B k := on tiheä G δ -joukko.

Transkriptio

1 f ( n) n 7. Tasaisen rajoituksen periaatteesta 7.1. Singulariteettien kondensaatioperiaate. Täydennetään luentomonisteessa [6, 19] esitettyjä tasaisen rajoituksen periaatetta ja Banacin ja Steinausin lausetta aluksi seuraavilla kadella lauseella (jotka löytyvät jo Banacin kirjasta [1]): Lause 7.1. Olkoot E Banacin avaruus, F normiavaruus, (T n ) n=1 jono rajoitettuja lineaarikuvauksia E F ja B := { x E lim sup T n x < }. Tällöin joko operaattorinormien jono ( T n ) n=1 on rajoitettu, jolloin B = E, tai B on sisäpisteetön F σ -joukko (ensimmäistä kategoriaa). 1 Tulos voidaan ilmaista myös muodossa: jos operaattorinormien jono ( T n ) n=1 ei ole rajoitettu, joukko E \ B = { x E lim sup T n x = } on tieä G δ -joukko (jolloin E \ B on toista kategoriaa). Todistus. Jokaiselle n, k Z + olkoot B n,k := {x E T n x k} B k := ja n Z + B n,k = {x E T n x k kaikille n Z + }. Koska jokainen T n on jatkuva, on jokainen joukko B n,k suljettu, joten myös joukot B k ovat suljettuja. Piste x B, jos ja vain jos jono ( T n x ) n=1 rajoitettu. Siis B = k Z + B k. Jos jokainen B k on sisäpisteetön, on B F σ -joukko ja monisteen [6] lemman 19.5 nojalla myös sisäpisteetön (tarkastele komplementteja). Oletetaan nyt, että jokin B k0 on sisäpisteellinen, B(x 0 ; δ) B k0. Olkoon nyt z E siten, että z < 1. Tällöin x 0 + δ z B(x 0 ; δ), joten kaikille n Z + on T n (x 0 + δ z) k 0, T n x 0 k 0 ja (1) T n z = 1 δ (T n(x 0 + δ z) T n x 0 ) 1 δ ( T n(x 0 + δ z) + T n x 0 ) 1 δ 2k 0. Siis T n 1 δ 2k 0 kaikille n Z +. Väite seuraa tästä. Lause 7.2 (Singulariteettien kondensaatioperiaate). Olkoot E Banacin avaruus, F normiavaruus ja T m,n : E F, m, n Z +, rajoitettuja lineaarikuvauksia E F siten, että jokaiselle m Z + on olemassa x m E, jolle lim sup T m,n x m =. Tällöin joukko B := { x E } lim sup T m,n x = kaikille m Z + on tieä G δ -joukko. 1 Muista: F σ -joukko on numeroituvan monen suljetun joukon ydiste. Vastaavasti G δ -joukko on numeroituvan monen avoimen joukon leikkaus. Saksan kielessä G Gebiet = alue avoin, δ Durcscnitt = leikkaus; ranskan kielessä F ferme = suljettu, σ somme = ydiste.

2 Todistus. Jokaiselle m Z + olkoon B m := { x E lim sup T m,n x < }. Oletuksen nojalla jokainen B m E. Edellisen lauseen nojalla jokainen B m on sisäpisteetön F σ -joukko, tai E \ B m on tieä G δ -joukko. Joukko E \ B m = {x E lim sup T m,n x = }, joten B = m Z + (E \ B m ) on myös tieä G δ -joukko monisteen [6] lemman 19.5 nojalla. Lause 7.3 (Banac ja Steinaus). Olkoot E Banacin avaruus, F normiavaruus ja (T n ) n=1 pisteittäin suppeneva jono rajoitettuja lineaarikuvauksia E F. Tällöin rajakuvaus T : E F, T x := lim T n x, on jatkuva lineaarikuvaus. Todistus. Rajakuvauksen T lineaarisuus seuraa kuvausten T n lineaarisuudesta. Raja-arvon T x = lim T n x olemassaolosta seuraa, että jono ( T n x ) n=1 on rajoitettu. Lauseen 7.1 joukko B on siis koko avaruus E. Edelleen, lauseen 7.1 todistuksen epäytälöstä (1) saadaan T n z M = vakio kaikille z B(0; 1) ja n Z +. Kun n, saadaan T z M kaikille z B(0; 1). Siis T on rajoitettu. Huomautus 7.4. Esimerkein on elppo näyttää, että lätöavaruuden E tulee olla täydellinen, t.s. epätäydellisen avaruuden E pisteittäin suppenevalle jonolle (T n ) n=1 B(E; F ) raja-kuvauksen ei tarvitse olla rajoitettu Jatkuvan funktion Fourier n sarja. Koska jatkuvat funktiot käyttäytyvät siististi, on melko luonnollista arvata: Jatkuvan -jaksoisen funktion f : R R Fourier n sarja suppenee koti funktion arvoa f(x) kaikille x R. Banacin ja Steinausin lauseen avulla voidaan kuitenkin osoittaa, että tämä otaksuma on väärä. Palautetaan aluksi mieleen, että integroituvan funktion f Fourier n sarjan osasummat voidaan esittää Diriclet n ytimen avulla muodossa s n (x) = n k= n c k e i k x = (f 1 D n)(x) = 1 f(x t) D n (t) dt, missä funktion f Fourier n kertoimet c k ja Diriclet n ydin D n ovat c k := 1 n f(x) e i k x dx ja D n (x) := e i k x = sin((n + 1) x) 2. sin(x/2) k= n Aiemmin Fourier n sarjoja tarkasteltaessa osoitettiin, että Diriclet n ytimille on L n := 1 D n (t) dt, kun n. Tarkastellaan nyt Fourier n osasummia funktion f funktiona. Kiinnitetään x R ja asetetaan S x,n (f) := 1 f(x t) D n (t) dt, Tällöin S x,n : C R on lineaarinen ja jatkuva, koska S x,n (f) 1 kun f on jatkuva ja -jaksoinen. f(x t) D n (t) dt 1 f D n 1. 2

3 Toisaalta, olkoon g funktio, jolle g(x t) = sign(d n (t)). Tällöin on olemassa jono (f k ) k=1 jatkuvia -jaksoisia funktioita, joille f k(x t) g(x t) melkein kaikille t ja lisäksi f k (x t) 1 (piirrä kuva). Tästä seuraa, että funktioita f k vastaaville Fourier n osasummille S x,n (f) on S x,n (f k ) 1 D n 1, kun k. Ydessä { saadaan S x,n = 1 D n 1. Koska nyt S x,n, on lauseen 7.1 joukko f C lim sup S x,n (f) = } tieä G δ -joukko, erityisesti se on epätyjä. Olkoon nyt (x j ) j Z+ [, π] annettu numeroituva pistejono, joka olkoon välin [, π] tieä osajoukko. Määritellään T m,n : C R, T m,n f := S xm,n(f). Edellisen nojalla jokaiselle m Z + on olemassa f m C siten, että lim sup T m,n f n =. Lauseen 7.2 nojalla olemassa tieä G δ -joukko B C siten, että lim sup T m,n f = kaikille m Z + ja f B. Tämä tarkoittaa, että jokaisen funktion f B Fourier n sarja ajaantuu jokaisessa pisteessä x m, m Z +. Tulosta voidaan terästää vielä niin, että on olemassa tieä G δ -joukko T [, π] siten, että jokaisen funktion f B Fourier n sarja ajaantuu jokaisessa pisteessä x T. Katso [3, 15.9], [8, 5.11, 5.12] tai [12, II.4]. Fourier n sarjojen istorian varaisina vuosina uskomus jaksollisen, jatkuvan funktion Fourier n sarjan suppenevuuteen oli varsin vava. Ensimmäisen esimerkin jatkuvasta, jaksollisesta funktiosta, jonka Fourier n sarja ajaantuu ydessä pistessä, esitti Paul du Bois-Reymond vasta vuonna Jatkuvan jaksollisen funktion Fourier n sarjan ajaantumiselle voimassa enemmän kuin mitä edellä osoitettiin: Jokaiselle nollamittaiselle joukolle T [, π] on olemassa jatkuva -jaksoinen funktio, jonka Fourier n sarja ajaantuu jokaisessa joukon T pisteessä. Katso [7, II.3] tai [9, s ] (kumpikaan konstruktio ei käytä Banacin ja Steinausin lausetta). Integroituville funktioille tilanne on vielä ikävämpi: Andrei Nikolajevits Kolmogorov konstruoi vuonna 1926 integroituvan funktion, jonka Fourier n sarja ajaantuu välin [, π] jokaisessa pisteessä. (Kolmea vuotta aiemmassa konstruktiossa sarja ajaantui m.k.). Tällaisen funktion rekonstruktio löytyy Katznelsonin erinomaisesta pikkukirjasta [7, II.3]. Neliöintegroituvan funktion Fourier n sarja suppenee L 2 -normin suteen (välitön seuraus Rieszin ja Fiserin lauseesta), joten tällaisen funktion Fourier n sarjalla on melkein kaikkialla suppeneva osasummien jono. Mutta osasummien jonon suppenevuuden perusteella koko sarjan suppenevuudesta ei vielä voida päätellä mitään. Fourier n sarjan suppenevuusongelma ratkesi vasta vuosina 1966 ja 1968, jolloin Lennart Carleson osoitti ensin tapauksessa p = 2 ja sitten Ricard A. Hunt (ei Etan) tapauksessa p > 1, että funktion f L p ([, π]) Fourier n sarja suppenee melkein kaikkialla. JY:n kirjastosta löytyy luentomoniste [5], jossa Carlesonin ja Huntin tulos todistetaan. Korvan taakse kannattaa kuitenkin laittaa Wikipedian mielipide tuloksesta: Carleson s original proof is exceptionally ard to read, and altoug several autors ave simplified te argument tere are still no easy proofs of is teorem. 2 Jean-Baptiste Josep Fourier n sarjat ja integraalit esittelevä teos Tórie analytique de la caleur on vuodelta

4 7.3. Ei-missään derivoituva funktio. Bairen kategorialauseen avulla voidaan osoittaa, että monenlaiset patologiat ovat itse asiassa tyypillisiä. Seuraavassa osoitetaan, että ei-missään derivoituvia funktioita on olemassa. Muita esimerkkejä löytyy vaikka kirjoista [10, 13.14] tai [3, 10.7]. Lause 7.5. On olemassa jatkuva funktio x: [0, 1] R, jolla ei ole derivaattaa missään välin [0, 1] pisteessä. Todistuksesta käy ilmi vielä enemmän: niiden jatkuvien funktioiden x: [0, 1] R joukko, joilla on derivaatta jossakin välin [0, 1] pisteessä, muodostavat ensimmäisen kategorian joukon avaruudessa (C([0, 1]; R), ). Tällaisia funktioita voidaan siis (ainakin kategoriateorian mielessä) pitää arvinaisina poikkeuksina. Todistus. Jokaiselle n Z + asetetaan { x(t + ) x(t) } O n := x C([0, 1]; R) sup > n t [0, 1]. 0< 1/n Tässä jokainen x C([0, 1]; R) jatketaan koko reaaliakselilla määritellyksi funktioksi vakiona välin [0, 1] ulkopuolelle, x(t) := x(0), kun t < 0, ja x(t) := x(1), kun t > 1. Väite seuraa, kun näytetään, että jokainen O n on avoin ja tieä. Tällöin nimittäin Bairen kategorialauseen (tark. [6, Lemma 19.5]) nojalla D := n Z + O n on avoin ja tieä. Lisäksi jokainen x D on ei-missään derivoituva. Osoitetaan, että O n on avoin. Olkoon x O n. Jokaiselle t [0, 1] valitaan δ t > 0 siten, että x(t + ) x(t) sup > n + δ t. 0< 1/n Edelleen on olemassa t siten, että 0 < 1/n ja x(t + t) x(t) > n + δt. t Koska x on jatkuva, on pisteellä t avoin ympäristö U t siten, että kaikille s U t on x(s + t) x(s) > n + δt. t Joukot U t, t [0, 1], muodostavat välin [0, 1] avoimen peitteen, joten siitä voidaan valita äärellinen osapeite U t1,...,u tr. Asetetaan δ := min{δ t1,..., δ tr } ja := min{ t1,..., tr }. Kun s U ti, on x(s + t i ) x(s) > n + δ. ti Olkoot 0 < ε < δ/2 ja y C([0, 1]; R) siten, että y x < ε. Osoitetaan, että y O n. Olkoon t [0, 1]. Tällöin on olemassa i siten, että t U ti. Tällöin y(t + t i ) y(t) x(t + ti ) x(t) y x 2 > n + δ 2ε/ > n. ti ti Siis O n on avoin. ti 4

5 Osoitetaan, että O n on tieä. Tätä varten olkoon O avoin joukko. Weierstrassin approksimointilauseen nojalla on olemassa polynomi p ja luku ε > 0 siten, että x p ε = x O. Olkoon y m saalaitafunktio [0, 1] [0, ε], jonka derivaatta on ±m niillä väleillä, joilla y m on derivoituva (kuvassa ε = 1 ja m = 16) Tällöin funktio x m := p + y m O. Kun m > n + p saadaan kaikille t [0, 1] ja 0 < 1/n x m(t + ) x m (t) y m(t + ) y m (t) p(t + ) p(t). Tässä jälkimmäinen itseisarvolauseke on väliarvolauseen nojalla enintään p. Siis sup x m(t + ) x m (t) m p > n, 0< 1/n joten x m O n, ja myös O n O. Siis O n on tieä. Huomautus 7.6. Edellinen todistus on lainattu kirjasta [11, Satz IV.1.5]. Oleellisesti sama todistus löytyy mm. kirjoista [12, II.4] ja [4, 17.8]. Ensimmäinen julkaistu esimerkki jatkuvasta funktiosta, jolla ei ole derivaattaa missään pisteessä, on peräisin Karl Weierstrassilta vuodelta Kirjassa [4, 17.7] alkuperäinen Weierstrassin funktio f(t) = k=0 bk cos(a k πt) osoitetaan ei-missään derivoituvaksi edoilla 0 < b < 1, a on pariton positiivinen kokonaisluku ja a b > 1 + 3π/2. Saman kodan alauomautus g(t) = 1 n=1 sin(n 2 πt) n 2 is nowere differentiable on kuitenkin vireellinen. Pitäisi olla: funktio g is not everywere differentiable. G. H. Hardy osoitti vuonna 1916, että g ei ole derivoituva irrationaalisissa pisteissä eikä tietyissä rationaalisissa pisteissä. Vasta vuonna 1970 Josep L. Gerver osoitti, että jos t = n/m, missä n ja m ovat parittomia kokonaislukuja, niin g on derivoituva pisteessä t, ja että muualla g ei ole derivoituva. Lisäksi än osoitti, että derivoituvuuspisteissä g (t) = 1/2. Kirjassa [9, C. 4/Example 4.8] osoitetaan, että B. L. van der Waerdenilta vuodelta 1930 peräisin oleva funktio f(x) = n=1 4 n φ(4 n x), missä φ on 4-jaksoinen funktio, jolle φ(x) = x, kun x 2, on ei-missään derivoituva. Tämä saalaitafunktioon perustuva funktio on ieman elpompi osoittaa ei-missään derivoituvaksi kuin alkuperäinen Weierstrassin funktio, vaikkakin Weierstrassin funktion ei-derivoituvuus on yllättävämpi: jokainen osasumma on differentioituva. Kirjassa [7, V.1] ei-missään derivoituva funktio etsitään Fourier-sarjojen, erityisesti lakunaaristen sarjojen avulla. Jono (λ n ) n N on lakunaarinen, jos on olemassa vakio q > 1 siten, että λ n+1 > q λ n kaikille n. Jos jono (λ n ) n on lakunaarinen ja 5

6 n=1 a n cos(λ n t) on derivoituva jossakin pisteessä, niin a n λ n 0, kun n. Erityisesti siis funktio n=1 2 n cos(2 n t) on ei-missään derivoituva. On yvä uomata, että sarja 1 n=1 sin(n 2 π t) ei ole lakunaarinen. n 2 Kirjallisuutta [1] Stefan Banac : Téorie des opérations linéaires, Monografje Matematyczne Tom I, 1932 (Celsea Publising Company 1955). [2] Haïm Brezis : Analyse fonctionelle. Téorie et applications, 2 e tirage, Matématiques appliqueés pour la maîtrise, Dunod, Première édition, Masson, Engl. käännös Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Universitext, Springer, [3] Andrew M. Bruckner, Judit B. Bruckner ja Brian S. Tomson: Real analysis, second edition, ClassicalRealAnalysis.com, [4] Edwin Hewitt ja Karl Stromberg: Real and abstract analysis. A modern treatment of te teory of functions of a real variable, kolmas painos, Graduate Texts in Matematics 25, Springer-Verlag, [5] Ole G. Jørsboe ja Leif Mejlbro: Te Carleson-Hunt teorem on Fourier series, Lecture notes in matematics 911, Springer, [6] Lauri Kaanpää: Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua osa II, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, [7] Yitzak Katznelson: An introduction to armonic analysis, Dover Publications, Inc., 1976; alunperin Jon Wiley & Sons Inc., [8] Walter Rudin: Real and complex analysis, toinen laitos, Tata McGraw-Hill, [9] Karl Stromberg: An introduction to classical real analysis, Wadswort International Matematics Series, [10] Brian S. Tomson, Judit B. Bruckner ja Andrew M. Bruckner: Elementary real analysis, second edition, ClassicalRealAnalysis.com, [11] Dirk Werner: Funktionalanalysis, 4., überarbeitete auflage, Springer, [12] Kôsaku Yosida: Functional analysis, neljäs laitos, Grundleren der matematiscen Wissenscaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksictigung der Anwendungsgebiete Band 123, Springer-Verlag, Kirjan kuudes laitos vuodelta 1980 uudelleenjulkaistu sarjassa Classics in Matematics,