaihtomatriisia. Lause Olkoon E = {u 1, u 2,...,u n } ja E = {u 1, u 2,...,u n} kaksi IR n :n ortonormitettua kantaa. Jos A T on kannanvaihtomatriisi siten, että niin (u 1, u 2,...,u n ) T = A T (u 1, u 2,...,u n) T, A T A = I eli matriisin A sarakkeet ovat keskenään ortogonaaliset yksikkövektorit ja siis muodostavat IR n :n ortonormitetun kannan.

20 2.2. Matriisin rangi 17 Todistus. Käytämme matriisin A j:nnestä sarakeesta merkintää a j =(a 1j,a 2j,...,a nj ) T.Nyt δ ij = hu i u j i = h = nx a ki u k k=1 Ã nx n! X a ki a pj δ kp = k=1 = ha i a j i p=1 nx a pj u pi (2.38) p=1 nx a ki a kj = a T ia j k=1 Lause Olkoon E = {e 1, e 2,...,e n } lineaariavaruuden IR n kanoninen kanta ja E = {u 1, u 2,...,u n } toinen IR n :n kanta. Olkoon U matriisi, jonka j:s sarake on kannan Ej:s kantavektori u j.olkoonx IR n vektori ja ~x sen koordinaattivektori kannassa E. Silloin x = U~x ja ~x = U 1 x Todistus. HT 2.2 Matriisin rangi Edellisen kappaleen esimerkin sijoittajien käytettävissäonenemmän kuin kaksi tai kolme osaketta. Kun sijoitusneuvoja alkaa muodostaa ratkaisuehdotusta asiakkaalleen, hän ensin määrittää asiakkaan toiveiden mukaisen tavoitejakauman w. Sitten hän valitsee tavoitejakauman mukaisen lineaarikombinaation osakkeista, joita hän nyt pitää parhaina sijoituskohteina w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m. (2.39) Sijoitusneuvojan toimintaa helpottaa suuresti, jos hän jo etukäteen varmistuu siitä, että span{v 1, v 2,...,v m } =IR 3, (2.40) jolloin lineaarikombinaatio (2.39) on aina olemassa. Jos m = 3, niin {v 1, v 2, v 3 } on IR 3 :n kanta ja lineaarikombinaation kertoimet λ 1, λ 2, λ 3 ovat yksikäsitteiset. Tämä helpottaa neuvojan työtä, mutta ei ole optimaalista sijoittajan kannalta. Periaatteessa osakkeen j arvo markkinoilla on u (m) j = hv j 1i. Jos kuitenkin sijoittaja antaa osakkeille tästä poikkeavat arvot u j ja tavoitefunktio on lineaarinen, niin lineaarikombinaation (2.39) arvo on z = u 1 λ 1 + u 2 λ u m λ m. Muodostetaan matriisi V, jonka sarakkeet ovat v 1, v 2,..., v m. Sijoittajan kokema höty maksimoituu, kun neuvoja ratkaisee lineaarikombinaation kertoimet

21 18 2. Matriisilaskentaa λ 1, λ 2, λ 3 LP-mallista ½ max z = u1 λ 1 + u 2 λ u m λ m ehdoin λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = w max z = u 1 λ 1 + u 2 λ u m λ m ehdoin λ 1 v 11 + λ 2 v λ m v 1m = w 1 λ 1 v 21 + λ 2 v λ m v 2m = w 2 λ 1 v 31 + λ 2 v λ m v 3m = w 3 ½ max z = ehdoin u T λ Vλ = w Tällaisia LP-malleja on käsitelty talousmatematiikan perusteiden kurssilla ja operaatioanalyysin kurssilla niihin paneudutaan lisää. Nyt jätämme sijoitusneuvojan hetkeksi. Palaamme miettimään milloin vektorijoukossa {v 1, v 2,...,v m } on riittävästi vektoreita virittämään IR n :n. Ehto (2.40) on tosi, jos matriisissa V on n lineaarisesti riippumatonta saraketta. Käytämme jatkossa seuraavia nimityksiä. Määritelmä Olkoon a 11 a a 1m a A = 21 a a 2m a n1 a n2... a nm (n m)-matriisi. Matriisin A i:s rivi ja j:s sarake ovat a i =(a i1 a i2... a im ) T ja a j = Matriisin A sarakkeiden virittämä IR n :n aliavaruus on Col(A) =span{a 1, a 2,...,a m } IR n Matriisin A rivien virittämä IR m :n aliavaruus on Row(A) =span{a 1, a 2,...,a n } IR m a 1j a 2j... a nj

