Taloustieteen matemaattiset menetelmät 2017 materiaali 2. esimerkin valossa perustellaan menetelmiä yhtälöryhmän analysointiin ja ratkaisuun

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Taloustieteen matemaattiset menetelmät 2017 materiaali 2. esimerkin valossa perustellaan menetelmiä yhtälöryhmän analysointiin ja ratkaisuun"

Transkriptio

1 Tloustieteen mtemttiset menetelmät 7 mterili Linerilgebr Johdnto Seurvill luennoill esimerkin vloss perustelln menetelmiä yhtälöryhmän nlysointiin j rtkisuun tärkeä rtkisumenetelmä mtriisien yleisiä ominisuuksi - vuksi nlyysiin - eli onko rtkisu? determinntti keskeisiä tloustieteen linerisi mllej Esimerkki Linerinen mrkkintspino nlysoidn kysyntä- j trjontkehikoss khden tuotteen tspinohintoj j -määriä Tuotteen kysyntä on muoto Q d = K P P Y ; Q d = K P P Y Q d i on siis kysytty määrä P i on tuotteen i hint, Y on tulotso K i koko kikki nlyysin ulkopuoliset muuttujt (eksogeeniset muuttujt), jotk vikuttvt kysyntään Tulkitn prmetrit ij j i mikroteorin ineopintojen mukisesti ij on tuotteen i kysynnän jousto tuotteen j hinnn mukn Siis esimerkiksi on tuotteen hintjousto omn hinnn mukn j on tuotteen ristihintjousto i on tuotteen i kysynnän tulojousto Mitä etumerkkejä odott ii n j ij n svn? Entä i? Trjontfunktiot tuotteille riippuvt vin omist hinnoist (j tämän mrkkinn ulkopuolisist tekijöistä) Q s = M P ; Q s = M P Tulkint i lle on siis trjonnn hintjousto Tspinoss kysyntä koht trjonnn eli

2 j Q d = Q s ; Q d = Q s Toisin snoen mlliss on 6 yhtälöä kuudelle muuttujlle Mlli on melko monimutkisen näköinen, mutt sitä voi yksinkertist huomttvsti muuttujnmuunnoksell Merkitään q d i = ln Q d i ; q s i = ln Q s i p i = ln P i ; y i = ln Y i ; m i = ln M i ; k i = ln K i ; i f; g Ottmll logritmit puolittin mllin yhtälöistä, voidn tspinoehdot kirjoitt muodoss kikille i f; g q d i = k i + ii p i + ij p j + i y; q s i = m i + i p i ; q s i = q d i Sijoittmll ensin kolmnnest yhtälöstä toiseen j sitten ensimmäisestä toiseen sdn k i + ii p i + ij p j + i y = m i + i p i ; i f; g Osittisen tspinon mlleiss oletetn, että nlysoitvt mrkkint ovt pieniä kokonistlouteen verrttun j niinpä tulotso Y oletetn mlliss eksogeeniseksi muuttujksi Niinpä sijoittmisten jälkeen inot endogeeniset muuttujt mlliss ovt p j p Kirjoitetn mlli muotoon, joss endogeeniset muuttujt ovt yhtälön vsemmll j eksogeeniset oikell puolell ( ) p + p = m k y; p ( ) p = m k y Kirjoitetn mtriisimuodoss p p = b b ; missä ii = ii i ; ij = ij ; j b i = m i k i i y Kurssin ensimmäinen os käsittelee lineristen yhtälöryhmien rtkisu Ylläolev mlli on esimerrki tällisest mllist j ensimmäisellä hrjoituskerrll esitellään muit tloudellisi esimerkkejä Ylläolevss mlliss rtkisu sdn helposti esimerkiksi rtkisemll p ylemmästä yhtälöstä j sijoittmll lempn yhtälöön p = m k y p ; ( )

3 j sijoittmll lempn sdn p = m k y p ( ) = m m k y k y p ( ) ( ) Kertomll puolittin ( ) ( ) ll sdn ( ) ( ) p = ( ) (m k y) (m k y)+ p ; joten p = ( ) (m k y) (m k y) ( ) ( ) Sijoittmll ensimmäiseen yhtälöön sdn p = m ( k y )(m k y) (m k y) ( )( ) ( ) = ( ) (m k y) (m k y) (( ) ( ) ) Tspinomäärät sdn rtkistu helpoimmin trjontyhtälöistä Huomtk, kuink monimutkist j virheltist rtkiseminen tällisell suorll sijoittmisell on Jos kyseessä olisi,4 ti hyödykkeen mrkkin, tehtävää olisi mhdotont lähestyä näin Kurssin ensimmäisessä osss etsimme yleisiä menetelmiä löytää rtkisuj linerisille yhtälöryhmille x + x + n x n = b ; x + x + n x n = b ; n x + n x + nn x n = b n Mtriisimuodoss yhtälöryhmä voidn esittää missä n + n = ; x = n n + nn x = b; () x x x n b ; b = b Linerilgebrss trkstelln yleisesti yhtälöitä jotk ovt sm muoto kuin Tällöin kysytään, onko yhtälöllä rtkisu j jos rtkisu on olemss, miten se löydetään j onko rtkisuj usempi Jtkoss käydään läpi seurvt linerilgebrn peruskäsitteet j käytetään niitä pun tloudellisten mllien nlyysissä b n

4 Vkriviopertiot Singulriset j ei-singulriset mtriisit Rivi- j srkerngi x linerisen funktion (injektiivisyys, surjektiivisuus j bijektiivisyys) Lineriset yhtälöryhmät loitmme tutkimll yhtälöryhmää x + x + n x n = b ; x + x + n x n = b ; n x + n x + nn x n = b n () Mtriisimuodoss yhtälöryhmä voidn esittää x = b; () missä = n n n n nn ; x = x x x n ; b = b b b n Ryhmän () ensimmäisestä yhtälöstä voidn rtkist suorn x = b x n x n Sijoitetn tämä smn ryhmän muihin yhtälöihin Tällöin sdn (n ) yhtälön ryhmä ( )x + n n x n = b b ; (4) ( n n )x + nn n b n x n = b n Voimme toist smn skeleen eli rtkist ryhmän (4) ensimmäisestä yhtälöstä x j sijoitt ryhmän muihin yhtälöihin Kosk jok skelell päädymme yhtä pienempään yhtälöryhmään, on (n ) skeleen jälkeen jäljellä linerinen yhden muuttujn yhtälö cx n = d Tällä yhtälöllä on in (yksikäsitteinen) rtkisu jos c 6= Yhtälöllä on äärettömän mont rtkisu jos c = d = ; j yhtälöllä ei ole rtkisu jos c = j d 6= 4

5 Linerilgebrss pyrimme siis selvittämään, milloin viimeisen eliminoinnin jäkeen muodostuvll yhtälöllä on rtkisu Muistutetn mieliin pri perussääntöä Yhtälön rtkisut eivä muutu jos sen molemmt puolet kertoo smll nollst poikkevll reliluvull Jos (x ; ; x n ) toteutt yhtälöt j x + x + n x n = b ; x + x + n x n = b ; silloin (x ; ; x n ) toteutt myös yhtälön ( + ) x + + ( n + n ) x n = b + b Yhdistämällä edelliset kksi koht tiedetään, että yhtälöryhmän rtkisut eivät muutu mikäli yksi yhtälö lisätään toiseen yhtälöön millä thns reliluvull kerrottun 4 Yhtälöryhmän rtkisut eivät riipu siitä, missä järjestyksessä yhtälöt on kirjttu Näiden sääntöjen soveltmist mtriisin riveille kutsutn vkriviopertioiksi Yhtälöryhmän rtkiseminen vkriviopertioill Trkstelln yhtälöryhmää missä x = ; n n = ; x = n n nn Tällä yhtälöryhmällä on in rtkisu x = (; ; ); mutt voimme kysyä, onko yhtälöllä muit rtkisuit Trkstelln siis mtriisi Mikäli = ; vihdetn rivi jonkin sellisen rivin k knss, joss k 6= Mikäli tällist riviä ei löydy, toteutt (x; ; ; ) yhtälöryhmän kikill xn rvoill eikä rtkisu siis ole yksikäsitteinen x x x n

6 Oletetn siis, että jollekin k pätee k 6= j oletetn smll suorn, että k = Kerrotn enimmäinen rivi llä j lisätään jokiseen riviin k kerrottun tekijällä k Sdn mtriisi n () () n () n n = = () () n n n nn n n () n () nn Mikäli kerrotn toinen rivi 6= ; j lisätään toinen rivi kerrottun tekijällä jokiseen riviin k; jolle k > Mikäli vihdetn riviä j k mikäli llä k k = ; k k 6= j edetään kuten edellä Mikäli () k = kikill k ; kerrotn mtriisin () toinen rivi ll () (ti vihdetn riviä jos () = ) j jtketnkuten edellä Sdn uusi mtriisi n () n n = = nn n n () () n () n () nn Jtketn mtriisin () knss kuten edellä Mikäli 6= ; kerrotn kolms rivi () 6 ll

