Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Transkriptio

1 Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0

2 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy epäyhtälö (a b + a b + + a b ) (a + a + + a )(b + b + + b ) Epäyhtälö seuraa idetiteetistä (k CauchyLagrage-idetiteetti) (a + a + + a )(b + b + + b ) (a b + a b + + a b ) = (a b a b ) + (a b a b ) + + (a b a b ) 0 Tästä huomataa, että yhtäsuuruus pätee vai jos a /b = a /b = = a /b tai b = b = = b = 0 Esimerkkiä Cauchy epäyhtälö käytöstä todistetaa aritmeettise ja harmoise keskiarvo välie epäyhtälö: positiivisille reaaliluvuille a, a,, a pätee a + a + + a a + a + + a () Vasemmapuoleie lauseke o lukuje a, a,, a aritmeettie keskiarvo ja oikeapuoleie lauseke harmoie keskiarvo Väite seuraa kirjoittamalla Cauchy epäyhtälö luvuille a, a,, a ja /a, /a,, /a eli (a + a + + a )( a + a + + a ) Tämä tarkoittaa myös sitä, että aiaki toie luvuista a +a + +a ja a + a + + a o vähitää luvu suuruie Tehtävä Kaattaa huomata, että ylläolevassa esimerkissä o täysi mahdollista, että molemmat luvuista ovat suurempia kui, ku > Keksi esimerkki! Aritmeettisgeometrie epäyhtälö Kaikille eiegatiivisille luvuille a, a,, a pätee a + a + + a a a a, missä yhtäsuuruus pätee ku a = a = = a Todistetaa tulos iduktiolla Esimmäisessä vaiheessa edetää iduktiolla luvusta m lukuu m+ ja toisessa vaiheessa todistetaa yleie tapaus ku ei ole kakkose potessi

3 Todistus Huomataa aluksi, että a = a, jote epäyhtälö pätee, ku = Lisäksi ( a b) 0 + b ab, a + b ab () Tehdää yt iduktio-oletus, että aritmeettis-geometrie epäyhtälö pätee, ku = m, eli a + a + + a m m a a m a m Osoitetaa, että se pätee myös, ku = m+ Käyttäe epäyhtälöä, saadaa a + a + + a m+ m+ m (a + a + + a m) (a m + + a m a m+) Käyttämällä epäyhtälö oikeaa puolee iduktio-oletusta saadaa m+ (a + a m + + a m) (a m + + a m a m+) a a a m+ Todistukse esimmäie osa o yt valmis Seuraavaksi todistetaa yleie tapaus Merkitää lukuje a, a,, a aritmeettista keskiarvoa â ja valitaa m site, että m > Nyt edellise kohda perusteella a + a + + a = a + a + + a + ( m )â m a m a a â m Jakamalla epäyhtälö lausekkella â m m päädytää epäyhtälöö ( a + a + + a ) m m a a a, joka o yhtäpitävä aritmeettisgeometrise epäyhtälö kassa Aritmeettis-geometrie epäyhtälö todistetaa vielä uudestaa Jesei epäyhtälöllä edempää Epäyhtälö oikeapuoleista lauseketta kutsutaa lukuje a, a,, a geometriseksi keskiarvoksi Todistetaa () uudestaa aritmeettisgeometrisella epäyhtälöllä Voidaa kirjoittaa a + a + + a a a a = ( = a a a ) ( ) a a a Tämä o yhtäpitävää väittee kassa Aritmeettisgeometrista epäyhtälöä sovellettii esi lukuihi a, a,, a ja sitte lukuihi /a, /a,, /a

