Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Transkriptio

1 Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

2 Elementy logiki i teorii mnogo±ci Zdanie (w sensie logicznym) takie zdanie w sensie gramatycznym, które jest prawdziwe lub faªszywe. je»eli zdanie jest prawdziwe, to przypisujemy mu warto± logiczn 1, je»eli jest faªszywe, to przypisujemy warto± logiczn 0. Oznaczenia zda«: p, q, r,....

3 Elementy logiki i teorii mnogo±ci Spójniki logiczne: negacja zdania p: p, p koniunkcja zda«p i q: p q p p p q p q

4 Elementy logiki i teorii mnogo±ci alternatywa zda«p i q: p q p q p q implikacja zda«p i q: p q, p q p q p q

5 Elementy logiki i teorii mnogo±ci równowa»no± zda«p i q: p q, p q p q p q

6 Elementy logiki i teorii mnogo±ci Przykªad: Drzewo ma li±cie. (nie jest to zdanie w sensie logicznym) Funkcja zdaniowa wypowied¹ jest funkcj zdaniow o dziedzinie X, je±lipo podstawieniu dowolnego elementu zbioru X za zmienn otrzymamy zdanie. Niech α(x) b dzie funkcj zdaniow. Wtedy zbiór wszystkich (i tylko tych) elementów x 0 X takich,»e α(x 0 ) jest zdaniem prawdziwym oznacza b dziemy symbolem {x X : α(x)}

7 Elementy logiki i teorii mnogo±ci Prawa rachunku zda«(zdania zawsze prawdziwe, tautologie): prawa de Morgana (p q) p q (p q) p q ª czno± alternatywy i koniunkcji p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r rozdielno±ci: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)

8 Elementy logiki i teorii mnogo±ci prawo kontrapozycji (p q) ( q p) negacja implikacji (p q) (p q) prawo wyª czonego ±rodka p ( p)

9 Elementy logiki i teorii mnogo±ci Elementy rachunku kwantykatorów Niech p(x) b dzie funkcj zdaniow zmiennej x o dziedzinie X. Zdanie: Istnieje x w zbiorze X taki,»e p(x) zapisujemy w postaci x X p(x) p(x) x X Zdanie: Dla ka»dego x ze zbioru X takiego,»e p(x) zapisujemy w postaci x X p(x) p(x) x X

10 Elementy logiki i teorii mnogo±ci Zwroty istnieje i dla ka»dego oraz odpowiadaj ce im symbole, nazywamy kwantykatorami: egzystencjalnym (maªym), ogólnym (du»ym).

11 Elementy logiki i teorii mnogo±ci Prawa logiczne dla kwantykatorów: x X p(x) q(x) (p(x) q(x)) x X x X (p(x) q(x)) p(x) q(x) x X x X x X prawa de Morgana: p(x) p(x) x X x X p(x) p(x) x X x X

12 Rachunek zbiorów = teoria mnogo±ci Zbiór i element zbioru longrightarrow poj cia pierwotne x X x jest elementem zbioru X x / X x nie jest elementem zbioru X A B x A x B zbiór A zawiera si w zbiorze B

13 Rachunek zbiorów = teoria mnogo±ci X przestrze«, A, B X. dopeªnienie zbioru A ró»nica zbiorów A i B suma zbiorów A i B A = {x X : x / A} A \ B = {x A: x / B} A B = {x X : x A x B} iloczyn (przekrój) zbiorów A i B A B = {x X : x A x B}

14 Rachunek zbiorów = teoria mnogo±ci Mówimy,»e zbiory A i B s rozª czna, je»eli A B = Mówimy,»e A = B, je»eli x A x B A B B A Zbiór maj cy skpo«czon ilo± elementów nazywamy zbiorem sko«czonym; zbiór maj cy niesko«czon ilo± elementów nazywamy zbiorem niesko«czonym.

15 Rachunek zbiorów = teoria mnogo±ci Niektóre wªasno±ci dziaªa«na zbiorach: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) = A B (A B) = A B

16 Rachunek zbiorów = teoria mnogo±ci Zbiór, którego elementy s zbiorami nazywamy rodzin zbiorów. Niech T b dzie dowolnym zbiorem wska¹ników oraz niech {A t : t T } b dzie rodzin zbiorów. Wtedy: x t T x t T A t t T x A t A t x A t t T

17 Funkcje Niech X oraz Y b d niepustymi zbiorami (X, Y ). f : X Y funkcja, je»eli ka»demu elementowi x zbioru X przyporz dkowany jest dokªadnie jeden element y zbioru Y. X dziedzina funkcji f Y przeciwdziedzina funkcji f je±li x X, to piszemy: y = f (x) warto± funkcji f dla argumentu x

18 Funkcje Niech f : X 1 Y 1 i g : X 2 Y 2 b d funkcjami. Wtedy f = g je»eli X 1 = X 2, f (x) = g(x) x X 1

19 Funkcje Niech f : X Y, A X, B Y. Zbiór f (A) = {y Y : y = f (x)} x A nazywamy obrazem zbioru A poprzez funkcj f. Zbiór f 1 (B) = {x X : f (x) B} nazywamy przeciwobrazem zbioru B poprzez funkcj f.

20 Funkcje Niech f : X Y. Wtedy: f nazywamy surjekcj (odwzorowaniem na), je±li f (X ) = Y, f nazywamy funkcj ró»nowarto±ciow, je»eli x 1,x 2 X (x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 )) albo x 1,x 2 X (f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 ), f jest odwracalna, je»eli jest surjekcj i jest ró»nowarto±ciowa.

21 Funkcje Zªo»enie funkcji Niech f : X Y, g : Y Z. Wtedy odwzorowanie g f : X Z dane wzorem (g f )(x) = g(f (x)), x X nazywamy zªo»eniem (superpozycj ) funkcji f i g. Uwaga: Skªadanie funkcji nie jest przemienne, tzn. f g g f!

22 Funkcje Równoliczno± zbiorów (kilka uwag) Zbiory A i B nazywamy równolicznymi, je»eli istnieje odwracalna funkcja f (tzn. jest surjekcj i jest ró»nowarto±ciowa) taka,»e f : A B Uwagi: zbiory sko«czone s równoliczne, kiedy maj tak sam liczb elementów, zbiór N jest równoliczny ze zbiorami Z i Q, ka»dy niezdegenerowany przedziaª liczb rzeczywistych jest równoliczny ze zbiorem R, zbiory N i R nie s równoliczne.

23 Funkcje Zbiór nazywamy przeliczalnym, je»eli jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru liczb naturalnych, tzn.: albo jest sko«czony albo jest równoliczny ze zbiorem N. Zbiory, które nie s przeliczalne, nazywamy zbiorami nieprzeliczalnymi. Przykªady: R, (a, b), [a, b] dla a < b.

24 Funkcje Iloczyn kartezja«ski X, Y X Y = {(x, y): x X y Y } Je±li X = Y, to b dziemy pisali X 2 = X X. Niech X 1, X 2,..., X n, to X 1 X 2... X n = {(x 1, x 2,..., x n ): i {1,...,n} x i X i } Je±li X = X 1 =... = X n, to piszemy: X n = X 1... X n. Je±li X = R, to R n = R... R. }{{} n razy

25 Funkcje Wykres odwzorowania f : X Y gr(f ) = {(x, y) X Y : y = f (x)} Twierdzenie: Je±li f : X Y jest odwzorowaniem odwracalnym, to odwzorowanie g : Y na X jest odwzorowaniem odwrotnym do f wtedy i tylko wtedy, gdy: (g f )(x) = x (f g)(y) = y x X y Y