Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:

Transkriptio

1 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma, Nomaaliappoksimaatio, Nomaalijakauma, Odotusavo, Poissojakauma, Stadadi-poikkeama, Stadadoiti, Taulukot, Tiheysfuktio, Vaiassi 5.. Oletetaa, että satuaismuuttuja X oudattaa biomijakaumaa Bi(, p). Määää satuaismuuttuja X odotusavo. Ohje: Odotusavo voidaa laskea soveltamalla suoaa diskeeti jakauma odotusavo määitelmää; ks. luetokalvoja kussi kotisivulla. Biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyysfuktio o f ( ) = p ( p),0< p<, 0,,2,, jossa! =, = 0,,2,,!( )! Suoaa diskeeti jakauma odotusavo määitelmä mukaa E( X) = f( ) 0! = p ( p)!( )! 0! = p ( p)!( )!! = p ( p) ( )!( )! ( )! = ( )!( )! p p ( p) = p Ilkka Melli (2004) /4

2 Yhtälöketju viimeie yhtälö peustuu siihe, että ( )! p ( )!( )! ( p) = mikä seuaa siitä, että summassa lasketaa yhtee kaikki biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyydet Oletetaa, että satuaismuuttuja X oudattaa egatiivista biomijakaumaa X ~ NegBi(, p). Määää satuaismuuttuja X odotusavo. Ohje: Satuaismuuttuja X pistetodeäköisyyksie summa (= ) o todeäköisyyde p fuktio. Deivoi summa muuttuja p suhtee ja sovella diskeeti satuaismuuttuja odotusavo määitelmää; ks. luetokalvoja kussi kotisivulla. Negatiivise biomijakauma NegBi(, p) pistetodeäköisyysfuktio o f( ) = ( p) p,0< p<,, +, + 2, jossa ( )! =,, +, + 2, ( )!( )! Diskeeti jakauma odotusavo määitelmä mukaa E( X ) = f ( ) = ( p) p Negatiivise biomijakauma NegBi(, p) pistetodeäköisyyksie summa S( p) = f( ) = ( p) p = o todeäköisyyde p fuktio. Ilkka Melli (2004) 2/4

3 Deivoidaa summa S(p) todeäköisyyde p suhtee: Koska S( p) = ( ) ( p) p + ( p) p p = ( p) p + ( p) p ( ) + p p = ( p) p + ( p ) p p + ( p ) p ( ) p p = S ( p ) ( ) p p = E( X ) voidaa summa S(p) deivaatta kijoittaa muotoo S( p) = E( X ) + + p p p p = E( X ) + p p( p) Toisaalta, koska S(p) ii S( p) = 0 p Saamme site yhtälö S( p) = E( X ) + = 0 p p p( p) josta voimme atkaista odotusavo E(X). Ratkaisuksi saadaa E( X ) = p p p Ilkka Melli (2004) 3/4

4 5.3. Sähkölampu eliikä X (yksikköä 000 h) oudattaa jakaumaa, joka tiheysfuktio o f() = c/ 3, missä c o vakio. Määää vakio c avo. (b) Millä todeäköisyydellä lamppu kestää yli 5000 h? (c) Mikä o lampu keskimäääie eliikä? (d) Määää lampu eliiä mediaai eli määää aika, jolla P(X ) = 0.5. Vakio c saadaa määätyksi ehdosta f ( d ) joka seuaa siitä, että vama tapahtuma todeäköisyys =. Site c c d c = c 0 = = josta saamme c = 2 (b) Tapahtuma {Lampu eliikä X > 5000 h} todeäköisyys saadaa itegoimalla satuaismuuttuja X tiheysfuktio välillä (5, ): P( X > 5) = f( ) d 5 2 = d = = 0= = Ilkka Melli (2004) 4/4

5 (c) Lampu keskimäääie eliikä o lampu eliiä X odotusavo: E( X) = f( ) d = d d 3 2 = = 2 0= 2 Site lampu keskimääääie eliikä o 2000 h. (d) Lampu eliiä mediaai saadaa ehdosta P( X ) = f( t) dt 2 = dt = 3 2 t t = = josta mediaai avoksi saadaa 3 = = Site lampu eliiä mediaai o siis o. 225 h Eäässä laitteessa o kompoetti, joka eliikä X (yksikköä kuukausi) oudattaa ekspoettijakaumaa paametiaa /4. Mikä o kompoeti keskimäääie eliikä? (b) Määää kompoeti eliiä mediaai eli määää ikä site, että P(X ) = 0.5. (c) (d) (e) Määää todeäköisyys, että kompoetti kestää kauemmi kui 6 kuukautta. Millä todeäköisyydellä kompoetti toimii vähitää vielä yhde kuukaude, jos se o jo toimiut kuukaude? Millä todeäköisyydellä kompoetti toimii vähitää vielä yhde kuukaude, jos se o jo toimiut kaksi kuukautta? Tehtävässä satuaismuuttuja X Ep(/4) Ekspoettijakauma tiheysfuktio o muotoa f() = λep( λ), 0 Ilkka Melli (2004) 5/4

