Funktionaalianalyysi. että näiden laajennusten joukossa on maksimaalinen laajennus. Työläin kohta todistuksessa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Funktionaalianalyysi. että näiden laajennusten joukossa on maksimaalinen laajennus. Työläin kohta todistuksessa"

Transkriptio

1 f ( n) Funktionaalianalyysi n H. Hahnin ja Banachin sublineaarikuvauslause Määritelmä H.1. Olkoon E vektoriavaruus. Kuvaus p: E R on sublineaarinen, jos a) p(λx) = λp(x) kaikille λ 0, x E, b) p(x + y) p(x) + p(y) kaikille x, y E. Esimerkki H.2. a) Vektoriavaruuden E seminormi on sublineaarinen kuvaus. b) Reaalisen vektoriavaruuden E lineaarimuoto on sublineaarinen kuvaus. c) Olkoon l rajoitettujen reaalisten lukujonojen (x k ) k=1 muodostama vektoriavaruus. Tällöin kuvaus (x k ) k=1 lim sup k x k on sublineaarinen. Rajoitetuille kompleksisille lukujonoille kuvaus (x k ) k=1 lim sup k Re x k on sublineaarinen. d) Olkoot E ja F reaalisia vektoriavaruuksia, T : E F lineaarikuvaus ja p: F R sublineaarinen. Tällöin p T : E R on sublineaarinen. Lause H.3 (Hahn ja Banach). Olkoot E reaalinen vektoriavaruus, F E vektorialiavaruus, p: E R sublineaarikuvaus ja l: F R lineaarikuvaus siten, että l(y) p(y) kaikille y F. Tällöin on olemassa lineaarikuvaus L: E R siten, että L F = l ja L(x) p(x) kaikille x E. Todistuksen ideana on tarkastella kaikkia niitä f:n laajennuksia johonkin E aliavaruuteen, jotka toteuttavat vaaditun epäyhtälön. Zornin lemman avulla näytetään, että näiden laajennusten joukossa on maksimaalinen laajennus. Työläin kohta todistuksessa on näyttää, että maksimaalinen laajennus on määritelty koko E:ssä. Todistuksen tätä kohtaa voidaan separoituvan normiavaruuden tapauksessa käyttää muokkaamaan todistuksesta konstruktiivisen (s.o. sellaisen, missä Zornin lemmaa ei tarvita). Jos F E, x 1 E \ F, F 1 = F x 1 ja l 1 : F 1 R on l:n jokin lineaarinen laajennus, niin l 1 (x + λx 1 ) = l 1 (x) + λl 1 (x 1 ) = l(x) + λc, kaikille x F ja λ R, missä c = l 1 (x 1 ) R. Lauseessa kaivattua laajennusta varten tarvitaan lisäksi ehto l(x) + λc p(x + λx 1 ), kaikille x F ja λ R. Todistus. Olkoon E kaikkien parien (V, h) joukko, missä V on E:n vektorialiavaruus siten, että V F, ja h: V R on lineaarikuvaus siten, että h F = l ja h(v) p(v) kaikille v V. Määritellään joukkoon E järjestys asettamalla (V 1, h 1 ) (V 2, h 2 ), jos V 1 V 2 ja h 2 V1 = h 1. Tällöin jokaisella E:n osaketjulla on yläraja E:ssä. Nimittäin, jos {(V α, h α ) α A} on E:n osaketju, niin sen yläraja on (V, h ), missä V = α A V α ja h (x) = h α (x), kun x V α. Zornin lemman nojalla joukossa E on siis maksimaalinen alkio (G, g). Kun näytetään, että G = E, niin väite on todistettu (L = g kelpaa). Tehdään antiteesi: G E. Tällöin on olemassa y 1 E siten, että y 1 G. Olkoon G 1 G:n ja y 1 :n virittämä vektorialiavaruus, G 1 = G {y 1 } = G y 1 (summa on suora, koska y 1 G). Jokainen x G 1 on tällöin muotoa x = y + λy 1, missä y G ja λ R. Määritellään 1

2 2 lineaarikuvaus g 1 : G 1 R asettamalla g 1 (y + λy 1 ) = g(y) + λc, missä c R valitaan seuraavasti: Selvästi g 1 on g:n laajennus. Jotta (G 1, g 1 ) E, on oltava (1) g 1 (y + λy 1 ) = g(y) + λc p(y + λy 1 ) kaikille λ R ja y G. Osoitetaan, että tämän ehdon toteuttava luku c on olemassa. Kun tämä on osoitettu, saadaan (G 1, g 1 ) E sekä lisäksi (G, g) (G 1, g 1 ) ja G G 1, mikä on ristiriidassa alkion (G, g) maksimaalisuuden kanssa, joten väite seuraa. Luvun c valintaa varten havaitaan aluksi, että kaikilla x, y G on p:n sublineaarisuuden nojalla voimassa Siis g(y) g(x) = g(y x) p(y x) p(y + y 1 ) + p( y 1 x). Tästä seuraa, että luvuille p( y 1 x) g(x) p(y + y 1 ) g(y). A = sup( p( y 1 x) g(x)) ja B = inf (p(y + y 1) g(y)) x G y G pätee A B. Valitaan c R siten, että A c B. Tällöin (2) (3) c p(y + y 1 ) g(y) kaikille y G ja p( y 1 y) g(y) c kaikille y G. Sijoitetaan epäyhtälöön (2) y:n tilalle y/λ, missä λ > 0, ja kerrotaan epäyhtälö puolittain luvulla λ. Tällöin saadaan (4) λc λp(y/λ + y 1 ) λg(y/λ) = p(y + λy 1 ) g(y). Vastaavasti, kun sijoitetaan epäyhtälöön (3) y:n tilalle y/λ, missä λ < 0, ja kerrotaan epäyhtälö puolittain luvulla λ, päädytään samaan epäyhtälöön (4). Huomaa, että sublineaarisuusehdosta saadaan negatiivisille luvuille λ epäyhtälö p(λx) = p(( λ)( x)) ( λ)p( x) eli p(λx) λp( x). Koska epäyhtälö (4) pätee myös, kun λ = 0, toteuttaa näin valittu luku c alunperin vaaaditun epäyhtälön. Huomautus H.4. Edellinen todistus löytyy jo Banachilta [2, II.2]. Oleellisesti samaa todistustapaa on käytetty kirjoissa [3, I.1], [9, 4.8], [11, Theorem 14.9], [12, II.6], [16, III.3] (tässä näytetään, että p on konveksi riittää), [18, Theorem 3.2], [19, Theorem 5.16], [20, Théorème II.1], [22, III.1] ja [23, IV.1]. Rudinin kirjassa [19, Theorem 5.16] osoitetaan suoraan jäljempänä oleva seuraus H.7, vaikka esitetty todistus onkin lähinnä sama kuin tässä esitetyt todistukset tiivistettynä k.o. lausetta varten. Seuraus H.5 (Hahn ja Banach). Olkoot (E, ) R-normiavaruus, F E aliavaruus ja f : F R R-lineaarinen kuvaus, jolle f(x) x kaikille x F. Tällöin on olemassa R-lineaarinen kuvaus g : E R siten, että g(x) = f(x) kaikille x F ja g(x) x kaikille x E.

