Ratkaisun olemassaolo epälineaarisille parabolisille ongelmille variaatiolaskennan suoria menetelmiä käyttäen

Transkriptio

1 Ratkaisun olemassaolo eälineaarisille arabolisille ongelmille variaatiolaskennan suoria menetelmiä käyttäen Kristian Moring Perustieteiden korkeakoulu Dilomityö, joka on jätetty oinnäytteenä tarkastettavaksi dilomi-insinöörin tutkintoa varten Esoossa Työn valvoja ja ohjaaja: Prof. Juha Kinnunen

2 aalto-ylioisto erustieteiden korkeakoulu dilomityön tiivistelmä Tekijä: Kristian Moring Työn nimi: Ratkaisun olemassaolo eälineaarisille arabolisille ongelmille variaatiolaskennan suoria menetelmiä käyttäen Päivämäärä: Kieli: Suomi Sivumäärä: 4+47 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Professuuri: Matematiikka SCI354 Työn valvoja ja ohjaaja: Prof. Juha Kinnunen Työssä todistetaan ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys araboliselle - Lalacen yhtälölle ajasta riiumattomilla Cauchy-Dirichlet n reuna-arvoilla. Tulos erustuu variaatiolaskennan suoriin menetelmiin, jolloin todistus nojaa oleellisesti vain yhtälön ratkaisun variaatiomääritelmään sekä energiaestimaatteihin ja aroksimaatioargumentteihin, kuten aikasilotukseen. Kyseinen todistustekniikka on sovellettavissa myös yleisemmille arabolisille systeemeille. Avainsanat: Eälineaariset araboliset osittaisdifferentiaaliyhtälöt, arabolinen -Lalace, olemassaolo, arabolinen minimoija, variaatioratkaisu, variaatiolaskennan suorat menetelmät

3 aalto university school of science abstract of the master s thesis Author: Kristian Moring Title: Existence of solutions for nonlinear arabolic roblems via direct methods in the calculus of variations Date: Language: Finnish Number of ages: 4+47 Deartment of Mathematics and Systems Analysis Professorshi: Mathematics SCI354 Suervisor: Prof. Juha Kinnunen Advisor: Prof. Juha Kinnunen We rove existence and uniqueness of solution for arabolic -Lalace equation with time indeendent Cauchy-Dirichlet boundary datum. The result is based on direct methods in the calculus on variations. In this case, the existence is achieved with variational definition of solution and by using energy estimates and aroximation arguments, such as time mollification. Due to the methods used in the roof, the result can be alied to more general arabolic systems as well. Keywords: Nonlinear arabolic PDEs, arabolic -Lalacian, existence, arabolic minimizer, variational solution, direct methods in the calculus of variations

4 iv Sisällysluettelo Tiivistelmä Tiivistelmä (englanniksi) Sisällysluettelo ii iii iv Johdanto 2 Esitietoja 3 3 Ratkaisujen määritelmät ja yhtäitävyys 8 4 Variaatioratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys 27 5 Konveksisuuden välttämättömyys ratkaisun olemassaololle 44 Viitteet 47

5 Johdanto Tässä työssä tarkastellaan erästä eälineaaristen arabolisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden rototyyiä, arabolista -Lalacen yhtälöä u t div( Du 2 Du) =, jossa yleisesti < <, mutta keskitymme käsittelemään taausta 2. Kyseinen yhtälö on tyyillinen eälineaarinen yleistys erinteiselle lämöyhtälölle, ja alautuu lämöyhtälöksi, kun = 2. Työn äämääränä on todistaa ratkaisun olemassaolo yhtälölle luonnollisessa funktioavaruudessa tietyntyyisin reunaehdoin variaatiolaskennan menetelmiä käyttäen. Luonnollinen funktioavaruus on tässä taauksessa arabolinen Sobolevin avaruus, minkä vuoksi alussa käydään läi esitietoja ja erustuloksia vektoriarvoisten funktioiden integraalille ja Lebesguen avaruuksille. Tällaisissa funktioavaruuksissa kuvaukset on määritelty hieman eri tavalla kuin funktiot, joita halutaan tarkastella. Tällöin toivotut mitallisuusehdot eivät ole lähtökohtaisesti täysin selviä, minkä vuoksi näiden tulkintojen välistä yhteyttä käydään läi toisessa kaaleessa. Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä voi esittää monessa eri muodossa ja niiden ratkaisuja voi määritellä eri tavoin. Klassinen ratkaisu toteuttaa yhtälön isteittäin, ja siltä vaaditaan verrattain aljon sileyttä. Nämä vaatimukset ovat monessa tilanteessa liian vahvoja yliäätään ratkaisun olemassaolon kannalta, ja siten tyyillinen taa on tulkita yhtälö heikommassa muodossa. Tällaiselle tulkinnalle on olemassa erilaisia määritelmiä, joista tässä työssä esitetään kolme; heikon ratkaisun, arabolisen minimoijan ja variaatioratkaisun määritelmät. Oleellisesti nämä määritelmät ovat yhtäitäviä tarkastelemamme yhtälön taauksessa, mikä osoitetaan kolmannessa kaaleessa. Lähtökohtaisesti osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisun tulkitaan toteuttavan yhtälö lokaalisti määrittelyjoukossaan, mutta ongelmaan liitetään usein myös reunaehtoja. Olemassaolo todistetaan tässä työssä tilanteessa, jossa ratkaisulta vaaditaan niin sanotut Cauchy-Dirichlet n reunaehdot, mikä tarkoittaa, että ratkaisu saa tietyt arvot ongelman alkuhetkellä ja ystyreunalla. Pystyreunalla tarkoitetaan alueen satiaalista reunaa kaikilla tarkasteltavilla ajanhetkillä. Reuna-arvot oletetaan ajasta riiumattomiksi, ja tarkastellaan aika-avaruussylinteriä, jossa aikaväli on uoliääretön. Siten kyseistä ongelmaa voi tarkastella ajassa mielivaltaisen itkälle. Ratkaisulta yritään määritelmissä olettamaan ajan suhteen vain vähän säännöllisyyttä, vähemmän kuin määritelmien testifunktioilta. Tällöin ratkaisua ei voida suoraan käyttää testifunktiona, minkä vuoksi työssä esitellään todistuksissa tarvittava tietyntyyinen aikasilotus. Työn äätuloksena esitetään variaatiolaskentaan erustuva todistus yhtälön variaatioratkaisun olemassaololle ja yksikäsitteisyydelle. Vaikka tarkastelemamme yhtälön kaltaisille yhtälötyyeille edellä mainitut ratkaisujen määritelmät ovat yhtäitäviä, variaatioratkaisu voidaan määritellä huomattavasti yleisemmillekin arabolisille systeemeille. Kyseisen todistustekniikan etuna onkin, ettei se aseta suuria rajoitteita ongelman rakenteelle. Todistuksen ideana on määritellä ositiivisesta arametrista riiuva joukko konvekseja variaatiofunktionaaleja, joille voidaan osoittaa yksikäsitteisen minimoijan olemassaolo variaatiolaskennan suoria menetelmiä

6 käyttäen kaikilla tarkasteltavilla arametrin arvoilla. Variaatiofunktionaalien joukko määritellään siten, että vietäessä arametrin arvo tiettyä jonoa itkin rajalle nollaan vastaavien funktionaalien minimoijat suenevat soivassa mielessä tarkasteltavaan, variaatiomääritelmän mukaiseen ratkaisuun. Tällöin rajafunktio erii minimointiominaisuuden toivotussa mielessä. Viimeisessä kaaleessa osoitetaan konveksisuuden olevan välttämätön ehto ratkaisun olemassaololle. Olemassaolotodistuksen runko ohjautuu Bögeleinin, Duzaarin ja Marcellinin artikkeliin [3]. Parabolisen minimoijan määritelmän esitteli Wieser artikkelissaan [2], ja variaatioratkaisun tyyinen määritelmä esiteltiin ensimmäisen kerran tiettävästi lähteessä [8]. Variaatiolaskennan menetelmien käyttö aikariiuvien ongelmien ratkaisemiseksi ohjautuu vuonna 996 julkaistun De Giorgin artikkelin [5] konjektuuriin, jossa ongelmana tarkasteltiin eälineaarisia hyerbolisia aaltoyhtälöitä. Kyseisessä konjektuurissa ongelma määriteltiin alueessa R n [, ), jossa alueella ei ole ystyreunaa. Oleellisesti tälle konjektuurille todistuksen esittivät Serra ja Tilli artikkelissaan [] vuonna 22. Tämän työn ääasiallisen lähteen [3] todistus nojaa vahvasti kyseiseen lähestymistaaan. Hieman samantyyistä aikadiskretointia hyödyntävää tekniikkaa on käytetty lähteissä [] ja [2]. Kaaleessa 2 läikäyty Bochner-integrointiteoria ohjautuu lähinnä teoksiin [7] ja []. Jälkimmäistä käytetään lähteenä myös seuraavassa kaaleessa 3. Tässä työssä käytetyn aikasilotuksen esitteli Naumann lähteessä [9], ja tähän liittyviä tuloksia löytyy esimerkiksi lähteestä [4]. Reuna-arvojen huomiointi ratkaisujen määritelmissä ohjautuu teoksen [3] lähestymistaaan. Variaatiolaskennan suoriin menetelmiin käytetään viitettä [6]. Konveksisuuden välttämättömyysehto on osoitettu alun erin artikkelissa [2], mutta tämän työn todistus ohjautuu Christoh Schevenin julkaisemattomaan käsikirjoitukseen. 2

