(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)
|
|
|
- Pentti Joel Halonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) (mod 9) (b) (mod 2) (c) (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c) Ei, sillä 126 on jaollinen luvulla 3 mutta 46 ei ole. (d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) (d) Ei, sillä 29 = ja 4 = 7+3. (e) Kyllä, sillä molempien lukujen viimeinen numero on 9. (f) Ei, sillä 6 8 on jaollinen luvulla 9 (6 8 = = ) 2. Muodosta renkaan Z 6 yhteen-ja kertolaskutaulukot. Ratkaisu. Yhteen-ja kerolasku taulukot ovat seuraavat: Määrää pienin positiivinen kokonaisluku m siten, että m 7 25 (mod 11). Ratkaisu. Ratkaisutapoja on monia, tässä yksi. Voidaan esittää luku 25 2-järjestelmässä lukuna (11001) 2, sillä 25 = = Käydään läpi luvun 7 parillisia potensseja tarvittava määrä. Koska 7 2 = 49 5 (mod 11) niin tämän avulla , ja Siispä (mod 11). Tehtävässä kysytiin pienintä positiivista kokonaislukua jolla on sama jakojäännös, jaettaessa luvulla 11, kuin luvulla Edellä lasketun nojalla pitää löytää pienin positiivinen kokonaisluku muotoa 11n+10, missä n Z. Kysytty on luku 10.
2 4. Määrää renkaan Z 12 ne alkiot joilla on käänteisalkio, ja ilmoita kunkin käänteisalkio. Ratkaisu. Luennolla esitellyn lauseen nojalla täsmälleen niillä alkiolla n on käänteisalkiot joille syt(12,n) = 1. Tässä niitä ovat 1,5,7,11. Alkion 1 käänteisalkio on aina luku itse. Lisäksi 5 5 = 25 1, 7 7 = 49 1 ja = joten alkioiden 5, 7 ja 11 käänteisalkiot ovat luvut itse. 5. Ratkaise yhtälö 13x 9 renkaassa Z 35. Todistus. Huomataan ensimmäiseksi, että syt(13, 35) = 1 eli alkiolla 13 on käänteisalkio renkaassa Z 35. Olkoon se b. Tällöin kongruenssien laskusäääntöjen nojalla Etsitään b eukleideen algoritmilla: Algoritmin peruuttaminen antaa x = b13x b9. 35 = = = = = 9 2(13 9) = = 3 ( ) 2 13 = Erityisesti eli b Nyt voimme ratkaista annetun yhtälön kuten alussa totesimme eli x b Onko luku (((7 7 ) 7 ) 7 ) 7 +((7 7 ) 7 ) 7 jaollinen luvulla 10? Ratkaisu. Huomataan, että (mod 10) ja (7 7 ) joten (((7 7 ) 7 ) 7 ) 7 7 ja ((7 7 ) 7 ) 7 3. Summaamalla nämä yhteen näemme, että luku (((7 7 ) 7 ) 7 ) 7 +((7 7 ) 7 ) 7 on jaollinen luvulla 10.
3 7. Olet salakuunnellut Kallen ja Tiinan välistä viestittelyä ja pystynyt päättelemään heidän käyttävän RSA-salausmenetelmää julkisella avainparilla N = ja e = 5. Ratkaise näiden avulla purukuavain d, jolla pystyt lukemaan heidän koodaamat viestinsä. Ratkaisu. RSA salauksessa käytetty luku N on kahden alkuluvun p ja q tulo. Tässä N = = Lisäksi salauksessa käytettiin apuna lukua ψ = (73 1)(137 1) = Jos heidän julkisen avaimen toinen pari (koodausavain) e = 5 niin tämä tarkoittaa sitä, että purukuavain on tämän käänteisalkio renkaassa Z Ratkaistaan siis yhtälö 5x 1 kyseisessä renkaaassa. Tämä tapahtuu jälleen eukleideen algoritmilla: Peruutetaan algoritmi, jolloin 9792 = = = = 5 2( ) = Erityisesti ja siten ratkaisu x (Jatkoa..) Eräänä päivänä saat siepattua Tiinan lähettämän koodatun viestin Mitä viestissä sanotaan? (Käytä modululaskennassa apuna vaikka Wolfram Alpha tms. laskentaohjelmaa ja lopuksi muunna saadut numerot kirjaimiksi jotenkin..) Ratkaisu. Edellisessä tehtävässä ratkaisimme purkuavaimen d = Tämän avulla voimme purkaa salauksen laskemalla viestissä esiintyville numerosarjoille (neljän numeron ketju) x x 3917 (mod 10001). Tähän kannatta käyttää apuna esimerkiksi Wolfram Alpha sivustoa minne nämä voi suoraan tuossa muodossa ja se ymmärtää. Jos haluaa käyttää Pythonia apuna niin komento a % b laskee a (mod b), tuo sama toimii myös Sagella (SageMath). Laskemalla nämä läpi kaikille viestissä esiintyville neljän numeron ryppäille saamme numerosarjat (samassa järjestyksessä) Yritetään kääntää tämä kirjaimiksi käyttäen hyväksi seuraavaa muuntotaulukkoa
4 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö Tästä kun hetken miettii vaihtoehtoja niin huomaa, että jos viestissä lukee jotain selkokielistä niin täytyy numerosarjan jakaantua siten, että Tässä lukee siis, että SATAMA KLO Tarkastelemalla tilannetta sopivasti jäännöluokkien avulla näytä, että yhtälöllä x 2 5y 2 = 2 ei ole kokonaislukuratkaisuja. Todistus. Tehdään antiteesi, että tällainen kokonaisluku löytyy. Olkoon se n. Tarkastellaan tilannetta jäännösluokassa Z 5. Tällöin 2 n 2 5n 2 n 2. Erityisesti on siis n 2 2. (Eli kysymys palautuu siihen onko minkään luvun toisen potenssin jakojäännös, jaettaessa luvulla 5, luku 2.) Seuraava taulukko näyttää, että tämä ei ole mahdollista n n joten saimme ristiriidan ja antiteesi on siis väärä. 10. ISSN on jatkuvasti ilmestyvän tekstijulkaisun kansainvälinen tunnus. Sen avulla tietty lehti, sarja tai muu jatkuva julkaisu voidaan yksiselitteisesti erottaa muista, jopa samannimisistä julkaisuista. ISSN koodit koostuvat kahdesta neljän numeron sarjasta d 1 d 2 d 3 d 4 -d 5 d 6 d 7 d 8, missä viimeinen numero d 8 on niin sanottu tarkistusnumero. Tarkistusnumero toteuttaa kongruenssiyhtälön d 8 3d 1 +4d 2 +5d 3 +6d 4 +7d 5 +8d 6 +9d 7 (mod 11). Jos d 8 10 (mod 11) niin merkitään d 8 paikalle kirjain X.
5 (a) Onko koodi validi ISSN koodi? Entä X? Ellei niin korjaa numero validiksi. (b) Riittääkö tarkastusnumero paljastamaan kaikki mahdolliset virheet ISSN koodissa? (ts. määrääkö luku d 8 ISSN koodin yksikäsitteisesti?) Ratkaisu. Koodille saamme = (mod 11), joten tarkastusnumero on oikein ja näin ollen koodi on validi. Koodille X saamme = 68 2 (mod 11), joten tarkastusnumero (X = 10) ei ole oikein ja näin ollen koodi ei ole validi. Sen sijaan koodi on validi. Kohtaa b) varten voi esimerkiksi huomata, että jos numeroihin d 3 ja d 4 lisää ykkösen niin summa 3d 1 +4d 2 +5d 3 +6d 4 +7d 5 +8d 6 +9d 7 kasvaa yhdellätoista ja siten antaa saman tarkistusnumeron. Esimerkiksi koodit ja ovat validit ja niillä on sama tarkistusnumero.
Lukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
a b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Diofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...
Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 5 / vko 41
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 5 / vko 4 Tuntitehtävät 4-42 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 45-46 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 43-44 tarkastetaan loppuviikon
a ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Jaollisuus kymmenjärjestelmässä
Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1)
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
Algebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2
46. Väite: Luku 3 1 704 71 on jaollinen luvulla 71. Todistus: 1704 71 70 4+ 4 70 3+ 31 70 4 4 70 3 31 70 70 3 3 3 1(mod 71), 1(mod 71) 1 3 4 4 1 3 3 31 4 31 (3 ) 3 ( ) 36 40 67(mod 71) Luku 3 1 704 71
Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.
Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero
3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
ja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
Salakirjoitusmenetelmiä
Salakirjoitusmenetelmiä LUKUTEORIA JA LOGIIKKA, MAA 11 Salakirjoitusten historia on tuhansia vuosia pitkä. On ollut tarve lähettää viestejä, joiden sisältö ei asianomaisen mielestä saanut tulla ulkopuolisten
Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Approbatur 3, demo 5, ratkaisut
Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa
Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä
Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Python-ohjelmointi Harjoitus 2
Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)
a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
d Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja
Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
RSA-salakirjoitus. Simo K. Kivelä, Apufunktioita
Simo K. Kivelä, 25.1.2005 RSA-salakirjoitus Ron Rivest, Adi Shamir ja Leonard Adleman esittivät vuonna 1978 salakirjoitusmenettelyn, jossa tietylle henkilölle osoitetut viestit voidaan salakirjoittaa hänen
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018, Harjoitus 2 ratkaisu Harjoituksen aiheena on algoritmien oikeellisuus. Tehtävä 2.1 Kahvipurkkiongelma. Kahvipurkissa P on valkoisia ja mustia kahvipapuja,
= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt
Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt LuK-tutkielma Aku-Petteri Niemi Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Latinalaiset neliöt 3 1.1 Latinalainen neliö.........................
Esko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä
Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden
Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus
! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma
Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,
2 j =
1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).
on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 BCH-, RS- ja Goppa-koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 15 5.1 BCH-koodien määrittely Olkoon jälleen F = F q, syt(n,
ALKULUVUISTA (mod 6)
Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen
LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema,
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author Katja Niemistö Työn nimi / Arbetets titel Title Täydelliset luvut Oppiaine /Läroämne Subject
Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.)
Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.) LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Määritelmä, yhteinen tekijä ja suurin yhteinen tekijä: Annettujen lukujen a ja b yhteinen tekijä
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä
6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Ensimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Ensimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
2. Eukleideen algoritmi
2. Eukleideen algoritmi 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastellaan annettujen lukujen suurimman yhteisen tekijän etsimistä tehokkaalla tavalla. Erinomaisen käyttökelpoinen
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
a b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon