Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Transkriptio

1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1

2 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan arvoon, mutta jonka vaikutuksesta ei olla kiinnostuneita. Jos kiusatekijä on tuntematon (ja hallitsematon), sen vaikutusta tuloksiin voidaan estää satunnaistuksella. Jos kiusatekijä on tunnettu ja hallittu, sen vaikutus voidaan systemaattisesti estää lohkomalla. Lohkoasetelmat on yleisnimitys koesuunnitelmille, joissa käytetään lohkomista. Tällä kurssilla käsiteltäviä lohkoasetelmia ovat satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma ja latinalaisten neliöiden koeasetelma. Kuusinen/Heliövaara 2

3 Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma Kuusinen/Heliövaara 3

4 Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma (i) Oletetaan, että haluamme tutkia käsittelyn A vaikutusta vastemuuttujaan. Asetelmassa on kuitenkin mukana yksi kiusatekijä B, jonka vaikutus saattaa sekoittua käsittelyn A vaikutukseen. Oletetaan lisäksi, että kokeen mahdollisten kohteiden joukko voidaan lohkoa, eli jakaa homogeenisiin ryhmiin tekijän B tasojen suhteen. (ii) Oletetaan, että käsittelyllä A on I tasoa ja kiusatekijällä B on J tasoa, jolloin havainnot voidaan jakaa I J ryhmään. (iii) Kohdistetaan käsittelyt tutkimuksen kohteisiin satunnaisessa järjestyksessä jokaisessa kiusatekijän B määräämässä lohkossa. (iv) Mitataan vastemuuttujan y arvot. Kuusinen/Heliövaara 4

5 Satunnaistetun täydellisen lohkoasetelman nollahypoteesi Käsittelyiden vaikutusta koskeva nollahypoteesi on muotoa H A : Ei käsittelyvaikutusta Satunnaistetun täydellisen lohkoasetelman analyysi tarkoittaa nollahypoteesin H A testaamista, kun asetelmassa on mukana kiusatekijä B. Kuusinen/Heliövaara 5

6 Lohkoasetelman tilastollinen malli Satunnaistetun täydellisen lohkoasetelman tilastollinen malli voidaan parametroida seuraavasti: y ij = µ + α i + β j + ε ij i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J, jossa jäännöstermit ε ij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita. Mallin parametreja ovat vakiot µ, α i, β j sekä jäännösvarianssi σ 2. Parametrien on toteutettava ehdot: I α i = J β j = 0 i=1 j=1 Kuusinen/Heliövaara 6

7 Käsittelykeskiarvot, lohkokeskiarvot ja kokonaiskeskiarvo Määritellään havaintoarvojen y ij käsittelykeskiarvot: ȳ i = 1 J J j=1 y ij, i = 1, 2,..., I Määritellään havaintoarvojen y ij lohkokeskiarvot: ȳ j = 1 I I i=1 y ij, j = 1, 2,..., J Kaikkien havaintojen kokonaiskeskiarvo on ȳ = 1 IJ I i=1 J j=1 y ij Kuusinen/Heliövaara 7

8 Neliösummia 1/2 Olkoon I J SST = (y ij ȳ ) 2 i=1 j=1 havaintoarvojen y ij kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma, SSA = J I (ȳ i ȳ ) 2 i=1 käsittelyvaikutusta kuvaava neliösumma ja SSB = I J j=1 (ȳ j ȳ ) 2 lohkovaikutusta kuvaava neliösumma. Kuusinen/Heliövaara 8

9 Neliösummia 2/2 Määritellään jäännösneliösumma: SSE = I i=1 J (y ij ȳ i ȳ j + ȳ ) 2 j=1 Neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSA + SSB + SSE ja neliösummien vapausasteet toteuttavat yhtälön IJ 1 = (I 1) + (J 1) + (I 1)(J 1) Kuusinen/Heliövaara 9

10 Testi käsittelyvaikutukselle Määritellään F A -testisuure F A = (I 1)(J 1) I 1 SSA SSE Jos nollahypoteesi H A : Ei käsittelyvaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((I 1), (I 1)(J 1)). Kuusinen/Heliövaara 10

11 Lohkovaikutus Olkoon F B = (I 1)(J 1) J 1 SSB SSE Suureen F B suuret arvot viittaavat siihen, että lohkoihin jako on ollut perusteltua. Koska satunnaistaminen suoritetaan vain lohkojen sisällä, ei testiä lohko-odotusarvojen yhtäsuuruudesta voida perustaa suureeseen F B. Kuusinen/Heliövaara 11

12 Varianssianalyysitaulukko Tulokset on tapana esittää varianssianalyysitaulukon muodossa: Vaihtelun SS df M S F lähde A SSA I 1 MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB J 1 MSB = SSB/df Jäännös SSE (I 1)(J 1) MSE = SSE/df Kokonais SST IJ 1 vaihtelu Kuusinen/Heliövaara 12

13 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin laskutoimitusten suorittaminen Ohjeet tarvittavien laskutoimitusten suorittamiseen löytyvät 8. laskuharjoituksen ratkaisuista sivuilta Kuusinen/Heliövaara 13

14 Latinalaiset neliöt Kuusinen/Heliövaara 14

15 Latinalaisten neliöiden koeasetelma (i) Oletetaan, että haluamme tutkia jonkin käsittelyn vaikutusta vastemuuttujaan y, josta tehtävät havainnot saattavat olla kahden kiusatekijän R ja C suhteen epähomogeenisia. (ii) Oletetaan, että kiinnostuksen kohteena olevalla käsittelyllä sekä kiusatekijöillä R ja C on P tasoa. (iii) Oletetaan, että tutkimuksen kohteet voidaan jakaa kiusatekijöiden R ja C tasojen suhteen P P = P 2 homogeeniseen ryhmään eli lohkoon. (iv) Poimitaan jokaisesta lohkosta satunnaisesti yksi yksilö kokeeseen ja arvotaan käsittelyt ko. yksilöille siten, että kiinnostuksen kohteena olevan käsittelyn tasot muodostavat ns. latinalaisen neliön. (v) Mitataan vastemuuttujan y arvot. Kuusinen/Heliövaara 15

16 Latinalaiset neliöt P P matriisi on latinalainen neliö, jos sen alkioina ovat kirjaimet A, B, C,... (P kpl) ja jokainen kirjain esiintyy täsmälleen kerran matriisin jokaisella rivillä ja sarakkeella. Samankokoisia latinalaisia neliöitä on useita kappaleita. Standardineliöksi kutsutaan latinalaista neliötä, jonka ensimmäisen rivin ja ensimmäisen sarakkeen kirjaimet ovat aakkosjärjestyksessä. Kuusinen/Heliövaara 16

17 Latinalaiset neliöt Esimerkkejä latinalaisista neliöistä, kun P = 2, 3, 4: B A A B A B C B C A C A B A B D C B C A D C D B A D A C B Esimerkkimatriiseista 3 3 matriisi on standardineliö. Kuusinen/Heliövaara 17

18 Satunnaistaminen Latinalaisten neliöiden koeasetelmassa satunnaistaminen voidaan tehdä niin, että kaikkien mahdollisten latinalaisten neliöiden joukosta arvotaan yksi neliö, jonka kirjaimet määräävät kuhunkin yksilöön sovellettavan käsittelyn. Kuusinen/Heliövaara 18

19 Latinalaisten neliöiden koeasetelman tilastollinen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman tilastollinen malli voidaan parametroida seuraavasti: y ijk = µ + α i + β j + τ k + ε ijk i = 1, 2,..., P, j = 1, 2,..., P, k = 1, 2,..., P, jossa jäännöstermit ε ijk ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita. Mallin parametreja ovat vakiot µ, α i, β j, τ k sekä jäännösvarianssi σ 2. Parametrien on toteutettava ehdot: α i = β j = τ k = 0 i=1 j=1 k=1 Kuusinen/Heliövaara 19

20 Rivikeskiarvot, sarakekeskiarvot ja käsittelykeskiarvot Määritellään havaintoarvojen y ijk rivikeskiarvot ȳ i = 1 P y ijk, i = 1,..., P, j=1 k=1 sarakekeskiarvot ȳ j = 1 P y ijk, j = 1,..., P i=1 k=1 sekä käsittelykeskiarvot ȳ k = 1 P y ijk, k = 1,..., P i=1 j=1 Kuusinen/Heliövaara 20

21 Kokonaiskeskiarvo Kaikkien havaintojen kokonaiskeskiarvo on ȳ = 1 P 2 i=1 j=1 k=1 y ijk, missä P 2 on yhdistetyn otoksen havaintojen kokonaislukumäärä. Kuusinen/Heliövaara 21

22 Neliösummia 1/2 Olkoon SST = (y ijk ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 havaintoarvojen y ijk kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma, SSR = P (ȳ i ȳ ) 2 i=1 rivivaikutusta kuvaava neliösumma ja SSC = P j=1 (ȳ j ȳ ) 2 sarakevaikutusta kuvaava neliösumma. Kuusinen/Heliövaara 22

23 Neliösummia 2/2 Määritellään lisäksi käsittelyvaikutusta kuvaava neliösumma SSA = P k=1 (ȳ k ȳ ) 2 sekä jäännösneliösumma SSE = (y ijk ȳ i ȳ j ȳ k + 2ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 Neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSR + SSC + SSA + SSE ja neliösummien vapausasteet toteuttavat yhtälön P 2 1 = (P 1) + (P 1) + (P 1) + (P 2)(P 1) Kuusinen/Heliövaara 23

24 Testi käsittelyvaikutukselle Määritellään F A -testisuure F A = (P 2)(P 1) P 1 SSA SSE Jos nollahypoteesi H A : Ei käsittelyvaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((P 1), (P 2)(P 1)). Kuusinen/Heliövaara 24

25 Rivivaikutus ja sarakevaikutus Olkoon F R = (P 2)(P 1) P 1 SSR SSE Suureen F R suuret arvot viittaavat siihen, että lohkoihin jako rivitekijän suhteen on ollut perusteltua. Olkoon F C = (P 2)(P 1) P 1 SSC SSE Suureen F C suuret arvot viittaavat siihen, että lohkoihin jako saraketekijän suhteen on ollut perusteltua. Ei kuitenkaan ole olemassa testiä, jolla voitaisiin testata lohkomisen merkitystä. Kuusinen/Heliövaara 25

26 Varianssianalyysitaulukko Tulokset on tapana esittää varianssianalyysitaulukon muodossa: Vaihtelun SS df M S F lähde A SSA P 1 MSA = SSA/df F A = MSA/MSE R SSR P 1 MSR = SSR/df C SSC P 1 MSC = SSC/df Jäännös SSE (P 2)(P 1) MSE = SSE/df Kokonais SST P 2 1 vaihtelu Kuusinen/Heliövaara 26

27 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin laskutoimitusten suorittaminen Ohjeet tarvittavien laskutoimitusten suorittamiseen löytyvät 8. laskuharjoituksen ratkaisuista sivulta 37. Kuusinen/Heliövaara 27