4 Toisea esimerkkiä osoitetaa, että aiaki toie epäyhtälöistä a a a ( a )( a ) ( a ) pätee, jos a i [0, ] kaikilla i =,,, Vastaoletus o, ettei kumpikaa päde eli a a a > ja ( a )( a ) ( a ) > Kertomalla ämä keskeää päädytää ristiriitaa, sillä aritmeettisgeometrise epäyhtälö ojalla a a a ( a )( a ) ( a ) ( ) a + a + + a + a + a + + a = eli alkuperäie väite pitää paikkasa Tehtävä Todista, että jos a o positiivie reaaliluku, ii a + a Tehtävä Todista, että jos a, b ja c ovat positiivisia reaalilukuja, ii a + b b + c a + c abc Jesei epäyhtälö Fuktiota f saotaa koveksiksi välillä [a, b] jos αf(x) + βf(y) f (αx + βy) kaikilla x, y [a, b] sekä epäegatiivisilla α ja β, joilla pätee α + β = Käytäössä tämä siis tarkoittaa, että jos fuktio kuvaajalta yhdistetää jaalla kaksi pistettä (sekatti), ii jaa kulkee koko aja kuvaaja yläpuolella (ks kuva alla) Jesei epäyhtälöksi kutsutaa lausetta, joka mukaa epäyhtälö ( ) x + x + + x f f(x ) + f(x ) + + f(x ) pätee kaikilla x i [a, b] ku f o koveksi Todistus o suhteellise yksikertaie iduktiolla koveksisuude määritelmästä liikkeelle lähtie: Iduktio esimmäie askel o triviaali: Jos =, ii epäyhtälö kertoo aioastaa, että f(x ) f(x ), mikä o ilmeisesti totta

5 f(y) αf(x)+βf(y) f(x) x αx+βy y Toie askel lähtee oletuksesta, että epäyhtälö ( ) x + x + + x k f f(x ) + f(x ) + + f(x k ) k k pätee Käytetää aluksi koveksisuude määritelmää valioilla x = x k+, y = x +x + +x k, α = k k+ ja β = k k+ Nyt ( ) x + x + + x k+ f k + k + f(x k + ) + k ( ) k + f x + x + + x k k Käytetää vielä iduktio-oletusta oikeaa puolee ja saadaa: k + f(x k + ) + k ( ) k + f x + x + + x k f(x ) + f(x ) + + f(x k+ ) k k + Tämä todistaaki väittee Helppo tapa tarkistaa koveksisuus, o tarkistaa, että fuktio toie derivaatta o positiivie f (x) 0 kaikilla x [a, b] (Fuktio esimmäie derivaatta kertoo fuktio kuvaaja tageti kulmakertoime suuruude ja toie derivaatta kertoo kulmakertoime suuruude muutoksesta) Jos toie derivaatta o olla tai egatiivie koko välillä, ii jesei epäyhtälöä voi toki käyttää, mutta silloi epäyhtälömerkki pitää käätää (Mieti miksi tämä toimii äi!) Esimerkki Jesei epäyhtälöllä voi todistaa esimerkiksi aritmeettisgeometrise epäyhtälö Valitaa f(x) = log x Fuktio f o koveksi, sillä f (x) = /x > 0 Kirjoitetaa yt log( x + x + + x ) log x + log x + + log x 4 =

6 = log x x x Aritmeettisgeometrie epäyhtälö seuraa tästä käyttämällä ekspoettifuktiota molempii puolii Tehtävä 4 Olkoot 0 α, β, γ π 4 ja α + β + γ = π Osoita, että si α + si β + si γ 4 Tehtävä 5 Olkoot α, α,, α 0 ja α + α + + α = Olkoo fuktio f(x) koveksi Todista paiotettu Jesei epäyhtälö: f (α x + α x + + α x ) α f(x ) + α f(x ) + α f(x ) Tehtävä 6 Olkoot α, α,, α 0 ja α +α + +α = α Olkoo lisäksi x, x,, x 0 Osoita, että Symmetria α x + α x + α x α α x α x α x α Lauseketta kutsutaa täydellisesti symmetriseksi, ku lausekkee arvo ei muutu, vaikka mikä tahasa kahde muuttuja arvot vaihdetaa keskeää Esimerkkiä täydellisestä symmetriasta (a ja b vaihdettu) ab + bc + ca ba + ac + cb ja esimerkkiä lausekkeesta, jossa ei vallitse täydellie symmetria (taas a ja b vaihdettu) a b + b c + c a b a + a c + c b Jälkimmäisessäki lausekkeessa o tiettyä sääöllisyyttä Sitä kutsutaa kiertosymmetriseksi, sillä jos muuttujie arvot vaihdetaa kiertäe (esimerkiksi a b c a) lausekkee arvo ei muutu Symmetriatarkasteluje idea o, että jos lausekkeessa vallitsee täydellie symmetria, saa vapaasti olettaa muuttujie suuruusjärjestykse Esimerkiksi Schuri epäyhtälö a (a b)(a c) + b (b c)(b a) + c (c a)(c b) 0 kaikille a, b, c, 0 o täydellisesti symmetrie a:, b: ja c: suhtee Siispä voidaa olettaa a b c, mikä riittääki epäyhtälö osoittamiseksi Esimmäie ja kolmas yhteelaskettava ovat positiivisia ja a > b eli vase puoli o positiivie Jos lauseke o kiertosymmetrie, voidaa valita joku muuttujista ja olettaa, että se o arvoltaa suuri (tai piei) Muide muuttujie suuruusjärjestuksestä ei yt voi saoa mitää 5

