Luento 9. June 2, Luento 9

Transkriptio

1 June 2, 2016

2 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille, mutta eivät verifioitavissa. Tällöin sopimusta ei voida ehdollistaa näille seikoille, koska esimerkiksi oikeudessa ei voida osoittaa, mikä asiaintila on. Tarkastellan tilannetta, jossa on kaksi henkilöä A ja B, jotka haluavat osallistua yhteisprojektiin. Projekti koostuu A:n ja B:n työpanoksesta ja fyysisestä pääomasta. Projektin tuotto riippuu A:n ja B:n investoinneista.

3 Oletetaan, että A tekee investointinsa ensin ja sitten B investoi. Osapuolet havaitsevat toistensa investoinnit, mutta ne eivät ole verifioitavissa. Merkitään A:n investointia a:lla ja B:n investointia b:llä. Oletetaan, että nämä kertovat myös investoinnin suuruuden/kustannuksen. A:n ja B:n täytyy sopia projektin omistuksesta ja siitä, miten projektin tulos jaetaan. Katsotaan ensin, miten projektin tulos määräytyy.

4 Pelissä on kolme vaihetta. Ensin A investoi. Sitten B investoi. Sitten tuotos realisoituu niin, että sen koko on a + b + ab. Pelaajien kannalta ongelma on, että vaikka he tekisivät isot investoinnit näitä ei voida korvata tuotoksesta, koska investoinnit eivät ole verifioitavissa. Ainoastaan tuotos on verifioitavissa.

5 Yhteiskunnallisesti optimaalinen ratkaisu saadaan tehtävästä max a,b a + b + ab a b Ensimmäisen kertaluvun ehdot ovat b 1 = 0 2 a 2 ab a 1 = 0 2 b 2 ab Symmetrinen ratkaisu on a = b = 1.

6 Annettuna A:n investointi yhteiskunnallisesti optimaalinen B:n investointi saadaan jälkimmäisestä ehdosta b (a) = 1 4 ( 1 + a ) 2 Mutta B tekee tämän investoinnin ainoastaan, jos hän saa koko tuotoksen itselleen. Katsotaan, mitä tapahtuu, jos A omistaa projektin eli fyysisen pääoman. Omistus tarkoittaa, että A voi sopia siitä kuka käyttää fyysistä pääomaa; hänellä on siihen kaikki oikeudet, joita hän ei ole sopimuksilla luovuttanut.

7 Tällöin osapuolet jakavat tuotoksen jollain tavalla. Oletetaan, että he jakavat sen vaikka puoliksi. Tällöin B:n ongelma on 1 ( a ) max b + b + ab b 2 Ensimmäisen kertaluvun ehto on ( ) 1 a 1 = b 2 ab Tästä voidaan ratkaista b = ( 1 + a ) 2 16 < b (a)

8 On selvää, että kuka projektin omistaakin ja miten jako tehdäänkin, investoinnit eivät ole optimaalisia. Tämä johtuu siitä, että tuotoksen jakamisen aikaan investoinnit ovat uponneita kustannuksia. Väitämme, että seuraava sopimus johtaa tehokkaaseen tulemaan.

9 Sopimus: Alussa A omistaa fyysisen pääoman, mutta B:llä on oikeus ostaa se etukäteen määrätyllä hinnalla p sen jälkeen, kun A on tehnyt investointinsa, mutta ennen kuin projektin tuotos on realisoitunut. Olennainen ongelma on selvittää, onko olemassa sopimuksessa mainittua hintaa, joka johtaa tehokkuuteen.

10 Proof. Väite: Hinnalla p = 2 A ja B tekevät yhteiskunnallisesti optimaaliset investoinnit. Jos B käyttää optiotaan hän saa a + b + ab b p. Tämä lauseke saavuttaa maksimin b:n suhteen kohdassa b (a) = 1 ( ) a Jos B ei käytä optiota hänen hyötynsä on nolla, koska hän ei tietenkään investoi. B siis käyttää option vain, jos 1 ( ) 2 a a + a 1 ( ) 2 1 ( ) a 1 + a p = Epäyhtälön vasen puoli on a:n suhteen nouseva, joten B käyttää option ainoastaan, jos A investoi riittävästi. A tietysti investoi vain juuri sen verran, että pätee yhtälö. Tämä tapahtuu, kun a = 1. Tällöin b (1) = 1. QED

11 Palkkajakauma Yrityksellä on avoin työpaikka ja se voi saada siihen satunnaisen määrän hakemuksia identtisiltä työntekijöiltä. Hakemus koostuu palkkavaatimuksesta ja yritys valitsee työntekijän jonka vaatimus on alhaisin. Taustalla on suurempi peli, jossa on useita yrityksiä, joilla on vapaita työpaikkoja ja useita työnhakijoita. Työnhakijat päättävät satunnaisesti, mihin yritykseen hakea. Jos oletetaan, että työpaikkoja ja työnhakijoita on yhtä paljon, tiettyyn yritykseen hakevien työntekijöiden lukumäärä on Poisson-jakautunut parametrilla 1. Niinpä, kun työnhakija on hakenut johonkin yritykseen hän arvioi, että k muuta työnhakijaa on hakenut samaan yritykseen todennäköisyydellä e 1 1 k! missä k! = k (k 1) (k 2)

12 Palkkajakauma Olennaista on, että työntekijä ei tiedä kuinka monta muita hakijoita on. Oletetaan, että kukin työntekijä tuottaa ykkösen verran tuotosta työssään. On selvää, että työntekijöiden palkkavaatimukset eivät voi olla puhtaiden strategioiden tulosta. Jos kaikki pyytäisivät vaikka palkkaa w, niin työntekijä joka alentaisi palkkavaatimustaan saisi työpaikan varmasti silloin, kun hakijoita on monta. Samasta syystä on selvää, että tasapainossa ei ole massapisteitä. Voidaan myös näyttää, että sekastrategiassa ei ole aukkoja, vaan siinä valitaan palkkavaatimuksia suljetulta välilltä. Merkitään sekastrategian kertymäfunktiota F :llä ja postuloidaan, että tasapainossa palkkavaatimukset tulevat väliltä [l,l]. Seuraavaksi konstruoimme sekastrategian.

13 Palkkajakauma Ensin huomataan, että väistämättä L = 1; työntekijä joka vaatii korkeinta palkkaa saa työn vain jos hän sattuu olemaan ainoa hakija. Tällöin hän voi saman tien vaatia koko tuotosta itselleen; työnantaja on indifferentti ja oletuksemme mukaan palkkaa työnhakijan. Yrityshän on valmis maksamaan maksimissaan ykkösen verran. Työntekijä, joka vaatii ykkösen verran saa vaatimuksensa todennäköisyydellä e 1. Hänen odotettu hyötynsä on siten e 1. Kaikkien muidenkin palkkavaatimusten täytyy tuottaa sama hyöty sekastrategiassa. Erityisesti näemme heti, että l = e 1.

14 Palkkajakauma Oletetaan, että työnhakija vaatii palkkaa w ( e 1,1 ). Tällöin hänen odotettu hyötynsä saadaan lausekkeesta e 1 1 k! (1 F (w))k w = e F (w) w k=0 Tämän täytyy olla sama kuin hyödyn esimerkiksi palkkavaatimuksesta 1 eli e F (w) w = e 1. Tästä voidaankin ratkaista F (w) = 1 ln 1 w = 1 + lnw

15 Palkkajakauma Sekastrategia kertoo, että työnhakijoita palkataan eri palkoilla, vaikka sekä työt että hakijat ovat identtisiä. Tästä on vielä jonkin matkaa palkkajakaumaan, koska tietysti alhaiset palkat ovat yliedustettuina F :ään nähden; alhaisella vaatimuksella palkataan suuremmalla todennäköisyydellä kuin korkealla vaatimuksella. Toteutuneiden palkkojen kertymäfunktio saadaan lausekkeesta G(w) = k=1 e 1 1 k! (1 (1 F (w)) k) 1 e 1 = 1 e 1 w 1 e 1 Enemmän tietoa juuri tästä aiheesta löytyy SEARCH DIRECTION AND WAGE DISPERSION International Economic Review Volume 49, Issue 1, February 2008, Pages: , Marja-Liisa Halko, Klaus Kultti and And Juha Virrankoski