Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Transkriptio

1 Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

2 Macierze Niech dane b d liczby n, m N Ka»d funkcj okre±lon na iloczynie kartezja«skim {1,, m} {1,, n} o warto±ciach w zbiorze liczb rzeczywistych lub zespolonych nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach Zwykle macierz zapisujemy za pomoc tabelki (szachownicy) o m wierszach i n kolumnach: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn lub [a ij ] i {1,m},j {1,n} Symbol a ij oznacza liczb umieszczon na skrzy»owaniu itego wiersza i jtej kolumny

3 Macierze Je»eli m = n, to macierz nazywamy macierz kwadratow i wówczas n nazywamy stopniem macierzy Rozwa»my macierz kwadratow stopnia n: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Wyrazy a 11, a 22,, a nn le» na jednej przek tnej macierzy B dziemy j nazywali gªówn przk tn macierzy W dalszym ci gu b dziemy macierze oznaczalui wielkimi literami A, B, C,

4 Macierze Niech A i B b d macierzami o m wierszach i n kolumnach: a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2n A = B = a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn Wówczas macierz a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n C = a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn nazywamy sum macierzy A i B oraz oznaczamy C = A + B

5 Macierze Niech α b dzie liczb rzeczywist lub zespolon oraz A niech b dzie macierz o m wierszach i n kolumnach: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Wówczas macierz αa = α A = A α = αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn nazywamy iloczynem macierzy A przez liczb (skalar) α

6 Macierze Wªasno±ci dodawania macierzy i mno»enia macierzy przez skalar α(a + B) = αa + αb, (α + β)a = αa + βa, (α β)a = α(βa), gdzie A i B s macierzami, a α, β liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi

7 Macierze Dla uªatwienia wprowad¹my oznaczenie: A n n na macierz o m wierszach i n kolumnach Niech A b d macierz o m wierszach i n kolumnach, za± B macierz o n wierszach i p kolumnach:: a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2p A = B = a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b np tzn A = A m n B = B n p

8 Macierze Wtedy iloczynem macierzy A = A m n i B = B n p nazywamy macierz C = C m p tak,»e C = A B = n a 1i b i1 i=1 n a 2i b i1 i=1 n a mi b i1 i=1 n n a 1i b i2 a 1i b ip i=1 i=1 n n a 2i b i2 a 2i b ip i=1 i=1 n n a mi b i2 a mi b ip i=1 i=1 tzn C = [c kl ], gdzie n c kl = a ki b il i=1 Uwaga: Mno»enie macierzy A B jest wykonalne tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierzy macierzy B

9 Macierze Wªasno±ci dziaªa«na macierzach (cd): (A B) C = A (B C), C (A + B) = C A + C B, (A + B) C = A C + B C, α(a B) = (αa) B = A (αb), gdzie A, B, C s macierzami, za± α jest skalarem Uwaga Mno»enie macierzy nie jest przemienne, tzn A B B A

10 Macierze Macierz jednostkow nazywamy macierz I postaci I = Uwaga: Je±li macierz A jest macierz kwadratow stopnia n, a I macierz jednostkow stopnia n, to: A I = I A = A

11 Wyznaczniki Niech A b dzie macierz kwadratow stopnia n Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczb deta zdeniowan w sposób indukcyjny: wyznacznikiem macierzy [a 11 ] nazywamy liczb a 11 tzn det[a 11 ] = a 11, je±li n > 1, to wyznacznikiem macierzy a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn nazywamy liczb deta = ( 1) 1+1 a 11 M 11 +( 1) 1+2 a 12 M ( 1) 1+n a 1n M 1n gdzie M 1i jest wyznacznikiem macierzy stopnia n 1 otrzymanej z macierzy A przez skre±lenie pierwszego wiersza i itej kolumny (i {1,, n})

12 Wyznaczniki Minorem M ij macierzy A b dziemy nazywali wyznacznik macierzy stopnia n 1 powstaªej z macierzy A poprzez skre±lenie itego wiersza oraz jtej kolumny Wyra»enie ( 1) i+1 a i1 M i1 + ( 1) i+2 a i2 M i2 + + ( 1) i+n a in M in nazywamy rozwini ciem wyznacznika wedªug itego wiersza, natomiast wyra»enie ( 1) 1+j a 1j M 1j + ( 1) 2+j a 2j M 2j + + ( 1) n+j a nj M nj nazywamy rozwini ciem wyznacznika wedªug jtej kolumny Twierdzenie Rozwini cie wyznacznika stopnia n wedªug itego wiersza (i {1,, n}) lub jtej kolumny (j {1,, n}) jest równe temu wyznacznikowi

13 Wyznaczniki Macierz diagonalna stopnia n 2 jest to macierz, która poza gªówn przek tn ma wyª cznie zera: D = Jej wyznacznik jest równy: a a a nn detd = a 11 a 22 a nn

14 Wyznaczniki Wªasno± 1 Wyznacznik danej macierzy kwadratowej jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej tej macierzy Wªasno± 2 Wyznacznik macierzy, w której jeden wiersz skªada si z samych zer, jest równy zero Wªasno± 3 Zamiana dwóch ró»nych wierszy w macierzy kwadratowej powoduje zmian znaku jej wyznacznika Wªasno± 4 Je»eli w macierzy kwadratowej dwa wiersze s identyczne, to jej wyznacznik jest równy zero

15 Wyznaczniki Wªasno± 5 Wspólny czynnik danego wiersza mo»emy wyci gn przed znak wyznacznika, tzn a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n det λa i1 λa i2 λa in = λ det a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn

16 Wyznaczniki Wªasno± 6 Je»eli dwa wiersze wyznacznika s proporcjonalne, to wyznacznik ten jest równy zero Wªasno± 7 Wyznacznik nie zmieni si, je»eli do jedngo wiersza dodamy inny (dodaj c do siebie odpowiednie wyrazy) wiersz pomno»ony przez dowoln staª

17 Wyznaczniki Twierdzenie Cauchy'ego Je»eli A i B s macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to det(a B) = deta detb

18 Wyznaczniki Ka»d macierz kwadratow o wyznaczniku ró»nym od zera nazywamy macierz nieosobliw Twierdzenie Dla ka»dej macierzy kwadratowej A istnieje co najwy»ej jedna macierz B taka,»e B A = A B = I Je±li dla danej macierzy kwadratowej A istnieje macierz B speªniaj ca powy»sz równo±, to t (jedyn ) macierz B nazywamy macierz odwrotn i oznaczamy symbolem A 1 Twierdzenie Dana macierz kwadratowa ma macierz odwrotn wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa

19 Ukªady równa«rozpatrzmy ukªad n równa«liniowych o n niewiadomych: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n (1) Macierz A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn nazywamy macierz ukªadu (1) Ukªad (1) nazywamy ukªadem Cramera, je±li macierz A ukªadu (1) jest nieosobliwa, tzn deta 0 Liczb deta nazywamy wyznacznikiem ukªadu (1), a macierz [b 1,, b n ] T nazywamy kolumn wyrazów wolnych tego ukªadu

20 Ukªady równa«niech x = [x 1,, x n ] T i b = [b 1,, b n ] T Wówczas ukªad (1) mo»emy zapisa w postaci a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 = b 2 a n1 a n2 a nn x n b n lub A x = b

21 Ukªady równa«ka»dy ukªad liczb x 1, x 2,, x n speªniaj cy ukªad (1) nazywamy rozwi zaniem ukªadu (1) Twierdzenie Cramera Ka»dy ukª d Cramera postaci (1) ma dokªadnie jedno rozwi zanie Jest ono dane wzorem x k = deta k deta, k {1,, n}, gdzie A k jest macierz powstaª z macierzy A ukªadu (1) przez zast pienie ktej kolumny przez kolumn wyrazów wolnych Powy»sze wzory nosz nazw wzorów Cramera

22 Ukªady równa«je»eli kolumna wyrazów wolnych w ukª dzie (1) jest zerowa, tzn b 1 = b 2 = = b n = 0, to ukª d taki nazywamy ukªadem jednorodnym a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0, a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = 0 Z twierdzenia Cramera wynika,»e je±li wyznacznik ukªadu (2) jest ró»ny od zera, to uk ªd ten ma dokªadnie jedno rozwi zanie, dokª dniej: rozwi zanie zerowe, tzn x 1 = x 2 = = x n = 0 Wniosek 1 Jednorodny ukªad Cramera (2) ma tylko rozwi zanie zerowe 2 Je»eli ukªad równa«(2) ma rozwi zanie niezerowe, to wyznacznik tego ukª du jest równy zero (2)

23 Ukªady równa«je±li z macierzy prostok tnej (niekoniecznie kwadratowej) skre±limy pewn ilo± wierszy lub kolumn, tak aby elementy nieskre±lone utworzyªy macierz kwadaratow, to jej wyznacznik b dziemy nazywali minorem macierzy Rz dem macierzy nazywamy najwy»szy za stopni tych jej minorów, które s ró»ne od zera Rz d macierzy A b dziemy oznacza symbolem r(a) Twierdzenie Rz d macierzy nie zmieni si, gdy: zamienimy wiersze na kolumny, przestawimy wiersze, wiersze pomno»ymy przez liczb ró»n od zera, do jednego wiersza dodamy inny pomno»ony przez dowoln liczb rzeczywist

24 Ukªady równa«rozwa»my nast puj cy ukª d m równa«o n niewiadomych: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, (3) w którym m, n > 1 oraz a ij, b i (i {1,, m}, j {1,, n}) nale» do zbioru liczb rzeczywistych lub zespolonych

25 Ukªady równa«niech A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n x = x 1 x 2 b = b 1 b 2 a m1 a m2 a mn x n b m Przy tych oznaczeniach ukªad (3) przyjmuje posta Ax = b Macierz A nazywamy macierz ukªadu (3), natomiast macierz a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 A = a m1 a m2 a mn b m nazywamy macierz uzupeªnion ukªadu (3)

26 Ukªady równa«twierdzenie KroneckeraCapelliego Warunkiem koniecznym i wystarczaj cym na to by ukª d (3) miaª rozwi zanie, jest aby r(a) = r(b) Ukªad, który nie ma rozwi za«nazywamy ukªadem sprzecznym Dwa ukªady równa«s równowa»ne, je»eli maj te same zbiory rozwi za«

27 Ukªady równa«twierdzenie Zaªó»my,»e ukªad (3) ma rozwi zanie i r(a) = r Niech M 0 b dzie minorem stopnia r macierzy A Usu«my z ukªadu (3) te równania, których wspóªczynniki nie s elementami minora M Otrzymany ukª d jest równowa»ny ukªadowi (3)

28 Ukªady równa«twierdzenie Niech macierz A ukªadu równa«a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a r1 x 1 + a r2 x a rn x n = b r, ma rz d równy r Wówczas wszystkie rozwi zania tego ukªadu otrzymujemy, traktuj c (n r) niewiadomych jako parametry, pozostaªe za± niewiadome obliczaj c wzorami Cramera Twierdzenie Warunkiem koniecznym i wystarczaj cym na to, aby ukªad jednorodny (2) miaª rozwi zanie niezerowe, jest aby wyznacznik tego ukªadu byª równy zero