Funktionaalianalyysi. että näiden laajennusten joukossa on maksimaalinen laajennus. Työläin kohta todistuksessa

Transkriptio

1 f ( n) Funktionaalianalyysi n H. Hahnin ja Banachin sublineaarikuvauslause Määritelmä H.1. Olkoon E vektoriavaruus. Kuvaus p: E R on sublineaarinen, jos a) p(λx) = λp(x) kaikille λ 0, x E, b) p(x + y) p(x) + p(y) kaikille x, y E. Esimerkki H.2. a) Vektoriavaruuden E seminormi on sublineaarinen kuvaus. b) Reaalisen vektoriavaruuden E lineaarimuoto on sublineaarinen kuvaus. c) Olkoon l rajoitettujen reaalisten lukujonojen (x k ) k=1 muodostama vektoriavaruus. Tällöin kuvaus (x k ) k=1 lim sup k x k on sublineaarinen. Rajoitetuille kompleksisille lukujonoille kuvaus (x k ) k=1 lim sup k Re x k on sublineaarinen. d) Olkoot E ja F reaalisia vektoriavaruuksia, T : E F lineaarikuvaus ja p: F R sublineaarinen. Tällöin p T : E R on sublineaarinen. Lause H.3 (Hahn ja Banach). Olkoot E reaalinen vektoriavaruus, F E vektorialiavaruus, p: E R sublineaarikuvaus ja l: F R lineaarikuvaus siten, että l(y) p(y) kaikille y F. Tällöin on olemassa lineaarikuvaus L: E R siten, että L F = l ja L(x) p(x) kaikille x E. Todistuksen ideana on tarkastella kaikkia niitä f:n laajennuksia johonkin E aliavaruuteen, jotka toteuttavat vaaditun epäyhtälön. Zornin lemman avulla näytetään, että näiden laajennusten joukossa on maksimaalinen laajennus. Työläin kohta todistuksessa on näyttää, että maksimaalinen laajennus on määritelty koko E:ssä. Todistuksen tätä kohtaa voidaan separoituvan normiavaruuden tapauksessa käyttää muokkaamaan todistuksesta konstruktiivisen (s.o. sellaisen, missä Zornin lemmaa ei tarvita). Jos F E, x 1 E \ F, F 1 = F x 1 ja l 1 : F 1 R on l:n jokin lineaarinen laajennus, niin l 1 (x + λx 1 ) = l 1 (x) + λl 1 (x 1 ) = l(x) + λc, kaikille x F ja λ R, missä c = l 1 (x 1 ) R. Lauseessa kaivattua laajennusta varten tarvitaan lisäksi ehto l(x) + λc p(x + λx 1 ), kaikille x F ja λ R. Todistus. Olkoon E kaikkien parien (V, h) joukko, missä V on E:n vektorialiavaruus siten, että V F, ja h: V R on lineaarikuvaus siten, että h F = l ja h(v) p(v) kaikille v V. Määritellään joukkoon E järjestys asettamalla (V 1, h 1 ) (V 2, h 2 ), jos V 1 V 2 ja h 2 V1 = h 1. Tällöin jokaisella E:n osaketjulla on yläraja E:ssä. Nimittäin, jos {(V α, h α ) α A} on E:n osaketju, niin sen yläraja on (V, h ), missä V = α A V α ja h (x) = h α (x), kun x V α. Zornin lemman nojalla joukossa E on siis maksimaalinen alkio (G, g). Kun näytetään, että G = E, niin väite on todistettu (L = g kelpaa). Tehdään antiteesi: G E. Tällöin on olemassa y 1 E siten, että y 1 G. Olkoon G 1 G:n ja y 1 :n virittämä vektorialiavaruus, G 1 = G {y 1 } = G y 1 (summa on suora, koska y 1 G). Jokainen x G 1 on tällöin muotoa x = y + λy 1, missä y G ja λ R. Määritellään 1

2 2 lineaarikuvaus g 1 : G 1 R asettamalla g 1 (y + λy 1 ) = g(y) + λc, missä c R valitaan seuraavasti: Selvästi g 1 on g:n laajennus. Jotta (G 1, g 1 ) E, on oltava (1) g 1 (y + λy 1 ) = g(y) + λc p(y + λy 1 ) kaikille λ R ja y G. Osoitetaan, että tämän ehdon toteuttava luku c on olemassa. Kun tämä on osoitettu, saadaan (G 1, g 1 ) E sekä lisäksi (G, g) (G 1, g 1 ) ja G G 1, mikä on ristiriidassa alkion (G, g) maksimaalisuuden kanssa, joten väite seuraa. Luvun c valintaa varten havaitaan aluksi, että kaikilla x, y G on p:n sublineaarisuuden nojalla voimassa Siis g(y) g(x) = g(y x) p(y x) p(y + y 1 ) + p( y 1 x). Tästä seuraa, että luvuille p( y 1 x) g(x) p(y + y 1 ) g(y). A = sup( p( y 1 x) g(x)) ja B = inf (p(y + y 1) g(y)) x G y G pätee A B. Valitaan c R siten, että A c B. Tällöin (2) (3) c p(y + y 1 ) g(y) kaikille y G ja p( y 1 y) g(y) c kaikille y G. Sijoitetaan epäyhtälöön (2) y:n tilalle y/λ, missä λ > 0, ja kerrotaan epäyhtälö puolittain luvulla λ. Tällöin saadaan (4) λc λp(y/λ + y 1 ) λg(y/λ) = p(y + λy 1 ) g(y). Vastaavasti, kun sijoitetaan epäyhtälöön (3) y:n tilalle y/λ, missä λ < 0, ja kerrotaan epäyhtälö puolittain luvulla λ, päädytään samaan epäyhtälöön (4). Huomaa, että sublineaarisuusehdosta saadaan negatiivisille luvuille λ epäyhtälö p(λx) = p(( λ)( x)) ( λ)p( x) eli p(λx) λp( x). Koska epäyhtälö (4) pätee myös, kun λ = 0, toteuttaa näin valittu luku c alunperin vaaaditun epäyhtälön. Huomautus H.4. Edellinen todistus löytyy jo Banachilta [2, II.2]. Oleellisesti samaa todistustapaa on käytetty kirjoissa [3, I.1], [9, 4.8], [11, Theorem 14.9], [12, II.6], [16, III.3] (tässä näytetään, että p on konveksi riittää), [18, Theorem 3.2], [19, Theorem 5.16], [20, Théorème II.1], [22, III.1] ja [23, IV.1]. Rudinin kirjassa [19, Theorem 5.16] osoitetaan suoraan jäljempänä oleva seuraus H.7, vaikka esitetty todistus onkin lähinnä sama kuin tässä esitetyt todistukset tiivistettynä k.o. lausetta varten. Seuraus H.5 (Hahn ja Banach). Olkoot (E, ) R-normiavaruus, F E aliavaruus ja f : F R R-lineaarinen kuvaus, jolle f(x) x kaikille x F. Tällöin on olemassa R-lineaarinen kuvaus g : E R siten, että g(x) = f(x) kaikille x F ja g(x) x kaikille x E.

3 Todistus. Asetetaan p: E R, p(x) = x. Edellisen lauseen nojalla on olemassa lineaarimuoto g : E R siten, että g F = f ja g(x) x kaikille x E. Tällöin g(x) = g( x) x = x, joten g(x) x kaikille x E. Seuraava lemma selvittää, mikä yhteys on C-lineaarisella kuvauksella ja sen reaaliosalla. Muistettakoon, että C-vektoriavaruuden E kuvaus f on C-lineaarinen, jos f(x + y) = f(x) + f(y) ja f(λx) = λf(x) kaikille x, y E ja λ C. Vastaavasti f on R-lineaarinen, jos edellinen pätee kaikille x, y E ja λ R. Selvästi jokainen C-lineaarinen kuvaus on R-lineaarinen, mutta ei kääntäen. Esimerkiksi c: z = x + iy z = x iy, C C, on R-lineaarinen, mutta ei C-lineaarinen. Samoin r : z = x + iy x, C R, on R-lineaarinen, mutta ei C-lineaarinen. Sen sijaan h: z = x + iy z = x + iy, C C, on C-lineaarinen. Tälle kuvaukselle on Re h: z = x + iy Re z = x = r(z). Tässä r(z) ir(iz) = x i Re(ix y) = x i( y) = x + iy = z = h(z). Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että tämä r:n ja h:n välinen yhteys pätee yleisesti. Lemma H.6. Olkoon E C-vektoriavaruus. a) Olkoot f : E R R-lineaarinen kuvaus ja f(x) := f(x) if(ix), kun x E. Tällöin f : E C on C-lineaarinen ja Re f = f. b) Jos h: E C on C-lineaarinen kuvaus, f := Re h ja f määritellään kuten edellisessä kohdassa, niin f = h. c) Olkoot p: E R seminormi ja f : E C C-lineaarinen kuvaus. Tällöin f(x) p(x) kaikille x E Re f(x) p(x) kaikille x E. d) Jos (E, ) on normiavaruus ja f : E C jatkuva C-lineaarikuvaus, niin f = Re f. Seuraus H.7 (Bohnenblust, Sobczyk ja Suhomlinov). Olkoot (E, ) C-normiavaruus, F E aliavaruus ja f : F C C-lineaarinen kuvaus, jolle f(x) x kaikille x F. Tällöin on olemassa C-lineaarinen kuvaus g : E C siten, että g(x) = f(x) kaikille x F ja g(x) x kaikille x E. Todistus. Asetetaan f 1 = Re f. Edellisen seurauksen nojalla on olemassa R-lineaarinen kuvaus g 1 : E R siten, että g 1 F = f 1 ja g 1 (x) x kaikille x E. Asetetaan g(x) := g 1 (x) ig 1 (ix), kun x E. Edellisen lemman nojalla tällä kuvauksella on halutut ominaisuudet. Seuraus H.8. Olkoot (E, ) normiavaruus, F E aliavaruus ja x 0 F siten, että δ := d(x 0, F ) := inf{ x 0 x x F } > 0. 3

4 4 Tällöin on olemassa f E siten, että f = 1, f(x 0 ) = δ ja f(x) = 0 kaikille x F. Todistus. Tarkastellaan F :n ja x 0 :n virittämää aliavaruutta G = F {x 0 } = F x 0 (summa on suora, koska x 0 F ). Tällöin jokaisella z G on yksikäsitteinen esitys z = x + λx 0, missä x F ja λ K. Asetetaan g : G K, g(x + λx 0 ) = λδ. Osoitetaan, että tällä kuvauksella on aliavaruudessa G halutut ominaisuudet. Kaivattu f E löydetään Hahnin ja Banachin lauseen avulla. Selvästi g : G K on lineaarinen ja ker g = F. Lisäksi g(x 0 ) = δ. Kun λ 0 ja x F, on δ:n määritelmän nojalla x + λx 0 = λ λ 1 x + x 0 λ δ = g(x + λx 0 ). Siis g 1, joten g G. Olkoon (x n ) n=1 F siten, että x 0 x n δ. Tällöin g(x n ) = 0, joten δ = g(x 0 ) g(x n ) = g(x 0 x n ) g x 0 x n g δ. Siis g = 1. Seuraus H.9. Olkoot (E, ) normiavaruus ja x E \ {0}. Tällöin on olemassa f E siten, että f = 1, ja f(x) = x. Todistus. Sovelletaan edellistä seurausta aliavaruuteen F = {0}. Seuraus H.10. Olkoot (E, ) normiavaruus ja x E. Tällöin x = sup{ f(x) f E, f 1}. Olkoon (E, ) normiavaruus. Kun f E on kiinteä, on kuvaus x f(x), E K, lineaarinen. Vastaavasti, kun x E on kiinteä, on kuvaus f f(x), E K, lineaarinen. Koska f(x) f x, on kumpikin e.m. kuvauksista jatkuva. Erityisesti siis jälkimmäinen kuvaus on jatkuva lineaarikuvaus E K eli se on biduaalin (E ) = E alkio. Asetetaan (5) j = j E : E E, (j(x))(f) = f(x). Edellisen seurauksen tulos voidaan nyt ilmaista muodossa: j(x) = x kaikille x E, joten j : E E on lineaarinen isometria. Kuvaus j on siis lineaarinen isometrinen bijektio kuvajoukolleen j(e) E, joten normiavaruus E voidaan ajatella upotetuksi biduaaliinsa E. Koska biduaali E on normiavaruuden E duaaliavaruutena täydellinen, saadaan seuraava Lause H.11. Olkoon (E, ) normiavaruus. Tällöin on olemassa Banachin avaruus Ẽ siten, että E Ẽ, ja että E on tiheä Ẽ:ssä. Banachin avaruus Ẽ on E:n täydentymä. Todistus. Edellä olleen perusteella j : E E on lineaarinen isometria Banachin avaruuteen E. Kuvajoukon sulkeuma j(e) on tällöin Banachin avaruuden E suljettuna aliavaruutena Banachin avaruus. Normiavaruus E on isometrisesti isomorfinen kuvajoukkonsa j(e) kanssa, joten ne on luonnolista samaistaa keskenään. Tällöin E = j(e) on tiheä Banachin avaruuden j(e) =: Ẽ aliavaruus. Määritelmä H.12. Normiavaruus (E, ) on refleksiivinen, jos kuvaus j E : E E on surjektio.

5 Huomautus H.13. Edellisen perusteella refleksiiviselle avaruudelle E on siis kuvaus j : E E isometrinen isomorfismi ja erityisesti E itse on Banachin avaruus. Mutta jos E ja E ovat isometrisesti isomorfiset keskenään, ei E välttämättä ole refleksiivinen; ks. [22, Aufgabe I.4.8]. Määritelmä H.14. Olkoot E ja F normiavaruuksia sekä T B(E, F ). Operaattorin T transpoosi eli duaalikuvaus on lineaarikuvaus T t : F E, f f T. Lause H.15. Olkoot E ja F normiavaruuksia sekä T B(E, F ). Tällöin T :n transpoosi on jatkuva ja T t = T. Todistus. Tranpoosin jatkuvuus: (T t f)(x) = f(t x) f T x f T x T t f f T ja siis T t T. Käänteistä epäyhtälöä varten tarvitaan seurausta H.10: Siis T T t. T x = sup f B f(t x) = sup f B (T t f)(x) joten sup f B T t f x = x sup f B T t f = x T t. Määritelmä H.16. Olkoon E normiavaruus. Joukko A E on heikosti rajoitettu, jos sup f(x) < kaikille f E. x A Lause H.17. Normiavaruuden E osajoukko A on heikosti rajoitettu, jos ja vain jos se on rajoitettu. Todistus. Rajoitettu joukko on selvästi heikosti rajoitettu. Olkoon A heikosti rajoitettu. Sovelletaan tasaisen rajoituksen periaatetta lineaarikuvausperheeseen H = {f f(x) x A} B(E, K). Oletuksen mukaan perhe H on pisteittäin rajoitettu, joten lauseen [13, 19.9] ja huomautuksen [13, 19.8] nojalla on olemassa M R siten, että f(x) M f kaikille x A ja kaikille f E. Väite saadaan nyt seurauksesta H.10: x M kaikille x A. Määritelmä H.18. Olkoot E normiavaruus ja (x n ) n=1 E. Jono (x n ) n suppenee heikosti kohti vektoria x E, merkitään x k x, jos f(x n ) f(x) kaikille f E. Lause H.19. Hilbertin avaruuden l 2 rajoitetulla jonolla (x n ) n=1 on heikosti suppeneva osajono. 5

6 6 Todistus. Voidaan olettaa, että x n 2 1 kaikille n N. Olkoon x n = (x n,k ) k=1. Tällöin (x n,k ) n=1 K on rajoitettu lukujono kaikille k N. Bolzanon ja Weierstrassin lauseen nojalla jonolla (x n,1 ) n=1 on suppeneva osajono (x nj,1) j=1. Diagonaalimenetelmällä löydetään osajono (n j ) j=1 siten, että (x nj,k) j=1 suppenee kaikille k N. Olkoon x k = lim j x nj,k ja x = (x 1, x 2,...). Kaikille N N on N k=1 x n j,k 2 x nj 2 1, joten N k=1 x k 2 = lim N j k=1 x n j,k 2 1. Siis k=1 x k 2 1, joten x l 2. Tällöin (x nj e k ) (x e k ) kaikille k N, joten (x nj y) (x y) kaikille y {e k k N}. Koska {e k k N} on tiheä l 2 :ssa ja jono ( x nj ) j=1 on rajoitettu, on (x nj y) (x y) kaikille y l 2. Väite seuraa Fréchet n ja Rieszin esityslauseesta. Lause H.20. Olkoon E normivaruus siten, että sen duaali E on separoituva. Tällöin E on separoituva. Todistus. Kun E on separoituva, on myös S E = {x E x = 1} separoituva. Olkoon {x n n N} tiheä S E :ssä. Valitaan x n S E siten, että x n(x n ) 1. 2 Osoitetaan, että U = {x n n N} on tiheä E:ssä. Olkoon x E siten, että x U = 0. Jos x 0, niin voidaan olettaa, että x = 1. Valitaan x j S E siten, että x x j 1. Tällöin x j(x j ) = x j(x j ) x (x j ) x x j x j 1. 4 Siis on oltava x = 0, joten U on tiheä E:ssä. Lause H.21. Refleksiivinen Banachin avaruus on separoituva, jos ja vain jos sen duaali on separoituva. Lause H.22. Refleksiivisen Banachin avaruuden E rajoitetulla jonolla (x n ) n=1 on heikosti suppeneva osajono. Todistus. Olkoon x n M kaikille n N. Oletetaan aluksi, että E on separoituva. Tällöin myös E on separoituva. Olkoon {x n n N} tiheä E :ssä. Diagonaalimenetelmällä löydetään osajono (n j ) j=1 siten, että jono (x k (x n j )) j=1 suppenee kaikille k N. Osoitetaan, että jono (x (x nj )) j=1 suppenee kaikille x E. Olkoot x E ja ε > 0. Valitaan k N siten, että x x k ε. Tällöin x (x nj ) x (x ni ) 2M x x k + x k(x nj ) x k(x ni ) (2M + 1)ε, kun j ja i ovat riittävän suuria. Siis jono (x (x nj )) j=1 on Cauchyn jono, joten se suppenee. Tarkastellaan lineaarikuvausta Nyt l: E K, x lim j x (x nj ). l(x ) = lim j x (x nj ) lim j x x nj M x. Siis l E. Koska E on refleksiivinen, on olemassa x E siten, että l = j E (x), t.s. l(x ) = x (x) kaikille x E. Siis lim j x (x nj ) = x (x) kaikille x E. Tämä tarkoittaa, että jono (x nj ) j=1 suppenee heikosti kohti vektoria x.

7 Yleisessä tapauksessa olkoon E 0 = {x n n N}. Tällöin E 0 on separoituva ja refleksiivinen, ks. [13, Lause 24.3]. Edellä todistetun perusteella on olemassa osajono (x nj ) j=1 ja x E 0 siten, että lim j x (x nj ) = x (x) kaikille x E0. Olkoon x E. Tällöin x E0 E0, joten lim j x (x nj ) = x (x). Tämä tarkoittaa, että osajono (x nj ) j=1 suppenee heikosti kohti vektoria x. Huomautus H.23. Hanhin ja Banachin lauseille löytyy kirjallisuudesta erilaisia sovelluksia. Tässä muutamia: Normiavaruuksien duaaliavaruuksien karakterisoimien [2, IV.4], [17, No. 35, 36, 52 ja 87], [23, IV.9]. Äärellisesti additiivisen mitan ongelma: [2, II.3] ja [11, Ex ]. Poissonin integraali ja maksimiperiaate polynomeille [19, ] (jälkimmäisen osalta vrt. [21, Lemma 3.119]). Konveksien joukkojen erottelu hypertasoilla: Esitettynä edellisten lauseiden sovelluksena ks. [3, I.2], [12, II.6], [22, III.2] ja [23, IV.6]. Muista poiketen luentomonisteessa [13, VI.20, VI.21] Hanhin ja Banachin lauseet on esitetty näiden erottelulauseiden seurauksena. Laplacen yhtälön Greenin funktion olemassaolo: [9, 4.9]. Momenttiongelma ( millä ehdolla on olemassa mitta µ siten, että t j dµ(t) = α j j N ): [2, IV.7], [17, No. 53], [23, IV.5] ja [22, Satz III.1.13 ja s. 131]. I. Harjoitustehtäviä I.1. Todista lemma H.6. [Vihje: Kohdan c) implikaatiota = varten esitä f(x) muodossa f(x) = λ f(x), missä λ C siten, että λ = 1.] I.2. (Eräs momenttiongelma.) Olkoot (E, ) normiavaruus, c k K ja x k E lineaarisesti riippumattomia, kun k N. Osoita, että seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (i) On olemassa f E siten, että f(x k ) = c k kaikille k N. (ii) On olemassa M R siten, että kaikille äärellisille osajoukoille I N ja kaikille λ k K, k I, pätee. λ k c k M λ k x k k I [Vihje: Kohdassa (ii) = (i) aseta g : {x k k N} K, g ( k I λ kx k ) = k I λ kc k.] I.3. (Jatkoa.) Olkoot E = C([0, 1], K) varustettuna sup-normilla, c k K ja x k (t) = t k, kun k N. Anna riittävä ehto sille, että on olemassa f (C([0, 1], K)) siten, että f(x k ) = c k kaikille k N. Miten löydät Borel-mitan µ siten, että [0,1] tk dµ(t) = c k kaikille k N? I.4. Olkoot (E, ) normiavaruus, F E aliavaruus ja f F. Osoita, että on olemassa g E siten, että g F = f ja g = f. I.5. Osoita, että kuvaus T : l 1 (l ), (T x)(y) = n=1 x ny n, kun x = (x n ) n l 1 ja y = (y n ) n l, on lineaarinen isometria, mutta ei surjektio. [Vihje: Laajenna lim c, (x n ) n lim n x n, lineaarimuodoksi f (l ) ; näytä, että f T (l 1 ).] k I 7

