1 Logiikan ja joukko-opin alkeet

Transkriptio

1 Logiikan ja joukko-opin alkeet. Logiikkaa. [AG//] Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. [AG//2] Todista totuusarvotauluja käyttäen loogiset de Morganin lait: a) (p q) ( p q), b) (p q) ( p q). 3. [AG//3] Todista totuusarvotaulua käyttäen konjunktiivinen distributiivisuus: [p (q r)] [(p q) (p r)]. 4. [AG//4] Lausu propositiot p q ja p q käyttäen yksinomaan negaatiota ja implikaatiota (mutta ei konjunktiota tai disjunktiota). (p q) (p q); (p q) ( p q). 5. [AG//5] Looginen NAND-operaatio p q määritellään totuusarvotaululla p q p q Osoita: a) p p p, b) (p p) (q q) p q, c) (p q) (p q) p q. 6. [HRI//abc] Mitkä seuraavista reaalilukua x koskevista väittämistä ovat tosia, mitkä eivät? a) 2x > 3 x > 2, b) 3x < 4 x < 2x < 3, c) (x > x > 0 x > ). a) Epätosi; b) tosi; c) epätosi. 7. [HRI//de] Olkoot x ja y reaalilukuja, x > 0, y > 0. Ovatko seuraavat väittämät tosia? a) x y (y < x), b) x y (y x). a) Kyllä; b) ei.

2 8. [AG//6] Olkoot x ja ɛ reaalilukuja. Ovatko seuraavat propositiot tosia: a) (ɛ > 0) (x ) ( x < ɛ), b) (x ) (ɛ > 0) ( x < ɛ)? a) Tosi; b) epätosi. 9. [AG//7] Funktion f : R R (R = reaaliluvut) jatkuvuus määritellään ehdolla (ɛ > 0) (x R) (δ > 0) (y R) ( y x < δ = f(y) f(x) < ɛ). Ns. tasainen jatkuvuus taas määritellään ehdolla (ɛ > 0) (δ > 0) (x R) (y R) ( y x < δ = f(y) f(x) < ɛ). Selosta, mikä ero näillä käsitteillä on..2 Matemaattisesta todistamisesta 0. [AG//8] Osoita totuusarvotauluja käyttäen propositiot [p (p q)] q ja [p ( q p)] q tautologioiksi. Millaisia matemaattisia todistustapoja nämä säännöt vastaavat?. [AG//9] Olkoon n luonnollinen luku. Todista: n on parillinen, jos ja vain jos n 2 on parillinen. Selosta todistuksen looginen rakenne. 2. [AG//0] Tarkoittakoon a jotakuta teekkaria ja olkoon p propositio a ( on tyhjä joukko). Olkoon q propositio a on vihreäsilmäinen leijona. Onko propositio p q tosi vai epätosi? Jos propositio on tosi, niin seuraako tästä, että kaikki teekkarit ovat leijonia?.3 Joukko-oppia 3. [HRII//2] Olkoon A = { n N 280/n N }, B = { 2n + n N }, C = { x R 0 < x < 0 } = ]0, 0[. Määritä a) A B, b) A C, c) B C, d) A C, e) (A B) C, f) (B C) A. a) {5, 7, 35}; b) {, 2, 4, 5, 7, 8}; c) {3, 5, 7, 9}; d) ]0, 0] {4, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 40, 280}; e) {, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}; f) {, 2, 4, 5, 7, 8, 35}.

3 4. [HRII//3] Todista: a) A B A B = B A B = A, b) A B A C A B C, c) A C B C A B C, d) A B A C B C C. 5. [AG//] Todista joukko-opilliset de Morganin lait. Piirrä kuviot. 6. [HRII//0] Olkoot A ja B joukkoja. Todista: (A B) B = (A B) B B =. 7. [HRII//9] Olkoot A, B ja C saman perusjoukon osajoukkoja. Todista identiteetit a) (A B) C = A (B C), b) A (B C) = (A B) (A C), c) (A B) (A C) = A (B C), d) (A B) (A C) = A (B C) tutkimalla mielivaltaisen alkion x kuulumista oikean ja vasemman puolen joukkoihin, 2 soveltamalla joukkoalgebran laskusääntöjä. Piirrä kuviot joukoista. 8. [HRII//4] Olkoon Z kaikkien kokonaislukujen joukko. Todista: a) { 3n + 2 n Z } = { 3n 7 n Z }, b) { 7n + 3 n Z } = { 7n 32 n Z }. 9. [AG//2] Sievennä joukko-opilliset lausekkeet a) [ + k, k ], b) ] k, k [. k= k=

4 20. [AG//3] Olkoon A ϕ = { (x, y) (x cos ϕ) 2 + (y sin ϕ) 2 < 4 } xy-tason joukko. Millainen joukko on A ϕ? ϕ [0,2π] {(x, y) x 2 + y 2 < }. 2. [HRII/2/3] Olkoot A, B ja C saman perusjoukon joukkoja. Todista, että (A B) C = (A C) (B C). 22. [AG//4] Olkoot reaaliluku x relaatiossa R reaalilukuun y, jos x < /y. Millainen karteesisen tulon R R osajoukko relaatio R on? 23. [AG//5] Olkoot luonnolliset luvut n ja m relaatiossa P toisiinsa, jos n 2 + m 2 on luonnollisen luvun neliö. Piirrä kuva relaatiosta P karteesisen tulon N N osajoukkona; tarkastele arvoja n, m Kuvaus 24. [HRII/8/] Etsi mahdollisimman laaja lähtöjoukko reaalimuuttujan x reaaliarvoiselle funktiolle f(x) = x(x 2 )(x 2 4). { x 2 x tai 0 x tai 2 x }. 25. [HRII/8/2] Määritä mahdollisimman laaja lähtöjoukko ja vastaava arvojoukko reaalimuuttujan x reaaliarvoiselle funktiolle x f(x) = x. Lähtöjoukko { x x < 0 tai x }, arvojoukko { x 0 x < tai x > }. 26. [HRII/8/5] Määritellään funktio f : R R asettamalla f(x) = (x + )(x 3). Laske välin [, 4] kuva ja välin [, 4] alkukuva. [0, 5]; [ 2 2, 5] [ 3, + 3] [ + 5, + 2 2].

5 27. [AG//6] Funktio f : N N määritellään ehdoilla { f(n) = n 0, kun n > 00, Millainen funktio on kyseessä? f(n) = f(f(n + )), kun n [AG//7] Miten reaalimuuttujan x funktion f(x) = 3x + 5 x 7 (mahdollisimman laajat) lähtö- ja maalijoukko on valittava, jotta funktio olisi bijektio? Määritä käänteisfunktion lauseke. Piirrä sekä funktion että sen käänteisfunktion kuvaaja samaan koordinaatistoon. 29. [AG//8] Reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio f määritellään lausekkeella f(x) = ( x 3 )/(x 2 ). Määritä funktiolle mahdollisimman laaja lähtöjoukko ja tätä vastaava arvojoukko. Piirrä funktion kuvaaja. Rajoita lähtöjoukkoa siten, että funktiolle saadaan käänteisfunktio. Mikä on vastaava arvojoukko? Määritä käänteisfunktion lauseke ja piirrä kuvaaja. 30. [AG//9] Muodosta reaalimuuttujan reaaliarvoisista funktioista f(x) = sin x, g(x) = x 2 + ja h(x) = x 2 yhdistetyt kuvaukset h g f, g h f ja h f g. 3. [AG//20] Olkoot f(x) = x 2, g(x) = 2x + 3 ja h(x) = x 2 + x. Muodosta yhdistetyt funktiot f g h ja h g f. 32. [AG//2] Olkoot f : R R ja g : R R reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita, f(x) = x2 +, g(x) = x 2 +. Muodosta yhdistetyt funktiot f f, f g, g f, g g..5 Luonnolliset luvut 33. [HRII/2/2] Olkoon A = {, 2, 3}. Tutki, mitkä Peanon aksioomat A toteuttaa, kun seuraajafunktio s määritellään seuraavasti: a) s() = 2, s(2) = 3; b) s() = 2, s(2) = 3, s(3) = ; c) s() = 2, s(2) = 3, s(3) = 2. a) P, P3, P4, P5; b) P, P2, P4, P5; c) P, P2, P3, P [HRII/3/] Mitkä Peanon aksioomat tyhjä joukko toteuttaa?

6 35. [HRII/7/9] Todista matemaattisen induktion periaatteella a) b) n k 3 = 4 n2 (n + ) 2, n N, k= n k 2 2 k = (n 2 2n + 3) 2 n+ 6, n N, k= c) (2n )(2n + ) = n 3 (4n2 + 6n ), n N, d) (n )n = n, n = 2, 3,..., n e) ( + ) ( + 2 )2... ( + (n + n )n )n =, n N. n! 36. [AG//22] Luvut x n, n N, määritellään siten, että x = ja x n+ = x n + 2 x n +, n =, 2, 3,.... Osoita induktiota käyttäen, että kaikki luvut x n ovat kokonaislukuja. 37. [AG//37] Olkoon x ±. Todista induktiolla n k=0 2 k + x 2k = x + 2n+ x 2n+, n = 0,, 2, [AG//23] Laske seuraavat summat ja tulot: a) 5 k 2 k, b) k=0 3 k= j=0 4 jk, c) 0<k<0 k parillinen 3 k. a) 258; b) 60; c) 3 20 = [HRI//2] Tutki, montako a ijk -termiä on kolminkertaisessa summassa ja laske summa, kun a ijk = ijk. 20 termiä, summa = i j i= j= k= a ijk.6 Lukumäärän laskemisesta 40. [AG//38] Muodosta joukkojen a) {a, b}, b) {a, b, c} kaikki osajoukot. Montako näitä on?

7 4. [AG//24] Montako erilaista viiden kortin sarjaa voidaan korttipakasta vetää, kun a) kiinnitetään, b) ei kiinnitetä huomiota korttien järjestykseen? 42. [AG//25] Neljä punaista, kolme vihreää ja kaksi sinistä palloa asetetaan jonoon. Kuinka monta erinäköistä jonoa saadaan, kun samanväriset pallot ovat keskenään identtisiä? 43. [AG//26] Kuinka monta erilaista henkilötunnusta on (Suomessa) periaatteessa olemassa? Tunnuksen muoto on ppkkvv-nnnr, missä on aluksi syntymäpäivä (ppkkvv), sitten juokseva numero (nnn) ja lopuksi tarkistusmerkki (r). Tarkistusmerkki määräytyy jakolaskun ppkkvvnnn/3 jakojäännöksestä. Rajoitutaan tarkastelemaan sadan vuoden jaksoa ja oletetaan, että karkausvuosia tähän jaksoon mahtuu [AG//27] Olkoon joukon A alkioiden lukumäärä #A = m <. Kuinka monta erilaista p (p m) alkion osajoukkoa joukon A alkioista voidaan muodostaa? Entä osajonoa? (Joukon alkiot ovat aina keskenään eri suuria, ts. jokainen alkio mainitaan vain kerran; jonossa sama alkio voi esiintyä useita kertoja.) 45. [AG//28] Olkoon joukon A alkioiden lukumäärä #A = m < ja joukon B alkioiden lukumäärä #B = n <. Osoita, että erilaisia funktioita A B on n m kappaletta. 46. [AG//29] Olkoot A ja B äärellisiä joukkoja, #A = m, #B = n. Olkoon S(m, n) surjektioiden A B lukumäärä. Osoita, että tälle pätee S(m, ) =, n ( ) n S(m, n) = n m S(m, k), n = 2, 3,.... k k= 47. [AG//30] Laske edellisessä tehtävässä esitettyjen kaavojen avulla surjektioiden määrä S(m, n), kun m 4, n 4. Mieti, voidaanko tulos saada jollakin muulla tavalla, kun a) m = n, b) m < n.

8 48. [AG//3] Teekkari saattoi 970-luvun puolivälissä suorittaa jopa kuusi matematiikan kurssia kutsuttakoon näitä seuraavassa nimillä A, B, C, D, E, F joissa oli yhteisiä osia. Kullakin kurssilla oli suorituspistearvonsa (vastaa nykyisiä opintoviikkoja) ja kurssien yhteislaajuuden selvittämiseksi määriteltiin myös kurssien kaksittaisille, kolmittaisille jne. leikkauksille suorituspistearvot. Nämä olivat seuraavat: A: 3.5, B: 2, C: 3, D: 3.5, E: 7.5, F: 5.5, A C:.5, A D:, B D: 0.5, C D:, A C D:. Muiden kombinaatioiden leikkaukset olivat tyhjiä. Montako suorituspistettä sai teekkari, joka oli suorittanut kaikki kuusi kurssia? 49. [AG//32] Laitumella on lauma nautakarjaa. Laumassa on 83 täysin ruskeata eläintä, 77 sarvipäätä, 36 sukupuoleltaan sonnia, 22 ruskeata sarvipäätä, 5 ruskeata sonnia, 25 sarvipäistä sonnia ja 7 ruskeata sarvipäistä sonnia. Muunlaisia eläimiä ei laumassa ole. Kuinka monta eläintä laumassa on kaikkiaan? [AG//33] Osoita, että rationaalilukuja on yhtä paljon kuin luonnollisia lukuja, ts. että rationaalilukujen ja luonnollisten lukujen joukot ovat yhtä mahtavia. 5. [AG//34] Osoita, että avoimella välillä ]0, [ on reaalilukuja yhtä paljon kuin koko reaalilukujoukossa, ts. että väli ]0, [ ja reaalilukujoukko R ovat yhtä mahtavia. 2 Reaaliluvut 2. Aksioomat 52. [AG/2/] Määritä seuraavien joukkojen supremum, infimum, maksimi ja minimi, mikäli nämä ovat olemassa: a) { x R (x + )(x 2)(x + 4) > 0 }, b) { x R x + x + 2 < 5 }, c) { x R x x + 2 < 5 }, d) { 2 n n N }, e) { n 3n 2 n N }, f) { n + 5 n n N }. a) sup =, inf = 4, max, min; b) sup = 3 2, inf = 7, max, min; 2 c) sup = + 6, inf = 6, max, min; d) sup = 2, inf =, max, min = ; e) sup =, inf = 2, max, min = 2 ; f) sup = 6, inf = 3, max = 6, min.

9 53. [AG/2/2] Piirrä reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion a) f(x) = x + x + 2, b) f(x) = x x+2 kuvaaja. Päättele tästä joukon a) { x R x + x+2 < 5 }, b) { x R x x+2 < 5 } supremum ja infimum. 54. [HRII/6/3] Olkoot A ja B kaksi ei-tyhjää reaalilukujoukkoa, joiden alkioille pätee a < b kaikilla a A, b B. Todista, että sup A inf B. 55. [HRII/6/4] Olkoon S R ylhäältä rajoitettu joukko, G = sup S ja ɛ > 0. Todista, että on olemassa x S, jolle pätee x > G ɛ. 56. [HRII/6/2] Olkoon S R ei-tyhjä rajoitettu joukko. Todista: Jos inf S = sup S, niin joukossa S on täsmälleen yksi alkio. 57. [HRII/6/5] Olkoon S R rajoitettu joukko ja T = { x R x S }. Osoita, että inf T = sup S. 58. [HRII/6/6] Todista reaalilukujen aksioomiin perustuen Arkhimedeen lause (aksiooma): Jos a ja b ovat kaksi positiivista reaalilukua, niin on olemassa luonnollinen luku n siten, että na > b. 59. [AG/2/3] Todista reaalilukujen aksioomien pohjalta: Jos x > 0 ja y < 0, niin xy < Reaalilukujen osajoukot 60. [AG/2/3] Olkoot a ja b kaksi reaalilukua, a < b. Todista, että on olemassa rationaaliluku r, jolle pätee a < r < b. 6. [AG/2/4] Olkoot a ja b kaksi reaalilukua, a < b. Todista, että on olemassa irrationaaliluku r, jolle pätee a < r < b. 62. [HRII/5/4] Todista, että jos x on irrationaalikuku, niin myös 3 + x x 2 on irrationaalinen. 63. [AG/2/5] Todista, että 3 ei voi olla rationaaliluku.

10 2.3 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 64. [HRII/7/4] Osoita: a) max{a, b} = 2 (a + b + a b ), b) min{a, b} = 2 (a + b a b ). 65. [HRII/7/2] Ratkaise epäyhtälöt a) 4x 2 3x + 4 <, b) d) 5x 4 x x > + x, c) 2x3 > x 2 +, a) < x < 3; b) x < 0 tai 0 < x < ; c) x > ; d) 5 x tai 4 x [HRII/7/5] Ratkaise epäyhtälöt a) 2 x 2 < x + 2, b) x > 2, c) 7x x 2. a) 2 < x < 6; b) x < 3 tai x > 3; c) x 4 tai x = 3 tai x [HRII/7/7] Olkoon x R. Todista: x < 2 = x x <. 68. [HRII/7/a] Osoita algebraa käyttäen: a < b = a 3 < b [HRII/7/b] Olkoot a ja b positiivisia. Osoita: a2 b + b2 a a + b. 70. [HRII/7/c] Osoita algebraa käyttäen: a > 0 = a + a [AG/2/6] Todista kaava n ( ) n ( ) k = 0, n N. k k=0 72. [AG/2/2] Laske binomikertoimien summa n k=0 ( n k). 2 n. 73. [HRII/8/6] Näytä oikeaksi kaava ( ) ( ) ( ) n 2 n 2 n = k 2 k k ( ) n, k missä on oletettava n 4, 2 k n 2. Mikä on kaavan tulkinta Pascalin kolmion avulla?

11 74. [AG/2/7] Laske summien a + b + c, a + b + c + d ja a + b + c + d + e potensseja, ja tutki, millaisia kertoimia lausekkeissa esiintyy. Miten binomikertoimet mahtavat yleistyä multinomikertoimiksi? 75. [AG/2/8] Teekkari Sini Silmäinen on opintojensa alussa tehnyt Luotto-Tappio-Pankin kanssa lainasopimuksen, jonka mukaan hän nostaa jokaisen opiskeluvuoden alussa opintolainaa mk. Vuotuinen lainakorko on 5 %, mutta opiskeluaikana ei korkoa tarvitse maksaa, vaan kertynyt korko liitetään jokaisen vuoden lopussa lainapääomaan. Paljonko teekkarilla on velkaa, kun hän 2 vuoden opintojen jälkeen lopulta valmistuu? 2.4 Liukuluvut 76. [AG/2/9] Oktaalijärjestelmän kantaluku on 8 ja sen numeroita merkitään 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lausu kymmenjärjestelmän luvut a) 000, b) 5432, c) 0. ja d) oktaalijärjestelmässä. 77. [AG/2/0] Heksadesimaalijärjestelmän kantaluku on 6 ja sen numerot ovat 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Lausu luvut 23, ABC ja A2B a) kymmenjärjestelmässä, b) oktaalijärjestelmässä, c) binäärijärjestelmässä. a) 29, 2748, 6699; b) 443, 5274, 5053; c) 00000, 00000, [SKK/.6/] Kirjoita luku 0.28 liukulukuna a) kymmenjärjestelmässä, kun mantissan pituus on 4, b) binäärijärjestelmässä, kun mantissan pituus on 8. a) ; b) [SKK/.6/2cd] Liukulukujärjestelmän kantalukuna on 0 ja mantissan pituutena 3. Laske tulot ( ) 379 ja 234 ( ) , [SKK/.6/4] Ratkaise yhtälöpari { 0.005x + y = 0.5 x + y = käyttäen kymmenjärjestelmän liukulukuja, joilla mantissan pituus on 2. Riippuuko tulos laskujärjestyksestä? Laskujärjestyksestä riippuen esimerkiksi x = 0.00, y = 0.50 tai x = y = Kompleksiluvut 3. Kompleksitaso 8. [AG/3/] Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z 2 + z 3 ) = z z 2 + z z 3.

12 82. [AG/3/2] Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen ns. tulon nollasääntö: z z 2 = 0 = z = 0 z 2 = [AG/3/3] Saata kompleksiluvut a) ( + i)( i) 5, b) muotoon x + iy. Laske lukujen moduuli ja argumentti. i + i [AG/3/5] Olkoon u = cos i sin 0.5 ja z 0 = + i. Laske kompleksiluvut w k = u k z 0, k =, 2, 3,..., ja piirrä pisteiden sijainti kompleksitasossa. Miten pisteet muuttuvat, jos valitaan u = 0.9(cos i sin 0.5)? Millainen vaikutus luvun u potensseilla kertomisella on? 85. [HRII/32/6] Todista, että kaikilla z, z 2 C pätee ( + z 2 )( + z 2 2 ) + z z [HRII/32/5] Olkoon Re z = Im z = a. Millä arvoilla a pätee z i < z 3? Piirrä kuvio. a < [HRII/32/4] Tutki, mitkä kompleksitason pisteet toteuttavat seuraavat ehdot: Piirrä kuviot. a) z + z + i = 4, b) z + z i =, c) z + i = 2 z i, d) arg z z i = π 4, e) arg z 3 z = π 4. a) Ellipsi 5x 2 + 5y 2 2xy 6x + 6y 48 = 0; b) hyperbelin toinen haara y = 4x + 3 8x + 4, x > 2 ; c) ympyrä 3x 2 + 3y 2 0y + 3 = 0; d) ympyränkaari x 2 + y 2 2x 2y + = 0, x + y > ; e) ympyränkaari x 2 + y 2 3x + 3y = 0, y > [HRII/32/5] Piirrä se kompleksitason alue, jossa a) { < z i < 2 π 4 < arg z < π 2, b) { z + z i < 2 0 < arg(z + + i) < π 4. a) Alueessa on kaksi osaa; edellisen reuna muodostuu janasta AB, kaaresta BC ja janasta CA, jälkimmäisen kaaresta CD, janasta DE, kaaresta EF ja janasta F C; pisteet ovat A = 0, B = 2 ( + i), C = i, 2 D = 2+ ( + i), E = ( 2 + )( + i), F = ( 3 + )i; b) puolet ellipsin sisäosasta: 3x 2 + 3y 2 + 2xy 4x 4y < 2 0, y < x.

13 89. [HRII/32/6] Määritä sup{ arg z z 3 4i 3, arg z [0, 2π[ }. Onko kyseessä myös maksimi? π [AG/3/6] Etsi kahden desimaalin tarkkuudella sup S ja inf S, kun S = { arg z z + 5i 2 < 3 }. Tässä arg z valitaan väliltä [0, 2π[. Piirrä kuvio. 9. [HRII/32/7] Minkä käyrän piirtää a) z 2, kun z piirtää käyrän arg(z i) = π 4 ; b) z z+2z+ z+, kun z piirtää ympyrän z = ; c) z + + i, kun z piirtää käyrän z + i =? Piirrä kuviot. Merkitään u = Re f(z), v = Im f(z). a) Paraabelin kaari v = 2 (u2 ), u < ; b) ellipsi (u 2) 2 + 9v 2 = 9; c) ympyrä (u ) 2 + (v 2) 2 =. 92. [HRII/32/8] Millä kompleksitason käyrällä z i z + i Ympyrällä z =, z i. on puhtaasti imaginaarinen? 3.2 Kompleksilukujen potenssit ja juuret 93. [HRII/32/7] Laske seuraavien kompleksilukujen moduuli ja argumentti saattamatta lukuja muotoon x + iy: a) ( + i) 6, b) ( i 3)( i) 2 2 2i, c) ( 3 + i). 2 a) 8, 3π 2 ; b) 4, 5π 6 ; c) 2, 7π [HRII/32/8] Kehitä de Moivren kaavan avulla a) sin 5ϕ polynomiksi, jonka muuttujana on sin ϕ, b) tan 3ϕ rationaalilausekkeeksi muuttujasta tan ϕ. a) 5 sin ϕ 20 sin 3 ϕ + 6 sin 5 ϕ; b) 3 tan ϕ tan3 ϕ 3 tan 2 ϕ. 95. [HRII/32/9] Lausu a) cos 4 ϕ funktioiden cos 2ϕ ja cos 4ϕ avulla, b) sin 5 ϕ funktioiden sin ϕ, sin 3ϕ ja sin 5ϕ avulla. a) (3 + 4 cos 2ϕ + cos 4ϕ); 8 b) (0 sin ϕ 5 sin 3ϕ + sin 5ϕ) [AG/3/7] Laske (cos t + i sin t) 5 a) de Moivren kaavan avulla, b) binomikaavan avulla. Minkälaiset trigonometrian kaavat tästä saadaan?

14 97. [AG/3/8] Laske geometrinen summa n (cos t + i sin t) k. k=0 Millaiset trigonometrisia funktioita koskevat kaavat saadaan tuloksen reaali- ja imaginaariosasta? Piirrä summafunktion reaaliosan ja imaginaariosan kuvaajat tapauksissa n = 5, 25, [HRII/32/0] Määritä seuraavien juurien kaikki arvot: a) 4 4, b) 6 64, c) 3 i, d) 3 + 4i, e) i. a) + i, + i, i, i; b) 3 + i, 2i, 3 + i, 3 i, 2i, 3 i; c) 3 ( + i), [( 3 ) + ( 3 )i], [( 3 ) + ( 3 )i]; 2 d) ±(2 + i); e) ±(3 + 4i). 99. [AG/3/9] Määritä viiden desimaalin tarkkuudella kaikki ne kompleksiluvut, joiden viides potenssi =. Piirrä kuvio lukujen sijainnista kompleksitasossa. 00. [AG/3/] Juuren i likiarvo on i. Piirrä kuva, jossa juuren kaikki arvot on sijoitettu kompleksitasoon (laskematta juurten likiarvoja). 0. [AG/3/2] Olkoon z = 2 ( + i 3). Tutki, millä kokonaisluvuilla n pätee z n = z. 02. [HRII/32/3] Olkoon ω = cos 2π 3 + i sin 2π 3. Laske a) (aω + bω2 )(aω 2 + bω), b) (a + b + c)(a + bω + cω 2 )(a + bω 2 + cω). a) a 2 + b 2 ab; b) a 3 + b 3 + c 3 3abc. 03. [AG/3/3] Olkoon f(t) = cos t + i sin t reaalimuuttujan t kompleksiarvoinen funktio ja g(z) = Im z 2 kompleksimuuttujan z reaaliarvoinen funktio. Piirrä reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion g f kuvaaja. Valitse riittävän pitkä tarkasteluväli. Vertaa kuvaajaa tapaukseen g(z) = Im z. Miksi kuvaaja näyttää sellaiselta kuin näyttää? 04. [AG/3/4] Laske numeerisesti jollakin tietokoneohjelmalla ( ) π. Yritä selittää saamasi tulos. Mikä mahtaa olla tarkka arvo? 05. [AG/3/5] Laske numeerisesti jollakin tietokoneohjelmalla i i. Yritä selittää saamasi tulos.