6 Tehtävä atkaisussa o hyötyä seuaavasta aputuloksesta: P(X > ) = P(X ) = F() = ep( λ) jossa F( ) = f( t) dt 0 = λep( λtdt ) 0 [ ep( λt) ] = = ep( λ), 0 o ekspoettijakauma ketymäfuktio 0 Keskimäääie eliikä: E(X) = /λ = 4 kuukautta (b) Aputuloksesta seuaa, että P(X > ) = 0.5 ep( λ) = 0.5 = log(2)/λ = 4log(2) = Site satuaismuuttuja X mediaai o kuukautta. (c) Aputuloksesta seuaa, että P(X > 6) = ep( 6λ) = ep( 3/2) (d) ja (e) Aputuloksesta seuaa, että P(X > ) = ep( λ) = ep( /4) Koska espoettijakaumalla o s. uohtamisomiaisuus, saadaa kohdissa (d) ja (e) sama vastaus: P( Toimii vähitää vielä kuukaude O toimiut jo a kuukautta ) = P(X > a + X > a) = P(X > a + )/P(X > a) = ep( λ(a + ))/ep( λa) = ep( λ) Ilkka Melli (2004) 6/4

7 Tehtävissä 5.5. ja 5.6. hajoitellaa omaalijakauma taulukoide käyttöä Olkoo satuaismuuttuja Z N(0, ). Määää satuaismuuttuja Z mediaai eli piste z site, että P(Z z) = 0.5. (b) Määää P(Z >.85). (c) Määää P(Z.85). (d) Määää z site, että P(Z z) = 0.2. (e) Määää z site, että P(Z z) = 0.8. (f) Määää P( Z 2). (g) Määää z site, että P( Z z) = 0.. Olkoo satuaismuuttuja X N( 3, 9). (h) Määää P(X 2). (i) Määää site, että P(X ) = Käytämme tehtävä atkaisemisessa stadadoidu omaalijakauma N(0, ) taulukoita. Taulukoihi o taulukoitu stadadoidu omaalijakauma N(0,) ketymäfuktio avoja F() = P(X ) ku saa avoja väliltä [ 3.59, +3.59] 0.0: välei: = 3.59(0.0)3.59 Koska satuaismuuttuja Z jakauma o symmetie jakauma paiopistee 0 suhtee, ii P(Z 0) = 0.5 = P(Z 0) Tämä ähdää myös stadadoidu omaalijakauma taulukoista. (b) P(Z >.85) = P(Z.85) = = (c) P(Z.85) = Tulos saadaa myös (b)-kohdasta, koska stadadoitu omaalijakauma N(0, ) o symmetie jakauma paiopistee 0 suhtee: P(Z.85) = P(Z.85) = P(Z >.85) Ilkka Melli (2004) 7/4

8 (d) P(Z z) = 0.2 z = 0.84 (e) Todetaa esi, että P(Z z) = 0.8 P(Z z) = P(Z z) = 0.8 = 0.2 (d)-kohdasta: P(Z z) = 0.2 z = 0.84 (f) Todetaa esi, että stadadoidu omaalijakauma N(0, ) symmetia takia P( Z 2) = P( 2 Z +2) = P(Z +2) P(Z 2) = P(Z +2) ( P(Z +2)) = 2 P(Z +2) P(Z +2) = Site P( Z 2) = 2 P(Z +2) = = (g) Todetaa esi, että stadadoidu omaalijakauma N(0, ) symmetia takia P( Z z) = 2 P(Z z) Site P( Z z) = 2 P(Z z) = 0. P(Z z) = 0.05 P(Z z) = 0.95 z =.64 Ilkka Melli (2004) 8/4

9 Olkoo satuaismuuttuja X N( 3, 9), jolloi E(X) = µ = 3 Va(X) = D 2 (X) = σ 2 = 9 D(X) = σ = 3 Tällöi stadadoitu satuaismuuttuja Z = (X µ)/σ = (X + 3)/3 N(0, ) ja X = σ Z + µ = 3 Z 3 N( 3, 9) (h) Todetaa esi, että P(X 2) = P(Z ( 2 + 3)/3) = P(Z /3) P(Z /3) = = P(X 2) (i) P(Z z) = 0.05 P(Z z) = 0.95 z =.64 Site = 3 z 3 = = Olkoo satuaismuuttuja X N(4, 4). Määää P(X = ). (b) Määää satuaismuuttuja X mediaai eli site, että P(X ) = 0.5. (c) Määää P(X 3). (d) Määää site, että P(X ) = (e) Määää site, että P(X ) = 0.0. (f) Määää satuaismuuttuja X odotusavoo µ suhtee symmetiset pisteet µ ja µ + ii, että iide ulkopuolelle jää todeäköisyysmassasta 5%. Ilkka Melli (2004) 9/4