7 3 2 Esitietoja Tässä työssä tarkastellaan arabolista -Lalacen yhtälöä u t div( Du 2 Du) =, 2 <, (2.) määrittelyjoukossa (, ). Joukon R n oletetaan olevan avoin ja rajoitettu. Jatkossa käytetään merkintää := (, ). Kun < T <, joukolle (, T ) käytetään vastaavasti merkintää T. Olemme ääosin kiinnostuneita yhtälön globaalista versiosta, jossa ratkaisulta vaaditaan Cauchy-Dirichlet n reuna-arvot alueen arabolisella reunalla. Tällöin määritellään u = u o reunalla P soivassa mielessä, jossa arabolinen reuna määritellään P := ( {}) ( (, )). Unionissa ensimmäinen joukko viittaa ongelman alkuhetkeen ja toinen ystyreunaan. Tarkastelemme tilannetta, jossa u o on ajasta riiumaton, jolloin ratkaisu u saa ystyreunalla samat reuna-arvot kuin alkuhetkellä koko aikavälillä. Määritellään seuraavaksi niin sanottu arabolinen Sobolevin avaruus, josta ratkaisua yhtälön (2.) tyyiseen ongelmaan lähtökohtaisesti etsitään. Kyseinen avaruus liittyy läheisesti Bochner-integrointiteoriaan, jossa tarkastellaan kuvauksia tyyiä u : S X, jossa S on jokin σ-äärellinen mitta-avaruus, ja X on Banach-avaruus. Taauksessamme oletetaan, että etsimämme ratkaisu u on melkein jokaisella ajanhetkellä t (, T ) Sobolev-funktio, eli joukko S = (, T ) varustetaan Lebesguen mitalla ja X = W, () tavanomaisella Sobolevin normilla. Käydään seuraavaksi läi lyhyesti Bochner-integraalin määrittely. Vahvasti mitallinen funktio f : S X määritellään siten, että kyseistä funktiota f voidaan aroksimoida isteittäin melkein kaikkialla yksinkertaisilla funktioilla. Yksinkertainen funktio määritellään tässä taauksessa funktioksi s : S X, joka voidaan kirjoittaa muodossa n s(t) = a k χ Bk (t), k= jossa n N, a k X ja B k M ovat erillisiä joukkoja, joille µ(b k ) <, kaikilla k. Funktio χ Bk on joukon B k karakteristinen funktio. Näin määritellyille yksinkertaisille funktioille integraali voidaan määritellä luonnolliseen taaan n s dµ := a k µ(b k ). S k= Yksinkertaisille funktioille ätee selvästi integraalin lineaarisuus ja kolmioeäyhtälön nojalla myös s dµ s dµ. S S

8 Funktiota f : S X kutsutaan Bochner-integroituvaksi, mikäli on olemassa jono (s n ) yksinkertaisia funktioita, jotka suenevat funktioon f melkein kaikkialla (f vahvasti mitallinen) ja lisäksi Tällöin voidaan määritellä lim n S S f s n dµ =. f dµ = lim n S s n dµ, sillä jono integraaleja ( S s n dµ) on Cauchy, ja raja-arvo on riiumaton aroksimoivasta yksinkertaisten funktioiden jonosta (s n ). Jono ( S s n dµ) on Cauchy, sillä s n dµ s m dµ s n s m dµ S S S s n f dµ + s m f dµ 4 S, S kun n, m. Olkoon lisäksi (t n ) toinen yksinkertaisten funktioiden jono, joka suenee jonon (s n ) tavoin melkein kaikkialla funktioon f ja S t n f dµ, kun n. Tarkastellaan jonoa (z n ) määriteltynä siten, että s n, jos n on arillinen, z n := t n, jos n on ariton. Tällöin jono ( S z n dµ) on Cauchy vastaavalla argumentilla kuin yllä. Koska jonot ( s S n dµ) ja ( t S n dµ) ovat jonon ( S z n dµ) osajonoja, ja osajonot suenevat samaan raja-arvoon, ätee z n dµ = f dµ, lim n S ja vastaavasti integraalien S t n dµ raja-arvolle, jolloin kyseinen raja-arvo on aroksimoivasta yksinkertaisten funktioiden jonosta riiumaton. Bochnerin lauseen erusteella vahvasti mitallinen funktio f : S X on Bochnerintegroituva, jos ja vain jos f on Lebesgue-integroituva. Lisäksi tällöin ätee tavanomainen eäyhtälö f dµ f dµ. S Täten L -avaruus Bochner-integraalin mielessä voidaan määritellä seuraavasti L (S, X) := f : S X f vahvasti mitallinen & f dµ <. S S S

9 5 Kyseiselle L -avaruudelle määritellään luonnollinen normi f L (S,X) := S f dµ Nyt (tarkastelemalla funktioiden, jotka saavat samat arvot melkein kaikkialla, ekvivalenssiluokkia) kyseinen L (S, X)-avaruus varustettuna edellä määritellyllä normilla on Banach-avaruus skalaarisen L -avaruuden taaan. Bochner-integraalille ja vektoriarvoisten funktioiden L -avaruuksille ätevät useat samantyyiset tulokset kuin Lebesgue-integraalille ja tavanomasille L -avaruuksille, kuten dominoidun konvergenssin lause ja Fatoun lemman vastine. Lemma 2.. Yksinkertaisten funktioiden joukko on tiheä avaruudessa L (S, X). Lisäksi, jos f L (S, X), niin on olemassa yksinkertaisten funktioiden jono (t n ), jolle ätee t n f sekä melkein kaikkialla että L (S, X)-mielessä, kun n. Todistus. Olkoon f L (S, X). Tällöin funktion f vahvasta mitallisuudesta johtuen on olemassa jono (s n ) yksinkertaisia funktioita, jotka suenevat melkein kaikkialla funktioon f. Määritellään jono (t n ) siten, että s n (x), jos s n (x) 2 f(x), t n (x) =, muulloin. Tällöin myös t n f melkein kaikkialla, sillä t n (x) = kaikilla n, jos f(x) =. Toisaalta, mikäli f(x) >, saadaan s n (x) f(x) s n (x) f(x) < f(x), missä jälkimmäinen eäyhtälö ätee tareeksi isoilla indeksin n arvoilla. Tällöin siis t n (x) = s n (x), kun n on tareeksi suuri. Lisäksi t n (x) f(x) 4 f(x) melkein kaikkialla. Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseen erusteella t n f dµ, S kun n, jolloin siis määritelmän mukaan t n f, L (S, X)-mielessä.. Kuten aiemmin mainittiin, arabolinen Sobolevin avaruus määritellään siis kuvauksina joukolta (, T ) Lebesguen mitalla ja Borel sigma-algebralla varustettuna Sobolev-funktioavaruudelle W, (), jossa Sobolev-funktioiden reuna-arvot voidaan lisäksi sesifioida. Kyseiselle araboliselle Sobolevin avaruudelle käytetään merkintää L (, T ; W, ()). On kuitenkin huomionarvoista, että usein halutaan tarkastella tarkalleen ottaen funktiota (x, t) u(t) (x) funktion u sijaan. Kuitenkaan yleisesti jälkimmäinen funktio ei ole mitallinen mille tahansa kuvaukselle u L (, T ; W, ()) tulomitan suhteen, jolloin esimerkiksi Fubinin lauseen oletukset eivät äde. Kuitenkin integroinnin järjestystä ajan ja aikan suhteen halutaan usein vaihtaa, jota varten todistetaan seuraava tulos. Sen nojalla toivottu tulomitallinen edustaja on olemassa mille tahansa arabolisen Sobolevin avaruuden kuvaukselle.

10 Lemma 2.2. Kuvauksella u L (, T ; W, ()) on olemassa tulomitallinen edustaja ũ : (, T ) R, jolle ätee, että melkein kaikilla t (, T ), u(t) = ũ(, t) Du(t) = Dũ(, t) L ()-mielessä, ja [L ()] n -mielessä. Todistus. Olkoon u L (, T ; W, ()). Nyt on olemassa Lemman 2. erusteella jono (u n ) yksinkertaisia funktioita, joille ätee u n u melkein kaikkialla, ja L (, T ; W, ())-mielessä. Koska funktiot u n ovat yksinkertaisia, ne ovat myös tulomitallisia. Kirjoitetaan selkeyden vuoksi u n (x, t) := u n (t) (x). Nyt saadaan T u n u m dx dt + T 2 + T T u n u dx dt + Du n Du dx dt + Du n Du m dx dt T T u m u dx dt Du m Du dx dt = 2 ( u n u L (,T ;W, ()) + u m u L (,T ;W, ()), kun n, m yllä olevan erusteella. Täten siis (u n ) ja (Du n ) ovat Cauchy-jonoja myös avaruuksissa L ( T ) ja [L ( T )] n. Tällöin on olemassa edelleen osajonot (u n ) ja (Du m ) ja alkiot ũ ja ũ D vastaavissa avaruuksissa siten, että kun n, u n ũ Du m ũ D m.k. (x, t) T ja L ( T )-mielessä, ja m.k. (x, t) T ja [L ( T )] n -mielessä. Kyseisten osajonojen voidaan olettaa sisältävän keskenään samat alkiot u n, sillä jonot voidaan valita iteratiivisesti käyttämällä hyväksi tietoa, että suenevan jonon osajono suenee samaan raja-arvoon. Nyt saadaan T T T ũ u dx dt 2 ũ u n dx dt + u u n dx dt, kun n tarkastelemalla edellä oimittua osajonoa. Täten siis u = ũ, L (, T ; L ())- mielessä, eli u(t) = ũ(, t) melkein kaikilla t (, T ), L ()-mielessä. Täysin vastaavalla argumentilla saadaan, että myös Du(t) = ũ D (, t) melkein kaikilla t (, T ) [L ()] n -mielessä. Todistuksen louunsaattamiseksi osoitetaan vielä, että ũ D (, t) = Dũ(, t) [L ()] n -mielessä melkein kaikille t (, T ). Heikon derivaatan määritelmän erusteella kaikilla ϕ C ( T ) ätee T T i u m ϕ dx dt = u m i ϕ dx dt ) 6

11 kaikilla m N ja i {,..., n}. Yllä olevien suenemisten erusteella tässä voidaan ottaa raja-arvo m, jolloin 7 T T i u m ϕ dx dt T T u m i ϕ dx dt ũ D,i ϕ dx dt, ũ i ϕ dx dt. ja Tällöin heikot derivaatat i ũ ovat olemassa, ja lisäksi ätee T ( i ũ ũ D,i )ϕ dx dt =, kaikilla ϕ C ( T ), millä tahansa i {,..., n}. Tästä seuraa, että i ũ = ũ D,i melkein kaikilla (x, t) T variaatiolaskennan eruslauseen nojalla. Tällöin kyseiset funktiot voidaan samastaa L ( T )-mielessä, jolloin millä tahansa i, T ũ D,i (x, t) i ũ(x, t) dx dt =. Käyttämällä Fubinin lausetta, saadaan ũ D,i (x, t) i ũ(x, t) dx = melkein kaikilla t (, T ). Täten saadaan yllä olevan tuloksen erusteella Du(t) = Dũ(, t) melkein kaikilla t (, T ) [L ()] n -mielessä. Siisä väite ätee. Edellisen lemman erusteella voidaan siis tarkastella kuvauksia u L (, T ; W, ()) oleellisesti tulomitallisina funktiona tulkinnalla u(x, t) := u(t) (x), jolloin mm. Fubinin lauseen käyttö on erusteltua. Jatkossa käytetään yleensä tätä tulkintaa funktioille joukossa L (, T ; W, ()).

12 8 3 Ratkaisujen määritelmät ja yhtäitävyys Tässä työssä todistetaan ratkaisun olemassaolo joukossa {u L (, T ; W, u o ()) C ([, T ]; L 2 ()) T > u(, ) = u o }. (3.) Alkuhetken ja ystyreunan reuna-arvoilta vaaditaan u o W, (). Koska oletetaan, että 2, Jensenin eäyhtälön nojalla ätee suoraan, että u o L 2 (), jolloin tätä ehtoa ei tarvitse erikseen vaatia. Funktio u L (, T ; W, ()) saa kyseiset reuna-arvot arabolisella reunalla P T, mikäli u ū o L (, T ; W, ()), ja (3.2) u(, t) u o L 2 (), kun t. Tässä funktion u o aikariiumaton ekstensio määritellään ū o (, t) := u o kaikilla t [, T ]. Jälkimmäinen ehto seuraa myös suoraan vaatimalla ratkaisulta u(, ) = u o, mikäli u C ([, T ]; L 2 ()). Seuraavaksi esitetään kolme erilaista määritelmää yhtälön (2.) ratkaisulle. Määritelmä 3. (Heikko ratkaisu). Mitallista funktiota u : [, ], jolle ätee myös u L (, T ; W, ()) kaikilla T >, kutsutaan yhtälön (2.) heikoksi ratkaisuksi, jos T ( u t ϕ + Du 2 Du Dϕ ) dx dt = millä tahansa T >, kaikilla testifunktioilla ϕ C ( T ). Määritelmä 3.2 (Parabolinen minimoija). Mitallista funktiota u : [, ] kutsutaan araboliseksi minimoijaksi, mikäli u L (, T ; W, ()) kaikilla T >, ja ehto T ( u t ϕ dx dt + Du ) dx dt T Du + Dϕ dx dt ätee millä tahansa T >, kaikilla testifunktioilla ϕ C ( T ). Määritelmä 3.3 (Variaatioratkaisu). Mitallista funktiota u : [, ], jolle lisäksi ätee u L (, T ; Wu, o ()) C ([, T ]; L 2 ()) millä tahansa T >, kutsutaan variaatioratkaisuksi yhtälöä (2.) vastaavalle Cauchy-Dirichlet-ongelmalle alku- ja reuna-arvoilla u o W, (), jos T T Du dx dt ( t v(v u) + Dv ) dx dt + 2 v(, ) u o 2 L 2 () 2 (v u)(, T ) 2 L 2 ()

13 millä tahansa T >, kaikilla v L (, T ; W, u o ()) C ([, T ]; L 2 ()), joille t v L 2 ( T ). Huomautus 3.4. Heikon ratkaisun ja arabolisen minimoijan määritelmät ovat lokaaleja, kun taas variaatioratkaisun määritelmään on otettu reuna-arvot suoraan mukaan. Mikäli halutaan tarkastella heikkoa ratkaisua ja arabolista minimoijaa reuna-arvoilla, tulee tällöin määritellä missä mielessä ratkaisulta vaaditaan halutut reuna-arvot. Huomautus 3.5. Variaatiomääritelmässä ratkaisulta (ja testifunktioilta) oletetaan reuna-arvot u o ystyreunalla funktioavaruuden L (, T ; Wu, o ()) määritelmän erusteella, mutta alkuarvoiksi funktiota u o ei suoraan vaadita. Kyseisestä variaatioeäyhtälöstä kuitenkin seuraa, että variaatioratkaisu u(, t) saa alkuarvot u o L 2 ()-mielessä. Tämä nähdään käyttämällä funktiota u o testifunktiona, jolloin eäyhtälöstä saadaan 9 T Du dx dt T Du o dx 2 u o u(, T ) 2 L 2 () 2, sillä u o ei riiu ajasta. Tällöin u o u(, T ) 2 L 2 () 2T Du o dx, kun T. Siten reunaehtojen (3.2) toista kohtaa ei tarvitse variaatioratkaisun määritelmässä erikseen vaatia. Seuraavaksi näytetään edellä mainittujen ratkaisujen yhtäitävyys olettaen, että ratkaisujen funktioavaruudet on valittu soivalla tavalla. Notaation helottamiseksi merkitään jatkossa tulomittaa dx dt =: dν integroitaessa sekä satiaalisten että aikamuuttujan yli. Lemma 3.6. Funktio u on Määritelmän 3. mukainen heikko ratkaisu jos ja vain jos se on Määritelmän 3.2 mukainen arabolinen minimoija. Todistus. : Olkoon T >, u arabolisen -Lalacen yhtälön heikko ratkaisu ja ϕ C ( T ). Tällöin Du dν = Du 2 Du Du dν T T = Du 2 Du (Du + Dϕ) dν u t ϕ dν, T T joista jälkimmäisessä yhtälössä on käytetty heikon ratkaisun määritelmää. Tästä saadaan edelleen

14 u t ϕ dν + T T Du dν T Du 2 Du (Du + Dϕ) dν Du Du + Dϕ dν T Du dν + T T Du + Dϕ dν, jossa toisella rivillä on käytetty Cauchy-Schwarzin ja kolmannella Youngin eäyhtälöä. Näin saadusta eäyhtälöstä seuraa suoraan, että u on arabolinen minimoija. : Oletetaan nyt että u on arabolinen minimoija ja ϕ C ( T ). Tällöin myös εϕ C ( T ) ja su εϕ = su ϕ kaikilla ε (, ). Käyttämällä funktiota εϕ testifunktiona arabolisen minimoijan määritelmässä, saadaan ε u t ϕ dν + Du dν Du + εdϕ dν T T Tästä termejä järjestelemällä seuraa edelleen u t ϕ dν + ε ( Du + εdϕ Du ) dν. (3.3) T T Kun ε, Gâteaux derivaatan määritelmän ja ketjusäännön mukaan ε ( Du + εdϕ Du ) Du 2 Du Dϕ isteittäin, sillä L (, T ; W, ()) on Banachin avaruutena lokaalisti konveksi. Ottamalla raja-arvo ε eäyhtälössä (3.3), saadaan Lebesguen dominoidun konvergenssin nojalla heikon ratkaisun määritelmässä. Suunta seuraa samaan taaan testaamalla funktiolla εϕ ja ottamalla raja-arvo ε. Tällöin yhtäsuuruus ätee ja u on heikko ratkaisu. Lebesguen dominoidun konvergenssin argumenttiin vaadittava integroituva majorantti saadaan esimerkiksi seuraavasti: T

15 ε ( Du + εdϕ Du ) = ε ε t ( Du + tdϕ ) dt = ε Du + tdϕ 2 (Du + tdϕ) Dϕ dt ε ε ε Du + tdϕ Dϕ dt ( Du + Dϕ ) Dϕ ( )( Du + Dϕ ) + Dϕ 2 ( )( Du + Dϕ ) + Dϕ L ( T ), missä 3. rivillä on käytetty Cauchy-Schwartzin eäyhtälöä ja 4. rivillä tietoa, että < t < ε <. Loulta 5. rivillä on käytetty Youngin eäyhtälöä. Testattaessa funktiolla εϕ integroituvaksi majorantiksi saadaan sama funktio samoja argumentteja käyttäen. Lemma 3.7. Jos funktio u on Määritelmän 3. mukainen heikko ratkaisu tai Määritelmän 3.2 mukainen arabolinen minimoija, niin u:n heikko aikaderivaatta kuuluu arabolisen Sobolevin avaruuden duaaliin, eli t u (L (, T ; W, ())) Todistus. ) Olkoon T >, u heikko ratkaisu ja ϕ C ( T ). Määritellään lineaarinen funktionaali L ut : C ( T ) R siten, että L ut (ϕ) = u t ϕ dν. T Heikon derivaatan määritelmän erusteella funktionaalilla L ut ja heikolla aikaderivaatalla t u on yksikäsitteinen vastaavuus. Lisäksi kaikille ϕ C ( T ) ätee L ut (ϕ) = u t ϕ dν = Du 2 Du Dϕ dν T T Du Dϕ dν T Du dν Dϕ dν T T Du dν ϕ L(,T ;W,()), T

16 jossa toiseksi viimeisellä rivillä on käytetty Hölderin eäyhtälöä. Tällöin L ut (C ( T )). Koska C ( T ) on tiheä joukossa L (, T ; W, ()), on funktionaalilla L ut olemassa yksikäsitteinen jatkuva ekstensio siten, että ekstension normi on sama. Täten voidaan äätellä, että näin määritellylle heikolle aikaderivaatalle ätee t u (L (, T ; W, ())). 2) Olkoon u arabolinen minimoija, ϕ C ( T ) ja L ut määritelty kuten edellä. Käytetään arabolisen minimoijan määritelmässä funktiota εϕ testifunktiona, kun ε (, ) kuten Lemman 3.6 todistuksessa. Nyt mikäli L ut (ϕ), saadaan arabolisen minimoijan määritelmästä 2 L ut (εϕ) = ε u t ϕ dν T T ( Du + εdϕ Du ) dν, ja tästä edelleen L ut (ϕ) T ε ( Du + εdϕ Du ) dν millä tahansa ε (, ). Ottamalla raja-arvo ε saadaan kuten Lemman 3.6 todistuksessa Lebesguen dominoidun konvergenssin avulla L ut (ϕ) Du 2 Du Dϕ dν. T Tätä voidaan arvioida edelleen kuten kohdassa ) jolloin saadaan sama haluttu tulos, kun L ut (ϕ). Mikäli L ut (ϕ) <, ätee L ut (ϕ) = T T u t ϕ dν ε ( Du εdϕ Du ) dν, josta saadaan samaan taaan kuten edellä < L ut (ϕ) Du 2 Du Dϕ dν, kun annetaan ε. Täten T

17 3 L ut (ϕ) Du dν ϕ L(,T ;W,()), T kaikilla C ( T ), jolloin väite ätee samoin argumentein kuin kohdassa ). Seuraavaksi osoitetaan, että variaatioratkaisu on aina myös arabolinen minimoija. Variaatioratkaisun määritelmässä haluttaisiin tällöin käyttää testifunktiota v = u + sϕ jollakin s > ja ottaa loulta raja-arvo s. Kyseinen funktio ei ole kuitenkaan erityisesti yleisemien ongelmien taauksissa sallittu testifunktio. Variaatioratkaisulle ei nimittäin välttämättä äde vaadittu t u L 2 ( T ). Ratkaisuna ongelmaan testattavaa funktiota usein silotetaan ajan suhteen siten, että silotettu funktio käy testifunktioksi ja lisäksi sillä on soivia suenemisominaisuuksia. Tässä työssä käytetään seuraavanlaista aikasilotusta. Määritelmä 3.8 (Aikasilotus). Olkoon T >, v L ( T ), v o L () ja h (, T ]. Määritellään aikasilotus kun t [, T ]. [v] h (, t) := e t h vo + h t e s t h v(, s) ds, Seuraavaksi esitetään kyseisen aikasilotuksen ominaisuuksiin liittyvä lemma, jota tarvitaan jatkossa. Jotta kyseisen lemman todistus ysyy järkevän mittaisena, esitetään aluksi tulos, jota lemman todistuksessa käytetään. Lemma 3.9. Olkoon X Banach-avaruus, v o X ja v L (, T ; X) jollakin. Määritellään aikasilotus samalla tavoin kuin yllä, [v] h (t) := e t h vo + h t e s t h v(s) ds, kun h (, T ] ja t [, T ]. Tällöin [v] h L (, T ; X) ja mikäli <, [v] h L (,t o;x) v L (,t o;x) + h to ( e h ) v o X millä tahansa t o (, T ]. Jos =, saadaan [v] h L (,t o;x) v L (,t o;x) + v o X millä tahansa t o (, T ]. Lisäksi t [v] h L (, T ; X) ja t [v] h = h ([v] h v).

18 4 Todistus. Olkoon t (, T ). Tällöin saadaan [v] h (t) X e t h vo X + h t e s t h v(s) X ds =: I (t) + I 2 (t), (3.4) käyttämällä kolmioeäyhtälöä ja eruseäyhtälöä Bochner-integraalille. Olkoon t o (, T ] ja <. Tällöin käyttämällä integroimalla yllä olevaa yhtälöä uolittain yli välin (, t o ) ja käyttämällä Minkowskin eäyhtälöä, saadaan Olkoon = t o [v] h (t) X dt t o I (t) dt t o + I 2 (t) dt Hölder-konjugaatti :lle, kun >. Tällöin saadaan I 2 (t) = t t ( ) ( ) h e s t h h e s t h v(s) X ds h e s t h = ( e t h ) ds t t t h e s t h v(s) X ds h e s t h v(s) X ds h e s t h v(s) X ds jossa on toisella rivillä käytetty Hölderin eäyhtälöä, kolmannella evaluoitu ensimmäinen integraaleista ja viimeisessä käytetty tietoa < e t h <. Kyseinen estimaatti ätee triviaalisti, kun = (tällöin kyseistä laskua ei tarvita). Täten saadaan t o I 2 (t) dt = = = t o t t o t o s t o ( h e s t h, v(s) X ds dt h e s t h dt v(s) X ds e s to h ) t o v(s) X ds v(s) X ds, jossa on käytetty Fubinin lausetta, ja tietoa että s < t < t o. Vastaavasti ensimmäiselle termille saadaan. t o t o I (t) dt = v o X e t h h to dt = ( e h ) vo X.

19 5 Yhdistämällä saadut tulokset, lemman ensimmäinen eäyhtälö ätee. Olkoon =. Nyt I (t) = e t h vo X v o X ja lisäksi I 2 (t) = h t e s t h v(s) X ds t ess su v(s) X e s t h ds s t h = ( ) e t h ess su v(s) X s t ess su v(s) X s t millä tahansa t. Käyttämällä näitä eäyhtälössä (3.4), väitteen toinen eäyhtälö ätee. Aikaderivaatalle saadaan suoralla laskulla t [v] h (t) = e t h h v o e h 2 t h t = h ([v] h(t) v(t)). e s h v(s) ds + h v(t) Oletuksen mukaan v L (, T ; X), ja lisäksi yllä osoitettiin että [v] h L (, T ; X), jolloin saadun yhtälön erusteella myös t [v] h L (, T ; X). Todistetaan seuraavaksi jatkossa tarvittava aikasilotukseen liittyvä autulos. Lemma 3.. Olkoon v ja [v] h kuten Määritelmässä 3.8. Tällöin seuraavat ominaisuudet ätevät: (i) Jos v L ( T ) ja v o L ( T ) jollakin, niin tällöin [v] h L ( T ) v L ( T ) + h vo L (). Lisäksi [v] h v L ( T )-mielessä, kun h. (ii) Olkoon v L (, T ; W, ()) ja v o W, () jollakin. Tällöin [v] h L (,T ;W, ()) v L (,T ;W, ()) + h vo W, (). Lisäksi [v] h v L (, T ; W, ())-mielessä, kun h. (iii) Jos v L (, T ; W, ()) ja v o W, (), niin tällöin myös [v] h L (, T ; W, ()). (iv) Jos v L ([, T ]; L 2 ()) ja v o L 2 ( T ), niin [v] h C ([, T ]; L 2 ()), [v] h (, ) = v o ja [v] h v L 2 ( T )-mielessä, kun h.

20 6 (v) Olkoon v L (, T ; L 2 ()) ja v o L 2 (). Tällöin myös t [v] h L (, T ; L 2 ()) ja lisäksi t [v] h = h ([v] h v). Todistus. (i): Eäyhtälö saadaan suoraan Lemmasta 3.9 asettamalla X = L (), ja siitä, että Lemmasta 2.2 seuraa suoraan tulomitallisen edustajan olemassaolo kyseisessä L (, T ; L ()) avaruudessa. Osoitetaan seuraavaksi sueneminen [v] h v, L ( T )-mielessä, kun h. L -avaruuksien ominaisuuksien erusteella tiedetään, että funktiota v L ( T ) voidaan aroksimoida L -normin suhteen komaktikantajaisilla, jatkuvilla funktioilla joukossa T. Kiinnitetään ε >. Tällöin on olemassa ṽ C ( T ) siten, että v ṽ L ( T ) < ε. Määritellään [ṽ] h kuten Määritelmässä 3.8 alkuarvolla v o. Tällöin [v] h [ṽ] h = h t ( ) e s t h v(, s) ṽ(, s) ds, eli [v] h [ṽ] h = [v ṽ] h alkuarvolla v o =. Täten yllä todistetusta eäyhtälöstä saadaan jolloin [v] h [ṽ] h L ( T ) = [v ṽ] h L ( T ) v ṽ L ( T ) < ε, [v] h v L ( T ) [v] h [ṽ] h L ( T ) + [ṽ] h ṽ L ( T ) + ṽ v L ( T ) < [ṽ] h ṽ L ( T ) + 2ε. Kohdan (i) todistuksen louunsaattamiseksi tulee vielä näyttää, että [ṽ] h ṽ L ( T ), kun h. Käyttämällä tietoa voidaan kirjoittaa t e s t h ds = h( e t h ), t ṽ(, t) = e t h ṽ(, t) + h Sijoittamalla tämä erotukseen saadaan ( [ṽ] h (, t) ṽ(, t) = e t h vo ṽ(, t) ) + h t e s t h ṽ(, t) ds. ) e s t h (ṽ(, s) ṽ(, t) ds. (3.5)

21 Tarkastellaan aluksi ensimmäistä termiä. Koska funktion ṽ kantaja on komakti välillä (, T ), on olemassa δ o (, T ) siten, että ṽ(, t) =, kun t δ o. Tällöin saadaan T e t h (vo ṽ(, t)) dx dt = δ o h e t h vo dx dt + T T δo ( e h ) vo δo L () + e h h v o L () δ o e t h ( vo ṽ(, t) ) dx dt δ o v o ṽ(, t) dx dt δo (. + e h T vo L () + ṽ L ( T )) Tarkastellaan seuraavaksi toista termiä yhtälössä (3.5). Koska ṽ C ( T ), tiedetään että ṽ on välillä (, T ) tasaisesti jatkuva. Tällöin annetulle ε > on olemassa δ(ε) (, δ o ] siten, että ṽ(x, t) ṽ(x, s) < ε, kun x ja t s < δ. Käyttämällä hyväksi tätä tietoa, saadaan T t h T t = h δ o T t δ = h δ o + h T δ o t t δ ) e s t h (ṽ(, s) ṽ(, t) ds dx dt ) e s t h (ṽ(, s) ṽ(, t) ds dx dt e s t h (ṽ(, s) ṽ(, t) ) ds ) e s t h (ṽ(, s) ṽ(, t) ds dx dt 2 ṽ L ( T ) h t δ e s t h T ( 2e δ h ṽ L ( T ) + ε ). ε t ds + e s t h ds dx dt h t δ Nyt yhdistämällä saadut tulokset ja sijoittamalla erotukseen (3.5), saadaan [ṽ] h ṽ L ( T ) e t h ( vo ṽ(, t) ) t L + (T ) h h vo L () + e δo h ( ) T vo L () + ṽ L ( T ) + T ( 2e δ h ṽ L ( T ) + ε ). 7 ( ) e s t h v(, s) ṽ(, t) ds L ( T )

22 Viemällä tässä aluksi ε ja tämän jälkeen h saadaan toivottu loutulos [ṽ] h ṽ L ( T ), kun h. Tämä saattaa louun suenemisen [v] h v L ( T ), kun h, todistuksen. (ii): Olkoon v L (, T ; W, ()) ja v o W, (). Tarkastellaan funktiota v sen tulomitallisena edustajana. Suoralla laskulla saadaan D[v] h (, t) = e t h Dvo ( ) + h t e s t h Dv(, s) ds, jolloin D[v] h = [Dv] h. Käyttämällä kohtaa (i) saadaan estimaatti D[v] h L ( T ) Dv L ( T ) + h Dvo L (), ja D[v] h Dv, L ( T )-mielessä, kun h. Täten saadaan siis [v] h v, L (, T ; W, ())- mielessä, kun h. Käyttämällä saatua estimaattia funktioille [v] h ja D[v] h, voidaan kirjoittaa [v] h L (,T ;W, ()) = ( ) [v] h L ( T ) + D[v] h L ( T ) α α ( ) D α v L ( T ) + h D α v o L () D α v L ( T ) α = v L (,T ;W, ()) + h vo W, (), + h D α v o L () jossa on toisessa eäyhtälössä käytetty Minkowskin eäyhtälöä summalle (integraali laskurimitan suhteen). Tämä todistaa kohdan (ii). (iii): Olkoon v L (, T ; W, ()) ja v o W, (). Kohdan (ii) erusteella ätee suoraan, että [v] h L (, T ; W, ()). Jää jäljelle siis osoittaa, että aikasilotuksen reuna-arvot häviävät ystyreunalla. Nyt selvästi e t h v o W, () millä tahansa t [, T ] ja h (, T ]. Tarkastellaan seuraavaksi termiä 8 e t h h t e s h v(s) ds. Bochner-integrointiteorian nojalla on olemassa jono (z n ) yksinkertaisia funktioita, joille z n : (, t) W, () kaikilla n N siten, että funktiota e s h v(s) voidaan aroksimoida kyseisillä funktioilla melkein kaikkialla, ja lisäksi voidaan määritellä t t e s h v(s) ds = lim z n (s) ds, n

23 jossa raja-arvo otetaan luonnollisesti W, ()-mielessä. Koska t z n ds W, () äärellisenä summana W, t ()-funktioita kaikilla n N, ja jonon ( z n ds) ollessa Cauchy kyseisessä avaruudessa tiedetään, että myös rajafunktiolle ätee t e s h v(s) ds W, () millä tahansa t [, T ], sillä kyseinen avaruus on Banach normin W, () suhteen. Siten aikasilotuksen määritelmän erusteella ätee [v] h L (, T ; W, ()). (iv): Olkoon v L (, T ; L 2 ()) ja v o L 2 (). Tiedetään, että L (, T ; L 2 ()) L 2 ( T ) (tarkastelemalla jälleen tulomitallisia edustajia), jolloin kohdan (i) erusteella [v] h v, L 2 ( T )-mielessä, kun h. Osoitetaan ensiksi, että [v] h C ([, T ]; L 2 ()). Kiinnitetään t, t 2 [, T ] siten, että t < t 2. Kirjoitetaan [v] h (, t 2 ) [v] h (, t ) = ( ) e t 2 h e t h v o + h t e s h v(, s) ds + e t2 h h Käyttämällä Cauchy-Schwarzin eäyhtälöä saadaan τ 2 2 τ 2 s e h v(, s) ds τ τ 2s e h ds τ 2 τ t 2 t v(, s) 2 ds = h ( 2τ 2 2τ ) τ 2 e h e h v(, s) 2 ds, 2 τ s e h v(, s) ds. mille tahansa τ < τ 2 T. Käytetään yllä olevaa Cauchy-Schwartzin eäyhtälöä väleillä (, t ) ja (t, t 2 ), jolloin saadaan 9 [v] h (, t 2 ) [v] h (, t ) L 2 () ( ) e t h e t 2 h v o L 2 () + h t 2h + e h t 2 t ( e t h e t 2 t h t 2h + e s e h v(, s) ds L 2() ( e 2(t 2 t ) h 2h, t ) vo L 2 () + ) 2 v L 2 ( T ) e s h v(, s) ds L 2 () ( e t 2 t h 2h )( e 2t h ) 2 v L 2 ( T )

