Luku 6 Jäykän kappaleen lke Tähän mennessä mekankkaa on tarkasteltu lähnnä yksttästen massapsteden näkökulmasta. Okeat mekaanset systeemt muodostuvat kutenkn usen äärellsen kokossta kappalesta, joden er osn ulkoset vomat vakuttavat er tavon. Tarkastellaan tässä luvussa nk. jäykkä kappaleta. Jäykällä kappaleella ymmärretään sellasta massapsteden kokoelmaa, jossa massapsteden etäsyydet r r j ovat vakota kaklla, j. Jäykkä kappale on dealsaato, sllä vomavakutus etenee kappaleessa kyseselle aneelle omnasella äänennopeudella. Esmerkks, kun naapurs kommunko kanssas takoen senää nyrkllään, nn skun vakutus etenee senän läp senän äänaaltona, ss senän massapsteden vähäsenä värähtelynä tasapanoasemansa ympärllä, ja aheuttaa lopulta äänaallon lmaan senän tosella puolella. Jäykkä kappale on kutenkn hyvä approksmaato sllon, kun kappaleen osasten nopeudet ovat paljon penempä kun vuorovakutusten etenemsnopeudet kappaleessa. Selvästkn ongelma tulee erttän suurlla nopeukslla, jollon etäsyydet väärstyvät suhteellsuusteoran ennustusten mukasest. 6.1 Koordnaatston valnta Käytetään tässä luvussa samoja koordnaatstomerkntöjä x 3 y 3 kun edellsessä (Kuva 6.1). P Ss nertaalkoordnaatstoa r = r+ R y merktään {x}:llä ja kappaleen r r B massakeskpsteeseen (CM) R knntettyä, mahdollsest enertaalsta koordnaatstoa x y 1 {y}:llä. Jäykän kappaleen massapsteden pakat tunnetaan, kun tedetään sen massakeskpsteen pakka R {x}:ssä sekä x 1 Kuva 6.1. Jäykkä kappale. kappaleen orentaato, mtä varten tarvtaan kolme kulmaa. Edellsessä luvussa saatn tulos (5.11) ( ) ( ) ( ) dr dr dr = + + ω r. dt dt dt x x 96 y
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 97 Nyt B:n melvaltanen pste P pysyy pakallaan koordnaatstossa {y} el (ṙ) y = 0, joten ( ) ( ) dr dr = + ω r, (6.1) dt x dt x mssä ω on koordnaatston {y} (ja samalla kappaleen B) kulmanopeus koordnaatstossa {x}. Tulos e rpu B:n massakeskpsteen valnnasta koordnaatston {y} orgoks. Se van on käytännössä vsas valnta. 6. Htaustensor Lähdetään stten muodostamaan käyttökelposta Lagrangen funktota kappaleelle B. Oletetaan, että B muodostuu dskreetestä massapstestä. Tämän pstejoukon kneettnen energa {x}:ssä on T = 1 ( ) dr m, (6.) dt mssä summa on yl kakken knteän kappaleen muodostaven massapsteden. Käyttäen tulosta (6.1) saadaan T = 1 ( ) dr m dt + ω r. (6.3) Tässä r :t ss vttaavat massapsteden pakkohn {y}:ssä. Avataan nopeuden nelö, jollon T = 1 ( ) dr m + dr m dt dt (ω r) + 1 m (ω r ). (6.4) Ṙ ja ω ovat samat kaklle B:n osaslle. Merktään kokonasmassaa M = m ja krjotetaan T :n lausekkeen ensmmänen term muotoon 1 m Ṙ = 1 MṘ. (6.5) T :n lausekkeen tonen term vodaan puolestaan krjottaa seuraavast m Ṙ (ω r ) = m r (Ṙ ω) = (Ṙ ω) m r. (6.6) Koska orgona on CM, m r = 0, joten koko term on nolla. Krjotetaan velä vmenen term muotoon 1 m (ω r ) = 1 m (ω r (ω r ) ). (6.7) Kneettnen energa on sten saatu muotoon T = 1 MṘ + 1 m (ω r (ω r ) ). (6.8)
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 98 Lausekkeen ensmmänen term kuvaa CM:n lkkeeseen lttyvää kneettstä energaa ja jälkmmänen pyörmslkkeeseen lttyvää energaa. Merktään pyörmsestä aheutuvaa kneettstä energaa T rot ja tarkastellaan tätä lähemmn. Krjotetaan T rot komponenttmuodossa ( T rot = 1 3 3 3 3 ) m ωj yk ω j y j ω k y k. (6.9) j=1 k=1 Lausekkeen merkntätapa yksnkertastuu jonkn verran, kun jätetään hukkaset numerova ndeks pos ja otetaan käyttöön nk. Enstenn summaussääntö, jonka mukaan tostetun koordnaatta merktsevän ndeksn yl summataan automaattsest, esm. ω 3 ω = =1 j=1 3 ω ω ; ω y =1 k=1 3 ω y (Summasäännön käyttämstä kannattaa treenata ja ana on syytä olla huolellnen sen kanssa, tarkottaako jossan yhteydessä tostettu ndeks todella summausta va e.) Krjotetaan stten T rot :n käyttäen summasääntöä ja Kroneckern symbola δ k muotoon =1 T rot = 1 m[(ω )(y j ) (ω y )(ω k y k )] = 1 m(ω ω k δ k )(yj ) ω ω k y y k = 1 ω ω k m(y j δ k y y k ), (6.10),k mssä jälkmmäsessä lausekkeessa summat :n ja k:n yl on krjotettu näkyvn selkeyden vuoks. Merktään ssempää, massapsteden yl otettua summaa I k = m(y j δ k y y k ). Tämä kaks-ndeksnen suure on matemaattsena olona tosen kertaluvun tensor ja stä kutsutaan htaustensorks (nertaaltensorks). Tensorn komponentt koordnaatstossa {y} ovat I 11 I 1 I 13 (I k ) = I 1 I I 3 (6.11) I 31 I 3 I 33 m(y + y3 ) my 1 y my 1 y 3 = my y 1 m(y 3 + y 1 ) my y 3 my 3 y 1 my 3 y m(y 1 + y ) Huom. dagonaallla olevat komponentt ovat (summaussääntö!) I 11 = m(y j y 1) = m(y 1 y 1 +y y +y 3 y 3 y 1 y 1 ) = m(y y +y 3 y 3 ) ja vastaavast I ja I 33. Merktään htaustensora symbollla I. Sen määrtelmästä näkee suoraan, että sen fyskaalnen dmenso on massa kertaa pnta-ala ([ I ] = ML ) ja että I on symmetrnen I k = I k..
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 99 Tarkasteltavan kappaleen kneettnen energa vodaan nyt krjottaa muodossa T = 1 MṘ + 1 I k ω ω k Lagrangen funktoks tulee sten mssä U = U (R + r ).,k = 1 MṘ + 1 ω I ω. (6.1) L = 1 MṘ + 1 ω I ω U, (6.13) Mkäl mkään sdosehto e rajota kappaleen vapausasteden määrää, on Lagrangen funkton muuttujna kuus koordnaatta. Ne ovat CM:n kolme pakkakoordnaatta (R) ja vektorn r asennon koordnaatstossa {x} antavat kolme kulmaa. Näden lsäks L:n muuttujna ovat tetenkn vastaavat kuus nopeuskomponentta. Yllä on otettu käyttöön merkntä 1 I k ω ω k = 1 ω I ω.,k Tässä on ss kyseessä operaato: vektor pstetulo tensor pstetulo vektor. Kun otetaan tensorn ja vektorn välnen pstetulo, saadaan vektor. Tämän vo ajatella nn, että pstetulossa summataan yhden ndeksn yl ja jäljelle jää yks-deksnen otus el vektor. Esmerkks (ω I) j = ω I j = a j ja samon (I ω) j = I j ω = ω I j = ω I j = a j, mssä on käytetty hyväks I:n symmetrsyyttä. Kun otetaan saadun vektorn pstetulo tosen vektorn kanssa ja summataan jäljellä olevan ndeksn yl, saadaan lopputuloksena skalaar: ω I ω = (ω I) ω = a j ω j. Merktään kulmanopeusvektorn suuntaa n:llä el ω = ωn, jollon mssä skalaara T rot = 1 ω I ω = ω n I n = 1 Iω, (6.14) I = n I n = m (r (r n) ) (6.15) kutsutaan kappaleen htausmomentks pyörmsakseln suhteen. Tensort avan kuten vektortkn ovat matemaattsa olota, jotka evät tsessään rpu koordnaatstosta. Samon kun vektor vodaan esttää komponenttensa avulla annetussa koordnaatstossa nn myös n:n kertaluvun tensor vodaan esttää n:n kertaluvun matrsna. Htaustensorn I kertaluku on kaks, joten sllä on kaavassa (6.11) annettu kaksulottenen matrsestys (I k ) koordnaatstossa {y} (emme käytä edellsessä luvussa käytettyä kaunokrjotus-i:tä kuvaamaan htaustensora vastaavaa matrsa, ette tule sekaannusta ykskkömatrsn kanssa). Htaustensorn matrsestyksen dagonaalkomponentteja kutsutaan htausmomenteks ja e-dagonaalsa komponentteja htaustuloks. Htaustensor vodaan laskea kappaleen kakken osasten htaustensoren summana, kunhan nämä van on laskettu koko kappaleen CM:n
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 100 suhteen. Myös tämä perustelee koordnaatston keskpsteen sjottamsen nmenomaan CM:ään. Edellä oleva lasku on havannollsuuden vuoks suortettu ajattelemalla knteä kappale kootuks suuresta joukosta massapstetä. Todellsuudessa on usemmten käytännöllsempää ajatella jäykkä kappale jatkuvast jakautuneena aneena. Ilmastaan kappaleen theysjakautuma koordnaatossa {y} jatkuvana funktona ρ(r) ja jaetaan kappaleen tlavuus alkoks dv. Tällön htausmomentn komponentt ovat I k = ρ(r)(yj δ k y y k ) dv. (6.16) V Tässä ss edellä ollut ndeksomaton summaus on korvattu tlavuusntegronnlla. Koska htaustensorn komponentt ovat reaalset ja tensor tse symmetrnen, tensor (ta sen matrsestys) vodaan dagonalsoda sopvalla koordnaatston kerrolla. Nän htaustensor saa muodon (I k ) = I 1 0 0 0 I 0 0 0 I 3. (6.17) Nyt tetenkn dagonaalelementt (htausmomentt) I vovat olla hyvnkn monmutkasa lausekketa rppuen kappaleen lketlasta. Kneettsen energan pyörmsestä johtuva osa vodaan tämän perusteella krjottaa T rot = 1 (I 1ω 1 + I ω + I 3 ω 3), (6.18) mssä ω:n komponentt on annettu koordnaatstossa, jossa (I k ) on dagonaalnen. Tätä koordnaatstoa kutsutaan (I k ):n pääakselkoordnaatstoks ja (I k ):n komponentteja I j päähtausmomenteks. Jos kakk päähtausmomentt ovat yhtäsuura I 1 = I = I 3, kutsutaan jäykkää kappaletta pallohyrräks. Homogeensen pallon päähtausmomentt keskpsteessä olevan orgon suhteen ovat samat valttnpa pääakselt kunka tahansa. Jos kaks päähtausmomentta ovat yhtäsuuret, esm. I 1 = I I 3, kutsutaan hyrrää symmetrseks. Yleensä uuden ongelman tullessa esn kannattaa mettä, onko tarkasteltavassa tlanteessa symmetrota, jota vos käyttää hyväks. Htaustensorn komponentten laskemsessa on arvatenkn suureks eduks, jos vo etukäteen päätellä, mtkä ovat pääakselen suunnat. Oletetaan, että tarkasteltava kappale on theydeltään homogeennen (epähomogeenset kappaleet aheuttavat kakenlasa ongelma, esm. epärehellnen pelur panotettune arpanoppneen). Jos kappaleella on selvä symmetra-aksel, sjatsevat sekä CM että yks pääakselesta kysesellä suoralla. Jos tätä aksela vastaan löytyy velä kohtsuora symmetrataso, sjatsevat CM ja loput kaks pääaksela tällä tasolla. Esmerkknä tällasesta tlanteesta on kaksulottenen taso, jolla kakk kappaleen muodostavat hukkaset sjatsevat. Valtaan koordnaatt y 1 ja y tästä tasosta, jollon (HT) I 1 = my ; I = my 1 ; I 3 = m(y 1 + y ). (6.19)
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 101 Nyt selvästkn I 1 + I = I 3. Käytännön ongelmssa tlanne on yleensä nn pän, että pyrtään rakentamaan jokn late, jonka tuls olla sopvast symmetrnen. Esmerkks pyörvän avaruusaluksen ptäs pyörä annetun symmetra-akseln ympär, mutta alus koostuu joukosta erlasa komponentteja, jotka ovat jakautuneet epätasasest rakenteen er osn. Autonomstajlle tuttu ongelma on huonost tasapanotettu rengas, joka tärsee ajettaessa. Edellä estetyssä formalsmssa tämä tarkottaa stä, että pyörmsaksel e kulje pyörän CM:n kautta. Nässä tlantessa latteeseen lsätään panoja sopvn pakkohn nn, että CM (el tarkastelun orgo) srtyy pääaksellle. Merktään tarvttavaa srrosta vektorlla a ja srretään koordnaatstoa ptäen koordnaattakselen suunnat vakona (yhdensuuntassrto) r = a + r, mssä r on mtattu CM:stä. Lasketaan stten htausmomentt psteen a suhteen (I a ) k = m(r δ k r r k ) = m[(a + r ) δ k (a + r )(a k + r k )] = m[a + a r + r )δ k a a k r a k a r k r r k ] = m(a δ k a a k ) + m(r δ k r r k ) + + m(a r δ k r a k a r k ) = I k + M(a δ k a a k ), (6.0) mssä ss a :t ovat a:n komponentt alkuperäsessä koordnaatstossa {y}. Tätä tulosta kutsutaan Stenern säännöks. Määrtellään lopuks tosen asteen pnta yhtälöllä r I r = 1. (6.1) Käyttäen hyväsk htaustensorn symmetrsyyttä tämä vodaan krjotta muotoon I 11 y 1 + I y + I 33 y 3 + I 1 y 1 y + I 13 y 1 y 3 + I 3 y y 3 = 1. (6.) Pääakselkoordaatstossa pnnan yhtälö on y 1 I 1 1 + y I 1 + y 3 I 1 3 = 1. (6.3) Tämä kuvaa ellpsoda, jota kutsutaan kappaleen htausellpsodks. Sen akselt ovat tarkasteltavan kappaleen pääakselt. Jos kahden er kappaleen htausellpsodt ovat samat, ovat kappaleet hyrrälkkeen kannalta ekvvalentt. Esmerkks samanmassaset homogeenset pallot ja kuutot ovat tässä melessä ekvvalentteja ja kuuto ss pallohyrrä. 6.3 Hyrrän lke 6.3.1 Hyrrän lkemäärämomentt Kappaleen pyörmseen lttyy tetenkn lkemäärämomentt, jonka suuruus rppuu valtusta referensspsteestä. Tarkastellaan tässä pyörvän
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 10 hyrrän lkemäärämomentta sen CM:n suhteen koordnaatstossa {x} Nopeus on puolestaan ṙ = ω r, joten L = mr ṙ. (6.4) L = mr (ω r) = m(r ω r(r ω)). (6.5) Krjotetaan tämä velä komponenttmuodossa koordnaatstossa {y} (käyttäen summasääntöä) L = m((y j )ω y (y k ω k )) = ω k m((y j )δ k y y k ) mkä on vektormuodossa krjotettuna = I k ω k, (6.6) L = I ω. (6.7) Jos {y}-koordnaatsto on pääakselkoordnaatsto, nn lkemäärämomentn komponentt ovat L 1 = I 1 ω 1 ; L = I ω ; L 3 = I 3 ω 3. Tämän vo tetyst krjottaa muodossa L = I ω, mutta tässä e tostetun ndeksn yl tetenkään summata! Pallohyrrän tapauksessa I 1 = I = I 3 I, joten L = Iω (6.8) el lkemäärämomentt on ω:n suuntanen. Epäsymmetrsen kappaleen tapauksessa L ja ω ovat yleensä ersuuntaset pats tapauksessa, mssä pyörmnen tapahtuu jonkn pääakseln ympär. Esmerkk: Vapaan hyrrän prekesso y 1 L θ ω pr θ ω y 3 Kuva 6.. Vapaa hyrrä. Jos hyrrään e vakuta mkään ulkonen voma, sen lkemäärämomentt epälemättä sälyy. Tarkastellaan tästä esmerkknä vapaata symmetrstä hyrrää, jonka symmetra-aksel on y 3 ja jolle I 1 = I I 3. Oletetaan, että hyrrän CM on levossa nertaalkoordnaatstossa {x} (Kuva 6.). Nyt y -aksel vodaan valta vapaast ja tehdään se jollan melvaltasella hetkellä sten, että aksel on kohtsuorassa vakovektorn L ja hyrrän symmetra-akseln y 3 sen hetksen suunnan vrttämää tasoa vastaan. Nyt tetenkn L = 0. Koska hyrrällä on kutenkn htausmomentt
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 103 kakken pääakselen suuhteen el I 0, täytyy olla ω = 0. Koska tämä on vomassa melvaltasella ajanhetkellä, ω on ja pysyy L:n ja y 3 :n vrttämässä tasossa. Nän ss jokasen y 3 -aksellla olevan hukkasen nopeus ṙ = ω r on jatkuvast kohtsuorassa kysestä tasoa vastaan, ja ss myös vektora L vastaan. Tämä tarkottaa stä, että hyrrän y 3 -aksel kertää tasasella kulmanopeudella L:n suunnan ympär. Tätä lkettä kutsutaan prekessoks. Prekesson kulmanopeuden ω pr laskemseks merktään L:n ja y 3 - akseln välstä kulmaa θ:lla. Koska L 3 = I 3 ω 3, nn ω 3 = L 3 /I 3 = l cos θ/i 3. Tämä on ss hyrrän kulmanopeus oman akselnsa ympär. Jaetaan stten ω L:n ja y 3 :n suuntasn komponettehn, jollon ω pr on L:n suuntanen komponentt (Kuva 6.). Selvästkn ss ω 1 = ω pr sn θ ja tosaalta ω 1 = L 1 /I 1 = l sn θ/i 1, joten ω pr = l/i 1. (Huom. Nässä lausekkessa on jälleen krjotettu L = l.) Ylläolevassa tarkastelussa e tetenkään ole meltä, jos L on alunpern symmetra-akseln suuntanen. Tällön hyrrä pysyy koko ajan samassa asennossa ekä ss prekesso. 6.3. Hyrrän lkeyhtälöt Hyrrällä on kuus vapausastetta, joten tarvtaan joko kuus skalaarsta ta kaks (kolmulottesta) vektormuotosta lkeyhtälöä. Kolmeen pakkamuuttujaan lttyy jotenkn lkemäärä ja kolmeen kulmamuuttujaan lttyy puolestaan lkemäärämomentt. Pakkamuuttujen osalta asa on yksnkertanen. Jokanen jäykän kappaleen massapste noudattaa tetenkn Newtonn lkeyhtälöä, jossa vakuttavna vomna ovat van ulkoset vomat. Jäykän kappaleen muodostavat sdosvomat summautuvat nollks Newtonn kolmannen lan perusteella. Olkoon p kappaleen yksttäsen massapsteen lkemäärä ja f shen mahdollsest vakuttava voma. Tällön on ss vomassa dp/dt = f. Koko kappaleen lkemäärä on puolestaan P = p = MṘ. Laskemalla puolttan yhteen kakken massapsteden Newtonn lkeyhtälöt saadaan Ṗ = F = f. (6.9) Kulmamuuttujen osalta lähdetään lkkeelle L:n lkeyhtälöstä, joka on {x}-koordnaatstossa dl dt = d dt (r p) = r ṗ = r f N, (6.30) mssä on käytetty hyväks dentteettä ṙ p = 0, koska vektort ovat samansuuntaset. N on tetenkn luvusta 1 tuttu vääntömomentt. Ss hyrrän lkemäärämomentt sälyy, jos mkään ulkonen voma e väännä stä.
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 104 Momentt rppuvat ana referensspsteen valnnasta. Jos {x}:n orgoa srretään vektorn a verran, nn tarkasteltavan kappaleen pakkavektort muuttuvat kuten Vomen momentten summaks tulee r = r a + a. (6.31) N = r f = r a f + a f = N a + a F. (6.3) Tuloksesta näkee, että jos ulkosten vomen summa F on nolla, nn N e rpu referensspsteestä. Myös ulkosten vomen summautuessa nollaks vo olla N 0. Tällön sanotaan, että kappaleeseen vakuttaa vomapar. Srrytään stten nertaalkoordnaatosta {x} hyrrään knntettyyn koordnaatstoon {y}. Edellsessa luvussa johdettn dervaattaoperaattor d = d + ω dt x dt y sekä tämän seuraus, jonka mukaan ω on sama koordnaatstosta rppumatta. Valtaan {y}:ks pääakselkoordnaatsto (semmonenhan on ana olemasssa, vakka se saattaakn olla työlästä löytää). Nnpä lkemäärämomentn dervaatta muuntuu kuten dl dt = dl + ω L. x dt y Lkeyhtälöks komponenttmuodossa tulee ss dl 1 dt + (ω L) 1 = N 1 dl dt + (ω L) = N (6.33) dl 3 dt + (ω L) 3 = N 3. Rsttulot ovat muotoa (ω L) 1 = ω L 3 ω 3 L = ω ω 3 I 3 ω 3 ω I = ω ω 3 (I 3 I ) ja vastaavast mulle komponentelle. Tässä yhteydessä matemaattnen estys yksnkertastuu käyttämällä permutaatosymbola ɛ jk (kertaa tämä MAPU:n kursslta). ɛ jk määrtellään sten, että sen arvo on nolla, jos ndeksestä kaks ta useamp ovat samoja, +1, jos jk on lukujen 1,,3 parllnen permutaato, ja 1, jos jk on lukujen 1,,3 parton permutaato. Nyt esmerkks rsttulo A = B C vodaan krjottaa muodossa A = ɛ jk B j C k, mssä oletetaan summaus tostetun ndeksn yl. Tämän avulla ylläolevan lkeyhtälön komponentt ovat dl dt + ɛ jkω j L k = N. (6.34) Pääakselkoordnaatstossa htausmomentt I evät muutu ajan funktona, joten koordnaatstossa {y} L = I ω (e summausta :n yl!). Tämän avulla lkeyhtälöryhmä saa muodon I dω dt + ɛ jkω j ω k I k = N, (6.35)
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 105 mkä krjotettuna auk kaklle komponentelle on I 1 ω 1 ω ω 3 (I I 3 ) = N 1 I ω ω 3 ω 1 (I 3 I 1 ) = N (6.36) I 3 ω 3 ω 1 ω (I 1 I ) = N 3. Jälleen on muuten saatu akaseks yhtälöryhmä, jota kutsutaa Eulern yhtälöks! Tässä on mustettava, että yhtälössä olevat suureet on annettava koordnaatstossa {y}. Vapaa hyrrä jälleen Oletetaan hyrrä vapaaks (N = 0) ja symmetrseks I 1 = I I 3. Lkeyhtälön 3-komponentt antaa suoraan I 3 ω 3 = 0 ω 3 = vako. Lkeyhtälön 1- ja -komponentt antavat yhtälöparn ω 1 = ω ω 3 I I 3 I 1 Kerätään vakotekjät yhdeks symbolks Nän päästään yhtälöparn ω = ω 3 ω 1 I 3 I 1 I 1. (6.37) Ω ω 3 (I 3 I 1 )/I 1 = ω 3 (I I 3 )/I 1. ω 1 = Ωω ω = Ωω 1. (6.38) Tämäkn yhtälö on näppärää ratkasta tekemällä stä yks komplekstason yhtälö krjottamalla ω 1 + ω = z, jollon dz dt = Ωz. (6.39) Tämän ratkasu on tetenkn muotoa z = Ae (Ωt+δ). Valtsemalla ajan nollakohta sopvaks saadaan kulmanopeudet mssä A = ω ω 3 on vako. ω 1 = A cos(ωt) ω = A sn(ωt), (6.40) Tulos tarkottaa stä, että kulmanopeuden projekto symmetra-aksela vastaan kohtsuoralle tasolle pyör kulmanopeudella Ω ja projekton ptuus A pysyy vakona. ω-vektor pyör hyrrän y 3 -akseln ympär pysyen ptuudeltaan vakona. Krjotetaan stten L pääakselkoordnaatstossa {y}: L 1 = I 1 ω 1 ; L = I 1 ω ; L 3 = I 3 ω 3 L = I 1 ω + (I 3 I 1 )ω 3 e 3 (6.41) Huomataan het, että L on ω:n ja symmetra-akseln määräämässä tasossa; ss myös L pyör symmetra-akseln ympär kulmanopeudella Ω
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 106 sälyttäen ptuutensa. Koska I 1 I 3, vektort L ja ω ovat kutenkn ersuuntaset. Lenee helppo vakuuttautua stä, että tarkasteltaessa tlannetta nertaalkoordnaatstossa symmetra-aksel ja kulmanopeusvektor kertävät samassa tasossa vakona pysyvää lkemäärämomenttvektora, kuten jo edellä osotettn. Maapalloa vo ensmmäsessä approksmaatossa tarkastella vapaana pyörjänä, sllä muden tavaankappaleden aheuttamat vääntömomentt ovat hyvn penä. Maapallo on hyvn symmetrnen pyörmsakselnsa suhteen, mutta heman ltstynyt ptkn aksela. Htausmomentelle on mtattu suhde I 3 I 1 I 1 = 0.00307, jonka perusteella prekesson kulmanopeudeks tulee Ω = ω 3 306. Tämän ennustaa prekessoperodks on non 10 kuukautta. Tämän ptäs näkyä maapallon pnnalla oleven psteden näennäsen lattudn srtymsenä tällä perodlla. Tarkkojen mttausten perusteella lkkeen ampltudks on saatu non 10 m, mutta lke on paljon epäsäännöllsempää (horjuvampaa) kun ylläoleva analyys antaa olettaa. Horjunnan akasarja-analyys antaa vahvmmaks perodks 40 vuorokautta. Tämä ero johtuu luultavast stä, että maapallo e ole avan knteä kappale. 6.4 Eulern kulmat Kuten edellä on jo todettu, jäykän kappaleen kuvalemseks tarvtaan kuus rppumatona koordnaatta nertaalkoordnaatstossa {x}. Kolmeks nstä on vsasta valta CM:n pakkavektorn komponentt, mutta kappaleen asento vodaan esttää monella er tavalla. Tutustutaan tässä nk. Eulern kulmn. Sjotetaan jälleen molempen koordnaatstojen {x} ja {y} orgot samaan psteeseen (O). Tasojen (x 1, x ) ja (y 1, y ) lekkausvvaa kutsutaan solmuvvaks (vrt. rataelementt luvussa ). Merktään Eulern kulma symbolella θ, ϕ, ψ: θ on y 3 :n ja x 3 :n välnen kulma [0, π], ϕ on x 1 :n ja solmuvvan välnen kulma [0, π], ψ on y 1 :n ja solmuvvan välnen kulma [0, π]. Kannattaa ehdottomast prtää kuva anakn kertaalleen tse! Malla vot kutenkn ottaa vakkapa kuvasta 6.3. Nyt on tavotteena lmasta melvaltanen {x}:ssä määrtelty vektor x Eulern kulmen avulla y 1 y y 3 = R x 1 x x 3, (6.4)
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 107 mssä matrs R kuvaa koordnaatstojen välstä kertoa. Tehtävänä on ss määrttää R. Tehdään se ensn raakaa vomaa käyttäen kolmena kertona x 1 ξ ξ y x R(x 3 ) 1 (ϕ) η R(ξ) (θ) η R(ρ ) (ψ) y, x 3 ρ ρ y 3 mssä muunnos R (x 3) (ϕ) tarkottaa kulman ϕ kertoa akseln x 3 suhteen jne. Lopullnen muunnosmatrs on näden kertomatrsen matrstulo R(ϕ, θ, ψ) = R (ρ ) (ψ) R (ξ) (θ) R (x 3) (ϕ) (6.43) el vektor y saadaan laskemalla y = R (ρ ) (ψ) R (ξ) (θ) R (x 3) (ϕ) x = R(ϕ, θ, ψ) x. (6.44) Kerrosta R (ρ ) (ψ) ja R (x3) (ϕ) tapahtuvat tarkasteltavan koordnaatston kolmannen akseln suhteen ja R (ξ) (θ) tosen akseln suhteen. Kertomatrst ovat ss R (x3) (ϕ) = R (ξ) (θ) = R (ρ ) (ψ) = Kertomalla nämä keskenään saadaan cos ϕ sn ϕ 0 sn ϕ cos ϕ 0 0 0 1 1 0 0 0 cos θ sn θ 0 sn θ cos θ cos ψ sn ψ 0 sn ψ cos ψ 0 0 0 1 (6.45) (6.46) (6.47) R(ϕ, θ, ψ) = (6.48) ( cos ψ cos ϕ cos θ sn ϕ sn ψ ) cos ψ sn ϕ + cos θ cos ϕ sn ψ sn θ sn ψ sn ψ cos ϕ cos θ sn ϕ cos ψ sn ψ sn ϕ + cos θ cos ϕ cos ψ sn θ cos ψ sn θ sn ϕ sn θ cos ϕ cos θ Tarkastellaan stten kulmanopeusmatrsa 0 ω 3 ω Ω = ω 3 0 ω 1. ω ω 1 0 Olemme jo aemmn johtaneet tuloksen Ω = T T T, kun krjotettn x = T y. Nyt T = R T, joten Ω = R Ṙ T. (6.49) Tästä vodaan poma suoraan kulmanopeuden ω komponentt ω 1, ω, ω 3. Jos kutenkaan e halua nähdä ylläolevan laskun vavaa, kulmanopeuden vo päätellä myös edellä olleen kehotuksen mukasest prrettyä kuvaa tarkastelemalla. Kulmanopeuksen määrttämseks tulee mustaa, että kulmanopeusvektor kolmessa ulottuvuudessa on kohtsuorassa stä tasoa vastaa, jossa kulma mtataan. Nän ollen
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 108 θ on solmuvvan suuntanen ja sen komponentt koordnaatstossa {y} ovat θ 1 = θ cos ψ, θ = θ sn ψ, θ3 = 0, ϕ on x 3 -akseln suuntanen ja sen komponentt y 3 -akseln suunnassa on ϕ 3 = ϕ cos θ ja (y 1, y )-tasolla ϕ (y1,y ) = ϕ sn θ, joka jaettuna y 1 - ja y -akselelle on ϕ 1 = ϕ sn θ sn ψ, ϕ = ϕ sn θ cos ψ ψ:lla on projekto anoastaan y 3 -aksellla. Kulmanopeus ω on lopulta komponenttmuodossa ω 1 = ϕ sn θ sn ψ + θ cos ψ ω = ϕ sn θ cos ψ θ sn ψ (6.50) ω 3 = ϕ cos θ + ψ. Tämän tuloksen avulla on helppo laskea esmerkks jakson 6.3.1 lopussa löydetty symmetrsen vapaan hyrrän prekesso (HT). Lagrangen hyrrä Vähän monmutkasempana ja hyödyllsempänä esmerkknä Eulern kulmen käytöstä ratkastaan nk. Lagrangen hyrrän lke (Kuva 6.3). y 3 CM x 1 x 3 θ O ϕ Kuva 6.3. Lagrangen hyrrä. y ψ N y 1 x Kyseessä on gravtaatokentässä pyörvä massvnen symmetrnen hyrrä, jonka yks symmetra-aksellla oleva pste on knntetty. Tällassta pyörvstä kappalesta on monenlasa käytännön esmerkkejä pkkulasten leluhyrrstä teknologsssa sovellutuksssa käytettävn gyroskooppehn. Esmerkks suuret lentokoneet evät enää ptkään akaan ole käyttäneet magneettsa kompasseja vaan nopeast pyörvn kappalesn perustuva gyrokompasseja. Gyrojen suunta asetetaan tarkast okeaks lentokentällä ja lkemäärämomentn sälymslan perusteella ne sälyttävät suuntansa lennon akana. Koska hyrrän yks pste on knntetty avaruudessa, tämä sdosehto ve mennessään kolme vapausastetta ja hyrrän lke määräytyy täydellsest kolmen kulman avulla ja nks kulmks kelpaavat edellä estetyt Eulern kulmat. Valtaan knteäks psteeks hyrrän symmetra-akseln tonen pää. Olkoon se koordnaatston {x} x 1 x -tasossa ja tämä taso olkoon puolestaan kohtsuorassa gravtaatokhtyvyyttä vastaan. Teoreetkon hyrrän kyseessä ollen kärjen ja pyörmstason välllä e ole ktkaa.
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 109 Hyrrän päähtausmomentt CM:n suhteen ovat I 1, I, I 3. Päähtausmomentt I1 0, I0, I0 3 knntyspsteen suhteen saadaan Stenern säännön avulla I 0 1 = I 1 + mh I 0 = I + mh (6.51) I 0 3 = I 3, mssä h on hyrrän CM:n etäsyys knntyspsteestä. Hyrrän Lagrangen funktoks tulee (älä sekota tässä Lagrangen funkton symbola lkemäärämomenttn!) L = 1 (I0 1ω 1 + I 0 ω + I 0 3ω 3) mgh cos θ, (6.5) mssä kulma θ on määrtelty kuten edellä, ss nyt hyrrän symmetraakseln y 3 ja akseln x 3 välsenä kulmana. Krjotetaan kulmanopeuden komponentt Eulern kulmen avulla ja käytetään hyrrän symmetrsyyden seurausta I1 0 = I0. Tällön Lagrangen funkto saa muodon L = 1 I0 1( θ + ϕ sn θ) + 1 I 3( ψ + ϕ cos θ) mgh cos θ. (6.53) Nyt kulmat ψ ja ϕ ovat syklsä (kertaa asa jaksosta 3.9), joten nhn lttyvät kanonsten mpulssen komponentt p ψ = L/ ψ ja p ϕ = L/ ϕ ovat sälyvä suureta el lkevakota: p ψ = L ψ = I 3( ψ + ϕ cos θ) = I 3 ω 3 = L 3 (6.54) p ϕ = L ϕ = (I0 1 sn θ + I 3 cos θ) ϕ + I 3 ψ cos θ = L x3. Ss hyrrän lkemäärämomentt L hyrrän omassa koordnaatstossa on tetenkn lkevako. Lsäks p ϕ el lkemäärämomentn projekto aksellle x 3 on sekn lkevako. Koska systeem on konservatvnen, myös kokonasenerga on lkevako E = T rot + U = 1 I0 1( θ + ϕ sn θ) + 1 I 3( ψ + ϕ cos θ) + mgh cos θ. (6.55) Lkevakoden avulla päästään vhdon ntegromaan lkeyhtälötä. Kanonsten mpulssen komponentten yhtälöstä saadaan kulmanopeudet ϕ = L x 3 L 3 cos θ I 0 1 sn θ ψ = L 3 cos θ L x 3 L 3 cos θ I 3 I1 0. (6.56) sn θ Sjotetaan nämä energayhtälöön, jollon saadaan yhtälö θ:lle. Tämä on separotuva tavallnen ensmmäsen kertaluvun dfferentaalyhtälö, joka
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 110 on suoravvanen ntegrotava. Oletetaan alkuarvoks t = t 0 :lla, että hyrrän kallstuskulma on θ = θ 0. Integraalks tulee t t 0 = θ θ 0 dθ (E L 3 mgh cos θ) (L x 3 L 3 cos θ) I 3 sn θ) I 0 1 (I 0 1. (6.57) Tässä kannattaa tehdä muuttujanvahdos u = cos θ, jollon du = sn θdθ ja sn θ = 1 u. Integraalsta tulee t t 0 = (6.58) u du. I 0 1 u 0 I 0 1(1 u )(E L 3 I 3 mghu) (L x3 L 3 u) Tuloksena on jälleen Weerstrassn ellptsenä ntegraalna tunnettu ntegraal, jonka juurlausekkeessa on tällä kertaa u:n kolmannen asteen polynom. Selalemalla ntegraaltaulukota (HT: Tee se!) optaan, että tällanen ongelma palaa Weerstrassn γ-funkton laskemseen. Tämä on jälleen mustutus stä, että matemaattsen fyskan omtuslta näyttävät erkosfunktot ovat tseasassa kenoja krjottaa erlassta fyskaalssta ongelmsta nouseven dfferentaalyhtälöden ratkasuja kästeltävssä muodossa. Fyskan matemaattsten menetelmen kursslla nämä funktot saattavat tuntua elävän omaa elämäänsä, mutta kyseessä on kutenkn enssjasest tarve kehttää menetelmä tällasten usen hankalen ratkasujen omnasuuksen tarkasteluun. Olemme ss anakn peraatteessa ratkasseet Lagrangen hyrrän ongelman. Hyrrän omnasuudet (kokonasenerga ja lkemäärämomentt) antavat lähtötedot E, L 3, L x3, jonka lsäks Eulern kulmlla on jotkn alkuarvot. Tämän jälkeen saadaan kaavan (6.58) avulla lasketuks (anakn numeersest) hyrrän pääakseln kulma θ = θ(t) akseln x 3 suhteen. Tämän jälkeen saadaan loput kulmat ntegroduks yhtälöstä (6.56). Nän ss ongelma on saatu redusoduks kolmen lkevakon avulla kolmeks (todella työlääks) ntegraalks. Kokemuksen myötä fyyskko kutenkn (tovottavast) opp päättelemään tarkasteltaven systeemen fyskkaa syöttämättä sunpän kaavojaan Matlabn ta Mathematcaan. Tässä tapauksessa ntegraaln t = t(θ) nmttäjän juurlausekkeella R = I 0 (1 u )(E L 3 I 3 mghu) (L x3 L 3 u) on kaks juurta välllä 1 < u < +1 ja yks juur u > 1. Vmemanttu on epäfyskaalnen koska u = cos θ. Juurten kohdalla kulmanopeus θ = 0, joten hyrrän symmetra-akseln suunta helahtelee nätä juura vastaaven kulmen välssä. Ss symmetra-aksel e sunkaan osota yhteen suuntaan, jollon hyrrä kaatus samanten! Aksel e myöskään välttämättä kerrä x 3 -aksela vakokulmassa vaan tekee nk. nutaatolkettä. Nutaatoon vo tutustua tarkastelemalla hyrrän vapaan pään lkettä pallon pnnalla, jonka keskpste on hyrrän knteä pste (tässä tapauksessa hyrrän tonen pää). Vapaa pää lkkuu pallolla edelläolleen yhtälön
LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 111 reaalsa juura vastaaven leveyspren θ 1 ja θ välssä. Pallon pnnalle syntyvän käyrän muoto on summa prekessosta ja nutaatosta ja rppuu suhteesta L x3 /L 3. Hyrrän kärk vo edetä monotonsest koordnaatston {x} longtudkulman suhteen ta prtää slmukkaa ta syklodn kaltasta kuvota (Kuva 6.4). θ θ θ θ 1 θ 1 θ 1 Kuva 6.4. Nutaatolke. Kevättasauspsteen prekesso Kuten jo aemmn todettn maapallo e ole avan pyöreä ja sen pyörmsaksel on lsäks 3 7 kulmassa ratatason normaaln suhteen. Tämän vuoks lähellä olevat kappaleet aheuttavat penen vääntömomentn maapallon lkeyhtälöön el maapallo e ole avan vapaa hyrrä. Nyt vodaan osottaa (katso esm. Goldstenn oppkrjasta), että vääntömomentt aheuttaa prekessonopeuden ϕ, jonka suhde ratakulmanopeuteen ω 0 on ϕ = 3 ω 0 I 3 I 1 cos θ. ω 0 ω 3 I 3 Tämä on tosn hyvn pen efekt. Aurngon aheuttama vääntömomentt aheuttaa prekesson, joka on yks kerros non 81 00 vuodessa. Vakkakn Kuu on paljon penemp, se on paljon lähempänä ja vääntää Maan pyörmsaksela yhden kerroksen puolta lyhyemmässä ajassa. Näden yhtesvakutus on non 50.45 vuodessa el täys kerros 6 000 vuodessa. Lsäks Kuun rata on non 5 kulmassa eklptkaan nähden, mstä aheutuu pen nutaato, joka on non 9 kulman θ suhteen ja 18 kulman ϕ suhteen.