Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen

Transkriptio

1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 26 Kari Astala ja Petteri Piiroinen Sopivaa oheis- ja lisälukemistoa tarjoavat esimerkiksi seuraavat oppikirjat: * D. Werner, Funktionalanalysis. Springer. (hyvä yleiskirja, saksankielinen) * B. Bollobás, Linear Analysis Cambridge Univ. Press, (ytimekäs yleiskirja) * W. Rudin, Real and Complex Analysis (3. painos), McGraw-Hill, (luvut 3-5, ei kata koko kurssia) * A. Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover, (tiivis yleiskirja, myös mittateoriaa ja reaalianalyysia) * W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, (erilainen, laaja yleiskirja) * J. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 199. (yleiskirja) * I. J. Maddox, Elements of Functional analysis, Cambridge University Press, 1977

2 Sisältö. Johdanto 1 1. Metriikka ja metrinen avaruus 4 2. Normi ja normiavaruus 7 l p -avaruudet 13 Lineaariset operaattorit 2 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus 25 Vektoriarvoisista sarjoista 32 L p -avaruudet 36 Banachin kiintopistelause (epälineaarinen FA) Hilbertin avaruudet 51 Ortogonaaliset projektiot 61 Ortonormaalit kannat Fourier-sarjat 73 Yhteenveto (Fourier-sarjojen L 2 -teoriasta) 81 Sobolev-avaruudet 83 Sovelluksista differentiaaliyhtälöihin Lineaariset operaattorit 96 Neumannin sarja Tasaisen rajoituksen periaate 18 Banach Steinhausin lauseen sovelluksia Fourier-sarjoihin Avoimen kuvauksen lause 116 Sovellus Fourier-analyysiin Dualiteetti 128 Hilbertin avaruuden duaali 131 Hahn Banachin lause 133 Bilineaarimuodot ja Lax Milgramin lause 14 Biduaali Transpoosi ja adjungaatti 146 Adjungaatti 147

3 KORJATTUJA PAINOVIRHEITÄ: s. 6, Propositio 1.4 nimetty lauseeksi 1.4 s. 7. Esimerkejä ja s. 13, Esimerkki (2); pitää lukea: P = {p(z) = n k= a kz k : a k C, n N} s. 8, rivi -3, pitää olla: f := sup t A f(t) s. 9, s.1 ja s.12, l i nfty pitää olla l s. 14 Hölderin epäyhtälön viimeiseen normiin lisätty eksponentti 1/q s. 39 katkelma... modulo Y korvattu katkelmalla... modulo M 4. rivillä ennen kaavaa (3.28) s. 46 rivit 9 ja 1: pitää olla λ < 1/ K s. 39 Hölderin epäyhtälössä pitää olla g(x) q s. 35 kaava (3.39): vaihdettu c k. s. 53 rivi -11 Lause 4.2 vaihdettu Schwarzin epäyhtälöksi s. 54 rivi 8 9 poistettu lause tai Cauchy... sivulla 52.

4 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia. (joskus myös yleisempien topologisten vektoriavaruuksien ominaisuuksia). näiden välisten jatkuvien lineaaristen (tai epälineaaristen) kuvausten ominaisuuksia. edellisten kohtien monia eri sovelluksia. Yritämme seuraavan esimerkin kautta selvittää, miksi tällaisia kysymyksiä tutkitaan, ja samalla myös millaisia sovelluksia funktionaalianalyysillä tyypillisesti on. Esimerkki: Tarkastellaan integraaliyhtälöä (.1) f(x) λ 1 K(x, s)f(s)ds = g(x), x [, 1], missä g : [, 1] R ja K : [, 1] [, 1] R ovat jatkuvia. Tehtävänä on löytää funktio f, jolle yhtälö (.1) pätee. Käy ilmi että i) jos parametri λ on pieni, yhtälön ratkaisu olemassa ja yksikäsitteinen; toisaalta ii) kaikilla λ :illa näin ei välttämättä ole; herää siis kysymys mitä voidaan sanoa näistä poikkeuksellisista parametreista. Tällaisiin kysymyksiin päädytään esimerkiksi monissa fysiikan kysymyksissä, vaikkapa viulun kielen ominaisvärähtelyjä määrättäessä. Itse asiassa, yksi matemaattisen fysiikan keskeisistä kysymyksistä 19 luvun taitteessa oli selittää miksi ominaisvärähtelyjen joukko (so. poikkeusparametrien joukko) on diskreetti; kysymys palautui differentiaaliyhtälöiden kautta tyyppiä (.1) oleviin yhtälöihin. Huomaa että funktio K(x, s) voi olla hyvinkin monimutkainen, eikä yhtälön suora integrointi, tavalla tai toisella, voi tulla kysymykseen; korkeintaan voimme hakea numeerisia ratkaisuja, kunhan yhtälöt kunnolla ymmärretään. Miten yhtälöitä (.1) voisi silloin lähestyä?

5 2 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Tilanteen selvittämistä varten identifioidaan ensin (mahdollisten) ratkaisujen avaruus; luonnollinen arvaus on seuraava vektoriavaruus joka esiintyy jo Analyysi I:ssä (entisessä Differentiaali- ja integraalilaskenta I.1:ssä), C(, 1) = { f : [, 1] R : f jatkuva välillä [, 1] } Avaruuteen liittyy luonnollinen etäisyyden mitta, eli normi (tästä myöhemmin paljon lisää): f = sup f(t) <, f C(, 1). t [,1] Pari ( C(, 1), ) tulee olemaan tyypillinen esimerkki Banachin avaruudesta. Yhtälöön (.1) liittyy operaattori T : C(, 1) C(, 1), (T f)(x) = 1 K(x, s)f(s)ds Huomataan, että tämä on avaruuden C(, 1) luonnollisen yhteenlaskun suhteen lineaarinen, so. T (λ 1 f + λ 2 g) = λ 1 T (f) + λ 2 T (g) f, g C(, 1) Lisäksi, yhtälö (.1) voidaan kirjoittaa muotoon f λ T (f) = g Kysymys on siis siitä, onko lineaarinen operaattori I λt kääntyvä (bijektio)! Integraaliyhtälömme on nyt muuttunut lineaarisen operaattorin ominaisarvotehtäväksi, ja ratkaisua varten meidän tulee kehittää lineaarialgebrallisia menetelmiä vektoriavaruuksissa kuten C(, 1). Nopeasti havaitaan kuitenkin selvä pulma: vektoriavaruus C(, 1) on ääretönulotteinen! Ei siis ole ollenkaan selvää mitkä/millä ehdoin lineaarialgebran tulokset yleistyvät näihin uusiin avaruuksiin. Tai mitä operaattoreilta vaaditaan, että lineaarialgebran ominaisarvotehtävät yleistyvät näihin ääretönulotteisiin tilanteisiin. Funktionaalianalyysi pyrkii vastaamaan tämän tyyppisiin kysymyksiin, kehittämään ääretönulotteisten avaruuksien teoriaa silmälläpitäen esim. yllä kuvatun kaltaisia sovelluskohteita. Tällä kurssilla selvitämme Banach avaruuksien perusominaisuudet, keskeisimmät esimerkit (funktio- yms.)avaruuksista sekä myös Banach avaruuksien operaattoreiden perusominaisuudet. Pyrimme myös antamaan esimerkkejä teorian sovelluksista, ja tulemme mm. osoittamaan yo. väitteen i); jos aika riittää kurssin loppupuolella voidaan myös tarkastella kysymystä ii).