24 2 kun t 2 t. Täten siis [v] h C ([, T ]; L 2 ()). Samaan taaan saadaan [v] h (, t) v o L 2 () ( ) e t h vo L 2 () + ( ) 2t e h 2 v L 2h 2 ( (,t)), kun t. Koska [v] h C ([, T ]; L 2 ()), saadaan [v] h (, ) = v o. Siisä väite ätee. (v): Väite seuraa suoraan asettamalla X = L 2 () ja t o = T Lemmassa 3.9. Osoitetaan seuraavaksi, että variaatioratkaisu on myös arabolinen minimoija käyttäen auna Lemmaa 3.. Lemma 3.. Jos u on Määritelmän 3.3 mukainen variaatioratkaisu, niin silloin se on Määritelmän 3.2 mukainen arabolinen minimoija. Todistus. Olkoon T >, u variaatioratkaisu ja ϕ C ( T ). Määritellään testifunktioksi v h = [u] h + sϕ siten, että u o on alkuarvo v o funktiolle [u] h Määritelmässä 3.8 ja s (, ). Tällöin Lemman 3. (iii), (iv) ja (v) kohdista seuraa, että v h L (, T ; W, ()) C ([, T ]; L 2 ()) ja t v h L 2 ( T ). Oikeat reuna-arvot ystyreunalla voidaan erustella kohdan (iii) erusteella seuraavasti. Olkoon ū o funktion u o aikariiumaton ekstensio. Selvästi [ū o ] h = ū o ja aikasilotus oeroi lineaarisesti. Täten saadaan [u] h ū o = [u ū o ] h L (, T ; W, ()) Lemman 3. kohdan (iii) erusteella. Tämä tarkoittaa täsmälleen sitä, että [u] h L (, T ; Wu, o ()) (3.2) erusteella. Nyt variaatioratkaisun määritelmästä saadaan T Du dν T [ t v h (v h u) + Dv h ] dν, (3.6) sillä v h (, ) = u o ja (v 2 h u)(, T ) 2 L 2 (). Huomataan, että Dv h = D[u] h +sdϕ, D[u] h = [Du] h ja variaatioratkaisun määritelmän erusteella Du L ( T ). Täten Lemman 3. kohdasta (i) seuraa, että Dv h Du + sdϕ L ( T ) mielessä, kun h. Siten kolmioeäyhtälöstä seuraa suoraan, että myös T Dv h dν T Du + sdϕ dν, kun h. Tarkastellaan seuraavaksi eäyhtälön (3.6) oikean uolen ensimmäistä termiä. Saadaan

25 2 t v h (v h u) dν = T T = T [ t [u] h ([u] h u) + s t ϕ(v h u) + s t [u] h ϕ ] dν [ h [u] h u 2 + s t ϕ(v h u) s[u] h t ϕ ] dν s t ϕ(sϕ u) dν, T jossa toisella rivillä on osittaisintegroitu viimeistä termiä käyttäen hyväksi tietoa su ϕ T, jolloin reunatermit häviävät. Ratkaisun aikasilotuksen aikaderivaatan evaluoimiseen on käytetty uolestaan Lemman 3. kohtaa (v). Siten käyttämällä edellistä arviota eäyhtälössä (3.6) ja ottamalla raja-arvo h, saadaan T Du dν T T [ s t ϕ(sϕ u) + Du + sdϕ ] dν [ s t ϕ(sϕ u) + s Du + s Du + Dϕ ] dν, jossa käytettiin tietoa Du + sdϕ = ( s)du + s(du + Dϕ) ja funktion konveksisuutta joukossa R n. Tästä saadaan edelleen [u t ϕ + Du ] dν s ϕ t ϕ dν + Du + Dϕ dν. T T Loulta viemällä s väite toteutuu. T Osoitetaan vielä, että arabolinen minimoija on myös variaatioratkaisu (ottamalla reuna-arvot huomioon), jolloin saadaan osoitettua ratkaisujen yhtäitävyys. Ennen tätä johdetaan kuitenkin heikon ratkaisun globaali versio käyttäen lähtökohtana lokaalia määritelmää, ja ottamalla asetetut reuna-arvot mukaan. Lemma 3.2. Määritelmän 3. mukaiselle heikolle ratkaisulle, jossa ratkaisua etsitään joukosta (3.), saadaan alku- ja louhetkien reuna-arvot huomioon ottava muoto T [ u t ϕ + Du 2 Du Dϕ ] dx dt + uϕ dx t=t t= =, millä tahansa T >, kaikilla ϕ L (, T ; W, ()) C ([, T ]; L 2 ()), joille t ϕ L 2 ( T ) kun vaaditaan, että ratkaisu u saa (3.2) mukaisesti reuna-arvot u o.

26 Todistus. Kiinnitetään T >. Olkoon t ja t 2 mielivaltaiset siten, että < t < t 2 < T. Funktion ϕ funktioluokasta johtuen on olemassa jono (ϕ k ), joille ϕ k C ( (, T )) siten, että millä tahansa kiinnitetyllä t (, T ), funktio ϕ k (, t) C () kaikilla k, ja ϕ k ϕ L (,T ;W, ()), ja t ϕ k t ϕ L 2 ( T ), (3.7) kun k. Määritellään seuraavaksi funktio j C (R), jolle ätee ominaisuudet j(s) s R, j(s) =, kun s >, ja j(s) ds =. R Esimerkiksi standardisilottaja toteuttaa nämä ominaisuudet. Kun h >, määritellään j h (s) := j( s ), ja h h t t +2h ηh(t) := j h (s) ds. t t 2 2h Tällöin ätee η h C (, T ), kun h on valittu tareeksi ieneksi. Lisäksi 22 lim η h (t) =, (3.8) h kun t (t, t 2 ). Tällöin selvästi ϕ k (x, t)η h (t) C ( T ) millä tahansa k N, sekä tareeksi ienellä h >, jolloin tämä funktio käy testifunktioksi heikon ratkaisun määritelmässä. Tehdään kyseinen sijoitus, jolloin saadaan Leibnizin sääntöä käyttäen t 2 uϕ k j h (t t 2 2h) dx dt t 2 uϕ k j h (t t + 2h) dx dt t t 2 uη h t ϕ k dx dt + t 2 t Du 2 Du D(ϕ k η h ) dx dt =. t t Funktion η h ominaisuudesta (3.8) saadaan, että yllä olevan yhtälön kaksi viimeistä termiä suenevat vastaaviin termeihin ilman funktiota η h, kun h esimerkiksi Lebesguen dominoitua konvergenssia käyttäen. Lisäksi osoitetaan, että t 2 uϕ k j h (t t 2 2h) dx dt u(x, t 2 )ϕ k (x, t 2 ) dx, ja t t 2 uϕ k j h (t t + 2h) dx dt u(x, t )ϕ(x, t ) dx, t kun h. Ylemi sueneminen ätee, sillä

27 23 t 2 uϕ k j h (t t 2 2h) dx dt u(x, t 2 )ϕ k (x, t 2 ) dx t t 2 +3h = uϕ k j h (t t 2 2h) dx dt t 2 +h t 2 +3h u(x, t 2 )ϕ k (x, t 2 )j h (t t 2 2h) dx dt t 2 +h su t (t 2 +h,t 2 +3h) u(x, t)ϕ k (x, t) u(x, t 2 )ϕ k (x, t 2 ) dx, kun h. Viimeisen rivin sueneminen voidaan erustella käyttämällä tietoa u C ([, T ]; L 2 ()) ja esimerkiksi Hölderin eäyhtälöä. Toisella rivillä on käytetty hyväksi tietoa su j h [ h, h]. Eäyhtälöön on käytetty Fubinin lausetta ja tietoa, että funktion j h integraali saa arvon yksi kyseisellä välillä. Vastaavasti saadaan t 2 uϕ k j h (t t + 2h) dx dt u(x, t )ϕ k (x, t ) dx = t t h t 3h t h t 3h su t (t 3h,t h), uϕ k j h (t t + 2h) dx dt u(x, t )ϕ k (x, t )j h (t t + 2h) dx dt u(x, t)ϕ k (x, t) u(x, t )ϕ k (x, t ) dx samoilla argumenteilla kuin yllä. Täten, kun h saadaan t 2 t [ ] u t ϕ k + Du 2 Du Dϕ k dx dt + uϕ k dx t=t 2 t=t =. (3.9) Käyttämällä suenemisia (3.7) tiedetään, että ensimmäinen integraali suenee vastaavaan termiin funktiolla ϕ, kun k. Tarkastellaan seuraavaksi reunatermejä. Suenemisista (3.7) saadaan erityisesti, että T ϕ k ϕ L () dt,

28 kun k. Tällöin on olemassa osajono (ϕ ki ) siten, että yllä olevan suenemisen lisäksi ätee myös ϕ ki (, t) ϕ(, t) L (), m.k. t (, T ), (3.) kun k i. Olkoon τ (, T ). Tarkastelemalla kyseistä osajonoa saadaan u(, τ)ϕ ki (, τ) dx u(, τ)ϕ(, τ) dx u(, τ) ϕ ki (, τ) ϕ(, τ) dx u(, τ) L () ϕ k i (, τ) ϕ(, τ) L () 2 u(, τ) L () ϕ ki (, τ) ϕ(, τ) L (), kun k i, melkein kaikilla τ (, T ). Täten siis viemällä k yhtälössä (3.9) edellä mainittua osajonoa itkin, saadaan t 2 t [ u t ϕ + Du 2 Du Dϕ ] dx dt + uϕ dx t=t 2 t=t = kaikille testifunktioille ϕ määritellyssä funktioluokassa, mikäli isteet t ja t 2 kuuluvat joukkoon, jossa sueneminen (3.) toteutuu. Koska kyseisen joukon komlementti on nollamittainen, tiedetään, että sueneminen toteutuu välin (, T ) tiheässä osajoukossa. Siten voidaan tarkastella jonoja (t i ) ja (t i 2), joista kaikilla yllä oleva yhtälö ätee, ja lisäksi t i ja t i 2 T, kun i. Käyttämällä Lebesguen dominoitua konvergenssia, saadaan ensimmäisessä integraalissa vietyä t i ja t i 2 T suoraan. Perustellaan vielä reunatermin konvergenssi seuraavasti u(x, t i )ϕ(x, t i ) dx u o (x)ϕ(x, ) dx u(x, t i )ϕ(x, t i ) u o (x)ϕ(x, t i ) + u o (x)ϕ(x, t i ) u o (x)ϕ(x, ) dx u(x, t i ) u o (x) ϕ(x, t i ) dx + u o (x) ϕ(x, t i ) ϕ(x, ) dx 24 u(, t i ) u o L 2 () ϕ(, t i ) L 2 () + u o L 2 () ϕ(, t i ) ϕ(, ) L 2 (), kun i, sillä u o L 2 (), ϕ, u C ([, T ]; L 2 ()) ja ominaisuuksista (3.2). Täysin vastaavalla argumentilla saadaan myös sueneminen ylärajalla, kun t i 2 T. Täten väite ätee.

29 Korollaari 3.3. Paraboliselle minimoijalle joukossa (3.) saadaan alku- ja louhetkien reuna-arvot huomioonottava muoto T [ u t ϕ + Du ] dx dt T Du + Dϕ dx dt + uϕ dx t=t millä tahansa T >, kaikilla ϕ L (, T ; W, ()) C ([, T ]; L 2 ()), joille t ϕ L 2 ( T ). Todistus. Etenee täysin samalla tavalla kuin Lemman 3.6 todistus, kun käytetään Lemman 3.2 mukaista määritelmää heikolle ratkaisulle. Jotta eri ratkaisujen yhtäitävyys saadaan osoitettua, todistetaan vielä seuraava tulos. Lemma 3.4. Korollaarin 3.3 määritelmän mukainen arabolinen minimoija annetuilla reuna-arvoilla u o W, () (3.2)-mielessä on Määritelmän 3.3 mukainen variaatioratkaisu, jos ratkaisulta u oletetaan lisäksi t u L 2 ( T ) kaikilla T >. Todistus. Kiinnitetään T >. Parabolisen minimoijan määritelmästä reuna-arvoilla saadaan T [ u t ϕ + Du ] dx dt T Du + Dϕ dx dt + uϕ dx t= t=t kaikilla ϕ L (, T ; W, ()) C ([, T ]; L 2 ()), joille t ϕ L 2 ( T ). Olkoon nyt v variaatioratkaisun testifunktion ehdot täyttävä funktio. Tällöin ϕ = v u on sallittu testifunktio yllä olevassa lausekkeessa. Tehdään sijoitus ja järjestellään termejä, jolloin saadaan t=, 25 T T Du dx dt u t (u v) dx dt + Oikean uolen ensimmäiselle termille saadaan T Dv dx dt + t=t u(v u) dx. t= T T u t (u v) dx dt = t v(v u) dx dt + + T T [ 2u t u u t v v t u ] dx dt. (u v) t (v u) dx dt

30 26 Toiselle termille tässä saadaan T (u v) t (v u) dx dt = T t v u 2 dx dt 2 = 2 T t v u 2 dt dx = 2 v(, ) u o 2 L 2 () 2 (v u)(, T ) 2 L 2 () käyttämällä Fubinin lausetta. Lisäksi T = [ 2u t u u t v v t u ] dx dt = T t (u(v u)) dt dx = T t (u 2 uv) dx dt t=t u(v u) dx, t= jossa käytettiin jälleen Fubinin lausetta. Nyt yhdistämällä edelliset tulokset saadaan T T Du dx dt [ t v(v u) + Dv ] dx dt + 2 v(, ) u o 2 L 2 () 2 (v u)(, T ) 2 L 2 (). Koska v oli mielivaltainen määritellyssä funktioluokassa, u on Määritelmän 3.3 mukainen variaatioratkaisu. Huomautus 3.5. Lemman 3.7 erusteella t u kuuluu arabolisen Sobolevin avaruuden duaaliin tietyllä tulkinnalla. Mikäli heikon ratkaisun ja arabolisen minimoijan määritelmät yleistetään vastaamaan tätä tulkintaa, edellisen lemman tulos ätee myös ilman lisäoletusta t u L 2 ( T ) kaikilla T >.

31 4 Variaatioratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys Tämän kaaleen äämääränä on todistaa seuraava tulos. Lause 4.. Olkoon u o W, (). Tällöin on olemassa yksikäsitteinen Määritelmän 3.3 mukainen variaatioratkaisu u, jolle ätee t u L 2 ( ) ja u C, 2 ([, T ]; L 2 ()) T >. Lisäksi aikaderivaatalle saadaan t u 2 dν Du o dx, 27 ja millä tahansa t < t 2 < energiaestimaatti Du dν 2e t 2 t ätee. (t,t 2 ) Du o dx Yllä oleva lause todistetaan käyttäen niin kutsuttuun ainotettuun energiadissiaatiofunktionaaliin (engl. weighted energy dissiation, WED) ohjautuvaa eriaatetta. Määritellään arametrista ε (, ] riiuva WED-funktionaali F ε : K ε [, ] siten, että F ε (v) = [ e t ε 2 tv 2 + ] ε Dv dν, kun v K ε. Tässä K ε tulee olla jokin soiva funktioavaruus, jossa funktionaali F ε saavuttaa miniminsä. Määritellään missä v Kε := K ε := {v W, ( T ) T > v Kε < }, e t ε t v 2 dν 2 + e t ε [ v + Dv ] dν = t v L 2 (,µ ε) + ( v L (,µ ε) + Dv L 2 (,µ ε) ). Tässä merkintä L (, µ ε ) tarkoittaa ainotettua L -avaruutta, jossa avaruus on varustettu Lebesguen mitan sijaan mitalla dµ ε := e t ε dν. Normeille ätee selvästi

32 28 v L (,µ ε) v L ( ). Funktionaali Kε ehdot, ja lausekkeelle saadaan joukossa K ε toteuttaa selvästi normin v Kε t v L 2 (,µ ε) + v L (,µ ε) + Dv L (,µ ε) v Kε t v L 2 (,µ ε) + 2 ( v L (,µ ε) + Dv L (,µ ε)) käyttämällä eäyhtälöitä (a + b) a + b, ja (a + b) 2 (a + b ), kun a, b ja. Lisäksi avaruuden K ε määritelmästä seuraa suoraan, että jos v K ε, niin v ja Dv kuuluvat avaruuteen L ( T ) ja t v L 2 ( T ), kaikilla T >. Seuraavaksi osoitetaan, että edellä määritelty K ε on normiavaruutena täydellinen. Lemma 4.2. (K ε, Kε ) on Banach-avaruus. Todistus. Olkoon (v i ) i N Cauchy-jono avaruudessa K ε. Lisäksi suoralla arvioinnilla saadaan v Kε 2 ( ) v L (,µ ε) + Dv L (,µ ε) + t v L 2 (,µ ε). Tämän erusteella (v i ) i ja (Dv i ) i ovat Cauchy-jonoja avaruuksissa L (, µ ε ) ja [L (, µ ε )] n, ja vastaavasti ( t v i ) i on Cauchy avaruudessa L 2 (, µ ε ). Täten Lebesgueavaruuksien täydellisyyden nojalla on olemassa alkiot ṽ L (, µ ε ), ṽ D [L (, µ ε )] n ja ṽ L 2 (, µ ε ) siten, että v i ṽ Dv i ṽ D t u ũ kun i. Huomataan, että L (, µ ε )-mielessä, [L (, µ ε )] n -mielessä ja L 2 (, µ ε )-mielessä, v L ( (t,t 2 ),µ ε) e t 2 ε v L ( (t,t 2 )) (4.) millä tahansa t < t 2 <. Tästä erityisesti seuraa, että äärellisen aikavälin taauksessa suenemisesta ainotetun L -normin suhteen seuraa sueneminen tavallisen L -normin suhteen. Heikon derivaatan määritelmän nojalla jokaisella j {,..., n} xj v i ϕ dν = v i xj ϕ dν ja t v i ϕ dν = v i t ϕ dν kaikilla ϕ C ( ). Koska funktioiden ϕ kantajat ovat komakteja, voidaan näissä yhtälöissä ottaa raja-arvot i, jolloin yllä olevien suenemisten, eäyhtälöön (4.) liittyvän huomion ja esimerkiksi Hölderin eäyhtälön erusteella ätee xj v i ϕ dν ṽ D,j ϕ dν ja v i xj ϕ dν ṽ xj ϕ dν,

33 kun i kaikilla ϕ C ( ). Vastaavat raja-arvot saadaan myös aikaderivaatan taauksessa. Tällöin heikon derivaatan määritelmän nojalla voidaan asettaa Dṽ = ṽ D ja t ṽ = ũ. Täten, koska selvästi v Kε seuraa, että ṽ K ε. Siisä väite ätee. v L (,µ ε) + Dv L (,µ ε) + t v L 2 (,µ ε), 29 Määritellään edelleen normiavaruuden K ε aliavaruus N ε seuraavasti N ε := {v K ε : v = reunalla P }, missä reuna-arvot ajatellaan niin kutsutussa jälki-mielessä. Koska N ε on avaruuden K ε suljettu aliavaruus, on myös (N ε, Kε ) Banach-avaruus. Merkitään Cauchy- Dirichlet n datan u o reuna-arvot joukossa K ε saavia funktioita joukkona u o + N ε. Tämä on avaruuden N ε taaan edelleen Banach-avaruus. Esitetään seuraavaksi autulos, jota tarvitaan jatkossa todistuksissa. Lemma 4.3. Olkoon v L (, T ; W, u o ()) kaikilla T >, ja u o W, (). Tällöin ätee t 2 Dv dx dt c t 2 ( v + Dv ) dx dt c t 2 t u o W, (), ja t e t ε Dv dx dt c t e t ε ( v + Dv ) dx dt cεe t ε uo W, (), t t millä tahansa t < t 2 <, missä c = c(, diam()) ja u o W, () := u o L () + Du o L (). Todistus. Kiinnitetään t < t 2 <. Koska v L (, T ; Wu, o ()) kaikilla T >, tiedetään että v(, t) Wu, o () melkein kaikilla t (, ). Olkoon ū o (, t) = u o kaikilla t. Tällöin Poincarén ja Minkowskin eäyhtälöistä seuraa ja (v ū o )(, t) L () c Dv(, t) Du o L () c ( Dv(, t) L () + Du o L ()), (v ū o )(, t) L () v(, t) L () u o L () melkein kaikilla t (, ), ja missä c = c(, diam()) on Poincarén eäyhtälössä esiintyvä vakio. Näitä eäyhtälöitä käyttämällä saadaan Dv(, t) L () c v(, t) L () c u o W, (), melkein kaikilla t (, ), missä W, () on määritelty kuten oletuksessa, ja valittu c. Vakio c ei ole enää sama vakio kuin edellisissä eäyhtälöissä. Kirjoittamalla

34 Dv(, t) L () = ( Dv(, 2 t) L () + Dv(, t) L ()) ja käyttämällä toiseen termiin yllä olevaa eäyhtälöä, saadaan Dv(, t) L () c 3 ( v(, t) L () + Dv(, t) L ()) c uo W, (), (4.2) melkein kaikilla t (, ). Nyt integroimalla viimeisintä eäyhtälöä ajan suhteen välillä (t, t 2 ) saadaan t 2 Dv dx dt c t 2 ( v + Dv ) dx dt c t 2 t u o W, (), t t mistä lemman ensimmäinen väite seuraa. Vastaavasti kertomalla eäyhtälöä (4.2) funktiolla e t ε ja integroimalla yli välin (t, t 2 ), saadaan t 2 e t ε Dv dx dt c t 2 e t ε ( v + Dv ) dx dt c ( e t ε e t 2 ε ) uo W, (). t t Viemällä t 2 ja käyttämällä esimerkiksi Lebesguen monotonista konvergenssia, toinen väite seuraa. Lemma 4.4. Kaikilla ε (, ], variaatiofunktionaalilla F ε on olemassa yksikäsitteinen minimoija u ε u o + N ε. Todistus. Selvästi inf{f ε (v) v u o + N ε } >. Lisäksi inf{f ε (v) v u o + N ε } <, sillä alkudatan aikariiumattomalle ekstensiolle ätee ū o u o + N ε ja F ε (ū o ) <. Olkoon (v n ) joukossa u o + N ε minimoiva jono funktionaalille F ε. Osoitetaan seuraavaksi, että minimoiva jono on rajoitettu normin Kε suhteen. Käyttämällä Lemman 4.3 toista eäyhtälöä, kun t =, saadaan F ε (v) = e t ε 2 tv 2 + ε Dv dx dt = 2 tv 2 L 2 (,µ ε) + ε Dv L (,µ ε) { min 2 cε}(, ) t v 2 L 2 (,µ ε) + v L ( +,µ ε) Dv L (,µ ε) c u o W, (). Tästä saadaan, että jono ( t v n ) on rajoitettu avaruudessa L 2 (, µ ε ), ja jonot (v n ) ja (Dv n ) avaruudessa L (, µ ε ). Kyseisten Lebesguen avaruuksien refleksiivisyyden nojalla tiedetään, että kaikilla edellisistä jonoista on olemassa osajonot, jotka suenevat heikosti kyseisissä avaruuksissa. Osajonot voidaan valita iteratiivisesti. Poimitaan esimerkiksi ensiksi osajono (v n ), joka suenee johonkin funktioon ṽ L (, µ ε ) heikon L (, µ ε )-toologian suhteen. Edelleen jono (Dv n ) on rajoitettu L (, µ ε )-normin suhteen, joten voidaan oimia tästä osajono, joka suenee tässä avaruudessa. Edelleen voidaan oimia edellisestä jonosta osajono, jossa aikaderivaatat suenevat. Viimeiselle jonolle kaikki konvergenssit ätevät, ja merkitään

35 tätä vastaavaa indeksijonoa edelleen (n ). Samaan taaan kuin Lemmassa 4.2 tiedetään, että aikaderivaatta ja gradientti suenevat funktion ṽ aikaderivaattaan ja gradienttiin. Täten suoraan normin Kε määritelmästä nähdään, että ṽ K ε. Lisäksi, koska v n u o + N ε kaikilla n N, rajafunktio saa myös samat reuna-arvot jolloin ṽ u o + N ε. Nyt saadaan inf F ε (v) = lim v u o+n ε n F ε (v n ) = lim F ε(v n ) = lim inf F ε(v n ) n n = lim inf n 2 tv n 2 L 2 (,µ ε) + ε Dv n L (,µ ε) lim inf 2 tv n 2 n L 2 (,µ ε) + lim inf ε Dv n n L (,µ ε) 2 tṽ 2 L 2 (,µ ε) + ε Dṽ L (,µ ε) = F ε (ṽ), missä on käytetty lim inf-oeraation ominaisuuksia ja normin alasäin uolijatkuvuutta heikon toologian suhteen. Täten siis minimoija funktionaalille F ε on olemassa avaruudessa u o + N ε. Minimoijan yksikäsitteisyys seuraa funktionaalin F ε aidosta konveksisuudesta. Tässä työssä erityisen kiinnostuksen kohteena on avaruus V ε = {v u o + N ε : F ε (v) < }. Tämä johtuu siitä, että variaatiofunktionaalin F ε minimoija kuuluu välttämättä kyseiseen avaruuteen. Tämä on erusteltavissa esimerkiksi seuraavasti. Määritellään alkudatan aikariiumaton ekstensio ū o (, t) := u o kaikilla t (, ). Tälle ätee ū o Kε <, eli ū o N ε, sillä u o W, () määritelmän mukaan. Nyt koska u ε on minimoija, saadaan F ε (u ε ) F ε (ū o ) = e t ε Dūo dν ε Du o dx <. (4.3) Siten millä tahansa ε (, ] ätee u ε, ū o V ε. Lisäksi edellisestä eäyhtälöstä saadaan variaatiofunktionaalin määritelmän erusteella myös suoraan 3 e t ε t u ε 2 dν 2 e t ε Duε dν ε Du o dx ja Du o dx. Yllä olevissa estimaateissa haluttaisiin äästä vaimenevasta ainosta e t ε eroon. Tällöin ensimmäisessä eäyhtälössä saataisiin (arametrin ε suhteen) tasainen raja aikaderivaatan L 2 -normille, ja vastaavasti alemmassa gradientin, ja Poincarén eäyhtälön avulla myös itse funktion u ε L -normille. Siten L -avaruuksien refleksiivisyyden nojalla arametrista ɛ riiuville jonoille olisi olemassa heikosti suenevat osajonot.