7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

Transkriptio

1 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19). Jotta tällainen q-alkioinen kunta olisi olemassa, on alkioiden lukumäärän oltava muotoa q = p d, missä p on alkuluku ja d Z + (ks. lause 4.7). Jos löydetään Z p -kertoiminen jaoton polynomi m, jonka aste on d, niin jäännösluokkarenkaassa Z p [x]/(m) on p d alkiota ja se on kunta. Vaaditun polynomin m olemassaolo ei kuitenkaan ole itsestään selvää. Esimerkiksi reaalikertoimisia jaottomia polynomejahan on vain kahdenlaisia: ensimmäisen asteen polynomit ja ne toisen asteen polynomit, joilla ei ole reaalista nollakohtaa. Seuraavassa tuodaan käyttöön sellaisia lukuteoreettisia ja polynomialgebrallisia tuloksia, joista äärellisten kuntien olemassaolo seuraa. Jaottomia polynomeja tarkasteltaessa ne voidaan olettaa pääpolynomeiksi; muussa tapauksessa johtava kerroin jaetaan pois. Olkoon q alkuluku tai muotoa p k, p alkuluku ja k Z +, oleva kokonaisluku. Olkoot n Z + ja V d (x), d Z +, kaikkien renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien tulo. Päämäärä on osoittaa, että (7.1) x qn x = V d (x) ja käyttää tätä apuna renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien lukumäärän selvittämiseen. Kaavan oikeassa puolessa indeksi d käy läpi kaikki luvun n tekijät. Kaavan (7.1) vasemman puolen polynomin aste on q n, joten oikean puolen tulona esitetyn polynomin asteen pitää olla sama. Myöhemmin tullaan osoittamaan, että jokainen polynomissa V d (x) esiintyvä jaoton tekijä on yksinkertainen, t.s. polynomissa V d (x) ei esiinny minkään jaottoman polynomin toista tai korkeampaa potenssia. (Vertaa: tulossa 30 = jokainen tekijä on yksinkertainen, tulossa 45 = ei.) Olkoon nyt I d on renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien lukumäärä. Tällöin polynomin V d (x) aste on d I d ja kaavan (7.1) oikean puolen tulon aste siis d I d. Kaava (7.1) antaa siis lukuja I d varten yhtälön (7.2) q n = d I d. Tämä yhtälö on erikoistapaus yhtälöstä (7.3) g(n) = f(d), missä f ja g ovat funktioita Z + Z +. Tällaisiet yhtälöt, joissa summa on ns. divisorisumma, voidaan ratkaista ns. Möbiuksen µ-funktion avulla: (7.4) f(n) = µ(d) g ( n). d 17 Viimeksi muutettu

2 7.1. Möbiuksen µ-funktio. Möbiuksen µ-funktio on funktio Z + Z, joka voidaan määritellä palautuskaavalla (7.5) µ(1) = 1 ja µ(d) = 0, kun n > 1. Esimerkki 7.1. Koska d 2, jos ja vain d = 1 tai d = 2, on 0 = d 2 µ(d) = µ(1)+ µ(2), joten µ(2) = 1. Vastaavasti 0 = d 3 µ(d) = µ(1) + µ(3), joten µ(3) = 1, ja 0 = d 4 µ(d) = µ(1) + µ(2) + µ(4), joten µ(4) = 0. Seuraavaan taulukkoon on laskettu muutama ensimmäinen µ-funktion arvo: n µ(n) Möbiuksen µ-funktion arvot alkuluvun p potensseille p k, k Z +, on helppo laskea: Luvun n = p k tekijät ovat 1, p,..., p k, joten Siis 0 = d p k µ(d) = µ(1) + µ(p) + + µ(p k ). µ(p) = 1 ja µ(p k ) = 0, kun k > 1. Osoitetaan seuraavaksi, että µ-funktiolle on voimassa µ(m n) = µ(m) µ(n), kun syt(m, n) = 1, t.s. kun m ja n ovat keskenään jaottomat. Tästä ja edellisestä saadaan yleinen kaava 1, kun n = 1, (7.6) µ(n) = ( 1) r, kun n on keskenään erisuurten alkulukujen p 1,..., p r tulo, 0, kun luvulla n on moninkertainen alkulukutekijä. Ominaisuutta µ(m n) = µ(m) µ(n), kun m ja n ovat keskenään jaottomat, kutsutaan multiplikatiivisuudeksi. Yleisemmin funktio f : Z + Z on multiplikatiivinen, jos f(1) = 1 ja f(m n) = f(m) f(n), kun m ja n ovat keskenään jaottomat. Möbiuksen µ-funktion määrittelevän palautuskaavan oikean puolen funktio { 1, kun n = 1, δ 1 : n 0, kun n > 1, on selvästi multiplikatiivinen. Osoitetaan yleisesti, että jos funktio f toteuttaa yhtälön g(n) = f(d) kaikille n Z +, ja funktio g on multiplikatiivinen, niin myös f on multiplikatiivinen. Tämä käy induktiolla luvun n suhteen. Jos n = 1, on tarkasteltava yhtälö g(1) = f(1). Koska g(1) = 1, on f(1) = 1. Oletetaan nyt, että n > 1, ja että f toteuttaa multiplikatiivisuusehdon f(m 1 m 2 ) = f(m 1 ) f(m 2 ) kaikille m = m 1 m 2, joille m < n ja m 1 ja m 2 ovat keskenään jaottomat. 50

3 Olkoon n = n 1 n 2, missä n 1 ja n 2 ovat keskenään jaottomat. Luvun n tekijät d voidaan nyt esittää muodossa d = d 1 d 2, missä d 1 n 1 ja d 2 n 2 (ja tietysti d 1 ja d 2 ovat keskenään jaottomat). Nyt g(n 1 n 2 ) = f(d) = f(d 1 d 2 ). 1 n 2 d 2 n 2 Toisaalta d 1 n 1 ( )( ) g(n 1 ) g(n 2 ) = f(d 1 ) f(d 2 ) = d1 n1 f(d 1 ) (d 2 ). d 1 n 1 d 2 n 2 d 2 n 2 Induktio-oletuksen nojalla f(d 1 d 2 ) = f(d 1 ) (d 2 ) kaikille d 1 n 1 ja d 2 n 2 paitsi ehkä tapauksessa d 1 = n 1 ja d 2 = n 2, t.s. tapauksessa d 1 d 2 = n 1 n 2. Siis g(n 1 n 2 ) g(n 1 ) g(n 2 ) = f(d 1 d 2 ) f(d 1 ) (d 2 ) = f(n 1 n 2 ) f(n 1 ) f(n 2 ). d 1 n 1 d 2 n 2 d 2 n 2 d 1 n 1 Väite seuraa tästä. Palataan Möbiuksen µ-funktioon. Koska määrittelevän palautuskaavan oikean puolen funktio δ 1 on multiplikatiivinen ja µ toteuttaa divisorisummayhtälön (7.3), missä g := δ 1 ja f := µ, on myös µ multiplikatiivinen. Kun µ on multiplikatiivinen, saadaan (7.6). Ei ole vaikea näyttää, että ehdot (7.6) määräävät Möbiuksen funktion täysin, t.s. kaavan (7.6) määrittelemä funktio µ toteuttaa palautuskaavan (7.5). Tämän osoittaminen jätetään lukijan tehtäväksi. Kannattaa huomata, että kaavan (7.5) divisorisummassa luku n voidaan olettaa keskenään erisuurten alkulukujen p 1,..., p r tuloksi Möbiuksen käänteiskaava. Olkoot f, g : Z + G funktioita, joiden maalijoukko on Abelin ryhmä G. Ryhmän G laskutoimitusta merkitään seuraavassa yhteenlaskuna. Oletetaan nyt, että funktio f toteuttaa yhtälön (7.3) g(n) = f(d), n Z Tällöin µ(d) g ( n) (1) = d = (2) = d n (3) = d n µ ( n) g(d) d ) µ ( n d j (n/d ) d (n/d ) d d f(d ) µ ( n j d ) f(d ) µ(d) f(d ) (4) = δ 1 (n/d ) f(d ) = f(n). d n Merkitään D n := {d Z + d n}. Kohta (1) seuraa siitä, että D n = {n/d d D n }. Kohtaa (2) varten esitetään n ja d muodoissa n = k d ja d = j d. Tällöin

4 n = k j d, joten d D n ja n/d = k j. Siis j (n/d ) ja n/d = n/(j d ). Jos taas d D n ja j (n/d ), on n = l d ja n/d = k j. Siis n = k j d, joten d := j d D n ja d D d. Yhtäsuuruuden (2) kummankin puolen summissa on siis samat termit. Kohta (3) seuraa siitä, että D n/d = {n/(j d ) j D n/d }. Kohta (4) seuraa Möbiuksen funktion määritelmästä. Aiemmin Eulerin ϕ-funktiolle on osoitettu, että ϕ(d) = n. Kun tähän sovelletaan Möbiuksen käänteiskaavaa (g := identtinen), saadaan ϕ(n) = n µ(d) d. Koska kuvaus n n on multiplikatiivinen, on myös ϕ multiplikatiivinen (vrt. kaavan (7.6) yhteydessä olleisiin tarkasteluihin). On helppo todeta, että ϕ(p k ) = p k p k 1, kun p on alkuluku, joten Eulerin ϕ-funktiolle saadaan esitys ϕ(p k 1 1 p kn n ) = (p 1 1) p k (p n 1) pn kn 1 = p k 1 1 p kn n kun p 1,..., p n ovat keskenään erisuuria alkulukuja ja k 1,..., k n Z +. n j=1 p j 1 p j, 7.3. Äärellisten kuntien olemassaolo. Todistetaan seuraavaksi luvun alussa esitetty kaavaa (7.1): Lause 7.2. Olkoot F q kunta, jossa on q alkiota, ja n Z +. Tällöin on voimassa (7.1) x qn x = V d (x), missä V d (x) on kaikkien renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien tulo. Todistus. Olkoon d luvun n tekijä. Olkoon f(x) F q [x] renkaassa F q [x] jaoton, astetta d oleva pääpolynomi. Olkoon F := F q [x]/(f(x)) polynomin f(x) määräämää jäännöluokkarengas. Tällöin F on kunta, jossa on q d alkiota. Olkoon α := [x] f(x) F polynomin x määräämä jäännösluokka. Fermat n pienen lauseen nojalla α qd = α, joten [x qd ] f(x) = [x] f(x), t.s. f(x) x qd x. Koska syt(x qd x, x qn x) = x qsyt(d,n) x, on x qd x x qn x, jos ja vain jos d n. Koska f(x) x qd x, on siis f(x) x qn x jokaiselle sellaiselle renkaan F q [x] jaottomalle, astetta d olevalle pääpolynomille f(x), jolle d n. Olkoon kääntäen f(x) F q [x] renkaassa F q [x] jaoton pääpolynomi, joka jakaa polynomin x qn x, t.s. f(x) x qn x. Kun d := deg f(x), on edellisen nojalla f(x) x qd x. Tällöin f(x) syt(x qd x, x qn x) = x qsyt(d,n) x. 52

5 Kunnan F = F q [x]/(f(x)) alkiolle α = [x] f(x) tämä tarkoittaa, että α qe = α, missä e := syt(d, n). Koska jokainen polynomi, jonka aste on enintään d 1 voidaan esittää polynomien 1, x,..., x d 1 lineaarikombinaationa, voidaan jokainen kunnan F alkio esittää muodossa β = a 0 + a 1 α + + a d 1 α d 1. Tällöin Fermat n pienen lauseen ja lauseen 4.13 nojalla saadaan β qe = a qe 0 + a qe 1 α qe + + a qe d 1 (αd 1 ) qe = a 0 + a 1 α qe + + a d 1 (α qe ) d 1 = a 0 + a 1 α + + a d 1 α d 1 = β. Siis jokainen kunnan F alkio (joita on q d kappaletta) toteuttaa yhtälön x qe x = 0. Tällä yhtälöllä on enintään q e juurta, joten e d. Koska e = syt(d, n), on e = d. Tämä tarkoittaa, että d n. Siis jokaisen renkaan F q [x] jaottoman pääpolynomin f(x), joka jakaa polynomin x qn x, aste on luvun n tekijä. Väitetty kaava seuraa, kun osoitetaan, että polynomilla x qn x ei ole moninkertaisia tekijöitä. Polynomin x qn x derivaatta on q n x qn 1 = 1, sillä jos q = p m, missä p on alkuluku (kunnan F q karakteristika), on p g(x) = 0 jokaiselle polynomille g F q [x], jolloin myös q n g(x) = 0. Tästä seuraa, että polynomit x qn x ja sen derivaatta ovat keskenään jaottomat (syt = 1). Lukijalle jätetään tehtäväksi osoittaa, että jos polynomilla g(x) on muotoa (h(x)) 2 oleva tekijä, missä h(x) on ei-vakio polynomi, on syt(g(x), g (x)) jaollinen polynomilla h(x), jolloin siis syt(g(x), g (x)) 1. Seuraus 7.3. Kun I d on renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien lukumäärä, toteuttavat luvut I d divisorisummayhtälön (7.2) q n = Kun tähän divisorisummayhtälöön sovelletaan Möbiuksen käänteiskaavaa (7.4) (valitaan g(n) := q n ja f(d) := d I d ), saadaan Seuraus 7.4. I n = 1 µ(d) q n/d. n d I d. Lasketaan muutama ensimmäinen n I n, joista on helppo todeta, että n I n > 0: 2 I 2 = q 2 q, 3 I 3 = q 3 q, 4 I 4 = q 4 q 2 5 I 5 = q 5 q, 6 I 6 = q 6 q 3 q 2 + q, 7 I 7 = q 7 q, 8 I 8 = q 8 q 4, 9 I 9 = q 9 q 3, 10 I 10 = q 10 q 5 q 2 + q Edellä saadusta yleisestä kaavasta seuraa, että I n > 0 kaikille n Z +. Nimittäin, koska µ(1) = 1, on µ(d) qn/d = µ(n/d) qd = q n +, d<n µ(n/d) qd. Tässä esiintyvässä summassa on jokainen d n/2, joten, d<n n/2 µ(n/d) q d q d = qn/2+1 q q 1 d=1 2 q n/2. 53

6 Viimeisessä apuna on tieto q 2. Siis n I n = µ(n/d) qd q n 2 q n/2 > 0, kun n 3. Tapauksessa n = 2 on 2 I 2 = q 2 q > 0. Seuraus 7.5. Oletetaan, että on olemassa kunta F q [x], jossa on q alkiota. Tälllöin I n > 0 kaikille n Z +, t.s. jokaiselle n Z + on olemassa jaoton polynomi f(x) F q [x], jonka aste on n. Kun edellistä tulosta sovelletaan tapaukseen q = p on alkuluku, saadaan Seuraus 7.6. Jokaiselle alkuluvulle p ja jokaiselle n Z + on olemassa äärellinen kunta F p n, jossa on p n alkiota. Kun tuloesitys (7.1) kirjoitetaan muotoon x qn x = saadaan asteita tarkastelemalla joten In q n q n = deg V n (x) + V d (x) = V n (x),d<n,d<n V d (x), deg V d (x) n I n, 1. Kun tähän yhdistetään edellä saadusta alarajasta saatava epäyhtälö n n I n /q n 1 2 q n/2, saadaan jaottomien pääpolynomien suhteelliselle lukumäärälle (tapaukset n = 2 ja n = 3 pitää tarkistaa erikoistapauksina) 1 2n I n q n 1 n Jaottomien polynomien tulo. Renkaan F q [x] murtokunta on murtolausekkeiden A(x)/B(x), missä A(x), B(x) F q [x], B(x) 0, muodostama kunta. Tätä kuntaa merkitään F q (x). Kun Möbiuksen käänteiskaavaa sovelletaan multiplikatiiviseen Abelin ryhmään G := (F q (x)) = F q (x) \ {0}, jolloin divisorisumma muuttuu divisorituloksi, ja divisorituloyhtälöön (7.1) x qn x = V d (x), 54 saadaan renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien tulolle esitys V n (x) = (x qd x) µ(n/d). Esimerkki 7.7. Kun I q,n on renkaan F q [x] jaottomien, astetta n olevien pääpolynomien lukumäärä, on I 2,2 = 1 I 2,3 = 2 I 2,4 = 3 I 2,5 = 6 I 2,6 = 9 I 3,2 = 3 I 3,3 = 8 I 3,4 = 18 I 3,5 = 48 I 3,6 = 116 I 4,2 = 6 I 4,3 = 20 I 4,4 = 60 I 4,5 = 204 I 4,6 = 670 I 5,2 = 10 I 5,3 = 40 I 5,4 = 150 I 5,5 = 624 I 5,6 = 2580 I 7,2 = 21 I 7,3 = 112 I 7,4 = 588 I 7,5 = 3360 I 7,6 = I 8,2 = 28 I 8,3 = 168 I 8,4 = 1008 I 8,5 = 6552 I 8,6 = I 9,2 = 36 I 9,3 = 240 I 9,4 = 1620 I 9,5 = I 9,6 = 88440

7 Erityisesti kun q = 2, saadaan edellisen kaavan avulla seuraavista yhtäsuuruuksista ensimmäiset; toiset yhtäsuuruudet saadaan supistamalla yhteiset tekijät pois 18 ; viimeinen yhtäsuuruus eli esitys jaottomien polynomien tulona ei seuraa edellisestä (huomaa, että tulossa ovat kaikki k.o. astetta olevat jaottomat polynomit): V 2 (x) = x4 x x 2 x = x2 + x + 1 = x 2 + x + 1 V 3 (x) = x8 x x 2 x = x6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = ( x 3 + x + 1 ) ( x 3 + x ) V 4 (x) = x16 x x 4 x = x12 + x 9 + x 6 + x = ( x 4 + x + 1 ) ( x 4 + x 3 1 ) ( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ) V 5 (x) = x32 x x 2 x = x30 + x 29 + x 28 + x 27 + x 26 + x 25 + x 24 + x 23 + x 22 + x 21 + x 20 + x 19 + x 18 + x 17 + x 16 + x 15 + x 14 + x 13 + x 12 + x 11 + x 10 + x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = ( x 5 + x 2 1 ) ( x 5 + x ) ( x 5 + x 3 + x 2 + x + 1 ) ( x 5 + x 4 + x 2 + x + 1 ) ( x 5 + x 4 + x 3 + x + 1 ) ( x 5 + x 4 + x 3 + x ) V 6 (x) = (x2 x) (x 64 x) (x 4 x) (x 8 x) = x54 + x 53 + x 51 + x 50 + x 48 + x 46 + x 45 + x 43 + x 42 + x 33 + x 32 + x 30 + x 29 + x 27 + x 25 + x 24 + x 22 + x 21 + x 12 + x 11 + x 9 + x 8 + x 6 + x 4 + x 3 + x + 1 = ( x 6 + x + 1 ) ( x 6 + x ) ( x 6 + x 4 + x 2 + x + 1 ) ( x 6 + x 4 + x 3 + x + 1 ) ( x 6 + x ) ( x 6 + x 5 + x 2 + x + 1 ) ( x 6 + x 5 + x 3 + x ) ( x 6 + x 5 + x 4 + x + 1 ) ( x 6 + x 5 + x 4 + x ) Yksikäsitteisyys. Olkoot f(x) renkaan Z p [x] jaoton, astetta n oleva pääpolynomi, ja F := Z p [x]/(f(x)). Tällöin F on kunta, jossa on p n alkiota. Olkoon nyt E jokin kunta, jossa myös on p n alkiota. Tarkoitus on osoittaa, että E on isomorfinen kunnan F kanssa. Kunnalla E on alikuntana Z p ja E on Z p -kertoiminen vektoriavaruus (ks. lause 4.7), jonka dimensio on n. Lauseen 7.2 nojalla x pn x hajoaa renkaan Z p [x] jaottomien, astetta d, d n, olevien pääpolynomin tuloksi. Erityisesti siis f(x) jakaa polynomin x pn x, x pn x = f(x) g(x) jollekin g(x) Z p [x]. Toisaalta lauseen 4.11 nojalla polynomi x pn x hajoaa ensimmäisen asteen tekijöiden tuloksi renkaassa E[x], x pn x = a E (x a). Jokaiselle a E on siis 18 Apuna tuttu kaava (t n 1)/(t 1) = t n 1 + t n t + 1.

8 f(a) g(a) = 0. Koska polynomin f(x) aste on n, on polynomin g(x) aste p n n. Polynomilla f(x) voi siis toisaalta olla enintään n juurta kunnassa E ja polynomilla g(x) vastaavasti enintään p n n. Näistä seuraa, että polynomilla f(x) on tasan n juurta kunnassa E. Kiinnitetään jokin polynomin f(x) kuntaan E kuuluva juuri α. Tällöin 1, α, α 2,..., α n 1 ovat Z p -lineaarisesti riippumattomat. Jos nimittäin olisi λ 0,..., λ n 1 Z p siten, että λ 0 + λ 1 α + + λ n 1 α n 1 = 0, olisi h(x) := λ 0 + λ 1 x + + λ n 1 x n 1 renkaan Z p [x] enintään astetta n 1 oleva polynomi, jonka juuri α on. Tällöin polynomille k(x) := syt(f(x), h(x)) Z p [x] on k(α) = 0. Koska f(x) on jaoton renkaassa Z p [x] ja polynomin k(x) aste on aidosti pienempi n = deg f(x), on k(x) = 1, mikä ei ole mahdollista, koska vakiopolynomilla ei ole juuria. Koska 1, α, α 2,..., α n 1 ovat Z p -lineaarisesti riippumattomat, ja dim Zp E = n, muodostavat 1, α, α 2,..., α n 1 Z p -vektoriavaruudelle E kannan. Jokainen β E voidaan siis esittää muodossa joillekin λ 0,..., λ n 1 Z p. Osoitetaan, että kuvaus β = λ 0 + λ 1 α + + λ n 1 α n 1 Z p [x] E, λ 0 + λ 1 x + + λ n 1 x n 1 λ 0 + λ 1 α + + λ n 1 α n 1, määrittelee rengasisomorfismin F = Z p [x]/(f(x)) E, [λ 0 + λ 1 x + + λ n 1 x n 1 ] f(x) λ 0 + λ 1 α + + λ n 1 α n 1. Tämä seuraa itse asiassa lauseesta 4.3 (ja sen todistuksesta): alkio α E on algebrallinen kunnan Z p suhteen ja jaottomana polynomina f(x) on kunnassa E olevan juurensa minimipolynomi kunnan Z p suhteen. Lauseen 4.3 nojalla F = Z p [x]/(f(x)) on isomorfinen kunnan Z p (α) = E kanssa. Yhteenvetona: Seuraus 7.8. Jokaiselle alkuluvulle p ja jokaiselle n Z + on olemassa (isomorfismia vaille) yksi ja vain yksi äärellinen kunta F p n, jossa on p n alkiota. Tällainen kunta voidaan esittää muodossa Z p [x]/(f(x)), missä f(x) on renkaassa Z p [x] jaoton, astetta n oleva polynomi. 56