22 2.2. Matriisin rangi 19 Määritelmä Matriisin A lineaarisesti riippumattomien sarakkeiden lukumäärä on matriisin säännöllisyysaste eli rangi (rank). Toisin sanoen Rank(A) =dim(span{a 1, a 2,...,a m })=dim(col(a)) Englanninkielisissä kirjoissa sanotaan usein (n n)-neliömatriisista A, ettäse on a matrix of full rank jos Rank(A) = n. Tämä onyhtäpitävääseuraavien ilmaisujen kanssa A on full rank Rank(A) = n dim(col(a)) = n matriisin A sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat det(a) 6= 0 A on säännöllinen (eli on olemassa A 1 ) Esimerkki Onko span 10 2, 3 1, 1 1, 13 3, 7 1 =IR3? (2.41) Asian voi tarkistaa helposti MatLab-ohjelmalla seuraavasti EDU>> V=[ ; ; ] V = EDU>> rank(v) ans = 2 Mathematica-ohjelma ei tunne Rank-funktiota vaan TensorRank-funktion. Lyhyt ohje kuuluu: TensorRank[expr] gives the depth to which expr is a full array, with all the parts at a particular level being lists of the same length.

23 20 2. Matriisilaskentaa In[1]:= Vlist={{10,2,1},{3,1,0},{1,-1,1},{13,3,1},{7,1,1}} Out[1]= {{10,2,1},{3,1,0},{1,-1,1},{13,3,1},{7,1,1}} In[2]:= TensorRank[Vlist] Out[2]= 2 Siis vektorit eivät viritä IR 3 :a. /// Rangin määrittämistä emme nyt opettele. Periaatteessa on melko helppo kehittää Gram-Schmidt n menetelmästä muunnos, jonka avulla matriisin rangi voidaan selvittää. Käytännössä ongelmaksi muodostuu se, että pyöristysvirheiden takia joskus saadaan laskutoimituksen tuloksena nollan sijasta hyvin pieni luku, joka ei ole nolla. (Esimerkiksi =0.) 2.3 Lineaarikuvaus Lineaarikuvauksen matriisi Tarkastellaan ensin kuvausta f :IR n IR m. Kuvauksen lineaarisuus määritellään seuraavasti Määritelmä Kuvaus f :IR n IR m, v 7 f(v) onlineaarinen (linear), joss (1) kaikilla u, v IR n on voimassa f(u + v) =f(u)+f(v) (2) kaikilla u IR n, λ IR on voimassa f(λu) =λf(u) Seuraava kuvio saattaa tehdä asian konkreettiseksi. Prosessi panos u prosessi f tuotos f(u) on lineaarinen, jos kahdesta osapanoksesta saatu kokonaistuotos on osatuotosten summa

