Oulun ylopsto Fyskan opetuslaboratoro Fyskan laboratorotyöt LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII Tarkastelemme fyskan tössä usen eteen tulevaa tlannetta, jossa olemme mtanneet kpl pstepareja ( X, Y ). Arvot X vodaan olettaa tarkoks, mutta arvohn vakuttaa satunnasa, normaaljakauman mukasa vrhetä ja jokasen arvon epätarkkuus on sama. Lsäks tedämme, että tutkmaamme lmötä kuvaavan malln mukaan muuttujen X ja Y välllä tuls olla lneaarnen rppuvuus, ts. Y a + bx, (L.) mssä a ja b ovat tuntemattoman suoran vakoterm ja kulmakerron. Tlanne on tällanen esmerkks tämän työn kohdalla, kun määrtämme jousen jousvakota mttaamalla jousen pakkaa astekolla sekä värähtelevän jous-punnussysteemn helahdusakaa massan funktona. Molemmssa mttauksssa punnuksen massa vodaan olettaa tarkaks, mutta sekä pakkaan että helahdusakaan vakuttaa satunnasa vrhetä. Seuraavassa tutustumme kahteen erlaseen menetelmään, joden avulla vomme sovttaa yhtälön (L.) mukasen suoran havantopstesmme: Graafseen sovtukseen, jossa prrämme havantopsteet ensn mllmetrpaperlle, prrämme stten ns. graafsta tasotusta käyttäen mahdollsmman hyvn havantopstetä noudattavan suoran ja määrtämme prretyn suoran avulla kulmakertomen b ja mahdollsest myös vakotermn a. Toseks tutustumme myös penmmän nelösumman menetelmään, jossa ajatellaan, että parhammat arvot kulmakertomelle ja vakotermlle saadaan, kun havattujen ja teoreettsten Y-arvojen pokkeamen nelöden summa saa penmmän mahdollsmman arvon. Y Y. Kuvaajsta Kuvaajen prtämstä koskevat mm. seuraavat ohjeet:. Papern valnta: Jos prrät kuvaajan käsn, käytä mllmetrpapera. Jos teet kuvaajan tetokoneella, tulosta se rttävän suuressa koossa. Usen erllnen lte, jossa kuvaaja täyttää koko svun, on paras ratkasu.. Astekon valnta ja psteden merktsemnen: Valtse astekko ja mttakaava sten, että psteet on helppo merktä koordnaatstoon ja psteden kautta kulkevan kuvaajan ykstyskohdat erottuvat. Merktse psteet selväst näkyvn käyttäen symbolna esmerkks kolmota, nelötä ta rasta. 3. Akselen jaotus ja katkasu: Merktse akselen jaotus ja numerot selväst näkyvn. Jos prrettävät arvot sjatsevat kaukana orgosta, akseln vo katkasta ja prtää
LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII näkyvn van alueen, jossa sjatsee mttauspstetä. Katkasu merktään aksellle esmerkks kahdella pokkvvalla ohesen malln tapaan. 4. Akselen nmeämnen: meä akselt nn, että nmestä käyvät lm sekä suure että mttaykskkö. Käytä kuvaajassa samoja merkntöjä ja symboleta kun muuallakn selostuksessas. 5. umero ja otsko kuvaaja seuraavast: Kuva. Jousen venymä punnuksen massan funktona. Kuvaajan otskon vo sjottaa kuvan ylä- ta alapuolelle. Yleensä kuvaajat numerodaan, jollon otskkoon tulee pste numeron jälkeen. Jos otskko on kokonanen lause, pste tarvtaan myös otskon loppuun. Otskon lopussa olevaa pstettä on usen tapana käyttää ana, jos kuvaajat on numerotu. Alla olevaan mallkuvaan on velä koottu tärkempä kuvaajan prtämstä koskeva sääntöjä. 0,4 0,3 y (m) Merktse havantopsteet selväst näkyvlle. Käytä esmerkks kolmota, nelötä ta rasta symbolna. Valtse mttakaava sten, että havantopsteet ja suora täyttävät relust koko prtoalueen. meä aksel muodossa suure (ykskkö). Merktse akselelle jaotus ja numerot selväst näkyvn. 0, 0, Prrä suora käyttäen vvotnta. Jos suora e kulje orgon kautta, jatka suoraa tarvttaessa, nn että vot määrttää sen lekkauspsteet vaakaja/ta pystyakseln kanssa. 0 m (kg) 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80,00,0 umero ja otsko kuvaaja Kuva a). Jousen venymä massan funktona.
Oulun ylopsto Fyskan opetuslaboratoro Fyskan laboratorotyöt 3. Suoran graafnen tasotus ja sovtus Kun havantopsteet on prretty kuvaajaan, nhn vodaan sovttaa suora prtämällä psteden kautta kulkeva suora ns. graafsta tasotusta käyttäen. Tällön havantopstetä mukaleva noudattaa mahdollsmman tarkkaan havantopstetä, vakka se e kuljekaan kakken psteden kautta. yrkksääntönä graafsessa tasotuksessa vot ptää stä, että suoran ylä- ja alapuolelle jää yhtä monta pstettä. Jos tässä vaheessa löytyy selväst vrheellsä havantoja, ne vo jättää huomotta suoraa prrettäessä, vakka psteet merktäänkn graafseen estykseen. Tarkastellaan velä lyhyest esmerkkkuvaajan avulla stä, mten kulmakertomen vo määrttää graafsest. Valtse kaks suoran pstettä mttausalueen alku- ja loppupäästä nn, että käytät kulmakertomen määrtyksessä mttausaluetta mahdollsmman laajast. (Huom.! Valtut psteet ovat ss prretyn suoran pstetä, evät mtattuja pstetä.) Lue valtsemes psteden x-arvot (el esmerkkkuvaajassa m-arvot) ja nätä vastaavat y:n arvot (esmerkssä y:n arvot). Määrtä x-arvojen erotus Dx ja y-arvojen erotus Dy. Suoran kulmakerron on nyt Dy/Dx el esmerkssä Dy/Dm. 0,4 y (m) Dm (0,96-0,06) kg 0,3 0, Dy (0,35-0,05) m 0, b Dy/Dm 0,375 m/ 0,90 kg 0,3639 m/kg 0 m (kg) 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80,00,0 Kuva b). Jousen venymä massan funktona.
4 LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII 3. Penmmän nelösumman menetelmä 3. Penmmän nelösumman sovtus taulukkomenetelmällä Kun mtataan värähtelevän jous-punnussysteemn helahdusakaa massan funktona, helahdusajan nelön mukaan rppuvuus T ja punnuksen massan m välllä on työohjeen yhtälön (.7) T m 3k j + k m el T a + b m, mssä k on jousen jousvako ja m j on jousen massa. Jos pystymme määrttämään mttaustulostemme avulla vakoden a ja b arvot, saamme nden avulla lasketuks jousen jousvakon ja massan arvot, josta olemme knnostuneta. Kutakn mttauksssa käyttämäämme arvoa Y ja yhtälöstä (L.) saatava teoreettnen arvo teor X vastaa nyt kaks arvoa: Havattu arvo teor y y a + bx. (L.) Muodostetaan nyt teoreettsten arvojen y teor ja havattujen arvojen Y erotusten nelöden summa Q. Yhtälön (L.) perusteella saamme teor å( y -Y ) ( a + bx Y Q å - ). (L.3) Penmmän nelösumman menetelmässä ajatellaan, että vakoden a ja b todennäkösmmät arvot, joden epätarkkuus on penn mahdollnen, löytyvät tlanteessa, jossa yhtälössä (L.3) esntyvä nelöden summa Q saa penmmän mahdollsen arvon. Tästä johtuu nm penmmän nelösumman menetelmä. Haetaan summan Q penn mahdollnen arvo laskemalla sen osttasdervaatat vakoden a ja b suhteen ja asettamalla ne nollks. Tällön saamme seuraavat yhtälöpart ì Q ì å ( a + bx - Y ) 0 a + bå X - åy 0 a í Þ í. (L.4) Q å ( a + bx - Y ) X 0 aå X + bå X - å X Y 0 î b î
Oulun ylopsto Fyskan opetuslaboratoro Fyskan laboratorotyöt 5 Esmerkks ratkasemalla b ylemmästä yhtälöstä ja sjottamalla saatu lauseke alempaan yhtälöön saadaan selvlle vakon a arvo. Sjottamalla tämä tulos ylemmästä yhtälöstä saatuun b : n lausekkeeseen saadaan myös vakon b arvo. än saadaan vakotermlle a ja kulmakertomelle b lausekkeet ì a í î åx åy - åxåxy åx - ( åx ) å XY - åxåy b å X - ( å X ). (L.5) Esmerkk. Eräässä työssä haluttn määrttää kerrejousen jousvako ja massa. Tätä varten jouseen rpustettn ykstellen lsäämällä 0 kpl punnuksa, joden jokasen massa ol 00 g, jous punnuksneen pantn helahtelemaan ja mtattn kymmeneen peräkkäseen helahdukseen kuluva aka kolme kertaa. Tällön saatn alla olevan Taulukon mukaset tulokset. Sovta tuloksn työohjeen yhtälön (.7) mukanen penmmän nelösumman suora ja määrtä sen avulla jousen jousvako ja massa. Ratkasu: Lasketaan ensn kutakn massaa vastaavat kymmeneen helahdukseen kuluvat ajat kolmen havannon keskarvona ja krjataan nämä taulukkoon. Jakamalla nämä ajat kymmenellä saadaan selvlle tutktun harmonsen värähteljän jaksonaka. Penmmän nelösumman menetelmää varten tarvtsemme kutenkn jaksonakojen nelöt. ämä on laskettu ja lstattu Taulukkoon. Taulukko. Mtatut kymmenen helahduksen ajat sekä nden keskarvot. m (kg) 0T (s) 0T (s) 0T 3 (s) 0T ka (s) 0, 5,48 5,50 5,45 5,476667 0, 7,9 7,4 7,6 7,63333 0,3 8,67 8,7 8,65 8,676667 0,4 9,9 9,85 9,89 9,886667 0,5 0,93 0,96 0,99 0,96000 0,6,9,98,95,94667 0,7,83,86,87,85333 0,8 3,7 3,69 3,74 3,7333 0,9 4,5 4,53 4,49 4,5000,0 5,7 5,6 5,8 5,7000
6 LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII Jotta vosmme laskea vakotermn a ja kulmakertomen b yhtälöstä (L.5), medän on laskettava seuraavat summat å m å m, åt, å m T, jossa kakssa summaus, kulkee : n arvosta arvoon 0. Tässä tapauksessa X ja T vastaa merkntää m vastaa yhtälön (L.5) merkntää Y. Kootaan näden laskemsta varten Taulukko, jonka tonen sarake vasemmalla ssältää mttauksssa käytetyt massan arvot. Seuraavaan sarakkeeseen on laskettu massojen nelöt. eljäs sarake vasemmalta luken ssältää helahdusakojen nelöt ja sarake äärmmäsenä okealla massan ja helahdusajan nelön tulon kullakn käytetyllä massan arvolla. Taulukon almmalla rvllä näkyvät tarvttavat summat. Taulukko. Penmmän nelösumman suoran parametren laskemsessa tarvttavat arvot. m (kg) m (kg ) T ka (s ) mt ka (kgs ) 0, 0,0 0,99939 0,09994 0, 0,04 0,57560 0,055 3 0,3 0,09 0,75845 0,5854 4 0,4 0,6 0,97746 0,390985 5 0,5 0,5,06 0,600608 6 0,6 0,36,478 0,856337 7 0,7 0,49,6508,56457 8 0,8 0,64,880555,504444 9 0,9 0,8,0540,89486 0,0,00,3379,3379 Summat 5,5 3,85 3,5607 9,09678 Sjotetaan nyt tarvttavat summat vakotermn a ja kulmakertomen b lausekkesn, jollon saamme a ja åm åt - åmå å m - ( å m) 50,650665 kg s 38,5 kg å å å mt - 50,0396 kg - 30,5 kg 3,85 kg s 3,5607 s 0 3,85 kg 0,68370 kg 8,5 kg - 5,5 kg 9,09678 kgs - (5,5kg) s 0,074954 s» 0,0750 s mt - m T 0 9,09678kgs - 5,5 kg 3,5607 s b å m - ( å m) 0 3,85 kg - (5,5kg). 90,96780 kgs - 7,358094 kgs 8,60977 kgs s s,5573»,6 38,5 kg - 30,5 kg 8,5 kg kg kg
Oulun ylopsto Fyskan opetuslaboratoro Fyskan laboratorotyöt 7 Yllä olevan kulmakertomen b arvon perusteella jousen jousvakoks saadaan b s,5573 kg k Þ k b,5573s kgm» 7,5 kg s m 7,5 m. Vastaavast käyttämällä kulmakertomen b ja vakotermn a arvoja yhdessä saamme jousen massaks a m 3k j m j æ ö 3ç è b ø bm 3 j Þ m j 3a b 3 0,074954 s,5573 s kg» 0,0997 kg 99,7 g. Lasketaan velä penmmän nelösumman prtämstä varten teoreettset helahdusajan nelöt (T ) teor, jotka vastaavat punnuksen massan arvoja m 0, kg, m 5 0,5 kg ja m,0 kg. älle saadaan 0 teor ( T ) a + bm ì0,074954 s í0,074954 s î 0,074954 s +,5573s +,5573s +,5573s kg 0,kg» 0,30 s kg 0,5 kg»,0 s kg,0 kg»,33 s. Havantopsteet ja penmmän nelösumman suora näkyvät alla olevassa kuvaajassa. Kuva. Helahdusajan nelö massan funktona. T 3 (s ),5,5 0,5 Merktse havantopsteet selväst näkyvlle. Laske suoran prtämstä varten muutama helahdusajan nelön arvo yhtälöstä T a +b m. 0 m (kg) -0, 0 0, 0,4 0,6 0,8, -0,5 Prrä suora käyttäen vvotnta, jatka - suoraa tarvttaessa nn, että vot lukea lekkauspsteen m-akseln kanssa.
8 LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII 3. Penmmän nelösumman sovtus Excel-taulukkolaskentaohjelmalla ykysn penmmän nelösumman sovtus tehdään yleensä sopvaa tetokoneohjelmaa käyttäen. Seuraavassa on koottu lyhyest ohjeet shen, mten sovtus tehdään Exceltaulukkolaskentaohjelmalla: ) Krjaa mttaustulokses Excel-taulukkoon. Tee tarvttavat laskutomtukset Excelllä, nn että snulla on taulukossas sarakkeet, josta löytyvät tarkoks oletetut arvot X ja ntä vastaavat satunnasa vrhetä ssältävät mtatut arvot Y. Esmerkks edellä estetyssä helahdusakamttauksessa vot lähteä lkkeelle Taulukossa olevsta mttaustulokssta ja laskea Exceln avulla kunkn helahdusajan nelön T. ) Prrä havatut ( X, Y )- pstepart (el tässä ( m, T )- psteet) Excelllä kuvaajaan ja muokkaa kuvaajaa nn, että se on sopvan kokonen ja seltä löytyvät edellä Kuvassa vaadtut asat el esmerkks kuvaajan ja akseleden otskot. 3) Lsää kuvaajaan penmmän nelösumman suora esmerkks osottamalla okealla hrnäppämellä jotakn suoran pstettä ja valtsemalla kohta nsert trendlne (suomenkelsessä versossa lsää suuntavva ). Yleensä ohjelma ehdottaakn jo avautuvassa kkunassa vahtoehtoa lnear. Jos velä merktset kkunaan rastn ruutuun Dsplay equaton on chart, nn saat kuvaajaan halutessas näkyvn suoran yhtälön. (Huom.! Jos käytät joskus van kuvaajassa näkyvää yhtälöä, huolehd stä, että kulmakerron ja vakoterm näkyvät rttävällä numeersella tarkkuudella.) 4) Tee stten varsnanen penmmän nelösumman sovtus velä erkseen seuraavast: - Maalaa esmerkks mttaustulostaulukkos alapuolelle x-taulukko ja krjota taulukon vasempaan yläkulmaan LIEST( ta suomenkelnen käsky LIREGR(. Excel arvaa kyllä komennon jo muutamasta krjamesta, joten vot myös valta okean vahtoehdon lstasta tuplaklkkauksella. - Kun pääset kohtaan, jossa sulku on auk, Excel alkaa kysellä snulta tetoja. Koko komento on muotoa LIEST(y:n arvot; x:n arvot; tos; tos) el sulkujen ssällä on neljä parametra, jotka erotetaan tosstaan puolpsten. - Muuttujen y ja x arvot vot maalata hrellä tekemästäs taulukosta. - Ensmmänen parametresta, joden arvo yllä on tos, vo myös puuttua, jollon kohtaan tulee van kaks puolpstettä peräkkän. Tos vodaan lmottaa myös käyttäen numeroa. Jos parametr saa arvon tos, Excel laskee myös suoran vakotermn. Sen sjaan antamalla tässä parametrlle arvo epätos, Excel pakottaa suoran kulkemaan orgon kautta, jollon pns-suoran vakoterm on nolla. - Kun vmenen sulkujen ssällä oleva parametr saa arvon tos (ta ), Excel laskee myös vrherajat kulmakertomelle ja vakotermlle. - Pana lopuks CTRL-SHIFT-ETER. Tällön maalaamaas x-taulukkoon tulostuvat ensmmäselle rvlle penmmän nelösumman suoran kulmakerron ja vakoterm ja toselle rvlle nden vrheet.