10 Jos satuaismuuttuja X N(4, 4), ii E(X) = µ = 4 Va(X) = D 2 (X) = σ 2 = 4 D(X) = σ = 2 Tällöi stadadoitu satuaismuuttuja Z = (X µ)/σ = (X 4)/2 N(0, ) ja X = σ Z + µ = 2 Z + 4 N(4, 4) Kaikilla jatkuvilla jakaumilla yhde pistee todeäköisyys = 0. Site P(X = ) = 0 (b) Koska omaalijakauma o symmetie jakauma paiopistee suhtee, ii P(X 4) = 0.5 = P(X 4) (c) Todetaa esi, että P(X 3) = P((X 4)/2 (3 4)/2) = P(Z 0.5) jossa Z = (X 4)/2 N(0, ) P(Z 0.5) = = P(X 3) (d) P(Z z) = 0.99 z = 2.33 Site = 2 (2.33) + 4 = 8.66 Ilkka Melli (2004) 0/4

11 (e) P(Z z) = 0.0 z = 2.33 Site = 2 ( 2.33) + 4 = 0.66 Kommetti (d)- ja (e)-kohtii: Pisteet 0.66 ja 8.66 sijaitsevat symmetisesti omaalijakauma N(4, 4) odotusavo 4 molemmilla puolilla. Piste 0.66 eottaa jakauma vasemmalle häälle tode äköisyysmassa 0.0, piste 8.66 eottaa jakauma oikealle häälle todeäköisyysmassa 0.0. Pisteide 0.66 ja 8.66 välii jää todeäköisyysmassa P(X 0.66) P(X +8.66) = = 0.98 (f) Todetaa esi, että stadadoidu omaalijakauma N(0, ) symmetia takia P( Z z) = 2 P(Z z) Site P( Z z) = 2 P(Z z) = 0.05 P(Z z) = Koska P(Z z) = P(Z z) voimme atkaista z: yhtälöstä P(Z z) = P(Z z) = = z =.96 Site µ + = µ + σ z = = 7.92 µ = µ σ z = = 0.08 Ilkka Melli (2004) /4

12 5.7. Heität viheetötä oppaa ketaa. Mikä o odotettavissa oleva kuutoste lukumäää? (b) Mikä o todeäköisyys, että kuutoste lukumäää o suljetulla välillä [9900, 050]? Ohje: Käytä (b)-kohdassa keskeisee aja-avolauseesee peustuvaa omaalijakaumaappoksimaatiota. Kuutoste lukumäää X opaheitossa oudattaa biomijakaumaa Bi(, p), jossa = p = /6 Site odotettavissa oleva kuutoste lukumäää o E(X) = p = 0000 (b) Keskeise aja-avolausee mukaa stadadoitu satuaismuuttuja jossa X E( X) Z = D( X ) E(X) = p = 0000 a N(0,) D 2 (X) = Va(X) = p( p) = D(X) = Stadadoimalla satuaismuuttuja X ja käyttämällä stadadoidu omaalijakauma N(0, ) taulukoita saadaa kysyty todeäköisyyde appoksimaatioksi: P(9900 X 050) = P(( )/9.287 (X 0000)/9.287 ( )/9.287) = P(.0 Z.64) = P(Z.64) P(Z.0) = = Ilkka Melli (2004) 2/4

13 5.8. Radioaktiiviste aieide säteilyä mitataa Geige-putkella. Mittaus tapahtuu ekisteöimällä impulssie lukumäää 60 sekui aikaa. Oletetaa, että impulssie lukumäää oudattaa Poisso-jakaumaa, jossa tapahtumaitesiteetti o 0 impulssia/s. (b) Mikä o odotettavissa oleva impulssie lukumäää miuuti aikaa? Mikä o keskimäääie odotusaika esimmäiselle impulssille? (c) Mikä o todeäköisyys, että impulsseja tulee miuutissa kokeitaa 550? Ohje: Käytä (c)-kohdassa keskeisee aja-avolauseesee peustuvaa omaalijakaumaappoksimaatiota. Impulssie lukumäää X yhde miuuti aikaa oudattaa Poisso-jakaumaa Poisso(λt), jossa λ = 0 t = 60 s Site Poisso-jakauma paametia o λt = 0 60 = 600 Odotettavissa oleva impulssie lukumäää o Poisso-jakauma odotusavo kaava mukaa E(X) = λt = 0 60 = 600 (b) Jos Poisso-jakauma tapahtumaitesiteettiä o λ ii. impulssi odotusaika Y Ep(λ) Site keskimäääie odotusaika esimmäiselle impulssille ekspoettijakauma odotusavo kaava mukaa E(Y) = /λ = /0 = 0. s (c) Keskeise aja-avolausee mukaa stadadoitu satuaismuuttuja X E( X) Z = D( X ) a N(0,) jossa E(X) = λ = 600 D 2 (X) = Va(X) = λ = 600 D(X) = Ilkka Melli (2004) 3/4

14 Stadadoimalla satuaismuuttuja X ja käyttämällä stadadoidu omaalijakauma N(0, ) taulukoita saadaa kysyty todeäköisyyde appoksimaatioksi: P(X 550) = P((X 600)/ ( )/ ) = P(Z 2-04) = Ilkka Melli (2004) 4/4