Karttaprojekton vakutus aluettasten geometrsten tunnuslukujen määrtykseen: Mkko Hämälänen 50823V Maa-23.530 Kartografan erkostyö
SISÄLLYSLUETTELO JOHDANTO... 4. TUTKIMUKSEN LÄHTÖKOHTA... 4.2 RAPORTISTA... 4 2 KARTTAPROJEKTIOT... 5 2. MAANTIETEELLISET KOORDINAATIT JA GEODEETTISET REFERENSSIJÄRJESTELMÄT... 5 2.2 GAUSS-KRÜGER -PROJEKTIO... 6 2.2. Kartastokoordnaattjärjestelmä - KKJ... 6 2.2.2 Yhtenäskoordnaatstojärjestelmä YKJ... 7 2.2.3 Gauss-Krügern tasa-aste projekto el G-K... 7 2.3 UTM PROJEKTIO... 7 2.4 KESKIPISTEPROJEKTIO... 8 2.5 LAMBERTIN PROJEKTIO... 8 2.5. Yleseurooppalanen Lambert el LCC... 9 2.5.2 Lambert Suomessa: Lambert(Fn)... 9 2.6 MERCATOR-PROJEKTIO... 0 3 TUNNUSLUVUT JA NIIDEN LASKEMINEN... 3. TUNNUSLUVUT... 3.2 PINTA-ALAN, YMPÄRYSMITAN JA KESKIPISTEEN LASKEMINEN... 3.3 MITTAKAAVAKORJAUKSEN LASKEMINEN... 2 3.4 NAPALUVUN KORJAUKSEN LASKEMINEN... 3 4 AINEISTO JA SEN KÄSITTELY... 4 4. TUTKIMUSAINEISTO JA TYÖKALUT... 4 4.2 MUUNNOKSET MAANTIETEELLISIIN KOORDINAATTEIHIN JA PÄINVASTOIN... 4 4.3 MUUNNOKSET GAUSS-KRÜGERISSÄ JA UTM:SSÄ... 5 4.4 MUUNNOKSET MUISSA PROJEKTIOISSA... 5 4.5 MUUNNOSTEN KÄYTTÄMINEN LASKENNASSA JA TULOSTEN TALLENTAMINEN... 5 2
5 TULOSTEN TARKASTELU... 6 5. GAUSS-KRÜGERIN KKJ -KAISTOJEN 0-5 VERTAILU:... 7 5.2 YKJ:N JA UTM:N VÄLINEN VERTAILU... 7 5.3 GAUSS-KRÜGERIN KPP, G-K JA G-K 3 VERTAILU:... 8 5.4 YLEISEUROOPPALAISEN LAMBERT-PROJEKTION(LCC) JA SUOMEEN SIJOITETTAVAN LAMBERT(FIN) VÄLINEN VERTAILU... 8 5.5 MERCATOR -PROJEKTIO... 9 5.6 NAPALUVUN KORJAUKSIEN VERTAILU... 20 6 ALUEKOHTAINEN VERTAILU... 2 6. OTOSJOUKON VALINTA:... 2 6.2 GAUSS-KRÜGERIN VERTAILU OTOSJOUKOSSA... 22 6.2. G-K ja G-K 3... 22 6.2.2 YKJ ja UTM 35... 22 6.2.3 Lambert... 23 6.3 KESKIPISTEEN MUUTOKSET OTOSJOUKOSSA... 24 6.4 MITTAKAAVAKORJAUKSET OTOSJOUKOSSA... 25 6.4. Mttakaavakorjaukset KPP:ssa... 26 6.4.2 Mttakaavakorjaukset G-K :ssa... 27 6.4.3 Mttakaavakorjaukset G-K 3 :ssa... 28 6.4.4 Mttakaavakorjaukset YKJ:ssa ja UTM:ssa... 29 7 YHTEENVETO... 30 8 LÄHTEET... 3 LIITTEET... 32 3
Johdanto. Tutkmuksen lähtökohta Kunka ellpsod vodaan okasta el projsoda tasolle? Pallopnta okastaan tasoks sten, että jokanen pallon pste projsodaan tasolle. Projsont on ana van lkmääränen. Tästä syntyvät vrheet ovat stä suurempa mtä suuremp alue kerralla projsodaan. Tätä okasua ja projsonta kutsutaan maapallon pnnalla karttaprojektoks. Maalmalla käytetään mona erllasa karttaprojektota. Projektoden valntaan vakuttavat sjant maapallolla ja projsotavan maan muoto. Suomessa käytettävään karttaprojekton valntaan vakuttavat ptuus pohjos- ja eteläsuunnassa ja maan muoto, mutta sen sjaan esm. Belgassa vakuttaa leveys tä- ja länssuunnassa. Tämän vuoks Suomessa käytetään Gauss-Krüger projektota ja Belgassa Lambertn kartoprojektota. Kansanvälsyys navgont- ja pakannusjärjestelmssä vaat yhtenäsen ja maalmanlaajusen koordnaattjärjestelmän tunnstamsta. Yks ylesemmstä karttaprojektosta on UTM. Nmpä Suomessakn suostellaan UTM projekton ja yhden asteen leveden Gauss-Krüger projektoden (G-K ) käyttöönottoa. Parhallaan suunntellaan JHS ETRS89 luonnosta, jonka mukaan UTM - järjestelmä tuls korvaamaan vähtellen nykysen KKJ-järjestelmän sekä G-K korvas kunten ja kaupunken pakallset koordnaatstot. UTM projektossa koordnaatt perustuvat Euroopassa ETRF89:ssa, mutta tässä työssä käytetään nykyseen ED50:n pohjautuvaa koordnaatstoa, jotta anestot ja tulokset olsvat keskenään vertalukelposa. Tarkastelun kohteena ovat Suomen kunnat. Näden alueden tutkmuksessa vertallaan Suomessa käytettäven karttaprojektoden vakutuksa eräsn geometrsn tunnuslukuhn. Vahdettaessa karttaprojektota, muuttuvat myös projsotujen alueden tunnusluvut, kuten pnta-alat, ympärysmtat ja keskpsteen koordnaatt mkäl nden laskenta perustuu suoraan kyseessä olevaan karttaprojektoon. Työn pääasallsena tarkotuksena on tutka kunka paljon ja mllä tavalla tunnusluvut muuttuvat. Tärkempä vertalun kohteta ovat tunnuslukujen muutokset YKJ:n ja UTM:n välllä sekä muutokset kolmen asteen kastanleveyden el (G-K 3 = lähmmän KKJ kastan) ja yhden asteen kastaleveyksen (G-K ) välllä. Lsäks tässä työssä myös tutktaan Yleseurooppalasta Lambertn kartoprojektota (LCC) ja Suomeen parhaten sopvaa Lambern projektota Lambert(Fn). Myös Mercator projekto ol tutknnan kohteena. Työssä tutkttaven projektoden tunnuslukujen vertaluarvoks lasketaan jokaselle alueelle oma koordnaatsto keskpsteprojekto el KPP. Snä sjotetaan G-K karttaprojekto sten, että keskmerdaan sjotetaan alueen keskpsteeseen. Tällön projsonsta johtuva vrhe on mahdollsmman pen. Tällön nätä laskettuja tunnuslukuja vodaan ptää okena arvona ja käyttää vertalussa muhn karttaprojektohn. Tästä lsää myöhemmn..2 Raportsta Tämä raportt on krjotettu sten, että luvussa kaks kästtelen työssän käytettävä karttaprojektota, jonka jälkeen kolmannessa luvussa seltän tunnusluvut ja nden laskemsen. Aneston kästtelyä ja sen karttaprojektossa saatuja tuloksa vertalen luvussa neljä ja vs. Osa tunnusluvusta on sellasa ette ntä pysty esttämään koko aneston avulla. Tällasa lukuja ovat mm. alueellset mttakaavakorjaukset, jotka ovat täysn epälneaarsa keskenään, jollon estys on epäselvä. Tätä varten olen tehnyt anestosta 25:n alueen otosjoukon, jossa ovat mukana tutummat ja sjantnsa puolesta erkosmmat alueet. Tämän otosjoukon vertalua karttaprojektossa ja mttakaavakorjauksssa selostan luvussa kuus. Yhteenvedon ja johtopäätökset kerron luvussa 7. 4
2 Karttaprojektot Karttaprojektota käytetään kolmulottesen ellpsodpnnan kuvaamseen tasolle Karttaprojektot vodaan ryhmtellä esmerkks kuvaustavan, kuvausomnasuuksen, projsontpnnan ja käyttötarkotuksen mukaan. Ellpsodpnnan kuvaamnen tasolle tapahtuu laskennallsest projektokaavolla, jolla maanteteellsstä koordnaatesta srrytään tasokoordnaattehn. Tästä lsää kohdassa 4.2. Kuvausomnasuuksensa mukaan projektot jaetaan pnta-, kulma- ta vvatarkkohn projektohn rppuen stä, mkä omnasuus sälyy tasolle srryttäessä. Projsontpnnan mukaan projektot vodaan jakaa velä tasoprojektohn, kartoprojektohn ja leröprojektohn. Tasoprojektossa kuvaus tapahtuu suoraan tasolle, kartoprojektossa kuvaus latetaan kartopnnalle, joka lekataan stten auk tasoks. Leröprojektossa kuvaus projsodaan leröpnnalle, joka lekataan auk tasoks. Projsontpnta vo lsäks svuta ta lekata maapalloa. Lsäks se vo olla normaalasentosessa ta pokttasessa suhteessa maapallon pyörmsakseln. Karttaprojektoden perustyypt (kuva ). Tasoprojekto, kuvattu annetusta psteestä tangentttasolle, kulmatarkkuus hekko, muodot er osssa evät vastaa okeaa (stereografset projektot) 2. Kartoprojekto, muodostettu maapallon pnnan lekkaavasta kartosta, ja muutettu matemaattsest pnnaks (Lambert). 2. 3. 3. Leröprojekto (pysty- ta pokttasasentonen), pallon pnta kuvataan stä svuavalle ta lekkaavalle lerölle. Kulmatarkkuus hyvä (muodot okeat), mttakaava pakallsest. Ylesn karttaprojekto käytössä. Esmerkkprojektota Mercator, Gauss-Kruger ja UTM) Kuva Karttaprojektoden perustyypt Kulmatarkalla karttaprojektolla esm. valtoden muodot pysyvät tunnstettavna, mutta nden kokovertalu on mlte mahdotonta. Pntatarkolla karttaprojektolla vo vertalla valtoden kokoa keskenään, mutta nden muodot muuttuvat etenkn projekton reuna-aluella lk tunnstamattomks. Ptuustarkossa projektossa mttakaava sälyy muuttumattomana koko kartan alueella. Tässä esteltävstä karttaprojektosta manttakoon, että G-K ja UTM karttaprojektoden mttakaavavrheet ovat ptuusprestä rppuva, kun taas Lambert ja Mercator karttaprojekton mttakaavavrheet johtuvat leveysprestä. 2. Maanteteellset koordnaatt ja geodeettset referenssjärjestelmät Maanteteellset koordnaatt määrtellään kulmna koordnaatstossa, jonka muodostavat lähtökohdks valtut soympyrät. Tavallsest soympyrönä käytetään ekvaattora el päväntasaajaa ja Greenwchn kautta kulkevaa 0-merdaana. Leveyskoordnaatlla el lattudlla tarkotetaan kulmaa, jonka maapallon keskpsteestä sjantpakkaan prretty vektor muodostaa ekvaattor-soympyrän kanssa. Ptuuskooordnaatt el longtud taas tarkottaa kulmaa, joka muodostuu valtun 0-merdaann ja sjantpakan kautta kulkevan soympyrän väln. Maanteteellset koordnaatt lmotetaan kartossa yleensä astena, mnuuttena ja sekuntena. 5
Koordnaatsto on peraatteessa yksselttenen, mutta sen yhteydessä on tärkeää käyttää myös okeaa datuma. Datum on maanmttauksen kannalta varsn monmutkanen joukko parametreja, joden avulla otetaan huomoon mm. maankuoren vuosttanen lke mllmetrntarkast. Datumna on käytetty Euroopassa ED 50, joka on ollut tähän mennessä käytetyn Euroopassa ja myös Suomessa. ED 50:n ja sten myös KKJ-järjestelmän ellpsod on ns. Hayfordn ellpsod, jonka parametrt ovat: soakseln puolkas a = 6 378 388 m ja ltstynesyyssuhde f = /297. ED50:n rnnalla on käytössä myös tarkemp ETRS89 globaal 3D-koordnaattjärjestelmä, jonka vertausellpsodna käytetään GRS80 (= melken sama kun WGS84). GRS80:n parametrt ovat: soakseln puolkas a = 637837m, jollon ltstynesyyssuhde f = /298,2572220. ETRS89-järjestelmän Suomessa käytettävänä realsaatona on EUREF-FIN. Nykysn velä käytetään ED50, joka on ss KKJ-järjestelmässä käytetyn vertausellpsodn pohjana, mutta tulevasuudessa tullaan kyllä vähtellen srtymään EUREF-FIN järjestelmään, joka on UTM / ETRS-TM35FIN projekton datum (JHS ETRS89 -luonnos). 2.2 Gauss-Krüger -projekto Gauss-Krüger projekto on yks tärkemmstä projektosta, jota Suomessa käytetään. Gauss-Krüger on konformnen pokttanen leröprojekto. Snä keskmerdaan kuvautuu okeanptusena suorana vvana sekä ekvaattor kuvautuu suorana vvana, mutte okeanptusena. Lsäks kulmat pysyvät okeansuurusena, joten G-K on kulmatarkka. Mttakaava on vrheetön keskmerdaanlla. G-K otettn maassamme käyttöön 900-luvun alussa. Alunpern Suom ol jaettu vteen projektokastaan, mutta sodan jälkeen kasta 33 jätettn pos (Hrvonen, 945). Lopusta neljästä kastasta tul pohja vanhaan valton järjestelmään, joka uusttn vuonna 970 nykyseen kartastokoordnaattjärjestelmäämme. 2.2. Kartastokoordnaattjärjestelmä - KKJ Suomessa käytetään valtakunnallsna tasokoordnaatstona kartastokoordnaattjärjestelmän (KKJ) mukasta peruskoordnaatstoa ja yhtenäskoordnaatstoa (YKJ). Peruskoordnaatsto perustuu Gauss-Krüger -projektoon, jossa maapallo on asetettu vaaka-suuntasen lerön ssään ja merdaann molemmn puoln on yhteensä 3:n asteen levynen kasta, joka on maapallon pntaa vstävän lerön tasopnnalla. Tästä syystä KKJ-kastosta vodaan käyttää tässä työssä myös nmeä G-K 3. Suomen alue on estetty neljässä kastassa, joden keskmerdaant ovat 2, 24, 27 ja 30 astetta tästä ptuutta. Peruskoordnaatston pohjosaksel osuu kastan keskmerdaann ja täaksel ulottuu ekvaattorlle. Keskmerdaann kohdalla täkoordnaatn arvo on kastasta rppuen joko 500 km, 2500 km, 3500 km ta 4500 km. Pohjoskoordnaatt lmottaa suoraan etäsyyden päväntasaajasta. Suomessa on nykysn vrallsest käytössä kastat -4, mutta Suomen ääralueet vodaan esttää myös KKJ 0 ja KKJ 5-kastolla (kuva 2). Kastat, nssä olevat esmerkkpakkakunnat ja ntä vastaavat koordnaattlukemat (m) kastolla ovat: (KKJ 0, 8, Suomen läntsn pste: Märket ), 500 000m KKJ, 2, "Vaasa", 500 000m KKJ 2, 24, "Tampere",2 500 000m KKJ 3, 27, "Kotka", 3 500 000m KKJ 4, 30, "Joensuu", 4 500 000m (KKJ 5, 33, "Suomen täsn pste: Vrmajärv"), 5 500 000m Kuva 2 KKJ-kastat ja nssä olevat esmerkkpakkakunnat 6
Karttakoordnaatston kastolla ellpsodn kuvaamnen tasopnnalle aheuttaa mttakaavavrheen, joka kastojen reunolla on 00 mm/km = 00 ppm (Hrvonen, 945). 2.2.2 Yhtenäskoordnaatstojärjestelmä YKJ Yhtenäskoordnaatstossa koko Suom on projsotu yhdelle kastalle, jonka keskmerdaan on 27 astetta tästä ptuutta. Sen kohdalla täkoordnaatn arvo on 3500 km. Peruskoordnaatston kolmannen kastan koordnaatt ovat samat perus- ja yhtenäskoordnaatstossa, mutta muden kastojen koordnaatt on muunnettava lasken koordnaatstosta toseen. Yhtenäskoordnaatstossa mttakaavavrhe on suurmmllaan läntsessä Suomessa yl 2000 ppm. 2.2.3 Gauss-Krügern tasa-aste projekto el G-K Tasa-aste projekto e ole velä vrallnen Suomessa käytettävä karttaprojekto, mutta jos Suomessa otetaan käyttöön UTM järjestelmä, nn tällön vodaan myös tarvta esmerkks kunnallsta kaavotus- ja rakennustomntaa varten tarkempaa projektota, johon leveäkastasen UTM:n tarkkuus e sovellu. G-K :n keskmerdaanks vodaan valta alueeseen parhaten sopva tasa-aste välltä 9-3. Tällön vodaan mttakaavavrheet ptää mahdollsmman pennä, ekä hatallsta korjausta ole kun alueen tä- ja länsaluella. Kastaa vodaan ptää nn leveänä kun on tarkotuksen mukasta, jollon vodaan luoda kunnlle pakallsakoordnaatstoja, jotka ovat keskenään vertalukelposa. 