7 Epäyhtälö a + b + c a b + b c + c a, ku a, b, c 0 () ei ole täydellisesti symmetrie, vaa kiertosymmetrie Voidaa olettaa, että a o suuri luvuista ja kirjoittaa epäyhtälö yhtäpitävästi joka o idettisesti tosi (a c )(a b) + (c b) (c + b) 0, Suuruusjärjestysepäyhtälö Kolmee laatikkoo o laitettu eriarvoisia seteleitä Yhdessä laatikossa o kymmee euro seteleitä, yhdessä viisikymppisiä ja yhdessä satasia Laatikoista tulee valita seteleitä site, että yhdestä laatikosta otetaa kymmee seteliä, toisesta seitsemä ja kolmaesta viisi seteliä Mite valita kaattaa suorittaa, jotta saisi mahdollisimma paljo rahaa? O selvää, että sada euro seteleitä kaattaa ottaa ii paljo kui suiki (kymmee seteliä), sitte viisikymppisiä (seitsemä) ja piei määrä (viisi seteliä) kaattaa jättää pieimmille seteleille Vastaavasti jos o atamassa rahaa samoje säätöje mukaa, kaattaa ataa eite kymmee euro seteleitä ja vähite sada euro seteleitä Kirjoitetaa tämä periaate epäyhtälöide avulla Otetaa käyttöö merkitä lukuje a, a, a ja b, b, b tuloje summalle [ ] a a a = a b b b b + a b + a b (4) Sovitaa, että alarivi lukuje keskiäistä järjestystä voi vaihdella Mite alarivi luvut kaattaa järjestää, jotta lausekkee 4 arvo o mahdollisimma suuri? Suuruusjärjestysepäyhtälö saoo, että lausekkee 4 arvo o mahdollisimma suuri silloi, ku ylä- ja alarivi suuruusjärjestys o sama Toisi saoe, jos b, b, b ovat luvut b, b, b samassa järjestyksessä kui luvut a, a, a, pätee [ ] [ a a a a a a b b b b b b Esimerkiksi euroseteleide tapauksessa [ ] = = o suurempi kui mikää muu järjestykse tulos, ja [ ] = = o pieempi kui mikää muu järjestykse tulos ] 6

8 Suuruusjärjestysepäyhtälö todistamie ei ole vaikeaa Esiäki, jos kaikki luvut ylärivillä tai alarivillä ovat yhtäsuuria, lukuje järjestyksellä ei ole merkitystä Oletetaa siis, että ylä- ja alarivillä o erisuuria lukuja, ja tehdää vastaoletus: lauseke jossa rivie suuruusjärjestys ei ole sama [ ] a a S = a b b b o suurempi kui lauseke, jossa suuruusjärjestystä "korjataa"jostai kohtaa [ ] a a S = a b b b Nyt o siis valittu joko a > a ja b > b tai a < a ja b < b Ristiriitä seuraa helposti siitä, että S S = a b + a b a b a b = (a a )(b b ) < 0 Esimerkki Todistetaa esimerkkiä suuruusjärjestysepäyhtälö käytöstä epäyhtälö () Ratkaisu meee äi Koska luvuilla a, b, c ja a, b, c o sama suuruusjärjestys (jos a b ii a b ) voidaa kirjoittaa [ ] [ ] a b c a b c a b c b c a Tämä o yhtäpitävästi a + b + c a b + b c + c a, ja todistus o valmis Tehtävä 7 Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja Todista, että a 4 b + b 4 c + c 4 a a b c + b c a + c a b Tehtävä 8 Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja, joilla abc = Todista, että a b + b c + c a Tehtävä 9 Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja Todista, että a bc + b ca + c ab a b + b c + c a Tehtävä 0 Olkoot a, b, c > Todista, että a a b b c c a b b c c a 7

