TMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003
|
|
- Anita Penttilä
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003 Vaasan Yliopisto, 2003 Teknillinen tiedekunta Matemaattisten tieteiden laitos PL 700 (Wolffintie 34) VAASA Vaasan yliopisto
2 Matemaattinen analyysi 2003, sisältö: 1. Johdanto Kurssin tavoitteet 1 2. Matriisilaskentaa Lineaarialgebran kertausta Sisätulojanormi Lineaarinen riippumattomuus ja kanta Kannanvaihto Matriisin rangi Lineaarikuvaus Lineaarikuvauksen matriisi Ydin ja kuva Matriisin ominaisarvot Similaarisuus Matriisin diagonalisointi Matriisin LU-hajoitelma Matriisin QR-hajoitelma Matriisin singulaariarvohajoitelma Matriisin definiittisyys Yleinen lineaariavaruus* * 3. Ääriarvotehtäviä Yhden muuttujan tapaus, kertaus Kahden muuttujan tapaus ilman rajoitteita Gradientti, välttämätön ehto Hessian, riittävä ehto Optimin etsiminen numeerisesti Esimerkkejä Monen muuttujan tapaus ilman rajoitteita Rajoitteellinen optimointi, yhtälörajoite Sijoituskeino Lagrangen kertojat, yhtälörajoite Resurssirajoite, resurssin varjohinta Rajoitteellinen optimointi, epäyhtälörajoite Graafinen ratkaisu Laskeva ja käypä suunta Lagrangen kertojat, epäyhtälörajoite Optimointitehtävän relaksaatio Pienimmän neliösumman menetelmä Approksimointi polynomilla 91
3 Lineaarisen mallin sovitus Jonot ja sarjat Supremum ja infimum Jonon suppeneminen Sarjan suppeneminen Majoranttiperiaate, suppenemistestejä Transientin kassavirran nykyarvo Potenssisarja, suppenemisväli Taylorin ja MacLaurinin sarjat Taylorin polynomi Dynaamisen ilmiön mallinnus Differentiaaliyhtälö Ensimmäisen kertaluvun DY Separoituva DY Muotoa y = f( y x ) oleva DY Lineaarinen 1. kertaluvun diff.yhtälö Sovelluksia Lääkkeen määrä elimistössä Eksponentiaalinen kasvu Logistinen kasvu Auton hinta Numeerinen simulointi kertaluvun lineaarinen vakiokert. DY kertaluvun lin. vakiokert. DY-ryhmä Yleinen tasapainon stabiilisuus Kirjallisuutta *
4 1.1. Kurssin tavoitteet 1 1. Johdanto 1.1 Kurssin tavoitteet Tämän kurssin tavoite on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet jatkaa operaatioanalyysin ja taloustieteiden opiskelua. Jatkossa opiskelija saa tutustua sovelluksiin, joissa saatu hyöty riippuu monesta muuttujasta. Luonnollinen tehtävä silloin on löytää muuttujille sellaiset arvot, että hyöty saadaan mahdollisimman suureksi. Tämän perustehtävän ratkaisemista sanotaan optimoinniksi. Jo talousmatematiikan perusteissa tutustuttiin lineaariseen optimointiin. Tällä kurssilla tavoitefunktio ja rajoitteet saavat olla epälineaarisia. Kurssin sisältö jakautuu karkeasti neljään osaan: 1. matriisilaskentaa 2. optimointia 3. jonoja ja sarjoja 4. differentiaaliyhtälöitä Kurssin alussa esitettäviä matriisien ominaisuuksia tarvitaan myöhemmin optimoinnin ja differentiaaliyhtälöiden yhteydessä. Matriiseja opiskelija tulee tarvitsemaan muillakin kursseilla, joten asiakokonaisuus on tärkeä. Matriisiosuus alkaa lineaarialgebran kertauksella, jota luultavasti ei tämän kurssin tentissä tulla kysymään. Missä kertaus loppuu ja uusi materiaali alkaa riippuu kulloisenkin vuoden luennoijasta ja edeltävien kurssien toteutuksesta. * merkinnät, sanonnat * matriisilaskut Excel:llä *graafiset esitykset * analyysi, harjoittele kirjainten käsittelyä lausekkeissa
5 2 1. Johdanto
6 2.1. Lineaarialgebran kertausta 3 2. Matriisilaskentaa 2.1 Lineaarialgebran kertausta Merkitsemme koulumatematiikasta tuttua vektoria ~v = 2~i + 3~j sarake matriisilla µ 2 v = =(2 3) T 3 Merkintätavan muutos helpottaa jatkossa siirtymistä useammankuinkahdenko- ordinaatin vektoreihin. Yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen on nyt helposti määriteltävissä. µ µ µ µ = = µ µ µ = = Perinteinen ja hyvä tapa saada mielikuva edellä olleista vektoreista on ajatella ne siirtymisinä. ( 2 3 ) T = kaksi oikealle ja kolme ylös, ( 5 1 ) T = viisi oikealle ja yksi ylös ja ( 2 3 ) T +(5 1) T = kaksi oikealle ja kolme ylös ja vielä viisi oikealle ja yksi ylös = seitsemän oikealle ja neljä ylös (ks. Kuva 2.1). Käytämme n-alkioisten vektoreiden joukolle merkintää IR n = {a =(a 1 a 2... a n ) T a j IR,j =1, 2,...,n}. Sanomme IR n :ää n-ulotteiseksi Euklidiseksi vektoriavaruudeksi. IR 1,IR 2 ja IR 3 ovat lukion matematiikasta tutut lukusuora, taso ja kolmiulotteinen avaruus. (Meidän käyttämämme merkintä IR n muistuttaa siitä, että vekrotin koordinaatit a j ovat reaalilukuja. Monessa kirjassa halutaan korostaa Eukleideen nimeä, ja sillon vastaava merkintä yleensä one n.)
7 4 2. Matriisilaskentaa Figure 2.1: ( 2 3 ) T +(5 1) T =(7 4) T Yleistämme IR 2 :ssa niin luonnolliset yhteenlasku- ja reaaliluvulla kertomis-säännöt IR n :ään seuraavasti. Olkoot a =(a 1 a 2... a n ) IR n, b =(b 1 b 2... b n ) IR n, c =(c 1 c 2... c n ) IR n ja µ IR. a + b = c c j = a j + b j, j =1,...,n (2.1) µa = c c j = µa j, j =1,...,n (2.2) On tärkeätä huomata, että vektoreille on sovittu kahden vektorin yhteenlasku ja vektorin kertominen reaaliluvulla, mutta kahden vektorin kertomista ei ole määritelty. Yllä sovittu merkintä, noudattelee matriisinotaatiota. Joskus on tarpeen erotella matriisin alkioita (vektorin koordinaatteja) toisistaan. Seuraavassa kaksi esimerkkiä, joissa erottimet ovat tarpeen. Sovitaan vielä merkinnöistä µ ax yz 2 =(ax, yz 2 ) T, µ 2.4 =(2.4; 1.3) T, = ( ) T (2.3) 1 = ( ) T (2.4) e k = (δ 1k δ 2k... δ nk ) T, (2.5) missä δ kk =1, ja δ jk =0, kun j 6= k Esimerkiksi IR 3 :ssa 0 = 0 0, 1 = 1 1, e 1 = 1 0, e 2 = 0 1, e 3 =
8 2.1.1 Sisätulo ja normi 2.1. Lineaarialgebran kertausta 5 Kahden vektorin a IR 3 ja b IR 3 sisätulo ha bi ja vektorin a IR 3 normi kak määritellään seuraavasti ha bi = a T b =(a 1 a 2 a 3 ) b 1 b 2 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (2.6) b 3 kak = p q ha ai = a a2 2 + a2 3 (2.7) Sisätulo on siis lukiosta tuttu pistetulo ja normi on vektorin pituus. Nyt yleistämme seuraavasti. Määritelmä Kahden vektorin a IR n ja b IR n sisätulo ha bi ja vektorin a IR n normi kak ovat ha bi = a T b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n (2.8) kak = p q ha ai = a a a2 n (2.9) Sisätulon arvo on reaaliluku, joten sisätulo ei ole vektoreiden välinen laskutoimitus. (Siksi vältämme nyt pistetulomerkintää.) Kahden vektorin sanotaan olevan kohtisuorassa toisiaan vastaan eli ortogonaaliset (merkitään a b) jos niiden sisätulo on nolla, a b ha bi = 0. Normi on mitta vektorin suuruudelle. Kaksi vektoria ovat lähellä toisiaan, jos niiden erotuksen normi on pieni Esimerkki Olkoon a IR N N:stä havaintoarvosta muodostuva havaintovektori (aikasarja). Havaintosarjan keskiarvo on µ a =(a 1 + a a N )/N = N 1 ha 1i (2.10) Havaintojen poikkeama keskiarvosta (vaihtelu) saadaan vähentämällä keskiarvo jokaisesta havainnosta ã =(a 1 µ a,a 2 µ a,...,a N µ a ) T = a µ a 1 (2.11) Vaihtelun suuruutta on tapana mitata varianssilla s 2 a,jokaon s 2 a = kãk2 N 1 = (N 1) 1 ha µ a 1 a µ a 1i = (N 1) 1 (ha ai µ a ha 1i µ a h1 ai + µ 2 ah1 1i) = at a Nµ 2 a N 1 ( IR) (2.12) Olkoon b IR N toinen aikasarja ja µ b sen keskiarvo ja b IR N sen poikkeama keskiarvosta. Jos kummankin aikasarjan poikkeamat keskiarvosta noudattavat yhteistä rytmiä, niin tulo ã j bj on useimmiten positiivinen. Silloin hã bi = P ã j bj on
9 6 2. Matriisilaskentaa positiivinen. Tätä yhteisvaihtelua on tapana mitata kovarianssilla cov(a, b) = hã bi N 1 = (N a) 1 ha µ a 1 b µ b 1i = (N a) 1 (ha bi µ b ha 1i µ a h1 bi + µ a µ b h1 1i) = at b Nµ a µ b N 1 (2.13) Kahden aikasarjan välinen korrelaatio r ab määritellään lausekkeella r ab = cov(a, b) s a s b (2.14) Seuraavassa taulukossa on kolme aikasarjaa ja vastaavat varianssit, kovarianssit ja korrelaatiokertoimet. j a j b j c j µ a =1.013 µ b =2.959 µ c =4.997 s a =0.219 s b =0.429 s c =0.643 cov(a, b) =0.012, r a,b =0.126 cov(a, c) =0.132, r a,c =0.941 cov(b, c) =0.014, r b,c =0.053 Esimerkki Yhteisvaihtelua käsitellään paljon riippuvuusanalyysin kurssilla. Tälä kurssilla emme jatka aiheen käsittelyä enempää kuin yhdellä huomiolla. Koska usein taloudelliset aikasarjat esitetään muodossa, jossa havaintojen keskiarvo on likimain nolla, ymmärretään helposti aikasarjojen ortogonaalisuus ja korreloimattomuus samaksi asiaksi. Tämä ei kuitenkaan ole totta. Seuraava vastaesimerkki osoittaa eron.
10 2.1. Lineaarialgebran kertausta 7 j a j b j 1-1,000 3, ,000 5, ,000 2, ,000 3, ,000 4, ,000 5,000 µ s cov(a, b) =1.222 r a,b =1.000, ha bi =0 Aikasarjat korreloivat täydellisesti, vaikka ovatkin keskenään ortogonaaliset lineaarinen riippumattomuus ja kanta Esimerkki Olkoon yrityksen A osakkeen arvo 20 C ja yrityksen B osakkeen arvo 10 C. Sijoittaja tarkastelee omaisuutensa rakennetta ryhmittelemällä sijoittamansa rahat kolmeen osaan mekaaninen puunjalostus, paperi ja kemianteollisuus. Yrityksen A liikevaihdosta puolet tulee sahatavarasta ja puolet paperin valmistuksesta. Yrityksen B liikevaihdosta puolet tulee hienopaperista ja puolet värikemikaalien myynnistä. Yritysten osakkeiden arvojen jakautumiset eri toimialoille voidaan esittää vektoreilla v A = 10 10, v B = 0 5. (2.15) 0 5 Sijoittaja haluaa sijoittaa 1000 C siten, että 50% sijoituksesta menee paperinvalmistukseen loppu jakautuu tasan mekaanisen puunjalostuksen ja kemian teollisuuden kesken. Tavoitteena on siis jakauma w 1 = (2.16) 250 Tämä onnistuu ostamalla 25 kappaletta A-osaketta ja 50 kappaletta B-osaketta, sillä w 1 = = =25v A +50v B (2.17) Toinen sijoittaja haluaa sijoittaa 1000 C siten, että 50% sijoituksesta menee mekaaniseen puuhun ja loput tasan paperiteollisuuteen ja kemian teollisuuteen. (Siis
11 8 2. Matriisilaskentaa w 2 = (500; 250; 250) T.) Tämä on jo vaikeampaa. johtaa seuraavaan päättelyketjuun Perusteellinen ratkaisuyritys Gauss xv A + yv B = w 2 (2.18) x y 0 5 = µ 10 5 x = y :10 : : ei ratkaisua! /// Sovimme seuraavista sanonnoista. Määritelmä Olkoon u, v 1, v 2,...v m IR n vektoreita ja λ 1, λ 2,...,λ m IR reaalilukuja. (1) Jos u = λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m niin sanomme, ettävektori u on lineaarikombinaatio (linear combination) vektoreista {v 1, v 2,...,v m }. (2) Vektorijoukon {v 1, v 2,...,v m } IR n kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko on sen virittämä aliavaruus (a subspace of IR n spanned by {v 1, v 2,...,v m }) span{v 1, v 2,...,v m } = {u IR n u on lineaarikombinaatio vektoreista v j }
12 2.1. Lineaarialgebran kertausta 9 Määritelmä (1) Vektorijoukko {v 1, v 2,...,v m } IR n on lineaarisesti riippuva (sidottu) (linearly dependent), jos on olemassa reaaliluvut λ 1, λ 2,...,λ m IR, joista ainakin yksi ei ole nolla, niin että λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = 0 (2) Vektorijoukko {v 1, v 2,...,v m } IR n on lineaarisesti riippumaton (vapaa) (linearly independent), jos se ei ole sidottu, eli (λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = 0) (λ 1 = λ 2 =...= λ m =0) Lineaarisesti riippuva eli sidottu vektorijoukko voidaan myös luonnehtia sanomalla, että vektorijoukko on sidottu, jos ainakin yksi vektoreista voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa. Vektorijoukko ei välttämättä viritä kokoir n :ää. Esimerkissä toisen sijoittajan tavoitejakauma w 2 ei ole toteutettavissa v A :n ja v B :n lineaarikombinaationa (w 2 / span{v A, v B }). Jos toinen sijoittaja haluaa toteuttaa suunnitelmansa, niin hänen tulee etsiä kolmas yritys C niin, että w 2 Span{v A, v B, v C }.Asiaonselvä, jos Span{v A, v B, v C } =IR 3. Tämän kappaleen lopussa saamme ehdon sille, että vektorijoukko virittää IR n :n. Määritelmä Jos vektorijoukko E = {v 1, v 2,...,v m } IR n on lineaarisesti riippumaton, niin sanomme että se on virittämänsä aliavaruuden span{v 1, v 2,...,v m } kanta (base). Vektoreita v j E sanotaan kantavektoreiksi. Jos kantavektorit ovat keskenään ortogonaaliset eli hv j v k i = 0, kun j 6= k, niin kanta on ortogonaalinen (orthogonal). Jos kanta on ortogonaalinen ja lisäksi kv j k =1,j =1,...,m, niin kanta on ortonormitettu (orthonormal). Esimerkki Tutkitaan muodostavatko esimerkin vektorit {v A, v B } virittämänsä aliavaruuden kannan. Lineaarisen riippumattomuuden määritelmän perusteella riittää osoittaa, että (λ 1 v A + λ 2 v B = 0) (λ 1 = λ 2 =0) Osoitamme tämän seuraavasti λ 1 v A + λ 2 v B = 0 λ λ = 10λ 1 = 0 10λ 1 + 5λ 2 = 0 5λ 2 = 0 λ 1 = λ 2 =
13 10 2. Matriisilaskentaa Siis vektorit muodostavat kannan. /// Esimerkki Olkoon esimerkin sijoittajilla käytettävissään kolmas osake, C-osake, johon liittyvä jakauma on v C =(1050) T. Sijoitusneuvoja neuvottelee asiakkaidensa kanssa ja määrittää kullekin sopivan jakauman w. Voidaanko tämä jakauma aina toteuttaa lineaarikombinaationa vektoreista {v A, v B, v C }, eli onko span{v A, v B, v C } =IR 3? Olkoon nyt w IR 3 mikä tahansa asiakkaan toivoma painovektori. Määritämme sitä vastaavat lineaarikombinaation kertoimet λ 1, λ 2 ja λ 3 siten, että λ 1 v A + λ 2 v B + λ 3 v C = w (2.19) λ λ λ = w 1 w 2 (2.20) w λ 1 λ 2 = λ 3 w 1 w 2. (2.21) w 3 Tästä yhtälöryhmästä saadaan λ:t aina ratkaistua, sillä yhtälöryhmän kerroinmatriisin determinantti ei ole nolla. Siis span{v A, v B, v C } = IR 3 ja mikä tahansa asiakkaan toivoma painovektori voidaan toteuttaa vektoreiden {v A, v B, v C } lineaarikombinaationa. /// Pian esimerkkimme sijoitusneuvoja saa vastauksen muutamaan peruskysymykseensä. Sitä ennen määrittelemme vielä aliavaruuden dimension ja annamme muutaman muutaman kantoihin liittyvän ominaisuuden lauseiden muodossa. Voidaan osoittaa, että jos lineaarisesti riipppumattomat vektorijoukot E 1 = {v 1, v 2,...,v p } IR n ja E 2 = {u 1, u 2,...,u k } IR n virittävät saman lineaarisen aliavaruuden H =span(e 1 )=span(e 2 ), niin kannoissa E 1 ja E 2 on yhtä monta kantavektoria. Tämä oikeuttaamäärittelemään. Määritelmä Lineaarisen aliavaruuden H IR n dimensio, dim(h) onsen kannan kantavektoreiden lukumäärä. Lause dim(ir n )=n Todistus. Selvästi E = {e 1, e 2,...,e n } on IR n :n kanta.
14 2.1. Lineaarialgebran kertausta 11 Lause Olkoon E = {v 1, v 2,...,v m } IR n joukko vektoreita ja olkoon V matriisi, jonka sarakkeina ovat vektorit v 1, v 2,...,v m.(v on siis (n m)-matriisi.) Silloin E on IR n :n kanta, jos ja vain jos m = n ja lisäksi det(v) 6= 0. Todistus. [ ] Oletetaan ensin, että E on IR n :n kanta. Lauseen (2.1.1) mukaan m = n. Koska m = n matriisi V on neliömatriisi ja voimme päätellä seuraavasti (vertaa esimerkin 2.1.5päättelyyn) E on kanta E = {v 1, v 2,...,v n } on lineaarisesti riippumaton ((λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0) (λ 1 = λ 2 =...= λ n =0)) λ 1 0 λ ryhmällä V 2. = 0.. on vain triviaali ratkaisu λ n 0 det(v) 6= 0 [ ] Oletetaan toiseksi, että m = n ja det(v ) 6= 0. Vastaavapäättely kuin edellä osoittaa, että E on lineaarisesti riippumaton. Lisäksi voimme päätellä, että det(v) 6= 0 ryhmällä V λ 1 λ 2.. n = w on ratkaisu kaikilla w IR λ n jokainen w IR n voidaan lausua lineaarikombinaationa Siis E on IR n :n kanta. w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n E virittää IR n :n Esimerkki a) Vektorijoukko E 1 = , 3 1 0, on IR 3 :n kanta sillä =436= 0
15 12 2. Matriisilaskentaa b) Vektorijoukko E 2 = 10 2, 3 1, ei ole IR 3 :n kanta sillä =0 c) Vektorijoukko E 3 = 10 2, ei ole IR 3 :n kanta sillä kantavektoreita on liian vähän (E 3 ei viritä IR 3 :a). d) Vektorijoukko E 4 = 10 2, 3 1, 1 0, ei ole IR 3 :n kanta sillä kantavektoreita on liian monta (E 4 ei ole vapaa). /// Joissakin tilanteissa laskeminen helpottuu, jos lineaariselle aliavaruudelle H = span{v 1, v 2,...,v m } on käytettävissä ortonormaali kanta. Voidaan osoittaa, että ortonormaali kanta aina löytyy. Seuraava menettely antaa ortogonaalisen kannan, josta ortonormaali kanta saadaan kertomalla jokainen kantavektori norminsa käänteisluvulla. Lause (Gram-Schmidt) Olkoon {v 1, v 2,...,v m } lineaarisesti riippumaton ja H = span({v 1, v 2,...,v m }) IR n. Jos asetetaan u 1 = v 1 u 2 = v 2 hv 2 u 1 i hu 1 u 1 i u 1 u 3 = v 3 hv 3 u 1 i hu 1 u 1 i u 1 hv 3 u 2 i hu 2 u 2 i u 2. u m = v m hv m u 1 i hu 1 u 1 i u 1 hv m u 2 i hu 2 u 2 i u 2 hv m u m 1 i hu 2 u m 1 i u m 1 niin {u 1, u 2,...,u m } on H:n ortogonaalinen kanta. Lisäksi Todistus. HT. span{u 1, u 2,...,u k } =span{v 1, v 2,...,v k }, kun 1 k m.
16 2.1. Lineaarialgebran kertausta 13 Määritelmä Olkoon H IR n lineaarinen aliavaruus. H:n ortogonaalikomplementti (orthogonal complement) H koostuu niistä IR n :n vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa kaikkia H:n vektoreita vastaan. Siis H = {x IR n hx hi =0, kaikille h H} Olkoon H IR n lineaarinen aliavaruus ja V = {v 1, v 2,...,v k } sen kanta. Nyt siis dim(h) = k n. Laajennetaan vektorijoukko V kanonisen kannan vektoreilla joukoksi V asettamalla v j = v j,kunj =1,...,k ja v k+i = e i,kuni =1,...,n. Soveltamalla Gram-Schmidt -prosessia tähän vektorijoukkoon sillä muutoksella, että jos askeleella i saadaan u i = 0, niin hylätään u i ja jätetään jatkossa u i lausekkeista pois. Tämä Gram-Schmidt -prosessin muunnelma johtaa ortonormaaliin IR n :n kantaan, jonka ensimmäiset k kantavektoria {u 1, u 2,...,u k } virittävät H:n ja loput n k kantavektoria {u k+1, u k+2,...,u n } virittävät H:n ortogonaalikomplementin H. Erityisesti siis dim(h)+dim(h )=n (2.22) ja jokainen x IR n voidaan yksikäsitteisellä tavalla esittää muodossa x = λ 1 u λ k u {z k + λ } k+1 u k λ n u n (2.23) {z } H H Kannanvaihto Laskeminen on aina helpointa, jos käytetään kanonista kantaa E = {e 1, e 2,...,e n }. (Huomaa merkintäsopimus (2.5).) Valitettavasti joskus on pakko vaihtaa kantaa. Seuraava tarkastelu kannattaa ensimmäisellä lukukerralla lukea kursoorisesti. Lue se uudelleen ja tarkemmin, kun siihen myöhemmin viitataan.
17 14 2. Matriisilaskentaa Määritelmä Olkoon E = {u 1, u 2,...,u n } lineaariavaruuden IR n kanta. Jos x IR n ja sen esitys kannassa E on x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n, niin kertoimista muodostamme vektorin ~x = ~x E = x 1 x 2.. x n IR n, jota sanomme vektorin x IR n koordinaattivektoriksi kannassa E. (Jos kanta on selvä se jätetään merkitsemättä.) Olkoon seuraavassa E = {u 1, u 2,...,u n } ja E = {u 1, u 2,...,u n} kaksi IR n :n kantaa. Koska jokainen E:n kantavektori voidaan lausua yksikäsitteisellä tavalla kannassa E, on olemassa reaaliluvut a ij siten, että u 1 = a 11 u 1 + a 21 u a n1 u n u 2 = a 12 u 1 + a 22 u a n2 u n (2.24). u n = a 1n u 1 + a 2n u a nn u n u 1 u 1 u 2. = u AT 2. (2.25) u n u n Määritelmä Jos kaava (2.25) on voimassa, niin sanomme, että A T on kannanvaihtomatriisi. Huomaa, että kaavan (2.25) vasen (oikea) puoli ei oikeastaan ole matriisi. Matriisihan on lukukaavio, mutta (2.25):ssa on kaavio, jonka alkiot ovat kaavioita. Tällaista tietorakennetta sanomme tensoriksi. Tällä kurssilla emme opettele tensorilaskentaa, mutta on hyvä tuntea termi. Kun lasketaan Mathematica -ohjelmalla tai vastaavalla muulla ohjelmalla matriisilaskuja, tulee lausekkeita kirjoittaessa helposti syntaksivirheitä. Jos silloin virheilmoituksessa esiintyy sana tensor, niin kannattaa tarkistaa, ettei ole sijoittanut matriisin alkioksi vektoria. Olkoon nyt x vektori, jolla on eri kannoissa esitykset x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n = x 1u 1 + x 2u x nu n. (2.26)
18 2.1. Lineaarialgebran kertausta 15 Silloin x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n (2.27) = x 1 (a 11 u 1 + a 21 u a n1 u n) (2.28) + x 2 (a 12 u 1 + a 22 u a n2 u n) x n (a 1n u 1 + a 2n u a nn u n) = (a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n )u 1 (2.29) +(a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n )u (a n1 x 1 + a n2 x a nn x n )u n x 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n x 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. x n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n (2.30) ~x = A~x (2.31) Kokoamme joitakin kannanvaihdon ominaisuuksia lauseiksi, joihin vetoamme myöhemmissä kappaleissa. Lause Olkoon E = {u 1, u 2,...,u n } ja E = {u 1, u 2,...,u n} kaksi IR n :n kantaa ja x IR n.josa T on kannanvaihtomatriisi siten, että u 1 u 2. u n = AT niin koordinaattivektoreille on voimassa u 1 u 2.. u n ~x = A~x ~x = A 1 ~x Todistus. Edellä tuli perusteltua kaikki muu paitsi käänteismatriisin A 1 olemassaolo. Matriisin A sarakkeiden tulee olla lineaarisesti riippumattomat, sillä muuten kannan E kantavektorit eivät olisi lineaarisesti riippumattomat. Siis det(a) 6= 0. Mistä edelleen seuraa käänteismatriisin olemassaolo. Esimerkki Tarkastellaan IR 2 :n kantoja E = {u 1, u 2 } ja E = {u 1, u 2}, joille ½ µ u1 = 0.5u 1 u 2 = 1.5u 1 2u A T = (2.32),
19 16 2. Matriisilaskentaa Figure 2.2: Eräs mahdollinen esimerkin realisaatio. Siis A = µ ja A 1 = µ (2.33) Vektorin x =3u 1 + u 2 esitys kannassa E saadaan laskemalla ~x = µ µ µ A~x = = (2.34) x = 3u 1 2u 2 (2.35) Vektorin y =2u 1 2u 2 esitys kannassa E saadaan laskemalla ~y = µ µ µ A 1 ~y = = (2.36) y = u 1 + u 2 (2.37) Kuvassa 2.2 on piirretty esimerkkitilanne, jossa kannanvaihtomatriisi on sama kuin edellä. Huomaa kuitenkin, että laskut edellä laskettiin käyttän koordinaattivektoreita ja kannanvaihtomatriisia. Lause Olkoon E = {u 1, u 2,...,u n } ja E = {u 1, u 2,...,u n} kaksi IR n :n ortonormitettua kantaa. Jos A T on kannanvaihtomatriisi siten, että niin (u 1, u 2,...,u n ) T = A T (u 1, u 2,...,u n) T, A T A = I eli matriisin A sarakkeet ovat keskenään ortogonaaliset yksikkövektorit ja siis muodostavat IR n :n ortonormitetun kannan.
20 2.2. Matriisin rangi 17 Todistus. Käytämme matriisin A j:nnestä sarakeesta merkintää a j =(a 1j,a 2j,...,a nj ) T.Nyt δ ij = hu i u j i = h = nx a ki u k k=1 Ã nx n! X a ki a pj δ kp = k=1 = ha i a j i p=1 nx a pj u pi (2.38) p=1 nx a ki a kj = a T ia j k=1 Lause Olkoon E = {e 1, e 2,...,e n } lineaariavaruuden IR n kanoninen kanta ja E = {u 1, u 2,...,u n } toinen IR n :n kanta. Olkoon U matriisi, jonka j:s sarake on kannan Ej:s kantavektori u j.olkoonx IR n vektori ja ~x sen koordinaattivektori kannassa E. Silloin x = U~x ja ~x = U 1 x Todistus. HT 2.2 Matriisin rangi Edellisen kappaleen esimerkin sijoittajien käytettävissäonenemmän kuin kaksi tai kolme osaketta. Kun sijoitusneuvoja alkaa muodostaa ratkaisuehdotusta asiakkaalleen, hän ensin määrittää asiakkaan toiveiden mukaisen tavoitejakauman w. Sitten hän valitsee tavoitejakauman mukaisen lineaarikombinaation osakkeista, joita hän nyt pitää parhaina sijoituskohteina w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m. (2.39) Sijoitusneuvojan toimintaa helpottaa suuresti, jos hän jo etukäteen varmistuu siitä, että span{v 1, v 2,...,v m } =IR 3, (2.40) jolloin lineaarikombinaatio (2.39) on aina olemassa. Jos m = 3, niin {v 1, v 2, v 3 } on IR 3 :n kanta ja lineaarikombinaation kertoimet λ 1, λ 2, λ 3 ovat yksikäsitteiset. Tämä helpottaa neuvojan työtä, mutta ei ole optimaalista sijoittajan kannalta. Periaatteessa osakkeen j arvo markkinoilla on u (m) j = hv j 1i. Jos kuitenkin sijoittaja antaa osakkeille tästä poikkeavat arvot u j ja tavoitefunktio on lineaarinen, niin lineaarikombinaation (2.39) arvo on z = u 1 λ 1 + u 2 λ u m λ m. Muodostetaan matriisi V, jonka sarakkeet ovat v 1, v 2,..., v m. Sijoittajan kokema höty maksimoituu, kun neuvoja ratkaisee lineaarikombinaation kertoimet
21 18 2. Matriisilaskentaa λ 1, λ 2, λ 3 LP-mallista ½ max z = u1 λ 1 + u 2 λ u m λ m ehdoin λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = w max z = u 1 λ 1 + u 2 λ u m λ m ehdoin λ 1 v 11 + λ 2 v λ m v 1m = w 1 λ 1 v 21 + λ 2 v λ m v 2m = w 2 λ 1 v 31 + λ 2 v λ m v 3m = w 3 ½ max z = ehdoin u T λ Vλ = w Tällaisia LP-malleja on käsitelty talousmatematiikan perusteiden kurssilla ja operaatioanalyysin kurssilla niihin paneudutaan lisää. Nyt jätämme sijoitusneuvojan hetkeksi. Palaamme miettimään milloin vektorijoukossa {v 1, v 2,...,v m } on riittävästi vektoreita virittämään IR n :n. Ehto (2.40) on tosi, jos matriisissa V on n lineaarisesti riippumatonta saraketta. Käytämme jatkossa seuraavia nimityksiä. Määritelmä Olkoon a 11 a a 1m a A = 21 a a 2m a n1 a n2... a nm (n m)-matriisi. Matriisin A i:s rivi ja j:s sarake ovat a i =(a i1 a i2... a im ) T ja a j = Matriisin A sarakkeiden virittämä IR n :n aliavaruus on Col(A) =span{a 1, a 2,...,a m } IR n Matriisin A rivien virittämä IR m :n aliavaruus on Row(A) =span{a 1, a 2,...,a n } IR m a 1j a 2j... a nj
22 2.2. Matriisin rangi 19 Määritelmä Matriisin A lineaarisesti riippumattomien sarakkeiden lukumäärä on matriisin säännöllisyysaste eli rangi (rank). Toisin sanoen Rank(A) =dim(span{a 1, a 2,...,a m })=dim(col(a)) Englanninkielisissä kirjoissa sanotaan usein (n n)-neliömatriisista A, ettäse on a matrix of full rank jos Rank(A) = n. Tämä onyhtäpitävääseuraavien ilmaisujen kanssa A on full rank Rank(A) = n dim(col(a)) = n matriisin A sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat det(a) 6= 0 A on säännöllinen (eli on olemassa A 1 ) Esimerkki Onko span 10 2, 3 1, 1 1, 13 3, 7 1 =IR3? (2.41) Asian voi tarkistaa helposti MatLab-ohjelmalla seuraavasti EDU>> V=[ ; ; ] V = EDU>> rank(v) ans = 2 Mathematica-ohjelma ei tunne Rank-funktiota vaan TensorRank-funktion. Lyhyt ohje kuuluu: TensorRank[expr] gives the depth to which expr is a full array, with all the parts at a particular level being lists of the same length.
23 20 2. Matriisilaskentaa In[1]:= Vlist={{10,2,1},{3,1,0},{1,-1,1},{13,3,1},{7,1,1}} Out[1]= {{10,2,1},{3,1,0},{1,-1,1},{13,3,1},{7,1,1}} In[2]:= TensorRank[Vlist] Out[2]= 2 Siis vektorit eivät viritä IR 3 :a. /// Rangin määrittämistä emme nyt opettele. Periaatteessa on melko helppo kehittää Gram-Schmidt n menetelmästä muunnos, jonka avulla matriisin rangi voidaan selvittää. Käytännössä ongelmaksi muodostuu se, että pyöristysvirheiden takia joskus saadaan laskutoimituksen tuloksena nollan sijasta hyvin pieni luku, joka ei ole nolla. (Esimerkiksi =0.) 2.3 Lineaarikuvaus Lineaarikuvauksen matriisi Tarkastellaan ensin kuvausta f :IR n IR m. Kuvauksen lineaarisuus määritellään seuraavasti Määritelmä Kuvaus f :IR n IR m, v 7 f(v) onlineaarinen (linear), joss (1) kaikilla u, v IR n on voimassa f(u + v) =f(u)+f(v) (2) kaikilla u IR n, λ IR on voimassa f(λu) =λf(u) Seuraava kuvio saattaa tehdä asian konkreettiseksi. Prosessi panos u prosessi f tuotos f(u) on lineaarinen, jos kahdesta osapanoksesta saatu kokonaistuotos on osatuotosten summa
24 2.3. Lineaarikuvaus 21 u + v prosessi f f(u)+f(v) ja panoksen puolittaminen (lambdaaminen) puolittaa (lambdaa) myös tuotoksen 0.5u prosessi f 0.5f(u). Lineaarisuus oli keskeinen oletus peruskurssilla käsiteltyjen LP-mallien tavoitefunktiolle. Nyt erona LP-mallin tavoitefunktioon on, että sekä panos, että tuotos ovat vektoreita. Esimerkki Yritys valmistaa kahta tuotetta A ja B. Yhden tuotteen valmistamiseen tarvittavat tuotannontekijöiden määrät on luetteloitu seuraavassa taulukossa. tuot. tekijä A B työ (min) lasi (m 2 ) 3 1 alumiinilista (m) 12 8 Muodostetaan A:n valmistusmäärästä x 1 ja B:n valmistusmäärästä x 2 (päätösmuuttujista) valmistusmäärä-vektori µ x1 x =. (2.42) Tuotannontekijöiden tarpeet, d 1 (työ /min),d 2 (lasi / m 2 ), d 3 (alum.lista / m), kootaan myös vektoriksi d = d 1 d 2. (2.43) d 3 Tuotannontekijöiden tarve on funktio tuotantomäärä-vektorista d = d µ d 2 = 3 1 x1 def = f(x). (2.44) x d {z } =A Funktio d = f(x) = Ax on lineaarinen, sillä matriisikertolasku x 7 Ax toteuttaa määritelmän ehdot (1) ja (2). /// Edellisen esimerkin funktio todetaan helposti lineaariseksi, koska se voidaan tulkita matriisilla kertomiseksi. Käänteinen on myös totta. x 2 Lause Jos kuvaus f :IR n IR m on lineaarinen, niin on olemassa (m n)- matriisi A siten, että f(x) =Ax. Todistus. Olkoon E = {e 1, e 2,...,e n } vektoriavaruuden IR n kanoninen kanta ja vastaavasti E = {e 1, e 2,...,e m} vektoriavaruuden IR m kanoninen kanta. (Huomaa
25 22 2. Matriisilaskentaa merkintäsopimus (2.5).) Vektorit f(e i ) IR n voidaan lausua kannan E avulla yksikäsitteisellä tavalla. f(e j )=a 1j e 1 + a 2j e a mj e m (2.45) Kootaan näistä lineaarikombinaatioiden kertoimista matriisi A =(a ij ). Jos x = ( x 1 x 2... x n ) IR T, niin merkitään Ax = b, jolloin f(x) = f(x 1 e 1 + x 2 e x n e n ) = f(x 1 e 1 )+f(x 2 e 2 )+...+ f(x n e n ) = x 1 f(e 1 )+x 2 f(e 2 )+...+ x n f(e n ) = x 1 (a 11 e 1 + a 21 e a m1 e m)+x 2 (a 12 e 1 + a 22 e a m2 e m) x n (a 1n e 1 + a 2n e a mn e à m) n! à X n! à X n! X = a 1k x k e 1 + a 2k x k e a mk x k e m k=1 k= = b b b 0 m = Joskus joudumme käyttämään ei-kanonisia kantoja. b m k=1 b 1 b 2. = Ax Määritelmä Olkoon L lineaariavaruus ja E = {v 1, v 2,...,v n } L sen kanta ja olkoon H lineaariavaruus ja F = {w 1, w 2,...,w m } H sen kanta. (m n)- matriisi A F E on lineaarikuvauksen f : L H matriisi kannoissa E ja F, jos kaikilla x L ja y H on voimassa (y = f(x)) ~y F = A F E ~xe f(x):n koordinaatit kannassa F saadaan kertomalla matriisilla A F E vektorin x koordinaatit kannassa E Lause Olkoon L lineaariavaruus ja E = {v 1, v 2,...,v n } L sen kanta ja olkoon H lineaariavaruus ja F = {w 1, w 2,...,w m } H sen kanta. Olkoon V matriisi, jonka sarakkeina onat kannan E kantavektorit ja olkoon W matriisi, jonka sarakkeina ovat kannan F kantavektorit. Jos A on lineaarikuvauksen f : L H matriisi kanoonisissa kannoissa, niin f:n matriisi kannoissa E ja F on A F E = W 1 AV
Matemaattinen Analyysi, k2011, L2
Matemaattinen Analyysi, k2011, L2 Lineaarikombinaatio 1 Esimerkki 1 Olkoon yrityksen A osakkeen arvo 20eja yrityksen B osakkeen arvo 10e. Sijoittaja tarkastelee omaisuutensa rakennetta ryhmittelemällä
LisätiedotMatemaattinen Analyysi, k2012, L1
Matemaattinen Analyysi, k22, L Vektorit Merkitsemme koulumatematiikasta tuttua vektoria v = 2 i + 3 j sarake matriisilla ( ) 2 v = v = = ( 2 3 ) T 3 Merkintätavan muutos helpottaa jatkossa siirtymistä
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotTMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003
Matemaattinen analyysi 003, sisältö:. Johdanto.. Kurssin tavoitteet TMA. Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 003 Vaasan Yliopisto, 003 Teknillinen tiedekunta Matemaattisten tieteiden laitos PL 700
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotLineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Lisätiedot8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151
Vaasan yliopiston julkaisuja 151 8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS KantaOrthogon Sec:LinIndep 8.1 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippumattomuus on oikeastaan jo määritelty, mutta kirjoitamme määritelmät
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotKaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine
Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
LisätiedotC = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotMatemaattinen Analyysi, s2016, L2
Matemaattinen Analyysi, s2016, L2 riippumattomuus, 1 Esimerkkejä esimerkki Dieetti-välipala 1: Opiskelija Ken Obi on dieetillä. Lenkin jälkeen Ken pysähtyy välipalalle. Dieetin mukaan hänen pitäisi saada
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotMonissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen.
Pns ratkaisu (Kr. 20.5, Lay 6.5 C-II/KP-II, 20, Kari Eloranta Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Määritelmä Jos A on
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:
LisätiedotKäänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
Lisätiedot