2.3 UTM projekto UTM (Unversal Transverse Mercator) on myös kulmatarkka pokttasasentonen leröprojekto. UTM - projektossa lerö kutenkn lekkaa maapalloa. Keskmerdaan muodostaa tasokoordnaatston x-akseln, mutta mttakaava keskmerdaanlla on 0.9996. Keskmerdaann molemmn puoln on yks okean ptunen lekkausvva, jolla mttakaavakerron on. Mttakaavakerron on ss näden vvojen välssä alle ja ulkopuolella suuremp kun. Koordnaatston y-akseln muodostaa keskmerdaana vastaan kohtsuorassa oleva päväntasaaja. Koordnaatston orgo on näden akselen lekkauspsteessä. Orgoa on myös srretty länteen antamalla keskmerdaann y-koordnaatlle arvo 500 000 m. UTM projekto on kehtetty maalmanlaajusn sovelluksn 40-luvun lopulla alun pern USA:n puolustushallnnon karttalatoksen tomesta. Tavotteena ol luoda järjestelmä, jolla pystyttn tekemään suurmttakaavasa karttoja ympär maalman. UTM on standardsotu seuraavn omnasuuksn: œ sovellusalue on välllä 80º etelästä leveyttä ja 84º pohjosta leveyttä œ projektokastan leveys on 6º œ kastoja on 60 kappaletta (numeront 60,. kasta = 80º-74º läntstä ptuutta numeronnn kasvaessa tään pän) Suomessa käytettävä UTM projekto pokkeaa standardsta projektokastan leveyden osalta sten, että koko Suom kuvataan yhdessä 2º levysessä kastassa. Projektosta vodaan käyttää lyhennettä ETRS-TM35FIN. Suomessa vodaan soveltaa UTM:n 35 kastaa, jonka keskmerdaanna on 27 E astetta (vrt. YKJ). 7
UTM-koordnaatstossa käytetään ylesest ETRS89-järjestelmää (WGS84), jonka eurooppalanen realsaatona on EUREF. Ptää kutenkn huomoda että maanteteellsä koordnaatteja laskessa e koko maapallolla käytetä samaa referenssellpsoda. Tällön ellpsodakn on tarvttaessa vahdettava (Poutanen, 998). Nässä laskelmssa käytetään UTM:lle vertausellpsoda ED50, jotta laskelmat muden projektoden kanssa olsvat vertalukelposa ja jotta YKJ-järjestelmässä olevaa kunten rajaanestoa vodaan käyttää sellasenaan. 2.4 Keskpsteprojekto Keskpsteprojekto on Gauss-Krüger projekto, jonka keskmerdaana on käytetty pakallsa YKJ:llä laskettuja alueden keskpstetä. Keskpsteprojekto e ole mkään varsnanen karttaprojekto vaan tässä työssä enemmänkn menetelmä, jonka avulla saadaan tarkmmat alueellset tunnusluvut, jotka vodaan määrttää olemassa olevasta anestosta. Saadulla menetelmällä saadaan alueen pnta-ala ja ympärysmtta tarkemmaks kun laskettaessa esm. KKJkastolla. Tällön vodaan puhua okeasta pnta-alasta, ympärysmtasta ja tarkennetusta keskpsteestä, jota vodaan käyttää apuna vertalussa muhn projektohn. Myöhemmn kästeltävssä kaavossa KPP:ssa lasketut tunnusarvoja käytetään kaavoden vertaluarvona ja nollatasona. 2.5 Lambertn projekto Lambertn projektolla tarkotetaan tässä konformsta normaalasentosta kartoprojektota, joka tavallsemmn lekkaa Maata ptkn kahden standardparalleelsuoran avulla. Mttakaava on väärstymätön nällä paralleelella, lan pen paralleelen välssä ja lan suur näden ulkopuolella. Standardparalleelen kanssa samalla pallonpuolskolla oleva napa kuvautuu psteenä, joka sjatsee merdaanen lekkauspsteessä. Lambertn kartoprojekto sop hyvn sellasten alueden projektoks, joden muoto ptkttänen tä- ja länssuunnassa ekä pohjos- ja eteläsuunnassa nn kun Suom sattuu olemaan. Tämän vuoks Lambertn käyttö Suomessa on ollut vähästä. Merdaant ovat kohtsuorassa paralleelympyrötä vastaan. Näden välmatka vahtelee ollen lähempänä tosaan projekton keskellä(kuva 4). Käytettäessä kahta standardparalleela, joden leveyssuhteet ovat j ja j ja orgon koordnaatt l ja j 0 saadaan kuvausyhtälöt (Bugayevsky ja Snyder, 995). ln m - ln m 2 n = ln t x = E f + r snf - ln t 2 E f = valetä m y = N f + r0 - r cosf N f = valepohjonen F =, n ( nt ) cosj n m t = = 2 2 ( - ex sn j ) / 2, =,2 tan( P / 4 - j / 2) [( - ex *sn j )/( + ex *sn j )], =,2 / 2, e f r f = = a n ¼ ¼ F ¼ t ( l - l ), 0 Lambertn paralleelesta e ole tehty varsnasta standarda, mutta ylesemmn käytetään Deetzn ja Adamsn määrtystä, jonka mukaan Lambertn projektokastan konfgurontkerron k = 6 8
f f -f k n s = fs +, f2 fn -fs = fn - k k = alueen konfguront kerron (Bugayewsky ja Snyder, 995) f 2 f Pohjosreuna Eteläreuna f n f s Tämän mukaan saadaan, että Lambert - projektossa paralleelt ovat /6 osan päästä projsotavan alueen ladosta (Kuva 3). (Bugayewsky ja Snyder, 995) f = etelänen standardparalleel f = pohjonen stardardparalleel f s = projsotavan alueen eteläraja f n = projsotavan alueen pohjosraja Kuva 3 Standardparalleelen sjottamnen lambertn kartoprojektoon Tässä työssä on tutkttu kahta erllasta Lambertn kartoprojektota: Yleseurooppalasta Lambert (LCC):ta sekä omaa määrttelemään, parhaten Suomeen sopvaa, Lambert(Fn) -projektota. 2.5. Yleseurooppalanen Lambert el LCC Yleseurooppalasta Lamberta el LCC:tä suostellaan käytettäväks Yleseurooppalasn kartotuksn, jos lopputuloksena on kartat, joden mttakaava on :500000 ta penemp. LCC:ssä käytetään datumna ETRS89, mutta tässä tutkmuksessa datumssa käytetään ED50, jotta tulokset olsvat keskenään vertalukelposa. LCC:n standardparalleelena käytetään etelässä 35 ja pohjosessa 65 pohjosta leveyttä. Keskmerdaanks on määrtetty 0 tästä ptuutta. Karttakoordnaatsto tulee pysyä postvllä luvulla, joten määrtämme valepohjoseks N f =2800000m ja valedäks E f =4000000 (EuroGeographcs WG VIII (Map Projektons for the European Unon),200) Suomessa mttakaavakerron sattuu olemaan tasan Oulun seudulla el 65 N:llä. Muualla mttakaavakertomeks saadaan eteläsessä Suomessa M=0,98 ja pohjosessa M=,03. 2.5.2 Lambert Suomessa: Lambert(Fn) Määrtteln myös parhaten Suomeen sopvan Lambert(Fn) karttaprojekton. Tällön vodaan määrttää projsotavaks astevälks 59-7, jotta koko Suom mahtus projsotavalle alueelle. Suostuksen mukaan eteläseks paralleelks saadaan 6 N ja pohjoseks 69 N. Keskmerdaanks vodaan valta UTM:ä ja YKJ:tä mukalen 27, jollon valedäks vodaan määrttää 500000m (vrt.ykj), jotta negatvsa arvoja e esntys. Projekton orgo sjatsee pohjosnavalla, joten valepohjoseks saadaan etäsyys pohjosnavalta 59 N leveysprlle, joten N f on sllon 36408,3722m. Mttakaavakertomet ovat penmmllään 65 (M=0,9975) ja suurmmllaan pohjos- ja eteläosassa (M=,0075). Kuva 4: Pohjonen pallonpuolsko Lambertn kartoprojekt 9
