Kiinteätuottoiset arvopaperit
|
|
|
- Hannele Honkanen
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05
2 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät uitei pääoaarioilla aupaäyi tulosea eli iide suuruus voi vaihdella Koroistruettie ariat ovat erittäi ehittyeet Moet tahot yötävät erilaisia jouovelairjalaioja Valtiot, julisyhteisöt, yrityset je. Kiiteätuottoiset arvopaperit fixed-icoe securities: rvopaperi haltija saaa assavirta o vara ts. ei sisälly epävaruutta Kassavirtaa liittyvät asut ja saatavat tuetaa Sopiusriouset uitei ahdollisia Valtioide riisit, yrityste ourssit je Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer
3 Käyttötaroitusia ja esierejä Käyttötaroitusia Luovat ariat raha aia-arvo äärittäisesi Tarjoavat perusta ivestoitiaalyyseille Mahdollistavat erilaiste pääoalähteide vertailu Tuevat yrityste ivestoitihaeide arvioitia Esierejä Kiiteäoroiset ääräaiaistalletuset Jouovelairjalaiat tarastellaa ohta tarei sutolaiat tietyi edellytysi Elioro eli auiteetti taa haltijallee äärävälei vaiosuuruise sua tarastellaa ohta tarei Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 3
4 Jouovelairjalaiat Jouovelairja liieellelasija sitoutuu asaaa velairja haltijalle rahaa sopiusehtoje uaisesti Niellisarvo asetaa aturiteettipäivää Useissa velairjoissa äärävälei asettava upoi Terillä upoi o historiallie tausta: aioiaa todellie paperiupoi, joa postitettii Kupogi suuruus o prosettiosuus iellisarvosta eli lyhyesti upoioro % Esi. 8% upoi 000 iellisarvosta tuottaa 80 vuodessa ääräväli voi olla lyhyepi ui ysi vuosi Jouovelairja liieellelasija saa pääoaa, utta sitoutuu siis upoie asaisee ja iellisarvo suuruise sua suorittaisee aturiteettipäivää Jouovelairjoihi liittyvii assavirtoihi ei liity epävaruutta pl. liieellelasija asuhäiriöt Luottoluoitus helpottaa jouovelairjoje vertailuja Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 4
5 Esierejä jouovelairjoista Täreitä ovat esierisi US: esuspai jouovelairjat ills Notes ods Strips Myydää viiottai, aturiteetti esi. 3 tai 5 viioa Niellisarvo $0 000 ja auppahita alhaisepi Maturiteetti 0 vuotta Kupoiasut puolivuosittai Maturiteetti yli 0 vuotta Kupoiasut puolivuosittai ute oteseissa Saadaa bodeista piloalla upoiasut ja iellisarvo erillisisi istrueteisi Muita esierejä ovat julisyhteisöje ja yrityste obligaatiot vrt. utarahoitus Lisäsi jouovelairjat voivat sisältää erityisehtoja Callable bods Liieellelasija voi luastaa velairja tietyi ehdoi taaisi Siig fuds laialyheysrahasto Liieellelasija asaa osa iellisarvosta taaisi ee aturiteettia ebt subordiatio Kourssissa velairjasitouus asetetaa uu vela edelle Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 5
6 ysyvä elioro perpetual auity ysyvä elioro ataa äärävälei sua aia iuisuutee asti Oletetaa, että äärävälie välie oro o r. Tällöi assavirra yyarvosi saadaa r r r r r r r r r Esi. Saat vuosittai tästä iuisuutee. Jos vuosioro o 0%, ii elioro yyarvo o Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 6
7 Kestoltaa rajoitettu elioro Kestoltaa rajoitettu elioro ataa saajalle äärävälei sua Määrävälejä o N pl Oletetaa, että äärävälie välie oro o r. Tällöi assavirra yyarvosi saadaa r N r r N r r r N r r N r r r N Esi. Saat seuraavaa 0 vuotea perääi. Jos vuosioro o 0%, ii elioro yyarvo o Huo! Vertaaalla tulosta edellise alvo tilateesee huoataa, että vuodesta eteepäi tapahtuvie assavirtoje yyarvo o vai Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 7
8 Esieri: Kulutusluotto Laiaat ulutusluoto orolla, jota lasetaa uuausittai oroa orolle-periaattee uaisesti soveltae % iellisoroa. Jos asat laia taaisi olessa vuodessa tasaeriä ii N = *3 = 36, = 0000, r = 0. / = 0.0 ja yhde erä suuruus voidaa lasea hyödytäällä estoltaa rajoitetu elioro aavaa seuraavasti r r N r r N r r N r N 0.0*0000 * Kuuausierie sua o siis 36*33.4 = 957 ja erät uodostuvat orosta ja uoletusesta seuraavasti. periodi oro 00, uoletus = 3.4. periodi oro * 0.0 = 97.67, uoletus = periodi aiaa uoletettavalle pääoalle 36 pätee = 33.4 eli 36 = ja oro o viieisessä periodissa 3.9 = Kaattaao sijoittaa laiattu haeesee, joa tuottaa 350 / ole vuode aja? Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 8
9 Maturiteettituotto yield to aturity Jouovelairja aturiteettituotto λ eli juosuaja tuotto o se oro, jolla lasettua assavirra yyarvo o saa ui velairja hita Maturiteettituotto ilaistaa vuosioroa Oletetaa, että jouovelairjassa o jäljellä periodia, jouovelairja haltija saa vuodessa pl upoeja, joista ui suuruus o C/ ja jouovelairja iellisarvo o F ja hita. Soveltaalla estoltaa rajoitetu elioro aavaa, yseise jouovelairja yyarvosi saadaa λ 0 / / F F C C / / / ätee tarallee, u esiäie upoi asetaa / vuode uluttua arvoäärityspäivästä Yhtälö o epälieaarie aturiteettituoto λ suhtee Maturiteettituoto laseie vaatii yleesä ueerista lasetaa seä erityisohjelistoja tai tauluoita Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 9
10 Hita-tuotto äyrä oiaisuusia Maturiteettituotto λ = 0, jos ja vai jos hita o iellisarvo ja upoie yhteelasettu sua Maturiteettituotto λ = upoioro, jos ja vai jos velairja o iellisarvosa hitaie Suurilla upoioroilla aturiteettituoto asvu aletaa hitaa eeä ui pieillä upoioroilla Kupoie osuus oo assavirrasta o suurepi Mitä pidepi velairja aturiteetti o, sitä herepi hita-tuotto äyrä o ororiseille Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 0
11 Hita-tuotto-äyriä Maturiteetti 30v Niellisarvo 00 Kupoioro 0-5% Hita % 0% 00 5% 00 0% % 5% 0% 5% 0% Maturiteettituotto 350 Maturiteetti 3-30v v Niellisarvo 00 Kupoioro 0% Hita v 3v % 5% 0% 5% 0% Maturiteettituotto Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer
12 uraatio Jouovelairja ororisi o riippuvaie aturiteetista, joa ei uiteaa ole ororisi itta uraatio o yyarvoilla paiotettu ajaohtaesiarvo iiteätuottoise arvopaperi assavirroista Oloo i t i ajahetellä t i tapahtuva assavirra yyarvo ja oo assavirra yyarvo. Tällöi duraatiosi saadaa t t t 0 t 0 t t uraatiolla o seuraavalaisia oiaisuusia: Ei upoeja: duraatio = aturiteetti Kupoeja: duraatio < aturiteetti Mitä suurepi upoioro, sitä pieepi duraatio Eli assavirta paiottuu suhteessa aieasi Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer
13 uraatio äärittäie Mitä oroa äyttäe duraatio sisältäät yyarvot pitäisi lasea? Maturiteettituotto λ luoteva valita uhutaa Macaulay duraatiosta, jos duraatio lasetaa äyttäe oroa aturiteettituottoa λ. Oloo iiteätuottoisessa arvopaperissa jäljellä periodia ja :e periodi lopussa tapahtuva assavirta o c. Tällöi Macaulay duraatiosi saadaa c / c / Jos jouovelairja yhde periodi upoioro o c, yhde periodi aturiteettituotto o y, vuodessa o periodeja pl ja jäljellä o periodia, ii Macaulay duraatio voidaa irjoittaa yös uodossa y y y c y c y y Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 3
14 Modifioitu duraatio uraatio ittaa jouovelairja hia heryyttä orotaso uutosille Määritetää esi periodi yyarvo heryys suhteessa aturiteettituoto uutoselle Johdetaa seuraavasi jouovelairja hia heryys aturiteettituoto uutoselle M o odifioitu duraatio, joa avulla voidaa arvioida hia uutosta suhteessa aturiteettituoto uutosii tai toisi päi. Liiääräisesti pätee Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 4 c d d c / / / / / d d M / / / / / M
15 Esieri: Koroheryys Oletetaa, että 30-vuotiselle, 0% upoioro jouovelairjalaialle asetaa upoia vuodessa. Jos hita o iellisarvo suuruie, ii velairja duraatio = ja odifioitu duraatio Miäli orot ousevat proseti verra, ii velairja hita aleee M 9.47* % Jos jouovelairja aturiteetti o 30 vuotta ja upoioro 0%, ii se hita o 30 Kosa upoeja ei ole, ii duraatio o saasuuruie ui aturiteetti ja hia oroheryydesi saadaa M M Eli hita tippuu yli 7%, jos orotaso ousee prosetilla F M / 7.7* % Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 5
16 ortfolio duraatio ortfolio duraatio saadaa siihe uuluvie jouovelairjoje duraatioide yyarvoilla paiotettua esiarvoa Yleisei Oloo iiteätuottoisia arvopapereita pl ja oloo arvopaperi i hita i ja duraatio i aiille i=,,...,. Tällöi portfolio hialle ja duraatiolle pätee issä Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 6 t t t t t t t t ,.,,,, / i i i
17 Iuisoiti Iuisoii tavoitteea o uodostaa sellaie jouovelairjaportfolio, joa reagoi oro uutosii saoi ui tulevat asusitouuset Molepie yyarvot uuttuvat saa verra, u orot uuttuvat Täydellie yhteesovittaie o uitei vaieaa Nollaupoiset velairjat olisivat hyviä, utta iitä o tarjolla verrate vähä Maturiteetti liia lyhyt o ivestoitava uudestaa ivestoitirisi, osa hyviä ohteita ei ahdollisesti eää tarjolla u uudellee ivestoiie tulee ajaohtaisesi Maturiteetti liia pitä jouovelairja hita lasee, jos orot ousevat ororisi vrt. hita-tuotto-äyrä ortfolio voidaa raetaa yyarvo-aalyysillä site, että se yyarvo o saa ui tulevie asusitouuste Koroje uuttuessa yyarvot eivät uiteaa eää oleaa saat Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 7
18 Iuisoiti uraatioaalyysi avulla jouovelairjoista oostuva portfolio voidaa liiääräisesti suojata ororiseiltä eriaatteea sellaise portfolio raetaie, joa yyarvo ja duraatio ovat saat ui asusitouusista aiheutuva assavirra Toiii äytäössä varsi hyvi ysi eseisiistä ivestoititeoria sovellusista Tällä lueolla esitettävässä ysiertaisessa uodossa ei uiteaa huoioi oroäyrä raeetta vrt. lueto 3 Muodostetaa sellaie jouovelairjaportfolio, joa yyarvo ja duraatio o saa ui asusitouusella eli rataistaa seuraava yhtälöpari sitouus sitouus i / i,,, issä o jouovelairja i suhteellie osuus yyarvoje suhteessa uodostetussa portfoliossa. i Toisi saoe i vastaa sitä rahaäärää, joa tulisi sijoittaa jouovelairjaa i. Usei sijoitettua rahaäärää eritää V i :llä ja yhtälöpari irjoitetaa uodossa sitouus sitouus sitouus V V V V V V, Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 8
19 Esieri: Iuisoiti / Yritysellä o 0 vuode päähä ajoittuva iljooa euro velasitouus, joa suorittaisee se haluaa varautua sijoittaalla Velasitouuste duraatio siis 0 vuotta Vaihtoehtoa o ole jouovelairjaa joide iellisorot, aturiteetit ja hiat ovat alla olevassa tauluossa iellisarvot 00 ja upogit rt/vuosi # Kupoioro Maturiteetti Hita 6 % 30 vuotta % 0 vuotta % 0 vuotta Jouovelairjoje aturiteettituotot ja Macaulay duraatiot voidaa lasea edellä esitetyllä tavalla # Maturiteettituotto Macaulay duraatio 9 %.44 vuotta 9 % 6.54 vuotta 3 9 % 9.6 vuotta Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 9
20 Esieri: Iuisoiti / Jouovelairjoje duraatioista voidaa todeta, että esierisi jouovelairjoja # ja #3 yhdisteleällä vrt. portfolio duraatio ei päästä sellaisee duraatioo, joa olisi saa ui velasitouuse Sijoitetaa siis esierisi jouovelairjoihi # ja # ja ääritetää sellaie portfolio, joa reagoi oro uutosii saoi ui velasitouus Eli yyarvoje ja duraatioide o oltava saat Muodostetaa tästä rajoitusehdosta yhtälöpari Velasitouuse yyarvo o V V Yhtälöpari rataisusi saadaa V =9788 ja V = 854 V V sitouus 0* sitouus Vastaavat appaleäärät ovat 44 pl # ja 078 pl # Suojaus toiii pieillä oro uutosilla jv portfolio arvo uuttuu joseei saa verra ui asuje yyarvo. Koroje uuttuessa suojausta tulee päivittää eli lasea uudellee Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer 0
21 Maturiteettituotto % Hita JVK L 4,4.00 4,4.00 4,4.00 rvo 9, , , Hita JVK L,078.00,078.00, rvo, , ,55.94 Sitouus rvo 44, , , Ylijäää -9.44,56.05, Jussi Kagasputa / hti Salo / ea Mild / Ville ruer
MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia
Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti
Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.
Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.
i ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k
1. Neljä tuistettavissa oleva hiuase iroaoise jouo ahdolliset eergiatasot ovat 0, ε, ε, ε, 4ε,, jota aii ovat degeeroituattoia. Systeei ooaiseergia o 6ε. sitä aii ahdolliset partitiot ja osoita, että irotiloje
Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).
Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka
Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström
Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231
Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/
Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:
Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie
λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.
S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä
Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f
28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,
DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto
DEE-54 Sähköageettiste järjestelie läösiirto Lueto 7 Sähköageettiste järjestelie läösiirto Risto Mikkoe..4 Läöjohtuise leie osittaisdiffereretiaalihtälö t E g c p Sähköageettiste järjestelie läösiirto
BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi
BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viavirrat BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viojen aiheuttajat lastollinen ylijännite Laitteiden toiintahäiriö tai virhetoiinta nhiillinen erehdys Yliuoritus BLA7 ähöveroteniian
Sijoitustodistuksen nykyinen markkinahinta: euroa. Jos viitekorko laskee 0,5 %-yksikköä, uusi markkinahinta: euroa
AB30A0101 Finanssi-investoinnit 4. harjoitukset 7.4.015 Tehtävä 4.1 45 päivän kuluttua erääntyvälle, nimellisarvoltaan 100 000 euron sijoitustodistukselle maksettava vuosikorko on 3,0 %. Jos viitekorko
Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg
Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou
Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?
Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie
q =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.
Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =,
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 24: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 2
/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usea vapausastee vaeeato oasvärähtely osa MONINKERAISE OMINAISAAJUUDE Sesso MS oreeratu oasuodo { lasetaeetelässä oletett, että o ysertae oasulataauus. arastellaa velä tapausta,
Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot
Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha
Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha
Keskijännitejohdon jännitteenalenema
LTE 4/1 Kesijännitejodon jännitteenalenea Jännitteenalenea lasetaan aaalla 1 r + x tanϕ 1 P l (1 Tauluossa 1 on esitetty joaisen aapelin pituudet seä niiden resistanssi ja reatanssiarot, joita taritaan
1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen
/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai
Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto
Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
N:o 294 2641. Liite 1. Staattisen magneettikentän (0 Hz) vuontiheyden suositusarvo.
N:o 94 641 Liite 1. Staattise mageettiketä (0 Hz) vuotiheyde suositusarvo. Altistumie Koko keho (jatkuva) Mageettivuo tiheys 40 mt Tauluko selityksiä Suositusarvoa pieemmätki mageettivuo tiheydet saattavat
2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt
Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,
Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
F e. R kertaa ioniparien lukumäärä N. Kun laskemme tämän yhteen Coulombin attraktioenergian kanssa saamme kiteen kokonaisenergiaksi.
S-436, FYSIIKKA IV (EST) Kevät 5, LH Rtisut LH- Lse liui Ferieergi olettll että joie toi luovutt yhde eletroi johtovyöhö Johtvuuseletroit uodostvt vp vuoroviutttto eletroisu Kliui tiheys o 8,5 g / c 3
Oletteko tyytyväinen: 1. Saamanne tiedon määrään kerhopaikkaa hakiessanne?
ILTAPÄIVÄTOIMINNAN KYSELY KEVÄÄLLÄ, VANHEMPIEN OSUUS, KAIKKI KERHOT 1/5 Oletteo : 1. Saamae tiedo määrää erhoaiaa haiessae? Erittäi osaa tyytymätö tyytymätö saoa 13 % 53 % 7 % 23 % 3 % 17 % 48 % 28 % 7
KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET
KUNTIN LÄKVKUUTU 328 VRHILÄKMNORUTI MKU 29 LÄHTIN NOUDTTTVT LKURUTT Valtuusuta ahstaa arhaseläemeoperustese masu eaode yhtesmäärä uodelle euromääräsest Tämä ahstettu masu o samalla lopullste masue yhtesmäärä
b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
Koska elektronin oletetaan olevan perustilassa sen ionisaatioenergia on 13,6 ev:
LH0- H vetyioi perustila eergia (ytimie välimata, 06 Å) eergia verrattua systeemii, jossa perustilassa oleva vetyatomi ja H -ioi ovat äärettömä auaa toisistaa o,65 ev Lase a) H : eergia verrattua systeemii
Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
Luku 6 Kysyntä. > 0, eli kysyntä kasvaa, niin x 1. < 0, eli kysyntä laskee, niin x 1
40 Luku 6 Kysyntä Edellisessä luvussa näie, että ratkaisealla kuluttajan valintaongelan pitäällä paraetrit (p, p, ) yleisinä, saae eksplisiittisen kysyntäfunktion kuallekin hyödykkeelle. Ilaisie kysyntäfunktiot
Ortogonaalisuus ja projektiot
MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria
Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2
Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista
2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.
POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää
Korkojen aikarakenteen ja tulevan inflaation välinen yhteys
Korkoje aikaraketee ja tuleva iflaatio välie yhteys Perttu Tuomi Pro gradu -tutkielma Kasataloustietee laitos Tamperee yliopisto Toukokuu 2000 1 Tamperee yliopisto Kasataloustietee laitos TUOMI PERTTU:
Interaktiiviset menetelmät
Interatiiviset menetelmät. Johdanto. Interatiivinen SWT-menetelmä 3. GDF-menetelmä 4. Yhteenveto Optimointiopin seminaari - Kevät 000 /. Johdanto Interatiivisissa menetelmissä päätösenteijä ja analyytio
Matematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ yön taoitteet ässä työssä tutustut asolliseen, äärätyin aiaälein toistuaan edestaaiseen ärähdysliieeseen. Värähdysliie
12. Korkojohdannaiset
2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla
DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa
Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä
tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin
S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH, Rataisut LHSf-* Kaasusäiliö o jaettu ahtee osaa, joide välisee eristävää seiämää o tehty iei ymyrämuotoie auo, joa halaisija o D Säiliö molemmissa osissa o helium aasua
Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
Oppimistavoite tälle luennolle
Oppiistavoite tälle lueolle Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit CHEM-A00 (5 op) Tislaus ja uutto Yärtää erotusprosessie suuittelu perusteet Tutea tislaukse ja uuto toiitaperiaatteet Tutea tpillisipiä
Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030
Vaasa yliopisto, kevät 206 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 5. harjoitus, viikko 7 5. 9.2.206 R ma 0 2 F455 R5 ti 0 2 F9 R2 ma 4 6 F455 R6 to 2 4 F455 R3 ti 08 0 F455 R7 pe 08 0 F455 R4 ti 2 4 F455
HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology
Helsii Uiversity of Techology Laboratory of Telecommuicatios Techology S-38. Sigaaliäsittely tietoliieteessä I Sigal Processig i Commuicatios ( ov) Sysy 998 9. Lueto: Kaava apasiteetti ja ODM prof. Timo
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40
Diskreetin ateatiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40 Tuntitehtävät 31-32 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 35-36 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 33-34 tarkastetaan loppuviikon
Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 23: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 1
/ VÄRÄHTELYEANIIA SESSIO : Usean vapausasteen vaeneaton onasvärähtely osa JOHDANTO Usean vapausasteen systeen leyhtälöt ovat ylesessä tapausessa uotoa [ ]{ & } [ C]{ & } [ ] { } { F} & ( un vaennusta e
Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet
Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös
funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009
KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009 Kymijoe vesi ja ympäristö ry: julaisu o 199/2010 Jussi Mätye ISSN 1458-8064 TIIVISTELMÄ Tässä raportissa äsitellää Kiiu-, Savero- ja Silmujoe sähöoealastus-
YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004.
YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT Koooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. SISÄLTÖ YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT 1. PUSTIDN SOVLTAMINN...
SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN
SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan
7. Menetysjärjestelmät
lueto7.ppt S-38.45 Leeteora perusteet Kevät 25 Ssältö Kertausta: ysertae leeteoreette mall Posso-mall asaata, palvelota Sovellus vrtaava dataletee malltamsee vuotasolla Erlag-mall asaata, palvelota < Sovellus
Verkoston ulkoisvaikutukset
Verkosto ulkoisvaikutukset Varia luku 35 Luettavaa Varia (2006, 7. paios, luku 35, s.658 655) Forget produtivity: more people should joi Faebook saatavilla http://www.ab.et.au/ews/stories/2008/1 1/27/2431283.htm
Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030
kevät 2017 Talousmatematiika perusteet, ORMS1030 Opettaja: Matti Laaksoe A1. välikoe torstaia 16.2.2017 A Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukaa laski ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Ku teet
3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
Tilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus
Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle
LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL
Luku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................