15 3.3 Polynomeista 06. [HRII/32/ym] Ratkaise seuraavat yhtälöt käyttäen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavoja; saata juuret muotoon x + iy. a) z 2 + 2iz i = 0, b) z 2 4iz 4 + i = 0, c) z 2 (3 + 5i)z + ( 4 + 7i) = 0, d) z 4 2z = 0, e) z 4 + ( 2i 3)z 2 3 i 3 = 0. a) i, ±( i ( )i, ( + )i; b) + ( ; e) ± ( + i), ±( i). 2 )i, 2 + (2 2 )i; c)?; d) ±( [HRII/32/2] Määritä α C siten, että z = + i on yhtälön z 3 = α + i juuri. Esitä muut juuret napakoordinaattimuodossa. α = 2 3i; muut juuret 2(cos π 2 π + i sin 2 ), 2(cos 9π 9π + i sin 2 2 ). 08. [AG/3/6] Ratkaise toisen asteen yhtälön ratkaisukaavoilla yhtälö z 2 (3 2i)z + (5 i) = [HRII/32/9ym] Jaa polynomit a) x 4, b) x 4 +, c) x 6 + korkeintaan toista astetta oleviin reaalikertoimisiin tekijöihin. a) (x + )(x )(x 2 + ); b) (x 2 2x + )(x 2 + 2x + ); c) (x 2 + )(x 2 + 3x + )(x 2 3x + ). 4 Matriisit ja vektorit 4. Matriisin käsite 4.2 Matriisialgebra 0. [AG/4/5] Olkoon A = Laske A + B, 2 A + 3B, AB ja BA. A + B = , 3 3 AB = , BA = A + 3 B = , B = ,.. [SKK/.2/2] Olkoon A = ( ) ja B = ( ) T. Laske AB ja BA. 26,

16 2. [AG/4/6] Olkoon A = , x = 3. 3 Minkä kokoisia matriiseja ovat x T x, xx T, Ax, x T Ax ja xx T A? Laske ne. 3. [AG/4/7] Olkoon A matriisi, jonka kaikki alkiot ovat =, ja olkoon Λ lävistäjämatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat, 2 ja 3. Laske AΛ ja ΛA. 4. [AG/4/8] Olkoon 2 3 x A = 4 5 6, u = y ; z laske u T Au, u T u, uu T. u T Au = x 2 + 5y 2 + 9z 2 + 6xy + 4yz + 0zx, u T u = x 2 + y 2 + z 2, uu T = x2 xy zx xy y 2 yz. zx yz z 2 5. [AG/4/9] Olkoon 0 0 A = Laske potenssit A k, k =, 2, 3,..., [HRI//8] Millä tyyppiä koskevilla oletuksilla matriisit AB ja BA ovat a) molemmat määriteltyjä, b) samaa tyyppiä? a) A, p n B ; b) A, n p n n B. n n 7. [HRI//0] Onko matriiseille voimassa a) (A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2AB, b) (A + B)(A B) = A 2 B 2? Yleisesti a) ei, b) ei. 8. [AG/4/0] Todista matriisialgebran osittelulaki A(B + C) = AB + AC. 9. [HRI/3/2] Olkoon A neliömatriisi ja olkoot B ja C samantyyppisiä matriiseja. Todista: Jos A on säännöllinen, niin AB = AC = B = C.

17 20. [AG/4/2] Todennäköisyyslaskennassa tarkastellaan ns. Markovin prosesseja, jotka kuvaavat systeemiä, joka voi olla äärellisen monessa eri tilassa. Siirtymistodennäköisyydet tilasta toiseen muodostavat neliömatriisin A, jonka kaikki alkiot ovat 0 ja jossa vaakariveittäin lasketut summat ovat =. Muodosta tällaisia matriiseja ja tutki matriisin A n alkioiden raja-arvoja, kun n. Esitä hypoteesi alkioiden käyttäytymisestä. 2. [AG/4/3] Matriisin A alkiot ovat α ij = i j. Kirjoita matriisi A ja laske matriisitulo AA T n n tapauksessa n = 3. Laske yleisessä tapauksessa (arvolla n) tulomatriisin AA T kohdassa (i, j) oleva alkio indeksien i ja j funktiona. 22. [AG/4/4] Olkoot A ja B kokoa 0 0 olevia matriiseja, joiden alkiot ovat α ij = i+j, β ij = i j. Laske tulomatriisin C = AB alkio γ ij indeksien i, j funktiona. γ ij = (i j) 0ij. 23. [AG/4/5] Laske (AB) k, k N, kun A = 2, B = [AG/4/6] Muodosta jokin pystyvektori x. Laske r = x T x ja u = x/ r. Mitä r kertoo vektorin x alkioista? Mikä ominaisuus on vektorin u alkioilla? Muodosta matriisi H = I 2uu T ja sen käänteismatriisi H. Miten nämä suhtautuvat toisiinsa? Onko H symmetrinen tai ortogonaalinen? 25. [AG/4/7] Osoita, että edellisen tehtävän matriisi H on involutorinen, ts. HH = I riippumatta vektorista x. Mitä tämä tulos sanoo käänteismatriisista? 26. [HRI//9] Hae kaikki matriisit B, jotka kommutoivat matriisin ( ) 0 A = 0 kanssa, ts. joille pätee AB = BA. ( ) α β, α, β R. 0 α β 27. [HRI/8/3] Osoita, että jos A ja B ortogonaalimatriiseja, niin myös AB ja A ovat ortogonaalisia.

18 28. [HRI/8/4] Olkoon A kokoa 3 3 oleva ortogonaalimatriisi, jonka alkioista tiedetään seuraavaa: α = 3 7, α 2 = 2 7, α 3 > 0, α 2 < 0, α 22 = 6 7. Määritä A ja A. 29. [HRI/8/5] Todista, että jos matriisille A pätee A T + A = O ja käänteismatriisi (I + A) on olemassa, niin matriisi B = (I + A) (I A) on ortogonaalinen. 30. [HRI/8/2] Todista, että jokainen ortogonaalinen 2 2-matriisi voidaan kirjoittaa jompaankumpaan seuraavista muodoista: ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ tai. sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ 4.3 Lineaarinen yhtälöryhmä 3. [SKK/.5/] Totea, että yhtälöryhmän 2 3 ξ + 2 ξ 2 2 ξ 3 3 = 3 ξ 2 ξ ξ 3 = 2 2 ξ ξ 3 = 3 kerroinmatriisi on ortogonaalinen ja käytä tätä tietoa hyväksi yhtälöryhmän ratkaisemisessa. ( x = A T b = ) 2 T [AG/4/8] Olkoon a) A = b) A = , C = ( , C = 0 ( ), b = ), b = Laske tulo CA. Tutki, voidaanko lineaarinen yhtälöryhmä Ax = b ratkaista kertomalla se vasemmalta matriisilla C. Mitä tällöin saadaan ratkaisuvektoriksi x? Onko kyseessä matriisiyhtälön ratkaisu? 3 5,.

19 33. [AG/4/9] Ratkaise Gaussin algoritmilla lineaariset yhtälöryhmät a) c) ξ + 3ξ 2 ξ 3 = 4 2ξ + 6ξ 2 + 2ξ 3 = 20 ξ + ξ 2 + 2ξ 3 = 7 ξ + 2ξ 2 + 3ξ 3 = ξ + ξ 2 ξ 3 = 2 ξ 5ξ 3 = 4, b), d) ξ ξ 2 + 4ξ 3 = 8 7ξ 2ξ 2 3ξ 3 = 32 ξ + ξ 2 + 4ξ 3 = 7 2ξ + 8ξ 2 5ξ 3 = 8 ξ + ξ 2 + 2ξ 3 = ξ + ξ 2 = 3ξ ξ 2 + 2ξ 3 = 3., 34. [AG/4/20] Ratkaise Gaussin algoritmilla yhtälöryhmä Ax = b, kun a) A = 2 2 6, b =, b) A = c) A = , b = 0 3, d) A = , b =, b = ,. a) Ei ratkaisua, b) ( 2 ) T, c) ei ratkaisua, d) ( 3 4 α β α + 4 β + 2 α β) T. 35. [AG/4/2] Olkoon A = α 3 2 4, b = 7 8 β. Tutki yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujen lukumäärää lukujen α, β eri arvoilla. Yksi ratkaisu, jos β = 6, α 6; äärettömän monta ratkaisua, jos α = β = 6; muulloin ratkaisuja ei ole. 36. [AG/4/23] Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b, kun A = , b =

20 37. [AG/4/24] Olkoon A = 2 2 3, b = Osoita, että yhtälöryhmällä Ax = b ei ole ratkaisua. Tietyssä mielessä (pienimmän neliösumman mielessä) mahdollisimman hyvä ratkaisu (joka ei kuitenkaan tietenkään toteuta yhtälöryhmää) saadaan ratkaisemalla matriisiyhtälö A T Ax = A T b. Muodosta tämä yhtälöryhmä ja ratkaise se. Piirrä ryhmän yhtälöiden kuvaajat sekä saatu pienimmän neliösumman periaatteen mukainen ratkaisu tasoon R Vektoriavaruus R n 38. [AG/4/25] Tutki avaruuden R 4 vektoreiden ( ) T 7 5 lineaarista riippumattomuutta. ( ) T, ( 2 ) T, Lineaarisesti riippumattomat. 39. [SKK/2.3/2] Tutki, ovatko vektorit ( ) T, ( ) T, ( ) T lineaarisesti riippumattomia. Voidaanko vektori ( ) T lausua näiden lineaariyhdistelynä? Jos voidaan, niin onko esitys yksikäsitteinen? Lineaarisesti riippuvat; voidaan; esitys ei ole yksikäsitteinen. 40. [AG/4/26] Osoita, että vektorit ( 2 3 ) T, ( 2 3 ) T ja ( 3 2 ) T muodostavat avaruuden R 3 kannan. Laske vektorin ( 3 2 ) T koordinaatit tässä kannassa. 4. [AG/4/27] Osoita, että vektorit a = ( 0 ) T, a2 = ( 0 ) T, a3 = ( 0 ) T muodostavat avaruuden R 3 kannan. Mitkä ovat vektorin x = ( 2 3 ) T koordinaatit tässä kannassa? 0, 2,. 42. [AG/4/28] Tutki, muodostavatko vektorit a = ( 0 0 ) T, a2 = ( 0 0 ) T, a3 = ( 0 0 ) T, a4 = ( 0 0 ) T avaruuden R 4 kannan. Voidaanko vektori x = ( ) T lausua näiden lineaariyhdistelynä? 43. [HRI/3/4] Millä lukuja α, β, γ, δ koskevalla ehdolla vektorit αx + βy ja γx + δy ovat lineaarisesti riippumattomia, jos vektorit x ja y a) ovat, b) eivät ole lineaarisesti riippumattomia? a) Jos αδ βγ 0; b) ei millään. 44. [HRI/3/5] Todista, että jos vektorit a,..., a p ovat lineaarisesti riippuvia, niin myös vektorit λ a,..., λ p a p ovat. Todista, että jos a,..., a p ovat lineaarisesti riippumattomia, niin vektorit λ a,..., λ p a p ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos tulo λ... λ p on 0.

21 45. [HRI/3/6] Olkoot vektorit a,..., a p lineaarisesti riippumattomia. Tutki, ovatko seuraavat vektorisysteemit lineaarisesti riippumattomia: a) a, a 2 + a, a 3 + a 2,..., a p + a p, b) a a p, a 2 a, a 3 a 2,..., a p a p, c) a,..., a j, a j + λa k, a j+,..., a p, missä k j. a) Riippumaton; b) riippuva, c) riippumaton. 4.5 Determinantti 46. [AG/4/29] Laske Gaussin algoritmilla, alideterminanttikehitelmää käyttäen ja Sarrus n säännöllä seuraavat determinantit: 2 3 a) , b) , c) Tarkista tulokset jollakin tietokoneohjelmalla. a) 27; b) 0; c) [AG/4/30] Laske sekä Gaussin algoritmilla että alideterminanttikehitelmää käyttäen seuraavat determinantit: a) , b) , c) Tarkista tulokset jollakin tietokoneohjelmalla. a) 2; b) 38; c)?. 48. [AG/4/3] Laske determinantti α α 2 β β 2 γ γ [HRI/2/8] Laske seuraavat determinantit sopivia determinantin laskusääntöjä käyttäen: α β + γ a) β γ + α γ α + β, b) + α α 4 + α α 5 + α α 6 + α 2 α 4 + α 2 α 5 + α 2 α 6 + α 3 α 4 + α 3 α 5 + α 3 α 6. a) 0; b) 0.

22 50. [HRI/2/7ca] Millä lukuja α ja β koskevilla ehdoilla seuraavat determinantit ovat = 0? α + β α + 2β α + 3β a) α + 3β α + β α + 2β α + 2β α + 3β α + β, b) 2 α 2 α 2 α α α 3. a) β = 0 tai α + 2β = 0; b) α =, 0, 2,. 5. [SKK/6.3/2] Olkoon A = Laske det(( 5AA T ) 7 ) käyttämällä determinantin laskusääntöjä = [HRI/2/9] Matriisista A 3 3 tiedetään, että se ei ole symmetrinen ja että sillä on ominaisuus A T = λa eräällä skalaarilla λ. Mitä tämän perusteella voidaan päätellä matriisista A ja skalaarista λ? λ =, det(a) = 0, matriisin A lävistäjäalkiot ovat = [AG/4/33] Tutki, millä luvun α arvoilla avaruuden R 4 vektorit (α,,, ), (, α,, ), (,, α, ), (,,, α) ovat lineaarisesti riippuvia. Millä luvun α arvoilla vektori (,, 3, 3) voidaan lausua em. vektoreiden lineaariyhdistelynä? Vektorit lineaarisesti riippuvia, jos α = tai = 3; voidaan lausua lineaariyhdistelynä, jos α. 54. [AG/4/34] Muodosta jokin pystyvektori x, jolle pätee x T x =, ja tämän avulla matriisi H = I 2xx T. Laske matriisin H determinantti. Kokeile erilaisia vektoreita x ja esitä hypoteesi determinantista. 55. [AG/4/35] Eräs tietokone suorittaa keskimäärin miljardi liukulukulaskutoimitusta (yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolaskua) sekunnissa. Kauanko koneella kestää laskea a) 0-rivinen, b) 00-rivinen determinantti ) suoraan permutaatioihin perustuvan määritelmän avulla, 2) Gaussin algoritmilla?

23 4.6 Käänteismatriisi 56. [AG/4/36] Määritä Gaussin algoritmilla ja alideterminanttien avulla A, kun ( ) ( ) 2 3 a) A =, b) A =, c) A = 0, d) A = 2 0 2, e) A = Tarkista tulokset jollakin tietokoneohjelmalla. a) e) 2 ( ) ( ; b) 0 ; f) 2, f) A = ) ; c) ; d) ; 57. [AG/4/37] Laske käänteismatriisi matriisille ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ). ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ). 58. [HRI/3/4] Olkoon x 2 3 A = x x 6 x 3 Tutki, millä muuttujan x arvoilla a) matriisilla ei ole käänteismatriisia, b) sen pystyvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. x = 0 tai x = [AG/4/38] Tutki, millä ehdolla matriisin α α2 β β 2 γ γ 2 a) pysty-, b) vaakavektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

24 60. [AG/4/39] Olkoon Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b A = 4 5 6, b = [AG/4/40] Kuten edellinen tehtävä, mutta matriisin oikean alanurkan alkio onkin 9. Analysoi tilannetta muodostamalla matriisin determinantti ja määrittämällä matriisin lineaarisesti riippumattomien pystyvektoreiden lukumäärä. 4.7 Lineaarikuvaus 62. [HRI/2/] Lineaarikuvaus F : R n R 3 kuvaa avaruuden R n vektorit x, x 2 ja x 3 vektoreille (0, 2, ), (, 2, 3) ja (,, 0). Laske vektorin 3x 2x 2 + x 3 kuva. (,, 9). 63. [HRI/2/2] Voiko kuvaus F : R 3 R 3 olla lineaarinen, jos F ((0,, )) = (, 0, 0), F ((, 0, )) = (,, 0), F ((,, 0)) = (,, )? Ei. 64. [HRI/2/3] Lineaarikuvauksella F : R 2 R 2 on ominaisuudet F ((, )) = (3, ) ja F ((2, )) = (, 2). Laske kuvauksen matriisi (luonnolllisten kantojen suhteen) ja määritä tämän avulla vektorin (, ) kuva. 3 ( ) ; (, 5) [HRI/2/4] Olkoot F ja G lineaarikuvauksia. Todista, että yhdistetty kuvaus F G on myös lineaarikuvaus. 66. [HRI/2/5] Todista, että lineaarikuvaus F on injektio, jos ja vain jos F (x) = o = x = o. 67. [HRI/2/6] Olkoon F lineaarikuvaus ja vektorit a,..., a m lineaarisesti riippuvia. Todista, että myös vektorit F (a ),..., F (a m ) ovat lineaarisesti riippuvia. 68. [HRI/2/7] Olkoon F injektiivinen lineaarikuvaus ja vektorit a,..., a m lineaarisesti riippumattomia. Todista, että tällöin myös vektorit F (a ),..., F (a m ) ovat lineaarisesti riippumattomia. Päteekö tulos, jos F ei ole injektio?

25 5 Geometriset avaruudet 5. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. [HRI/6/2] Olkoon {b, b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja u + v w koordinaattivektorit. Piirrä kuvio vektoreista tapauksessa a) b = i, b 2 = j, b) b = i, b 2 = i j. ( ) T, ( ) T [HRI/6/3] Määritä α siten, että vektori a = ( α α ) T on vektorin b = ( 3 2 ) T suuntainen. Ovatko vektorit saman- vai vastakkaissuuntaiset? α = [HRI/6/9] Osoita, että kolmiulotteisen avaruuden E 3 vektorit b = 2i+7j+5k, b 2 = i 8j+3k, b 3 = i + j 5k muodostavat kannan ja laske vektorin 6i + 3j + 37k koordinaatit tässä kannassa. ( ) T [HRI/6/5] Olkoon {b, b 2, b 3 } avaruuden E 3 kanta ja olkoot u = ( ) T, v = ( 3 2 ) T, w = ( ) T kolme tässä kannassa esitettyä vektoria. Osoita, että u, v ja w ovat saman tason suuntaisia ja lausu u vektoreiden v ja w lineaariyhdistelynä. u = 4 3 v + 3 w. 73. [HRI/2/3] Tutki, millä ehdolla seuraavat tason E 2 kannassa {b, b 2 } annetut vektoriparit ovat lineaarisesti riippuvia: a) ( α β ) T, ( τβ τα ) T, b) ( α β ) T, ( σα + τβ τα + σβ ) T. a) α = β = 0 tai τ = 0; b) α = β tai τ = [AG/5/] Olkoon annettuna kolme vektoria eräässä avaruuden E 3 kannassa: u = ( 2 8 ) T, v = ( 0 2 ) T, w = ( ) T. Määritä vektoreiden u + 7v 2w, u + 5v w 7u v + 0w koordinaattivektorit samassa kannassa. Ovatko viimeksi mainitut vektorit lineaarisesti riippumattomia?

26 75. [HRI/6/8] Tutki seuraavien vektorisysteemien lineaarista riippuvuutta, kun kantana on b = i + 3j + 5k, b 2 = 7i + j + 3k, b 3 = 7i + 9j + 23k: a) { ( 2 0 ) T, ( ) T, ( ) T}, b) { ( 3 ) T, ( 4 2 ) T, ( 3 5 ) T}, c) { ( ) T, ( 2 3 ) T, ( ) T}, d) { ( 2 ) T, ( 2 0 ) T, ( 3 ) T, ( ) T}. a) On, b) ei, c) on, d) ei. 76. [AG/5/28] Olkoot vektorit OA, OB ja OC lineaarisesti riippumattomia. Todista, että myös vektorit AB ja AC ovat (keskenään) lineaarisesti riippumattomia. 77. [HRI/7/] Kolmion ABC keskiö olkoon M. Koordinaatiston origona olkoon M ja kantavektoreina MA ja M B. Laske kolmion kärkipisteiden ja sivujen keskipisteiden koordinaatit. Kärkipisteet: (, 0), (0, ), (, ); sivujen keskipisteet: ( 2, 0), (0, 2 ), ( 2, 2 ). 78. [HRI/7/2] Kolmiossa ABC piste O puolittaa sivun AB, piste E jakaa sivun BC suhteessa : 2 ja piste E 2 sivun CA suhteessa : 3. Määritä kolmion kärkipisteiden koordinaatit siinä koordinaatistossa, jonka origona on piste O ja kantavektoreina OE ja OE 2. ( 9 7, 4 7 ), ( 9 7, 4 7 ), ( 3 7, 8 7 ). 79. [HRI/7/3] Annettu tetraedri määrää avaruuden koordinaatiston siten, että yksi kärki on origona ja muut määrittävät kantavektoreiden loppupisteet. Määritä särmien keskipisteiden, tahkojen keskiöiden ja tetraedrin keskiön koordinaatit. Särmien keskipisteet: ( 2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2 ), (0, 2, 2 ), ( 2, 0, 2 ), ( 2, 2, 0); tahkojen keskiöt: ( 3, 3, 3 ), (0, 3, 3 ), ( 3, 0, 3 ), ( 3, 3, 0); tetraedrin keskiö: ( 4, 4, 4 ). 80. [HRI/2/3] Olkoot vektorit a ja b erisuuntaisia, ts. a b. Määritä vektori c siten, että a + b, b + c ja c + a muodostavat kolmion. c = o tai c = a b. 8. [HRI/2/4] Olkoon piste M kolmion ABC keskiö (keskijanojen leikkauspiste). Osoita, että MA + MB + MC = o. 82. [HRI/2/5] Olkoot pisteet M ja N kolmioiden ABC ja DEF keskiöt. Osoita, että AD+ BE+ CF = 3 MN.

27 83. [HRI/2/6] Kolmion ABC sivut BC, CA ja AB jakautuvat pisteissä A, B ja C suhteessa m : n. Todista, että kolmioiden ABC ja A B C keskiöt yhtyvät. 84. [HRI/2/7] Kolmiossa ABC piste D jakaa sivun BC suhteessa p : q ja piste E sivun AB suhteessa r : s. Missä suhteessa janojen AD ja CE leikkauspiste X jakaa janan AD? (pr + qr) : (qs). 85. [HRI/2/8] Kolmion ABC kärjestä A sivulle BC piirretty jana AD puolittaa kulman BAC. Lausu vektori AD vektorien u = AB ja v = AC avulla, kun tiedetään, että AB = 3 ja AC = u v. 86. [HRI/2/9] Kolmion ABC sivuja merkitään u = AB, v = AC. Kärjestä A piirretyn kulmanpuolittajan ja kärjestä C piirretyn keskijanan leikkauspiste olkoon K. Määritä u, kun tiedetään, että v = ja AK = 5 u v. u = [HRI/2/0] Suunnikkaassa ABCD kärki A yhdistetään sivun DC keskipisteeseen P ja kärki B sivun AD keskipisteeseen R. Yhdysjanat leikatkoot pisteessä X. Lausu vektori AX vektoreiden u = AB ja v = AD avulla. 5 u v. 88. [HRI/2/] Olkoot E, F, G ja H suunnikkaan ABCD sivujen AB, BC, CD ja DA keskipisteet. Piste X olkoon janojen BG ja EF leikkauspiste. Lausu vektori HX vektorien u = AB ja v = AD avulla. 5 6 u 6 v. 89. [HRI/2/2] Puolisuunnikkaassa ABCD, missä AB DC ja AB : DC = m >, merkitään u = AD ja v = BC. Lausu näiden avulla vektorit AB ja AM, missä M on puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspiste. AB = m (u v), m AM = m m 2 (mu v). 90. [HRI/2/3] Osoita vektoreita käyttäen, että tetraedrin kahden vastakkaisen särmän keskipisteiden yhdysjanoilla on yksi yhteinen piste. 9. [HRI/2/4] Tetraedrin keskijana on kärjen ja vastakkaisen sivutahkon keskiön yhdysjana. Piste X jakakoon tetraedrin erään keskijanan kärjestä lähdettäessä suhteessa 3 :. Osoita, että X yhtyy edellisessä tehtävässä mainittujen yhdysjanojen leikkauspisteeseen. Miten tetraedrin neljä keskijanaa suhtautuvat toisiinsa?

28 5.2 Käyräviivaisia koordinaatistoja 92. [AG/5/2] Pisteen P suorakulmaiset avaruuskoordinaatit ovat ( 2, 3, ). Laske lieriö- ja pallokoordinaatit (tarkat arvot ja likiarvot). 93. [AG/5/3] Laske kolmiulotteisen avaruuden (kannassa {i, j, k} annettujen) pisteiden (,, ) ja (, 3, 5) pallokoordinaatit (likiarvot). r.732, ϕ , ϑ ; r 5.96, ϕ , ϑ [AG/5/4] Origokeskisellä pallopinnalla sijaitseva käyrä toteuttaa pallokoordinaattiyhtälön ϕ = ϑ. Millainen käyrä on kysymyksessä? 95. [AG/5/5] Lieriön akselina on z-akseli. Lieriöpinnalla sijaitsee käyrä, jonka yhtälö lieriökoordinaateissa on z = ϕ. Millainen käyrä on kyseessä? 5.3 Skalaaritulo 96. [AG/5/6] Vektoreille a ja b pätee a + 3b = 6, a 3b = Laske vektoreiden sisätulo a b. 97. [HRI/5/2] Vektoreiden a ja b välinen kulma on 20 ja a = 3 b. Määritä skalaari λ siten, että a + b ja a λb ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. λ = [HRI/5/] Suorakulmaisessa kolmiossa ABC on suoran kulman kärjestä lähtevä korkeusjana AD. Sivujen AB ja AC pituudet ovat 5 ja 2. Laske skalaaritulot AB DC, BD CA, AC CD. AB DC = BD CA = , AC CD = [HRI/5/3] Säännöllisen tetraedrin kärjestä lähtevät särmävektorit ovat a, b ja c. Laske vektoreiden a + b + 2c ja 2a b välisen kulman kosini [HRI/5/4] Avaruuden E 3 kantavektoreista tiedetään seuraavaa: b = b 2 =, b 3 = 2, b b 2, (b 3, b ) = (b 3, b 2 ) = 60. Määritä α siten, että vektoreille u = 2b + αb 3 ja v = b + 3b 2 on voimassa comp(u, v) = comp(v, u). α = 2 ( ± 7), [HRI/5/5] Koordinaatiston {O, b, b 2, b 3 } kantavektorit muodostavat pareittain 60 kulman ja niiden pituudet ovat b = 3, b 2 = 2, b 3 =. Muodosta vektoreiden määräämän tetraedrin pisteestä O lähtevän mediaanivektorin vektorikomponentti vektorille b. 2 b.

29 202. [HRI/5/6] Osoita skalaarituloa käyttäen, että kolmion korkeusjanat kulkevat saman pisteen kautta [AG/5/7] Olkoon a o vakiovektori ja olkoon r pisteen P paikkavektori. Millaisen joukon muodostavat ne pisteet P, joille pätee a) (r a) a = 0, b) (r a) r = 0? Tarkastele erikseen tasoja avaruustapausta [AG/5/8] Kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen P ja origon yhdysjanan pituus on 5. Se muodostaa positiivisen x-akselin kanssa kulman α = 32 ja positiivisen y-akselin kanssa kulman β = 73. Laske pisteen P koordinaatit [HRI/7/] Olkoon a = 3i 4j + 2k ja b = i + j 3k. Laske kummankin vektorin skalaari- ja vektorikomponentti toisen vektorin suunnalle. comp(a, b) = 7, comp(a, b)b = 7 (i + j 3k), comp(b, a) = 7, 29 comp(b, a)a = 7 (3i 4j + 2k) [HRI/7/2] Määritä vektori, joka muodostaa yhtä suuret kulmat vektoreiden k, j + k ja i + j + k kanssa. α[( 3 2)i + ( 2 )j + k, α R. 5.4 Vektoritulo 207. [HRI/9/] Määritä yksikkövektori, joka on kohtisuorassa vektoreita 2i + 3j k ja i j + 3k vastaan. ± 38 (8i 7j 5k) [AG/5/9] Muodosta ortonormeerattu oikeakätinen avaruuden E 3 kanta {b, b 2, b 3 }, jonka vektori b on vektorin i + j + k suuntainen ja vektori b 2 on vaakasuora, ts. xy-tason suuntainen. Määräytyykö kanta yksikäsitteisesti näistä ehdoista? 209. [HRI/20/2] Jaa vektori u = i 7j k kolmeen komponenttiin, joista yksi on vektorin a = 2i 3j+k suuntainen, toinen vektorin b = i 2j+4k suuntainen ja kolmas kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan. Miten pitkä on vektorin kohtisuora projektio tasolla, joka on vektoreiden a ja b suuntainen? 6(2i 3j + k) 3 3 (i 2j + 4k) + 3 (0i + 7j + k); [HRI/9/3] Osoita: a + b + c = o = a b = b c = c a.

30 2. [AG/5/0] Kheopsin pyramidin alkuperäinen korkeus oli 47 m ja neliönmuotoisen pohjan sivun pituus 230 m. Sijoita pyramidi sopivasti koordinaatistoon, laske pyramidin kahden vierekkäisen sivun normaalivektorit ja näiden avulla sivujen välinen (diedri)kulma. 22. [AG/5/] Sijoita säännöllinen oktaedri sopivaan asentoon koordinaatistoon siten, että yksi kärki on origossa. Laske tästä kärjestä alkavien särmien vektoriesitykset ja näiden avulla tässä kärjessä kohtaavien sivutahkojen normaalivektorit. Laske näiden avulla sivutahkojen välinen diedrikulma. π arccos [AG/5/2] Helsingistä lennetään lyhintä tietä Tokioon. Miten pitkä on matka ja mihin ilmansuuntaan Helsingistä on lähdettävä? Maapallon säde on 6370 km ja kaupunkien maantieteelliset koordinaatit seuraavat: Helsinki: 60 N, 25 E ; Tokio: 36 N, 40 E. (Muodosta aluksi paikkakuntien paikkavektorit maantieteellisten pallokoordinaattien avulla ja käytä sitten skalaari- ja vektorituloja.) Etäisyys n km, suunta 5.8 pohjoisesta itäänpäin. 24. [AG/5/3] Laske vektoreiden a = 2i + 3j + 4k ja b = 2i 3j + 4k ristitulo. Laske myös vektoria a vastaava ristitulomatriisi A ja em. ristitulo matriisitulona A b. 5.5 Vektorialgebraa 25. [AG/5/4] Olkoot a, b ja x avaruuden E 3 vektoreita. Johda vektorikolmitulon a (b x) kehityskaava muodostamalla vektoreita a ja b vastaavat ristitulomatriisit A, B ja laskemalla A B. Tulkitse A B x, missä x = x, kehityskaavan oikeaksi puoleksi. 26. [HRI/9/5] Laske a (b c) sekä kahdella ristitulon muodostamisella että vektorikolmitulon kehityskaavalla, kun a = 2i + 3j 4k, b = 3i + j + 5k, c = 2i 2j + 3k. 20i 68j 4k. 27. [HRI/9/0] Laske (a b) c, kun a j = b j = 0, c = 2i j + 3k ja [a, b, c] = 4. 2i 8k. 28. [HRI/9/6] Tutki, millä ehdoilla a (b c) = (a b) c. a c tai (b a ja b c).

31 29. [AG/5/5] Olkoot a, b ja c avaruuden E 3 vektoreita. Todista: [a b, b c, c a] = [a, b, c] [HRI/20/] Vektorit a, b, c ovat lineaarisesti riippumattomia. Sievennä lauseke [(a b) (b c)] (c a). Millä ehdolla lauseke on = o? [a, b, c]b (c a) = [a, b, c][(a b)c (b c)a; = o, jos b a ja b c. 22. [HRI/9/7] Osoita: a (a b) 2 = a 4 b 2 a 2 (a b) [HRI/9/8] Määritä vektorin (a (a (a (a (a (a b)))))) pituus, kun tiedetään, että a = 3, b = ja a b = [HRI/9/] Määritä vektori r, joka toteuttaa yhtälöparin { r (k r) = k. r j = 0 r = ±i [HRI/9/2] Laske sen kolmion ala, jonka kahtena sivuna ovat vektorit i + 5j 2k ja 3i 2j k [HRI/9/4] Tetraedrin kärjet ovat (, 2, 4), (5,, 0), (2, 3, 6), (,, ). Laske tetraedrin tilavuus [AG/5/6] Tutki, muodostavatko a) tason E 2 vektorit {2i j, i j}, b) avaruuden E 3 vektorit {i j + k, 3i + 2j + k, i + j 5k} kannan. Onko (myönteisessä tapauksessa) kanta positiivisesti vai negatiivisesti suunnistettu? 227. [HRI/2/4] Tason E 2 koordinaatistossa {O, b, b 2 } on annettuna pisteet A = ( ξ ξ 2 ) T, B = ( η ) T. η 2 Osoita, että kolmion OAB pinta-ala on ( ) 2 b b 2 sin (b, b 2 ) det ξ η. ξ 2 η 2

32 228. [AG/5/7] Avaruuden E 3 kolmen pisteen paikkavektorit ovat a, b ja c. Esitä menettely, jolla voidaan määrittää pisteiden kautta kulkevan ympyrän keskipisteen paikkavektori [AG/5/8] Kolmiulotteisen avaruuden ympyrä kulkee pisteiden (, 2, 3), (2, 5, 3) ja (, 3, 6) kautta. Määritä ympyrän keskipiste, säde ja ympyrän tason normaalin suunta. 5.6 Koordinaatiston vaihto 230. [HRI/0/] Tason E 2 kahden kannan välillä vallitsee yhteys { b = b + 9b 2 b 2 = 6b + 8b 2. Muodosta koordinaatistonmuunnoskaavat pilkutettujen koordinaattien suhteen ratkaistuina. ξ = 23 ( 4ξ + 3ξ 2 ), ξ 2 = 46 (9ξ ξ 2 ). 23. [AG/5/9] Tasossa E 2 siirrytään vanhasta koordinaatistosta {O, i, j} uuteen koordinaatistoon {O, b, b 2 }, missä O = 2i + j, b = i + j, b 2 = j. Esitä koordinaatistonmuunnos sekä uusien että vanhojen koordinaattien suhteen ratkaistuna [AG/5/20] Avaruuden E 3 vanha kanta muodostuu vektoreista ja uusi kanta vektoreista b = i + j + k, b 2 = i + 2j + 3k, b 3 = i + 4j + 9k b = i + 2j, b 2 = 3j + 4k, b 3 = 6i + 5k. Origojen paikkavektorit ovat b 0 = i + j ja b 0 = 2j + k. Muodosta yhtälöryhmät, joista kannanvaihtomatriisi ja origonsiirtovektori voidaan ratkaista [AG/5/2] Muodosta edellisen tehtävän kannanvaihtokaavat ja muunna vanhan kannan koordinaatit ( 2 3 ) T uuteen kantaan ja takaisin [HRI/0/2] Avaruuden E 3 kahden kannan välillä vallitsee yhteys b = 2b + 2b 2 + 7b 3 b 2 = b 2 + 9b 3. b 3 = 6b + 8b 2 Määritä luvut α ja β siten, että vektorin αb + βb 2 + b 3 koordinaatit kannassa {b, b 2, b 3 } ovat keskenään yhtä suuret. α = 24 5, β = 2.

33 235. [AG/5/22] Avaruuteen sijoitetaan suuntaissärmiö, jonka yhtenä kärkenä on piste P = (, 2, 3) ja jonka tästä kärjestä lähtevät särmät ovat b = i + j + k, b 2 = i + 2j + 3k, b 3 = i + 4j + 9k. Laske särmiön sivutahkojen keskipisteiden koordinaatit särmäkoordinaatistossa {P, b, b 2, b 3 }. Muodosta koordinaatistomuunnos, jolla nämä koordinaatit saadaan lasketuiksi {O, i, j, k} -koordinaatistossa ja laske koordinaatit [HRI/0/4] Tason koordinaatistossa {O, b, b 2 } on koordinaatiston {O, b, b 2} ξ -akselin yhtälö 2ξ + ξ 2 = 2 ja ξ 2-akselin yhtälö ξ ξ = 0. Eräällä pisteellä on koordinaatit ξ =, ξ 2 = 2 ja ξ = 2, ξ 2 = 2. Millä pisteellä on samat koordinaatit (ξ = ξ, ξ 2 = ξ 2) kummassakin koordinaatistossa? (, 5) [HRI/0/5] Tason kahden koordinaatiston väliset muunnoskaavat ovat { ξ = αξ + 2ξ 2 ξ 2. = ξ + βξ Yhtälöt ξ + 3ξ 2 + = 0 ja 2ξ ξ = 0 esittävät samaa suoraa. Määritä α ja β. α = 0, β = [HRI/0/6] Kolmiossa ABC piste D puolittaa sivun BC, piste E sivun AC ja piste M on kolmion keskiö. Tarkastellaan koordinaatistoja {A, AM, AC} ja {B, BD, BE}. Erään suoran yhtälö edellisessä koordinaatistossa on 2ξ 2ξ 2 =. Määritä sen yhtälö jälkimmäisessä koordinaatistossa. Piirrä kuvio. 5ξ + 9ξ 2 = [HRI/0/7] Suunnikas ABCD ( AB DC), jonka keskipiste on M, määrää kaksi tason koordinaatistoa: {A, AM, AD} ja {B, BC, BM}. Muodosta koordinaatistonmuunnoskaavat. Minkä pisteen koordinaatit säilyvät muuttumattomina siirryttäessä koordinaatistosta toiseen? Piirrä kuvio. ξ = ξ 2 + 2, ξ 2 = ξ + ξ 2 ; (, ) [HRI/0/3] Osoita, että vektorit b = i 2k, b 2 = 2i j + 3k, b = i + j 9k ja b 2 = 5i 2j + 4k ovat saman tason suuntaiset. Osoita, että sekä {O, b, b 2, b b 2 } että {O, b, b 2, b b 2} voidaan valita avaruuden E 3 koordinaatistoiksi; tässä on O = o on koordinaatistojen yhteinen origo. Määritä koordinaattimuunnoskaavojen matriisi T [HRI/8/] Tason E 2 koordinaatisto {O, i, j} on siirretty ja kierretty uuteen asentoon {O, i, j }; x -akselin yhtälö pilkuttomissa koordinaateissa on x+3y 6 = 0, y -akselin vastaavasti 3x y 4 = 0. Esitä koordinaattimuunnoskaavat kumpaankin suuntaan, kun lisäksi tiedetään, että i - ja j- vektoreiden välinen kulma on terävä. x = 0 ( 3x + y + 4), y = 0 ( x 3y + 6), x = 0 ( 3x y ) + 9 5, y = 0 (x 3y )

34 242. [HRI/8/6] Koordinaatistoista {O, i, j, k} ja {O, i, j, k } tiedetään seuraavaa: ) Molemmat ovat ortonormeerattuja ja oikeakätisiä. 2) i ja i + 2j + 2k ovat samansuuntaiset. 3) k on xy-tason suuntainen siten, että kulma (k, i) on terävä. Lausu koordinaatistonmuunnoskaava pilkuttomien koordinaattien suhteen ratkaistuna. S = , x 0 = o [HRI/8/8] Totea, että matriisi T = on ortogonaalinen. Määritä pisteet, joiden koordinaatit säilyvät ennallaan koordinaatistomuunnoksessa x = T x. α ( 4 2 ) T, α R. 5.7 Avaruuden R n geometriaa 244. [HRI/5/2] Osoita, että avaruuden R n vektorit b =., b. 2 =., b. 3 =,..., b. n =. 0 muodostavat avaruuden kannan [AG/5/23] Olkoon x,..., x n, y,..., y n R. Osoita: ( n ) 2 ( n x k y k ) ( n x 2 k yk 2 k= k= k= ) [HRI/6/2] Todista: x + y = x + y, jos ja vain jos y = o tai x = αy, missä α [AG/5/24] Todista Pythagoraan lause avaruudessa R n : Jos x y, niin x y 2 = x 2 + y [AG/5/25] Todista suunnikaslause avaruudessa R n : x y 2 + x + y 2 = 2 x y 2. Miksi lausetta sanotaan suunnikaslauseeksi?

35 249. [HRI/6/3] Todista: x = y x + y x y [HRI/44/] Laske avaruuden R 4 vektoreiden x = ( ) T ( ja y = ) T 3 välisen kulman kosini. Mikä on kulman suuruus? ; [HRI/44/2] Laske avaruuden R 5 pisteiden P = Q = ( ) T välinen etäisyys. ( ) T ja [AG/5/26] Valitse jokin avaruuden R 5 yksikkövektori x ja muodosta tämän avulla matriisi H = I 2xx T. Tutki, ovatko matriisin H pystyvektorit ortonormeeratut. Laske vektorin x ja matriisin H pystyvektoreiden välisten kulmien kosinit ja itse kulmat [AG/5/27] Vektorit V b = i + 2j + 3k, b 2 = i + 2j, b 3 = i muodostavat avaruuden E 3 kannan. Avaruus E 3 varustetaan sisätulolla siten, että tämä kanta on ortonormeerattu, ts. sisätulolla on lauseke (u v) = ξ η + ξ 2 η 2 + ξ 3 η 3, missä luvut ξ, ξ 2, ξ 3 ja η, η 2, η 3 ovat vektoreiden u ja v koordinaatit em. kannassa. Esitä sisätulon lauseke kantaan {i, j, k} liittyvien koordinaattien avulla. Totea, että lauseke voidaan kirjoittaa muotoon x T A T Ay, missä A on sopiva matriisi. Laske vektoreiden j ja k täten määritelty sisätulo [HRI/2/8] Olkoon F : R n R n lineaarikuvaus. Osoita: (F (x) F (y)) = 2 ( F (x + y) 2 F (x) 2 F (y) 2). Päättele tämän avulla, että jos lineaarikuvaus säilyttää vektorien pituuudet (ts. F (x) = x x), niin se säilyttää myös vektorien väliset kulmat (ts. (F (x), F (y)) = (x, y) x, y). 6 Suorien ja tasojen geometriaa 6. Suorien ja tasojen yhtälöt 255. [HRI/8/] Osoita, että yhtälöt { x = 3 + 2τ esittävät samaa tason suoraa. y = 3τ Yhteinen piste (, 5) ja suunta 2i 3j. ja { x = 6τ y = 5 + 9τ

36 256. [HRI/8/3] Määritä suoran x = 3 + τ y = 2 z = 4 2τ ja koordinaattitasojen leikkauspisteet. (0, 2, 0), zx-tasolla ei ole, (5, 2, 0) [HRI/8/5] Määritä suorien { x = 3 + 2τ y = 3τ ja { x = σ y = 2( + σ) leikkauspiste. (, 2) [HRI/8/6] Millä luvun α arvoilla suorat { x = + ατ y = τ ja x 2y + 5 = 0 ovat yhdensuuntaiset? α = [HRI/8/0] Määritä luku α siten, että suorat 2(x ) = y = 2z 3 ja x = 7 y = 7 + 3τ z = 2τ ja vektori i + 2j + αk ovat saman tason suuntaiset. α = [HRI/8/] Olkoon s xy-tason suora, jonka yhtälö on x + y = 0 ja olkoon s 2 suora x = y = z = τ. Määritä pisteet P s ja P 2 s 2 siten, että vektori P P 2 on yhdensuuntainen vektorin i j + k kanssa. P = (0,, 0), P 2 = ( 2, 2, 2 ). 26. [HRI/8/2] Kolmion kaksi kärkeä ovat origo ja piste (2, 2, ). Yksi sivu on suoralla x = 2y = z. Määritä kolmas kärki, kun kolmannen sivun tiedetään olevan vektorin i j + αk suuntaisen, missä α on eräs luku. Mikä luku α on? ( 8 3, 4 3, 8 3 ), α = [HRI/8/3] Suora s kulkee pisteen (,, 3) ja sen janan keskipisteen kautta, jonka zx- ja xy-tasot leikkaavat suorasta x = 2(y + ) = z + 3. Määritä suoran s suuntavektori. 8i 3j 4k.