3 Todistus. Asetetaan p: E R, p(x) = x. Edellisen lauseen nojalla on olemassa lineaarimuoto g : E R siten, että g F = f ja g(x) x kaikille x E. Tällöin g(x) = g( x) x = x, joten g(x) x kaikille x E. Seuraava lemma selvittää, mikä yhteys on C-lineaarisella kuvauksella ja sen reaaliosalla. Muistettakoon, että C-vektoriavaruuden E kuvaus f on C-lineaarinen, jos f(x + y) = f(x) + f(y) ja f(λx) = λf(x) kaikille x, y E ja λ C. Vastaavasti f on R-lineaarinen, jos edellinen pätee kaikille x, y E ja λ R. Selvästi jokainen C-lineaarinen kuvaus on R-lineaarinen, mutta ei kääntäen. Esimerkiksi c: z = x + iy z = x iy, C C, on R-lineaarinen, mutta ei C-lineaarinen. Samoin r : z = x + iy x, C R, on R-lineaarinen, mutta ei C-lineaarinen. Sen sijaan h: z = x + iy z = x + iy, C C, on C-lineaarinen. Tälle kuvaukselle on Re h: z = x + iy Re z = x = r(z). Tässä r(z) ir(iz) = x i Re(ix y) = x i( y) = x + iy = z = h(z). Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että tämä r:n ja h:n välinen yhteys pätee yleisesti. Lemma H.6. Olkoon E C-vektoriavaruus. a) Olkoot f : E R R-lineaarinen kuvaus ja f(x) := f(x) if(ix), kun x E. Tällöin f : E C on C-lineaarinen ja Re f = f. b) Jos h: E C on C-lineaarinen kuvaus, f := Re h ja f määritellään kuten edellisessä kohdassa, niin f = h. c) Olkoot p: E R seminormi ja f : E C C-lineaarinen kuvaus. Tällöin f(x) p(x) kaikille x E Re f(x) p(x) kaikille x E. d) Jos (E, ) on normiavaruus ja f : E C jatkuva C-lineaarikuvaus, niin f = Re f. Seuraus H.7 (Bohnenblust, Sobczyk ja Suhomlinov). Olkoot (E, ) C-normiavaruus, F E aliavaruus ja f : F C C-lineaarinen kuvaus, jolle f(x) x kaikille x F. Tällöin on olemassa C-lineaarinen kuvaus g : E C siten, että g(x) = f(x) kaikille x F ja g(x) x kaikille x E. Todistus. Asetetaan f 1 = Re f. Edellisen seurauksen nojalla on olemassa R-lineaarinen kuvaus g 1 : E R siten, että g 1 F = f 1 ja g 1 (x) x kaikille x E. Asetetaan g(x) := g 1 (x) ig 1 (ix), kun x E. Edellisen lemman nojalla tällä kuvauksella on halutut ominaisuudet. Seuraus H.8. Olkoot (E, ) normiavaruus, F E aliavaruus ja x 0 F siten, että δ := d(x 0, F ) := inf{ x 0 x x F } > 0. 3

4 4 Tällöin on olemassa f E siten, että f = 1, f(x 0 ) = δ ja f(x) = 0 kaikille x F. Todistus. Tarkastellaan F :n ja x 0 :n virittämää aliavaruutta G = F {x 0 } = F x 0 (summa on suora, koska x 0 F ). Tällöin jokaisella z G on yksikäsitteinen esitys z = x + λx 0, missä x F ja λ K. Asetetaan g : G K, g(x + λx 0 ) = λδ. Osoitetaan, että tällä kuvauksella on aliavaruudessa G halutut ominaisuudet. Kaivattu f E löydetään Hahnin ja Banachin lauseen avulla. Selvästi g : G K on lineaarinen ja ker g = F. Lisäksi g(x 0 ) = δ. Kun λ 0 ja x F, on δ:n määritelmän nojalla x + λx 0 = λ λ 1 x + x 0 λ δ = g(x + λx 0 ). Siis g 1, joten g G. Olkoon (x n ) n=1 F siten, että x 0 x n δ. Tällöin g(x n ) = 0, joten δ = g(x 0 ) g(x n ) = g(x 0 x n ) g x 0 x n g δ. Siis g = 1. Seuraus H.9. Olkoot (E, ) normiavaruus ja x E \ {0}. Tällöin on olemassa f E siten, että f = 1, ja f(x) = x. Todistus. Sovelletaan edellistä seurausta aliavaruuteen F = {0}. Seuraus H.10. Olkoot (E, ) normiavaruus ja x E. Tällöin x = sup{ f(x) f E, f 1}. Olkoon (E, ) normiavaruus. Kun f E on kiinteä, on kuvaus x f(x), E K, lineaarinen. Vastaavasti, kun x E on kiinteä, on kuvaus f f(x), E K, lineaarinen. Koska f(x) f x, on kumpikin e.m. kuvauksista jatkuva. Erityisesti siis jälkimmäinen kuvaus on jatkuva lineaarikuvaus E K eli se on biduaalin (E ) = E alkio. Asetetaan (5) j = j E : E E, (j(x))(f) = f(x). Edellisen seurauksen tulos voidaan nyt ilmaista muodossa: j(x) = x kaikille x E, joten j : E E on lineaarinen isometria. Kuvaus j on siis lineaarinen isometrinen bijektio kuvajoukolleen j(e) E, joten normiavaruus E voidaan ajatella upotetuksi biduaaliinsa E. Koska biduaali E on normiavaruuden E duaaliavaruutena täydellinen, saadaan seuraava Lause H.11. Olkoon (E, ) normiavaruus. Tällöin on olemassa Banachin avaruus Ẽ siten, että E Ẽ, ja että E on tiheä Ẽ:ssä. Banachin avaruus Ẽ on E:n täydentymä. Todistus. Edellä olleen perusteella j : E E on lineaarinen isometria Banachin avaruuteen E. Kuvajoukon sulkeuma j(e) on tällöin Banachin avaruuden E suljettuna aliavaruutena Banachin avaruus. Normiavaruus E on isometrisesti isomorfinen kuvajoukkonsa j(e) kanssa, joten ne on luonnolista samaistaa keskenään. Tällöin E = j(e) on tiheä Banachin avaruuden j(e) =: Ẽ aliavaruus. Määritelmä H.12. Normiavaruus (E, ) on refleksiivinen, jos kuvaus j E : E E on surjektio.

