Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23.

Save this PDF as:
Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23."

Transkriptio

1 Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23. lokakuuta 2017

2 Sisältö Luennot syyslukukaudella Esimakua 4 Kertaus 5 1 Euklidinen avaruus Euklidinen avaruus R n Karteesinen tulo Vektoriavaruus R n Avaruus R n on n-ulotteinen Avaruuden R n sisätulo Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys Topologisista käsitteistä avaruuden R n joukoille Täydellinen metrinen avaruus Joukon halkaisijan merkintä Vektorifunktioista Funktion graafin määritelmä Funktion tasa-arvojoukko Jonot avaruudessa R n ja jonojen suppeneminen Suppenemisen määritelmä Cauchy-ehto Reaaliarvoiset vektorifunktiot Raja-arvo Raja-arvon määritelmä Jatkuvuus Jatkuvuuden määritelmä Reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskentaa avaruudessa R n Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista Kahden muuttujan funktion osittaisderivaattojen määritelmä Osittaisderivaatoista jatkoa Osittaisderivaattojen geometrinen tulkinta Korkeammista osittaisderivaatoista Osittaisderivaatoista vektoriavaruudessa R n Suunnatuista derivaatoista Suunnatun derivaatan määritelmä Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio Tangenttitasoista Kuvauksen approksimoinnista Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä Lineaarikuvauksen määritelmä Lineaarikuvausta vastaava matriisi Avaruuden R n vektorien esityksestä Reaaliarvoista lineaarikuvausta vastaava vektori Affiinikuvauksen määritelmä (reaaliarvoisessa tapauksessa) Gradientista

3 3.5.1 Gradientin määritelmä Derivaatasta Derivaatan määritelmä Derivaattakuvauksen määritelmä Jatkuvasti differentioituvista kuvauksista Riittävät ehdot differentioituvuudelle Derivoimissääntöjä Ketjusääntö I Ketjusääntö II Suunnatun derivaatan maksimointi Gradientin geometrinen merkitys Reaaliarvoisten kuvausten korkeammat osittaisderivaatat ja lokaalit ääriarvot Korkeammat osittaisderivaatat Korkeampien osittaisderivaattojen määritelmä C k ja C -funktioiden määritelmät Korkeammat differentiaalit Korkeampien differentiaalien määritelmä Taylorin kaava Kertaus yhden muuttujan Taylorin kaavasta Taylorin polynomin määritelmä Taylorin polynomin tarkkuus- ja yksikäsitteisyyslause Kriittiset pisteet ja lokaalit ääriarvot Ääriarvojen määritelmä Kriittisen pisteen ja satulapisteen määritelmä Mahdollisten ääriarvopisteiden laadun etsiminen Viitteet 62 2

4 Luennot syyslukukaudella 2017 Luennot sisältävät euklidisessa avaruudessa R n, n 2, määriteltyjen reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskennan perusteita. Luentojen runkona olen seurannut Olli Martion kirjaa Vektorianalyysi. Luentoja tehdessäni olen käyttänyt Veikko T. Purmosen luentomonistetta Differentiaalilaskentaa euklidisissa avaruuksissa, omia Differentiaalilaskenta luentojani ja James Stewartin kirjaa Calculus. Early Transcendentals. Ilmari Lehmusoksalle, Outi Bomanille ja Saara E. Pesoselle suurkiitos luentojen LATEX:lla kirjoittamisesta. Ilmarille myös suurkiitos kuvien piirtämisestä. Kiitos kaikille luennoille osallistuneille. Helsingissä Ritva Hurri-Syrjänen 3

5 Esimakua (a) x x 3 (b) x x 2 (c) x x Kuva 1: Funktioiden f R R kuvaajia analyysin kursseilta. (a) f R 2 R, f u u 2 (b) g R 2 R, g x x Kuva{ 2: Reaaliarvoisten vektorifunktioiden } kuvaajia. Vasemmanpuoleinen graafi on tarkemmin joukko S = x R 3 x = (u, u 2), u R 2. (a,b,c) b c a Kuva 3: Pinta S = piste (a, b, c). } {(x, y, z) R 3 z = x 2 y , (x, y) R2 vektoriavaruudessa R 3 ja pinnan 4

6 Kertaus Kaksiuloitteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja eli: R 2 = { (x 1, x 2 ) x 1, x 2 R } missä R on reaalilukujen joukko. Siellä meillä on kaikilla tason lukupareilla (x 1, x 2 ) ja (u 1, u 2 ) määritelty luonnollinen vektorisumma eli yhteenlasku: ja reaalisella skalaarilla λ R kertominen: (x 1, x 2 ) + (u 1, u 2 ) = (x 1 + u 1, x 2 + u 2 ) λ(x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ). Muistutus! (R 2, +) on Abelin ryhmä, nolla-alkiona 0 = ( 0, 0 ) ja vasta-alkiona a kun a R 2. 5

7 1 Euklidinen avaruus 1.1 Euklidinen avaruus R n Karteesinen tulo Joukko R n = R R R on R avaruuden n-kertoiminen karteesinen tulo. Euklidinen avaruus R n, n = 1, 2,, n määritellään joukkona: R n = { (x 1,, x n ) x k R, k = 1, 2,, n } (1.1.2) missä x 1,, x n on reaalilukujono, jossa on n-termiä. Vektori: x = (x 1,, x n ) on avaruuden R n alkio, kunhan x 1,, x n R. Luku x k on x-alkion k. koordinaatti eli k. komponentti Vektoriavaruus R n Olkoot (x 1,, x n ) R n ja (y 1,, y n ) R n. Tällöin vektroreille määritellään: (a) yhteenlasku (b) skalaarilla kertominen (c) sekä nolla-alkio x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) λx = (λx 1,, λx n ) λ R 0 = (0,, 0) R n ; x + 0 = x Avaruus R n on n-ulotteinen Avaruus R n on n-uloitteinen eli dim R n = n. Yksikkövektorit: e 1 = (1, 0,, 0) e 2 = (0, 1,, 0) e n = (0, 0,, 1) muodostavat avaruuden R n luonnollisen kannan eli kanonisen kannan. Jokaisella vektorilla x = (x 1, x 2,, x n ) R n on yksikäsitteinen esitys kantavektoreiden avulla: x = x 1 e 1 + x n e n = n x k e k. k=1 6

8 1.1.5 Avaruuden R n sisätulo 1. Kuvaus (x, y) x y, R n R n R +, joka määritellään: x y = x 1 y x n y n = n x k y k (1.1.6) kun x = (x 1,, x n ) R n ja y = (y 1,, x n ) R n on sisätulo (eli skalaaritulo eli pistetulo) avaruudessa R n. Merkitään myös (x y). 2. Vektoriavaruus R n varustettu edellä mainitulla sisätulolla on euklidinen n-ulotteinen avaruus R n. 3. Euklidinen sisätulo määrää euklidisen normin. Avaruuden R n euklidinen normi on kuvaus: k=1 R n R + = {t R t 0} x = x x, x R n. Huomaa! x x = x x x2 n ja luku x x määrittelee vektorin x euklidisen pituuden. 4. Kanoninen kanta on ortonormeerattu: { 1, kun i = j e i e j = δ i,j = 0, kun i j, kun i, j = 1, 2, 3,, n. (1.1.7) Jossa δ i,j on Kroneckerin symboli. Lisäksi: 5. Cauchyn Schwarzin epäyhtälö x = n x k e k = k= Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys n (x e k )e k k=1 x y x y, kun x, y R n. Avaruuteen R n tulee normin kautta määritellyksi etäisyysfunktio eli metriikka. Avaruuden R n euklidinen metriikka on sellainen kuvaus d, d R n R n R +, että d(x, y) = x y, kun x, y R n. Huomautus Kaava d(x, y) = x y määrittelee vektoreiden x ja y välisen etäisyyden euklidisen metriikan suhteen. Huomautus Muitakin normeja voidaan käyttää vektoriavaruudessa R n. Näille pätee, että x max = max x i 1 i n n x abs = x i i=1 x max x x abs n x max. 7

9 Topologisista käsitteistä avaruuden R n joukoille Avaruuden R n topologiset käsitteet tulkitaan aina edellä mainitun euklidisen metriikan kautta. 1. Olkoon x 0 R. Kun r > 0, niin B(x 0, r) = B n (x 0, r) = {x R n x x 0 < r} (1.1.12) on R n avaruuden x 0 -keskinen, r-säteinen avoin pallo. Kun r > 0, niin B(x 0, r) = {x R n x x 0 r} (1.1.13) on R n avaruuden x 0 -keskinen, r-säteinen suljettu pallo. r r x 0 x 0 Kuva 4: Avoin pallo B(x 0, r) ja suljettu pallo B(x 0, r). 2. Joukon A R n sisus eli sisäpisteiden joukko inta määritellään: inta = { x A r > 0 siten, että B(x, r) A }. Joukko A on avoin, jos ja vain jos A = inta. Merkitään: A R n. 3. Mitä tahansa avointa joukkoa, johon piste x kuuluu, kutsutaan pisteen x ympäristöksi (ystö). Pallo B n (x, r) on erikoistapaus tästä. 4. Piste x R n on joukon A kasautumispiste, jos jokaisella r > 0 pallo B n (x, r) sisältää äärettömän monta joukon A pistettä. 5. Piste x on joukon A reunapiste, jos jokainen pallo B n (x, r) sisältää joukon A ja joukon A kompelementin R n A pisteitä. Reunaa merkitään A = { x R n x on joukon A reunapiste. } Joukon A sulkeuma on A = inta A. 8

10 A x r A y x 0 Kuva 5: Joukon A reunapiste x 0. Tässä x A B n (x 0, r) ja y (R n A) B n (x 0, r) Täydellinen metrinen avaruus Avaruus R n on täydellinen metrinen avaruus eli jokainen avaruuden R n Cauchy jono suppenee Joukon halkaisijan merkintä Epätyhjän joukon A R n, A, halkaisija diam (A) määritellään Joukko on rajoitettu, jos A = tai jos diam (A) <. 1.2 Vektorifunktioista diam (A) = sup d(x, y) = sup x y. (1.1.16) x,y A x,y A Kuvaus f R n R p missä, n > 1 tai p > 1, on vektorifunktio. Erityisesti (a) f on vektoriarvoinen funktio, jos p 2, (b) f on reaaliarvoinen funktio, jos p = 1. Esimerkki Olkoon g R 2 R, kuvaus (x 1, x 2 ) Kuvauksen määrittelyjoukko on 9 x 2 1 x2 2. D = {(x 1, x 2 ) 9 x 2 1 x2 2 0} = {x2 1 + x2 2 9} = B2 (0, 3). Kuvajoukko on { } x 3 x 3 = 9 x 21 x22 ; (x 1, x 2 ) D. 9

11 Koska x 3 0 ja x x2 2 9, niin 9 x 2 1 x Siis kuvauksen arvojoukko on [ 0, 3 ]. { } Graafi = (x 1, x 2, 9 x 21 x22 ) (x 1, x 2 ) D. x 3 (0, 0, 3) (3, 0, 0) Kuva 6: Esimerkin graafi = (0, 3, 0) x 1 x 2 { } (x 1, x 2, 9 x 2 1 x2 2 ) (x 1, x 2 ) D Funktion graafin määritelmä Jos f on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio, jonka määrittelyjoukko on D, niin funktion f graafi on joukko { (x1, x 2, x 3 ) R n x 3 = f(x 1, x 2 ) ; (x 1, x 2 ) D }. Esimerkki Kuvaus f R 2 R, u u 2 määrittelee avaruuteen R 3 pinnan { } S = x R 3 x = (u, u 2), u R 2. Esimerkki Kuvaus h R 2 R, h(x) x. Kuvauksen h graafi on joukko {( x 1, x 2, h(x 1, x 2 ) ) R 3 ( x 1, x 2 ) R 2 } (a) f R 2 R, f u u 2 (b) h R 2 R, h x x Kuva 7: Esimerkkien ja kuvauksien graafit. 10

12 1.2.5 Funktion tasa-arvojoukko Kuvauksen f A R, A R n, vakiota r f(a) vastaava tasa-arvojoukko on S f (r) = { x A f(x) = r }. Jos f on riittävän siisti (säännöllinen), niin S f (r) on (n 1) ulotteinen pinta avaruudessa R n. Esimerkki Määritä kuvauksen f R n R, x x 2, tasa-arvojoukko. Tasa-arvojoukko on S f (r 2 ) = {x R n f(x) = x 2 = r 2} S n 1 (0, r) eli origokeskinen r-säteinen pallopinta avaruudessa R n, Esimerkki Määritä funktiolle f R 2 R, x x 1 x 2, tasa-arvokäyrät. Tasa-arvokäyrät { } S f (r) = x R 2 f(x) = x 1 x 2 = r ovat hyperbelejä. Huomautus! Tasa-arvokäyrä f(x 1, x 2 ) = k on kaikkien niiden määrittelyjoukon pisteiden joukko, joissa f antaa arvon k. Tasa-arvo käyrä näyttää missä graafilla on korkeus k. x 2 r = 1 r = 1 x 1 r = 1 r = 1 Kuva 8: Esimerkin tasa-arvokäyrät r = 1 ja r = Jonot avaruudessa R n ja jonojen suppeneminen Avaruuden R n jono on kuvaus φ N R n. 11

13 Sen arvoja φ(k) merkitään alaindeksillä φ k eli φ(k) = φ k ja itse jonon merkintä on (φ k ) k=1. Yleensä jonon merkin tilalla on x eli vastaava jono on x k. Jonolle käytetään merkintää: Suppenemisen määritelmä (x k ) = (x k ) k=1, missä x k = φ(k). Olkoon (x k ) jono avaruudessa R n. Olkoon a R n. Jono (x k ) suppenee kohti pistettä a R n, jos jokaista pisteen a ympäristöä U kohti on olemassa luku k 0 N siten, että x k U kaikilla k k 0. Merkitään x k a, kun k, lim x k = a tai k lim x k a = 0. k Alkiota a sanotaan jonon x k raja-arvoksi eli raja-alkioksi. Huomautus Jonoista 1. Suppenevan jonon raja-arvo on yksikäsitteinen. 2. Jos jono ei suppene, niin se hajaantuu Cauchy-ehto Avaruuden R n jono (x k ) on Cauchy-jono, jos jokaisella ε > 0 on olemassa k ε N siten, että x j x k < ε aina kun j, k > k ε. Huomautus Suppeneva jono on Cauchy-jono. Avaruudessa R n on myös käänteinen tulos: Lause Avaruus R n on täydellinen: Jokainen Cauchy-jono avaruudessa R n on suppeneva. Lisälukemista: Tom Apostol, Mathematical Analysis. 12

14 2 Reaaliarvoiset vektorifunktiot 2.1 Raja-arvo Raja-arvon määritelmä Olkoon A R n ja piste a joukon A kasautumispiste. Kuvauksella f A R on pisteessä a raja-arvo b R joukon A suhteen, jos jokaiselle annetulle ε > 0 on olemassa δ a,ε = δ > 0 siten, että Merkitään f(y) b < ε, aina kun y A ja 0 < y a < δ. lim y a y a lim f(y) = b y A {a} Huomautus Jos funktiolla on olemassa raja-arvo, niin raja-arvo on yksikäsitteinen. Huomautus Olkoon A R n ja f A R ja a joukon A kasautumispiste. Olkoon b R. Funktiolla f on raja-arvo b pisteessä a A, jos jokaisella jonolla (x k ), jolla x k A ja x k a, pätee, että f(x k ) b. Esimerkki Osoitetaan, että raja-arvoa x 2 y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ei ole olemassa. Ratkaisuehdotus: Olkoon f R 2 { 0 } R, f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y2. Ensin lähestytään pistettä (0, 0) pitkin x-akselia, eli y = 0. Tällöin f(x, 0) = x2 x2 = 1 kaikilla x 0. Siis f(x, y) 1, kun (x, y) 0 pitkin x-akselia. Lähestytään origoa nyt pitkin y-akselia, eli x = 0. Silloin f(0, y) = y2 = 1, kaikilla y 2 y 0. Siis f(x, y) 1, kun (x, y) (0, 0) pitkin y-akselia. Siis funktiolla f ei ole raja-arvoa origossa, sillä raja-arvon tulee olla yksikäsitteinen. z x y Kuva 9: Esimerkin tilanne: funktion z = f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y2 kuvaaja ja origon lähestyminen sekä x- (punainen) että y- (oranssi) akseleita pitkin. 13

15 Esimerkki Laskuharjoitustehtävä: Selvitä, onko raja-arvoa ) sin (x 2 + y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 olemassa. Esimerkki Selvitä, onko raja-arvoa olemassa. Ratkaisuehdotus: Valitaan y = x 2. Silloin Valitaan x = y 2. Silloin Siis raja-arvo voisi ehkä olla olemassa! lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 + y 2 3x 2 y x 2 + y = 3x4 2 x 2 + x = x 2 3x 2 4 x ( 0, kun x 0 ja x x2) 3x 2 y x 2 + y = 3y5 2 y 4 + y = y 2 3y 3 2 y ( ) 0, kun y 0 ja x 0. 2 y z y Kuva 10: Esimerkin tilanne: funktion z = f(x, y) = 3x2 y 2 x = y 2 pitkin (punaisella). x x 2 +y 2 Olkoon ε > 0 annettu ja kiinnitetty. Etsitään δ > 0 siten, että jos 0 < (x, y) (0, 0) < δ, niin 3x 2 y x 2 + y 0 < ε kuvaaja ja origon lähestyminen käyrää

16 (Huomaa: (x, y) (0, 0) = (x, y) = x 2 + y 2 ) Siis etsitään δ ε > 0 siten, että jos 0 < x 2 + y 2 < δ ε, niin 3x2 y x 2 +y2 < ε. Nyt Jos nyt valitaan δ ε = ε 3, niin Siis määritelmän nojalla lim (x,y) (0,0) 2.2 Jatkuvuus Jatkuvuuden määritelmä 3x 2 y 3 y = 3 y 2 3 x 2 + y 2, ** sillä 0 < x 2 x 2 + y 2. x 2 + y 2 3x 2 y x 2 + y 0 3 x 2 + y 2 < 3δ 2 ε = 3ε 3 = ε. 3x 2 y x 2 +y 2 = 0. Olkoon A R n kuvaus. f A R on jatkuva pisteessä x A, jos jokaiselle annetulle ε > 0 on olemassa δ x,ε = δ > 0 siten, että f(x) f(y) < ε aina kun y A ja x y < δ. Kuvaus f on jatkuva joukossa A, jos f on jatkuva jokaisessa joukon A pisteessä. Huomautus Kuvaus f on jatkuva pisteessä x A R n, jos f(y) saadaan mielivaltaisen lähelle pistettä f(x) kaikilla y, jotka ovat riittävän lähellä pistettä x, eli f(y) f(x), kun y x. Huomautus Jos x A ei ole erillinen piste, niin kuvaus f A R on jatkuva pisteessä x, jos ja vain jos lim f(y) = f(x). Kuvaus on aina jatkuva erillisessä pisteessä. y x y A x δ (l 1, l 2 ) Kuva 11: Jatkuvuudesta: kuvaus f on jatkuva pisteessä x, katso määritelmä edellä. Lisäksi kuvaus on aina jatkuva erillisessä pisteessä (l 1, l 2 ). Lause Olkoon A R n ja olkoon f A R kuvaus. Kuvaus f on jatkuva pisteessä a A, jos ja vain jos f(x k ) f(a), kaikilla jonoilla (x k ), jolla x k a, x k A. 15

17 Esimerkki Määrää lim (x,y) (1,2) (x2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y). Ratkaisuehdotus: Koska voidaan määritellä f(x, y) = x 2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y ja f on polynomi, niin f on jatkuva kaikkialla. Siis raja-arvo saadaan suoraan sijoituksella lim (x,y) (1,2) (x2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y) = = 11. Esimerkki Olkoon f R 2 { 0 } R, (x, y) x2 y 2 x 2 +y2. Tutki kuvauksen jatkuvuutta. Huomautus. Jatkuvuutta origossa ei voida tutkia, koska f ei ole määritelty origossa! Ratkaisuehdotus: Tutkitaan jatkuvuutta, kun (x, y) (0, 0). Olkoon (x k, y k ) (x, y) ja (x k, y k ) (0, 0). Siis x k x ja y k y, kun k. Siis x 2 k x2 ja y 2 k y2, kun k. Näin ollen x 2 k y2 k x 2 k + y2 k x2 y 2 x 2 + y 2. Siis f(x k, y k ) f(x, y) x 2 = k y2 k x 2 k + x2 y 2 y2 x 2 + y 2 0, kun k. k Siis f on jatkuva pisteissä (x, y) (0, 0). Huomautus Jos määritellään funktio f origossa siten, että f(0, 0) = 0, niin lim f(x, y) = 0 = f(0, 0). (x,y) (0,0) Siis funktio f tulee määritellyksi origossa siten, että f on jatkuva kaikkialla. Huomautus. Jos määritellään f(0, 0) = b 0, niin näin määritelty f ei ole jatkuva origossa. Esimerkki Onko kuvaus f R 2 R x 1 x 2 2, kun (x f(x 1, x 2 ) = x 2 1, x 2 ) (0, 0) 1 +x4 2 0, kun (x 1, x 2 ) = (0, 0) jatkuva? Ratkaisuehdotus: Kuvaus f ei ole jatkuva origossa. Lähestymistie x 1 = kx 2, k 0, antaa 2 kx 4 2 f(x 1, x 2 ) = f(kx 2 2, x 2) = k 2 x x4 2 = k 1 + k

18 x 3 x 2 x 1 Kuva 12: Esimerkin kuvauksen x 3 = f(x 1, x 2 ) = x 1 x2 2 graafi. x 2 1 +x4 2 Esimerkki Olkoon funktio g R 2 R, x x g(x 1, x 2 ) = 1 x 2 1 x2 2 2, kun (x x 2 1, x 2 ) (0, 0) 1 +x4 2 0, kun (x 1, x 2 ) = (0, 0). Funktio g on jatkuva origossa. Lausutaan funktion g arvot napakoordinaateissa (eli x 1 = r cos φ ja x 2 = r sin φ): g(r, φ) = r 2 cos φ sin φ r2 cos 2φ. r 2 ( ) cos 2 φ sin 2 φ = cos 2φ ja sin 2 φ + cos 2 φ = 1. Siis g(r, φ) r2 0, kun r 0. 17

19 3 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskentaa avaruudessa R n 3.1 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista Esimerkki On kehitetty ns. Humindex (temperature humidity index), joka kuvaa lämpötilan ja kosteuden yhteisvaikutusta. Humidex I on koettu ilman lämpötila, kun T = oikea lämpötila ( C) ja H = kosteus eli I = f(t, H). Suhteellinen ilmankosteus % T ( C ) H Taulukko 1: Humidex lämpötilan ja suhteellisen kosteuden funktiona. (Lähde: The Meteorological Service of Canada, James Stewart: Calculus, Early Transcendentals.) Kun H = 60%, niin Humidex iä katsotaan yhden muuttujan eli lämpötilan funktiona [kun siis H:n arvo kiinnitetty]. Merkitään g(t ) = f(t, 60). Silloin g(t ) kertoo, kuinka Humidex kasvaa, kun oikea lämpötila nousee ja suhteellinen kosteus on koko ajan 60%. Funktion g derivaatta, kun T = 30 C on Humidexin (hetkellinen) muutosnopeus lämpötilan suhteen: g g(30 + h) g(30) f(30 + h, 60) f(30, 60) (30) = lim = lim. h 0 h h 0 h Valitaan h = 2 ja tehdään approksimaatio Valitaan h = 2 ja nyt g (30) g (30) g(32) g(30) 2 g(28) g(30) 2 Otetaan keskiarvo, niin voidaan sanoa, että = = f(32, 60) f(30, 60) 2 f(28, 60) f(30, 60) 2 g (30) 1, 75. = = = 2. = 1, 5. Tämä tarkoittaa, että kun todellinen lämpötila on 30 C ja ilman suhteellinen kosteus on 60%, niin koettu lämpötila (Humidex) nousee noin 1, 75 C jokaisella asteella, jonka todelinen lämpötila nousee. Katsotaan sitten vaakariviä, joka vastaa kiinnitettyä todellista lämpötilaa T = 30 C. Luvut G(H) = f(30, H) ovat funktion arvot. 18

20 Funktio G(H) = f(30, H) kuvaa kuinka Humidex kasvaa, kun suhteellinen kosteus kasvaa ja todellinen lämpötila on mittarissa 30 C. Tämän funktion derivaatta, kun H = 60% on indexin I hetkellinen muutosnopeus luvun H suhteen: G G(60 + h) G(60) f(30, 60 + h) f(30, 60) (60) = lim = lim. h 0 h h 0 h Otetaan h = 5 ja h = 5 ja approksimoidaan lukua G (60) taulukon avulla. Saadaan G G(65) G(60) f(30, 65) f(30, 60) (60) = = = 2 = 0, 4 ja G G(55) G(60) f(30, 55) f(30, 60) (60) = = = 1 = 0, Siis G (60) 0, 3. Tämä kertoo, että kun lämpötila mittarissa on 30 C ja suhteellinen kosteus on 60%, niin Humidex nousee noin 0, 3 C jokaista kosteuden prosentin nousua kohden. Olkoon nyt f kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio, f R 2 R, (x, y) f(x, y). Kiinnitetään y, olkoon y = b ja b on vakio, mutta annetaan vain muuttujan x vaihdella. Silloin meillä on yhden muuttujan funktio g(x) = f(x, b). Jos funktiolla g on olemassa derivaatta pisteessä a, niin sitä sanotaan funktion f osittaisderivaataksi muuttujan x suhteen pisteessä (a, b) ja merkitään f x (a, b). Siis Derivaatan määritelmän mukaan g (a) = lim h 0 g(a + h) g(a) h f x (a, b) = g (a), kun g(x) = f(x, b). f(a + h, b) f(a, b), siis f x (a, b) = lim. h 0 h Vastaavasti funktion f osittaisderivaatta muuttujan y suhteen pisteessä (a, b), merkitään f y (a, b), saadaan pitämällä x kiinni siten, että x = a ja etsimällä tavallinen derivaatta pisteessä b funktiolle G(y) = f(a, y). Jos raja-arvo on olemassa, niin f(a, b + h) f(a, b) f y (a, b) = lim. h 0 h Siis esimerkissämme näillä merkinnöillä Humidexin I hetkellinen muutosnopeus lämpötilan suhteen kun T = 30 C ja H = 60% on f T (30, 60) 1, 75 ja Humidexin I muutosnopeus todellisen kosteuden suhteen, kun T = 30 C ja H = 60% on f H (30, 60) 0, 3. Jos nyt annetaan pisteen (a, b) vaihdella, niin f x ja f y tulevat olemaan kahden muuttujan funktioita Kahden muuttujan funktion osittaisderivaattojen määritelmä Jos f on kahden muuttujan funktio, f R 2 R, (x, y) f(x, y), niin sen osittaisderivaatat ovat 19

21 f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h lim h 0 f(x, y + h) f(x, y) h = f x (x, y) = f y (x, y) mikäli raja-arvot ovat olemassa. Merkinnöistä: Jos z = f(x, y) niin seuraavia merkintöjä käytetään (3.1.3) f x (x, y) = f x = f x = z f(x, y) = x x = D 1 f = D f xf = x ja vastaavasti f y (x, y) = 2 f. y = 1 f = x f Esimerkki Olkoon f R 2 R, (x, y) x 3 + x 2 y 3 2y 2. Määrää f x (2, 1) ja f y (2, 1). Ratkaisuehdotus: f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 f y (x, y) = 3x 2 y 2 + 4y f x (2, 1) = 16 f y (2, 1) = 8 Varoitus. Funktion osittaisderivaattojen olemassaolosta pisteessä a ei seuraa funktion jatkuvuutta pisteessä a. Esimerkki Laskuharjoitustehtävä. Jos määritellään g R 2 R, { xy g(x, y) = x 2 +y2, kun(x, y) (0, 0) 0, kun(x, y) = (0, 0). Silloin g x (0, 0) ja g y (0, 0) ovat olemassa, mutta g ei ole jatkuva origossa. Huomautus Nyt h R, x R, y R, e 1 = (1, 0) ja e 2 = (0, 1); e 1 ja e 2 ovat avaruuden R 2 kanonisen kannan kantavektorit. Nyt ( ) ( ) f (x, y) + h(1, 0) f(x, y) f (x, y) + he1 f(x, y) f x (x, y) = lim = lim ; h 0 h h 0 h koska (x, y) + h(1, 0) = (x, y) + he 1 = (x + h, y + 0) = (x + h, y). Vastaavasti ( ) ( ) f (x, y) + h(0, 1) f(x, y) f (x, y) + he2 f(x, y) f y (x, y) = lim = lim ; h 0 h h 0 h koska (x, y) + h(0, 1) = (x, y) + he 2 = (x + 0, y + h) = (x, y + h). Huomautus (Sovelluksista). Osittaisderivaatat esiintyvät myös osittaisdifferentiaaliyhtälöissä, esimerkiksi jotka ilmaisevat tiettyjä fysikaalisia lakeja. Esimerkki Laplacen yhtälö 1 2 u x + 2 u 2 y = 0. 2 Osoita, että funktio u(x, y) = e x sin y toteuttaa Laplacen yhtälön. 1 Pierre Laplace

22 Ratkaisuehdotus: u x = e x sin y u xx = e x sin y u y = e x cos y u yy = e sin y. Siis u xx + u yy = 0. Esimerkki Osoita, että funktio u(x, t) = sin(t at), a > 0, toteuttaa aaltoyhtälön Ratkaisuehdotus: 2 u t = 2 u 2 a2 x. 2 u x = cos(x at) u y = a cos(x at) u xx = sin(x at) u yy = a 2 sin(x at) = a 2 u xx Osittaisderivaatoista jatkoa Olkoon R 2 avoin. Olkoon f R kuvaus, a. Olkoon e 1 = (1, 0) ja e 2 = (0, 1). Voidaan olettaa, että on avoin pallo. Olkoon k = 1, 2 kiinnitetty. Jos raja-arvo f(a + te lim k ) f(a) t 0 t on olemassa, niin raja-arvo on kuvauksen f osittaisderivaatta pisteessä a muuttujan x k suhteen (eli k. muuttujan suhteen) ja sitä merkitään k f(a). Kun k = 1: funktion f osittaisderivaatta pisteessä a ensimmäisen muuttujan suhteen, 1 f(a) = k f(a). Kun k = 2: funktion f osittaisderivaatta pisteessä a toisen muuttujan suhteen, 2 f(a) = k f(a) Osittaisderivaattojen geometrinen tulkinta Joukko {(x, y, z) R 3 z = f(x, y); (x, y) R 2} on funktion graafi ja esittää pintaa S avaruudessa R 3. (Olettaen, että f on siisti.) Jos f(a, b) = c, niin piste P (a, b, c) on pinnalla S. Kun kiinnitämme y = b, niin rajoitamme huomion käyrään C 1, jossa pystysuora taso y = b leikkaa pinnan S. (Siis C 1 on pinnan S jälki tasolla y = b.) Vastaavasti pystysuora taso x = a leikkaa pinnan S käyrällä C 2. Kumpikin käyrä kulkee pisteen P kautta. Käyrä C 1 on funktion g(x) = f(x, b) graafi. Siis tangentin T 1 kulmakerroin pisteessä P on g (a) = f x (a, b). Käyrä C 2 on funktion G(y) = f(a, y) graafi. Siis tangentin T 2 kulmakerroin pisteessä P on G (b) = f y (a, b). 21

23 z P (a, b, c) x y = b x = a Kuva 13: Funktion f graafi ja osittaisderivaatoista. Tasot x = a ja y = b leikkaavat funktion f graafin pisteessä P ( a, b, c = f(a, b) ). Funktion f osittaisderivaatat tässä pisteessä P saadaan laskemalla tasojen ja graafin leikkauskäyrien derivaatat. (Selkeyden vuoksi tasoista on piirretty vain funktion graafin alapuolinen osa.) Siis osittaisderivaatat f x (a, b) ja f y (a, b) voidaan tulkita vastaavien tangenttisuorien kulmakertoimina, jota pisteessä P (a, b, c) ovat tangenttisuorina pinnan S käyrille C 1 ja C 2, tasoissa y = b ja x = a. Kuten Humindex -esimerkissämme näimme, voidaan osittaisderivaatat tulkita edustavan muutosnopeutta. Jos z = f(x, y), niin z x kiinnitetty. Vastaavasti z y. esittää funktion f hetkellistä muutosnopeutta muuttujan x suhteen, kun y on Esimerkki Olkoon f R 2 R, f(x, y) = 4 x 2 2y 2. Etsi f x (1, 1) ja f y (1, 1), sekä tulkitse nämä luvut. Ratkaisuehdotus: y f x (x, y) = 2x f x (1, 1) = 2 f y (x, y) = 4y f y (1, 1) = 4 Funktion f graafi on paraboloidi. Pystysuora taso y = 1 leikkaa sen paraabelilla z = 2 x 2, y = 1 (käyrä C 1 ). Tälle paraabelille pisteessä (1, 1, 1) olevan tangenttisuoran T 1 kulmakerroin on f x (1, 1) = 2. Vastaavasti, käyrä C 2 tasossa x = 1 leikkaa paraboloidin ja C 2 on paraabeli z = 3 2y 2, x = 1. Tälle paraabelille pisteessä (1, 1, 1) olevan tangenttisuoran T 2 kulmakerroin on f y (1, 1) = 4. 22

24 z T 1 T 2 P (1, 1, 1) x y C 2 C 1 Kuva 14: Esimerkkin osittaisderivaattojen tangenttisuorat pisteessä x = 1, y = Korkeammista osittaisderivaatoista Jos f on kahden muuttujan funktio, niin sen osittaisderivaatat f x ja f y ovat myös kahden muuttujan funktioita: ( fx )x = f xx = ( f) x( x) = 2 f x 2 ( fx )y = f xy = ( f) y( x) = 2 f y x missä siis ensin derivoidaan muuttujan x suhteen ja sitten muuttujan y suhteen. Lause (Clairautin lause 2 ). Olkoon f määritelty avoimessa pallossa B. Olkoon (a, b) B. Jos sekä f xy että f yx ovat olemassa ja jatkuvia pallossa B, niin f xy (a, b) = f yx (a, b) Osittaisderivaatoista vektoriavaruudessa R n Olkoon R n avoin ja f R. Kiinnitetään piste a. Koska on avoin, niin on olemassa r > 0 siten, että B n (a, r). Vektorit e 1 = (1, 0, 0,, 0) e 2 = (0, 1, 0,, 0) e k = (0,, 0, 1, 0,, 0) e n = (0, 0,, 0, 1) (jossa e k vektorin k. alkio on 1 ja sen muut alkiot 0) muodostavat avaruuden R n luonnollisen ortonormeeratun kannan. 2 Alexis Clairaut

25 Kiinnitetään k. Jos raja-arvo f(a + he lim k ) f(a) h 0 h on olemassa, niin sitä sanotaan funktion f osittaisderivaataksi muuttujan x k suhteen pisteessä a ja merkitään 3.2 Suunnatuista derivaatoista k f(a) = f x k (a). Jyväskylä +0 C Joensuu +10 C +5 C +15 C Turku +20 C Porvoo Helsinki Kuva 15: Esimerkkin yksinkertaisettu sääkartta lämpötilan tasa-arvokäyrineen (paikkakunnat ovat tasavälisessä lieriöprojektiossa.) Esimerkki Sääkartta näyttää lämpötilafunktion T (x, y) tasa-arvokäyrät, jotka aina yhdistävät paikat, joissa on sama lämpötila. Osittaisderivaatta T x Helsingissä on lämpötilan muutos etäisyyden suhteen, kun menemme Helsingistä itään. Osittaisderivaatta T y on lämpötilan muutos, kun menemme pohjoiseen. Mutta, jos haluamme mennä koilliseen, esimerkiksi Joensuuhun, niin kuinka tiedämme lämpötilan muutosnopeuden etäisyyden suhteen? Tähän tarvitaan suunnattua derivaattaa! Suunnatun derivaatan määritelmä Olkoon R n avoin, f R, x 0 ja olkoon e R n yksikkövektori, s.e. e = 1. Jos raja-arvo f(x lim 0 + te) f(x 0 ) t 0 t on olemassa, niin sitä merkitään e f(x 0 ) R ja raja-arvo on kuvauksen f suunnattu derivaatta pisteessä x 0 suuntaan e. Myös merkitään D e f(x 0 ) = e f(x 0 ). Esimerkki Olkoon f R 2 R, f(x) = x 1 x 2, eli x = (x 1, x 2 ), f(x 1, x 2 ) x 1 x 2 ja e = e ( ) ( ) 1 + e = 2 2, 1 1 =,

26 Määrää e f(1, 1). Ratkaisuehdotus: Koska (1, 1) + te = (1, 1) + t ( ) ( ) 1 1, = 1 + t 1, 1 + t 1, niin lim t 0 ( ) ( ) 1 + t 1 + t t 2 = lim t 0 t 2 + t2 2 t t 0 = 2 = 2 = e f(1, 1) Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio Yksi tärkeimmistä asioista yhden muuttujan reaaliarvoisten funktioiden differentiaalilaskennassa on, että kun zoomaamme derivoituvan funktion graafilla olevaa pistettä, niin graafia ei enää erota selvästi tangenttisuorasta pisteen pienessä ystössä. Toisin sanoen graafi näyttää enemmän ja enemmän suoralta ja voimme approksimoida funktiota lineaarisella funktiolla. Kun nyt zoomaamme kohti pistettä kahden muuttujan funktion graafilla (joka on pinta; oletetaan, että f on siisti), niin pinta näyttää enemmän ja enemmän tasolta (pinnan tangenttitasolta) ja voimme approksimoida funktiota kahden muuttujan lineaarifunktiolla. Laajennamme differentiaalin ideaa reaaliarvoisille vektorifunktioille Tangenttitasoista Olkoon f R 2 R ja olkoon funktiolla f jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat f x ja f y. Funktion graafi { } (x, y, z) R 3 (x, y) R 2, z = f(x, y) on pinta S. Olkoon P = P (x 0, y 0, z 0 ) pinnalla S. Olkoon nyt C 1 ja C 2 käyrät, jotka saadaan leikkaamalla pinta tasolla y = y 0 ja vastaavasti x = x 0. Olkoot T 1 ja vastaavasti T 2 tangenttisuorat käyrälle C 1 ja vastaavasti käyrälle C 2 samassa pisteessä P. Silloin pinnan S tangenttitaso samassa pisteessä P määritellään tasona, joka sisältää sekä tangenttisuoran T 1 että tangenttisuoran T 2. Jos C on mikä tahansa käyrä, joka on pinnalla S ja kulkee pisteen P kautta, niin sen tangenttisuora pisteessä P on myös tällä tangenttitasolla. 25

27 z P ( ) 1 2, 1 2, 3 4 { x } Kuva 16: Pinnalla S = (x, y, z) R 3 z = f(x, y) f R 2 R, (x, y) 1 2 x2 1 2 y2 + 1 ( ) ( ) olevan pisteen P 1 2, 1 2, 3 kautta kulkeva yhtälön antama tangenttitaso T = 4 } {(x, y, z) R 3 z = 12 x 12 y + 34, (x, y) R2. y Siis tämä tangenttitaso sisältää kaikki mahdolliset tangenttisuorat, jotka sivuavat pistettä P kaikille käyrille, jotka ovat pinnalla S ja kulkevat pisteen P kautta. Tangenttitaso pisteessä P on taso, joka tarkimmin approksimoi pintaa S pisteen P pienessä ympäristössä. Mikä tahansa taso, joka kulkee pisteen P (x 0, y 0, z 0 ) kautta on muotoa A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 C 0 A C (x x 0 ) + B C (y y 0 ) + z z 0 = 0 z z 0 = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) ; a = A C, b = B C (3.3.2) Jos tämä yhtälö esittää tangenttitasoa pisteessä P, niin sen leikkaus tason y = y 0 kanssa täytyy olla tangenttisuora T 1 : z z 0 = a(x x 0 ) ; y = y 0. Siis suoran kulmakerroin on tangenttisuoran T 1 kulmakerroin f x (x 0, y 0 ). Siis Vastaavasti, kun x = x 0 saamme z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ). z z 0 = b(y y 0 ), joka esittää tangenttisuoraa T 2 ja b = f y (x 0, y 0 ). Jos funktiolla f on jatkuvat osittaisderivaatat, niin pinnan S tangenttitaso pisteessä P (x 0, y 0, z 0 ) on z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). (3.3.3) 26

28 Huomautus Lyhyesti kirjoitettuna gradienttivektorin avulla. Funktion f R 2 R gradientti pisteessä u 0 määritellään f(u 0 ) = ( 1 f(u 0 ), 2 f(u 0 ) ) kunhan osittaisderivaatat 1 f ja 2 f ovat olemassa. Saadaan z z 0 = f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ). Huomautus Vertaa tangenttisuoran yhtälö pisteessä t 0 ; f R R derivoituva f(t) f(t 0 ) = f (t 0 )(t t 0 ). Esimerkki Etsi tangenttitaso elliptiselle paraboloidille pisteessä (1, 1, 3). Paraboloidin määrää yhtälö z = 2x 2 + y 2. Ratkaisuehdotus: Olkoon f(x, y) = 2x 2 + y 2, f R 2 R. Silloin Silloin f x (x, y) = 4x f y (x, y) = 2y f x (1, 1) = 4 f y (1, 1) = 2 z 3 = 4(x 1) + 2(y 1) z = 4x + 2y 3 Tangenttitason piste (x, y, z) toteuttaa yllä olevan yhtälön. Esimerkistä vielä: esimerkin funktio h(x, y) = 4x + 2y 3 on affiinikuvaus. Funktio h on hyvä approksimaatio funktiolle f(x, y), kun (x, y) on pisteen (1, 1) riittävän pienessä avoimessa palloympäristössä. (1, 1) r (x, y) Kuva 17: Piste (x, y) on pisteen (1, 1) pienessä avoimessa palloympäristössä B 2 ((1, 1), r), r > 0. Funktion f, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat, tangenttitaso pisteessä ( a, b, f(a, b) ) on z = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) eli z = f(a, b) + f(a, b) (x a, y b). Siis affiinikuvaus, jonka graafi on tämä tangenttitaso, on h(x, y) = f(a, b) + f(a, b) (x a, y b). 27

29 3.3.7 Kuvauksen approksimoinnista Olkoon f R 2 R siten, että funktiolla f on olemassa jatkuvat osittaisderivaatat. Kuvausta f approksimoidaan affiinilla kuvauksella h(x, y) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) ( (x, y) (x 0, y 0 ) ) pienessä pisteen (x 0, y 0 ) avoimessa palloympäristössä. Kuvauksen f graafia { (x, y, f(x, y) ) (x, y) R 2, z = f(x, y)} approksimoidaan sen tangenttitasolla pisteen u 0 = (x 0, y 0 ) ympäristössä. Approksimoivan affiinikuvauksen graafi { (x, y, h(x, y) ) R 3 (x, y) R 2, z = h(x, y)} on R 3 -avaruudessa 2-ulotteinen tangenttitaso pinnalla S (oletetaan, että f on siisti), jonka määrää yhtälö z = f(x, y), pisteessä ( x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) ). 3.4 Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä Lineaarikuvauksen määritelmä Kuvaus L R n R p on lineaarinen, jos a) L(x + y) = Lx + Ly b) L(λx) = λl(x) kaikilla x, y R n, λ R. Toisin sanoen L(αx + βy) = αl(x) + βl(y) kaikilla x, y R n ja α, β R Lineaarikuvausta vastaava matriisi Jos vektoriavaruuksien V 1 ja V 2 (dimv 1 = n, dimv 2 = p) kannat on kiinnitetty, niin lineaarikuvausta L V 1 V 2 vastaa yksikäsitteisesti määrätty p n matriisi ja kääntäen Avaruuden R n vektorien esityksestä Usein avaruuden R n vektori x = (x 1, x 2,, x n ) samaistetaan n 1 sarakematriisin tai 1 n matriisin kanssa. x = (x 1, x 2,, x n ) [ x 1 x 2 x n ] x 1 x = (x 1, x 2,, x n ) x 2 x n 28

30 3.4.4 Reaaliarvoista lineaarikuvausta vastaava vektori Reaaliarvoista lineaarikuvausta L R n R vastaa yksikäsitteinen vektori a R n siten, että Lx = a x, x R n. (3.4.5) Kääntäen jokaisella a R( n vastaavuus ) a a x, x R n määrittelee reaaliarvoisen lineaarikuvauksen L R n R siten, että on voimassa. Esimerkki Lineaarikuvausta A R 5 R x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) Ax = x 1 + x 2 x 3 x 4 3x 5 vastaa rivimatriisi [ ] ( 1, 1, 1, 1, 3 ) Affiinikuvauksen määritelmä (reaaliarvoisessa tapauksessa) Yhdistämällä lineaarikuvaus A R n R ja avaruuden R siirto vektorin b R verran, y y + b R R, saadaan affiinikuvaus h R n R, h(x) = Ax + b, x Ax + b. 3.5 Gradientista Gradientin määritelmä Olkoon funktiolla f R, missä on avoin joukko avaruudessa R n, kaikki osittaisderivaatat pisteessä x 0. Funktion f gradientti pisteessä x 0 on f(x 0 ) = gradf(x 0 ) = ( 1 f(x 0 ), 2 f(x 0 ),, n f(x 0 ) ) R n. ε a f R x 0 B n (a, ε) Kuva 18: Funktio f kuvaa pisteen x 0 avoimesta joukosta, joka on tässä avoin pallo B n (a, ε), reaaliluvuksi. Jos funktiolla f on kaikki osittaisderivaatat pisteessä x 0, niin sillä on määritelmän mukaan gradientti pisteessä x 0. 29

31 Esimerkki Olkoon f R 2 R, f(x) = sin(x 1 ) cos(x 2 ). Määrää f(x). Ratkaisuehdotus: Koska siis 1 f(x) = cos(x 1 ) cos(x 2 ) 2 f(x) = sin(x 1 ) ( sin(x 2 ) ) = sin(x 1 ) sin(x 2 ), f(x) = ( cos(x 1 ) cos(x 2 ), sin(x 1 ) sin(x 2 ) ). Esimerkki Olkoon f R n R, f(x) = x 2. Määrää f(x). Ratkaisuehdotus: Olkoon x = (x 1, x 2,, x n ) R n. Silloin x 2 = x x x2 n f(x) = x 2 1 f(x) = 2x 1, 2 f(x) = 2x 2,, n f(x) = 2x n f(x) = ( 2x 1, 2x 2,, 2x n ) = 2(x1, x 2,, x n ) = 2x R n. x 3 x 2 x 1 Kuva 19: Esimerkin funktion f R n R, f(x) = x 2 graafi, kun n = Derivaatasta Derivaatan määritelmä Olkoon R n avoin joukko. Lineaarikuvausta L R n R sanotaan reaaliarvoisen vektorifunktion f R n R derivaataksi pisteessä x 0, jos on voimassa esitys f(x 0 + h) = f(x 0 ) + Lh + h ε(h) kaikille h R n, joille x 0 + h, missä ε(h) 0, kun h 0. Merkitään Df(x 0 ) = L. Yhtäpitävästi f(x lim 0 + h) f(x 0 ) Lh = 0. h 0 h 30

32 r x 0 Kuva 20: Derivaatan määritelmästä: riittävän pienelle r > 0 pätee B n (x 0, r). Huomautus (1): Rajankäynnissä oletetaan, että h 0 ja x + h, eli riittävän pienelle r > 0, pätee B n (x 0, r). Huomautus (2): Määritelmä on hyvin asetettu, sillä derivaattoja voi olla enintään yksi. Jos L 0 L (R n, R) eli L 0 on toinen lineaarikuvaus, joka on myös derivaatta, niin ) L L0 (tu) 0 = lim ( t 0 tu u 0 t Derivaattakuvauksen määritelmä Avoimen joukon R n kuvaus f R on ) L L0 (u) = ( u 1. differentioituva pisteessä x 0, jos sillä on derivaatta Df(x 0 ) pisteessä x differentioituva, jos funktiolla f on derivaatta jokaisessa pisteessä x 0 ; tällöin on derivaattakuvaus. Merkitään myös df = Df. Df L ( R n, R ), x Df(x) Lause Olkoon R n avoin. Olkoon f R differentioituva. Silloin suuntaisderivaatta e f(x) on olemassa jokaisen yksikkövektorin e suuntaan ja Lisäksi, kaikilla u = ( u 1, u 2,, u n ) R n. Df(x)u = e f(x) = Df(x)e. n u i i f(x) = f(x) u i=1 31

33 f on jatkuvasti differentioituva funktion f kaikki 1. osittaisderivaatat ovat olemassa ja ne ovat jatkuvia lause huom f on differentioituva lause huom lause huom f on jatkuva suuntaisderivaatat e f ovat olemassa kaikilla e R n, e = 1 määritelmästä esim osittaisderivaatat i f ovat olemassa kaikilla j = 1, 2,, n Kuva 21: Päämäärä luennolta torstaina Olkoon f B R, B R n on avoin pallo. Riittävä ehto differentioituvuudelle ja differentioituvuuden seurauksia. Numerot viittaavat kunkin tuloksen määritteleviin lauseisiin ja huomaa, että minkään tässä esitettyjen differentioituvuudesta seuraavien ominaisuuksien välillä ei ole (yleisesti) ekvivalenssia (viittaukset vastaesimerkkeihin.) Lause Olkoon R n avoin joukko. a) Pisteessä x 0 differentioituva kuvaus f R on jatkuva tässä pisteessä. b) Differentioituva kuvaus f R on jatkuva. Lauseen todistus. Differentioituvuus pisteessä x 0 tarkoittaa, että f(y) f(x 0 ) = Df(x 0 )(y x 0 ) + y x 0 ε(y x 0 ) kaikille y B n (x 0, r), riittävän pienillä r > 0. Siten kun y x 0 0. f(y) f(x 0 ) Df(x 0 )(y x 0 ) + y x 0 ε(y x 0 ) 0 Huomautus Varoitus! Tulos ei käänny. Esimerkiksi f R n R, x x, origossa. Funktio f on jatkuva origossa, mutta f ei ole differentioituva origossa. Lause Olkoon R n avoin. Olkoon f R differentioituva pisteessä x. Silloin suuntaisderivaatta e f(x) on olemassa jokaisen yksikkövektorin e suuntaan ja Lisäksi e f(x) = Df(x)e. (3.6.7) n Df(x)u = u i i f(x) i=1 = ( 1 f(x), 2 f(x),, n f(x) ) ( ) u 1, u 2,, u n = f(x) u (3.6.8) kaikille u = ( u 1, u 2,, u n ) R n. 32

34 Lauseen todistus. Koska pisteessä x on olemassa derivaatta Df(x), niin kunhan t on kyllin pieni. Kun t 0: f(x + te) f(x) t Siis Erityisesti f(x + te) = f(x) + Df(x)(te) + te ε(te) t 0 = Df(x)e + t t ε(te) t 0 Df(x)e. f(x + te) f(x) e f(x) = lim = Df(x)e. t 0 t i f(x) = Df(x)e i ; e i = (0,, 0, 1, 0,, 0) on i. kantavektori. (3.6.9) Jokaiselle u R n u = u 1 e 1 + u 2 e u n e n, koska joukko { e 1, e 2,, e n } on avaruuden R n kanonisen kannan kantavektoreiden joukko. Siis jokaiselle u R n Df(x)u = Df(x)(u 1 e 1 + u 2 e u n e n ) lin. = u 1 Df(x)e 1 + u 2 Df(x)e u n Df(x)e n = u 1 1 f(x) + u 2 2 f(x) + + u n n f(x) n = u i i f(x) i=1 = ( 1 f(x), 2 f(x),, n f(x) ) ( u 1, u 2,, u n ) = f(x) u. Huomautus Varoitus! Suuntaisderivaattojen olemassaolo ei takaa jatkuvuutta, saati sitten differentioituvuutta. Esimerkki: olkoon f R 2 R, Olkoon e = (a 1, a 2 ) R 2, e = 1. Silloin x 1 x 2 2, kun x 0 f(x) = x 2 1 +x4 2 0, kun x = 0. f(0 + te) f(0) t = f(ta 1, ta 2 ) f(0, 0) t t 3 a 1 a 2 2 = ( ) t 3 a (ta2 2 )2 t 0 = a 1 a 2 2 a t2 a

35 Siis a 2 2, jos a e f(0) = a , jos a 1 = 0. Kuitenkaan f ei ole jatkuva origossa. Jos esimerkiksi x 1 = x 2 0, niin 2 f(x 1, x 2 ) = = f(0). Siis f ei ole differentioituva origossa. Lause Olkoon R n avoin, f R. Oletataan, että funktiolla f on olemassa kaikki osittaisderivaatat jokaisessa pisteessä x 0 osittaisderivaatat ovat jatkuvia koko alueessa. Silloin f on differentioituva koko alueessa. ja Huomautus Lauseeen ehdot eivät ole välttämättömiä! Esimerkki: f R n R ( ) x 2 sin 1, kun x 0 f(x) = x 0, kun x = 0. Silloin f on differentioituva, vaikka mikään sen osittaisderivaatta ei ole jatkuva origossa. (Funktion f derivaatta origossa on 0.) Jatkuvasti differentioituvista kuvauksista Määritelmä. Olkoon R n avoin. Differentioituva kuvaus f R on jatkuvasti differentioituva, jos derivaattakuvaus Df L ( R n, R ), x df(x) on jatkuva. Keskeinen tulos: Olkoon R n avoin. Olkoon f R. Kuvaus f R on jatkuvasti differentioituva, jos ja vain jos sen kaikki osittaisderivaatat ovat olemassa jatkuvina Riittävät ehdot differentioituvuudelle On olemassa tulos, jota emme kuitenkaan todista. Olkoon f R n R. Jos yksi osittaisderivaatta k f(x) on olemassa pisteessä x ja muut osittaisderivaatat j f(x), j = 1, 2,, n, j k, ovat olemassa pallossa B n (x, r), jollekin r > 0, ja jatkuvia pisteessä x, niin f on differentioituva pisteessä x. 34

36 r x 0 Kuva 22: Avoin pallo B n (x, r) R n. Huomautus: Tämän tuloksen ehdot ovat riittäviä, mutta eivät välttämättömiä. Esimerkki: f R n R Funktio f on differentioituva origossa, koska Esimerkki: Kuvaukselle f R n R ( ) x 2 + x 2 x 1 sin 1, kun x x x 2, kun x 1 = 0. 1 f(0) = 0, j f(x) = 2x j, j 2. ( ) x 2 sin 1, kun x 0 x x 0, kun x = 0 osittaisderivaatat ovat olemassa, mutta mikään osittaisderivaatta ei ole jatkuva origossa. Kuitenkin funktio f on differentioituva origossa ja Df(0) = 0. Esimerkki Olkoon f R 2 R f(x) = f(x 1, x 2 ) = { x 1 + x 2, kun x 1 = 0 tai x 2 = 0 1, kun x 1, x 2 0. Osittaisderivaatat 1 f(0), 2 f(0) ovat olemassa. Funktio f ei ole jatkuva origossa: jos esimerkiksi x 1 = x 2 0, niin f(x 1, x 2 ) = 1 0 = f(0, 0). Mutta e f(0) ei ole aina olemassa: Olkoon e = (a 1, a 2 ), a 1 0, a 2 0, e = 1. Silloin jolla ei ole raja-arvoa, kun t 0. f(0 + te) f(0) t = f(ta 1, ta 2 ) f(0, 0) t t 0 = 1 t 35

37 f(x 1, x 2 ) x 2 x 1 Kuva 23: Esimerkin funktion f kuvaaja. (Hyppyä x 1 ja x 2 -akseleille on levennetty selkeyden vuoksi.) 3.7 Derivoimissääntöjä Lause (Summa). Jos f, g R, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x 0, niin on differentioituva pisteessä x 0 ja f + g R D(f + g)(x 0 )h = Df(x 0 )h + Dg(x o )h, h R n, ts. D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 ) + Dg(x 0 ). Lause (Tulo). Jos φ R ja f R, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x 0, niin kuvaus on differentioituva pisteessä x 0 ja φf R, x φ(x)f(x), eli (φf)(x) = φ(x)f(x) D(φf)(x 0 )h = ( Dφ(x 0 )h ) f(x 0 ) + φ(x 0 )Df(x 0 )h, h R n. Korollaari Jos f R, R n avoin, on differentioituva pisteessä x 0, niin λf R, λ R, on differentioituva pisteessä x 0 ja D(λf)(x 0 ) = λdf(x 0 ). Lause (Ketjusääntö). Olkoot R n avoin ja R n avoin. Jos kuvaus f on differentioituva pisteessä x 0 ja kuvaus g R on differentioituva pisteessä f(x 0 ), niin yhdistetty kuvaus g f R on differentioituva pisteessä x 0 ja D(g f)(x 0 )h = Dg ( f(x 0 ) ) Df(x 0 )h, h R n. Lauseiden 3.7.1, ja 3.7.4, sekä korollaarin todistukset ohitetaan. Ne ovat johdettavissa suoraan derivaatan määritelmästä

38 Korollaari Olkoot f R n R ja g R R differentioituvia. Yhdistetyn kuvauksen g f R n R gradientille pisteessä x pätee: eli Korollaarin todistus. (g f)(x) = g ( f(x) ) f(x), x R n (g f)(x) h = g ( f(x) ) f(x) h, x, h R n. (g f)(x) h = D(g f)(x)h = Dg ( f(x) ) Df(x)h = Dg ( f(x) ) f h = g ( f(x) ) f h. Esimerkki Olkoon f R n R, f(x) = x. Tällöin f on differentioituva pisteessä x 0. Nyt f = φ g, missä g R n R, x x 2 ja φ R + R, t t, nimittäin (φ g)(x) = φ ( g(x) ) = x 2 = x. Lisäksi φ (t) = 1 2 t 1 2. Ketjusäännön sovelluksena, kun x 0, Df(x)h = D (φ g) (x)h ( = D φ ( g(x) )) Dg(x)h = φ ( g(x) ) Dg(x)h ( x 2) 12 2x h = 1 2 yllä : g(x) h, on laskettu esimerkissä = x h x Esimerkki Olkoon f R R differentioituva ja g R n { 0 } R, g(x) = f ( x ). Määrää g(x). Ratkaisuehdotus: g = f h, h R n { 0 } R, h(x) = x differentioituva. Siis g(x) v = Dg(x)v = Df ( h(x) ) Dh(x)v = f ( h(x) ) x v x = f ( x ) x v. x g(x) = f ( x ) x x. 37

39 3.8 Ketjusääntö I Lause Olkoon z = f(x, y) differentioituva muuttujien x ja y funktio. Olkoot { x = g(t) y = h(t) derivoituvia muuttujan t funktioita. Silloin z on differentioituva muuttujan t funktio ja dz dt = f dx x dt + f dy y dt. Esimerkki Okoon z = x 2 y + 3xy 4, missä { x = sin(2t) y = cos(t). Etsi dz, kun t = 0. dt Ratkaisuehdotus: dz dt = f dx x dt + f dy y dt = (2xy + 3y 4) ( ) ( 2 cos(2t) + x xy 3) ( ) sin(t). Kun t = 0, niin sin(0) = 0 = x(0) ja cos(0) = 1 = y(0). Siis dz dt t=0 = (0 + 3) ( 2 cos(0) ) + (0 + 0) ( sin(0) ) = 6. Huomautus Esimerkin derivaatta voidaan tulkita funktion z muutosnopeudeksi muuttujan t suhteen, kun (x, y)-piste kulkee käyrällä Γ, jonka parametriesitys on { x = sin(2t) y = cos(t) 38

40 y (0, 1) Γ x Kuva 24: Esimerkin parametrinen käyrä Γ. Jos z = T (x, y) = x 2 y+3xy 4 esittää lämpötilaa pisteessä (x, y), niin yhdistetty kuvaus z = T ( sin(2t), cos(t) ) antaa lämpötilan käyrän Γ pisteissä. Derivaatta dz edustaa muutosnopeutta, millä lämpötila muuttuu pitkin dt käyrää Γ. 3.9 Ketjusääntö II Lause Olkoon z = f(x, y) differentioituva muuttujien x ja y funktio, missä x = g(s, t) ja y = h(s, t) ovat muuttujien s ja t differentioituvat funktiot. Tällöin z s = z x x s + z y y s z t = z x x t + z y y t. z x z z y x s x x t y s y y t s t Kuva 25: Lauseen osittaisderivaattojen ja niiden muuttujien hierarkia. Esimerkki Olkoon z = e x sin(y), missä { x = st 2 y = s 2 t. s t 39

41 Etsi z s. Ratkaisuehdotus: z s = z x x s + z y y s = ( e x sin(y) ) t 2 + ( e x cos(y) ) 2st 3.10 Suunnatun derivaatan maksimointi = t 2 e st2 sin(s 2 t) + 2ste st2 cos(s 2 t). Olkoon f(x, y) R 2 R, (x, y) f(x, y); kahden muuttujan funktio. Tarkastellaan kaikkia mahdollisia suunnattuja derivaattoja annetussa pisteessä. Toisin sanoen otetaan suunnatut derivaatat kaikkiin mahdollisiin suuntiin. Nämä antavat funktion f muutosnopeuden kaikkiin mahdollisiin suuntiin. Luonnolliset kysymykset: Missä näistä suunnista funktion f muutosnopeus on suurin? Mikä on suurin muutosnopeus? Lause Olkoon f R 2 R, (x, y) f(x, y) differentioituva. Suunnatun derivaatan u f(x), u = 1, maksimiarvo on f(x) ja se saadaan, kun vektorin u suunta on sama kuin gradienttivektorin f(x). Lauseen todistus. u f = f u = f u cos(θ), =1 missä θ = ( f, u) vektoreiden f ja u välinen kulma. Funktion θ cos(θ) maksimiarvo on 1 ja se saavutetaan kun θ = 0. Lauseen todistus kurssin tietojen avulla. Olkoon f R 2 R differentioituva. Funktion f suunnattu derivaatta suuntaan h R n, h = 1, pisteessä x 0 on h f(x 0 ) = Df(x 0 )h, mikä ilmaisee funktion f muutosnopeuden suuntaan h. Olkoon f R, R n avoin, differentioituva kuvaus pisteessä x 0 ja f(x 0 ) 0. Silloin gradienttivektori f(x 0 ) osoittaa suuntaan, johon f kasvaa pisteessä x 0 maksimaalisesti ja f(x 0 ) on maksimaalisen kasvun nopeus. Perustelu: Jokaiselle h R n, h = 1 on koska f on differentioituva. Cauchyn-Schwartzin epäyhtälön nojalla h f(x 0 ) = Df(x 0 )h = f(x 0 ) h, f(x 0 ) h f(x 0 ) h = f(x 0 ) =1 40

42 ja toistaalta Edellä huomataan, että h f(x 0 ) = f(x 0 ), jos ja vain jos h = f(x 0) f(x 0 ), ja h f(x 0 ) = f(x 0), jos ja vain jos h = f(x 0 ) f(x 0 ). f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 ) = f(x 0) 2 = f(x 0 ) f(x 0 ), sillä f(x 0 ) 0. Siis f kasvaa maksimaalisesti suuntaan f(x 0 ) vähenee maksimaalisesti suuntaan f(x 0 ) Gradientin geometrinen merkitys Olkoon R 2 avoin ja f R. Oletetaan, että funktiolla f on olemassa kaikki osittaisderivaatat ja ne ovat jatkuvia. Tarkastellaan funktion f tasa-arvojoukkoa f(x, y) = C. a b γ R 2 Kuva 26: Muistutus: polku on jatkuva kuvaus γ [a, b] R 2. Oletetaan, että on olemassa polku γ(t) = ( x(t), y(t) ), missä x, y [a, b] R siten, että f ( x(t), y(t) ) = C. Siis γ kulkee tasa-arvokäyrällä f(x, y) = C. Oletetaan, että x, y C 1 ([a, b]). Tällöin f ( γ(t) ) γ (t) = 0, t [a, b] eli f ( x(t), y(t) ) ( x (t), y (t) ) = 0, t [a, b]. Siis f on kohtisuorassa jokaista tasa-arvokäyrällä kulkevaa C 1 -polkua kohtaan. Perustelu: Tarkastellaan funktiota t (f γ) (t) = f ( x(t), y(t) ). 41

43 R 2 γ f a b h = f γ R Kuva 27: Yhdistetty kuvaus h = f γ [a, b] R, t (f γ) (t) = f ( x(t), y(t) ). Eli funktion f R 2 R arvoja lasketaan kuljettaessa polkua γ [a, b] R 2 pitkin. Koska γ sisältyy tasa-arvojoukkoon, niin Nyt I Ketjusäännön (3.8) nojalla h (t) = (f γ) (t) = 0, t [a, b]. 0 = D (f γ) (t) = d dt = d dt f ( x(t), y(t) ) = f dx x dt + f dy y dt = ( xf, y) = f(x, y) γ(t) ( dx dt, dy dt (f ( γ(t) )) Huomautus Jos f R 2 R, (x, y) f(x, y) ja piste (x 0, y 0 ) R 2. Gradienttivektori f(x 0, y 0 ) antaa funktion f nopeimman kasvun suunnan. Toisaalta gradienttivektori f(x 0, y 0 ) on kohtisuorassa tasa-arvokäyrää f(x, y) = C vastaan. ) 42

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT21003

Vektorianalyysi I MAT21003 Vektorianalyysi I MAT21003 Ritva Hurri-Syrjänen Helsingin yliopisto 3. syyskuuta 2018 Sisältö Luennot syyslukukaudella 2017 3 Esimakua 4 Kertaus 5 1 Euklidinen avaruus 6 1.1 Euklidinen avaruus R n...............................

Lisätiedot

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella. Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018

Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Vektorianalyysi II MAT21020

Vektorianalyysi II MAT21020 Vektorianalyysi II MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ke: :5-:, to: :5-4: Helsingin yliopisto 4. huhtikuuta 8 Sisältö RHS:n luennoista 3 5 Kertausta vektorifunktioista 4 6 Vektorifunktioiden

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

Vastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta)

Vastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta) Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto Vektorianalyysi II (MAT22, syksy 28 Kurssitentti, Ma 7228 (RATKAISUEHDOTUKSET Tentaattori: Ville Tengvall (villetengvall@helsinkifi Vastaa kaikkiin

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

1 Euklidiset avaruudet R n

1 Euklidiset avaruudet R n 1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Matematiikka B1 - TUDI

Matematiikka B1 - TUDI Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin

Lisätiedot

Perusasioita. Vektorianalyysi I. opettajat Ritva Hurri-Syrjänen sairaslomalla Sirkka-Liisa Eriksson B328

Perusasioita. Vektorianalyysi I. opettajat Ritva Hurri-Syrjänen sairaslomalla Sirkka-Liisa Eriksson B328 Vektorianalyysi I opettajat Ritva Hurri-Syrjänen sairaslomalla Sirkka-Liisa Eriksson B328 sirkka-liisa.eriksson@helsinki.fi Perusasioita Kurssissa on loppukoe Harjoituksista saa bonuspisteitä seuraavasti

Lisätiedot

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 1. tammikuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja

Lisätiedot

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3 2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 2. luento 10.11.2017 Keinotekoiset neuroverkot Neuroverkko koostuu syöte- ja ulostulokerroksesta

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

Differentiaalimuodot

Differentiaalimuodot LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +

Lisätiedot

Usean muuttujan differentiaalilaskenta

Usean muuttujan differentiaalilaskenta Usean muuttujan differentiaalilaskenta Taneli Huuskonen 19. syyskuuta 2014 1 Merkintöjä ja käytäntöjä Seuraavassa listassa on lueteltu merkintöjä ja ilmauksia, joiden kohdalla eri teksteissä on erilaisia

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot 2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II. Kari Ylinen

USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II. Kari Ylinen USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II Kari Ylinen 21 Sisältö 1 I Avaruuden R n rakenteesta ja kuvauksista 1 I.1 Avaruuden R n lineaarinen ja metrinen rakenne.......... 1 I.2 Jonon suppeneminen.........................

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset. I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset. I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö kun x, y R. x y x y, Ratkaisu: Tiedetään, että x + ty 2

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon

Lisätiedot

MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018

MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018 MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018 Ville Tengvall Matematiikan ja tilastotieteen osasto Helsingin yliopisto MAT21020 Vektorianalyysi II Syksy 2018 1 Kurssin perustiedot: Opettajat: Ville Tengvall

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot