Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Transkriptio

1 Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

2 Granica ci gu Niech Y, A N. Dowoln funkcj f : A Y nazywamy ci giem elementów zbioru Y. Najcz ±ciej mamy: A = N, tzn. f : N Y. Je»eli Y = R, to powiemy,»e ci g jest ci giem rzeczywistym. Oznaczenie: Zamiast pisa f (n) piszemy a n. Ci g (a n ) jest ograniczony, je»eli a n M M R n N

3 Granica ci gu Denicja zbie»no±ci ci gów Ci g rzeczywisty (a n ) jest zbie»ny do g R je»eli ε>0 n 0 N n n 0 a n g < ε Inaczej, mówimy te»,»e ci g (a n ) ma granic w g i piszemy: lim a n = g n

4 Granica ci gu Twierdzenie Ka»dy ci g zbie»ny ma dokªadnie jedn granic. Uwaga lim a n = 0 lim a n = 0 n n Je»eli a n = a (tzn. ci g a n jest ci giem staªym), to lim n a n = a Twierdzenie Je»eli ci g rzeczywisty jest zbie»ny, to ka»dy jego podci g te» jest zbie»ny do tej samej granicy.

5 Granica ci gu Twierdzenie Ka»dy ci g zbie»ny jest ograniczony. Twierdzenie Ka»dy ci g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa Z ka»dego rzeczywistego ci gu ograniczonego mo»na wybra podci g zbie»ny.

6 Granica ci gu Wªasno±ci ci gów zbie»nych Je±li ci gi (a n ) i (b n ) s zbie»ne, to lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n, n n n lim n (a n b n ) = lim n a n lim n b n, lim (a n b n ) = lim a n lim b n, n n n a Je»eli dodatkowo lim b n 0, to lim n n n b n = lim n an, lim n bn

7 Granica ci gu Twierdzenie o trzech ci gach Niech (a n ), (b n ) i (c n ) b d ci gami liczb rzeczywistych. Je»eli a n b n c n, n N oraz to lim a n = lim n n c n = g lim b n = g n Przykªady: lim n a = 1, a > 0, n lim n n n = 1, lim n a n + b n = max(a, b), a, b 0. n

8 Granica ci gu Wniosek Je»eli lim n a n = 0 oraz (b n ) jest ci giem ograniczonym, to lim n (a n b n ) = 0. Twierdzenie o zachowaniu nierówno±ci w granicy Je±li A a n B, dla n N oraz lim n a n = a, to A a B

9 Granica ci gu Wniosek Je±li lim n a n = a, lim n b n = b oraz a n b n n N to a b

10 Granica ci gu Mówimy,»e ci g (a n ) jest rozbie»ny do + je»eli M>0 n 0 N co zapisujemy: lim n = +. n n 0 a n M Mówimy,»e ci g (a n ) jest rozbie»ny do je»eli M<0 n 0 N co zapisujemy: lim n =. n n 0 a n M Uwaga: W powy»szych sytuacjach mówimy,»e ci g ma granic niewªa±ciw.

11 Granica ci gu Twierdzenie Ka»dy podci g ci gu rozbie»nego do + (rozbie»nego do ) jest rozbie»ny do + (rozbie»ny do ).

12 Granica ci gu Twierdzenie Je±li ci g (a n ) jest ograniczony, a ci g (b n ) jest rozbie»ny do +, to lim (a n + b n ) = +, n lim (a n b n ) =, n a n lim = 0 n b n Je±li ci g (a n ) ma granic niewªa±ciw + lub, to lim n 1 a n = 0 Je±li lim a n = 0 oraz a n > 0 dla n N, to lim n Je±li lim a n = a > 0 i lim b n = +, to n n lim (a n b n ) = + n n 1 a n = +.

13 Granica ci gu Inaczej: + a = a + =, a = + a =, je»eli a > 0, to: a =, a =, a =, a =, je»eli a < 0, to: a =, a =, = a, =, a = 0, + =, =. a Symbole nieoznaczone:,, 0 0, 0, 1, 0 0, 0.

14 Szeregi liczbowe Niech dany b dzie ci g rzeczywisty (a n ). Deniujemy nowy ci g (S n ) wzorami: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3 dla n N.. n S n = a 1 + a a n = k=1 a k

15 Szeregi liczbowe Ci g (S n ) nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazach a 1, a 2,... i zapisujemy: a n n=1 Liczb S n nazywamy nt sum cz ±ciow szeregu a n. Je±li istnieje S = lim n S n R, n=1 to liczb S nazywamy sum szeregu i mówimy,»e szereg a n n=1 jest zbie»ny. W przeciwnym przypadku mówimy,»e szereg jest rozbie»ny. Ci g (a n ) nazywamy ci giem wyrazów szeregu (S n ).

16 Szeregi liczbowe Twierdzenie Zaªó»my,»e szeregi a n i b n s zbie»ne. Wówczas zbie»ne s n=1 n=1 równie» nast puj ce szeregi: (a n + b n ), n=1 (a n b n ), n=1 λa n n=1 dal λ R. Ponadto zachodz wzory (a n + b n ) = a n + b n, n=1 n=1 n=1 (a n b n ) = a n b n n=1 n=1 n=1 λa n = λ a n n=1 n=1

17 Szeregi liczbowe Warunek konieczny zbie»no±ci szeregu Je»eli szereg jest zbie»ny, to ci g jego wyrazów jest zbie»ny do zera.

18 Szeregi liczbowe Kryterium Cauchy'ego Je»eli wyrazy ci gu (a n ) speªniaj nast puj ce zaªo»enia a n 0, n N oraz istnieje g 0 takie,»e to lim n n an = g szereg a n jest zbie»ny, gdy g < 1, n=1 szereg a n jest rozbie»ny, gdy g > 1, n=1

19 Szeregi liczbowe Kryterium d'alemberta Je»eli wyrazy ci gu (a n ) speªniaj nast puj ce zaªo»enia a n > 0, n N oraz istnieje g 0 takie,»e to a n+1 lim n a n = g szereg a n jest zbie»ny, gdy g < 1, n=1 szereg a n jest rozbie»ny, gdy g > 1, n=1

20 Szeregi liczbowe Kryterium Leibniza Je»eli ci g (a n ) jest malej cy oraz lim n a n = 0, to szereg jest zbie»ny. ( 1) n+1 a n n=1

21 Szeregi liczbowe Kryterium porównawcze Je»eli wyrazy szeregów a n i b n speªniaj nierówno±ci n=1 n=1 to 0 a n b n, n N je±li szereg b n jest zbie»ny, to szereg a n jest zbie»ny n=1 n=1 je±li szereg a n jest rozbie»ny, to szereg b n jest rozbie»ny. n=1 n=1

22 Granica funkcji Dowolny przedziaª otwarty (a, b) zawieraj cy x nazywamy otoczeniem punktu x. Niech x (a, b). Wówczas zbiór (a, x) (x, b) nazywamy s siedztwem punktu x. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru A R je»eli w ka»dym s siedztwie punktu x 0 znajduj si elementy zbioru A, tzn. istnieje ci g (a n ) taki,»e a n A \ {x 0 }, n N lim n a n = x 0 Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy symbolem A d.

23 Granica funkcji Denicja Heinego Niech D R, f : D R, x 0 D d. Wtedy funkcja f ma granic w punkcie x 0 równ g R, co zapisujemy w postaci g = lim x x0 f (x) je»eli dla ka»dego ci gu (x n ) elementów zbioru D \ {x 0 } mamy lim n x n = x 0 = lim n f (x n ) = g

24 Granica funkcji Denicja Cauchy'ego Niech D R b dzie zbiorem niepustym, a f : D R b dzie funkcj i x 0 D d. Wtedy funkcja f ma w punkcie x 0 granic równ g R je»eli (0 < x x 0 < δ = f (x) g < ε) ε>0 δ>0 x D

25 Granica funkcji Granice jednostronne: Niech a, b R, a < b, f : (a, b) R Mówimy,»e f ma granic lewostronn w punkcie x 0 (a, b] równ g, je»eli dla ka»dego ci gu (x n ) takiego,»e x n (a, b), x n < x 0 dla n N mamy lim x n = x 0 = lim n n f (x n ) = g Mówimy,»e f ma granic prawostronn w punkcie x 0 [a, b) równ g, je»eli dla ka»dego ci gu (x n ) takiego,»e x n (a, b), x n > x 0 dla n N mamy lim n x n = x 0 = lim n f (x n ) = g

26 Granica funkcji Symbolem lim x x 0 f (x) b dziemy oznaczali granic lewostronn. Symbolem lim x x + 0 f (x) b dziemy oznaczali granic prawostronn. Twierdzenie Niech a, b R, a < b. Odwzorowanie f : (a, b) R ma w punkcie x 0 (a, b) granic wtedy i tylko wtedy, gdy istniej granice lewostronna i prawostronna funkcji f w punkcie x 0 i s sobie równe.

27 Wªasno±ci granicy funkcji Twierdzenie Niech D R, f, g : D R, x 0 D d, λ R. Je±li funkcje f i g maj granice lim f (x) = a, x x 0 lim g(x) = b x x0 to funkcje f + g, f g oraz λf równie» maj granice w punkcie x 0 oraz lim x x0 (f (x) + g(x)) = a + b, lim (f (x) g(x)) = a b, x x0 lim (λf (x)) = λa, x x0 je±li dodatkowo b 0, to lim x x0 f (x) g(x) = a b.

28 Wªasno±ci granicy funkcji Twierdzenie o trzech funkcjach Niech D R, x 0 D. Je±li funkcje f, g, h : D R speªniaj nierówno± f (x) g(x) h(x) dla wszystkich x nale» cych do pewnego s siedztwa punktu x 0 oraz lim f (x) = lim h(x) = a x x 0 x x0 to istnieje granica funcji g w punkcie x 0 oraz lim g(x) = a x x 0

29 Wªasno±ci granicy funkcji Twierdzenie Niech D R, f, g : D R, x 0 D d, λ R. Je±li funkcje f i g maj granice oraz lim f (x) = a, x x 0 f (x) g(x) lim x x0 g(x) = b dla wszystkich x z pewnego s siedztwa punktu x 0, to a b

30 Wªasno±ci granicy funkcji Twierdzenie Ka»da rzeczywista funkcja monotoniczna w przedziale P R ma w ka»dym punkcie x 0 intp obydwie granice jednostronna Uwaga: Granice te nie musz by sobie równe.

31 Granica funkcji Niech a R. Mówimy,»e funkcja f : (a, + ) R ma granic równ g w +, co zapisujemy: lim f (x) = g x je»eli dla dowolnego ci gu (x n ) elementów zbioru (a, + ) takiego,»e lim x n = + mamy lim f (x n ) = g. n n Mówimy,»e funkcja f : (, a) R ma granic równ g w, co zapisujemy: lim f (x) = g x je»eli dla dowolnego ci gu (x n ) elementów zbioru (, a) takiego,»e lim x n = mamy lim f (x n ) = g. n n

32 Granica funkcji Uwaga: Mo»liwa jest sytuacja, kiedy w denicji granicy funkcji w punkcie g = + lub g =. Wtedy, je±li lub lim f (x) = + x x 0 lim f (x) = x x 0 to mówimy,»e f ma w punkcie x 0 granic niewªa±ciw.

33 Funkcje ci gªe Funkcja ci gªa w punkcie Niech D R b dzie zbiorem niepustym. Funkcja f : D R jest ci gªa w punkcie x 0 D je±li speªniony jest jeden z poni»szych warunków: x 0 jest punktem izolowanym zbioru D, tzn. (D \ {x 0 }) (x 0 ε, x 0 + ε) = ε>0 (x 0 nie jest punktem skupienia zbioru D), je±li x 0 jest punktem skupienia zbioru D, to istnieje granica funkcji f w punkcie x 0 oraz lim f (x) = f (x 0 ) x x 0

34 Funkcje ci gªe Twierdzenie Niech D R b dzie zbiorem niepustym, a f : D R b dzie funkcj. Wtedy funkcja f jest ci gªa w punkcie x 0 je»eli ε>0 δ>0 x D ( x x 0 < δ = f (x) g < ε) Funkcja ci gªa Mówimy,»e funkcja jest ci gªa, je»eli jest ci gªa w ka»dym punkcie dziedziny.

35 Funkcje ci gªe Twierdzenie Niech D R. Je±li funkcje f, g : D R s ci gªe w punkcie x 0 D, to ci gªe w punkcie x 0 s równie» funkcje f + g, f g, f g, λf (dla λ R). Je±li dodatkowo g(x 0 ) 0, to funkcja f g równie» jest ci gªa w punkcie x 0 Twierdzenie Niech D R oraz niech funkcja f : D R b dzie ci gªa w punkcie x 0 D. Je»eli ci g (x n ) elementów zbioru D jest taki,»e lim n x n = x 0, to lim f (x n) = f (x 0 ) n

36 Funkcje ci gªe Twierdzenie Niech D R oraz x 0 D. Je±li funkcja f : D R jest ci gªa w punkcie x 0, a funkcja g : f (D) R jest ci gªa w punkcie f (x 0 ), to odwzorowanie g f : D R jest ci gªe w punkcie x 0.

37 Ekstrema Niech dany b dzie niepusty zbiór D R oraz funkcja f : D R. Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie x 0 D maksimum je»eli x D f (x) f (x 0 ) Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie x 0 D minimum je»eli f (x) f (x 0 ) x D

38 Ekstrema Niech dany b dzie niepusty zbiór D R oraz funkcja f : D R. Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie x 0 D maksimum lokalne je»eli istnieje otoczenie U punktu x 0 takie,»e x D U f (x) f (x 0 ) Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie x 0 D minimum lokalne je»eli istnieje otoczenie U punktu x 0 takie,»e x D U f (x) f (x 0 )

39 Ekstrema Twierdzenie Je»eli funkcja f : [a, b] R jest ci gªa, to przyjmuje oba ekstrema (maksimum oraz minimum).

40 Funkcje ci gªe Twierdzenie Je»eli funkcja f : [a, b] R jest ci gªa oraz f (a) f (b) < 0, to istnieje taki punkt x 0 (a, b),»e f (x 0 ) = 0.

41 Wªasno± Darboux Mówimy,»e y le»y mi dzy a i b je»eli a < y < b lub b < y < a. Niech R b dzie niepustym zbiorem, a P D b dzie przedziaªem. Mówimy,»e funkcja f : D R ma wªasno± Darboux w przedziale P, gdy dla dowolnych x 1, x 2 P, x 1 < x 2 oraz dla dowolnego y 0 R je»eli y 0 le»y mi dzy f (x 1 ) i f (x 2 ), to istnieje x 0 (x 1, x 2 ) taki,»e y 0 = f (x 0 ) Twierdzenie Ka»da rzeczywista funkcja ci gªa w przedziale ma w tym przedziale wªasno± Darboux.