Tasokäyrän kaarevuus LUKU 1

Transkriptio

1 LUKU Tasokäyrän kaarevuus.. Käyrät Määritelmä.. Polku (eli parametrisoitu käyrä) on jatkuva kuvaus α: I R n, missä I R on väli. Polku α = (α,..., α n ) on (jatkuvasti) derivoituva, jos jokainen α j, j n, on (jatkuvasti) derivoituva. Polku α on paloittain jatkuvasti derivoituva, jos on olemassa välin I jako äärellisen moneen osaväliin I,...,I k siten, jokainen α Ii, i k, on jatkuvasti derivoituva. Polku α = (α,..., α n ) on C p -polku, jos jokainen α j, j k, on p kertaa jatkuvasti derivoituva. Vastaavasti α on paloittain C p -polku, jos jokainen α Ii, i k, on C p -polku. Polku α = (α,..., α n ) on sileä, jos jokainen α j, j n, on jatkuvasti derivoituva ja α (t) 0 kaikille t I. Polun α: I R n jälki (eli polun α käyrä) on joukko α(i) R n. Huomautus.2. Määritelmässä väli I voi olla avoin, puoliavoin tai suljettu, rajoitettu tai rajoittamaton. Muuttuja t I on monessa tapauksessa mukava ajatella ajaksi: arvo α(t) R n on tällöin pisteen paikka hetkellä t. Määritelmä.3. Olkoon α: I R n derivoituva polku. Polun α tangenttivektori hetkellä t on derivaattavektori α (t) R n. Polun α nopeus on derivaatta α : I R n, ja polun vauhti on kuvaus α : I R, t α (t). Polku α on yksikkövauhtinen, jos α (t) = kaikille t I. Jos α: I R n on kahdesti derivoituva, on polun α kiihtyvyys toinen derivaatta α : I R n. Polkuja tarkasteltaessa tarvitaan monenlaisia vektoreita, jotka luonnostaan liittyvät tarkasteltavaan polun pisteeseen. Esimerkiksi polun α tangenttivektori α (t) hetkellä t on luonnollisinta ajetella pisteen α(t) kautta kulkevaksi suoraksi α(t) + s α (t), s R, eikä origon kautta kulkevaksi suoraksi s α (t), s R. Vrt. kuvaan. Määritelmä.4. Olkoon α: I R n annettu polku. Vektorikenttä pitkin polkua α on jatkuva kuvaus X : I R n. Huomautus.5. Kuva havainnollistaa kahta polkuun α liittyvää vektorikenttää: radiussädettä (joka on itse asiassa sama kuin polku α) ja tangenttivektoria. Vektorikenttä X pitkin polkua α on usein luonnollisinta ajatella samoin kuin polun tangenttivektorikenttä: vektori X(t) sijoitetaan alkamaan pisteestä α(t). Tämä vektorin sijoittaminen pisteeseen voidaan formalisoida seuraavasti. Viimeksi muutettu

2 .. KÄYRÄT Kuva. Logaritminen spiraali t r(t) (cos t, sin t), missä r(t) := a e k t, missä a ja k ovat annettuja vakioita. Kuvaan -4 on piirretty myös kahta eri muuttujan t arvoa vastaavat radiusvektorit (jana origosta pisteeseen r(t) (cos t, sin t)) sekä samoja muuttujan -5 t arvoa vastaavat spiraalin tangenttivektorit. Radiusvektorit ja tangenttivektorit on piirretty myös spiraalin pisteistä alkaviksi Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa (tai kantapiste) ja jälkimmäinen komponentti v suuntaosa (tai 4 suuntavektori). Kaikkien pisteen p vektoreiden joukkoa merkitään R n p. Joukkona siis R n p = {p} R n 3,5. -7 Joukosta R n p saadaan vektoriavaruus, kun yhteenlasku ja luvulla kertominen määritellään suunta- 2,5 osien avulla 2 (p; v) + (p; w) := (p; v + w) kaikille v, w R n ja r R. r (p; v) := (p; r v) 3,5 0,5 0 0,5,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

3 .. KÄYRÄT 3 Joukosta R n p saadaan edelleen sisätuloavaruus, kun vektoreille (p; v) ja (p; w) määritellään sisätulo ( ) (p; v) (p; w) := (v w). Huomaa, että yhteenlasku, luvulla kertominen ja sisätulo on määritelty vain samaan pisteeseen p kiinnitetyille vektoreille. Pisteeseen p kiinnitetyt vektorit havainnollistetaan pisteestä p pisteeseen p + v kulkevalla nuolella. Tässä havainnollistuksessa R n p samaistuu euklidiseen avaruuteen R n, ja piste p toimii vektoriavaruuden R n p origona. Joukossa A R n määritelty vektorikenttä on kuvaus F, joka liittää jokaiseen pisteeseen p A vektorin F (p) pisteessä p. Vektorikenttä on siis muotoa F (p) = ( p; (F (p),..., F n (p)) ) oleva kuvaus A p A Rn p = A R n, missä F j : A R ovat reaaliarvoisia komponenttifunktioita. Vektorikenttien F ja G summafunktio F + G, sisätulofunktio (F G) sekä reaaliarvoisen funktion f ja vektorikentän F tulo f F määritellään tavanomaiseen tapaan: (F + G)(p) := F (p) + G(p), (F G)(p) := ( F (p) G(p) ), (f F )(p) := f(p) F (p). Koska pisteisiin liitettyjen vektorikenttien käsittely on merkinnällisesti jossakin määrin työlästä, ei seuraavassa vektoreiden kantapistettä merkitä näkyviin; vektorit pyritään kuitenkin ajattelemaan sijoitetuksi asianomaiseen kantapisteeseen. Määritelmä.6. Olkoot α: I R n ja β : J R n annettuja C -polkuja. Sanotaan, että polut α ja β ovat ekvivalentteja (tai että polku β on polun α uudelleenparametrisointi), jos on olemassa jatkuvasti derivoituva bijektio h: J I siten, että β = α h ja h (τ) 0 kaikille τ J. Kuvaus h on parametrinvaihto, ja se on suunnan säilyttävä, jos h (τ) > 0 kaikille τ J, ja suunnan kääntävä, jos h (τ) < 0 kaikille τ J. Kun myöhemmin tarkastellaan C p -polkuja ja niiden uudelleenparametrisointeja, oletetaan myös parametrinvaihdon olevan C p -kuvaus. Esimerkkejä.7. a) Polun α: [a, b] R n vastapolku α : [a, b] R n, jolle α(t) := α(b (t a)), on ekvivalentti polun α kanssa suunnan kääntävällä parametrinvaihdolla t b (t a), [a, b] [a, b]. b) Olkoot α: [a, b] R n ja β : [c, d] R n annettuja polkuja. Jos α(b) = β(c), voidaan määritellä polkujen α ja β yhdistetty polku α β : [a, b + d c] R n asettamalla { α(t), kun a t b, ja (α β)(t) := β(c + t b), kun b t b + d c. Jos polut α ja β ovat sileitä, on yhdistetty polku α β paloittain sileä. Lause.8. Olkoon β = α h: J R n polun α: I R n uudelleenparametrisointi. Tällöin polun β nopeudellle on voimassa β (τ) = α (h(τ)) h (τ) kaikille τ J.

4 .2. KÄYRÄN KAAREVUUS 4.2. Käyrän kaarevuus Määritelmä.9. Asetetaan J : R 2 R 2, J(x, y) := ( y, x). Geometrisesti, kuvaus J on kierto kulman π = 2 90 verran positiiviseen kiertosuuntaan (=vastapäivään). Kuvaukselle J on J 2 = I, (Jp) (Jq) = p q, (Jp) p = 0, kaikille p, q R 2, missä I: R 2 R 2 on identtinen kuvaus, J 2 := J J ja p q on vektoreiden p ja q euklidinen sisätulo. Määritelmä.0. Olkoon α: I R 2 tason C 2 -polku. Polun α (merkkinen) kaarevuus hetkellä t I on (.) κ(t) := α (t) Jα (t) α (t) 3. Jos κ(t) 0, niin luku / κ(t) on polun α kaarevuussäde hetkellä t. Huomautus.. Tasokäyrän kaarevuuden määritelmä ei kerro kovinkaan paljoa kaarevuuden geometrisestä merkityksestä. Tähän palataan myöhemmin kaarenpituuden ja polun kiertymiskulman käsittelyn jälkeen. Määritelmä antaa kuitenkin yksinkertaisen tavan laskea annetun polun kaarevuus: kun α(t) = (x(t), y(t)), niin κ(t) = x (t) y (t) x (t) y (t) ( x (t) 2 + y (t) 2) 3/2. Erityisesti, jos C 2 -funktion f : I R kuvaajalle käytetään standardiparametrisointia I R 2, t (t, f(t)), on kuvaajan kaarevuus pisteessä (t, f(t)) κ(t) = f (t) ( + f (t) 2) 3/2. Huomaa, että tässä tapauksessa κ(t) 0, jos funktion f kuvaaja on alaspäin kupera pisteessä (t, f(t)), ja vastaavasti κ(t) 0, jos funktion f kuvaaja on ylöspäin kupera pisteessä (t, f(t)). Kaarevuus häviää pisteissä (t, f(t)), missä f (t) = 0, t.s. kuvaajan käännepisteissä. Esimerkkejä.2. a) Suoralle α(t) := p + t u on α (t) 0, joten suoran kaarevuus on identtisesti nolla. b) Origokeskiselle r-säteiselle ympyrälle α(t) := r (cos t, sin t) on α (t) = r ( sin t, cos t), Jα (t) = r ( cos t, sin t), ja α (t) = r (cos t, sin t),

5 joten κ(t) =.3. KAARENPITUUS 5 r (cos t, sin t) (r ( cos t, sin t)) r ( sin t, cos t) 3 = r2 r 3 = r. Lause.3. Olkoot α: I R 2 sileä C 2 -polku ja β = α h: J R 2 polun α uudelleenparametrisointi. Olkoot κ α polun α ja κ β polun β kaarevuus. Tällöin κ β (τ) = κ α (h(τ)) sign(h (τ)) kaikille τ J, missä, kun r > 0, sign(r) := 0, kun r = 0,, kun r < 0. on Todistus. Koska β (τ) = α (h(τ)) h (τ) ja β (τ) = α (h(τ)) (h (τ)) 2 +α (h(τ)) h (τ), κ β (τ) = β (τ) Jβ (τ) β (τ) ( 3 α (h(τ)) (h (τ)) 2 + α (h(τ)) h (τ) ) (J(α (h(τ))) h (τ) ) = α (h(τ)) 3 h (τ) 3 = (h (τ)) 3 α (h(τ)) J(α (h(τ))) + h (τ) h (τ) α (h(τ)) J(α (h(τ))) α (h(τ)) 3 h (τ) 3 = (h (τ)) 3 α (h(τ)) J(α (h(τ))) h (τ) 3 α (h(τ)) 3 = sign(h (τ)) κ α (h(τ)) Huomautus.4. Sileälle C 2 -polulle α vektori Jα (t) on kohtisuorassa tangenttivektoria α (t) vastaan. Tangenttivektori α (t) osoittaa polun α kulkusuunnan ja vektori Jα (t) suunnan vasemmalle. Oletetaan nyt, että polun α vauhti on yksi, α (t). Koska tangenttivektorin α (t) pituus ei muutu, mittaa kiihtyvyys α (t) tangenttivektorin α (t) suunnan muuttumista. Olkoon θ vektoreiden α (t) ja Jα (t) välinen kulma. Koska on (vrt. kuvaan 2) κ(t) = α (t) Jα (t) = α (t) cos θ, κ(t) > 0, jos polku α kääntyy kohti normaalia Jα (t), ja κ(t) < 0, jos polku α kääntyy poispäin normaalista Jα (t)..3. Kaarenpituus Määritelmä.5. Olkoon α: I R n jatkuvasti derivoituva polku. Polun α (kaaren-)pituus on l(α) := α (t) dt. I

6 .3. KAARENPITUUS Kuva 2. Sinikäyrä sekä sen tangentti- ja normaalivektoreita. Huomautus.6. Jos I on suljettu ja rajoitettu väli, on integraali I α (t) dt olemassa aitona Riemannnin integraalina, joten tässä tapauksessa polun pituus on äärellinen. Jos I ei ole suljettu tai se ei ole rajoitettu, on integraali I α (t) dt epäoleellinen Riemannnin integraali. Tässä tapauksessa voi olla l(α) =. Lause.7. Olkoon β = α h: J R n polun α: I R n uudelleenparametrisointi. Tällöin polun β kaarenpituudelle on voimassa l(β) = l(α). Todistus. Olkoon h: [c, d] [a, b] C -funktio siten, että h (τ) 0 kaikille τ [c, d]. Oletetaan, että h (τ) > 0 kaikille τ [c, d]. Tällöin h(c) = a, h(d) = b, ja joten β (τ) = h (τ) α (h(τ)) = h (τ) α (h(τ)), l(β) = d c sij. t = h(τ) = β (τ) dτ = b a d c α (t) dt = l(α). h (τ) α (h(τ)) dτ Jos h (τ) < 0 kaikille τ [c, d], on h(c) = b, h(d) = a, ja β (τ) = h (τ) α (h(τ)). Muilta osiltaan lasku menee kuten yllä. Muiden tapausten käsittely jätetään lukijan tehtäväksi. Olkoon α: I R n sileä polku, missä I = [a, b] on kompakti väli. Määritellään funktio s: [a, b] [0, l(α)], polun α kaarenpituusparametri, asettamalla s(t) := t a α. Siis s(t) = l(α [a,t] ). Tällöin s (t) = α (t) > 0 kaikille t [a, b], joten s on aidosti kasvava bijektio. Olkoot h := s : [0, l(α)] [a, b] ja β := α h: [0, l(α)] R n. Tällöin kaikille τ [0, l(α)] on β (τ) = α (h(τ)) h (τ) = α (t) s (t),

7 .4. KIERTYMISKULMA 7 missä t := h(τ). Siis β (τ) = kaikille τ [0, l(α)]. Polkua β kutsutaan polun α uudelleenparametrisoinniksi kaarenpituuden suhteen. Huomautus.8. a) Kaarenpituus voidaan määritellä myös tapauksessa, missä väli I ei ole kompakti. Esimerkiksi, jos I = (a, b), voidaan valita piste c (a, b) ja asettaa s(t) := t c α. Tällöinkin s (t) = α (t) > 0 kaikille t [a, b], mutta s(t) < 0, kun t (a, c). Lisäksi voi olla s(t), kun t a+, ja/tai s(t), kun t b. b) Kaarenpituus voidaan määritellä myös paloittain sileälle polulle: jos välillä I on jako äärellisen moneen osaväliin I,...,I k siten, jokainen α Ii, i k, on jatkuvasti derivoituva, voidaan asettaa k k l(α) := l(α Ii ) = α. I i i= Vastaavalla tavalla paloittain sileä polku voidaan parametrisoida uudelleen kaarenpituuden suhteen. Lemma.9. Olkoon α: I R 2 yksikkövauhtinen C 2 -polku tasossa. Tällöin kiihtyvyysvektori α (t) on kohtisuorassa polun tangenttivektoria α (t) vastaan kaikille t I. Todistus. Koska α (t) 2, on 0 = d dt = d α (t) 2 dt i= = 2α (t) α (t). Lause.20. Olkoon α: I R 2 yksikkövauhtinen C 2 -polku tasossa. Tällöin α (t) = κ(t) Jα (t) kaikille t I. Todistus. Edellisen lemman nojalla α (t) Jα (t), joten α (t) Jα (t) kaikille t I. Jokaiselle t I on siis olemassa k t R siten, että α (t) = k t Jα (t). Koska Jα (t) Jα (t) = α (t) α (t) = α (t) 2 =, on k t = k t Jα (t) Jα (t) = α (t) Jα (t) = κ(t)..4. Kiertymiskulma Määritelmä.2. Olkoon α: I R 2 sileä tasopolku. Polun α kiertymiskulma 2 on jatkuva funktio θ : I R, jolle (.2) α (t) α (t) = (cos θ(t), sin θ(t)) kaikille t I. Huomautus.22. Geometrisesti kulma θ(t) on x-akselin suuntaisen suoran ja polun tangenttivektorin α (t) välinen kulma. Yksikköympyrän ominaisuuksista seuraa, että jokaiselle t I on olemassa θ(t), jolle yhtälö (.2) toteutuu. Sen sijaan itsestään selvää ei ole, että valinta t θ(t) voidaan tehdä jatkuvasti. Vrt. logaritmisen spiraalin kuvaan. Todistus tällaisen kiertymiskulman olemassaololle löytyy esimerkiksi kirjasta [8,.5] tai [9, HT.5]. 2 Engl. turning angle tai inclination angle.

8 .5. EVOLUUTTA 8 Lause.23. Olkoot α: I R 2 sileä C 2 -polku ja θ sen kiertymiskulma. Tällöin missä κ on polun α kaarevuus. θ (t) = α (t) κ(t) kaikille t I, Todistus. Kaavan (.2) vasemman puolen derivaatta on α (t) α (t) + α (t) d dt α (t). Vastaaavasti, kaavan (.2) oikean puolen derivaatta on θ (t) ( sin θ(t), cos θ(t)) = Jα (t) Jα (t). Laskemalla puolittain sisätulo vektorin Jα (t) kanssa, saadaan θ (t) α (t) = θ Jα (t) (t) Jα (t) Jα (t) = α (t) Jα (t) α (t) ( d + dt α (t) ) α (t) Jα (t) = α (t) 2 κ(t). Seuraus.24. Olkoot α: I R 2 yksikkövauhtinen C 2 -polku, κ sen kaarevuus ja θ kiertymiskulma. Tällöin θ (s) = κ(s) kaikille s I. Huomautus.25. Jokainen sileä C 2 -polku α voidaan uudelleenparametrisoida kaarenpituuden avulla, jolloin parametrinvaihto on suunnan säilyttävä. Lauseen.3 nojalla uudelleenparametrisoidulla polulla β = α h on sama kaarevuus kuin polulla α (vastaavalla hetkellä). Edellisen seurauksen tulos voidaan siis ilmaista sanomalla, että polun α kaarevuus on polun kiertymiskulman derivaatta kaarenpituuden suhteen..5. Evoluutta Olkoon α: I R 2 sileä C 2 -polku. Olkoon t I. Tällöin polut τ : R R 2, ν : R R 2, τ(u) := α(t) + u α (t), ja ν(u) := α(t) + u Jα (t), ovat pisteen α(t) kautta kulkevat polun α tangenttisuora ja normaalisuora. Koska α (t) 0, muodostavat α (t) ja Jα (t) tasolle R 2 ortogonaalin kannan. Tämä kanta on luonnollista ajatella siirretyksi pisteeseen α(t). Kun t muuttuu, saadaan pitkin polkua α liikkuva koordinaatisto. Toisenlainen, käyräviivainen koordinaatisto saadaan seuraavasti: Käytetään toisena koordinaattina käyräparametria t ja toisena etäisyyttä pisteestä α(t) pitkin normaalisuoraa s ν(s) = α(t) + s Jα (t). Saadaanko näin kunnollinen koordinaatisto? Palautetaan mieleen käänteiskuvauslause: Olkoot f : R 2 R 2 C -kuvaus ja (x 0, y 0 ) R 2. Jos det Df(x 0, y 0 ) 0, niin pisteellä (x 0, y 0 ) on ympäristö W siten, että f : W f(w ) on diffeomorfismi. (Sanotaan, että f on lokaali diffeomorfismi pisteessä (x 0, y 0 ).)

9 Olkoon nyt f : I R R 2,.5. EVOLUUTTA 9 f(t, s) := α(t) + s Jα (t). Tällöin, kun α(t) = (x(t), y(t)), J f (t, s) = det Df(t, s) = x (t) s y (t) y (t) s x (t) Olkoon polun α kaarevuus κ. Tällöin y (t) x (t) = x (t) 2 + y (t) 2 s y (t) x (t) + s x (t) y (t). y (t) x (t) x (t) y (t) = κ(t) (x (t) 2 + y (t) 2 ) 3/2, joten J f (t, s) = α (t) 2 s κ(t) α (t) 3. Siis J f (t, s) = 0 s κ(t) α (t) = 0. Jos κ(t) = 0, on s κ(t) α (t) 0 kaikille s R. Jos κ(t) 0, on s κ(t) α (t) = 0, jos ja vain jos s = κ(t) α (t). Funktiolle saadaan kriittinen arvo α(t) + Jα (t) =: polun α polttopiste hetkellä t. κ(t) α (t) Kuva 3. Ellipsi x2 + y2 = ja sen normaaleita. Ellipsin polttopisteiden a 2 b 2 joukon voi nähdä kuvasta: normaalien leikkauspisteiden muodostamaa käyrää kutsutaan astroidiksi. Määritelmä.26. Sileän C 2 -polun α evoluutta on polku η(t) := α(t) + κ(t) Jα (t) α (t). Huomaa, että polun α evoluutta η on määritelty vain niille muuttujan t arvoille, joille polun α kaarevuuus κ(t) 0.

10 .5. EVOLUUTTA 0 Määritelmä.27. Olkoot α: I R 2 sileä C 2 -polku, κ sen kaarevuus, t 0 I sellainen, että κ(t 0 ) 0, sekä η polun α evoluutta. Ympyrä, jonka säde on / κ(t 0 ) ja keskipiste η(t 0 ), on polun α oskuloiva eli kaarevuusympyrä hetkellä t 0. Luku / κ(t 0 ) on tämän kaarevuusympyrän kaarevuussäde ja piste η(t 0 ) sen kaarevuuskeskipiste Kuva 4. Paraabeli y = a x 2 ja kolme sen kaarevuusympyrää. -8 Paraabelin kaarevuus on suurimmillaan sen huipussa, ja siellä myös kaarevuusympyrä ovat pienin. Huomautus.28. Kaarevuusympyrä parametrisoidaan yleensä siten, että sen ja polun α suunta yhtyvät. Olkoot q := η(t 0 ), r := / κ(t 0 ) ja β kaarevuusympyrän parametriesitys. Oletetaan, että α ja β ovat yksikkövauhtisia. (Näin voidaan tehdä; uudelleenparametrisointi kaarenpituuden avulla ei muuta kaarevuutta.) Osoitetaan, että ( β(s) = q + r cos ε s r, sin ε s r antaa oikein kaarevuusympyrän, kun kiertosuunnaksi valitaan ε := sign(κ(t 0 )). Oletus polkujen α ja β samansuuntaisuudesta tarkoittaa, että α (t 0 ) = β (s 0 ), kun s 0 on sellainen, että β(s 0 ) = α(t 0 ) =: p. Nyt ( β (s) = ε sin ε s r, cos ε s ) = ε J(β(s) q). r r Olkoon nyt β(s 0 ) = p = α(t 0 ). Koska q = η(t 0 ) = α(t 0 )+ κ(t 0 ) Jα (t 0 ) = p+ε r Jα (t 0 ), on β (s 0 ) = ε r J(p q) = ε r J( ε r Jα (t 0 )) = α (t 0 ). Ominaisuudesta, että polulla α ja sen kaarevuusympyrällä on sama tangentti, käytetään myös nimitystä, että polulla ja sen kaarevuusympyrällä on toisen kertaluvun kosketus sivuamispisteessä. ),

11 .5. EVOLUUTTA On myös hyvä huomata, että polun evoluutan jälki on polun kaarevuusympyrän keskipisteiden muodosta joukko (eli evoluutta on kaarevuusympyrän keskipisteiden ura ). Huomautus.29. Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa seuraavanlainen approksimaatio-ominaisuus: Olkoot α: I R 2 yksikkövauhtinen C 2 -polku, κ sen kaarevuus ja α(0) =: p (oletetaan, että 0 I). Oletetaan, että κ(0) 0. Olkoot q R 2 ja r > 0. Asetetaan f : I R, f(t) := α(t) q 2 r 2. Tällöin piste q on polun α kaarevuusympyrän keskipiste ja luku r kaarevuusympyrän säde hetkellä t = 0, jos ja vain jos f(0) = f (0) = f (0) = 0. Lemma.30. Polun evoluutta ei riipu parametrisoinnista. Todistus. Väite tarkoittaa seuraavaa: Jos α on sileä C 2 -polku, h C 2 -parametrinvaihto, α := α h, ja η polun α evoluutta, niin η = η h. Todistus on helppo lasku lauseen.3 avulla, ja jätetään tukijan tehtäväksi. Lause.3. Olkoot α: I R 2 sileä C 3 -polku, η sen evoluutta ja t 0 I siten, että polun α kaarevuudelle on κ(t 0 ) 0. Tällöin evoluutan η tangenttivektori hetkellä t 0 on polun α normaali hetkellä t 0. Todistus. Oletetaan, että α on yksikkövauhtinen. Tällöin evoluutan η tangenttivektori on η (t) = α (t) + d ( ) dt κ(t) Jα (t) = α (t) κ (t) κ(t) 2 Jα (t) + κ(t) Jα (t) ( ) = α (t) κ (t) κ(t) 2 Jα (t) + κ(t) ( κ(t) α (t)) = κ (t) κ(t) 2 Jα (t), missä yhtäsuuruus ( ) seuraa lauseesta.20. Siis evoluutan η tangenttivektori η (t) on polun α normaalivektorin Jα (t) suuntainen. Huomautus.32. Edelliselle lauseelle pätee osittain käänteinen tulos. Oletetaan, että a) polku α on yksikkövauhtinen C 2 -polku; b) polku γ on C -polku siten, että γ(t) = α(t) + f(t) Jα (t); c) polun γ tangenttivektori on polun α normaalin suuntainen kaikilla hetkillä. Tällöin f(t) = /κ(t) kaikille t, missä κ on polun α kaarevuus, ja polku γ on polun α evoluutta.

12 Todistus. Kuten edellä.6. INVOLUUTTA 2 γ (t) = α (t) + f (t) Jα (t) + f(t) Jα (t) = α (t) + f (t) Jα (t) f(t) κ(t) α (t). Koska γ (t) ja Jα (t) ovat yhdensuuntaiset, tulee tangenttivektorin α (t) suuntaisen komponentin α (t) f(t) κ(t) α (t) hävitä, t.s. f(t) κ(t) = Involuutta Määritelmä.33. Olkoon β : I R 2 yksikkövauhtinen polku ja c I. Polun β pisteestä β(c) lähtevä involuutta on on polku γ : I R 2, 2,5 γ(t) := β(t) + (c t) β (t) , , , , ,5 0 2, ,5 Kuva 5. Vasemmassa kuvassa ympyrä ja sen involuutta, oikeassa kahdeksikkokäyrä ja sen involuutta. Polun β involuutta saadaan kiertämällä polku β auki : pisteiden β(t) ja γ(t) välinen etäisyys t c on sama kuin polun β kaarenpituus välillä [c, t] (tai [t, c], jos t < c). Lemma.34. Olkoot β yksikkövauhtinen C 3 -polku ja γ polun β pisteestä β(c) lähtevä involuutta. Tällöin polun γ kaarevuus on missä κ β on polun β kaarevuus. κ γ (t) = sign(κ β), c t

13 Todistus. Lasketaan (lauseen.20 avulla).6. INVOLUUTTA 3 γ (t) = β (t) β (t) + (c t) β (t) = (c t) β (t) = (c t) κ β (t) Jβ (t) ja γ (t) = κ β (t) Jβ (t) + (c t) κ β(t) Jβ (t) + (c t) κ β (t) Jβ (t) = κ β (t) Jβ (t) + (c t) κ β(t) Jβ (t) (c t) κ β (t) 2 β (t). Siis Jγ (t) = (c t) κ β (t) β (t) ja γ (t) Jγ (t) = ( (c t) κ β (t) 2 β (t)) ( (c t) κ β (t) β (t)) = (c t) 2 κ β (t) 3. Toisaalta, γ (t) 3 = c t 3 κ β (t) 3. Väite seuraa kaarevuuden määritelmästä. Lause.35. Olkoot β yksikkövauhtinen C 3 -polku ja γ polun β pisteestä β(c) lähtevä involuutta. Tällöin polun γ evoluutta on β. Todistus. Olkoon polun γ evoluutta η, η(t) = γ(t) + κ γ (t) Jγ (t) γ (t). Edellisen lauseen todistuksesta saadaan γ (t) = c t κ β (t) ja Jγ (t) = (c t) κ β (t) β (t). Siis c t ( (c t) κ β (t) β (t)) η(t) = γ(t) + sign(κ β ) c t κ β (t) = β(t) + (c t) β (t) (c t) β (t) = β(t).