24 2.3. Lineaarikuvaus 21 u + v prosessi f f(u)+f(v) ja panoksen puolittaminen (lambdaaminen) puolittaa (lambdaa) myös tuotoksen 0.5u prosessi f 0.5f(u). Lineaarisuus oli keskeinen oletus peruskurssilla käsiteltyjen LP-mallien tavoitefunktiolle. Nyt erona LP-mallin tavoitefunktioon on, että sekä panos, että tuotos ovat vektoreita. Esimerkki Yritys valmistaa kahta tuotetta A ja B. Yhden tuotteen valmistamiseen tarvittavat tuotannontekijöiden määrät on luetteloitu seuraavassa taulukossa. tuot. tekijä A B työ (min) lasi (m 2 ) 3 1 alumiinilista (m) 12 8 Muodostetaan A:n valmistusmäärästä x 1 ja B:n valmistusmäärästä x 2 (päätösmuuttujista) valmistusmäärä-vektori µ x1 x =. (2.42) Tuotannontekijöiden tarpeet, d 1 (työ /min),d 2 (lasi / m 2 ), d 3 (alum.lista / m), kootaan myös vektoriksi d = d 1 d 2. (2.43) d 3 Tuotannontekijöiden tarve on funktio tuotantomäärä-vektorista d = d µ d 2 = 3 1 x1 def = f(x). (2.44) x d {z } =A Funktio d = f(x) = Ax on lineaarinen, sillä matriisikertolasku x 7 Ax toteuttaa määritelmän ehdot (1) ja (2). /// Edellisen esimerkin funktio todetaan helposti lineaariseksi, koska se voidaan tulkita matriisilla kertomiseksi. Käänteinen on myös totta. x 2 Lause Jos kuvaus f :IR n IR m on lineaarinen, niin on olemassa (m n)- matriisi A siten, että f(x) =Ax. Todistus. Olkoon E = {e 1, e 2,...,e n } vektoriavaruuden IR n kanoninen kanta ja vastaavasti E = {e 1, e 2,...,e m} vektoriavaruuden IR m kanoninen kanta. (Huomaa

25 22 2. Matriisilaskentaa merkintäsopimus (2.5).) Vektorit f(e i ) IR n voidaan lausua kannan E avulla yksikäsitteisellä tavalla. f(e j )=a 1j e 1 + a 2j e a mj e m (2.45) Kootaan näistä lineaarikombinaatioiden kertoimista matriisi A =(a ij ). Jos x = ( x 1 x 2... x n ) IR T, niin merkitään Ax = b, jolloin f(x) = f(x 1 e 1 + x 2 e x n e n ) = f(x 1 e 1 )+f(x 2 e 2 )+...+ f(x n e n ) = x 1 f(e 1 )+x 2 f(e 2 )+...+ x n f(e n ) = x 1 (a 11 e 1 + a 21 e a m1 e m)+x 2 (a 12 e 1 + a 22 e a m2 e m) x n (a 1n e 1 + a 2n e a mn e à m) n! à X n! à X n! X = a 1k x k e 1 + a 2k x k e a mk x k e m k=1 k= = b b b 0 m = Joskus joudumme käyttämään ei-kanonisia kantoja. b m k=1 b 1 b 2. = Ax Määritelmä Olkoon L lineaariavaruus ja E = {v 1, v 2,...,v n } L sen kanta ja olkoon H lineaariavaruus ja F = {w 1, w 2,...,w m } H sen kanta. (m n)- matriisi A F E on lineaarikuvauksen f : L H matriisi kannoissa E ja F, jos kaikilla x L ja y H on voimassa (y = f(x)) ~y F = A F E ~xe f(x):n koordinaatit kannassa F saadaan kertomalla matriisilla A F E vektorin x koordinaatit kannassa E Lause Olkoon L lineaariavaruus ja E = {v 1, v 2,...,v n } L sen kanta ja olkoon H lineaariavaruus ja F = {w 1, w 2,...,w m } H sen kanta. Olkoon V matriisi, jonka sarakkeina onat kannan E kantavektorit ja olkoon W matriisi, jonka sarakkeina ovat kannan F kantavektorit. Jos A on lineaarikuvauksen f : L H matriisi kanoonisissa kannoissa, niin f:n matriisi kannoissa E ja F on A F E = W 1 AV

Matemaattinen Analyysi, k2012, L1

Matemaattinen Analyysi, k2012, L1 Matemaattinen Analyysi, k22, L Vektorit Merkitsemme koulumatematiikasta tuttua vektoria v = 2 i + 3 j sarake matriisilla ( ) 2 v = v = = ( 2 3 ) T 3 Merkintätavan muutos helpottaa jatkossa siirtymistä

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Paikannuksen matematiikka MAT

Paikannuksen matematiikka MAT TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS)

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS) neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j) (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11 (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot