5. Markowitzin portfolioteoria

Samankaltaiset tiedostot
6. Capital Asset Pricing Model

Muuttujien välisten riippuvuuksien analysointi

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset

10.5 Jaksolliset suoritukset

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

6. Stokastiset prosessit (2)

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Yrityksen teoria ja sopimukset

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:

1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Voiman momentti. Momentin yksikkö on [M] = [F] [r] = 1 Nm (newtonmetri) Voiman F vaikutussuora

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Harjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 24: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 2

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:

Terveytemme Termisanasto ja tilastolliset menetelmät

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

Ilkka Mellin (2008) 1/24

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

Yksinkertainen korkolasku

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Suoran sovittaminen pistejoukkoon

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Tilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Tehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu

3. Monitavoitteinen arvoteoria

Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.

Tilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

b g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti

Tilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Luento 6 Luotettavuus ja vikaantumisprosessit

VIHDIN KUNTA TOIMEENTULOTUKIHAKEMUS 1(5) PERUSTURVAKESKUS Perhehuolto

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Baltian Tie 2001 ratkaisuja

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan dl = α LdT + df = df AE AE Ulkoisen voiman tekemä työ saadaan integroimalla δ W = FdL :

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

1. välikoe

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

4. Kriteerien painottaminen

Solmu 3/ toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?

YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET

Aamukatsaus

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Öljysäiliö maan alla

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A

AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

ARITMEETTIS-GEOMETRIS-HARMONINEN KESKIARVOEPÄYHTÄLÖ

Insinöörimatematiikka A

Kiinteätuottoiset arvopaperit

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Lähdemateriaalina käytetty Pertti Louneston kirjaa Clifford Algebras and spinors [1]

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen.

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

menetelmän laskennalliset tekniikat Epäkäyvän kantaratkaisun parantaminen

POIKKILEIKKAUKSEN GEOMETRISET SUUREET

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.

Mat Sovelletun matematiikan erikoistyö. Sijoitussalkun optimointi Black-Litterman -mallilla

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon

Transkriptio:

5. Makotz potfoloteoa Tähä ast olemme olettaeet että tuotot ta pkemmk sotuksesta saatavat kassavat evät ole epävamoa detemstc cash flos esmekks kteätuottoset oukkovelkakat myös kassavtaa peustuva ytykse avomäätys DCF-valuato o teksest detemstse kassava aalysota estmaatt ovat tok epävamoa mkä huomodaa kokeampaa dskottokokoa Tyypllsest vestoteh lttyy kutek epävamuutta mte vesto avo kehttyy? esm. osakekusse vahtelu vt. hgh-tech-osakkeet kuka ptkäks akaa esusst sdotaa? tuottoe aottume sk a odotetu tuoto vetalu oleasta vestotpäätöksssä mea-vaace fameok ovat kulmakveä Makotz mallssa Aht Salo / Pekka Mld 5..7

. Ivesto tuotto Takastellaa yhde peod mttasa epävamoa sotuksa sgle-peod adom cash flos. Oletetaa että vestot : kohteesee osta saat kassava vuode kuluttua. Kokoastuotto o sotuksesta saatava kassava a she tehdy vesto väle suhde so. Tuottoaste ta lyhyemm tuotto o sotuksesta saatava voto osuus she tehdystä vestosta so. ollo ss R R + + R - -

a Lyhyeks myyme Myyt yt sotuskohtee ota et omsta mutta stoudut se ostamsee myöhemm:. laaat sotuskohtee välttäältä a myyt se edellee ollo saat stä kassava.. ostat kohtee makkolta myöhemm sovttua aakohtaa takas htaa a palautat se omstaallee. os kohtee hta laskee sytyy votto - lyhyeks myymsee lttyy skeä: os kusst ousevat tappota sytyy - tappot vovat peaatteessa ousta kuka suuks tahasa lyhyeks myytä o aotettu säätelyllä os kohde o osake myös laa-aaakaa slle maksetut osgot o maksettava laaaalle Jos sotuskohtee tuotto lyhyeks myy akaa laauspalautus o lyhyeks myy tuotto o myösk mutta stä saatava votto o mssä o egatve. Esm. Laaat välttäältä vuodeks kpl ytykse ABC Oy osakketa a myyt e pössssä htaa ollo saat stä. Jos osakkede hta laskee vuode akaa % vot ostaa e takas 9 :lla a saat lyhyeks myystä vottoa. - 3-