6 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3 Sana funktionaali tarkoitti alunperin (noin ) sellaista jatkuvaa kuvausta, jonka määrittelyjoukko on jokin funktioavaruus ; tyypillisesti ϕ: C(, 1) R, ϕ(f) = φ: C(, 1) R, φ(f) = 1 1 f(s) ds, f(s) 2 ds tai (epälineaarinen funktionaali). Nyttemmin termin käyttö on hieman muuttunut, kuten myöhemmin huomaamme. Funktionaalianalyysin sovellusaloja ovat muun muassa (muu) klassinen analyysi (reaali-, kompleksi- ja harmoninen analyysi) variaatiolaskenta ja approksimaatioteoria differentiaali- ja integraaliyhtälöt (TDY,ODY) matemaattinen fysiikka (kvanttimekaniikka,... ) dynaamiset systeemit optimointi numeerinen analyysi (teoria) tn-teoria ja stokastiikka. Kääntäen, analyysi ja sen sovellukset synnyttävät jatkuvasti uusia funktionaalianalyysin tutkimuksia.

7 4 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Metriikka ja metrinen avaruus 1.1. Määritelmä. Olkoon X joukko. Kuvaus d : X X R + on metriikka X:ssä, jos (M1) (M2) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) kaikilla x, y, z X ( kolmioepäyhtälö ) d(y, x) = d(x, y) kaikilla x, y X (M3) d(x, y) = x = y (Huom: d(x, y) kaikilla x, y X) Sanomme, että (X, d) eli joukko X varustettuna metriikalla d, on metrinen avaruus (yleensä jätetään d merkitsemättä, jos se selviää yhteydestä). Huomautus. (1) Funktionaalianalyysin peruskurssilla metriikka d on (yleensä) jonkin normin indusoima (vrt. luku 2). (2) Kuvaus d : X X R + on semimetriikka, jos d toteuttaa aksiomat (M1), (M2) sekä aksioman (M4) d(x, x) = kaikilla x X. Merkintöjä: Olkoon (X, d) metrinen avaruus, x X, r > : B(x, r) = { y X : d(x, y) < r } avoin x-keskinen, r-säteinen pallo B(x, r) = { y X : d(x, y) r } suljettu x-keskinen, r-säteinen pallo. X r x B(x, r) Kuva 1. Avoin pallo B(x, r) metrisessä avaruudessa (X, d) Oletamme, että lukija on tutustunut metristen avaruuksien perusteisiin (vrt. esim. [Väisälä : Topologia I]). Lukijan tulisi kerrata mitä metrisissä avaruuksissa tarkoittavat käsitteet avoin joukko, suljettu joukko ja kompakti joukko; samoin mitä tarkoitetaan ympäristöllä, ympäristökannalla, aliavaruudella, suppenevalla pistejonolla, jatkuvalla kuvauksella,...

8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5 Muistamisen helpottamiseksi listaamme alla lyhyesti eräitä näistä käsitteistä. Olkoon (X, d) metrinen avaruus: avoimet ja suljetut joukot: joukko A X on avoin jos jokaista x A vastaa sellainen r = r x >, että avoin pallo B(x, r) A A X on suljettu jos komplementti A = { x X : x / A } on avoin metriikan indusoima topologia on joukkoperhe τ d = { A X : A on avoin X:ssä }. ympäristökanta, relatiivitopologia jonon raja-arvo ja suppeneminen: jono (x n ) X suppenee kohti x X, jos d(x n, x) n Siis jokaista ε > vastaa sellainen n ε N, että d(x n, x) < ε kaikilla n n ε. Merkintä: x n n x tai lim x n = x. n jatkuva kuvaus : Olkoot (X, d) ja (Y, d ) metrisiä avaruuksia. Kuvaus f : X Y on jatkuva pisteessä x X, jos jokaista ε > vastaa sellainen δ = δ(x, ε) >, että d (f(x), f(y)) < ε aina kun d(x, y) < δ (ja y X). f on jatkuva X:ssä jos f on jatkuva jokaisessa pisteessä x X. kompakti joukko (Heine-Borel,... ) 1.2. Esimerkki. R n varustettuna euklidisella metriikalla n d(x, y) = x j y j 2 = x 1 y x n y n 2, j=1 kun x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n. (erikoistapaus n = 1 : d(x, y) = x y, x, y R). Kuvaus d on metriikka : TopoI, DII (tai myöhemmin avaruuden l p yhteydessä). Kun n = 2 ja x = (x 1, x 2 ), niin y = (y 1, y 2 ) B ( x, r ) jos ja vain jos (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 < r 2. Metrinen avaruus (X, d) on separoituva, jos on olemassa numeroituva osajoukko A X, niin että joukon A sulkeuma Ā = X. Sanomme myös, että A

9 6 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI (x 1,x 2) r Kuva 2. Avoin tason R 2 pallo B((x 1, x 2 ), r) on tiheä X:ssä. Sulkeuma voidaan kuvailla metriikan d avulla: jos A X, niin A:n sulkeumalle Ā on x Ā on olemassa sellainen jono (x n) A, että d(x n, x) n. Separoituvuusehto Ā = X tarkoittaa siis: jos y X ja ε > ovat mielivaltaisia, niin on olemassa sellainen alkio x A, että d(x, y) < ε Esimerkki. (R n, d) on separoituva, kun d on euklidinen etäisyys. Todistus. Jos x = (x 1,..., x n ) R n ja ε > on annettuja, niin valitaan jokaisella j {1,..., n} sellainen rationaaliluku q j Q, että x j q j < ε, j = 1,..., n, n mikä on mahdollista, sillä Q = R. Tällöin q = (q 1,..., q n ) Q Q = Q n, joka on numeroituva (Q on numeroituva) ja n d(x, q) = x j q j 2 < n ε2 }{{} n = ε. j=1 < ε2 n 1.4. Lause. Olkoon X metrinen avaruus ja oletetaan, että on olemassa ylinumeroituva kokoelma U avaruuden X avoimia pistevieraita epätyhjiä osajoukkoja. Silloin X ei ole separoituva. Todistus. Vastaoletus: Oletetaan, että X on separoituva. Tällöin X = A, missä A = {a 1, a 2,... } numeroituva. Jos U U, niin U X on avoin ja epätyhjä. Siispä löytyy sellainen n U N, että a nu U. Saadaan siis kuvaus α: U N, α(u) = n U. Näin saatu kuvaus α on injektio, sillä jos U, V U ja U V, niin U V =. Tämä seuraa, sillä oletuksen nojalla U on pistevieras kokoelma. Siispä jos a nu a nv, niin n U n V, joten kuvaus α on injektio. Tästä kuitenkin seuraisi, että U on numeroituva, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa.

10 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet, mutta kompleksikertoimiset avaruudet määritellään täysin analogisesti: Avaruudessa E on yhteenlaskun x + y lisäksi annettu skalaarillla kertominen (λ, x) λx, kuvaus C E E, joka toteuttaa ehdot λ(x + y) = λx + λy, λ(µx) = (λµ)x ja (λ + µ)x = λx + µx kaikilla vektoreilla x, y E ja skalaareilla λ, µ C. Useimmiten kurssin tulokset ja käsitteet toimivat täysin samoin molemmille skalaarikunnan valinnalle, R tai C, ja käytämme silloin skalaarikunnalle merkintää K. Jos skalaarikunta pitää spesifioida, siitä huomautetaan erikseen. Esimerkkejä. C n = {x = (x 1,..., x n ) : x j C} on C-kertoiminen vektoriavaruus. Sellainen on myös kompleksisten polynomien avaruus P = {p(z) = n a k z k : a k C, n N} k= Dimensio: Kerrataan ensin lineaarialgebran käsitteitä. Jos A E, sen virittämä E:n vektorialiavaruus on n (2.1) span(a) = { λ k x k : x k A, λ k K} k= Lineaarialgebrasta muistetaan myös että vektorijono x 1,..., x n E on lineaarisesti riippumaton eli vapaa, jos λ 1 x 1 + λ n x n = λ 1 = = λ n = Honkasalon monisteen Lineaarialgebra I sivulla 5 on todistettu seuraava tulos, jonka oletamme tunnetuksi: Vektoriavaruus E on äärellisulotteinen (so. äärellisen vektorijoukon virittämä) jos ja vain jos E:n vapaiden jonojen pituudet ovat ylhäältä rajoitetut, so. on luku M < niin että jokaisessa E:n vapaassa joukossa on korkeintaan M vektoria. Muistetaan vielä, että äärellisulotteisen avaruuden E dimensio dim(e) on E:n kannan (so. vapaan virittäjäjoukon) lukumäärä; tämä lukumäärä on kannasta riippumaton luku.

11 8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Tämä kaikki toimii myös kun kerroinkuntana on C. Esimerkiksi yllä C n on äärellisulotteinen (tarkemmin, n-ulotteinen), kun taas P on ääretönulotteinen: Vektorit z n, n N, muodostavat vapaan joukon (Miksi?) ja koska tuo joukko on ääretön, yo. tuloksen nojalla dim(p) =. Keskeinen idea Funktionaalianalyysissä on tuoda hyödyllisiä struktuureja funktioiden muodostamiin vektoriavaruuksiin erilaisten normien avulla Määritelmä. Kuvaus p : E R + on normi E:ssä, jos (N1) (N2) (N3) p(x + y) p(x) + p(y) kaikilla x, y E ( kolmioepäyhtälö ) p(ax) = a p(x) kaikilla x E, a K ( homogeenisuus ) p(x) = x = (nolla-alkio E:ssä) Tavallisesti merkitään p(x) = x. Paria (E, ) eli vektoriavaruutta E varustettuna normilla sanotaan normiavaruudeksi. Huomautus. (1) normi edellyttää, että määrittelyjoukko E on lineaariavaruus: x + y E kun x, y E ja ax E kun x E, a K. (2) Kuvaus p : E R + on seminormi E:ssä, jos p toteuttaa ehdot (N1) ja (N2). 1 Tällöin p( ) = p( ) = p( ) =, ja { x E : p(x) = } on avaruuden E vektorialiavaruus ehtojen (N1) ja (N2) nojalla Esimerkkejä. n (1) x 2 = j=1 x 2 j = x x x 2 n, x = (x 1,..., x n ) R n on avaruuden R n euklidinen normi, kun n = 1, 2,.... Ehdot (N1)-(N3) toteutuvat; katso Topo I. Hieman myöhemmin tämä todistetaan myös erikoistapauksena yleisemmän avaruuden l p yhteydessä. (2) Kun A on (m.v.) joukko, asetetaan B(A, K) := { f : A K : f := sup f(t) < }. t A Tämä on rajoitettujen kuvausten A K avaruus. Helposti nähdään, että f on normi: 1 tämä yleisempi käsite on joskus tarpeen; tällä kurssilla suhteellisen harvoin

12 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 9 Perustelu. Olkoon f, g B(A, K) ja t A. Tällöin (f + g)(t) = f(t) + g(t) ey sup yli = t A f(t) + g(t) määr. f + g = sup (f + g)(t) f + g t A eli ehto (N1) on voimassa. Olkoon a R vakio. Tällöin f + g (af)(t) = af(t) = a f(t) sup yli t:n af = a f eli myös ehto (N2) on voimassa. Koska f = sup f(t) = f(t) = t A t A f on -funktio niin myös (N3) toteutuu. (3) Myös R n :ssä tai C n :ssä voidaan määritellä normi edellisen kohdan erikoistapauksena: tällöin A = {1,..., n}, jolloin saadaan normi x := sup( x 1,..., x n ), missä x = (x 1,..., x n ) K n. Vaikka tämä normi antaa entisen topologian, sup-normin geometria on hieman erilainen. Esimerkiksi dimensiossa n = 2 avaruuden E = (R 2, ) yksikköpallo B E = {x : x 1} näyttää seuraavalta: y (, 1) (1, ) x Kuva 3. Pallo B E avaruudessa E = (R 2, ) (4) Toinen erikoistapaus (2)-kohdasta saadaan, kun A = N. Tällöin merkitään l := B(N, K) = { (x n ) n= : x n K, x = sup x n < }. n Koska vektorit e n = (,,...,, }{{} 1,,...) l ovat lineaarisesti n:s riippumattomia (Miksi?), on dim(l ) =.

13 1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Seuraavaksi osoitetaan pari normin perusominaisuutta, joista seuraavan lauseen (2)-kohta liittää normiavaruudet metrisiin Lause. Olkoon (E, ) normiavaruus. Tällöin (1) kaikilla x, y E on voimassa x y x y eli ns. ey alaspäin. Erityisesti, kuvauksena normi x x on tasaisesti jatkuva E:ssa (2) kuvaus d: E E R +, d(x, y) := x y on metriikka avaruudessa E. Erityisesti x = d(x, ), x E. Todistus. (1) (vrt. Topo I, D II) Olkoon x, y E. Tällöin x = x y + y ey = x y x y x y + y symm = y x y x (N2) = x y = x y x y (2) (vrt. Topo I) kaikilla x, y, z E on voimassa d(x, z) = x z = x y + y z (N1) x y + y z = d(x, y) + d(y, z), joten (M1) toteutuu. Ehto (M2) seuraa välittömästi ehdosta (N2). Edelleen d(x, y) = x y = (N2) x y = x = y, joten myös (M3) on voimassa. Metrisinä avaruuksina funktioavaruudet voivat olla melko suuria, esimerkkinä olkoon vaikkapa l, joka ei ole edes separoituva (vrt. Harjoitukset). Useille käytännössä eteen tuleville funktioavaruuksille separoituvuus toisaalta pätee; myöhemmin osoitamme tämän esimerkiksi C(, 1):lle.

14 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 11 Normiavaruuden luonnolliset rakenteet ovat yhteensopivat, toisin sanoen: 2.5. Lause. Normiavaruudessa (E, ) ovat kuvaukset ψ 1 : E E E, ψ 1 (a, b) := a + b ja ψ 2 : K E E, ψ 2 (λ, a) := λa jatkuvia. Todistus. Harjoitukset 1. Huomautus. Normiavaruuden E metriikka on siirto- eli translaatioinvariantti: on siis voimassa, että d(x + a, y + a) = d(x, y) kaikilla x, y, a E Tästä sekä ominaisuudesta (N2) seuraa, että A E on avoin (vast. suljettu, kompakti) joss x +A ja λa ovat avoimia (vast. suljettuja, kompakteja), missä λ K \ {} ja x E ovat mielivaltaisia. Samoin joukko U E, joka sisältää pisteen x on pisteen x ympäristö joss U x on nolla-alkion ympäristö. Pistejono (x n ) n= E suppenee alkioon y E joss x n y kun n avaruudessa E. Edellä käytimme merkintöjä x + A = { x + y : y A } E, λa = { λx : x A } Samoin määritellään, kun A E, B E ja Λ K, A + B = { x + y : x A, y B }, ΛA = { λx : λ Λ, x A } Huomautus. Monet funktioavaruuksien konvergenssikäsitteistä voidaan kuvata normin avulla (ja kääntäen, normi antaa konvergenssikäsitteen): 2.6. Esimerkkejä. (1) Kun avaruus C(, 1) = {f : [, 1] K jatkuva } varustetaan tavallisella normillaan f = sup t [,1] f(t), pätee f n f kun n f n (x) f(x) tasaisesti joukossa [, 1]