9 Toiselaie suuruusjärjestysepäyhtälö Tässä luvussa esiteltävä epäyhtälö o eräälaie suuruusjärjestysepäyhtälö, jota ei pidä kuitekaa suuruusjärjestysepäyhtälöksi kutsua, jottei se sekaau ormaalii suuruusjärjestysepäyhtälöö Olkoo 0 a a a ja 0 b b b Olkoot lisäksi luvut c, c, c luvut b i jossaki järjestyksessä Nyt (a + b )(a + b ) (a + b ) (a + c )(a + c ) (a + c ) Tämä voidaa todistaa hyvi samalla tavalla kui ormaaliki suuruusjärjestysepäyhtälö: Todistus Osoitetaa, että tuloa (a + c )(a + c ) (a + c ) saadaa kasvatettua vaihtamalla lukuje c i ja c j paikkaa, mikäli c i c j ja i j joillaki i ja j Tämä o helpoita tehdä tarkastelemalla tuloje erotusta: (a + c )(a + c ) (a + i + c i ) (a +j + c j ) (a + c ) (a + c )(a + c ) (a + i + c j ) (a + j + c i ) (a + c ) = (a +c )(a +c ) (a i +c i )(a + i +c i+ ) (a j +c j )(a j+ +c j+ ) (a +c ) Koska ((a + i + c i )(a + j + c j ) (a + i + c j )(a + j + c i )) (a +c )(a +c ) (a i +c i )(a + i +c i+ ) (a j +c j )(a j+ +c j+ ) (a +c ) 0, riittää tarkastella erotusta (a + i + c i )(a + j + c j ) (a + i + c j )(a + j + c i ), jotta saadaa osoitettua, että alkuperäie tulo o pieempi kui muokkaukse jälkeie tulo Tämä erotukse tarkastelu o kuiteki hyvi helppoa: (a + i +c i )(a + j +c j ) (a + i +c j )(a + j +c i ) = a + i c j +a + j c i a + i c i a + j c j = (a + i a + j )(c j c i ) 0, ja aito erisuuruus vallitsee, ku c i c j ja a + i a + j Nesbitti epäyhtälö Olkoo ab, b ja c positiivisia Nesbitti epäyhtälö mukaa a b + c + b a + c + 8 c a + b

10 Tämä o helppo todistaa suuruusjärjestysepäyhtälö avulla Vertaillaa lukuja a, b, c ja b+c, a+c ja Huomataa, että b+c [ ] [ ] a b c a b c b+c a+c ja [ a b c Näistä saadaa b+c a b + c + b a + c + c a + b a+c a+b a+b a a + b + a+b b+c c+a ] [ a b c a+c b b + c + b+a c c + a + c+b ] a a + c + b b + a + c c + b =, mikä todistaaki väittee Nesbitt ei ehkä ole tarpeellisi mahdollie epäyhtälö tehtäviä ratkaistaessa Toisiaa kuiteki epäyhtälöstä o iloa Se sijaa meetelmä, jolla Nesbitti epäyhtälö todistetaa o erittäi hyödyllie periaate epäyhtälötehtävissä Tehtävä (Pohjoismaie 005) Olkoot a, b, c positiivisia reaalilukuja Todista, että Tsebysevi epäyhtälö a b + c + b a + c + c a + b a + b + c Kaikille reaaliluvuille a a a ja b b b pätee a + a + + a Epäyhtälö seuraa idetiteetistä b + b + + b a b + a b + + a b [ (a b + a b + + a b ) (a + a + + a )(b + b + + b )] = (a a )(b b ) + (a a )(b b ) + + (a a )(b b )+ (a a )(b b ) + (a a )(b b ) + + (a a )(b b ) + + (a a )(b b ) + (a a )(b b ) + + (a a )(b b ) 0 Ituitiivisesti Tsebytsevissä o kyse suuruusjärjestysepäyhtälöstä, ja todistuski oistuu myös käyttämällä suuruusjärjestysepäyhtälöä kertaa, kirjoittamalla yksi yhtälö ja summaamalla kaikki yhtee Esimerkki Esimerkkiä kirjoitetaa Tsebysevi epäyhtälö lukujoukoille {a, b, c} ja {a, b, c } Kute edellä todettii, o äillä joukoilla sama suuruusjärjestys, jos a, b, c 0 Siispä a + b + c a + b + c a + b + c eli (a + b + c ) (a + b + c)(a + b + c ) 9

11 Tehtävä Olkoot x,, x reaalilukuja Todista, että x + + x ( x + x ) Tehtävä (Pohjoismaie 999) Olkoot a, a,, a positiivisia reaalilukuja Osoita, että ) ( a + a + + a Milloi yhtäsuuruus vallitsee? ( ) ) ( + a + a + + a + a + a + a Geometrisia epäyhtälöitä Suuri kolmio Olkoo aettu kolmio piiri p, ja kysytää kuika suuri voi olla pita-ala Etä millaisella kolmiolla tämä maksimi saavutetaa (jos saavutetaa)? Tapa Käytetää Heroi kaavaa (0) ja aritmeettis-geometrista epäyhtälöä Merkitää kolmio alaa T ja sivuja pituuksia a, b, c T = ( ) p p p(p a)(p b)(p c) p = p (5) Yhtäsuuruus pätee jos p a = p b = p c eli tasasivuise kolmio tapauksessa O syytä huomioida, että aritmeettis-geometrie epäyhtälö o kirjoitettu vai luvuille p a, p b ja p c, eikä mukaa ole lukua p Jos tämä olisi otettu mukaa, ei epäyhtälö olisi eää ollut tarkka (yhtäsuuruus vallitsee vai, ku kaikki luvut ovat yhtä suuria) Voidaa huomata tämä vaikka seuraavasti: T = p(p a)(p b)(p c) = 4 ( ) p(p a)(p b)(p c) p = p 4 4, mikä o huomattavasti suurempi kui p, mikä o siis suuri koskaa oikeasti saavutettava arvo Jos välttämättä halutaa kirjoittaa epäyhtälö kaikille luvuista p, p a, p b ja p c, ii tämäki o mahdollista, mutta vaatii hiema harkitaa: Tapa Tehdää esi oekas arvaus, että suuri arvo saavutetaa, ku a = b = c, eli p = a Nyt p = (p a), jote luvut voidaa pakottaa yhtäsuuriksi sopivalla kertoimella 0

12 Luvut p, p a, p b ja p c ovat suurimma arvo tapauksessa yhtäsuuria, jote tämä o hyvä lähtökohta epäyhtälölle Nyt T = T = p(p a)(p b)(p c) = p = p 4 (p a)(p b)(p c) ( p mikä tosiaa saavutetaa tasasivuisella kolmiolla (p a)(p b)(p c) ) + (p a) + (p b) + (p c) = p 4, Ylläkuvattu tapa soveltuu tilateisii, joissa yhtäsuuruus ei vallitse kaikkie iide alkioide ollessa yhtäsuuria, joista o tarkoitus ottaa keskiarvo Tällöi voi miettiä, voisiko termie etee laittaa kertoimia (geometrise keskiarvo puolella) tai voisiko termejä hakata pieemmiksi palasiksi, jotka oekkaasti olisivat yhtäsuuria, ja lopulta vai summata kaikkie yli (aritmeettise keskiarvo puolella) Kolmio sivuje pituuksii liittyvät epäyhtälöt Olkoot a, b, c kolmio sivuje pituudet Osoita Kirjoitetaa epäyhtälö muotoo a + b + c < (ab + bc + ca) a(b + c a) + b(c + a b) + c(a + b c) > 0, joka riittää, ku muistetaa kolmio sivuje pituuksille pätevät ehdot: a + b c > 0, b + c a > 0 ja c + a b > 0 Joskus voi olla vaikea keksiä mihi muotoo epäyhtälö tulisi kirjoittaa, jotta äitä ehtoja voisi käyttää Silloi saattaa olla apua muuoksesta ja se kääteismuuoksesta a = u + v b = v + t c = t + u t = a + b + c u = a b + c v = a + b c Kolmio sivuje pituuksille asetetut ehdot muutuvat helppokäytöisee muotoo t, u, v > 0

13 Esimerkiksi todistetaa, että kolmio sivuje pituuksille a, b, c pätee Sijoitetaa edelliste muuoste mukaa (a + b c)(b + c a)(c + a b) abc tuv (u + v)(v + t)(t + u) Tämä seuraa kertomalla keskeää epäyhtälöt uv u+v, vt v+t ja tu t+u, jotka ovat voimassa kaikille t, u, v 0 aritmeettis-geometrise epäyhtälö mukaa Kolmio kulmii liittyvät epäyhtälöt Merkitää kolmio kulmia α, β ja γ Tuetusti kolmio kulmie summa o 80, ja tätä tietoa voi käyttää hyväksi esimerkiksi Jesei epäyhtälö avulla Osoitetaa cos α + cos β + cos γ Käytetää Jesei epäyhtälöä ja valitaa f(x) = cos(x/) (Fuktio f o koveksi, sillä f (x) = cos(x/)/4 0 kaikilla x [0, 80 ]) cos α cos β cos γ cos α + β + γ = cos 0 =, mistä väite seuraa Tehtävä 4 Olkoot α, β ja γ teräväkulmaise kolmio kulmat Osoita, että ta α + ta β + ta γ Muuta Olkoo a, b, c kute edellä, R kolmio ympäripiirrety ympyrä säde ja T kolmio pitaala Osoita, että 4 T a + b + c 9R (6) Epäyhtälö vase puoli o itse asiassa olympiatehtävä vuodelta 96 ja uudestaa sitä tarvittii olympiatehtävässä vuoa 99 Todistus meee helposti aiemmi todistetu epäyhtälö (5) ja Cauchy epäyhtälö avulla T p = (a + b + c) (a + b + c )( + + ) = 4 (a + b + c )

14 Aloitetaa epäyhtälö (6) oikea puole todistamie tylppäkulmaise kolmio tapauksesta Olkoo C 90 ja c tätä vastaava sivu Nyt pätee c = a +b ab cos C a +b eli a + b + c c 8R Jos sitte kolmio o teräväkulmaie, pätee jokaiselle kolmio kulmalle α, β, γ 90 Kirjoitetaa epäyhtälö siilausee (5) avulla (esim a /R = 4 si α) muotoo Trigoometrise idetiteeti () perusteella si α + si β + si γ 9 4 si α + si β + si γ = + cos α cos β cos γ Fuktio l cos x o koveksi välillä [0, 90 ], jote Jesei epäyhtälöstä ( ) l cos α l cos β l cos γ α + β + γ l cos = l cos 60 = l, eli cos α cos β cos γ 8, mistä väite seuraa Ratkaisuja ja vihjeitä Ratkaisu Mahdollisia ratkaisuja o äärettömä paljo, mutta eräs sellaie o a =, a = Jos =, ii muuta ei tarvita Jos taas >, ii a = = a = Ratkaisu Aritmeettis-geometrise epäyhtälö mukaa a + a a a = =, mikä o yhtäpitävää väittee kassa Ratkaisu Aritmeettis-geometrise epäyhtälö mukaa a + b ab b + c bc a + c ac Kertomalla ämä epäyhtälöt puolittai keskeää saadaa mikä oli todistettava a + b b + c a + c ja ab bc ac = abc,

15 Ratkaisu 4 Olkoo f(x) = si x Nyt f (x) = cos x si x ja f (x) = cos x si x 0, eli fuktio o koveksi Nyt eli si α + si β + si γ ( ) α + β + γ ( π ) si = si = 6 4, si α + si β + si γ 4 Vihje 5 Lähde liikkeelle koveksisuude määritelmästä, etee kute tavallise Jesei epäyhtälö todistuksessa, mutta pidä paiotukset mukaa Vihje 6 Käytä paiotettua Jesei epäyhtälöä sopivilla paioilla Etee muute kute tavallisessa aritmeettis-geometrise epäyhtälö todistuksessa Vihje 7 Vasemma puole luvut ovat eliöitä, oikea puole ei Ratkaisu 8 Huomataa, että lukuje a, b ja c sekä bc, ac ja ab suuruusjärjestys o kääteie (Jos esim a o suuri, ii luvut b ja c ovat pieimmät, jolloi iide tulo o piei mahdollie tulo Vastaavasti esimerkiksi pieitä lukua vastaa suuri tulo, ja keskikokoista keskikokoie Epäyhtälö vasemma puole summaa voidaa siis arvioida äi alaspäi: [ ] [ ] a b c a b c, ab bc ca bc ca ab eli a b + b c + c a abc = Ratkaisu 9 Huomataa, että lukuje a, b, c ja bc, ac, ab suuruusjärjestys o kääteie Voidaa siis kirjoittaa [ ] [ ] a b c a b c, bc ac ab ab bc ac eli a bc + b ac + c ab a b + b c + c a Vihje 0 Logaritmi o iloie asia Vihje Jäljittele Nesbitti epäyhtälö todistusta Vihje Kirjoita Tsebysevi epäyhtälö luvuille x, x,, x ja x, x,, x Ratkaisu Huomataa aluksi, että = + a + + a a a a a a a a 4

16 Lisäksi lukuje +a i ja +a i a i = + a i o sama Voidaa siis kirjoittaa Tsebysevi epäyhtälö: eli +a a + +a +a a a + + a +a + +a, ( + + ) ( + + ) ) ( + a + + a, a a + a + a jote väite o todistettu Vihje 4 Tagetti saattaisi hyviki olla koveksi fuktio vaaditulla välillä 5

17 Hyödyllisiä kaavoja Trigoometrisia kaavoja: si(x ± y) = si x cos y ± si y cos x (7) cos(x ± y) = cos x cos y si x si y (8) ta x ± ta y ta(x ± y) = ta x ta y (9) si(x + y + z) = cos x cos y cos z(ta x + ta y + ta z ta x ta y ta z) (0) cos(x + y + z) = cos x cos y cos z( ta x ta y ta y ta z ta z ta x) () si x + si y + si z si (x + y + z) = 4 si(x + y) si(y + z) si(z + x) () cos x + cos y + cos z + cos (x + y + z) = 4 cos(x + y) cos(y + z) cos(z + x) () Kolmioo liittyviä kaavoja; seuraavassa o käytetty merkitöjä a, b, c kolmio sivuje pituuksille, α, β, γ vastaisille kulmille, T kolmio pita-alalle, p = (a + b + c)/, R ympäripiirrety ympyrä säteelle, r sisää piirrety ympyrä säteelle ja ρ a, ρ b, ρ c kolmiota ulkopuolisesti sivuavie ympyröide säteille Kosiilause c = a + b ab cos γ (4) Siilause R = a si α = b si β = c si γ (5) R + r = cos α + cos β + cos γ (6) R p = si α + si β + si γ (7) R T = si α si β si γ (8) R Pitaalakaavoja T = ab si γ (9) Heroi kaava T = p(p a)(p b)(p c) (0) abc = 4T R () T = rp = ρ a (p a) = ρ b (p b) = ρ c (p c) () r = ρ a + ρ b + ρ c () 4R + r = ρ a + ρ b + ρ c (4) 6