Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti"

Tero Parviainen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi alla olevan kuvan mukaisessa systeemissä kulmanopeus ω on kulman θ muutos ajan funktiona ja kulmakiihtyvyys α kulmanopeuden muutos ajan funktiona. v O θ ineaarisen nopeuden ja kulmanopeuden välinen yhteys on v = ω ineaarisen kiihtyvyyden ja kulmakiihtyvyyden välinen yhteys on a = α Kulmanopeuden suunta on merkitty alla olevaan kuvaan: ω v

2 Kulmaliikkeen yhtälöt ovat analogisia lineaarisen liikkeen yhtälöille: θ = θ + ω t αt2 ω = ω + αt Nämä samat yhtälöt käyvät myös kappaleen pyörimisliikkeelle. Hitausmomentti Jos jäykkä kappale pyörii kiinteän akselin ympäri, kaikki sen osaset liikkuvat ympyrärataa pitkin samalla kulmanopeudella. Tarkastellaan yhtä pientä massaelementtiä m i, jonka kohtisuora etäisyys pyörimisakselista on r i. Jos koko kappaleen kulmanopeus on ω, massaelementin m i nopeus on v i = ωr i. auseketta I A = m i r i 2 i kutsutaan hitausmomentiksi ja se vastaa etenevän liikkeen massaa pyörimisliikkeen dynamiikassa. Edellä käsittelimme jäykkää kappaletta monesta pienestä osasesta koostuvana. Jos ajattelemme jäykkää kappaletta jatkuvaksi massajakaumaksi, voidaan kappale paloitella äärettömän pieniin osasiin, joiden massa on dm. Nyt hitausmomentti saadaan integroimalla: I = r 2 dm missä r on osasen kohtisuora etäisyys rotaatioakselista.

3 Esimerkki 1.1: aske ympyrärenkaan (säde, massa M) hitausmomentti renkaan keskipisteen kautta kulkevan ja renkaan tasoa vastaan kohtisuoran akselin suhteen. atkaisu: Otetaan ympyrärenkaasta hyvin lyhyt palanen, jonka pituus on ds. ds O Tämän pienen pistemäisen palasen hitausmomentti(alkio) on di = dm 2 dm on pienen pituusalkion massa ja sen suuruus saadaan, kun se kerrotaan koko renkaan massalla ja jaetaan koko renkaan pituudella: dm = ds M 2π di = dm2 = ds M 2π 2 Ainut muuttuja tässä lausekkeessa on s. Sen integroimisrajat ovat 2π Integroidaan: I = 2π M 2π 2 ds 2π = M 2π 2 / s = M 2

4 Esimerkki 1.2: aske ympyrälevyn (säde, massa M) hitausmomentti ympyrän keskipisteen kautta kulkevan ja ympyrän tasoa vastaan kohtisuoran akselin suhteen. atkaisu: Otetaan ympyrälevystä hyvin ohut ympyrärengas, jonka säde on r leveys säteen suunnassa dr. r O Edellisen esimerkin mukaan tämän ympyrärenkaan hitausmomentti on di = dmr 2 dm saadaan, kun ympyrärenkaan pinta-ala 2πrdr kerrotaan koko ympyrän massalla ja jaetaan koko ympyrän pinta-alalla: dm = 2πrdr M 2Mr3 di = π2 2 dr Ainut muuttuja tässä lausekkeessa on r. Sen integroimisrajat ovat Integroidaan: I = 2Mr3 dr 2 = 2M r / 4 = 2M4 = M2

5 Esimerkki 1.3: aske umpinaisen pallon (säde, massa M) hitausmomentti pallon keskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen. atkaisu: Otetaan pallosta ohut ympyrälevy, jonka säde on r ja korkeus dy. Asetetaan se y:n etäisyydelle pallon keskipisteestä. r y O Ohuen ympyrälevyn hitausmomentti(alkio) on edellisen esimerkin mukaan di = 1 2 dmr2 dm saadaan, kun ympyrälevyn tilavuus πr 2 dy kerrotaan koko pallon massalla ja jaetaan koko pallon tilavuudella: dm = πr 2 dy M di = π3 2 dmr2 = 3Mr4 8 3 dy Tässä lausekkeessa on kaksi muuttujaa, r ja y. Pythagoraan lauseen avulla saadaan toinen muuttuja häviämään: r = 2 y 2 Sijoitetaan tämä di:n lausekkeeseen ja integroidaan y:n suhteen. Integroimisrajat ovat +.

6 I = 3M( 2 y 2 ) dy = 3M(2 y 2 ) dy = 3M(4 2 2 y 2 + y 4 ) 8 3 dy = 3M 8 3 ( y 2 + y 4 ) dy = 3M 8 3 / ( 4 y 2 2 y3 3 + y5 5 ) = 3M [ ] = 3M 4 [ ] = 24M2 6 = 2M2 5 Esimerkki 1.4: aske ohuen sauvan (pituus, massa M) hitausmomentti sauvan pään kautta kulkevan ja sauvaa vastaan kohtisuoran akselin suhteen. atkaisu: Otetaan sauvasta hyvin lyhyt pätkä, jonka pituus on dx. Asetetaan se x:n etäisyydelle sauvan päästä ja akselista. O dx x Tämän pienen pistemäisen palasen hitausmomentti(alkio) on di = dmx 2 dm on pienen pituusalkion massa ja sen suuruus saadaan, kun se kerrotaan koko sauvan massalla ja jaetaan koko sauvan pituudella: dm = dx M di = dmx2 = Mx2 Ainut muuttuja tässä lausekkeessa on x. Sen integroimisrajat ovat Integroidaan: I = Mx2 dx Mx = / 3 = M2 3 3 dx

7 Esimerkki 1.5: aske ohuen sauvan (pituus, massa M) hitausmomentti sauvan massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen. atkaisu: Yhdensuuntaisten akseleiden teoreema (Steinerin sääntö) I C = I A Ml 2 ja I A = I C + Ml 2 Eli sanallisessa muodossa: Jos tiedetään kappaleen hitausmomentti I C massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen, saadaan hitausmomentti minkä tahansa edellä mainitun akselin kanssa yhdensuuntaisen akselin suhteen I A lisäämällä hitausmomenttiin I C termi Ml 2, missä M on kappaleen koko massa ja l uuden akselin etäisyys massakeksipisteen kautta kulkevasta akselista. askimme edellä sauvan hitausmomentin sauvan pään kautta kulkevan akselin suhteen. Se on I A = M2 3 Massakeskipisteen etäisyys sauvan päästä on /2. Edellä esitettyä hyväksi käyttäen saamme hitausmomentin massakeskipisteen suhteen. I C = I A Ml 2 = M2 3 M2 4 = M2 12

8 Esimerkki 1.6: aske ympyrälevyn (säde, massa M) hitausmomentti ympyrän kehän kautta kulkevan ja ympyrän tasoa vastaan kohtisuoran akselin suhteen. atkaisu: askimme edellä ympyrälevyn hitausmomentin ympyrän keskipisteen kautta kulkevan ja ympyrän tasoa vastaan kohtisuoran akselin suhteen. Tämä uusi akseli on nyt samansuuntainen edellisen akselin kanssa ja etäisyydellä siitä. C A Massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen hitausmomentiksi saatiin 1 2 M2. Nyt voidaan I A laskea: I A = I C + Ml 2 = M2 2 + M2 = 3M2 2

Samankaltaiset tiedostot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.