Mat-2.142 Optmontopn semnaar, s-99 28.9. 1999 Semnaarestelmän referaatt Joun Ikonen Lähde: Ross D. Schachter: Evaluatng nfluence dagrams, Operatons Research, Vol 34, No 6, 1986 Eräs Vakutuskaavoden ratkasumenetelmä
Johdanto Päätösongelmen ratkasuun on olemassa useta tapoja. Päätöksenteko ja ongelmanratkasu-kursslla estettn menetelmä ratkasta päätösongelma muodostamalla ensn päätösprosesssta vakutuskaavo, josta nähdään mtkä muuttujat prosessssa vakuttavat mhnkn, muuntamalla sen jälkeen vakutuskaavo päätöspuuks ja ratkasemalla saatu päätöspuu matemaattsest. Tämän jälkeen nähdään eksplsttsest er päätösketjujen tuomat hyödyn odotusarvot, jollon optmaalnen päätösketju vodaan valta. Tonen tapa lähestyä päätösongelmaa on ratkasta se suoraan vakutuskaavosta. Tässä semnaarestelmässä estellään ensn lyhyest päätöspuuhun perustuva ratkasumenetelmä ja kesktytään sen jälkeen erääseen algortmn, jolla vakutuskaavo vodaan ratkasta suoraan. Päätösongelman ratkasu päätöspuun avulla Päätöspuun avulla ratkasun hyvä puol on se, että päätöspuu kuvaa ongelman kattavast. Kakk päätösvahtoehdot, sattumasolmujen mahdollset realsaatot, nden numeroarvot ja todennäkösyysjakaumat näkyvät eksplsttsest päätöspuusta. Tosaalta kattavuudella on myös hattansa, sllä päätöspuu pasuu helpost suureks, jos päätösvahtoehtoja on paljon ja sattumlla on useta realsaatota. Lsäks vakutuskaavon muuntamnen päätöspuuks e onnstu ana suoraan, vaan vakutuskaavota saatetaan joutua ensn muokkaamaan. Edelleen psykologssta systä päätöksentekjän (jolla tarkotetaan tässä asanosasta, ko. ongelman haltjaa, e ss matemaatkkoa, jonka tehtävä on tukea päätöksentekjää) on hankalamp hahmottaa kokonasuus, jos ongelmasta on koko ajan mukana kaks rnnakkasta malla. Päätösongelman ratkasu suoraan vakutuskaavosta Ratkastaessa päätösongelma suoraan vakutuskaavosta e ongelmasta tarvta kun yks mall ja kokonasuuden hahmottamnen on päätöksentekjälle helpompaa. Muta hyvä puola suorassa ratrkasumenetelmässä on herkkyysanalyysn helppous ja penemp tehon ja mustn tarve laskentavaheessa. Huonona puolena vakutuskaavon suorassa ratkasussa on se, että vakutuskaavossa on paljon tetoa plossa. Stä e voda suoraan nähdä er päätösvahtoehtojen määrää, ekä er sattumnen mahdollsa realsaatota, nden numeroarvoja ja todennäkösyysjakauma. Ratkasusta e myöskään nähdä kronologsta optmaalsten päätösten polkua. On huomattava, että lopputulos molemmlla edelläkuvatulla menetelmllä on täysn sama. Molemmat maksmovat hyödyn odotusarvon samon perusten. Lsäks molempa menetelmä käytettäessä tarvtaan täysn samat alkuarvot: sattumen ja päätösten ajallnen rppuvuus, hyötyfunkton rppuvuus satunnasmuuttujsta ja er sattumen ehdollset ja margnaalset todennäkösyysjakaumat.
Se, mtä menetelmää mhnkn ongelmaan sovelletaan, rppuu täysn ongelman luonteesta. Nyrkksääntönä vodaan ptää, että yksnkertaset ongelmat, joden päätöspuut pysyvät selkenä, kannattaa ratkassta päätöspuun avulla, sllä sllon ratkasun kulku näkyy havannollsest. Monmutkasssa ongelmssa kokonasen päätöspuun prtämnen e enää suuren koon vuoks ole mahdollsta, joten sllon on selkeämpää soveltaa vakutuskaavon suoraa ratkasua. Koska tällön e kutenkaan voda eksplsttsest nähdä optmaalsten päätösten polkua, ratkasua on hyvä vsualsoda päätöspuulla ta sen oslla. Molempen menetelmen käyttö rnnakkan on ss järkevää, mkäl se selkyttää prosessn kulkua. Vakutuskaavon formaal määrtelmä Vakutuskaavo vodaan määrtellä formaalst seuraavalla tavalla: Vakutuskaavo on graaf G=(N,A), joka koostuu solmusta N ja kaarsta A. Solmuja on kolmenlasa: arvosolmuja A, sattumasolmuja C ja päätössolmuja D. Pätee: V,C,A N. Arvosolmuja vo vakutuskaavossa olla korkentaan yks. Sattuma- ja päätössolmujen määrää e ole rajotettu (vo olla myös 0). Kaaret vodaan jakaa kahteen osajoukkoon: Mstä tahansa solmusta arvo- ja sattumasomuhn johtavat kaaret ovat ehdollsa (engl. condtonal arcs) ja kuvaavat ko. solmujen välstä stokaststa rppuvuutta, mutta evät akarppuvuutta ta syyseuraussuhdetta. Mstä tahansa solmusta päätössolmuhn johtavat kaaret taas ovat nformatvsa (engl. nformatonal arcs) ja kuvaavat kahden solmun välstä akarppuvuutta. Solmun, josta nuol lähtee, tulos on tedossa jo päätöstä tehtäessä. Vakutuskaavon ratkasualgortmn kannalta kaara paremmat muuttujat ovat ns. edeltäjät (engl. predecessor), jota on myös kahdenlasa. Arvo- ja sattumasolmujen edeltäjät so. ntä edeltävät solmut ovat ana ehdollsa edeltäjä (engl. condtonal predecessors). Nstä tuleva teto e ole akarppuvaa, vaan solmujen välllä on anoastaan stokaststa rppuvuutta. Päätössolmujen edeltäjät ovat puolestaan nformatvsa edeltäjä (engl. nformatonal predecessors) ja nstä tuleva teto kuvaa akarppuvuutta. Jokaseen vakutuskaavon solmuun vodaan lttää muuttuja X, jonka arvojoukko dom(x )=Ω ι. X ja Ω rppuvat solmun tyypstä. Arvosolmulle X on hyödyn odotusarvo ja Ω R el Ω on reaalakseln osajoukko. Sattumasomulle X on sattumasolmun satunnastapahtumaa kuvaava satunnasmuuttuja ja Ω ι on sen realsaatoden joukko. Päätössolmulle X on päätös ja Ω päätösvahtoehtojen joukko. Jokaseen solmuun vodaan edelleen lttää solmun tyypstä rppuva kuvaus. Arvosolmulle kuvaus on hyötyfunkto U, joka esttää saavutetun hyödyn arvosolmun v ehdollsten edeltäjen funktona: U: Ω C(v) Ω v. (1)
Sattumasolmulle kuvaus on todennäkösyysjakauma π. Jos sattumasolmu on stokastsest rppumaton musta sattumsolmusta (el se e ole kaaren vältyksellä yhteydessä muhn sattumasomuhn), sen kuvaus on margnaalnen todennäkösyysjakauma π (x ) = P(X =x ). (2) Jos sattumasolmu taas on yhteydessä muhn sattumasomuhn, sen kuvaus on ehdollnen todennäkösyysjakauma ja rppuu solmun edeltäjstä: π (x x C() ) = P(X =x X C() =x C() ). (3) Päätössolmulle kuvaus on optmaalnen päätös d *, ja se esttää parasta päätöstä käytössä olevalla nformaatolla: d * : Ω I() Ω. (4) Algortm vakutuskaavon ratkasemseen Ehdot ratkasun olemassaololle Jotta vakutuskaavo votasn ratkasta suoraan, tettyjen välttämättömen ehtojen on oltava vomassa: 1) Päätöksentekjötä saa olla van yks, joten vakutuskaavo e sovellu ryhmäpäätöksentekoon. Ryhmäpäätösongelmen ratkasumenetelmät kuuluvat pelteoran kenttään. 2) Vakutuskaavossa saa olla van yks arvosolmu. Tämä e kutenkaan sulje pos monen krteern optmonta samassa tehtävässä. Hyötyfunkto vo olla monattrbuuttnen, el sen arvoon vo vakuttaa useamp krteer. 3) Vakutuskaavossa e saa olla syklejä, el mstään solmusta e saa päästä suunnattua polkua ptkn takssn samaan solmuun ja 4) On oltava vomassa ns. "no forgettng"-omnasuus. Tämä tarkottaa stä, että kutakn päätöstä tehtäessä on eksplsttsest tedossa myös akasempen päätösten hetkellä olleet tedot el akasemmsta päätöksstä ja ko. päätöksä edeltävstä sattumsta on oltava kaaret tehtävään päätökseen. Käytännössä nämä kaaret ovat tsestäänselvä, joten ntä e välttämättä ole prretty alkuperäseen kaavoon. Ne on kutenkn lsättävä, jotta ratkasualgortm toms. Ratkasun kulku Tässä estellyssä vakutuskaavon ratkasualgortmssa kaavota muokataan arvon sälyttävllä muunnokslla (engl. value preservng reducton). Käytännössä tämä tarkottaa solmujen postoa tettyjen sääntöjen mukaan nn nn kauan, kunnes van arvosolmu on jäljellä. Kysesssä postossa optmaalsten päätösten polku ja lopullnen hyötyfunkton odotusarvo evät muutu. Jokasen solmun poston yhteydessä pävtetään hyötyfunkto nn, että postettavan solmun nformaato ssältyy uuteen hyötyfunktoon. Lopulta arvosolmussa on maksmaalnen hyödyn odotusarvo.
Salltut muunnokset tehdään seuraaven vden teoreeman nojalla: Teoreema 1: Sattuma- ta päätössolmu, jolla e ole seuraaja, vodaan postaa. Teoreema 2: Sattumasolmu, jonka anoa seuraaja on arvosolmu, vodaan postaa. Tällön hyötyfunkto U pävtetään seuraavast: U ( = π ). (5) ( xc v) ) U ( xcold ( v) ) ( x xc ( ) x Ω Teoreema 3: Jos päätössolmu on arvosolmun edeltäjä, ja jokanen arvosolmua edeltävä sattumasolmu on myös ko. päätössolmun edeltäjä, päätössolmu vodaan postaa. Tällön U pävtetään seuraavast: U ( xc ( v) C ( v) x Ω Optmaalnen päätös postetun solmun kohdalla on d ) = maxu ( x, x ). (6) * ( xc ( v) C ( v) x Ω ) = arg maxu ( x, x ). (7) Teoreema 4: Sattumasolmujen välnen kaar vodaan kääntää. Tällön molemmat solmut pervät tostensa ehdollset edeltäjät. Teoreema 5: Jos arvosolmulla on edeltäjä, mutta e löydy päätössolmua, joka votasn postaa, löytyy ana kutenkn sellasten kaarmuunnosten sarja, jonka jälkeen päästään postamaan joku sattumasolmu Teoreemen 1-5 perusteella vodaan krjottaa algortm, joka reduso vakutuskaavon van arvosolmuun, joka ssältää hyödyn maksmaalsen odotusarvon. Algortm käy läp kaavon solmuja nn kauan kunnes löytyy sellanen solmu, joka vodaan postaa. Jos tällasta solmua e löydy suoraan, teoreeman 5 nojalla tehdään sellaset kaarmuunnokset, että postettava solmu löytyy. Algortm päättyy kun kakk muut solmut pats arvosolmu on postettu. Herkkyysanalyys Vakutuskaavon suorassa ratkasussa herkkyysanalyys, varsnkn nformaaton arvon laskemnen, on erttän helppoa. Informaaton arvon laskemseks lsätään yksnkertasest kaavoon nuol sattumasolmusta päätössolmuun. Tämä nuol kuvaa ko. päätöksen suhteen täydellstä nformaatota sattumasolmun kuvaamasta tapahtumasta el sattumasolmun realsaaton tuntemsta päätöshetkellä. Epätäydellsen nformaaton tapauksessa ko. sattuma- ja päätössolmujen väln on asetettava ylmääränen sattumasolmu, jonka todennäkösyysjakauma kertoo mllä todennäkösyydellä mtäkn nformaatota saadaan. Muutos hyödyn odotusarvossa, kun ratkastaan estellyllä algortmlla tehtävä ennen nuolen lsäystä ja nuolen lsäyksen jälkeen, kertoo nformaaton arvon. Samalla kertaa
vodaan tutka helpost myös useden nformaatoden kokonasarvoa lsäämällä kaavoon useta nuola. Päätöspuun ratkasuun perustuvassa menetelmässä nformaaton arvon laskemnen on vakeampaa, sllä tällön päätöspuuhun joudutaan lsäämään kokonasa uusa haaroja. Myös muu herkkyysanalyys sujuu sujuvast, vakke nformaaton arvon laskun helppouden lsäks muuta merkttävää etua päätöspuumenetelmään verrattuna saavutetakaan. Täydellsen kontrolln arvo saadaan laskemalla algortmlla erotus hyödyn odotusarvossa, kun sattumasolmu muutetaan päätössolmuks. Stokaststa herkkyyttä vodaan tutka laskemalla algortmlla muutos hyödyn odotusarvossa, kun muunnellaan sattumasolmujen todennäkösyysjakauma ja numeroarvoja ja lsäätään ta vähennetään sattumasolmujen ulostuloja. Yhteenveto Vakutuskaavon suora ratkasemnen on yks menetelmä päätösongelman ratkasuun, mutte ylvomanen muhn verrattuna. Menetelmän hyvä puola on sen selkeys päätöksentekjälle, herkkyysanalalyysn helppous ja se, että monmutkasen ongelman tapauksessa e ole pakko muodostaa suurta päätöspuuta ennenkun tehtävä saadaan laskettua. Käytännössä suoran ratkasun menetelmä on vsualsonnn vuoks järkevää yhdstää päätöspuumenetelmään, sllä päätösprosessn kulkua e suorassa ratkasussa näe eksplsttsest. Tällön vakutuskaavon ossta ja päätösketjusta vodaan tarvttaessa prtää päätösputa, vakka kakk laskenta tehtäsnkn suoralla algortmlla.