8 8 Viitteet [1] Tom M. Apostol, Mathematical analysis, 2nd edition, 5th printing, Addison Wesley, 1981; ensimmäinen laitos [2] Stefan Banach, Theory of Linear Operations, North Holland Mathematical Library, 1987; alunperin Théorie des operations linéares, Monografie Matematyczne 1, Warszawa, [3] Haïm Brezis, Analyse fonctionelle. Théorie et applications, 2 e tirage, Collection mathématiques appliqueés pour la maîtrise, Masson, [4] Richard Courant und David Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik Band I, Dritte Auflage, Heidelberger Taschenbücher 30, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, 1924; Band II, Zweite Auflage, Heidelberger Taschenbücher 31, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, [5] Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Third printing, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 61, SIAM, [6] Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Third (enlarged and corrected) printing, Academic Press, 1969; alunperin Fondements de l Analyse Moderne, Gauthier Villars, [7] Jean Dieudonné, Infinitesimal Calculus, Hermann, Paris 1971; alunperin Calcul infinitésimal, Hermann, Paris [8] Gerald B. Folland, Introduction to partial differential equations, Mathematical Notes, Princeton University Press, [9] Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Inc., 1982; alunperin Holt-Rinehart-Winston, [10] Werner Greub, Lineare Algebra, Heidelberger Taschenbücher Band 179, Springer-Verlag, 1976; alunperin Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 97, [11] Edwin Hewitt and Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Third printing, Graduate Texts in Mathematics 25, Springer-Verlag, [12] Friedrich Hirzebruch und Winfried Scharlau, Einführung in die Funktionalanalysis, Hochschultaschenbücher Band 296, Bibliographisches Institut, Mannheim, [13] Lauri Kahanpää, Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua osa II, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, [14] Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Dover Publications, Inc., 1976; alunperin John Wiley & Sons Inc., [15] A. Langenbach, Vorlesungen zur höheren Analysis, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin [16] Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1972; II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, [17] Frigyes Riesz and Béla Sz.-Nagy, Functional Analysis, Dover Publications, Inc, 1990; alunperin Leçons d analyse fonctionelle, Académiai Kiadó, 1952; engl. käännös Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co., [18] Walter Rudin, Functional Analysis, Tata McGraw-Hill, 1982; alunperin McGraw-Hill, [19] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Second edition, Tata McGraw-Hill, 1979; alunperin McGraw-Hill, [20] Laurent Schwartz, Analyse Hilbertienne, Collection Méthodes, Hermann, [21] Karl Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth International Mathematics Series, [22] Dirk Werner, Funktionalanalysis, Vierte, überarbeitete Auflage, Springer-Lehrbuch, Springer, [23] Kôsaku Yosida, Functional Analysis, Fourth Edition, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Band 123, Springer-Verlag, 1974.