2.6 Mercator-projekto Mercator projekto on normaalasentonen leröprojekto. Se on konformnen ja merdaant ovat snä yhtä kaukana tosstaan oleva suora. Paralleelprt ovat ntä vastaan kohtsuorassa, mutta nden etäsyys tosstaan vahtelee nn, että paralleelpren projektot ovat lähmmllään ekvaattorlla ja välmatka kasvaa napoja koht mentäessä. Projektossa navat ovat peraatteessa äärettömän kaukana ja suurlla leveysastella projekton väärstymät kasvavat vomakkaast(kuva 5). Koska Mercatorssa loxodromt el saman atsmuutn vvat ovat suora, on Mercatora ylesest käytetty merkartossa. Tämä hyöty on purjehdttaessa samaan suuntaan, jollon lavan kulkurett kartalla on suora vva. Tämä e ole välttämättä lyhn rett kohteden välllä, mutta se on helpottanut mm. akonaan navgonta merellä alkeellsemmllakn välnellä (Poutanen, 998, 252). Mercatora on ylesest käytetty myös tlasto- ja polttsssa kartossa, koska nssä saadaan vakutelma että, Eurooppa ja Pohjos-Amerkka kuvautuvat suhteessa suurempana kun esm. Afrkka ta Etelä-Amerkka. Tämä on varsnkn ollut ylestä polttsssa kartossa. Suomen projsontn Mercator e sov kovnkaan käytännöllsellä tavalla. Pnta-alaväärstymät (Mercatorssa vodaan puhua suurentumsesta) ovat eteläsessä Suomessa 2-kertaset kun taas pohjosessa ne ovat jopa nelnkertaset normaaln pallopnnalla laskettuhn pnta-alohn nähden. Ellpsodlla mercator projektokaavat ovat: x Ë a Ì l - l Í = 0 Û Ü Ý l = keskmerdaann longtud a = ellpsodn puolaksel ex = eksentrsyys y = Î Ë P a ln Ï tan Ì ÏÐ Í 4 + j 2 ÛË ÜÌ ÝÍ - + ex ex * sn * sn j j Û Ü Ý e / 2 Þ ß ßà Kuva 5 Mercator karttaprojekto soveltuu etenkn koko maapallon kuvaamseen ja projsontn 0
3 Tunnusluvut ja nden laskemnen 3. Tunnusluvut Tässä työssä tarkastellaan karttaprojektoden vakutuksa seuraaven tunnuslukujen määrtykseen:. Pnta-ala 2. Ympärysmtta el pr 3. Keskpste (x,y) 4. Mttakaavakorjaus 5. Napaluvun korjaus Jokasella alueelle on laskettu edellä olevat tunnusluvut. Mttakaavakorjauksen ykskkönä on käytössä mljoonasosat el ppm (Parts Per Mllon) ja napaluvun korjauksen ykskkönä asteet ( ). Muden tunnuslukujen ykskkönä on käytössä metrt (m). 3.2 Pnta-alan, ympärysmtan ja keskpsteen laskemnen Polygonen el tässä tapauksessa kunta-alueden prn (S) ja pnta-alan (A) laskemseen käytettn normaaleja tasopnnan laskumenetelmä. Keskpsteen Cx ja Cy laskemseen käytettn apuna pntaalaa A. Pnta-ala saadaan laskettua aluesta muodostamalla aluesta apukolmota (P 0,P,P 2 ),(P 0,P 2,P 3 )... (P 0,P n-,p n ) ja laskemalla ne yhteen. P 0...P n ovat polygonen pstetä. S = N Ê 0 2 ( x - x ) + ( y - y ) ( xdy ydx) - An = 2 C N Ê A = 2 ( x y - x y ) 0 ) C 2) C C x dxdy R x =, x y = 6 A = 6 A A N Ê 0 N Ê 0 C y = R 2 y dxdy A ( x + x )( x y - x y ) ( y + y )( x y - x y ) S = polygonn ympärysmtta A n = Greenn kaava polygonn alan laskemseks tasopnnalla. A = polygonn ala A n ylesessä summamuodossa C x = keskpsteen x-koordnaatt C y = keskpsteen y-koordnaatt C x ja C y ovat polygonn keskpsteen koordnaatteja. Nämä saadaan laskettua ntegromalla lausekkeet () välllä P 0... P n. Saatu ntegraal saadaan yleseen summamuotoon (2), jollon se on käyttökelponen ohjelmontn ja sllä vodaan laskea polygonen pnta-alat ja keskpsteet samanakasest. (Kaavat: Kreyszg 999, Borland 2002, Bourke 988)
Jos polygonssa on rekä joudutaan laskemaan pnta-alaa ja keskpstettä varten koordnaattjonot alla olevan kuvan mukasest. Koordnaattjonojen avulla vodaan stten laskea sekä polygonn pnta-ala että keskpste. œ Lasketaan X ja Y arvoja lähtöpsteestä L lähten sten että kerretään polygona 360 myötäpävään kunnes päädytään psteeseen L. 3. œ Vähennetään polygonn ssällä olevat aukot sten että mennään psteestä L psteeseen P ja kerretään aukon 2 ulkoreunalla olevat psteet vastapävään kunnes tullaan takasn psteeseen P. Jatketaan stten seuraavaan aukkoon 3 ja alotetaan psteestä P2 ja kerretään aukko myös vastapävään. Tehdään tämä vahe nn monta kertaa kun on aukkoja polygonssa. P2 P L Kuva 6 Monkulmon psteden laskentajärjestys 2. œ Kun kakk aukot on kerretty, 3.3 Mttakaavakorjauksen laskemnen Mttakaavakorjauksen el mttakaavavrheden laskemnen onnstuu parhaten vertalemalla vakoaste-eron r muutosta psteen P ja keskmerdaanlla olevan psteen M välllä. Mttakaavakorjaus e rpu lattudsta l, joten pste P vodaan sjottaa mhn kohtaan longtudkäyrälle j..valtaan vako r, joka lsätään sekä keskmerdaanlle(j,l ) sekä psteeseen (j,l ). Tällön saadaan koordnaatt (j +r, l ) ja (j +r, l ). 2. Muutetaan (j,l) koordnaatt haluttuun tasokoordnaatstoon (G- K), jollon saadaan tasokoordnaatt (x k +r,y k ) ja (x +r,y ), jossa r = r:n ptuus keskmerdaanlla tasokoordnaatstossa ja r = r:n ptuus kohdassa P 3. Mttakaavakorjaus S = r / r a km = (j,l ) = (x,y ) (j,l ) = (x k,y k ) Kuva 7a Mttakaavakorjausten ja napaluvunkorjausten määrtys a Kuvassa 7 lasketaan mttakaavakorjaus S. Esmerkssä r on vakoaste-ero, joka tasokoordnaatessa on 50 km. Tällä kysesellä tavalla vodaan laskea mttakaavakorjaukset mssä tahansa psteessä. Mttakaava korjauksen ykskkönä 000 000:lla. käytetään ppm:a, joka saadaan kun saatu arvo kerrotaan 2
Lsäks mttakaavakorjaukset vodaan laskea vähentämällä alueden ympärysmtosta keskpsteprojektossa laskettu ympärysmtta. Saatu erotus jaetaan KPP:ssa saadulla ympäryysmtalla, jollon saadaan eron prosentuaalnen arvo. Tämä tapa on käytännöllnen kun lasketaan koko aneston mttakaavakorjauksa jossakn tetyssä projektossa. 3.4 Napaluvun korjauksen laskemnen Napaluvun korjauksella el merdaankonvergenssllä tarkotetaan karttaprojekton mukasen pohjosen ja maanteteellsen pohjosen välstä kulmaa. Projektokaavojen yhteydessä estetään usen myös kaavat, jolla vodaan laskea projektomuunnosten lsäks myös mttakaavakorjaus ja napaluvun korjaus. Pelkllä projektomuunnoskaavollakn vodaan napaluvun korjaus laskea käyttäen seuraavaa menetelmää (kuva 7b).. Valtaan pste P, jonka maanteteellset koordnaatt ovat (j,l ), jossa napaluvun korjaus halutaan määrttää 2. Sjotetaan psteestä P penen matkan d päässä pohjosessa oleva pste P 2 = (j,l ), jossa j = j + d ja l 2 = l Maanteteellnen suunta P -> P 2 on ss 0. 3. Muunnetaan psteden P ja P 2 koordnaatt haluttuun karttaprojektoon, jollon saadaan koordnaatt (x,y ) ja (x 2,y 2 ). 4. Lasketaan suuntakulma a käyttäen nätä koordnaatteja el y2 - y a = arctan, jossa a lmasee nyt suoraan napaluvun korjauksen. x - x 2 Vahe on yleensä luontevnta suorttaa sten, että pste P valtaan halutussa karttaprojektossa, jollon (j,l ) saadaan ss kääntesten projektokaavojen avulla. Proseduurn muhn akseln tällä e ole vakutusta. Napaluvun korjaukset vodaan laskea mssä tahansa psteessä. Napaluvun korjaus keskmerdaanlla a k on 0. Dx Dy a P 2 Perntesest napaluvun korjauksessa on myös käytetty pruja (80 = 2000 prua), mutta tässä työssä saadut korjaukset on estetty astena ( ). P Kuva 7b Napaluvun korjauksen laskemnen maanteteellsen jatasokoordnaatston välllä 3
4 Anesto ja sen kästtely 4. Tutkmusanesto ja työkalut Tässä tutkmuksessa anestona on käytetty kun00.e00 -nmstä kuntaraja-anestoa, joka on Maanmttauslatoksen tekemä koko maan kattava vektoranesto. Aneston alkuperänen formaatt ol e00-tedosto, joka muutettn MapInfon Unversal Translaattorlla MIF-tedostoks. Tätä tedostotyyppä käytettn Java-sovelman syöteanestona. Anestossa on Suomen kunten rajat koordnaattena :00 000 mttakaavan tarkkuudella. Meralueet ja kuntaan kuuluvat ulkopuolset alueet el enklaavt, jotka sjatsevat muden kunten aluella, ovat myös anestossa. Tästä johtuen anestossa on yhteensä kunnat ja enklaavt laskettuna 574 aluetta. Lähtöanesto estetään G-K 27 el YKJ:ssä ja ED50 järjestelmässä. Veressä (Kuva 8) näyte kun00 anestosta. Kuten näkyy Suomen ulkovesalueet ovat mukana. Havannollstamseks on karttaan merktty tärkemmät kaupungen alueet kuten Helsnk, Tampere ja Turku. Aneston omnasuustedot el pnta-ala, ympärysmtta sekä keskpstetedot evät ole täysn oketa johtuen aneston mttakaavatarkkuudesta, joten pnta-aloja e tule verrata vrallsn pnta-alohn ja muhn tetohn. Kuva 8 Näyte anestosta. Punasella vasemmmalta alkaen Turku, Tampere ja Helsnk Kakk anestosta tehdyt laskelmat ja tulokset ten oman Java-sovelman avulla. Tähän menetelmään päädyn sks, että osaa karttaprojektosta kuten G-K, KPP, Lambert(Fn) ja LCC, e pysty lankaan laskemaan valmsohjelmstojen avulla vaan ntä varten täytyy tehdä oma javasovelma ja luokat. Seuraavaks kästtelen nätä työvaheta sekä tsetehtyjä ta muuten kästtelemän java-luokka ja nden tarkotuksa. 4.2 Muunnokset maanteteellsn koordnaattehn ja pänvaston Anestoa vodaan muuntaa muhn projektohn muuttamalla G-K (x,y)-tasokoordnaatsto (j,l) maanteteellseen koordnaatstoon. Tähän tarvtaan Gauss-Krüger-tasokoordnaatten muunnosta maanteteellsks koordnaateks ja pänvaston. Kaavat pohjautuvat Taylorn menetelmään ja sarjakehtelmään. Kaavat löytyvät ltteestä.(lte : Hrvonen, 949) Kysesten kaavojen pohjalta on tehty Java-luokka GKToGeographc. 4
Kääntesessä muunnoksessa käytetään maanteteellsten koordnaatten muunnosta G-K projekton tasokoordnaateks (Lte: Hrvonen 949). Näden kaavojen on tehty Java-luokka GeographcToGK. Tässä kästellyt kaks Java-luokkaa sekä myöhemmn kästeltävänä olevan YKJ2KKJ luokan on suunntellut L. Lehto. 4.3 Muunnokset Gauss-Krügerssä ja UTM:ssä Anesto muutetaan er koordnaatstohn ja projektohn javaluokken avulla. Nässä luokssa luetaan ensn koordnaatttedot tedostosta, jonka jälkeen koordnaatttedot muutetaan haluttuun projektoon ja koordnaatstoon. Lopuks kun kakk koordnaatt on muutettu haluttuun koordnaatstoon, lasketaan jokaselle alueelle omnastedot el pnta-ala, ympärysmtta sekä keskpste kohdassa 3 estettyjen peraatteden mukasest. KKJ-muunnoksssa on käytetty hyväks YKJ2KKJ-luokkaa, joka muuttaa YKJ-koordnaatt KKJkastohn. Tämä luokka perustuu menetelmään, jossa Gauss-Krüger-tasokoordnaatt muunnetaan maanteteellsks (j,l ) koordnaateks, jotka taas muutetaan uuteen Gauss-Krügerkoordnaatstoon. Esmerkknä vodaan ptää YKJ-koordnaatten muutosta esm. KKJ-kastohn (Lte : Hrvonen 949). UTM projektossa käytetään avuks UTM luokkaa, joka on suoraan johdettu YKJ2KKJ sllä edellytyksenä että käytetään kastana KKJ3:a el YKJ:ta sekä kerrotaan koordnaatt skalaarlla 0.9996. 4.4 Muunnokset mussa projektossa Tämän lsäks jokaselle alueelle on laskettu oma koordnaatsto KPP el keskpsteprojekto, jonka keskmerdaanna on aluekohtasest YKJ:ssa laskettu alueen keskpste. Samalla peraatteella on myös laskettu alueen keskpstettä lähnnä olevan tasa-asteluvun kautta kulkevan keskmerdaann Gauss-Krüger projekto el G-K sekä kolmen asteen el lähmmän KKJ-kastan G-K 3. Laskenta on tapahtunut edellä esteltyjen luokken avulla, jonka lsäks tarvtaan myös alueden keskpstetedot, jotta vodaan määrätä aluekohtanen KPP:n keskmerdaan. Muunnettaessa anestoa muhn projektohn kuten mercatorn ja lambertn projektohn käytetään jokasessa muunnoksessa omaa alluokkaa (nmeltään Mercator ja Lambert). Kyseset luokat muuntavat anoastaan maanteteellsessä koordnaatstossa, joten laskettaessa projektota esm. G- K:stä lambertn tulee ensn G-K muuntaa maanteteellseen, jonka jälkeen vo sen muuntaa Lambertn projektoon. Projektomuunnokset on tarkstettu Geotrans Geographc Translatorn v2.2.2 avulla projektottan satunnasten esmerkkalueden kohdalta. 4.5 Muunnosten käyttämnen laskennassa ja tulosten tallentamnen Muunnosten avulla saadusta koordnaatesta laskettn edellä manttujen tunnuslukujen lsäks myös napaluvun- ja mttakaavakorjaukset. Näden laskemseks tehtn projektmuunnosluokken lsäks oma PolarNum luokka, joka suortt kysesten korjauksen laskennan. Lsäks tarvttn laskennassa myös merdaantedostoa, jossa ol mukana alueden keskpsteden koordnaatt. Varsnanen laskenta menee kohten 3.3 ja 3.4 mukasest. Kakk saadut tunnusluvut tallennettn omn tedostohnsa. Osa tallennettn txt-tedostoks ja osa jatkokästtelyä varten MIF-tedostoks. Lsäks tunnusluvut on tallennettu enssjasest aakkosjärjestyksessä ja tossjasest alueen pnta-alan mukaan. Tällön kunnat ja enklaavt, jolla nm on sama, vodaan erottaa tosstaan. Tulokset on myös tallennettu taulukohn, josta tärkemmät on mukana ltteessä. 5
5 Tulosten tarkastelu Jokasesta alueesta on laskettu ta manttu seuraavat tunnstetedot ja tunnusarvot:. Alueen nm 2. Alueen pnta-ala (m 2 ) 3. Alueen ympärysmtta (m) 4. Alueen keskpsteen koordnaatt (x, y) a. Keskpsteprojekto el KPP (G-K 0 ) b. G-K c. KKJ 0 KKJ 5 (G-K 3 ) d. YKJ (KKJ 3) e. UTM 35 (27 ) f. Lambertn kartoprojekto Yleseurooppalanen LCC (35,65 ) g. Mercator -projekto h. Suomeen määrtetty lambertn kartoprojekto Lambert(Fn) (6,69 ) Lsäks kohdsta a e on lsäkoordnaatttedot: œ maanteteelsessä koordnaatstossa (j,l) œ keskpsteprojektossa (G-K:n keskmerdaan YKJ:n avulla lasketussa keskpsteessä) 5. Alueellset mttakaavakorjaukset (ppm) a. läntsn ja täsn mttakaavakorjaus KPP:ssa b. läntsn ja täsn mttakaavakorjaus G-K :ssa c. läntsn ja täsn mttakaavakorjaus G-K 3 :ssa d. keskpsteen mttakaavakorjaukset YKJ.ssa ja UTM:ssa 6. Alueellset napaluvunkorjaus (aste) a. läntsn ja täsn napaluvun korjaus KPP:ssa b. läntsn ja täsn napaluvun korjaus G-K :ssa c. läntsn ja täsn napaluvun korjaus G-K 3 :ssa d. keskpsteen napaluvun korjaukset YKJ:ssa Alueen läntsmmstä ja täsmmstä mttakaavakorjaukssta ja napaluvun korjaukssta vodaan käyttää myös nmtyksä läns- ja täkorjaukset. Seuraavssa kaavossa nähdään koordnaattjärjestelmstä ja projektosta johtuvat pnta-alojen ja ympärysmttojen ptuuksen erot. Ympärysmtasta el prstä johtuva eroja vodaan myös ptää ptuuserona. Kakk erot saadaan kun kysesestä koordnaattjärjestelmästä vähennetään keskpsteprojektolla laskettu pnta-ala ta ptuusarvo. Gauss-Krügern ja UTM projektota kästteleven kaavoden anestona on käytetty kakka 574 aluetta, joden keskpsteet on järjestetty läns- ja täsuuntaan maanteteellsessä koordnaatstossa (j,l). Lambertn kartoprojekton ja mercatorn anestona ovat samat alueet pats, että ne on järjestetty aluettan etelä- ja pohjossuunnassa. Pnta-alan suhdeluvun erotuksen ja ptuuden suhdeluvun erotuksen suhde on 2. Tästä johtuen kuvaajat näyttävät samalta ja van mtta-astekko kaksnkertastuu kun lasketaan pnta-alan eroja. Kaavossa on enssjasest käytössä ptuuden erotukset, mutta jossakn kohdn on mukana myös pnta-alan erotus kaavon vasemmassa ladassa. 6
Seuraavssa kaavossa estetään projektoden tunnuslukujen eroa okesn keskpsteprojektossa laskettuhn tunnuslukuhn. Ykskkönä käytetään prosentteja (%).Tunnuslukuero vodaan laskea Pr ojekto( x) seuraavast: Ero % ( x) = / 00 KPP( x) 5. Gauss-Krügern KKJ -kastojen 0-5 vertalu: Seuraavassa kaavossa (kuva 9) tarkastelemme KKJ -kastojen tunnuslukujen eroja keskpsteprojektoon. Suomessa ovat pääsääntösest käytössä KKJ-kastat -4, mutta avan läntsessä Suomessa on alueta, jossa KKJ 0 antaa paremman tuloksen kun KKJ. Lsäks KKJ 5 - kasta ulottuu maamme täsmpn osn. Nästä systä tässä vertalussa ovat mukana kastat KKJ 0 ja KKJ 5. Penmmät prosentuaalset erot KPP:n saadaan kastolla 2 ja 3. Näden kastojen suurmmat erot pysyvät 0,2% -ykskön tuntumassa. Kysenen ero vastaa n. 2000 ppm mttakaavavrheenä. Kaavon käyrssä näkyvät jyrkät vahtelut ja muutokset johtuvat alueden sjannsta pohjos- ja eteläsuunnassa. Esmerkks yksttäset pkt 22-24 asteen välllä KKJkäyrssä 4 ja 5 ovat pohjosessa oleva alueta, kuten Enontekö ja Kttlä. 5.2 YKJ:n ja UTM:n välnen vertalu Kuva 9 KKJ kastojen 0-5 välnen vertalu ja erot ptuudessa keskpsteprojektoon UTM on kansanvälsest tunnetun projekto, joten Suomessakn tulee varautua sen käyttöön tulevasuudessa. Erot YKJ:n ja UTM:n välllä ovat selketä ja erot pysyvät samona koko anestossa. UTM:ssa tunnuslukujen suhde-erot keskpsteprojektoon ovat pnta-alassa 0,08% ja ptuudessa 0.04% (= 400 ppm) penemmät kun YKJ:ssa lasketut. Tämä ero syntyy pelkästään lekkauskertomesta 0,9996. Tästä syystä UTM projekto saa negatvsa arvoja välllä 23,8-30.2 el non 80 km päässä keskmerdaansta. Kuva 0 YKJ:n ja UTM:n kesknänen vertalu ja erot keskpsteprojektoon 7
5.3 Gauss-Krügern KPP, G-K ja G-K 3 vertalu: Seuraavassa kaavossa (kuva ) kästellään G-K :n ja G-K 3 :n tunnuslukujen prosentuaalsa suhde-eroja keskpsteprojektoon. G-K tarkottaa lähntä tasa-astetta ja G-K 3 lähntä KKJkastaa. Aaltomuotosesta käyrästä nähdään G-K :n ja G-K 3 :n kastojen leveydet ja nden lukumäärät koko anestossa. Kastojen keskmerdaant kuvautuvat suhde-eron nollakohtna. Kuten nähdään ero G-K ja G-K 3 välllä on huomattava. Kun vahdetaan lähmmän KKJ-kastan menetelmästä G-K el lähmmän tasa-asteen kastanleveyksn, erot penenevät osalta aluesta jopa vdes osaan entsestä. Koko alueella erot ovat G-K :ssa suurmmllaan alle 0,00% el mttakaavakorjauksena alle 0 ppm, joka on merktty kaavo on kaksnkertasella vvalla. Vuorostaan G-K 3 :n erot ovat koko anestossa reppaast alle 0,0% el korjaus on alle 00 ppm. Kuva G-K :n ja G-K 3 välnen vertalu ja erot keskpsteprojektoon 5.4 Yleseurooppalasen Lambert-projekton(LCC) ja Suomeen sjotettavan Lambert(Fn) välnen vertalu Kuten vodaan kaavosta (kuva 2) huomata Yleseurooppalanen LCC ja Lambert(Fn)- muunnokset ovat lattudsta rppuva karttaprojektota. Lambert(Fn):ssa huomataan paralleelt x- akseln lekkauskohtna, jotka ovat lattudessa 6 N ja 69 N. Myös LCC:ssä huomataan paralleel 65 N kohdalla. Nässä kohdssa ero keskpsteprojektoon on nolla. Lambert(Fn) on puhtaast oma sovelluksen lambertn kartoprojektosta. Tuloksena san koko anestosta melko sleän paraabelkäyrän lman suurempa epätasasuuksa. KKuva 2 LCC ja Lambert (Fn):n välnen vertalu ja erot keskpsteprojektoon 8
Lambert projektossa e ole paljon samalla leveysasteella olevaa vahtelua. Tämä johtuu osaks kahdesta paralleelakselsta sekä stä että tarkasteltavana alueena Suom e ole kovn ptkä leveyssuunnassa. Melenkntonen huomo kohdstuu Lambert(Fn)-projektoon, joka on yllättävän sleä kun ottaa huomoon laajuuden alueden kesknässsä sjannessa. Tämä nähdään hyvn kaavossa (kuva 3), jossa erot keskpsteprojektoon pysyvät paralleelen ulkopuolella alle 0, % ja nden välssä alle (-),25 %. Tästä saadaan ss suurmmllaan 000-250 ppm kokoluokkaa olevat mttakaavakorjaukset. Tämä tarkkuus e rtä kkj-kastolla saatuhn erohn (alle 0,0), mutta kun verrataan YKJ ja UTM projektohn, tarkkuus on samaa luokkaa ta vo olla jopa paremp. K Kuva 3 Lambert (Fn):n erot keskpsteprojektoon 5.5 Mercator -projekto Mercator-projekton parhaat omnasuudet tulevat eslle yleensä koko maapalloa koskevssa kuvauksssa. Alueellsena ja varsnkn lähellä napa-alueta koskevssa kuvauksssa Mercatorprojekto pokkeaa okeasta arvosta, tästä syystä väärstymät ovat Suomessa suura. Erot KPP:n ovat etelässä 50% ja pohjosessa jopa yl 90%. Kuva 4 Mercator projekton pnta-alan ja ptuuden erot keskpsteprojektoon 9
5.6 Napaluvun korjauksen vertalu Napaluvun korjaukset estetään astena. Korjaukset r saadaan määrttämällä alueen läntsmmälle ja täsmmälle psteelle projektopohjosen ja maanteteellsen pohjosen välnen kulma. Lännessä arvosta saadaan postva ja dässä negatvsa. Kun lasketaan korjaukset KPP:ssa, saadaan penmmät korjaukset, jotka ovat suoraan verrannollsa alueden ptuuteen tä- ja länssuunnassa. Korjaukset evät kasva merkttäväst srryttäessä KPP:sta lähmpään tasa-aste el G-K - koordnaatstoon. Kummassakn tapauksessa suurn osa korjaukssta pysyvät välllä [-,] el r <. G-K :ssa nähdään kastosta johtuva jaksollnen aaltokuvo, jossa aallonptuudeks saadaan. Itäosassa olevat aaltokuvon vahtelevuudet johtuvat osaks alueden suuresta koosta sekä alueden lukumäärästä, joka on paljon penemp kun länsosassa. Kuva 5 Napaluvun korjaukset KPP:ssa Kuva 6 Napaluvun korjaukset G-K :ssa Srryttäessä lähmmän kastan el G-K 3 -koordnaatstoon vahe-erot tulevat paremmn näkyvn, joskn veläkn suuret alueet pohjosessa aheuttavat käyrään jyrkkä pkkejä. Alueden korjaukset Dr ovat,5 ja 2:n välllä, lukuunottamatta pohjosen alueta. Napaluvun korjaus YKJ.ssä on laskettu anoastaan alueden keskpsteessä. Tässäkn käyrässä olevat epätasasuudet selttyvät alueden sjannlla pohjos- ja eteläsuunnassa Kuva 7 Napaluvun korjaukset G-K 3 :ssa Kuva 8 Napaluvun korjaukset YKJ:ssa Mttakaavakorjaukset, jota tässä e ole velä kästelty, tullaan kästtelemään luvussa 6 Aluekohtanen vertalu kohdassa 6.3. 20
6 Aluekohtanen vertalu 6. Otosjoukon valnta: Projektoden kesknästä vertalua varten tarvtaan mahdollsmman kattava ja edustava otosjoukko. Otosjoukon koko on 25 aluetta, jotka edustavat tärkempä kaupunkeja sekä sjannllsest tärketä alueta. Alla on estelty esmerkkalueet (kuva 9). Nmen jälkeen on manttu syy mks juur kysenen alue on valttu. ECKERÖ, läntsn kunta, muoto ENONTEKIÖ,luotesn kunta, ptkä muoto ja sjant ESPOO,tärkeä kaupunk FÖGLÖ,eteläsn kunta HANKO,eteläsn kaupunk, sjant HELSINKI,tärkeä kaupunk ILOMANTSI,täsn kunta JYVÄSKYLÄ,tärkeä kaupunk KALAJOKI,ptkulanen muoto KOTKA,tärkeä kaupunk, kaakkosn kunta otosjoukossa KUOPIO,tärkeä kaupunk KUUSAMO,tärkeä alue LAHTI,tärkeä kaupunk LAPPEENRANTA,tärkeä kaupunk MIKKELI,tärkeä kaupunk, muoto OULU,tärkeä kaupunk, sjant 65 leveysprllä (LCC) PIIPPOLA,Suomen keskpstekunta PORI,tärkeä kaupunk SAVONLINNA,tärkeä kaupunk, ptkulanen muoto SIMO,erttän ptkulanen muoto TAMPERE,tärkeä kaupunk TURKU,tärkeä kaupunk, ptkulanen muoto UTSJOKI,pohjosn kunta VAASA,tärkeä kaupunk VANTAA,tärkeä kaupunk Kuva 9 Suomen kuntajako, jossa punasella merkttyt kuuluvat otosjoukkoon. Kuvan veressä on otosjoukon kunnat aakkosjärjestyksessä sekä lsäks manttu syy mks kunta on valttu joukkoon Otosjoukon valntaan e ole käytetty satunnasotantaa vaan valnnat ten puhtaast oman henklökohtasen näkemyksen kannalta. Valnnassa olen yrttänyt panottaa alueden tasasta sjottumsta ympär maata sekä valntaan on myös vakuttanut alueen tärkeys, anutlaatunen sjant ta muoto. 2
6.2 Gauss-Krügern vertalu otosjoukossa 6.2. G-K ja G-K 3 Kaavosta (kuva 20) näemme Gauss-Krügern yhden asteen kastaväln projekton G-K :n ja kolmen asteen el KKJ-kastojen kesknänen vertalu otosjoukossa. Erona ovat pnta-alojen ja ympärysmtasta saatujen ptuuksen erot KPP:ssä laskettuhn arvohn. Alueet, jotka sjatsevat G- K 3 ladolla (kuten esm. Helsnk, Turku ja Oulu) ero G-K :n on varsn merkttävä. Aluella jossa G-K 3 ja G-K sattuvat samolle ptuusprelle, manttavaa eroa e ole. Kaavo tukee kästystä, jonka mukaan G-K sop hyvn käytettäväks alueden pakallsks koordnaatstoks. G-K e yltä kertaakaan 0,00 % el 0 ppm:n rajaa ja se myös käyttäytyy hyvn tasasest. G-K 3 :n erot ovat huomattava, mutta tulee huomata ette selläkään erot yltä 80 ppm:n rajaa. 6.2.2 YKJ ja UTM 35 Kuva 20 G-K :n ja G-K 3 :n vertalu otosjoukossa ja erot keskpsteprojektoon Ohesesta kaavosta (kuva 2) nähdään YKJ ja UTM karttaprojektoden erot otosjoukossa. Kaavossa on myös vertalun vuoks lähmmän KKJ-kastan el G-K 3 :n arvot. YKJ antaa paremmat tulokset Espoosta täänpän kun taas UTM:n tulokset ovat parempa Espoosta länteen, johtuen UTM projekton lekkaavuudesta. Lsäks avan Suomen täosssa UTM on tarkemp kun YKJ. K Kuva 2 YKJ:n ja UTM:n vertalu otosjoukossa ja erot keskpsteprojektoon 22
6.2.3 Lambert Alla olevsta kuvaajsta 22 ja 23 nähdään otosjoukolle tehdyt Lambertn projektot ja tunnusarvosta johtuvat erot pakkakunnttan. Lambert (Fn) on mttakaavatarkka Lahdessa ja Lappeenrannassa ja LCC Oulussa. Kuva 22 LCC ja Lambert (Fn) kesknänen vertalu otosjoukossa sekä erot keskpsteprojektoon Kuva 23 Lambert (Fn) otosjoukossa (Y-akseln suuntanen suurennus kuvasta 22) 23
6.3 Keskpsteen muutokset otosjoukossa Keskpsteellä tarkotetaan tässä työssä ns. alueen panopstettä (ks 3.2). Otosjoukosta laskettn keskpsteen koordnaatt neljässä taso-koordnaatstossa: G-K, G-K 3,YKJ ja UTM. Keskpsteen muutokset lmotetaan erona keskpsteprojektossa laskettuhn koordnaattehn. X- koordnaatt pohjos- ja eteläsuunnassa jay-koordnaatt kuvaa eroa tä- ja länssuunnassa. Ykskkönä käytetään meträ (m). Alueden keskpsteet muutettn lasketusta koordnaatstosta maanteteellseen. Nämä koordnaatt muutettn alueellsn keskpsteprojektohn, josta vodaan sten nähdä suoraan keskpsteen muutokset koordnaatstojen välllä. Alla olevassa taulukossa estellään G-K:ssa ja UTM:ssa laskettuja keskpsteden eroja KPP:ssa laskettuun okeaan keskpsteeseen. Alueden keskpsteen muutokset koordnaatstojen välllä selttyvät alueen koolla, sjannlla ja muodolla. Taulukosta huomataan että erot alueden välllä ovat suura. Mtä suuremp alue on kyseessä ja mtä kauempana se on keskmerdaansta, nn stä suurempa ovat myös er projektossa laskettujen keskpsteden erot KPP:n verrattuna. Ero on myös suur jos alue on ptkä tä- ja länssuunnassa. YKJ:lla ja UTM:lla saadut tulokset ovat keskenään samanlaset. UTM:n skalaarkerron 0,9996 e ss vakuta tuloksn ja ero KPP:ssa laskettuhn keskpsteen koordnaattehn pysyy samana kun YKJ:ssa. Taulukossa johtuvat erot YKJ:n ja UTM:n välllä johtuvat ohjelmassa olevasta pyörstysvrheestä. Kunta: G-K (Y) G-K (X) G-K 3 (Y) G-K 3 (X) YKJ (Y) YKJ (X) UTM (Y) UTM (X) ECKERÖ 9,0 0,002-0,084 0,02-0,293 0,48 0,833 0,5 0,83 ENONTEKIÖ 23,0-0,500 0,320-5,264 3,383-8,90 2,302-8,90 2,30 ESPOO 25,0 0,005 0,05-0,00-0,34 0,049 0,374 0,05 0,37 FÖGLÖ 20,0 0,027 0,42-0,05-0,254-0,748-3,252-0,75-3,25 HANKO 23,0 0,000 0,000-0,90-0,29-0,783-0,55-0,78-0,55 HELSINKI 25,0 0,000 0,000 0,026-0,03-0,05-0,005-0,05-0,0 ILOMANTSI 3,0 0,000 0,000 0,294-0,047,79-0,399,8-0,40 JYVÄSKYLÄ 26,0-0,008-0,002-0,035-0,02-0,035-0,02-0,03-0,0 KALAJOKI 24,0-0,293 0,68-0,293 0,68-2,799,68-2,80,62 KOTKA 27,0 0,004-0,02 0,004-0,02 0,004-0,02 0,00-0,0 KUOPIO 28,0-0,50-0,009 0,364 0,09 0,364 0,09 0,36 0,02 KUUSAMO 29,0 0,32-0,096-0,336 0,224,00-0,92,0-0,92 LAHTI 26,0-0,03-0,002-0,054-0,009-0,054-0,009-0,05-0,0 L.RANTA 28,0 0,069 0,004 0,360 0,09 0,360 0,09 0,36 0,02 MIKKELI 27,0 0,73-0,26 0,73-0,26 0,73-0,26 0,7-0,3 OULU 26,0-0,058 0,030-0,20 0,06-0,20 0,06-0,20 0, PIIPPOLA 26,0 0,004 0,000-0,33 0,002-0,33 0,002-0,3 0,00 PORI 2,0 0,25-0,073 0,25-0,073-3,280 0,99-3,28 0,92 SAVONLINNA 29,0-0,034 0,064-0,207 0,384 0,343-0,648 0,34-0,65 SIMO 25,0 0,7 0,9 0,856,48 -,48-2,372 -,48-2,37 TAMPERE 24,0-0,003-0,03-0,003-0,03-0,09-0,400-0,09-0,40 TURKU 22,0 0,005 0,049 0,02 0,225-0,57-0,994-0,6-0,99 UTSJOKI 27,0-0,059-0,047-0,059-0,047-0,059-0,047-0,06-0,05 VAASA 2,0 0,099-0,007 0,099-0,007 -,3 0,080 -,3 0,08 VANTAA 25,0-0,007 0,00 0,44-0,020-0,306 0,04-0,3 0,04 24
6.4 Mttakaavakorjaukset otosjoukossa Mttakaavakorjauksen vertalulla suurmmat mttavrheet ovat alueden läns ja täreunolla. Ykskkönä käytetään ppm:a (parts per mllon) el mljoonasosa. Tämä ykskkö vodaan havannollstaa perusetäsyyden km avulla. Tällön ppm on mljoonasosa klometrstä el yks mllmetr (mm). Mttakaavakorjauksn vakuttavat myös alueden korkeudet merenpnnasta. Korkeuskorjaus saadaan seuraavast: h S h =, S = S M + S R h S = mttakaavakorjaus S h = korkeuskorjaus S M = mttakaavakorjaus lman korkeuskorjausta h = alueen korkeus merenpnnasta R = maan säde Huom! Alueden korkeuskorjausta e ole ole otettu huomoon mttakaavakorjauksssa. Mttakaavakorjaukset laskettn seuraavssa G-K koordnaatessa:. KPP:n el keskpsteprojektossa olevat mttakaavakorjaukset alueen läntsmmälle ja täsmmälle psteelle 2. G-K el tasa-aste kastan mttakaavakorjaukset alueen läntsmmälle ja täsmmälle psteelle 3. G-K 3 el lähmmän KKJ-kastan mttakaavakorjaukset alueen läntsmmälle ja täsmmälle psteelle 4. YKJ ja UTM-järjestelmen välset mttakaavakorjaukset Jokanen vertalu otosjoukon mttakaavakorjausten välllä estetään omana kaavona. Itäsmmät ja läntsmmät mttakaavakorjaukset estetään pylväsdagrammna. Kaavossa on myös vertalun vuoks alueen keskpsteessä oleva mttakaavakorjaus käyräestyksenä. Esteltävstä kaavosta on huomotava kohteen Enontekö tunnusluvut, jotka yleensä ovat nn suura, ettevät ne mahdu suoraan kaavohn. Tämän vuoks kaavoden vasemmassa yläkulmassa on erllnen astekko apuvvoneen näden lukujen kuvaamsta varten. 25
6.4. Mttakaavakorjaukset KPP:ssa Keskpsteprojekton mttakaavakorjauksella tarkotetaan korjausta, joka saadaan kun sjotetaan keskmerdaan alueen keskpsteeseen. Tämä alue vodaan jakaa sten sekä läntseen (Aw), että täseen (Ae) osapntaalaan. Tunnetust alueen keskpste on lähempänä suurempaa osapntaalaa, jollon matka ja samalla vrhe kasvavat vastakkasella reunalla. Esmerkknä (kuva 24) vodaan tarkastella Smon kuntaa, jossa tänen osapnta-ala on suuremp kun läntnen, jollon myös korjaus lännessä on suuremp. Tällön keskpsteessä oleva mttakaavakerron on el mttakaavakorjaus on 0 ppm. Mttakaavakorjauksa vodaan myös tarkastella lteessä 2 olevan karttapohjan avulla. Snä karttaan on merktty ptuusprt vällle 8-32 sekä myös kunten alueet, jossa otosjoukon kunnat on tummennettu ja nmetty. Aw < Ae Kuva 24: Osapnta-alat esmerkk kuntana Smo Kaavosta (kuva 25) nähdään mttakaavakorjaukset keskpsteprojektossa el KPP:ssa. Läns- ja täkorjauksen laskenta tapahtuu kohdan 3.3 mukasest. Yleensä tulokseks saadaan, että alueellsest läns- ja täkorjaukset ovat suurn prten yhtäsuuret. Tästä pokkeuksena ovat alueet kuten Enontekö, Smo ja Utsjok, jossa alueen ptkttänen muoto tä- ja länssuunnassa aheuttaa sen, että tonen korjaukssta on merkttäväst tosta suuremp. Kaavossa nähdään myös koko alueen keskmääränen mttakaavakorjaus G-K :ssä, jossa nähdään ero, jos keskmerdaanna käytetäänkn lähntä tasa-astetta ekä alueen keskpstettä. Kuva 25 Mttakaavakorjaukset KPP:ssa 26
6.4.2 Mttakaavakorjaukset G-K :ssa Kuvasta 26 olevasta kaavosta nähdään mttakaavakorjaukset G-K :ssa el lähmmän keskpstettä olevan tasa-asteluvun mukaan. Kussakn alueessa käytetyt tasa-asteet löytyvät dagrammn yläosasta. G-K :ssa kakk keskpsteessä mtatut mttakaavakorjaukset ovat ana alle 0 ppm. Keskpsteessä oleva mttakaavakorjaus on sama kun akasemmn estetyssä kaavossa (kuvat 20 ja 2) estetyt ptuuksen erot keskpsteprojektoon. Itä- ta länskorjaus on yleensä suurempa ta jompkunp nstä korjaukssta on suuremp kun keskpsteessä laskettu korjaus. Kaavossa huomota herättää läntsten alueden, kuten Porn ja Vaasan länslukujen penuus. Tämä johtuu täysn puhtaasta sattumasta, jossa alueden länsrajat ovat lähellä G-K -kastan keskmerdaana. Suurmmllaan korjaukset ovat Enontekössä, jossa länskorjaus on 20,8 ppm ja täkorjaus 83,4. Penmmllään korjaukset ovat otosjoukon alueella Helsngssä, jossa keskmerdaan on keskellä. Lsäks kaavossa on myös alueden G-K :n keskmääräset korjaukset. Jos läns- ja täkorjauksen välnen ero on pen, nn sllon myös keskmääränen korjaus on pen. Esmerkks läntsllä aluella tämä ero vo olla aka suur, jollon myös keskmääränen korjaus kasvaa lähelle maksma el 0 ppm:a. Samassa kaavossa on myös nähtävssä lähmmän kastan keskmääränen korjaus, joka välllä on nn suur, ette se mahdu kaavon mtta-astekkolle. Alueden tarkat korjaukset löytyvät takana olevasta ltteestä. Kuva 26 Mttakaavakorjaukset G-K :ssa 27
6.4.3 Mttakaavakorjaukset G-K 3 :ssa Kaavosta (kuva 27) nähdään läns- ja täkorjaukset lähmmässä KKJ-kastassa el G-K 3.ssa. Vertalun vuoks samassa kaavossa on myös alueden keskmääräset korjaukset G-K :ssa ja G-K 3 :ssa. Keskmääränen mttakaavakorjaus on alle 80 ppm suurmmassa osassa maatamme, mutta lsäks on myös alueta, jotka sjatsevat kastojen ladolla, jolla läns- ta täkorjaukset vovat olla suurempa. Tämä johtuu stä, ette kysesen kohteen reuna-alueet peraatteessa olekaan kysesellä kastalla vaan ne kuulusvat okeastaan veresn kastohn. Valnta tehdään kutenkn alueen keskpsteen avulla, joten se kasta mhn keskpste kuuluu valtaan koordnaattkastaks. Korjaukset ovat suurmmllaan Enontekössä. Alueena Enontekö on nn laaja ja ptkä, että se votasn jakaa usesnkn kastohn. Velä ongelmaa lsää, että se sjatsee KKJ :n ja KKJ 2:n kastojen välssä. Länskorjausta votasn penentää valtsemalla kastaks KKJ, jollon länskorjaus penens oleellsest ekä täkorjauskaan suurens kovn paljon. Mutta sllon korjauksen laskemnen ja määrttely e menskään keskpsteen mukasest. Kuva 27 Mttakaavakorjaukset G-K 3 :ssa 28
6.4.4 Mttakaavakorjaukset YKJ:ssa ja UTM:ssa UTM 35 YKJ Mttakaavakorjaukset YKJ:ssä ja UTM:ssa Et. kesk-mttakaavamerdaanstkorjaus (ppm = merdaan korjaus (ppm = Et. kesk- Mttakaava- ovat hyvn johdonmukasa keskenään. Johtuen juur UTM:ssa olevasta (km) mm) sta (km) mm) mttakaavakertomesta 0.996, myös 0-400 0 0 korjauserot ovat tasasest 400 ppm 0-399 0 25-392 25 8 penemmät kun YKJ:ssä. 50-369 50 3 Tästä ahetuu sten negatvsta 75-33 75 69 mttakaavakorjausta projekton 00-277 00 22 keskmerdaann lähesyydessä (n.80 km 50-24 50 276 päässä molemmn puolen keskmerdaana). 80-3 80 397 Verestä taulukosta näkee 200 90 200 490 mttakaavakorjaukset ja alhaalta kaavosta 250 366 250 766 mttakaavakorjaukset pakkakunnttan 300 703 300 03 otosjoukossa. 400 56 400 960 500 2665 500 3064 Kuva 28 Keskpsteen mttakaavakorjaukset YKJ:ssa ja UTM:ssa 29