- 4- Osakkee tuotto o a lyhyeks myystä saatava votto o b Potfolo tuotto Muodostetaa potfolo ossa o aettu kohteesee s.e. ossa Jos :e kohtee kokoastuotto o R ollo stä saadaa ahaa R koko potfolo kokoastuotto o 9 9 + + + R R R

Jos lyhyeks myyt o: sallttu :t a ste :t vovat olla egatvsa kelletty :t a ste :t ovat e-egatvsa. Satuasmuuttusta Sotettaessa kohteesta saatavaa tuottoa e usekaa tueta etukätee tuottoa kuvataa satuasmuuttua Keskesä tuuslukua. Odotusavo E. Vaass keskhaota va E E p [ E ] [ + ] va - 5-

3. Kovaass E E[ ] [ + ] cov E E + Satuasmuuttuat koelomattoma postve koelaato > egatve koelaato < ylesest < Summa vaass + y E + y y E + y y + y y + + y y Muuttuat koelomattoma +y + y. - 6-

- 7-3. Potfolo tuotto Muodostetaa :stä sotuskohteesta potfolo s.e. :e kohtee tuotto o tuoto odotusavo E a pao potfolossa. a Odotusavo Potfolo tuoto odotusavo o potfoloo ssältyve kohtede tuottoe paotettu keskavo: b Tuoto vaass Tuoto vaass o potfoloo ssältyve kohtede kovaasse paotettu keskavo: E E [ ] E E E E

Esm. Kahde kohtee tuottoe odotusavot E. a E.5 a keskhaoat..8.. Potfolossa o 5% kohdetta a 75% kohdetta odotusavo.5*.+.75*.5.43 vaass.5 *. +.5*.75*. + +.75*.5*.+.75 *.8.4 std.5 Potfolossa o 75% kohdetta a 5% kohdetta odotusavo.75*.+.5*.5.8 vaass.75 *. +.75*.5*. + +.75*.5*.+.5 *.8.8 std.7 c Dvesfot Dvesfot el useampaa kohteesee sottame peetää skä mkäl kohtede tuotot evät koelo takemm: evät koelo täydellsest. Esm. Sotetaa yhtä palo e kohteesee ode tuotot evät koelo a ode tuoto odotusavo o m a vaass. E va E E dvesfot peetää sk :tee osaasa lma että odotettavssa oleva tuotto aleee. m m - 8-

- 9- Jos kohtede tuotot koelovat s.e. cov.3 So. dvesfomalla e eää voda peetää potfolotuoto vaassa aattomast. { }.3.7.3 + + + E 4 6 8 3 4 5 6 7 8 9 va

4. Potfolo tuotto-keskhaotakaavo Yleesä halutaa maksmoda tuottoa a mmoda skeä. o vaass ta ekvvaletst keskhaota o käyttökelpoe skmtta potfolota o melekästä takastella tuoto a keskhaoa suhtee. Esm. E. std.e.5 std. vahdellaa potfolo akeetta a koelaatota. 3 5 5 5 5 5 5 Ylesemm: Jos sotuskohtede väle koelaato ρ a vaassks saadaa Va + + + + + + - -

Jos sotuskohtede väle koelaato ρ - - a vaassks saadaa Va + + + Tuoto vaass saadaa ss aettua ollaa os ρ - ku a valtaa ste että + + Sotetaa : kohtee keske s.e. :e kohtee pao paoe vaot määttää tuotto-keskhaota-kaavossa yhteäse aluee oka o vasemmalta koveks sottamse kaalta kostava ovat aluee mmvaassoukko a tehokas pta: mte määttää se potfolo oka ataa a halutu tuotto-odotukse mmvaasslla? b aetulla vaasslla maksmtuotto-odotukse? - -

- - 5. Makotz mall Mmvaasspotfolo tuottovaatmuksella vodaa määttää kttämällä potfolo tuotto a mmomalla vaass tämä älkee. Muodostetaa Lagage fukto Asetetaa osttasdevaatat ollks m L µ λ K µ λ

Esm. Rakeettava mmvaasspotfolo kohtea kolme sotuskohdetta ste että Lagage yhtälöstä ehdoks saadaa Kolmesta ylmmästä yhtälöstä paoketomet vodaa lmasta λ: a µ: avulla ollo 3 3. λ µ λ µ 3 3λ µ + + 33 + + 3 4λ + 6 µ λ / 6λ + 3µ µ / 3 4 3 3 3 3 Potfolo vaass mmotuu mm-va. pste ku 3 7 m + 3 3-3-

Mmvaassoukolla o seuaava täkeä omasuus oka ohtaa k. kahde potfolo lauseesee: Jos λ µ a λ µ ovat kaks em. optmaalsuusehdot täyttävää potfolota atkasu α α + -α o optmaale koska myös se täyttää optmaalsuusehdot lagage fukto osttasdevaatat ollks. Esm. esmmäset... yhtälöä: α + α αλ + α λ αµ α µ + α λ µ + α λ µ. K. Myös tuottovaatmus a paoe summautume :ee toteutuvat selväst Kahde potfolo lause to-fud theoem. Mkä tahasa tehokkaa potfolo tuottokeskhaotaomasuudet vodaa saavuttaa sottamalla kahtee tehokkaasee potfoloo. - 4-

- 5- Tod. Olkoo ** * λ* µ* melvaltae tehokas potfolo a λ µ a λ µ kaks tuottokeskhaotamelessä elasta tehokasta potfolota s.e.. Potfolode odotetut tuotot ovat Koska E E muute a olsvat tuottokeskhaotamelessä samat o olemassa α s.e. E * αe + -αe. Muodostetaa potfolo * s.e. α α + -α. Tällö a * *. + + * α α α α α α. α αλ α λ αµ α µ α λ µ α λ µ + + +

Peaatteessa kaks ahastoa ss ttää mkäl aoastaa tuotto-odotukslla a vaasslla o mektystä kaklla o samat epävamuutta koskevat oletukset sotukset tehdää yhdeks peodks. Laskeallsa äkökohta toseks vodaa valta mmvaasspotfolo so. λ toseks oku muu. 6. Rsktö sotuskohde Oletaa että yks sotuskohtesta o sktö s.e. että se tuotto o f a vaass. aato ato- a ottolaaus mahdollsta koolla f Rakeetaa potfolo ossa skttömää kohteesee sotetaa paolla α a musta kohtesta akeettuu potfoloo paolla -α. Nä akeetu potfolo tuoto odotusavo o α f + α a keskhaota alueessa α α α - 6-

Yhde potfolo lause oe-fud theoem. O olemassa sellae potfolo F että mkä tahasa tehokas potfolo vodaa muodostaa skttömästä sotuskohteesta a ko. potfolosta. Tämä potfolo vodaa määttää huomaamalla että ko. potfolo ataa suumma avo tagetlle taθ f Devodaa tämä sotuskohtee k paoketome suhtee d taθ dk - 7- f k f 3 k k + k f f k

Okea puolese tulo esmmäe tem ppuu koko paokeovektosta ekä va sotuskohteesta k mektää tätä temä λ:llä: λ f tehdää muuttuavahdos v λ saadaa leaasta yhtälöä v k k f lopuks alkupeäset paoketomet vodaa atkasta yhtälöstä v k v k - 8-

Esm Ks. Luebege 6. s. 68. Määtettävä skptosa kohteta ssältävä potfolo akee ku skttömä vahtoehdo a kolme skptose kohtee tuusluvut ovat.5 3 f Optmaalsuusehdoks saadaa v v v 3 3..5.5.5.5 3.5.5 3 v 4.5 ote skptoset kohteet ovat optmpotfolossa paolla 3 v.5 v 4.5 9.5 4.5 5 3.5 5. 4.5 9-9-