7 j lisätään () k () kerrottun riviin k > Mikäli () = ; vihdetn riviä j k > ; jolle pätee () k 6= Näin sdn mtriisit () ; (4) jne kunnes päästään k eliminoinnin jälkeen esimerkiksi muotoon ll () () n () () n () n Mtriisi, jonk rivi k lk suuremmll määrällä nolli kuin rivi l jos k > l snotn riviporrsmuotoiseksi mtriisiksi Kikki mtriisit voidn stt riviporrsmuotoon vkriviopertioit käyttäen yllä kuvtun prosessin mukn Seurvss luvuss käydään läpi lukuisi käytännön esimerkkejä tästä prosessist Riviporrsmuotoisen mtriisin nollst poikkevien rivien lukumäärää kutsutn mtriisin rivirngiksi Huom, että rivirngi on in korkeintn muuttujien lukumäärän (srkkeiden lukumäärän) suuruinen Yllä olevss mtriisiss tämä on 4 Jos rivirngi on pienempi kuin mtriisin rivien lukumäärä, on yhtälöryhmällä ääretön määrä rtkisuj Yllä olevss esimerkissä x voidn vlit mielivltisesti, muut muuttujt määräytyvät tämän jälkeen yksikäsitteisesti Jos rivirngi on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä, tällöin x = (; ; ) on yhtälöryhmän ino rtkisu Trkstelln seurvksi yhtälöryhmää x = b Suoritetn edellisen kltisi vkriviopertioit lisätylle mtriisille n b n b b = ; n n nn b n joill stetn mtriisi riviporrsmuotoon () () n () n b () b () b (k) n 7

8 Mikäli rnk b = rnk () ; yhtälöryhmällä on rtkisu Mikäli rnk b > rnk () ; ei rtkisu ole Jos rnk b = rnk () = n; rtkisu on yksikäsitteinen Mikäli rnk b = rnk () < n; on rtkisuj ääretön määrä 4 Esimerkkilskuj vkriviopertioist j mtriiseist Mtriisin sttminen riviporrsmuotoon Olkoon = Kerrotn ensimmäinen rivi ll j lisätään toiseen j kolmnteen riviin + = + Kerrotn toinen rivi ll j lisätään kolmnteen riviin = Kosk riviporrsmuodoss on nollst poikkev riviä, on mtriisin rngi, rnk() = Tiedämme siis, että yhtälöryhmällä x = b on yksikäsitteinen rtkisu kikille vektoreille b 8

9 Yhtälöryhmän rtkiseminen Trkstelln edelliselle yhtälölle numeerist esimerkkiä = x +x x x +x +x x +x x x x Trkstelln lisättyä mtriisi = j toistetn ylläolevt vkriviopertiot j Sdn Sijoitetn toiselle riville 7 x + x = 7 = 7 Sdn x = 7 Ensimmäiseltä riviltä sdn eli x + 7 x = 7 7 = 9

10 Mtriisi, joll ei ole täyttä rngi = 4 Eliminoidn toinen j kolms rivi ensimmäistä käyttämällä 4 Kun eliminoimme kolmnnen rivin toist käyttämällä smme riviporrsmuodon 4 Mtriisin rngi rnk() on siis j yhtälöryhmällä x = b on joko ti rtkisu Kosk mtriisin kolms rivi sdn lskemll yhteen toinen rivi j kert ensimmäinen rivi, yhtälöryhmällä on rtkisu jos j vin jos b = b + b Jos ette usko, kokeilk vkriviopertioill lisätylle mtriisille 4 b b b Linerinen riippuvuus Trkstelln joukko (pysty)vektoreit ; ; ; n R m, missä siis i = i mi Snotn, että f ; ; ; n g ovt linerisesti riippuvi jos on olemss 6= ; = ( ; ; ; n ) siten että n n = Kirjoitetn n = ( ; ; ; n ) = m mn

11 Vektorit ovt siis linerisesti riippuvi jos on olemss 6= ; jolle pätee = Edellisen luennon rngikriteeriä käyttämällä tiedämme siis, että f ; ; ; n g ovt linerisesti riippuvi vin jos j vin jos rnk () < n Heti näemme, että f ; ; ; n g ovt in linerisesti riippuvi jos m < n

12 6 Mtriisilgebr Olkoon m n -mtriisi Toisin snoen siinä on m riviä j n srkett Kirjoitetn n lkio, jok on i nnellä rivillä j j nnessä srkkeess ij Smoin mtriiseille ; ; jne kirjoitetn b ij ; c ij ; jne Mtriisien yhtäsuuruus jos kikille i; j pätee = ij = b ij Mtriisien yhtäsuuruus määritellään siis jokisen lkion yhtäsuuruuten Lkusäännöt Reliluvull kertominen Olkoon r RMääritellään joss r = ; c ij = r ij Toisin snoen n jokinen lkio kerrotn reliluvull r Yhteenlsku missä kikille i; j pätee + = ; c ij = ij + b ij Toisin snoen mtriisit lsketn yhteen lkioittin Huomtk, että n j n yhteenlsku on määritelty vin jos mtriisit ovt smnkokoisi Vähennyslsku (sdn myös yhdistämällä kht edellistä) missä kikille i; j pätee = ; c ij = ij b ij Mtriisien kertolsku Olkoon m n -mtriisi j n k -mtriisi Mtriisien j tulo määritellään seurvsti missä = ; c ij = n h= ih b hj Toisin snoen tulomtriisin lkio c ij muodostetn mtriisin i nnen rivin j mtriisin j nnen srkkeen pistetulon Huomtk, että ll on oltv yhtä mont srkett kuin llä riviä, jott kertolsku olisi määritelty

13 Miksi kertolsku on määritelty tällä tvll? Mietitään kht funktiot f X! Y j g Y! Z; ti Muodostetn yhdistetty funktio y = f (x) j z = g (y) h (x) = g (f (x)) Miten muodostetn funktio h jos g j f ovt molemmt linerisi funktioit j X = R n ; Y = R m j Z = R k, toisin snoen y = x j z = y; missä m n -mtriisi j n k -mtriisi Tällöin joten y = x + + n x n ; y n = n x + + nn x n ; z = b ( x + + n x n ) + + b n ( n x + + nn x n ) ; z k = b n ( x + + n x n ) + + b nn ( n x + + nn x n ) Kerätään termit x n suhteen z n h= b h h n h= b h hn = z k n h= b kh h n h= b kh hn x x n Toisin snoen z = x; eli kertolsku vst yhdistetyn funktion muodostmist Sääntöjä ( + ) + = + ( + ) ; () = () ; + = + ; ( + ) = + ; ( + ) = + Huomtk 6=

14 Trnspoosi Mtriisin trnspoosi > määritellään seurvsti T ij = ji Toisin snoen > muodostetn st vihtmll rivi i srkkeeksi i (j siis smll srke j riviksi j) Sääntöjä trnspoosille ( + ) > = > + > ; > > = ; () > = > > Khdelle vektorille x; y R n määritellään sisätulo x y seurvsti x y = n i=x i y i = x > y Vektorin x R n normi (eli pituus) merkitään kxk = p x x Khden vektorin x; y R n etäisyys d (x; y) = kx yk Normi j etäisyys ovt tärkeitä käsitteitä mtemttisess nlyysissä, joss tutkitn funktioiden käyttäytymistä pikllisesti (loklisti) jonkin pisteen x lähellä 6 Erityismtriisej Neliömtriisill on yhtä mont riviä j srkett Srkemtriisi on srkevektori eli sillä on m riviä, j yksi srke Yksikkösrkevektori e i ssä e j = jos j 6= j e j = jos j = i Rivimtriisi on rivivektori Sillä on yksi rivi j n srkett Lävistäjämtriisi on neliömtriisi siten, että ij = jos i 6= j n Yksikkömtriisi I on lävistäjämtriisi, joll ii = I = Yläkolmiomtriisi on neliömtriisi siten,että ij = jos i > j n nn 4

15 lkolmiomtriisi on neliömtriisi siten, että ij = jos i < j n nn Symmetrinen mtriisi on neliömtriisi, jolle pätee = > Permuttiomtriisi on nollist j ykkösistä muodostuv mtriisi, jonk jokisell rivillä j jokisess srkkeess on ykkönen Sdn identiteettimtriisist vihtmll rivien pikk (mhdollisesti mont kert peräkkäin Esimerkiksi n = tpuksess permuttiomtri- joss identiteettimtriisin kksi viimeistä riviä on vihdettue = isi, 6 lkeismtriisit Vkriviopertiot i) rivien vihto, ii) rivin kertominen vkioll iii) rivien yhteenlsku voidn esittää mtriisikertolskuin seurvsti Olkoon E ij permuttiomtriisi, joss rivien i j j pikk on vihdettu Mtriisin rivien i j j vihto sdn tulon E ij Olkoon E i (r) mtriisi, jok sdn kertomll yksikkömtriisin rivi i vkioll r E (r) = r Mtriisin rivin kertominen vkioll sdn tällöin mtriisitulon E i (r) Olkoon E ij (r) mtriisi, jok sdn yksikkömtriisist lisäämällä siihen mtriisi, joss lkio ji on r j muut lkiot ovt nolli E (r) = r

16 Mtriisin rivi i kerrottum r ll lisätään riviin j muodostmll tulo 6 Mtriisien kääntäminen E ij (r) linerisen yhtälön rktiseminen loitetn muodost x = b Tvoitteen on sd ikn luse, jok on muoto j jok on tott jos j vin jos x = c x = b Kerrotn yhtälön molemmt puolet (vsemmlt) käänteisluvull = j sdn eli x = b x = b = b ; mikäli 6= Tvoite on siis svutettu, j c = b Linerisess lgebrss pyritään smn menettelyyn yhtäl öryhmien knss Tätä vrten meidän täytyy keksiä yleistys käänteisluvulle Lähtökohtn on yhtälö x = b; missä x R n j x R n j on n n neliömtriisi Tämä yhtälö stetn muotoon x = c; ti Ix = c; missä I on n n identiteettimtriisi 6

17 Jos on olemss mtriisi, jolle pätee = I; voimme kerto lkuperäisen yhtälön molemmt puolet ll j sd x = b eli Ix = x = b Toisin snoen yhtälöryhmän rtkiseminen on ekvivlentti käänteismtriisin löytämiselle Mikäli käänteismtriisi on olemss, on yhtälöryhmällä myös rtkisu Trkstelln neliömtriisej, joill on n riviä j srkett Mtriisin käänteismtriisi merkitään llä j sillä trkoitetn mtriisi, jolle pätee = I Ensimmäiseltä luennolt muistmme, että yhtälöryhmällä x = b on yksikäsitteinen rtkisu kikille b jos j vin jos rnk() = n Rtkistn yhtälöryhmät x = e i kikille i = ; ; n; j merkitään rtkisuj x i ll Tällöin siis x i = e i kikille i Väite = (x ; ; x n ) Tämän perusteell tiedämme, että käänteismtriisin voi rtkist vkriviopertioill lisätylle mtriisill e ( ji ) Esimerkki = 7

18 Eliminoidn kolmnnen rivin ensimmäinen lkio ensimmäisellä rivillä ; j sitten kolmnnen rivin toinen lkio toisell rivillä ; 4 4 kerrotn kolms rivi 4 llä lisätään - kert kolms rivi toiseen j ensimmäiseen riviin Jetn toinen rivi ll 7 lisätään - kert toinen rivi ensimmäiseen 4 6 j jetn lopuksi ensimmäinen rivi ll Sdn siis Trkistus = = ; ; ; =

19 Sääntojä = ; > = > ; Jos ll j llä on käänteismtriisit, 64 Determinntti () = Trkstelln n n ulotteist neliömtriisi Jos n = ; määritellään mtriisin determinntti det = Muodostetn yleisestä n n mtriisist (n ) (n ) mtriisi ij poistmll lkuperäisestä mtriisist rivi i j srke j Olkoon Mtriisin (i; j) kofktori on ij Mtriisin determinntti on M ij = det ij ij ( ) i+j M ij det = n j= ( ) (i+j) ij ij Determinntti voidn myös lske srkett pitkin Esimerkkejä det = n i= ( ) (i+j) ij ij det = det = det + det n det = nn nn = 4+ = 9

20 Determinntti on noll jos j vin jos mtriisill ei ole täyttä rngi Rivien vihtminen viht determinntin, rivien yhteenlsku ei muut determinntti (eikä myöskään vkioll kerrotun rivin lisääminen toiseen riviin) Tämän näkemiseksi trkstelln mtriisin j n = j + r i jj + r ij jn + r in n nj nn determinntti Kehitetään riviä j j sdn missä det = r n k= jk jk + r n k= ik ik = det + r det ; = ij n i ij in i ij in n nj nn Toisin snoen mtriisiss esiintyy mtriisin rivi i sekä rivinä i että j Kosk mtriisi voidn in kehittää mielivltist vkriviä pitkin, voidn rivit i j j in jättää viimeisenä eliminoitviksi mtriisest on helppo nähdä, että determinntti on noll jos rivit ovt smt 4 Sääntöjä 6 rmerin sääntö det > = det det = det det ; det = det ; det + 6= det + det in generl Oletetn, että ll on täysi rngi (j siis det 6= ) Yhtälöryhmällä x = b

21 on yksikäsitteinen rtkisu x i = det i det ; missä i on mtriisi, jok on muodostettu korvmll mtriisin srke i (pysty)vektorill b Esimerkki x = x = x = det det det det 66 Mtriisin kääntäminen x x x = Muodostetn mtriisin kofktorimtriisi = ( ij ) = ; = ; = ; Kofktorimtriisin trnspoosi > kutsutn mtriisin djungoiduksi mtriisiksi, dj () dj () = > Tällöin Esimerkki lsketn dj(); kun = dj () det =

22 Joten = ; = ; = ; = ; = ; = ; = ; = ; = 4 dj () = ; 4 = det 4 ; mikä on sm vstus kuin edellä, kosk kuten iemmin lskettiin, det = 7 Extr mterili Dominntit lävistäjämtriisit Määritelmä Trkstelln mtriisi b b n = b n b nn on dominntti lävistäjämtriisi jos b ii > kikille i b ij kikille i; j Kikille j pätee b jj > i6=j b ij Eliminoidn ensimmäisen srkkeen lkiot käyttämällä ensimmäistä riviä vkriviopertioss Tällöin sdn muotoon b b b j b n b b b b b b b j b b j b n b b n b i b i b b b jj b j b b j b in b i b b n b b n b n b b b n b nj b b j b n nn b b n

23 Trkstelln (n ) (n ) osmtriisi b b = b b b bn b bn b bnn = b b b b b j b b b j b n b b b n b i b n b i b b b b j b jj b b j b i in b b n b n b b b b n b nj b b j b n nn b b n Väite Jos on dominntti lävistäjämtriisi niin myös b on dominntti lävistäjämtriisi Todistus b b jj = b jj b j b b j > b jj b j >, kosk b jj > i6=j b ij b b ij = b ij b i b b j < kun i 6= j b bj + b b j + + b b nj = b jj b j b b j i6=;j = b jj i6=;j b ij i6= b i > b jj i6= b ij > b b ij + b i b j b Näin siis tiedämme, että myös b on dominntti lävistäjämtriisi Eliminoidn seurvss skeleess ensimmäisen srkkeen lkiot b st j sdn ts uusi dominntti lävistäjämtriisi, jonk koko on nyt (n ) (n ) Jtketn vkriviopertioit, kunnes lkuperäinen mtriisi on stettu (j eliminoinnin jälkeen) muotoon b b b j b n b b b b b b b j b b j b n b b n + b bjj b bjn b bnj b bnn b j

24 Toistmll yllä esitetty rgumentti jokisen vkriviopertion yhteydessä, tiedämme, että osmtriisi b bjj b bn b (j ) = b bn b bnn on myös dominntti lävistäjämtriisi Tästä näemme, että kikille dominntti lävistäjämtriiseille pätee, että yhtälöllä x = y on yksikäsitteinen rtkisu kikille y (kosk rnk () = n) j lisäksi jos y ; on myös yhtälön rtkisev x ; kosk vkriviopertioiden jälkeen on stettu muotoon + = + Riviltä n luemme Kosk nn > ; x n > jos y n > Riviltä n luemme eli nn x n = y n, x n = y n nn n n x n + n n x n = y n x n = y n n n x n n n Kosk x n ; n n j n n > ; smme x n jos y n Jtkmll tkisin sijoittmist tulos sdn todistettu 8 Linerisi mllej tloustieteessä Input-output -tulukot jtelln tloutt, joss tuotetn n hyödykettä Kikki tuotteet ovt sekä lopputuotteit että (potentilisi) välituotteit Tuotntoprosessiss siis kikki tuotteit kulutetn j tuotetn smnikisest Oletetn tuotntoprosessi lineriseksi siten, että x i yksikön tuottmiseksi tuotett i trvitn ji x i yksikköä tuotett j Jos tloudess tuotetn nettotuotntovektori (y ; ; y n ) kokonistuotost, voidn kokonistuotntomäärät 4

25 (x ; ; x n ) lske seurvsti x x x n x n = y ; x x x n x n = y ; x n n x n x nn x n = y n Vektorimuodoss voidn kirjoitt n n n n nn x x x n = y y y n Mitä nettotuotntoj y = (y ; ; y n ) voidn tloudess tuott? Mtriisi snotn dominntti digonlimtriisiksi jos () Digonlilkiot ovt positiivisi (b) Digonlin ulkopuoliset lkiot eivät ole positiivisi (c) Jokisen srkkeen lkioiden summ on positiivinen Väite Jos input-output tulukon määrittävä mtriisi (I ) on dominntti digonlimtriisi niin kikki positiiviset lopputuotosvektorit ovt mhdollisi, toisin snoen kikille y on olemss x siten, että (I ) x = y Todistus hrjoitusluennoll j S& sivuill Tspino oligopolimlleiss Mikroteorin ineopinnoiss käydään läpi ournot-kilpilumlli oligopolistiselle toimillle Toimilll on n yritystä j kunkin yrityksen i optimlinen tuotnnon tso riippuu sen omist (vkioksi oletetuist) rjkustnnuksist c i, j muiden yritysten tuotnnost q j seurvsti q i = j6=iq j c i Kirjoitetn mtriisimuotoon q q q n c = c c n

