TMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003"

Transkriptio

1 TMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003 Vaasan Yliopisto, 2003 Teknillinen tiedekunta Matemaattisten tieteiden laitos PL 700 (Wolffintie 34) VAASA Vaasan yliopisto

2 Matemaattinen analyysi 2003, sisältö: 1. Johdanto Kurssin tavoitteet 1 2. Matriisilaskentaa Lineaarialgebran kertausta Sisätulojanormi Lineaarinen riippumattomuus ja kanta Kannanvaihto Matriisin rangi Lineaarikuvaus Lineaarikuvauksen matriisi Ydin ja kuva Matriisin ominaisarvot Similaarisuus Matriisin diagonalisointi Matriisin LU-hajoitelma Matriisin QR-hajoitelma Matriisin singulaariarvohajoitelma Matriisin definiittisyys Yleinen lineaariavaruus* * 3. Ääriarvotehtäviä Yhden muuttujan tapaus, kertaus Kahden muuttujan tapaus ilman rajoitteita Gradientti, välttämätön ehto Hessian, riittävä ehto Optimin etsiminen numeerisesti Esimerkkejä Monen muuttujan tapaus ilman rajoitteita Rajoitteellinen optimointi, yhtälörajoite Sijoituskeino Lagrangen kertojat, yhtälörajoite Resurssirajoite, resurssin varjohinta Rajoitteellinen optimointi, epäyhtälörajoite Graafinen ratkaisu Laskeva ja käypä suunta Lagrangen kertojat, epäyhtälörajoite Optimointitehtävän relaksaatio Pienimmän neliösumman menetelmä Approksimointi polynomilla 91

3 Lineaarisen mallin sovitus Jonot ja sarjat Supremum ja infimum Jonon suppeneminen Sarjan suppeneminen Majoranttiperiaate, suppenemistestejä Transientin kassavirran nykyarvo Potenssisarja, suppenemisväli Taylorin ja MacLaurinin sarjat Taylorin polynomi Dynaamisen ilmiön mallinnus Differentiaaliyhtälö Ensimmäisen kertaluvun DY Separoituva DY Muotoa y = f( y x ) oleva DY Lineaarinen 1. kertaluvun diff.yhtälö Sovelluksia Lääkkeen määrä elimistössä Eksponentiaalinen kasvu Logistinen kasvu Auton hinta Numeerinen simulointi kertaluvun lineaarinen vakiokert. DY kertaluvun lin. vakiokert. DY-ryhmä Yleinen tasapainon stabiilisuus Kirjallisuutta *

4 1.1. Kurssin tavoitteet 1 1. Johdanto 1.1 Kurssin tavoitteet Tämän kurssin tavoite on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet jatkaa operaatioanalyysin ja taloustieteiden opiskelua. Jatkossa opiskelija saa tutustua sovelluksiin, joissa saatu hyöty riippuu monesta muuttujasta. Luonnollinen tehtävä silloin on löytää muuttujille sellaiset arvot, että hyöty saadaan mahdollisimman suureksi. Tämän perustehtävän ratkaisemista sanotaan optimoinniksi. Jo talousmatematiikan perusteissa tutustuttiin lineaariseen optimointiin. Tällä kurssilla tavoitefunktio ja rajoitteet saavat olla epälineaarisia. Kurssin sisältö jakautuu karkeasti neljään osaan: 1. matriisilaskentaa 2. optimointia 3. jonoja ja sarjoja 4. differentiaaliyhtälöitä Kurssin alussa esitettäviä matriisien ominaisuuksia tarvitaan myöhemmin optimoinnin ja differentiaaliyhtälöiden yhteydessä. Matriiseja opiskelija tulee tarvitsemaan muillakin kursseilla, joten asiakokonaisuus on tärkeä. Matriisiosuus alkaa lineaarialgebran kertauksella, jota luultavasti ei tämän kurssin tentissä tulla kysymään. Missä kertaus loppuu ja uusi materiaali alkaa riippuu kulloisenkin vuoden luennoijasta ja edeltävien kurssien toteutuksesta. * merkinnät, sanonnat * matriisilaskut Excel:llä *graafiset esitykset * analyysi, harjoittele kirjainten käsittelyä lausekkeissa

5 2 1. Johdanto

6 2.1. Lineaarialgebran kertausta 3 2. Matriisilaskentaa 2.1 Lineaarialgebran kertausta Merkitsemme koulumatematiikasta tuttua vektoria ~v = 2~i + 3~j sarake matriisilla µ 2 v = =(2 3) T 3 Merkintätavan muutos helpottaa jatkossa siirtymistä useammankuinkahdenko- ordinaatin vektoreihin. Yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen on nyt helposti määriteltävissä. µ µ µ µ = = µ µ µ = = Perinteinen ja hyvä tapa saada mielikuva edellä olleista vektoreista on ajatella ne siirtymisinä. ( 2 3 ) T = kaksi oikealle ja kolme ylös, ( 5 1 ) T = viisi oikealle ja yksi ylös ja ( 2 3 ) T +(5 1) T = kaksi oikealle ja kolme ylös ja vielä viisi oikealle ja yksi ylös = seitsemän oikealle ja neljä ylös (ks. Kuva 2.1). Käytämme n-alkioisten vektoreiden joukolle merkintää IR n = {a =(a 1 a 2... a n ) T a j IR,j =1, 2,...,n}. Sanomme IR n :ää n-ulotteiseksi Euklidiseksi vektoriavaruudeksi. IR 1,IR 2 ja IR 3 ovat lukion matematiikasta tutut lukusuora, taso ja kolmiulotteinen avaruus. (Meidän käyttämämme merkintä IR n muistuttaa siitä, että vekrotin koordinaatit a j ovat reaalilukuja. Monessa kirjassa halutaan korostaa Eukleideen nimeä, ja sillon vastaava merkintä yleensä one n.)

7 4 2. Matriisilaskentaa Figure 2.1: ( 2 3 ) T +(5 1) T =(7 4) T Yleistämme IR 2 :ssa niin luonnolliset yhteenlasku- ja reaaliluvulla kertomis-säännöt IR n :ään seuraavasti. Olkoot a =(a 1 a 2... a n ) IR n, b =(b 1 b 2... b n ) IR n, c =(c 1 c 2... c n ) IR n ja µ IR. a + b = c c j = a j + b j, j =1,...,n (2.1) µa = c c j = µa j, j =1,...,n (2.2) On tärkeätä huomata, että vektoreille on sovittu kahden vektorin yhteenlasku ja vektorin kertominen reaaliluvulla, mutta kahden vektorin kertomista ei ole määritelty. Yllä sovittu merkintä, noudattelee matriisinotaatiota. Joskus on tarpeen erotella matriisin alkioita (vektorin koordinaatteja) toisistaan. Seuraavassa kaksi esimerkkiä, joissa erottimet ovat tarpeen. Sovitaan vielä merkinnöistä µ ax yz 2 =(ax, yz 2 ) T, µ 2.4 =(2.4; 1.3) T, = ( ) T (2.3) 1 = ( ) T (2.4) e k = (δ 1k δ 2k... δ nk ) T, (2.5) missä δ kk =1, ja δ jk =0, kun j 6= k Esimerkiksi IR 3 :ssa 0 = 0 0, 1 = 1 1, e 1 = 1 0, e 2 = 0 1, e 3 =

8 2.1.1 Sisätulo ja normi 2.1. Lineaarialgebran kertausta 5 Kahden vektorin a IR 3 ja b IR 3 sisätulo ha bi ja vektorin a IR 3 normi kak määritellään seuraavasti ha bi = a T b =(a 1 a 2 a 3 ) b 1 b 2 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (2.6) b 3 kak = p q ha ai = a a2 2 + a2 3 (2.7) Sisätulo on siis lukiosta tuttu pistetulo ja normi on vektorin pituus. Nyt yleistämme seuraavasti. Määritelmä Kahden vektorin a IR n ja b IR n sisätulo ha bi ja vektorin a IR n normi kak ovat ha bi = a T b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n (2.8) kak = p q ha ai = a a a2 n (2.9) Sisätulon arvo on reaaliluku, joten sisätulo ei ole vektoreiden välinen laskutoimitus. (Siksi vältämme nyt pistetulomerkintää.) Kahden vektorin sanotaan olevan kohtisuorassa toisiaan vastaan eli ortogonaaliset (merkitään a b) jos niiden sisätulo on nolla, a b ha bi = 0. Normi on mitta vektorin suuruudelle. Kaksi vektoria ovat lähellä toisiaan, jos niiden erotuksen normi on pieni Esimerkki Olkoon a IR N N:stä havaintoarvosta muodostuva havaintovektori (aikasarja). Havaintosarjan keskiarvo on µ a =(a 1 + a a N )/N = N 1 ha 1i (2.10) Havaintojen poikkeama keskiarvosta (vaihtelu) saadaan vähentämällä keskiarvo jokaisesta havainnosta ã =(a 1 µ a,a 2 µ a,...,a N µ a ) T = a µ a 1 (2.11) Vaihtelun suuruutta on tapana mitata varianssilla s 2 a,jokaon s 2 a = kãk2 N 1 = (N 1) 1 ha µ a 1 a µ a 1i = (N 1) 1 (ha ai µ a ha 1i µ a h1 ai + µ 2 ah1 1i) = at a Nµ 2 a N 1 ( IR) (2.12) Olkoon b IR N toinen aikasarja ja µ b sen keskiarvo ja b IR N sen poikkeama keskiarvosta. Jos kummankin aikasarjan poikkeamat keskiarvosta noudattavat yhteistä rytmiä, niin tulo ã j bj on useimmiten positiivinen. Silloin hã bi = P ã j bj on

9 6 2. Matriisilaskentaa positiivinen. Tätä yhteisvaihtelua on tapana mitata kovarianssilla cov(a, b) = hã bi N 1 = (N a) 1 ha µ a 1 b µ b 1i = (N a) 1 (ha bi µ b ha 1i µ a h1 bi + µ a µ b h1 1i) = at b Nµ a µ b N 1 (2.13) Kahden aikasarjan välinen korrelaatio r ab määritellään lausekkeella r ab = cov(a, b) s a s b (2.14) Seuraavassa taulukossa on kolme aikasarjaa ja vastaavat varianssit, kovarianssit ja korrelaatiokertoimet. j a j b j c j µ a =1.013 µ b =2.959 µ c =4.997 s a =0.219 s b =0.429 s c =0.643 cov(a, b) =0.012, r a,b =0.126 cov(a, c) =0.132, r a,c =0.941 cov(b, c) =0.014, r b,c =0.053 Esimerkki Yhteisvaihtelua käsitellään paljon riippuvuusanalyysin kurssilla. Tälä kurssilla emme jatka aiheen käsittelyä enempää kuin yhdellä huomiolla. Koska usein taloudelliset aikasarjat esitetään muodossa, jossa havaintojen keskiarvo on likimain nolla, ymmärretään helposti aikasarjojen ortogonaalisuus ja korreloimattomuus samaksi asiaksi. Tämä ei kuitenkaan ole totta. Seuraava vastaesimerkki osoittaa eron.

10 2.1. Lineaarialgebran kertausta 7 j a j b j 1-1,000 3, ,000 5, ,000 2, ,000 3, ,000 4, ,000 5,000 µ s cov(a, b) =1.222 r a,b =1.000, ha bi =0 Aikasarjat korreloivat täydellisesti, vaikka ovatkin keskenään ortogonaaliset lineaarinen riippumattomuus ja kanta Esimerkki Olkoon yrityksen A osakkeen arvo 20 C ja yrityksen B osakkeen arvo 10 C. Sijoittaja tarkastelee omaisuutensa rakennetta ryhmittelemällä sijoittamansa rahat kolmeen osaan mekaaninen puunjalostus, paperi ja kemianteollisuus. Yrityksen A liikevaihdosta puolet tulee sahatavarasta ja puolet paperin valmistuksesta. Yrityksen B liikevaihdosta puolet tulee hienopaperista ja puolet värikemikaalien myynnistä. Yritysten osakkeiden arvojen jakautumiset eri toimialoille voidaan esittää vektoreilla v A = 10 10, v B = 0 5. (2.15) 0 5 Sijoittaja haluaa sijoittaa 1000 C siten, että 50% sijoituksesta menee paperinvalmistukseen loppu jakautuu tasan mekaanisen puunjalostuksen ja kemian teollisuuden kesken. Tavoitteena on siis jakauma w 1 = (2.16) 250 Tämä onnistuu ostamalla 25 kappaletta A-osaketta ja 50 kappaletta B-osaketta, sillä w 1 = = =25v A +50v B (2.17) Toinen sijoittaja haluaa sijoittaa 1000 C siten, että 50% sijoituksesta menee mekaaniseen puuhun ja loput tasan paperiteollisuuteen ja kemian teollisuuteen. (Siis

11 8 2. Matriisilaskentaa w 2 = (500; 250; 250) T.) Tämä on jo vaikeampaa. johtaa seuraavaan päättelyketjuun Perusteellinen ratkaisuyritys Gauss xv A + yv B = w 2 (2.18) x y 0 5 = µ 10 5 x = y :10 : : ei ratkaisua! /// Sovimme seuraavista sanonnoista. Määritelmä Olkoon u, v 1, v 2,...v m IR n vektoreita ja λ 1, λ 2,...,λ m IR reaalilukuja. (1) Jos u = λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m niin sanomme, ettävektori u on lineaarikombinaatio (linear combination) vektoreista {v 1, v 2,...,v m }. (2) Vektorijoukon {v 1, v 2,...,v m } IR n kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko on sen virittämä aliavaruus (a subspace of IR n spanned by {v 1, v 2,...,v m }) span{v 1, v 2,...,v m } = {u IR n u on lineaarikombinaatio vektoreista v j }

12 2.1. Lineaarialgebran kertausta 9 Määritelmä (1) Vektorijoukko {v 1, v 2,...,v m } IR n on lineaarisesti riippuva (sidottu) (linearly dependent), jos on olemassa reaaliluvut λ 1, λ 2,...,λ m IR, joista ainakin yksi ei ole nolla, niin että λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = 0 (2) Vektorijoukko {v 1, v 2,...,v m } IR n on lineaarisesti riippumaton (vapaa) (linearly independent), jos se ei ole sidottu, eli (λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = 0) (λ 1 = λ 2 =...= λ m =0) Lineaarisesti riippuva eli sidottu vektorijoukko voidaan myös luonnehtia sanomalla, että vektorijoukko on sidottu, jos ainakin yksi vektoreista voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa. Vektorijoukko ei välttämättä viritä kokoir n :ää. Esimerkissä toisen sijoittajan tavoitejakauma w 2 ei ole toteutettavissa v A :n ja v B :n lineaarikombinaationa (w 2 / span{v A, v B }). Jos toinen sijoittaja haluaa toteuttaa suunnitelmansa, niin hänen tulee etsiä kolmas yritys C niin, että w 2 Span{v A, v B, v C }.Asiaonselvä, jos Span{v A, v B, v C } =IR 3. Tämän kappaleen lopussa saamme ehdon sille, että vektorijoukko virittää IR n :n. Määritelmä Jos vektorijoukko E = {v 1, v 2,...,v m } IR n on lineaarisesti riippumaton, niin sanomme että se on virittämänsä aliavaruuden span{v 1, v 2,...,v m } kanta (base). Vektoreita v j E sanotaan kantavektoreiksi. Jos kantavektorit ovat keskenään ortogonaaliset eli hv j v k i = 0, kun j 6= k, niin kanta on ortogonaalinen (orthogonal). Jos kanta on ortogonaalinen ja lisäksi kv j k =1,j =1,...,m, niin kanta on ortonormitettu (orthonormal). Esimerkki Tutkitaan muodostavatko esimerkin vektorit {v A, v B } virittämänsä aliavaruuden kannan. Lineaarisen riippumattomuuden määritelmän perusteella riittää osoittaa, että (λ 1 v A + λ 2 v B = 0) (λ 1 = λ 2 =0) Osoitamme tämän seuraavasti λ 1 v A + λ 2 v B = 0 λ λ = 10λ 1 = 0 10λ 1 + 5λ 2 = 0 5λ 2 = 0 λ 1 = λ 2 =

13 10 2. Matriisilaskentaa Siis vektorit muodostavat kannan. /// Esimerkki Olkoon esimerkin sijoittajilla käytettävissään kolmas osake, C-osake, johon liittyvä jakauma on v C =(1050) T. Sijoitusneuvoja neuvottelee asiakkaidensa kanssa ja määrittää kullekin sopivan jakauman w. Voidaanko tämä jakauma aina toteuttaa lineaarikombinaationa vektoreista {v A, v B, v C }, eli onko span{v A, v B, v C } =IR 3? Olkoon nyt w IR 3 mikä tahansa asiakkaan toivoma painovektori. Määritämme sitä vastaavat lineaarikombinaation kertoimet λ 1, λ 2 ja λ 3 siten, että λ 1 v A + λ 2 v B + λ 3 v C = w (2.19) λ λ λ = w 1 w 2 (2.20) w λ 1 λ 2 = λ 3 w 1 w 2. (2.21) w 3 Tästä yhtälöryhmästä saadaan λ:t aina ratkaistua, sillä yhtälöryhmän kerroinmatriisin determinantti ei ole nolla. Siis span{v A, v B, v C } = IR 3 ja mikä tahansa asiakkaan toivoma painovektori voidaan toteuttaa vektoreiden {v A, v B, v C } lineaarikombinaationa. /// Pian esimerkkimme sijoitusneuvoja saa vastauksen muutamaan peruskysymykseensä. Sitä ennen määrittelemme vielä aliavaruuden dimension ja annamme muutaman muutaman kantoihin liittyvän ominaisuuden lauseiden muodossa. Voidaan osoittaa, että jos lineaarisesti riipppumattomat vektorijoukot E 1 = {v 1, v 2,...,v p } IR n ja E 2 = {u 1, u 2,...,u k } IR n virittävät saman lineaarisen aliavaruuden H =span(e 1 )=span(e 2 ), niin kannoissa E 1 ja E 2 on yhtä monta kantavektoria. Tämä oikeuttaamäärittelemään. Määritelmä Lineaarisen aliavaruuden H IR n dimensio, dim(h) onsen kannan kantavektoreiden lukumäärä. Lause dim(ir n )=n Todistus. Selvästi E = {e 1, e 2,...,e n } on IR n :n kanta.

14 2.1. Lineaarialgebran kertausta 11 Lause Olkoon E = {v 1, v 2,...,v m } IR n joukko vektoreita ja olkoon V matriisi, jonka sarakkeina ovat vektorit v 1, v 2,...,v m.(v on siis (n m)-matriisi.) Silloin E on IR n :n kanta, jos ja vain jos m = n ja lisäksi det(v) 6= 0. Todistus. [ ] Oletetaan ensin, että E on IR n :n kanta. Lauseen (2.1.1) mukaan m = n. Koska m = n matriisi V on neliömatriisi ja voimme päätellä seuraavasti (vertaa esimerkin 2.1.5päättelyyn) E on kanta E = {v 1, v 2,...,v n } on lineaarisesti riippumaton ((λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0) (λ 1 = λ 2 =...= λ n =0)) λ 1 0 λ ryhmällä V 2. = 0.. on vain triviaali ratkaisu λ n 0 det(v) 6= 0 [ ] Oletetaan toiseksi, että m = n ja det(v ) 6= 0. Vastaavapäättely kuin edellä osoittaa, että E on lineaarisesti riippumaton. Lisäksi voimme päätellä, että det(v) 6= 0 ryhmällä V λ 1 λ 2.. n = w on ratkaisu kaikilla w IR λ n jokainen w IR n voidaan lausua lineaarikombinaationa Siis E on IR n :n kanta. w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n E virittää IR n :n Esimerkki a) Vektorijoukko E 1 = , 3 1 0, on IR 3 :n kanta sillä =436= 0

15 12 2. Matriisilaskentaa b) Vektorijoukko E 2 = 10 2, 3 1, ei ole IR 3 :n kanta sillä =0 c) Vektorijoukko E 3 = 10 2, ei ole IR 3 :n kanta sillä kantavektoreita on liian vähän (E 3 ei viritä IR 3 :a). d) Vektorijoukko E 4 = 10 2, 3 1, 1 0, ei ole IR 3 :n kanta sillä kantavektoreita on liian monta (E 4 ei ole vapaa). /// Joissakin tilanteissa laskeminen helpottuu, jos lineaariselle aliavaruudelle H = span{v 1, v 2,...,v m } on käytettävissä ortonormaali kanta. Voidaan osoittaa, että ortonormaali kanta aina löytyy. Seuraava menettely antaa ortogonaalisen kannan, josta ortonormaali kanta saadaan kertomalla jokainen kantavektori norminsa käänteisluvulla. Lause (Gram-Schmidt) Olkoon {v 1, v 2,...,v m } lineaarisesti riippumaton ja H = span({v 1, v 2,...,v m }) IR n. Jos asetetaan u 1 = v 1 u 2 = v 2 hv 2 u 1 i hu 1 u 1 i u 1 u 3 = v 3 hv 3 u 1 i hu 1 u 1 i u 1 hv 3 u 2 i hu 2 u 2 i u 2. u m = v m hv m u 1 i hu 1 u 1 i u 1 hv m u 2 i hu 2 u 2 i u 2 hv m u m 1 i hu 2 u m 1 i u m 1 niin {u 1, u 2,...,u m } on H:n ortogonaalinen kanta. Lisäksi Todistus. HT. span{u 1, u 2,...,u k } =span{v 1, v 2,...,v k }, kun 1 k m.

16 2.1. Lineaarialgebran kertausta 13 Määritelmä Olkoon H IR n lineaarinen aliavaruus. H:n ortogonaalikomplementti (orthogonal complement) H koostuu niistä IR n :n vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa kaikkia H:n vektoreita vastaan. Siis H = {x IR n hx hi =0, kaikille h H} Olkoon H IR n lineaarinen aliavaruus ja V = {v 1, v 2,...,v k } sen kanta. Nyt siis dim(h) = k n. Laajennetaan vektorijoukko V kanonisen kannan vektoreilla joukoksi V asettamalla v j = v j,kunj =1,...,k ja v k+i = e i,kuni =1,...,n. Soveltamalla Gram-Schmidt -prosessia tähän vektorijoukkoon sillä muutoksella, että jos askeleella i saadaan u i = 0, niin hylätään u i ja jätetään jatkossa u i lausekkeista pois. Tämä Gram-Schmidt -prosessin muunnelma johtaa ortonormaaliin IR n :n kantaan, jonka ensimmäiset k kantavektoria {u 1, u 2,...,u k } virittävät H:n ja loput n k kantavektoria {u k+1, u k+2,...,u n } virittävät H:n ortogonaalikomplementin H. Erityisesti siis dim(h)+dim(h )=n (2.22) ja jokainen x IR n voidaan yksikäsitteisellä tavalla esittää muodossa x = λ 1 u λ k u {z k + λ } k+1 u k λ n u n (2.23) {z } H H Kannanvaihto Laskeminen on aina helpointa, jos käytetään kanonista kantaa E = {e 1, e 2,...,e n }. (Huomaa merkintäsopimus (2.5).) Valitettavasti joskus on pakko vaihtaa kantaa. Seuraava tarkastelu kannattaa ensimmäisellä lukukerralla lukea kursoorisesti. Lue se uudelleen ja tarkemmin, kun siihen myöhemmin viitataan.

17 14 2. Matriisilaskentaa Määritelmä Olkoon E = {u 1, u 2,...,u n } lineaariavaruuden IR n kanta. Jos x IR n ja sen esitys kannassa E on x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n, niin kertoimista muodostamme vektorin ~x = ~x E = x 1 x 2.. x n IR n, jota sanomme vektorin x IR n koordinaattivektoriksi kannassa E. (Jos kanta on selvä se jätetään merkitsemättä.) Olkoon seuraavassa E = {u 1, u 2,...,u n } ja E = {u 1, u 2,...,u n} kaksi IR n :n kantaa. Koska jokainen E:n kantavektori voidaan lausua yksikäsitteisellä tavalla kannassa E, on olemassa reaaliluvut a ij siten, että u 1 = a 11 u 1 + a 21 u a n1 u n u 2 = a 12 u 1 + a 22 u a n2 u n (2.24). u n = a 1n u 1 + a 2n u a nn u n u 1 u 1 u 2. = u AT 2. (2.25) u n u n Määritelmä Jos kaava (2.25) on voimassa, niin sanomme, että A T on kannanvaihtomatriisi. Huomaa, että kaavan (2.25) vasen (oikea) puoli ei oikeastaan ole matriisi. Matriisihan on lukukaavio, mutta (2.25):ssa on kaavio, jonka alkiot ovat kaavioita. Tällaista tietorakennetta sanomme tensoriksi. Tällä kurssilla emme opettele tensorilaskentaa, mutta on hyvä tuntea termi. Kun lasketaan Mathematica -ohjelmalla tai vastaavalla muulla ohjelmalla matriisilaskuja, tulee lausekkeita kirjoittaessa helposti syntaksivirheitä. Jos silloin virheilmoituksessa esiintyy sana tensor, niin kannattaa tarkistaa, ettei ole sijoittanut matriisin alkioksi vektoria. Olkoon nyt x vektori, jolla on eri kannoissa esitykset x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n = x 1u 1 + x 2u x nu n. (2.26)

18 2.1. Lineaarialgebran kertausta 15 Silloin x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n (2.27) = x 1 (a 11 u 1 + a 21 u a n1 u n) (2.28) + x 2 (a 12 u 1 + a 22 u a n2 u n) x n (a 1n u 1 + a 2n u a nn u n) = (a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n )u 1 (2.29) +(a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n )u (a n1 x 1 + a n2 x a nn x n )u n x 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n x 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. x n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n (2.30) ~x = A~x (2.31) Kokoamme joitakin kannanvaihdon ominaisuuksia lauseiksi, joihin vetoamme myöhemmissä kappaleissa. Lause Olkoon E = {u 1, u 2,...,u n } ja E = {u 1, u 2,...,u n} kaksi IR n :n kantaa ja x IR n.josa T on kannanvaihtomatriisi siten, että u 1 u 2. u n = AT niin koordinaattivektoreille on voimassa u 1 u 2.. u n ~x = A~x ~x = A 1 ~x Todistus. Edellä tuli perusteltua kaikki muu paitsi käänteismatriisin A 1 olemassaolo. Matriisin A sarakkeiden tulee olla lineaarisesti riippumattomat, sillä muuten kannan E kantavektorit eivät olisi lineaarisesti riippumattomat. Siis det(a) 6= 0. Mistä edelleen seuraa käänteismatriisin olemassaolo. Esimerkki Tarkastellaan IR 2 :n kantoja E = {u 1, u 2 } ja E = {u 1, u 2}, joille ½ µ u1 = 0.5u 1 u 2 = 1.5u 1 2u A T = (2.32),

19 16 2. Matriisilaskentaa Figure 2.2: Eräs mahdollinen esimerkin realisaatio. Siis A = µ ja A 1 = µ (2.33) Vektorin x =3u 1 + u 2 esitys kannassa E saadaan laskemalla ~x = µ µ µ A~x = = (2.34) x = 3u 1 2u 2 (2.35) Vektorin y =2u 1 2u 2 esitys kannassa E saadaan laskemalla ~y = µ µ µ A 1 ~y = = (2.36) y = u 1 + u 2 (2.37) Kuvassa 2.2 on piirretty esimerkkitilanne, jossa kannanvaihtomatriisi on sama kuin edellä. Huomaa kuitenkin, että laskut edellä laskettiin käyttän koordinaattivektoreita ja kannanvaihtomatriisia. Lause Olkoon E = {u 1, u 2,...,u n } ja E = {u 1, u 2,...,u n} kaksi IR n :n ortonormitettua kantaa. Jos A T on kannanvaihtomatriisi siten, että niin (u 1, u 2,...,u n ) T = A T (u 1, u 2,...,u n) T, A T A = I eli matriisin A sarakkeet ovat keskenään ortogonaaliset yksikkövektorit ja siis muodostavat IR n :n ortonormitetun kannan.

20 2.2. Matriisin rangi 17 Todistus. Käytämme matriisin A j:nnestä sarakeesta merkintää a j =(a 1j,a 2j,...,a nj ) T.Nyt δ ij = hu i u j i = h = nx a ki u k k=1 Ã nx n! X a ki a pj δ kp = k=1 = ha i a j i p=1 nx a pj u pi (2.38) p=1 nx a ki a kj = a T ia j k=1 Lause Olkoon E = {e 1, e 2,...,e n } lineaariavaruuden IR n kanoninen kanta ja E = {u 1, u 2,...,u n } toinen IR n :n kanta. Olkoon U matriisi, jonka j:s sarake on kannan Ej:s kantavektori u j.olkoonx IR n vektori ja ~x sen koordinaattivektori kannassa E. Silloin x = U~x ja ~x = U 1 x Todistus. HT 2.2 Matriisin rangi Edellisen kappaleen esimerkin sijoittajien käytettävissäonenemmän kuin kaksi tai kolme osaketta. Kun sijoitusneuvoja alkaa muodostaa ratkaisuehdotusta asiakkaalleen, hän ensin määrittää asiakkaan toiveiden mukaisen tavoitejakauman w. Sitten hän valitsee tavoitejakauman mukaisen lineaarikombinaation osakkeista, joita hän nyt pitää parhaina sijoituskohteina w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m. (2.39) Sijoitusneuvojan toimintaa helpottaa suuresti, jos hän jo etukäteen varmistuu siitä, että span{v 1, v 2,...,v m } =IR 3, (2.40) jolloin lineaarikombinaatio (2.39) on aina olemassa. Jos m = 3, niin {v 1, v 2, v 3 } on IR 3 :n kanta ja lineaarikombinaation kertoimet λ 1, λ 2, λ 3 ovat yksikäsitteiset. Tämä helpottaa neuvojan työtä, mutta ei ole optimaalista sijoittajan kannalta. Periaatteessa osakkeen j arvo markkinoilla on u (m) j = hv j 1i. Jos kuitenkin sijoittaja antaa osakkeille tästä poikkeavat arvot u j ja tavoitefunktio on lineaarinen, niin lineaarikombinaation (2.39) arvo on z = u 1 λ 1 + u 2 λ u m λ m. Muodostetaan matriisi V, jonka sarakkeet ovat v 1, v 2,..., v m. Sijoittajan kokema höty maksimoituu, kun neuvoja ratkaisee lineaarikombinaation kertoimet

21 18 2. Matriisilaskentaa λ 1, λ 2, λ 3 LP-mallista ½ max z = u1 λ 1 + u 2 λ u m λ m ehdoin λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = w max z = u 1 λ 1 + u 2 λ u m λ m ehdoin λ 1 v 11 + λ 2 v λ m v 1m = w 1 λ 1 v 21 + λ 2 v λ m v 2m = w 2 λ 1 v 31 + λ 2 v λ m v 3m = w 3 ½ max z = ehdoin u T λ Vλ = w Tällaisia LP-malleja on käsitelty talousmatematiikan perusteiden kurssilla ja operaatioanalyysin kurssilla niihin paneudutaan lisää. Nyt jätämme sijoitusneuvojan hetkeksi. Palaamme miettimään milloin vektorijoukossa {v 1, v 2,...,v m } on riittävästi vektoreita virittämään IR n :n. Ehto (2.40) on tosi, jos matriisissa V on n lineaarisesti riippumatonta saraketta. Käytämme jatkossa seuraavia nimityksiä. Määritelmä Olkoon a 11 a a 1m a A = 21 a a 2m a n1 a n2... a nm (n m)-matriisi. Matriisin A i:s rivi ja j:s sarake ovat a i =(a i1 a i2... a im ) T ja a j = Matriisin A sarakkeiden virittämä IR n :n aliavaruus on Col(A) =span{a 1, a 2,...,a m } IR n Matriisin A rivien virittämä IR m :n aliavaruus on Row(A) =span{a 1, a 2,...,a n } IR m a 1j a 2j... a nj

22 2.2. Matriisin rangi 19 Määritelmä Matriisin A lineaarisesti riippumattomien sarakkeiden lukumäärä on matriisin säännöllisyysaste eli rangi (rank). Toisin sanoen Rank(A) =dim(span{a 1, a 2,...,a m })=dim(col(a)) Englanninkielisissä kirjoissa sanotaan usein (n n)-neliömatriisista A, ettäse on a matrix of full rank jos Rank(A) = n. Tämä onyhtäpitävääseuraavien ilmaisujen kanssa A on full rank Rank(A) = n dim(col(a)) = n matriisin A sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat det(a) 6= 0 A on säännöllinen (eli on olemassa A 1 ) Esimerkki Onko span 10 2, 3 1, 1 1, 13 3, 7 1 =IR3? (2.41) Asian voi tarkistaa helposti MatLab-ohjelmalla seuraavasti EDU>> V=[ ; ; ] V = EDU>> rank(v) ans = 2 Mathematica-ohjelma ei tunne Rank-funktiota vaan TensorRank-funktion. Lyhyt ohje kuuluu: TensorRank[expr] gives the depth to which expr is a full array, with all the parts at a particular level being lists of the same length.

23 20 2. Matriisilaskentaa In[1]:= Vlist={{10,2,1},{3,1,0},{1,-1,1},{13,3,1},{7,1,1}} Out[1]= {{10,2,1},{3,1,0},{1,-1,1},{13,3,1},{7,1,1}} In[2]:= TensorRank[Vlist] Out[2]= 2 Siis vektorit eivät viritä IR 3 :a. /// Rangin määrittämistä emme nyt opettele. Periaatteessa on melko helppo kehittää Gram-Schmidt n menetelmästä muunnos, jonka avulla matriisin rangi voidaan selvittää. Käytännössä ongelmaksi muodostuu se, että pyöristysvirheiden takia joskus saadaan laskutoimituksen tuloksena nollan sijasta hyvin pieni luku, joka ei ole nolla. (Esimerkiksi =0.) 2.3 Lineaarikuvaus Lineaarikuvauksen matriisi Tarkastellaan ensin kuvausta f :IR n IR m. Kuvauksen lineaarisuus määritellään seuraavasti Määritelmä Kuvaus f :IR n IR m, v 7 f(v) onlineaarinen (linear), joss (1) kaikilla u, v IR n on voimassa f(u + v) =f(u)+f(v) (2) kaikilla u IR n, λ IR on voimassa f(λu) =λf(u) Seuraava kuvio saattaa tehdä asian konkreettiseksi. Prosessi panos u prosessi f tuotos f(u) on lineaarinen, jos kahdesta osapanoksesta saatu kokonaistuotos on osatuotosten summa

24 2.3. Lineaarikuvaus 21 u + v prosessi f f(u)+f(v) ja panoksen puolittaminen (lambdaaminen) puolittaa (lambdaa) myös tuotoksen 0.5u prosessi f 0.5f(u). Lineaarisuus oli keskeinen oletus peruskurssilla käsiteltyjen LP-mallien tavoitefunktiolle. Nyt erona LP-mallin tavoitefunktioon on, että sekä panos, että tuotos ovat vektoreita. Esimerkki Yritys valmistaa kahta tuotetta A ja B. Yhden tuotteen valmistamiseen tarvittavat tuotannontekijöiden määrät on luetteloitu seuraavassa taulukossa. tuot. tekijä A B työ (min) lasi (m 2 ) 3 1 alumiinilista (m) 12 8 Muodostetaan A:n valmistusmäärästä x 1 ja B:n valmistusmäärästä x 2 (päätösmuuttujista) valmistusmäärä-vektori µ x1 x =. (2.42) Tuotannontekijöiden tarpeet, d 1 (työ /min),d 2 (lasi / m 2 ), d 3 (alum.lista / m), kootaan myös vektoriksi d = d 1 d 2. (2.43) d 3 Tuotannontekijöiden tarve on funktio tuotantomäärä-vektorista d = d µ d 2 = 3 1 x1 def = f(x). (2.44) x d {z } =A Funktio d = f(x) = Ax on lineaarinen, sillä matriisikertolasku x 7 Ax toteuttaa määritelmän ehdot (1) ja (2). /// Edellisen esimerkin funktio todetaan helposti lineaariseksi, koska se voidaan tulkita matriisilla kertomiseksi. Käänteinen on myös totta. x 2 Lause Jos kuvaus f :IR n IR m on lineaarinen, niin on olemassa (m n)- matriisi A siten, että f(x) =Ax. Todistus. Olkoon E = {e 1, e 2,...,e n } vektoriavaruuden IR n kanoninen kanta ja vastaavasti E = {e 1, e 2,...,e m} vektoriavaruuden IR m kanoninen kanta. (Huomaa

25 22 2. Matriisilaskentaa merkintäsopimus (2.5).) Vektorit f(e i ) IR n voidaan lausua kannan E avulla yksikäsitteisellä tavalla. f(e j )=a 1j e 1 + a 2j e a mj e m (2.45) Kootaan näistä lineaarikombinaatioiden kertoimista matriisi A =(a ij ). Jos x = ( x 1 x 2... x n ) IR T, niin merkitään Ax = b, jolloin f(x) = f(x 1 e 1 + x 2 e x n e n ) = f(x 1 e 1 )+f(x 2 e 2 )+...+ f(x n e n ) = x 1 f(e 1 )+x 2 f(e 2 )+...+ x n f(e n ) = x 1 (a 11 e 1 + a 21 e a m1 e m)+x 2 (a 12 e 1 + a 22 e a m2 e m) x n (a 1n e 1 + a 2n e a mn e à m) n! à X n! à X n! X = a 1k x k e 1 + a 2k x k e a mk x k e m k=1 k= = b b b 0 m = Joskus joudumme käyttämään ei-kanonisia kantoja. b m k=1 b 1 b 2. = Ax Määritelmä Olkoon L lineaariavaruus ja E = {v 1, v 2,...,v n } L sen kanta ja olkoon H lineaariavaruus ja F = {w 1, w 2,...,w m } H sen kanta. (m n)- matriisi A F E on lineaarikuvauksen f : L H matriisi kannoissa E ja F, jos kaikilla x L ja y H on voimassa (y = f(x)) ~y F = A F E ~xe f(x):n koordinaatit kannassa F saadaan kertomalla matriisilla A F E vektorin x koordinaatit kannassa E Lause Olkoon L lineaariavaruus ja E = {v 1, v 2,...,v n } L sen kanta ja olkoon H lineaariavaruus ja F = {w 1, w 2,...,w m } H sen kanta. Olkoon V matriisi, jonka sarakkeina onat kannan E kantavektorit ja olkoon W matriisi, jonka sarakkeina ovat kannan F kantavektorit. Jos A on lineaarikuvauksen f : L H matriisi kanoonisissa kannoissa, niin f:n matriisi kannoissa E ja F on A F E = W 1 AV

Matemaattinen Analyysi, k2011, L2

Matemaattinen Analyysi, k2011, L2 Matemaattinen Analyysi, k2011, L2 Lineaarikombinaatio 1 Esimerkki 1 Olkoon yrityksen A osakkeen arvo 20eja yrityksen B osakkeen arvo 10e. Sijoittaja tarkastelee omaisuutensa rakennetta ryhmittelemällä

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi, k2012, L1

Matemaattinen Analyysi, k2012, L1 Matemaattinen Analyysi, k22, L Vektorit Merkitsemme koulumatematiikasta tuttua vektoria v = 2 i + 3 j sarake matriisilla ( ) 2 v = v = = ( 2 3 ) T 3 Merkintätavan muutos helpottaa jatkossa siirtymistä

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Lineaarialgebra, kertausta aiheita

Lineaarialgebra, kertausta aiheita Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi, s2016, L2

Matemaattinen Analyysi, s2016, L2 Matemaattinen Analyysi, s2016, L2 riippumattomuus, 1 Esimerkkejä esimerkki Dieetti-välipala 1: Opiskelija Ken Obi on dieetillä. Lenkin jälkeen Ken pysähtyy välipalalle. Dieetin mukaan hänen pitäisi saada

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen.

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Pns ratkaisu (Kr. 20.5, Lay 6.5 C-II/KP-II, 20, Kari Eloranta Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Määritelmä Jos A on

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Paikannuksen matematiikka MAT

Paikannuksen matematiikka MAT TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0. HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot