Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Transkriptio

1 Mat Optmontopn semnaar K-2000 Montavoteopmont Semnaarestelmän tvstelmä Pentt Säynätjo Tchebycheff-menetelmä ja STEM

2 1. Johdanto Tchebycheff-menetelmä ja STEM ovat vuorovauttesa montavoteoptmontmenetelmä. Molemmssa pyrtään shen, että päätösentejän rool on mahdollsmman helppo el hän saa päätösvahtoehdot tselleen ysnertasessa ja ymmärrettävässä muodossa. Molemmssa menetelmssä päätösentejälle estetään anoastaan Pareto-optmaalsa ratasuja, jota on tuotettu äyttäen panotettua Tchebycheff-metraa. 2. Tchebycheff-menetelmä Vuonna 1983 Steuer ja Choo esttelvät uuden vuorovauttesen montavoteoptmontmenetelmän, Tchebycheff-menetelmän. Menetelmä perustuu Tchebycheff-metran panoerronvetoravaruuden penentämseen. Tchebycheff-menetelmä e äytä arvofuntota ja päätösentejän rool on pyrtty teemään helpos. Tässä estän ohdefuntoden mnmontn tarotetun Tchebycheff-algortmn tomntaperaatteen. Tchebycheff-menetelmä e aseta ratastavalle tehtävälle ovnaan suura oletusa. Anoat oletuset ovat 1) Kohdefuntota pyrtään mnmomaan 2) Kohdefuntot ovat alhaalta rajotettuja äyvässä alueessa S. Menetelmän johtamsessa oletetaan lsäs, että globaal deaalpste ja utopapste tunnetaan ja metrosta vodaan jättää tsesarvomert pos. Metra, jolla mtataan psteden etäsyyttä utopapsteestä on panotettu Tchebycheff-metra. Mnmotava funto on ss { w ( f ( x) )},mssä w W = { w R 0 < w < 1, w }. =1, Κ, = 1 w vo vahdella, joten tämä on oeastaan metraperhe. Tchebycheff-tehtävällä utopapsteen suhteen löydetään a Paretopsteet muuttelemalla panoerronvetora. Ongelmas tulee se, että osa pstestä vo olla heoja Paretopstetä Tämän ongelman ertämses äytetään etäsyyden mnmonnssa lesografsta Tchebycheff-tehtävää, joa määrtellään seuraavast: lex mn = 1, Κ, { w ( f ( x) )}, f ( x) = 1 ( ), ehdolla x S. Allaolevassa uvassa on havannollstettu lesografsen Tchebycheff-tehtävän ratasua ahden ohdefunton tehtävällä. Alus mnmodaan Tchebycheff-metralla mtattua etäsyyttä utopapsteestä äypään alueeseen. Ratasuna saadaan ys ta useampa pstetä. Mäl ratasu on ysästtenen, on ysenen pste Pareto-optmaalnen. Yleensä utenn ratasun ysästtesyys on vaea todeta, joten tonenn mnmont on suortettava. Tosessa mnmonnssa mnmodaan ensmmäsen mnmonnn tuottamen psteden etäsyydet utopapsteeseen L 1 -metran muaan. Tämä mnmont tuottaa Pareto-optmaalsen ratasun. Seuraavat lauseet yhdstävät lesografsen Tchebycheff-tehtävän ja Pareto-optmaalset ratasut Lause 1: Lesografsen Tchebycheff-ongelman ratasu on Pareto-optmaalnen. Lause 2: Oloon x S Pareto-optmaalnen. Tällön on olemassa sellanen panoerronvetor w, 0 < w R, että x on lesografsen Tchebycheff-tehtävän ysästtenen ratasu.

3 2 Z 2. mnmont 1. mnmont 1 Tchebycheff-menetelmässä luodaan erlasa Paretoratasuja muuttelemalla panoerronvetora. Joa teraatolla äytettävää panoerronavaruuden osajouoa penennetään. Tällön samalla rajotutaan yhä penempään osaan Pareto-optmaalsten ratasujen jouosta. Ensmmäsellä teraatolla otetaan otos oo Pareto-optmaalsesta jouosta ratasemalla lesografnen panotettu Tchebycheff-tehtävä jouolla panoertoma jota ovat tasasest jaautuneta oo panoerronavaruuteen. Päätösentejä valtsee nän saadusta Paretoratasusta omasta melestään parhaan ja tätä vastaava panoerronvetor otetaan mustn. Seuraavalla teraatolla otetaan panoerronavaruudesta vetoreta jota ovat esttyneet tämän panoerronvetorn ympärlle. Tätä teronta jatetaan, unnes saavutetaan ratasu. Päätösentejälle estettäven päätösvahtoehtojen luumäärän päättää yleensä päätösentejä. Luumäärä vo muuttua teraatoden välllä. Mtä suuremp määrä vahtoehtoja vodaan ästellä yhdellä teraatolla, stä luotettavamp algortm on. Tosaalta hmnen e yene teemään luotettava päätösä ovn suuresta vahtoehtojouosta joten jonnlanen ompromss tässä suhteessa on tehtävä. Redutoertomella määrätään una paljon panoerronavaruutta penennetään teraatoden välllä. Mtä suuremp erron on stä nopeammn avaruus penenee ja stä vähemmän mahdollsuusa muuttaa meltään esen prosessn päätösentejälle jää. Tchebycheff-menetelmässä on syytä äyttää lasennassa normalsotuja tavotefuntota, osa tällön Paretoavaruudesta saadaan tasapanosn otos. Vahtoehdot annattaa utenn esttää päätösentejälle aluperäsessä, saalaamattomassa muodossa. Menetelmän onvergensssta arvofunton suhteen e vo sanoa mtään varmaa. Tchebycheff-menetelmässä vodaan äyttää metrana myös muta varaatota Tchebycheff-metrasta un lesografsta Tchebycheffä. Tchebycheff-menetelmän etuja ovat, että päätösentejän rool on helppo ymmärtää ja a ratasuvahtoehdot ovat Pareto-optmaalsa. Hattapuola ovat menetelmän vaatma rasas lasenta ja se, että suurssa ongelmssa vahtoehtojen määrä saattaa asvaa päätösentejälle lan suures. Lsäs lasennan aana hylättyä vahtoehtojouoa e saada enää taasn, vaa päätösentejä muuttasn meltään esen prosessn. Lasentaongelmaa helpottaa tosn se, että menetelmän raenne mahdollstaa rnnaaslasennan.

4 3.STEM STEM, jona esttel Benayoun et al. jo 1971 on ys ensmmässtä vuorovauttessta montavoteoptmontmenetelmstä. STEMn vodaan atsoa tyytyvän shen, että löydetään päätösentejää tyydyttävä ratasu eä optmoda taustalla olevaa arvofuntota. Tässä esteltävä menetelmä on tarotettu ohdefunton mnmontn. STEMssä oletetaan, että päätösentejä pystyy saamastaan Paretoratasusta lmottamaan, mtä ohdefuntosta ovat häntä tyydyttävällä tasolla (hyväsyttävä) ja mtä evät (e-hyväsyttävä). Tämän jäleen päätösentejän ptää päättää, mtä hyväsyttäven ohdefuntoden arvoja vodaan suurentaa, jotta e-hyväsyttäven funtoden arvot saadaan hyväsyttävs. STEMssä äytetään panotettua Tchebycheff-tehtävää Paretoratasujen generomseen. Vertalupsteenä äytetään deaalpstettä. STEM olettaa että 1) Kohdefuntota pyrtään mnmomaan 2) Kohdefuntoden arvot ovat rajotettuja äyvässä alueessa S. Metran panoertomen arvojen määrttämsessä äytetään hyväs tetoa ohdefuntoden arvojen vahteluvälestä. Tässä äytetään hyväs rpstettä, joa approsmodaan saantotaulun avulla. Panoerronvetor lasetaan seuraavast: w e e =, = 1, Κ = e 1 = j 1 j ta e,, mssä analyyton valnnan muaan Algortm etenee seuraavast: = [, ] 1) Lasetaan deaalpste, rpste ja panoertomet. Asetetaan h=1.ratastaan panotettu Tchebycheff-tehtävä lasetulla panoertomlla ja mertään ratasua x h :lla ja vastaavaa ohdefuntovetora h :lla. 2) Pyydetään päätösentejää jaamaan ohdefuntoden arvot h :ssa hyväsyttävn (I > ) ja ehyväsyttävn (I < ). Mäl e-hyväsyttävä e ole, mennään ohtaan 4. Muuten pyydetään päätösentejää antamaan helpotetut ylärajat ε hyväsyttävlle funtolle. 3) Ratase seuraava tehtävä, jossa ylärajat otetaan huomoon. mnmo ehdolla f f ( x) [ w ] ( f ( x) ), h < ( x) f ( x ), I, x S I < ε I Mertse ratasua x h+1 :llä ja vastaavaa ohdefuntovetora h+1 :llä. Aseta h=h+1. Palaa ohtaan 2. >

5 4) Lopeta. Ratasu on x h. Alus etstään mnmetäsyys deaalpsteen ja äyvän alueen välllä panotetun Tchebycheffmetran muaan. Saatu ratasu estetään päätösentejälle. Tästä ratasusta päätösentejä määrttää, mtä rteerejä vodaan huonontaa muden parantamses ja una paljon. Nämä helpotuset otetaan huomoon olmannen vaheen optmonttehtävän ensmmäsessä rajotusehtoryhmässä. Tosella ryhmällä estetään se, että jon e-hyväsyttävstä funtosta huonons. Proseduura jatetaan unnes tyydyttävä ratasu löytyy. Mäl päätösentejä e ole tyytyvänen mnään tavotefunton arvoon, prosess täytyy myös lopettaa ja todeta että ratasua e löydy. STEM e oleta päätösenteon taustalla olevan arvofuntota ja vaa arvofunto tedettäsnn, stä e ols apua ysymysn vastaamsessa. Tämän vuos e myösään voda sanoa mtään menetelmän onvergensssta arvofunton suhteen. Kutenn menetelmä löytää ratasun nopeast, mäl helpotuset määrtetään prosessn uluessa sten, että lsähelpotusa e voda tehdä. Päätösentejälle menetelmä on melo helppo ja vahtoehdot ovat seletä. Ongelmas vo utenn muodostua helpotusten suuruuden määrttämnen nn, että e-hyväsyttävät funtot muuttuvat hyväsyttävs. Menetelmä vo myös tuottaa ratasus heon Paretopsteen. 4. Yhteenveto Tchebycheff-menetelmän ja STEMn välllä on jonn verran yhtäläsyysä, vaa ne perustuvatn er deolle. Molemmat äyttävät Tchebycheff-metraa Paretopsteden luomseen ja molemmssa päätösentejän roola on pyrtty helpottamaan. Tchebycheff-menetelmässä päätösentejälle vo ongelmas tulla vahtoehtojen suur määrä, jollon valnnan teemnen on vaeaa. STEMssä taas ongelmana on määrttää sopvansuuruset helpotuset, jolla pyrtään oht hyväsyttävää ratasua. Vtteet: [1] Kasa Mettnen, Nonlnear Multobjectve Optmaton, Kluwer Academc Publshers, Norwell, Massachusetts, 1999.