26 Trkstelln vkriviopertioit lisätylle mtriisille c c Vähennetään ensimmäinen rivi kikist muist riveistä c c c Sdn siis tulos Ensimmäinen yhtälö kertoo eli mistä sdn c c n c n q j = q + c c j () q + j6=i q j = c q + (n ) q + (n ) c j6=i c j = c ; (n + ) q = + j6=i c j nc ; q = c + j6=i (c j c ) (n + ) Muut tuotnnot q j sdn helposti lskettu yhtälöä () käyttäen ti vstvsti käyttämällä vkriviä j mtriisin muuntmisess Optimliset kysynnät (ennkointi tulevlle) ineopinnoiss johdettiin kuluttjn optimliselle (sisäpiste)kysynnälle ehto rjsubstituutiosteen j hintsuhteen yhtäläisyydelle MU xi (x) MU xj (x) = p i p j ; (6) missä U (x) on kuluttjn hyötyfunktio j MU xi on hyötyfunktion osittisderivtt tuotteen i kulutuksen x i suhteen (määrittelmme pin tällä kurssill) Joissin yksinkertisiss tpuksiss pätee MU xi (x) MU xj (x) = k ik x k k jk x k (7) 6

27 Esimerkiksi obb-dougls j kvdrttinen hyötyfunktio toteuttvt tämän Trkstelln rjsubstituutiosteit tuotteen suhteen, muut voidn joht tästä kosk MU xk = MU x = MU x MU xl MU xl MU xk Kirjoitetn (6) muodoss Käytetään lisäksi budjettiehto k (p jk p j k ) x k k p k x k = w Mtriisimuodoss sdn p p p k p p p p p n p n p n p n p n p n p nn p n n x x x n = w Tämä voidn rtkist linerilgebr käyttäen Erityistpus obb-dougls hyötyfunktio U (x) = n n ln (x n ) Tällöin j eli MU xn (x) = n x n ; MU x MU xk = x k k x = p p k ; p k x k k p x = kikille k Toisin snoen p k x k = k p x Sijoittmll budjettiehtoon sdn eli j tällöin p x + n j j= p x = w; p x = n j= w j k p k x k = n j= w j 7

28 4 Portfolion vlint Trkstelln milm, johon liittyy epävrmuutt j oletetn, että mhdolliset tulevisuudennäkymät voidn jotell m eriliseksi milmntilksi (stte of the world) Kukin milmntil sisältää kuvuksen kikest tloudelliseen päätöksentekoon vikuttvst dtst Milmntil ei etukäteen tiedetä, mutt seurvll periodill relisoituu s S = fs ; ; s m g Konkreettisi esimerkkejä milmntiloist Plovkuutuksen hnkkiminen S = fs ; s g; missä s = "tlo pl", s = "tlo ei pl" Vrutuminen tulevn tloustilnteeseen S = fs ; s ; s g; missä s = "syvä lm", s = "pieni lm", s = "ei lm" Steenvrjo mukn? S = fs ; s g; missä s = "st", s = "ei sd" Rhoitusinstrumentit trjovt mhdollisuuden vrutu tuleviin milmntiloihin Oletetn, että mlliss on n rhoitusinstrumentti j r si on instrumentin i tuotto milmntilss stoisin snoen se on instrumentin mksm tuotto jettun instrumentin hinnll investointihetkellä (ennen milmntiln pljstumist) Kerätään kikki rhoitusinstrumenttien tuotot mtriisiksi R = r r n r m r mn Merkitään portfoliot vektorill x = (x ; ; x n ) Tällöin portfolion kokonistuotto sd lskettu r r n x Rx = r m r mn x n Täydellisillä rhoitusmrkkinoill instrumenttej voi ost j myydä, joten x i voi oll positiivinen ti negtiivinen Portfolio x on riskitön jos i r ki x i = i r li x i kikille k; l; eli portfolion tuotto on sm kikiss milmntiloiss rbitrsiportfolio jos sille pätee Portfolio x on i x i = 8

29 Kosk olemme normlisoineet instrumenttien hinnt, tämä trkoitt yksinkertisesti sitä, että portfolion hint ennen milmntiln selviämistä on rbitrsi trkoitt mhdollisuutt sd vrm tuotto ilmn rbitrsiportfoioll Mlliss siis on rbitrsimhdollisuus jos on olemss rbitrsiportfolio x, jolle pätee Rx Mllill on tilhinnt p = (p ; ; p m ) jos j p j r ji = kikille i Tällöin siis hint p j voidn jtell yhden vrllisuusyksikön hintn milmntilss j Tilhinnt on siis olemss jos on olemss p siten, että R > p = Tilhinnt ovt siis olemss jos m n j rnk (R) = n Tilhinnt eivät ole yksikäsitteisesti määrättyjä jos m > n 9

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Tampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012.

Tampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012. mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Mtemtiikn j mtriisilskennn kertust Yleistä Kirjoittelen tänne joitin kurssin keskeisiä

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

MATRIISILASKENTA. Oppitunti 1. Matriisin käsite. Tarkastellaan ratkaistavaksi annettua yhtälöä. 2 x = 2 6

MATRIISILASKENTA. Oppitunti 1. Matriisin käsite. Tarkastellaan ratkaistavaksi annettua yhtälöä. 2 x = 2 6 MRIISILSKEN Oppitunti 1... 1 Mtriisin käsite... 1 Yhtälöryhmä... Mtriisien perusopertiot... 4 Erikoisi mtriisej... 7 Käänteismtriisin käsite... 9 Ositetut mtriisit (lohkomtriisit)... 10 Kompleksiset mtriisit...

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

6. Matriisilaskennan kertausta

6. Matriisilaskennan kertausta 93 6 Mtriisilskennn kertust Tämän luvun sisältämät sit on pääosin käyty läpi jo kurssill Lj mtemtiikk, jost myös puuttuvi todistuksi on löydettävissä Kertmme ne kuitenkin merkintöjen yhtenäistämiseksi

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

73035 Insinöörimatematiikka 2

73035 Insinöörimatematiikka 2 7335 Insinöörimtemtiikk Syksy 4/ Y Avoin yliopisto Risto Silvennoinen Sisällys OSA Mtriisilgebr Determinntit 3 Redusoitu riviporrsmuoto 4 Alivruudet Linerinen riippuvuus Knnt 5 Lineriset yhtälöryhmät 6

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Riemannin integraali

Riemannin integraali LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

EDE Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy Matematiikan ja matriisilaskennan kertausta

EDE Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy Matematiikan ja matriisilaskennan kertausta mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Mtemtiik j mtriisilske kertust Yleistä Kirjoittele täe joiti kurssi keskeisiä sioit iille,

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

3 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA GAUSSIN ELIMINOINTIMENETELMÄ. Lineaarinen yhtälöryhmä jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta x 1,,x n :

3 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA GAUSSIN ELIMINOINTIMENETELMÄ. Lineaarinen yhtälöryhmä jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta x 1,,x n : 3 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA GAUSSIN ELIMINOINTIMENETELMÄ Linerinen yhtälöryhmä joss on m yhtälöä j n tuntemtont x,,x n : = + + = + + = + + m n mn m n n n n b x x b x x b x x K M K K Mtriisiyhtälönä:

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikk tietotekniikss: perusteet Lskuhrjoitus 7 (Predikttilogiikk 9.1 10.2) 19.3. 23.3. 2009 Rtkisuj demotehtäviin Tehtävä 9.1 Rtkisuss on käytetty usen otteeseen rjoitettuj universli-

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2007) Harjoitus 5, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2007) Harjoitus 5, ratkaisuja 58226 Lskennn mllit (syksy 27) Hrjoitus 5, rtkisuj. Muodostetn NF kielelle : ε ε Muunnetn DF:ksi: {,,} {,} {,} {,} Luennoll (s. 5) stiin kielelle seurv DF: Poistmll tästä svuttmttomt tilt sdn Tulos on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Automaatin tunnistama kieli on sen hyväksymien merkkijonojen joukko. Täsmällinen muotoilu: δ,q 0,{q 2,q 3,q 6 }), missä

Automaatin tunnistama kieli on sen hyväksymien merkkijonojen joukko. Täsmällinen muotoilu: δ,q 0,{q 2,q 3,q 6 }), missä T 79.1001/1002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.3 Äärellisen utomtin käsitteen formlisointi eknistinen mlli: syötenuh: nuhpää: ohjusyksikkö: i n p δ u q 1 q 2 Äärellinen utomtti koostuu äärellistilisest

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja. DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8 Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 }, T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen

Lisätiedot

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.

Lisätiedot

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C Tietojenkäsittelyteori Kevät 6 Kierros 8, 7.. mliskuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Määrittele Turingin koneen stndrdimllin muunnelm, joss koneen työnuh on molempiin suuntiin ääretön, j osoit

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot