Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Transkriptio

1 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo, Bomkauma, Etmaatt, Etmaattor, Harhattomuu, Järjetytuuluvut, Kekhajota, Luottamukerro, Luottamutao, Luottamuväl, Makm, Medaa, Mm, Normaalkauma, Odotuarvo, Oto, Otokauma, Ototuuluvut, Parametr, t-kauma, Todeäköyykauma, Vahteluväl, Vahteluväl ptuu, Vara.. Havatoaeto muodotuu euraavta luvuta: 3,,, 6, 5, 5, 3,, 4 Lake havatoarvoje (a) (b) Ratkau: Artmeette kekarvo, vara kekhajota. Mm, makm, vahteluväl, vahteluväl ptuu medaa. Muuttu havattuje arvoje,,, artmeette kekarvo aadaa kaavalla () = = (oto-) vara aadaa kaavalla () = ( ) kekhajota aadaa kaavalla (3) = ( ) Jo havatoarvoje artmeette kekarvo vara joudutaa lakemaa kä ta käyttäe lakta, kaattaa lakutomtute järjetely perutaa he, että havatoarvoje vara vodaa lakea kaavalla (4) = Kaavota () (4) ähdää, että havatoarvoje kekarvo vara vodaa lakea määräämällä havatoarvoje umma elöumma. Tällö lakutomtuket kaattaa järjetää euraava tauluko muotoo: Ilkka Mell (005) /8

2 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket!!! Summa Tällä lakutavalla o e etu, että ä vältetää erotute lakeme., =,,, Kaava (4) perutelu: = ( ) = + ( ) = + = + = + = Havatoarvoje mm, makm, vahteluväl medaa (kute muutk järjetytuuluvut) aadaa järjetämällä havatoarvot uuruujärjetykee. Olkoot z, z,, z havatoarvot,,, uuruujärjetykeä pemmätä uurmpaa. Tällö havatoarvoje mm makm ovat m{,,, } = z ma{,,, } = z Ilkka Mell (005) /8

3 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Havatoarvoje vahteluväl o (z, z ) vahteluväl ptuu o z z Havatoarvoje medaa Me o uuruujärjetykee aetetuta havatoarvota kekmmäe, jo havatoje lukumäärä o parto ta kahde kekmmäe artmeette kekarvo, jo havatoje lukumäärä o parlle. Medaa kaa havatoarvot kahtee yhtä uuree oaa, jota toea kakk havatoarvot ovat medaaa peempä, toea kakk havatoarvot ovat medaaa uurempa. (a) Määrätää havatoarvoje artmeette kekarvo, vara kekhajota. Ecel-taulukko: Summa 3 9 Havatoarvoje umma elöumma aadaa tauluko arakeumma: = 3 = 9 Koka havatoje lukumäärä o tää 9, = = 3 = = = = ( ) = = = Ilkka Mell (005) 3/8

4 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket (b) Määrätää havatoarvoje mm, makm, vahteluväl, vahteluväl ptuu medaa. Havatoarvot ovat uuruujärjetykeä,,, 3, 3, 4, 5, 5, 6 Ste mm makm ovat m = ma = 6 Vahteluväl o (, 6) e ptuu o 6 = 5 Medaak aadaa Me = 3 koka e o järjetykee aetuta havatoarvota kekmmäe... Olkoo,,, 6 ykkertae atuaoto bomkaumata B(, p), joa = p o tutemato. (a) Oota, että o parametr p harhato etmaattor. (b) Ratkau: (a) Lake parametrlle p etmaatt, jo havatoaeto muodotuu euraavta luvuta Merktää joa 3, 3, 4, 5, 5, 6 pˆ = 6 = 6 Oletetaa, että atuamuuttu oudattaa bomkaumaa parametre p el B( p, ) Ilkka Mell (005) 4/8

5 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Tällö atuamuuttu odotuarvo o E( ) = p Parametr p etmaattor ˆp o harhato parametrlle p, jo E( pˆ ) = p Määrätää etmaattor pˆ = odotuarvo: E E E ( pˆ ) = = ( ) 6 = E 6 6 = E( ) 6 = 6E ( ) 6 = E( ) = p = p Ste ˆp o parametr p harhato etmaattor. (b) Laketaa e havatoarvoje artmeette kekarvo: = = ( ) = = Parametr p etmaatk aadaa te pˆ = = = Oletetaa, että atuamuuttut X Y ovat rppumattoma ormaalkautueta atuamuuttu. Mte kautuvat atuamuuttut X + Y X Y? Sovellu: Teekkartyttöje ptuukauma o N(74, 6 ) teekkarpoke ptuukauma o N(79, 7 ). Valtaa atuaet yk teekkartyttö yk teekkarpoka. Mllä todeäköyydellä tyttö o pokaa ptemp? Ilkka Mell (005) 5/8

6 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ratkau: Olkoo X N( µ X, σ X) Y N( µ, σ ) X Y Tällö (k. tehtävää..) Huomautuka: Y E( X + Y) = µ + µ E( X Y) = µ µ Var( X + Y) = σ + σ Y X X Y Y X Y Var( X Y) = σ + σ X Y () Satuamuuttuje X + Y X Y odotuarvo kokevat tuloket evät vaad atuamuuttuje X Y rppumattomuutta, mutta atuamuuttuje X + Y X Y varae kokevat tuloket vaatvat rppumattomuuoletuke vomaaolo. () Satuamuuttuje X Y umma erotuke odotuarvo varae kokevat tuloket pätevät myö e-ormaallle atuamuuttujlle. Koka atuamuuttut X Y o oletettu rppumattomk ormaalk, myö de umma erotu oudattavat ormaalkaumaa. Ste X + Y + + N( µ X µ Y, σ X σy) X Y + N( µ X µ Y, σ X σy) Sovellu: Olkoo X = Tytö ptuu Y = Po ptuu Läk vomme olettaa, että X Tällö N(74,6 ) N(79,7 ) E( X Y) = = 5 X Y = + = Var( ) X Y N( 5,85) Y. Ilkka Mell (005) 6/8

7 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Todeäköyy, että atuaet valttu tyttö o ptemp ku atuaet valttu poka o Pr( X > Y) = Pr( X Y > 0) X Y ( 5) 0 ( 5) = Pr > = Pr > 0.54 ( Z ) ( Z ) ( ) = Pr 0.54 = Φ 0.54 = = Huomautu : Olkoo W atuamuuttu, jolle E( W ) = µ W Var( W ) = σ W Stadardodaa W: Tällö Huomautu : W µ W Z = σ E(Z) = 0 W Var(Z) = Oletetaa, että huomautuke oletute läk atuamuuttu W o ormaalkautuut: W N( µ W, σw) Tällö tadardotu atuamuuttu W µ W Z = σ W oudattaa tadardotua ormaalkaumaa: Z N(0,) Ilkka Mell (005) 7/8

8 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Huomautu 3: Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto: Φ ( z) = Pr( Z z) joa Z N(0,).4. Netemäe etylee lämpökapateetta (lämpökapateetk aotaa aee kykyä toa lämpöä maaaa) o tehty = 5 mttauta vakopaeea 80 C lämpötlaa. Mttautuloket olvat euraavat (ykkköä cal/g/ C): Akaemm tehtyje tutkmuke peruteella σ = 0.0. Oletamme läk, että mttautuloket ovat ormaalkautueta. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Ratkau: (a) Lake etmaatt lämpökapateet odotuarvolle. Lake 90 %: luottamuväl odotuarvolle. Lake 95 %: luottamuväl odotuarvolle. Lake 99 %: luottamuväl odotuarvolle. Vertaa kohda (b), (c) (d) lakettu luottamuvälejä toa. Mte luottamuväl ptuu rppuu luottamuvältä? Muodota 99 %: luottamuväl odotuarvolle, jo tetoa mttaute hajoata e ole käytettävä. Mte luottamuväl muuttuu (d)-kohda luottamuväl verrattua? Koka olemme olettaeet, että mttauket ovat ormaalkautueta, vodaa odotuarvo etmoda harhattomat havatoarvoje artmeettella kekarvolla (k. taulukkoa tehtävä lopua): ˆ µ = = = = (b) Koka olemme olettaeet, että hajota σ o tuettu, lämpökapateet odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o muotoa (k. huomaututa ) ± z α / σ Ilkka Mell (005) 8/8

9 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Luottamukerro + z α / toteuttaa ehdo Φ+ ( z α ) = α / / joa Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto (k. tarkemm huomaututa ). Tää luottamutaoa o jollo α = 0.90 α = 0.90 = 0. α/ = 0./ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.9 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z 0.05 =.645 Luottamutaoa 0.9 vataava luottamuvälk aadaa te σ 0.0 ± zα / = ± = ± = (0.640,0.646) (c) Tää luottamutaoa o jollo α = 0.95 α = 0.95 = 0.05 α/ = 0.05/ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.95 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z 0.05 =.96 Luottamutaoa 0.95 vataava luottamuvälk aadaa te σ 0.0 ± zα / = ± = ± = (0.639,0.647) Ilkka Mell (005) 9/8

10 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket (d) Tää luottamutaoa o α = 0.99 jollo α = 0.99 = 0.0 α/ = 0.0/ = Ste luottamutaoa 0.99 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z =.576 Luottamutaoa 0.99 vataava luottamuvälk aadaa te σ 0.0 ± zα / = ± = ± = (0.638,0.648) (e) Luottamuväl leveee, jo luottamutaoa kavatetaa. (f) Koka olemme tää kohdaa olettaeet, että hajota σ e ole tuettu, e joudutaa etmomaa havaota. Etmaatt aadaa ormaalkauma vara σ harhattomata etmaattorta = ( ) Lämpökapateet odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o yt muotoa (k. huomaututa ) ± t α / Luottamukerro + t α / toteuttaa ehdo joa Pr( t + t α ) = α / / t t( ) Ilkka Mell (005) 0/8

11 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Lakemme otovara kaavalla (k. taulukkoa tehtävä lopua): Ste = = = = = 0.03 Tää luottamutaoa o jollo α = 0.99 α = 0.99 = 0.0 α/ = 0.0/ = Ste luottamutaoa 0.99 vataava luottamukerro o (k. t-kauma taulukota) + t =.797 Luottamutaoa 0.99 vataava luottamuvälk aadaa te 0.03 ± tα / = ± = ± = (0.636,0.650) Saatu luottamuväl o leveämp ku (d)-kohda luottamuväl (k. huomaututa ). Huomautu : Olkoo,,, ykkertae atuaoto kaumata N(µ, σ ). Tällö havaot,,, vodaa tulkta rppumattomk kaumaa N(µ, σ ) oudattavk atuamuuttujk. Ilkka Mell (005) /8

12 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Määrtellää havatoje,,, artmeette kekarvo kaavalla = = (oto-) vara kaavalla = ( ) (a)-kohdaa oletetaa, että hajota σ o tuettu. Tällö luottamuväl kotrukto perutu he, että atuamuuttu µ Z = N(0,) σ / (f)-kohdaa oletett, että hajota σ e ole tuettu. Tällö luottamuväl kotrukto perutu he, että atuamuuttu µ t = t( ) / Huomaa, että Studet t-kaumaa t( ) oudattava atuamuuttu t vara o kaklle (äärelllle) vapauatede lukumäärlle uuremp ku tadardotua ormaalkaumaa N(0,) oudattava atuamuuttu Z vara. Tämä merktee tä, että Studet t-kauma o pakuhätäemp ku tadardotu ormaalkauma. Edellä matuta euraa, että t-kaumaa perutuva luottamuväl o aa leveämp ku vataava ormaalkaumaa perutuva luottamuväl, joa hajoak o otettu etmotu kekhajota. Huomautu : Luottamukerro + zα / toteuttaa ehdo Φ+ ( z α ) = α / / joa Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto: Φ ( z) = Pr( Z z) Z N(0,) Koka tadardotu ormaalkauma o ymmetre paopteeä µ = 0 uhtee, Φ ( ) = α / z α / Φ+ ( zα ) Φ ( zα ) = α / α/= α / / Ilkka Mell (005) /8

13 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ehdot luottamukertomelle + z α /vodaa krjottaa myö muotoo joa Huomautu 3: Pr( Z + z ) = Pr( Z z ) = α / α / α / Pr( z Z + z ) = α α / α / Z N(0,) Oletetaa, että atuamuuttu t oudattaa Studet t-kaumaa vapauate : t t( ) Luottamukerro + tα / toteuttaa ehdo Pr( t + t α ) = α / / Koka t-kauma o ymmetre ptee 0 uhtee, Ste Huomautu 4: Pr( t t α ) = α / / Pr( t t + t ) = α / α / α Muta luottamutao frekvetulkta: Oletetaa, että totamme otataa kotruomme jokaeta otoketa tarkatelu kohteea olevalle etmotavalle parametrlle luottamu väl amaa luottamutaoa ( α) käyttäe. Tällö kekmäär ( α) % kotruoduta luottamuväletä pettää etmotava parametr tutemattoma arvo kekmäär e petä. α % Ilkka Mell (005) 3/8

14 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ecel-taulukko: Summa Havatoarvoje umma elöumma o lakettu tauluko arakeumma: = 0.34 = Oletetaa, että atuamuuttu X = Kertolaku uortuaka tetokoeella ABC oudattaa ormaalkaumaa parametre µ tuetulla varalla σ = 4 µ : X N(µ, 4) Mttaamalla uortuat 6 tetokoeea, aat euraavat uortuat: Ilkka Mell (005) 4/8

15 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket (a) (b) Mkä havatoarvoje artmeette kekarvo kauma? Lake harhato etmaatt odotuarvolle. (c) Lake 95 %: luottamuväl odotuarvolle µ. (d) Ratkau: Muodota 95 %: luottamuväl odotuarvolle, jo tetoa mttaute hajoata e ole käytettävä. Mte luottamuväl muuttuu (c)-kohda luottamuväl verrattua? K. myö tehtävää.4. (a) Jo oletamme, että havaot N(µ, σ ), =,,, ovat rppumattoma, Koka tää jollo σ = N µ, σ = 4 = 6 σ = = N µ, 4 (b) Havatoarvoje artmeette kekarvo o odotuarvo µ harhato etmaattor. Ste (k. taulukkoa tehtävä lopua): ˆ µ = = = = (c) Koka olemme olettaeet, että hajota σ o tuettu, uortua odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o muotoa ± z α / σ Ilkka Mell (005) 5/8

16 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Luottamukerro + z α / toteuttaa ehdo Φ+ ( z α ) = α / / joa Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto. Tää luottamutaoa o jollo α = 0.95 α = 0.95 = 0.05 α/ = 0.05/ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.95 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z 0.05 =.96 Luottamutaoa 0.95 vataava luottamuvälk aadaa te σ ± zα / = 4.883±.960 = 4.883± = (4.903,43.863) 6 (d) Koka olemme tää kohdaa olettaeet, että hajota σ e ole tuettu, e joudutaa etmomaa havaota. Etmaatt aadaa ormaalkauma vara σ harhattomata etmaattorta = ( ) Suortua odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o yt muotoa ± t α / Luottamukerro + t α / toteuttaa ehdo joa Pr( t + t α ) = α / / t t( ) Ilkka Mell (005) 6/8

17 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Lakemme otovara kaavalla (k. taulukkoa tehtävä lopua): Ste = = = = 4.95 =.076 Tää luottamutaoa o jollo α = 0.95 α = 0.95 = 0.05 α/ = 0.0/ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.95 vataava luottamukerro o (k. t-kauma taulukota) + t 0.05 =.3 Luottamutaoa 0.95 vataava luottamuvälk aadaa te.076 ± tα / = 4.883±.3 6 = 4.883±.039 = (4.779, ) Tää aatu luottamuväl o leveämp ku (c)-kohda luottamuväl. Ilkka Mell (005) 7/8

18 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ecel-taulukko: Summa Havatoarvoje umma elöumma o lakettu tauluko arakeumma: = = Ilkka Mell (005) 8/8