5 Huomautus H.13. Edellisen perusteella refleksiiviselle avaruudelle E on siis kuvaus j : E E isometrinen isomorfismi ja erityisesti E itse on Banachin avaruus. Mutta jos E ja E ovat isometrisesti isomorfiset keskenään, ei E välttämättä ole refleksiivinen; ks. [22, Aufgabe I.4.8]. Määritelmä H.14. Olkoot E ja F normiavaruuksia sekä T B(E, F ). Operaattorin T transpoosi eli duaalikuvaus on lineaarikuvaus T t : F E, f f T. Lause H.15. Olkoot E ja F normiavaruuksia sekä T B(E, F ). Tällöin T :n transpoosi on jatkuva ja T t = T. Todistus. Tranpoosin jatkuvuus: (T t f)(x) = f(t x) f T x f T x T t f f T ja siis T t T. Käänteistä epäyhtälöä varten tarvitaan seurausta H.10: Siis T T t. T x = sup f B f(t x) = sup f B (T t f)(x) joten sup f B T t f x = x sup f B T t f = x T t. Määritelmä H.16. Olkoon E normiavaruus. Joukko A E on heikosti rajoitettu, jos sup f(x) < kaikille f E. x A Lause H.17. Normiavaruuden E osajoukko A on heikosti rajoitettu, jos ja vain jos se on rajoitettu. Todistus. Rajoitettu joukko on selvästi heikosti rajoitettu. Olkoon A heikosti rajoitettu. Sovelletaan tasaisen rajoituksen periaatetta lineaarikuvausperheeseen H = {f f(x) x A} B(E, K). Oletuksen mukaan perhe H on pisteittäin rajoitettu, joten lauseen [13, 19.9] ja huomautuksen [13, 19.8] nojalla on olemassa M R siten, että f(x) M f kaikille x A ja kaikille f E. Väite saadaan nyt seurauksesta H.10: x M kaikille x A. Määritelmä H.18. Olkoot E normiavaruus ja (x n ) n=1 E. Jono (x n ) n suppenee heikosti kohti vektoria x E, merkitään x k x, jos f(x n ) f(x) kaikille f E. Lause H.19. Hilbertin avaruuden l 2 rajoitetulla jonolla (x n ) n=1 on heikosti suppeneva osajono. 5

6 6 Todistus. Voidaan olettaa, että x n 2 1 kaikille n N. Olkoon x n = (x n,k ) k=1. Tällöin (x n,k ) n=1 K on rajoitettu lukujono kaikille k N. Bolzanon ja Weierstrassin lauseen nojalla jonolla (x n,1 ) n=1 on suppeneva osajono (x nj,1) j=1. Diagonaalimenetelmällä löydetään osajono (n j ) j=1 siten, että (x nj,k) j=1 suppenee kaikille k N. Olkoon x k = lim j x nj,k ja x = (x 1, x 2,...). Kaikille N N on N k=1 x n j,k 2 x nj 2 1, joten N k=1 x k 2 = lim N j k=1 x n j,k 2 1. Siis k=1 x k 2 1, joten x l 2. Tällöin (x nj e k ) (x e k ) kaikille k N, joten (x nj y) (x y) kaikille y {e k k N}. Koska {e k k N} on tiheä l 2 :ssa ja jono ( x nj ) j=1 on rajoitettu, on (x nj y) (x y) kaikille y l 2. Väite seuraa Fréchet n ja Rieszin esityslauseesta. Lause H.20. Olkoon E normivaruus siten, että sen duaali E on separoituva. Tällöin E on separoituva. Todistus. Kun E on separoituva, on myös S E = {x E x = 1} separoituva. Olkoon {x n n N} tiheä S E :ssä. Valitaan x n S E siten, että x n(x n ) 1. 2 Osoitetaan, että U = {x n n N} on tiheä E:ssä. Olkoon x E siten, että x U = 0. Jos x 0, niin voidaan olettaa, että x = 1. Valitaan x j S E siten, että x x j 1. Tällöin x j(x j ) = x j(x j ) x (x j ) x x j x j 1. 4 Siis on oltava x = 0, joten U on tiheä E:ssä. Lause H.21. Refleksiivinen Banachin avaruus on separoituva, jos ja vain jos sen duaali on separoituva. Lause H.22. Refleksiivisen Banachin avaruuden E rajoitetulla jonolla (x n ) n=1 on heikosti suppeneva osajono. Todistus. Olkoon x n M kaikille n N. Oletetaan aluksi, että E on separoituva. Tällöin myös E on separoituva. Olkoon {x n n N} tiheä E :ssä. Diagonaalimenetelmällä löydetään osajono (n j ) j=1 siten, että jono (x k (x n j )) j=1 suppenee kaikille k N. Osoitetaan, että jono (x (x nj )) j=1 suppenee kaikille x E. Olkoot x E ja ε > 0. Valitaan k N siten, että x x k ε. Tällöin x (x nj ) x (x ni ) 2M x x k + x k(x nj ) x k(x ni ) (2M + 1)ε, kun j ja i ovat riittävän suuria. Siis jono (x (x nj )) j=1 on Cauchyn jono, joten se suppenee. Tarkastellaan lineaarikuvausta Nyt l: E K, x lim j x (x nj ). l(x ) = lim j x (x nj ) lim j x x nj M x. Siis l E. Koska E on refleksiivinen, on olemassa x E siten, että l = j E (x), t.s. l(x ) = x (x) kaikille x E. Siis lim j x (x nj ) = x (x) kaikille x E. Tämä tarkoittaa, että jono (x nj ) j=1 suppenee heikosti kohti vektoria x.

7 Yleisessä tapauksessa olkoon E 0 = {x n n N}. Tällöin E 0 on separoituva ja refleksiivinen, ks. [13, Lause 24.3]. Edellä todistetun perusteella on olemassa osajono (x nj ) j=1 ja x E 0 siten, että lim j x (x nj ) = x (x) kaikille x E0. Olkoon x E. Tällöin x E0 E0, joten lim j x (x nj ) = x (x). Tämä tarkoittaa, että osajono (x nj ) j=1 suppenee heikosti kohti vektoria x. Huomautus H.23. Hanhin ja Banachin lauseille löytyy kirjallisuudesta erilaisia sovelluksia. Tässä muutamia: Normiavaruuksien duaaliavaruuksien karakterisoimien [2, IV.4], [17, No. 35, 36, 52 ja 87], [23, IV.9]. Äärellisesti additiivisen mitan ongelma: [2, II.3] ja [11, Ex ]. Poissonin integraali ja maksimiperiaate polynomeille [19, ] (jälkimmäisen osalta vrt. [21, Lemma 3.119]). Konveksien joukkojen erottelu hypertasoilla: Esitettynä edellisten lauseiden sovelluksena ks. [3, I.2], [12, II.6], [22, III.2] ja [23, IV.6]. Muista poiketen luentomonisteessa [13, VI.20, VI.21] Hanhin ja Banachin lauseet on esitetty näiden erottelulauseiden seurauksena. Laplacen yhtälön Greenin funktion olemassaolo: [9, 4.9]. Momenttiongelma ( millä ehdolla on olemassa mitta µ siten, että t j dµ(t) = α j j N ): [2, IV.7], [17, No. 53], [23, IV.5] ja [22, Satz III.1.13 ja s. 131]. I. Harjoitustehtäviä I.1. Todista lemma H.6. [Vihje: Kohdan c) implikaatiota = varten esitä f(x) muodossa f(x) = λ f(x), missä λ C siten, että λ = 1.] I.2. (Eräs momenttiongelma.) Olkoot (E, ) normiavaruus, c k K ja x k E lineaarisesti riippumattomia, kun k N. Osoita, että seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (i) On olemassa f E siten, että f(x k ) = c k kaikille k N. (ii) On olemassa M R siten, että kaikille äärellisille osajoukoille I N ja kaikille λ k K, k I, pätee. λ k c k M λ k x k k I [Vihje: Kohdassa (ii) = (i) aseta g : {x k k N} K, g ( k I λ kx k ) = k I λ kc k.] I.3. (Jatkoa.) Olkoot E = C([0, 1], K) varustettuna sup-normilla, c k K ja x k (t) = t k, kun k N. Anna riittävä ehto sille, että on olemassa f (C([0, 1], K)) siten, että f(x k ) = c k kaikille k N. Miten löydät Borel-mitan µ siten, että [0,1] tk dµ(t) = c k kaikille k N? I.4. Olkoot (E, ) normiavaruus, F E aliavaruus ja f F. Osoita, että on olemassa g E siten, että g F = f ja g = f. I.5. Osoita, että kuvaus T : l 1 (l ), (T x)(y) = n=1 x ny n, kun x = (x n ) n l 1 ja y = (y n ) n l, on lineaarinen isometria, mutta ei surjektio. [Vihje: Laajenna lim c, (x n ) n lim n x n, lineaarimuodoksi f (l ) ; näytä, että f T (l 1 ).] k I 7

8 8 Viitteet [1] Tom M. Apostol, Mathematical analysis, 2nd edition, 5th printing, Addison Wesley, 1981; ensimmäinen laitos [2] Stefan Banach, Theory of Linear Operations, North Holland Mathematical Library, 1987; alunperin Théorie des operations linéares, Monografie Matematyczne 1, Warszawa, [3] Haïm Brezis, Analyse fonctionelle. Théorie et applications, 2 e tirage, Collection mathématiques appliqueés pour la maîtrise, Masson, [4] Richard Courant und David Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik Band I, Dritte Auflage, Heidelberger Taschenbücher 30, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, 1924; Band II, Zweite Auflage, Heidelberger Taschenbücher 31, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, [5] Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Third printing, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 61, SIAM, [6] Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Third (enlarged and corrected) printing, Academic Press, 1969; alunperin Fondements de l Analyse Moderne, Gauthier Villars, [7] Jean Dieudonné, Infinitesimal Calculus, Hermann, Paris 1971; alunperin Calcul infinitésimal, Hermann, Paris [8] Gerald B. Folland, Introduction to partial differential equations, Mathematical Notes, Princeton University Press, [9] Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Inc., 1982; alunperin Holt-Rinehart-Winston, [10] Werner Greub, Lineare Algebra, Heidelberger Taschenbücher Band 179, Springer-Verlag, 1976; alunperin Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 97, [11] Edwin Hewitt and Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Third printing, Graduate Texts in Mathematics 25, Springer-Verlag, [12] Friedrich Hirzebruch und Winfried Scharlau, Einführung in die Funktionalanalysis, Hochschultaschenbücher Band 296, Bibliographisches Institut, Mannheim, [13] Lauri Kahanpää, Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua osa II, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, [14] Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Dover Publications, Inc., 1976; alunperin John Wiley & Sons Inc., [15] A. Langenbach, Vorlesungen zur höheren Analysis, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin [16] Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1972; II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, [17] Frigyes Riesz and Béla Sz.-Nagy, Functional Analysis, Dover Publications, Inc, 1990; alunperin Leçons d analyse fonctionelle, Académiai Kiadó, 1952; engl. käännös Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co., [18] Walter Rudin, Functional Analysis, Tata McGraw-Hill, 1982; alunperin McGraw-Hill, [19] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Second edition, Tata McGraw-Hill, 1979; alunperin McGraw-Hill, [20] Laurent Schwartz, Analyse Hilbertienne, Collection Méthodes, Hermann, [21] Karl Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth International Mathematics Series, [22] Dirk Werner, Funktionalanalysis, Vierte, überarbeitete Auflage, Springer-Lehrbuch, Springer, [23] Kôsaku Yosida, Functional Analysis, Fourth Edition, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Band 123, Springer-Verlag, 1974.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt, sl Ari Lehtonen

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt, sl Ari Lehtonen Osittaisdifferentiaaliyhtälöt, sl. 2006 Ari Lehtonen Esipuhe Tätä tekstiä kirjoitettaessa on käytetty apuna lähinnä viiteluettelossa mainittuja kirjoja [1] ja [7] sekä [4] (vähänlaisesti) ja [3] (varsin

Lisätiedot

Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely

Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Funktionaalianalyysi Sekalaisia harjoituksia MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Jatkuu... Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

9. Dualiteetti. Todistus. Väite seuraa suoraan Lauseesta 6.6, koska skalaarikunta K on täydellinen.

9. Dualiteetti. Todistus. Väite seuraa suoraan Lauseesta 6.6, koska skalaarikunta K on täydellinen. 128 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 9. Dualiteetti Jos E on vektoriavaruus, niin merkintä E = L(E, K) tarkoittaa avaruuden E algebrallista duaalia. Duaalin E ovat avaruuden E lineaarisia muotoja. Jos

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

on Hilbertin avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f g) 1,2 = (f g) 2 + (f g ) 2, missä ( ) 2 on L 2 (0, 1):n tavallinen sisätulo.

on Hilbertin avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f g) 1,2 = (f g) 2 + (f g ) 2, missä ( ) 2 on L 2 (0, 1):n tavallinen sisätulo. f ( n n 6. Sobolevin avaruudet 1 Monisteen [7, 15.4 ja määritelmä 15.26] mukaan Banachin avaruus H 1,p (0, 1 on normiavaruuden C 1 p(0, 1 = {f C 1 (0, 1 f, f L p (0, 1} täydentymä, kun normina on f f p

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSI 2017

FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 JOUNI PARKKONEN Nämä ovat muistiinpanoni funktionaalianalyysin kurssille kevätlukukaudella 2017. Tekstiä ei ole luettu äärimmäisen huolella puhtaaksi eikä sitä ole viilattu julkaisemista

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x? 102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

4. Hilbertin avaruudet

4. Hilbertin avaruudet FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

2. Normi ja normiavaruus

2. Normi ja normiavaruus 8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

B k := on tiheä G δ -joukko.

B k := on tiheä G δ -joukko. f ( n) n 7. Tasaisen rajoituksen periaatteesta 7.1. Singulariteettien kondensaatioperiaate. Täydennetään luentomonisteessa [6, 19] esitettyjä tasaisen rajoituksen periaatetta ja Banacin ja Steinausin lausetta

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä

Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 4 4. Yleistetty Cantorin joukko 5 5. Vito Volterran esimerkki 6 6. Analyysin peruslauseesta 8 Kirjallisuutta 9. Cantorin

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

1 Tensoriavaruuksista..

1 Tensoriavaruuksista.. 1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja 1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

r 1 Kuva 1. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä s=1

r 1 Kuva 1. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä s=1 Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 5 4. Yleistetty Cantorin joukko 6 5. Vito Volterran esimerkki 7 6. Analyysin peruslauseesta 9 Kirjallisuutta. Cantorin

Lisätiedot

SUORAVIIVAISTA AJATTELUA OSA III TOPOLOGISET VEKTORIAVARUUDET JA DISTRIBUUTIOT

SUORAVIIVAISTA AJATTELUA OSA III TOPOLOGISET VEKTORIAVARUUDET JA DISTRIBUUTIOT SUOAVIIVAISTA AJATTELUA OSA III TOPOLOGISET VEKTOIAVAUUDET JA DISTIBUUTIOT Lauri Kahanpää Jyväskylän yliopisto 2013 1 2 TOPOLOGISET VEKTOIAVAUUDET JA DISTIBUUTIOT Sisältö Aluksi 4 Topologiset vektoriavaruudet

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 26 Kari Astala ja Petteri Piiroinen Sopivaa oheis- ja lisälukemistoa tarjoavat esimerkiksi seuraavat

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

Olkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on

Olkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on 1. Differentiaalimuodon integraalista II 1.1. ektorikentän pintaintegraali. (Ks. [2, 2.1] ja [2, 2.2.2] Olkoot S R 3 sileä alkeispinta ja ϕ: U S sen parametriesitys. Pinnan suunnistukseksi valitaan seuraavassa

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................

Lisätiedot

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006, 2008 ja Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006, 2008 ja Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 26, 28 ja 21 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 26) Hans-Olav Tylli (v. 28 ja 21) Huom.: tämä

Lisätiedot

Lidskiin lause trace-luokan operaattoreille. Joona Lindström

Lidskiin lause trace-luokan operaattoreille. Joona Lindström Lidskiin lause trace-luokan operaattoreille Joona Lindström HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2012 Kari Astala

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2012 Kari Astala FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 212 Kari Astala Luentomuistiinpanot perustuvat aikaisempiin versioihin vuodelta 26 (Kari Astala

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot