Funktion derivoituvuus pisteessä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Funktion derivoituvuus pisteessä"

Transkriptio

1 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a)) lähistöllä muistuttaa sitä enemmän suoraa, mitä suuremmalla suurennoksella kuvaajaa katsotaan. Kyseinen suora on sitten kuvaajan pisteeseen (a, f(a)) piirretty tangentti. Perustelu: f(x) = f(a)+f (a)(x a)+η(x a)(x a) f(a)+f (a)(x a), koska η(x a) 0, kun x a. / 9

2 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Tutkitaan funktion f(x) = sin(e x ) kuvaajaa pisteen (5, f(5)) lähistöllä erilaisilla suurennussuhteilla: Kuvaajat väleillä [4, 6] ja [4,9; 5,] / 9

3 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Kuvaajat väleillä [4,99; 5,0] ja [4,999; 5,00]. 3 / 9

4 Esimerkki B Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Funktiolla f(x) = x sin(/x), f(0) = 0 sen sijaan käy origon lähellä huonosti Kuvaajat väleillä [, ] ja [ 0,; 0,] / 9

5 Esimerkki B Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Muodollisesti tämä ongelma nähdään tutkimalla erotusosamäärää f(0 + h) f(0) h = h sin h h = sin h, millä ei monisteen Esimerkin 3. perusteella ole minkäänlaista raja-arvoa, kun h 0. 5 / 9

6 Esimerkki C Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Derivoituvuus sallii vielä suhteellisen patologisenkin käyttäytymisen. Demoissa todistetaan, että funktio f(x) = x 3 + x 3/ sin x on derivoituva origossa, mutta kuvaajaa pitää suurentaa melkoisesti: / 9

7 Esimerkki C Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) / 9

8 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Väite: Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja a reaaliluku. Tällöin potenssifunktio f(x) = x n on derivoituva x = a ja f (a) = na n. Perustelu: Binomikaavan nojalla f(a + h) f(a) h kun h 0. ([ a n + na n + ( n) a n h + + h n] a n) = ( ) h n = na n + a n h + + h n na n, 8 / 9

9 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Funktioiden raja-arvoja koskeva tuloksemme antavat melko suoraviivaisesti derivaatan laskusäännöt (todistukset monisteessa):. D(f + g) = Df + Dg kaikille derivoituville funktioille f ja g,. D(af) = a(df) kaikille derivoituville funktioille f ja vakioille a R, 3. D(f g) = (Df)g + f(dg) kaikille derivoituville funktioille f ja g, sekä 4. D(f/g) = ((Df)g f(dg))/g kaikille derivoituville funktioille f ja g. 9 / 9

10 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Tehtävä: Derivoi funktio f(x) = x 5 + 5x 4 + 0x 3 + 0x + 5x +. Ratkaisu: derivoimiskaavan ja sääntöjen ja nojalla Df(x) = D(x 5 ) + 5D(x 4 ) + 0D(x 3 ) + 0D(x ) + 5D(x) + D() = 5x 4 + 0x x + 0x / 9

11 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Tehtävä: Derivoi funktio f(x) = x3 + x x. + Ratkaisu: Osamäärän derivointikaavan 4 nojalla Df(x) = [D(x3 + x )](x + ) (x 3 + x )[D(x + )] (x + ) = (3x + )(x + ) (x 3 + x )(x) (x + ) = (3x4 + 5x + ) (x 4 + 4x 4x) (x + ) = x4 + x + 4x + (x + ). / 9

12 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Tehtävä: Määrää funktion f(x) = (x + x )/5 pisteeseen (, 4/5) piirretyn tangentin yhtälö. Ratkaisu: Nyt f (x) = (x + )/5, joten k = f () = 5/5 =. Kysytty tangentin yhtälö on siten (y 4 5 ) = (x ) y = x / 9

13 Esimerkki 4.0 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Pisteessä P = (0, ) on valonlähde. Säteet heijastuvat paraabelista y = x /4. Heijastuslain mukaan kaarevasta pinnasta valonsäde heijastuu pisteestä A siten, tuleva säde P A ja heijastunut säde AR muodostavat saman kulman pisteeseen A piirretyn tangentin AQ kanssa. B 4 3 P Q R A 3 4 Osoita, että heijastuneet säteet ovat kaikki y-akselin suuntaisia. 3 / 9

14 Ratkaisu (/) Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Olkoon A paraabelin piste (x 0, y 0 ), y 0 = x 0 /4. Olkoon β lähtevän säteen P A ja x-akselin välinen kulma, eli kuvassa kulma P BQ. Tällöin pisteiden A ja P koordinaattien erotuksen suhteena saadaan tan β = x 0 /4 x 0 0 = x 0 4 x 0. Merkitään säteen ja tangentin välistä kulmaa α = P AQ. Tällöin BQA = π (α + β), joten tangentin ja positiivisen x-akselin välinen kulma on π BQA = α + β. Tämän kulman tangentti saadaan derivoimalla tan(β + α) = f (x 0 ) = x 0. 4 / 9

15 Ratkaisu (/) Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Kahden kulman erotuksen tangentin kaavasta saadaan tan α = = = tan(α + β) tan β + tan(α + β) tan α x 0 x x 0 + x 0 ( x 0 4 x 0 ) x x 0 + x 0 8 = = x 0 = cot(α + β). x x 0 x 0 ( x x 0 ) Näin ollen α on kulman α + β komplementtikulma, joten heijastuslain mukaisesti säde AR muodostaa x-akselin kanssa kulman (α) + (α + β) = π/. MOT. 5 / 9

16 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Jos x on jokin suure, käytämme sen (tyypillisesti pienestä) muutoksesta merkintää x (luetaan Delta-x). Jos jokin toinen suure y on x:n funktio, y = f(x), sen arvo muuttuu vastaten x:n arvon muutosta x x + x seuraavasti y = f(x + x) f(x). Näiden muutosten suhde on erotusosamäärä y x f(x + x) f(x) =. x 6 / 9

17 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Jos tässä x 0, niin saamme raja-arvona derivaatan lim x 0 y x = f (x) = dy dx. Usein on hyödyllistä (mutta muodollisesti ajatellen hivenen epätarkkaa) ajatella tässä differentiaaleja dx ja dy hyvin pieninä, ns. infinitesimaalisina muutoksina. Täsmällisessä käsittelyssä ainoastaan niiden suhde on mielekäs, mutta käytännössä differentiaalien avulla voidaan tehdä useista analyysin tuloksista helpommin muistettavia. 7 / 9

18 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) saa luonnollisen tulkinnan muutosnopeutena, kun muuttujana on aika (t). Aikavälillä t [t, t ] suure s = s(t) muuttuu arvosta s(t ) arvoon s(t ). Tällöin erotusosamäärä s t = s(t ) s(t ) t t kuvaa s:n keskimääräistä muutosnopeutta välillä [t, t ]. Tarkempi kuva tilanteesta saadaan, kun lyhennetään aikaväliä. Raja-arvona lim t 0 s(t + t) s(t) (t + t) t = s (t) saadaan tällöin hetkellinen nopeus kun tutkitaan aikaväliä [t, t + t] ja t 0. 8 / 9

19 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Pesäpallon lukkari heittää tolppasyötön suoraan ylöspäin. Todetaan, että hetkellä t (sekunteina) pallon korkeus on h(t) = 0t 5t (metriä). Määrää pallon korkeuden keskimääräinen muutosnopeus väleillä A) t [0, ], B) t [, ], C) t [,; ] ja D) hetkellinen nopeus hetkellä t =. Ratkaisu: Sijoittamalla saadaan h(0) = h() = 0, h() = 5 ja h(,9) = 0,95. Näistä saadaan keskimääräisiksi nopeuksiksi v A = = 0, v B = 0 5 = 5, v C = 0 0,95,9 = 9,5 metriä sekunnissa. Derivoimalla saadaan h (t) = 0 5t, josta h () = 0 m/s. Nähdään, että aikavälin lyhetessä keskimääräinen nopeus lähestyy hetkellistä nopeutta. Nopeudet ovat miinusmerkkisiä, koska ko. aikaväleillä pallo on putoamassa alaspäin. 9 / 9

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b 7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun,

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen

Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen Matematiikan pohjatietokurssi Eija Jurvanen 03 Sisältö Polynomit................................... 4 Jakokulman käyttö luvuilla ja polynomeilla................. 5. Kokonaislukujen jakolasku......................

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, kevät 016 Mallivastaukset, 3.3.016 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat. Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

1 Euklidiset avaruudet R n

1 Euklidiset avaruudet R n 1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Pythagoraan polku , ratkaisut

Pythagoraan polku , ratkaisut Pythagoraan polku 17.4.21, ratkaisut 1. Junannopeusonvakiov = s.olkoonlkiskon pituus ja x kiskojen määrä, jonka juna t kulkee 27 sekunnissa. Saadaan yhtälö xl 27 [s] = x [km] (6 + 15) 6 [s], josta l =,6

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot