Matemaattinen Analyysi, k2011, L2

Transkriptio

1 Matemaattinen Analyysi, k2011, L2

2 Lineaarikombinaatio 1 Esimerkki 1 Olkoon yrityksen A osakkeen arvo 20eja yrityksen B osakkeen arvo 10e. Sijoittaja tarkastelee omaisuutensa rakennetta ryhmittelemällä sijoittamansa rahat kolmeen osaan mekaaninen puunjalostus, paperi ja kemianteollisuus. Yrityksen A liikevaihdosta puolet tulee sahatavarasta ja puolet paperin valmistuksesta. Yrityksen B liikevaihdosta puolet tulee hienopaperista ja puolet värikemikaalien myynnistä. Yritysten osakkeiden arvojen jakautumiset eri toimialoille voidaan esittää vektoreilla v A = , v B = (1)

3 Lineaarikombinaatio 2 Esimerkki 1, v A = ( ) T,v B = (0 5 5) T Sijoittaja haluaa sijoittaa 1000esiten, että 50% sijoituksesta menee paperinvalmistukseen loppu jakautuu tasan mekaanisen puunjalostuksen ja kemian teollisuuden kesken. Tavoitteena on siis jakauma w 1 = 500. (2) Tämä onnistuu ostamalla 25 kappaletta A-osaketta ja 50 kappaletta B-osaketta, sillä 10 0 w 1 = 500 = = 25 v A +50 v B 0 5 (3)

4 Lineaarikombinaatio 3 Esimerkki 2, v A = ( ) T,v B = (0 5 5) T Toinen sijoittaja haluaa sijoittaa 1000esiten, että 50% sijoituksesta menee mekaaniseen puuhun ja loput tasan paperiteollisuuteen ja kemian teollisuuteen. Siis w 2 = 500 T. Tämä on jo vaikeampaa.

5 Lineaarikombinaatio 4 Esimerkki 2, v A = ( ) T,v B = (0 5 5) T Perusteellinen ratkaisuyritys johtaa seuraavaan päättelyketjuun Gauss xv A + yv B = w 2 x y ( x y = ) = : 10 : 10 :

6 Lineaarikombinaatio 5 Esimerkki 2, v A = ( ) T,v B = (0 5 5) T ei ratkaisua!

7 Lineaarikombinaatio 6 Määritelmiä Sovimme seuraavista sanonnoista. Olkoon u,v 1,v 2,...v m R n vektoreita ja λ 1,λ 2,...,λ m R reaalilukuja. (1) Jos u = λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m niin sanomme, että vektori u on lineaarikombinaatio (linear combination) vektoreista {v 1,v 2,...,v m }.

8 Lineaarikombinaatio 7 Määritelmiä (2) Vektorijoukon {v 1,v 2,...,v m } R n kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko on sen virittämä aliavaruus (a subspace of R n spanned by {v 1,v 2,...,v m }) span{v 1,v 2,...,v m } = {u R n u on lineaarikombinaatio vektoreista v j }

9 riippuvuus 8 Määritelmiä (1) Vektorijoukko {v 1,v 2,...,v m } R n on lineaarisesti riippuva (sidottu) (linearly dependent), jos on olemassa reaaliluvut λ 1,λ 2,...,λ m R, joista ainakin yksi ei ole nolla, niin että λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = 0

10 9 Määritelmiä (2) Vektorijoukko {v 1,v 2,...,v m } R n on lineaarisesti riippumaton (vapaa) (linearly independent), jos se ei ole sidottu, eli (λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = 0) (λ 1 = λ 2 = = λ m = 0) Lineaarisesti riippuva eli sidottu vektorijoukko voidaan myös luonnehtia sanomalla, että vektorijoukko on sidottu, jos ainakin yksi vektoreista voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa.

11 Kanta 10 Määritelmä: Jos vektorijoukko E = { v 1, v 2,..., v m } R n on lineaarisesti riippumaton, niin sanomme että se on virittämänsä aliavaruuden L = span{v1,v2,...,vm} kanta (base). (1) Jokainen L:n vektori u L voidaan lausua lineaarikombinaationa u = c 1 v 1 + c 2 v c m v m = E c. (2) Vectorisysteemi E = { v 1, v 2,..., v m } on lineaarisesti riippumaton eli vapaa.

12 Kanta 11 Vektoreita v j E sanotaan kantavektoreiksi. Jos kantavektorit ovat keskenään ortogonaaliset eli v j v k kaikilla i, j, niin kanta on ortogonaalinen (orthogonal). Jos kanta on ortogonaalinen ja lisäksi v j = 1, j = 1,...,m, niin kanta on ortonormitettu (orthonormal).

13 12 Lause: Tutkitaan vektorijoukkoa E = { v 1, v 2,..., v m } R n. (1) Jos m > n, niin E on lineaarisesti riippuva eli sidottu. (2) Jos m = n, niin E on lineaarisesti riippumaton eli vapaa, jos ja vain jos det(e) 0. (3) Jos m < n, niin E on lineaarisesti riippumaton eli vapaa, jos ja vain jos det(e T E) 0.