15 12 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI (2) Toisaalta C(, 1):ssä voidaan määritellä myös normi f 1 = 1 f(t) dt. (Selvitä itsellesi miksi 1 on normi C(, 1):ssä!). Nyt pätee lim f n f 1 = n 1 f n (t) f(t) dt f n (x) f(x) keskimäärin Esimerkiksi, jos f n (x) = x n, niin f n keskimäärin eli normin 1 mielessä, sillä f n 1 = 1. Toisaalta jono ei konvergoi sup-normin n+1 mielessä nollaan, sillä f n = 1 jokaisella n N. Annetuista normiavaruuksista saadaan muodostettua uusia avaruuksia monella eri tavalla. Tulemme jatkossa näkemään tästä useitakin esimerkkejä. Aloitamme seuraavalla yksinkertaisella periaatteella Lause. Jokainen normiavaruuden (E, ) vektorialiavaruus F on normiavaruus (E:n indusoimalla normilla varustettuna) Esimerkkejä. (1) Voimme esimerkiksi valita E = B([, 1], K), jolla on aliavaruutena jatkuvien funktioiden avaruus F = C(, 1). (2) Olkoon sitten E = l ; seuraavat jonoavaruudet ovat sen vektorialiavaruuksia. c := { x = (x n ) n= : x n K, lim x n on olemassa, kun n }, c := { x = (x n ) n= : x n K, lim x n = }. Molemmissa normina toimii siis x = sup n x n. Joskus voi olla hyödyllistä muuttaa normia, ilman että sen määräämä topologia tai konvergenssi muuttuu. Tämä idea johtaa seuraavaan käsitteeseeen Määritelmä. Vektoriavaruuden E normit 1 ja 2 ovat ekvivalentteja, jos on olemassa vakiot C 1, C 2 >, joille C 1 x 1 x 2 C 2 x 1 x E 2.1. Lause. Olkoot 1 ja 2 ekvivalentteja normeja avaruudessa E. Tällöin ne määrittelevät avaruudessa E samat avoimet ja suljetut joukot (eli ne määrittävät saman topologian). Todistus. Harjoitukset 1

16 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Esimerkki. (1) Helposti nähdään, että C n :n normit n x 2 = x j 2 = x x x n 2 j=1 ja x = max 1 j n x j, x = (x 1,..., x n ) C n ovat ekvivalentit; jätämme lukijan tarkastettavaksi arviot x x 2 n x, jotka pätevät jokaisella x C n. Itse asiassa, tulemme myöhemmin näkemään, että äärellisulotteisen vektoriavaruuden kaikki normit ovat ekvivalentit. (2) Olkoon P = {p(z) = n k= a kz k : a k C, n N} polynomien muodostama vektoriavaruus. Tällöin esimerkiksi p 1 = n k= a k ja p 2 = max a k k ovat hyvin määriteltyjä (Miksi?) normeja (Miksi?) avaruudessa P. Normit eivät ole kuitenkaan ekvivalentteja: jos p n (z) = n k= zk, niin jokaisella n, p n 2 = 1 mutta p n 1 = n. Koska tässä n voidaan valita mielivaltaisen suureksi, normit ovat epäekvivalentit Esimerkki. Merkitään C k (, 1) = { f : [, 1] K : f, f,..., f (k) ovat jatkuvia välillä [, 1] }, kun k N. Normit ja f = sup f = j k t 1 k j= sup f (j) (t) sup t 1 f (j) (t) ovat ekvivalentteja avaruudessa C k (, 1), minkä todistus jää harjoitustehtäväksi. l p -avaruudet Normiavaruudet l, c ja c ovat esimerkkejä klassisista Banachin avaruuksista. Mainitsemme vielä esimerkkinä avaruuden l 1 = { x = (x n ) n= : x 1:= x n < }, n=

17 14 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI joka on itseisesti tai absoluuttisesti suppenevien lukujonojen avaruus. Myös tässä 1 on helppo todistaa normiksi. Vaikeammin käsiteltäviä esimerkkejä ovat muut ns. l p -avaruudet, joita nyt ryhdymme määrittelemään Määritelmä. Olkoon 1 p <. Tällöin ( l p := { x = (x n ) n= : x ) 1 p:= x n p p < }. n= Seuraavassa p ja q ovat reaalilukuja, jotka täyttävät ehdot: p > 1, q > 1 ja 1 p + 1 q = 1. Sanomme lukuja p ja q toistensa duaalieksponenteiksi. Esimerkiksi p = q = 2 tai p = 7, q = 7 ovat duaalieksponenttipareja. Edelleen on voimassa, että 6 q = ja p + q = pq. p p Lemma. Jos a, b ja p ja q ovat duaalieksponentteja, niin (2.15) ab ap p + bq q. Todistus. Jos a = tai b =, niin (2.15) on voimassa. Voimme olettaa: a, b >. Merkitään ϕ(t) = tp p + t q q, kun t >. Tällöin ϕ (t) = t p 1 t q 1, joten ϕ (t) <, kun < t < 1 ja ϕ (t) >, kun t > 1. Siispä ϕ saa pienimmän arvonsa, kun t = 1, eli kaikilla t > 1 = ϕ(1) ϕ(t) = tp p + t q q. Sijoitetaan t = a 1/q b 1/p, jolloin saadaan 1 ap/q pb + bq/p qa, sillä p q + 1 = p ja q p + 1 = q. ab ap/q+1 p + bq/p+1 q = ap p + bq q, Lause (Hölderin epäyhtälö jonoille). Olkoot 1 < p, q < siten, että = 1. Tällöin 1 p + 1 q (H) x k y k ( x k p ) 1 p ( y k q ) 1 q

18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 15 kaikilla jonoilla (x k ) l p, (y k ) l q (tässä x k, y k K kaikilla k ja K = R tai K = C). Siis (x k y k ) 1 (x k ) p (y k ) q, ja erityisesti (x k ) l p, (y k ) l q = tulojono (x k y k ) l 1. Huomautus. Kun epäyhtälöön (H) sijoitetaan luvut, jotka toteuttaa lisäehdot = x k = y k kaikilla k > n, saadaan erikoistapauksena äärellinen versio Hölderin epäyhtälöstä: n n n x k y k ( x k p ) 1 p ( y k q ) 1 q kun (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) K n ja n = 1, 2, 3,... Todistus. (Epäyhtälölle (H)): Merkitään A = ( x k p ) 1 p = (xk ) p, B = ( y k q ) 1 q = (yk ) q, jolloin A, B. Jos A = tai B =, niin x k = kaikilla k N tai y k = kaikilla k N. Tällöin (H) on ilmeinen, sillä vasen puoli =. Voidaan siis olettaa: A >, B >. Kiinnitetään k N ja sovelletaan Lemmaa 2.14, kun a = x k ja b = y k. Saadaan A B x k A y k B 1 p x k p + 1 A p q y k q B, q mikä on voimassa kaikilla k N. Summataan edelliset muuttujan k suhteen, jolloin 1 x k x k y k = AB A y k B 1 x k p + 1 y k q p A p q B q = 1 p 1 x A p k p + 1 q 1 y B q k q = 1 p + 1 q = 1, } {{ } =A p } {{ } =B q joten kertomalla AB:llä puolittain, saadaan x k y k AB = (x k ) p (y k ) q.

19 16 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Hölderin erikoistapauksella p = q = 2 on oma nimitys ja merkitys (vrt. Hilbertin avaruudet, luku 4) Seuraus (Schwarzin epäyhtälö). Jos x = (x k ), y = (y k ) l 2, niin (S) x k y k ( x k 2 ) 1 2 ( y k 2 ) 1 2 = x 2 y 2 kaikilla jonoilla (x k ), (y k) l2. Lisäksi äärellisten jonojen erikoistapauksessa saadaan (S ) n n n x k y k ( x k 2 ) 1 2 ( y k 2 ) 1 2 kaikilla luvuilla x 1,..., x n, y 1,..., y n K ja kaikilla n N. Erityisesti, Schwarzin epäyhtälö takaa että avaruudessa l 2 bilineaarimuoto < x, y > = x k y k, x = (x k ), y = (y k ) l 2 on hyvin määritelty. Tämä antaa l 2 :een sisätulon struktuurin; tulemme näkemään Hilbertin avaruuksia koskevassa osaluvussa, että sisätuloavaruuksilla on monia poikkeuksellisen hyviä ominaisuuksia. Hölderin epäyhtälön avulla voimme osoittaa, että l p -normit toteuttavat kolmioepäyhtälön; saatua arviota sanotaan (usein) Minkowskin epäyhtälöksi Lause (Minkowskin epäyhtälö). Olkoon 1 < p <. Tällöin (M) ( x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p + ( y k p ) 1 p kaikilla jonoilla (x k ), (y k) lp. Erityisesti: Kun (x k ) l p, (y k ) l p, niin summajono (x k + y k ) l p, joten l p on siis vektoriavaruus. Valitsemalla x k =, y k = kun k n + 1 saadaan äärellinen versio: (M ) ( n n n x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p + ( y k p ) 1 p kaikilla luvuilla x 1,..., x n, y 1,..., y n K.

20 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 17 Todistus. Olkoon 1 < q < sellainen, että p = 1 (eli siis q = ). p q p 1 Hölderin epäyhtälön (H) ja K:n kolmioepäyhtälön avulla saadaan x k + y k p = x k + y k p 1 x k + y k }{{} x k + y k x k x k + y k p 1 + y k x k + y k p 1 (H) ( x k p ) 1 p ( x k + y k q(p 1) ) 1 q + ( y k p ) 1 p ( x k + y k q(p 1) ) 1 q. Koska q(p 1) = p, niin edellinen epäyhtälö. voidaan kirjoittaa muodossa (x k + y k ) p p ( ) (x k ) p + (y k ) p ( x k + y k p ) 1 q. Jakamalla saatu epäyhtälö puolittain termillä ( x k + y k p ) 1 q = (x k + y k ) p/q p ja käyttämällä identiteettiä p p/q = 1, saadaan (x k + y k ) p = (x k + y k ) p p/q p (x k ) p + (y k ) p, joka on tarkalleen etsitty Minkowskin epäyhtälö (M). Lisäys yllä olevaan todistukseen: Edellisessä todistuksessa on pieni ongelma; viimeisessä vaiheessa tehty jakaminen on mahdollista vain, jos < x k + y k p <. Pulman korjaamiseksi huomataan: Jos x k + y k p =, niin väite (M) on triviaali. Voidaan siis olettaa x k + y k p >. Epäyhtälöä x k + y k p < varten käytetään arviota ( ) a + b p ( a + b ) p (2 max{ a, b }) p 2 p ( a p + b p ), mikä on voimassa kaikilla a, b K. Kun sijoitetaan a = x k, b = y k epäyhtälöön ( ) ja summataan yli muuttujan k saadaan x k + y k p 2 p ( x k p + y k p ) <, koska (x k ), (y k ) l p. Näin Lause 2.19 on saatu täydellisesti todistetuksi.

21 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Huomautus. Erikoistapauksessa p = 2 äärellisiä jonoja koskeva epäyhtälö (M ) on itse asiassa tuttu kolmioepäyhtälö kotiavaruuden K n euklidiselle normille (DII, Topo I), sillä x 2 = x x n 2, kun x = (x 1,..., x n ) K n, n = 1, 2,... Kootaan yhteen edelliset tulokset (tapaukset p = 1 tai käsiteltiin aikaisemmin) seuraavaksi tärkeäksi lauseeksi l p -avaruuksista Lause. (l p, p ) on normiavaruus kun 1 < p <. Todistus. Jos x = (x k ) l p, y = (y k ) l p niin x + y = (x k + y k ) ja Minkowskin epäyhtälön 2.19 mukaan x + y p = ( x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p + ( y k p ) 1 p = x p + y p (ja erityisesti x + y l p ). Siis (N1) pätee. Koska ax p = ( ax k p ) 1 p = a ( x k p ) 1 p = a x p, kun x = (x k ) l p, a K, niin myös homogeenisuusehto (N2) on voimassa. Edelleen = (x k ) p = ( x k p ) 1 p ) = xk = k N = (x k ) = (,,...) =, joten myös (N3) toteutuu. Huomautus. l p -avaruuksien välillä pätevät seuraavat sisältyvyydet (joukkoina): l 1 l p l q c l kun 1 < p < q <. Lisäksi x x q x p x 1 kaikille jonoille x = (x k ) (Harjoitukset 2). Edellä olemme piirtäneet yksikköpallot normien 2 ja suhteen. Entä yksikköpallo yleisten l p -normien suhteen? Alla kuva tapauksesta p = 3 ja p = 1; mieti millainen on yksikköpallo yleisellä p! (, 1) y (, 1) y (1, ) x (1, ) x

22 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 19 Huomautus (Lisätietoja). On olemassa luontevia vektoriavaruuksia E, joissa on luonnollinen siirtoinvariantti topologia τ, joka kuitenkaan ei ole minkään E:n normin indusoima (ts. ei ole olemassa sellaista normia : E R +, että τ = τ ). Sellaisten avaruuksien teoriaa ei käsitellä kurssin aikana; esimerkkeinä mainitaan kuitenkin (1) Varustetaan avaruus C(R n ) = {f : R n R jatkuva } topologialla τ, jossa jono f n f, jos lim sup f n (x) f(x) = n x K kaikilla kompakteilla joukoilla K R n. Topologia τ saadaan kasvavasta seminormiperheestä ( m ), kun f m = sup x K m f(x), f C(R n ) ja K m = [ m, m] n R n, sekä m N. Konvergenssia ei kuitenkaan voi kuvata vain yhden normin avulla. Topologinen vektoriavaruus (C(R n ), τ) on ns. nukleaarinen Frechet n avaruus. Vastaava koskee myös äärettömästi derivoituvien funktioiden avaruutta C (, 1) = {f : [, 1] K, f (j) jatkuva jokaisella j N}. (2) Olkoon < p < 1. Määritellään: jono x = (x k ) l p, jos x p = ( x k p ) 1 p < Tällöin x x p toteuttaa normin ehdot (N2) ja (N3) sekä kolmioepäyhtälön muodossa x + y p = ( x k + y k p ) 1 1 p 2 p 1 ( x p + y p ) kaikilla x = (x k ), y = (y k ) l p. Tässä 2 1 p 1 > 1, kun < p < 1, eli p on ns. kvasinormi l p :ssä. Alla kuva yksikköpallosta {(x, y) R 2 : x p + y p 1}, kun p = 1/2. (, 1) y (1, ) x Huomautus. Jokaisessa normiavaruudessa yksikköpallo B E = {x E : x 1} on konveksi, so. jos x, y B E, niin tx + (1 t)y B E

23 2 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI kaikilla < t < 1; nimittäin tx + (1 t)y t x + (1 t) y 1. Siispä myöskään yo. kuvan mukaan p ei voi olla normi: vastaava yksikköpallo ei ole konveksi. (3) Kaikkien jonojen avaruus s = { (x n ) : x k K jokaisella k N }. Avaruudessa s on summa ja skalaarilla kertominen määritelty kuten l p :ssä, ja metriikka d(x, y) = 1 2 x k y k k 1 + x k y k, kun x = (x k ), y = (y k ) s. Voidaan osoittaa, että d on siirtovariantti metriikka (HT). Avaruus s on myös nukleaarinen Frechet n avaruus. Lineaariset operaattorit Olkoon E ja F vektoriavaruuksia. Kuvaus T : E F on lineaarinen jos T (αx + βy) = αt (x) + βt (y) x, y E ja α, β K Sanomme usein että T on lineaarinen operaattori. Usein myös merkitsemme lyhyesti T x, merkinnän T (x) sijaan. Äärellisulotteisessa normiavaruudessa kaikki lineaariset kuvaukset ovat jatkuvia, mutta äärettömän monen dimension avulla jatkuvuus on helppo rikkoa (annamme esimerkin hieman myöhemmin). Jos E, F ovat normiavaruuksia, on siis luonnollista kysyä: Koska lineaarinen kuvaus T : E F on jatkuva?? Vastausta varten tarvitsemme uuden käsitteen, rajoitetut operaattorit Määritelmä. Olkoot E ja F normiavaruuksia sekä T : E F lineaarinen. Sanomme, että T on rajoitettu, jos on vakio C < jolle T x F C x E kaikilla x E. Yleisesti sanotaan että normiavaruuden osajoukko A E on rajoitettu, jos sup{ x : x A} M < ; yhtäpitävästi (Miksi?), A:n halkaisija on äärellinen. Kuten Harjoituksissa 2 nähdään, lineaarinen kuvaus T on rajoitettu jos ja vain jos se kuvaa E:n rajoitetut joukot F :n rajoitetuiksi joukoiksi.

24 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Esimerkki. Olkoon E = F = l 2 ja T : E F kuvaus T : (x k ) (3x k+1 ) kun x = (x k) l2. Tällöin T on lineaarinen (Miksi?) ja rajoitettu: ( ) 1/2 ( ) 1/2 ( ) 1/2 T x 2 = 3x k+1 2 = 3 x k x k 2 = 3 x 2 Huomaamme, että vaadituksi vakioksi voidaan ottaa C = 3. Operaattorin rajoittuneisuus voidaan myös testata seuraavan suureen avulla; nimittäin (Harjoitukset) T on rajoitettu jos ja vain jos (2.23) T := sup{ T x : x E, x 1} < Niinkuin merkintä jo vihjaa, saatua suuretta kutsutaan lineaarisen kuvauksen T normiksi. Se mittaa kuinka suureksi joukoksi T kuvaa yksikköpallon B E = {x E : x 1}. Siis operaattori T on rajoitettu jos ja vain jos normi T <. Jos tarve vaatii, merkitsemme avaruudet E ja F näkyviin, so. T E F. Huomautus. Koska Siis saamme x x T x x = = 1 jokaisella vektorilla x E, nähdään että ( ) x T T kaikilla x E x (2.24) T x T x jokaisella vektorilla x E ja lineaarikuvauksella T : E F. [vrt. myös Harjoitukset 2, tehtävä 3 c)] Esimerkkejä. a) Olkoon E = l 2 ja F = l 1 sekä T x = T (x k ) := ( 1 k x k Onko T rajoitettu (operaattorina T : l 2 l 1 )? Heti havaitaan että 1 T x 1 = k x k mutta helppo arvio x k ( x k 2) 1/2 ei ole yleisesti totta. Voimme kuitenkin käyttää Hölderin epäyhtälöä kun p = q = 2, 1 k x k ( 1 k 2 ) ) 1/2 ( ) 1/2 x k 2 = C x 2

25 22 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI missä C = 1/k2 <. (Itse asiassa, C = π 2 /6). Näin ollen T : l 2 l 1 on rajoitettu ja saamme normille arvion T π 2 /6. b) Rakennetaan sitten lineaarinen operaattori, joka ei ole rajoitettu. Voimme vaikkapa tarkastella avaruutta P = { p(z) = n k= a kz k : a k C, n N }, joka muodostuu kaikista polynomeista; varustetaan se normilla p = max{ a k }. Tällöin, esimerkiksi, (derivaatta)kuvaus T : n k= a kz k n k= k a k z k on lineaarinen (Miksi?), mutta ei rajoitettu: Jos p n = z n, n N, silloin p n = 1, T p n = n sup{ T p : p = 1, p P } =. Palataan sitten alkuperäiseen kysymykseemme, milloin lineaarinen kuvaus on jatkuva? Käy ilmi, että lineaarinen operaattori on jatkuva täsmälleen silloin kun se on rajoitettu! Lause. Olkoot E, F normiavaruuksia ja T : E F lineaarikuvaus. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (i) T on rajoitettu operaattori (ii) T on jatkuva (koko E:ssä) (iii) T on jatkuva yhdessä pisteessä x E. Todistus. (i) (ii): jos x, y E ja ε > T x T y T lin. = T (x y) T x y < ε kun x y ε T (ii) (iii): ilmeinen (iii) (i): Olkoon T jatkuva x :ssa. Jos ε > annettu, voimme valita sellaisen luvun δ > että aina Jos nyt x E ja x < δ, saadaan x x δ T x T x < ε T x = T lin. T (x + x ) T x < ε. Toisaalta, jos x B E, on δx = δ x δ ja siis δ T x = T (δx) < ε, eli T x < ε δ x B E Olemme näin näyttäneet: T on rajoitettu. Erityisesti, näemme, että Esimerkki 2.25 b) antaa lineaarisen operaattorin, joka ei ole jatkuva. Näillä tiedoin voimme myös aloittaa johdannossa esitetyn integraalioperaattorin tarkemman tarkastelun. Tulemme palaamaan teemaan useasti myöhemminkin.

26 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Esimerkki. Olkoon K : [, 1] [, 1] C jatkuva. Kun f C(, 1), muunnamme sen uudeksi funktioksi T f, missä (T f)(x) = 1 K(x, s)f(s)ds, x [, 1] Väite: näin saadaan jatkuva lineaarinen operaattori T : C(, 1) C(, 1). Meidän siis on osoitettava kolme asiaa, 1. f T f on lineaarinen, 2. T f on jatkuva funktio aina kun f on jatkuva välillä [, 1], ja 3. operaattorina T on rajoitettu C(, 1) C(, 1). Jätetään 1. väite lukijan tehtäväksi. Väite 2. kertoo että todellakin T ( C(, 1) ) C(, 1). Sitä varten arvioidaan (T f)(x) (T f)(y) = 1 1 K(x, s)f(s)ds 1 K(x, s) K(y, s) f(s) ds K(y, s)f(s)ds Funktion T f:n jatkuvuus siis palautuu K:n ominaisuuksiin. Heti kuitenkin huomataan, että pelkkä pisteittäinen K:n jatkuvuus ei riitä, vaan arvio pitää tehdä tasaisesti s:n suhteen. Tarvitsemme siis hieman tietoja Topologian kurssilta: Oletamme tunnetuksi, että kompaktissa joukossa määritelty jatkuva funktio on tasaisesti jatkuva 2. Sovellamme tätä ytimeen K(x, s). Koska [, 1] [, 1] on kompakti, jokaisella ε > löydämme δ:n niin että jos x y < δ eli (x, s) (y, s) < δ, silloin (2.28) K(x, s) K(y, s) < ε kaikilla s [, 1] Erityisesti, vaaditun δ:n suuruus ei riippunut pisteestä s. Saamme siksi (2.29) (T f)(x) (T f)(y) ε 1 f(s) ds ε f, kun x y < δ Koska ε oli mielivaltainen, olemme osoittaneet T f:n jatkuvuuden (väite 2). Myös väite 3. käyttää topologista tulosta: Koska K on jatkuva kompaktissa joukossa [, 1] [, 1], se saa siinä suurimman arvonsa, ja erityisesti K on rajoitettu. Siis eräällä vakiolla M <, K(x, s) M < kaikilla x, s [, 1] 2 Funktio g : A C on tasaisesti jatkuva jos jokaista ε > kohti löytyy δ > niin että x y < δ g(x) g(y) < ε. Olennaista tässä siis että vaadittu δ riippuu vain etäisyydestä x y, eikä siitä missä pisteet x, y sijaitsevat.

27 24 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Näin voimme arvioida (T f)(x) 1 K(x, s) f(s) ds M f mikä antaa T f M f. Näin ollen T on rajoitettu operaattori; itse asiassa voimme valita M = K ja siis saamme arvion T K. Olemme siten todistaneet viimeisenkin väitteen Huomautus. Yllä esitetty integraalioperaattorin jatkuvuuden todistus antaa hieman enemmänkin kuin mitä Esimerkki 2.27 tarvitsi: Havaitaan että T f:n jatkuus riippuu olennaisesti vain ytimestä K eikä niinkään funktiosta f. Koska tällä havainnolla on käyttöä myöhemmin, formalisoidaan sitä hieman, käyttäen jatkuvuusmodulin käsitettä: Olkoon meillä w : [, ) [, ) jolle t w(t) jatkuva, aidosti kasvava ja w(t) = t = Sanomme silloin että w on jatkuvuusmoduli. y w(t) t Nimittäin, jos funktiolle g : A C pätee (2.31) g(x) g(y) w( x y ) kaikilla x, y A niin w kertoo kuinka jatkuva g on. [Tyypillinen esim: w(t) = t α, < α < 1] Jos g:llä on jatkuvuusmoduli joukossa A, eli (2.31) pätee, se on selvästikin tasaisesti jatkuva (Miksi?). Mutta pätee myös kääntäen, jokaisella tasaisesti jatkuvalla funktiolla on jatkuvuusmoduli. Voimme nimittäin asettaa w (t) = sup{ g(x) g(y) : x, y A, x y t} Tasaisen jatkuvuuden nojalla w on jatkuva ja w (t) kun t. Aidosti kasvava siitä saadaan määrittelemällä w(t) = w (t) + t. Tälle (2.31) selvästi pätee, ja siten g:llä on jatkuvuusmoduli w. Jos palaamme Esimerkkiin 2.27, ytimellä K on ylläolevan nojalla jatkuvuusmoduli w K. Lisäksi, arviot (2.28), (2.29) antavat (2.32) (T f)(x) (T f)(y) w K (x y) f w K (x y) mikäli f 1, eli f B E, E = C(, 1). Toisin sanoen, oli f:n jatkuvuus miten heikkoa tahansa, T f:n jatkuvuus on aina vähintään luokkaa w K!

28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaalilukujen joukko R (varustettuna normilla x y ) eroaa ratkaisevasti rationaalilukujen joukosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella: reaalilukujono x n suppenee joss (x n ) on Cauchyn jono. Tätä reaalilukujen joukon R ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus varustettuna seminormilla E = { f : [, 1] R : f on Riemann-integroituva } f 1 = 1 f(t) dt, f E. Avaruus (E, 1 ) ei ole täydellinen (todistus sivuutetaan); tämä puute oli eräs keskeisistä syistä Lebesgue integraalin käyttöönottoon ja kehittämiseen. Yleisemmällä tasolla, (esim. differentiaali)yhtälöitä ratkaistaan tyypillisesti hakemalla approksimatiivisia ratkaisuja, ja lähes säännöllisesti funktioavaruuksilta vaaditaan täydellisyyttä, jotta approksimatiivisille ratkaisuille löydetään jokin rajafunktio Määritelmä. Normiavaruuden (E, 1 ) jono (x n ) n on Cauchyn jono, jos jokaista ε > vastaa sellainen luku m ε N, että aina kun k m ε ja j m ε. x k x j < ε Huomautus. Kun tarkastellaan jonon (x n ) n määräämiä joukkoja A m = { x n : n m }, missä m = 1, 2,... ja huomataan näiden halkaisijoitten diam(a) = sup x,y A x y avulla, että: (x n ) on Cauchyn jono lim m diam(a m ) =. Seuraavat kolme lausetta kertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet Lause. Normiavaruuden E suppeneva jono (x n ) on aina Cauchyn jono. Todistus. Olkoon lim x n sellainen m ε N, että = y eli lim x n y =. Jos ε >, on olemassa x n y < ε 2 kaikilla n m ε. Siis kun j, k m ε, niin x k x j ey x k y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε. Toisaalta, 3.3. Lause. Normiavaruuden E Cauchy jono (x n ) on rajoitettu.

29 26 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Todistus. Olkoon (x n ) E Cauchy jono ja A m = { x n : n m }. Koska (x n ) on Cauchy jono, niin on olemassa sellainen m N, että diam(a m ) < 1. Jos y A m, niin kolmioepäyhtälön avulla saadaan y ey y x m + x m < 1 + x m. Siispä täyden jonon vektoreille saamme arvion sup x n max{ x 1, x 2,..., x m 1, 1 + x m } <. n Lopuksi hyödyllinen riittävä ehto Cauchyn jonon suppenemiselle Lause. Jos normiavaruuden E Cauchyn jonolla (x n ) on osajono, joka suppenee kohti vektoria y E, niin myös koko jonolle on lim x n = y. Todistus. Olkoon ε > mielivaltainen. Valitaan Cauchyn ehdosta sellainen m ε N, että x k x j < ε 2 kaikilla k, j m ε. Jos (x nj ) on sellainen osajono, jolle lim j x nj = y, niin kaikilla riittävän suurilla indekseillä j N on n j m ε ja x nj y < ε. Tällöin 2 x n y x n x nj + x nj y < ε 2 + ε 2 = ε kaikilla n m ε. Siis lim x n = y. Alamme sitten tarkastelemaan täydellisiä normiavaruuksia Määritelmä. Normiavaruus (E, ) on täydellinen, jos avaruuden E jokainen Cauchyn jono (x n ) suppenee avaruudessa E (siis on olemassa sellainen y E, että lim x n = y). Täydelliset normiavaruudet ovat funktioanalyysin keskeinen tutkimuskohde ja työkalu, joten näille on otettu käyttöön oma nimi (puolalaisen Stefan Banach in ( ) mukaan, joka merkittävällä tavalla kehitti alaa) Määritelmä. Täydellistä normiavaruutta (E, ) sanotaan Banachin avaruudeksi (usein sanomme lyhyesti: E on Banachin avaruus). Selvitetään seuraavaksi mitkä edellisessä luvussa löydetyistä avaruuksista ovat täydellisiä, ja erityisesti, kuinka käytännössä näytetään että annettu normiavaruus on täydellinen. Olkoon siis ensin A joukko ja B(A, K) = B(A) := { x : A K : x rajoitettu kuvaus },

30 varustettuna normilla FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 27 x = sup x(t), kun x B(A, K) t A 3.7. Lause. (B(A, K), ) on Banachin avaruus. Todistus. Todistus perustuu skalaarikunnan K täydellisyyteen. Nimittäin, olkoon (x n ) Cauchyn jono avaruudessa B(A, K) ja t A mielivaltainen. Koska (3.8) x k (t) x j (t) x k x j < ε kaikilla j, k N, kun indeksit k, j m ε ovat riittävän suuria, on skalaarijono (x k (t)) k Cauchyn jono skalaarikunnassa K. Tällöin on siis olemassa raja-arvo lim x n (t) K, sillä metriset avaruudet K = R tai K = C ovat täydellisiä. Pitämällä t A muuttujana saadaan raja-arvosta kuvaus y : A K, y(t) := lim n x n (t), t A. Lauseen väite seuraa osoittamalla seuraavat apuväiteet: (i) kuvaus y B(A, K) eli y on rajoitettu kuvaus, (ii) x n y, kun n eli x n y avaruudessa B(A, K) Tätä varten, olkoon ε > mielivaltainen, ja käytetään arviota (3.8), joka pätee tasaisesti jokaisella t A. Pidetään siinä k m ε sekä t A kiinteinä, ja annetaan j. Silloin lim x k(t) x j (t) = x k (t) y(t), j koska yo. tarkastelee vain skalaarilukuja x j (t). Epäyhtälön (3.8) säilyminen rajalla takaa, että (3.9) x k (t) y(t) ε kun t A ja k m ε. Tästä saadaan ensinnäkin että y(t) y(t) x k (t) + x k (t) ε + x k kun t A eli että y B(A, K). Toiseksi (3.9) pätee tasaisesti, so. samalla ε jokaisessa pisteessä t A, Saadaan siis x k y = sup x k (t) y(t) ε kaikilla k m ε t A Olemme näin näyttäneet, että lim x k = y avaruudessa B(A, K), eli suppeneminen tapahtuu ko. avaruuden normin suhteen. Ylläolevat argumentit yhdistäen nähdään että (B(A), ) on Banachin avaruus.

31 28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3.1. Seuraus. a) vektoriavaruus K n varustettuna metriikalla on Banachin avaruus. b) (l, ) on Banachin avaruus. x = sup x i 1 i n Annetaan myös esimerkki epätäydellisestä normiavaruudesta Esimerkki. (l 1, ) ei ole täydellinen normiavaruus, kun (x k ) = sup x k, (x k ) l 1. k Ratkaisu: Olkoon x (n) = (1, 1 2, 1 3,... 1 n,,,...), kun n N. Selvästi x(n) l 1 kaikilla n N. Toisaalta kaikilla n, p N pätee x (n) x (n+p) 1 = (,...,, }{{},..., 1,,,...) n+1 n+p n kpl 1 = sup n+1 j n+p j = 1 n + 1 kaikilla p N, kun n. Siispä (x (n) ) Cauchyn jono avaruudessa (l 1, ). Väite epätäydellisyydestä seuraa, kun osoitetaan, että ei ole olemassa sellaista jonoa y = (y k ) l 1, että lim n x(n) y =. Tehdään vastaoletus eli oletetaan, että löytyisi sellainen y = (y k ) l 1, että x (n) y sup-normissa. Jonon (x (n) ) alkioiden k :nnet koordinaatit x (n) k ovat muotoa x (n) 1 k =, 1 k n k, k > n. ja kaikilla indekseillä k N pätee kun n. Siksi kun k = 1, 2,.... Toisaalta x (n) k y k x (n) y, y k = lim x (n) n k = lim n 1 k = 1 k, 1 k =, eli y = ( ) 1 / k k l1, mikä on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa. Siis (l 1, ) on epätäydellinen.

32 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 29 Huomautus. Vastaavalla tavalla osoitetaan (Tee se!) että jos 1 p < q <, niin l p l q mutta (l p, q ) ei ole täydellinen. Huomautus. Polynomien muodostama normiavaruus varustettuna sup-normilla P = { p: [, 1] R : p polynomi } p = sup p(t) t [,1] ei ole täydellinen. Samoin, jos P varustetaan luvun 2 Esimerkin 2.11 kohdassa (2) annetuilla normeilla, osoittautuu että P:stä ei tule täydellistä. Epätäydellisyyden todistus on samantapainen kuin edellisessä Esimerkissä (vrt. Harjoitukset). Seuraavan tuloksen avulla saadaan lisää esimerkkejä Banachin avaruuksista Lause. Olkoon E Banachin avaruus ja M E suljettu aliavaruus. Tällöin M on täydellinen eli Banachin avaruus, avaruuden E indusoimassa normissa. Todistus. Jos (x n ) M on Cauchyn jono avaruudessa M, niin (x n ) on myös avaruuden E Cauchyn jono. Koska E täydellinen, niin on olemassa sellainen raja-alkio y E, että lim x n = y. Koska M on suljettu ja x n M kaikilla n, niin raja y M, joten M on täydellinen. Edellinen tulos pätee myös käänteiseen suuntaan: Lause. Normiavaruuden E täydellinen aliavaruus M on suljettu avaruudessa E. Todistus. Olkoon z M mielivaltainen. Tällöin löytyy sellainen jono (x n ) M, että x n M kaikilla n = 1, 2,... ja lim x n = z. Tällöin (x n ) n= on Cauchyn jono avaruudessa E Lauseen 3.2 nojalla ja siten myös avaruudessa M, joten avaruuden M täydellisyyden nojalla lim x n = y M on olemassa. Raja-arvon yksikäsitteisyyden nojalla on oltava z = y M, joten siis M = M ja M on suljettu avaruudessa E Seuraus. Olkoon M Banachin avaruuden E vektorialiavaruus. Tällöin M on täydellinen (eli Banachin avaruus) M on suljettu. Todistus. Seuraa välittömästi Lauseista 3.12 ja Käytämme seuraavaksi näitä tietoja tutkimaan jatkuvien kuvausten avaruuksia.

33 3 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Esimerkki. Olkoon X topologinen avaruus, ja C(X) = C(X, K) := { f : X K : f jatkuva avaruudessa X }. Jos f, g C(X) ja λ K, niin pisteittäinen summafunktio f + g C(X) ja λf C(X) eli C(X) on vektoriavaruus. Merkitään BC(X) = BC(X, K) := B(X, K) C(X), eli jatkuvien ja rajoitettujen kuvausten X K avaruus. Siis BC(X) on avaruuden B(X) on vektorialiavaruus. Kysymys. Onko BC(X) B(X) suljettu (normin suhteen)? Olkoon t X kiinteä, ja BC t (X) = { f B(X) : f on jatkuva pisteessä t }. Huomautus. (Topo I) f : X K on jatkuva pisteessä t X, jos jokaista ε > vastaa sellainen avoin ympäristö V, t V X, että f(u) f(t) < ε kaikilla u V Lemma. BC t (X) on avaruuden B(X) suljettu vektorialiavaruus kaikilla t X. Todistus. Olkoon g B(X) sellainen funktio X K, että g sisältyy avaruuden BC t (X) sulkeumaan sup-normin suhteen. Olkoon ε > annettu. Tällöin on olemassa sellainen f BC t (X), että g f < ε. Koska funktio f on 3 jatkuva pisteessä t, niin löytyy sellainen avoin ympäristö t V X, että f(t) f(u) < ε 3 kaikilla u V. Tällöin g(t) g(u) g(t) f(t) + f(t) f(u) + f(u) g(u) }{{}}{{} g f g f 2 g f }{{ + ε } 3 < ε < ε 3 kaikilla u V. Siis g on jatkuva pisteessä t, joten g BC t (X) ja siis BC t (X) on suljettu Lause. (BC(X), ) on Banachin avaruus. Todistus. Koska f on jatkuva avaruudessa X joss f on jatkuva kaikissa pisteissä t X, niin BC(X) = BC t (X), t X

34 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 31 missä BC t (X) on suljettu kaikilla t X Lemman 3.16 nojalla. Siis BC(X) on suljettu aliavaruus avaruudessa B(X). Nyt väite seuraa Lauseista 3.7 ja Seuraus. Jos X on kompakti topologinen avaruus, niin (C(X), ) on Banachin avaruus. Erityisesti (C(, 1), ) on Banachin avaruus. Todistus. Käytetään Topo I:n tulosta jonka mukaan kompaktissa avaruudessa X jokainen jatkuva kuvaus f : X K on rajoitettu, eli C(X) = BC(X). Esimerkin 2.8 kohdassa (2) esiteltiin avaruuden l aliavaruudet c ja c. c := { x = (x n ) n= : x n K, lim x n on olemassa, kun n }, c := { x = (x n ) n= : x n K, lim x n = } Lause. c ja c ovat Banachin avaruuksia. Todistus. 1) c l on suljettu vektorialiavaruus (Harjoitukset 1) 2) c l on suljettu: Olkoon x = (x k ) l sellainen jono, että x c. Kun ε >, niin löytyy sellainen jono y = (y k ) c, että x y < ε 3. Koska (y k ) on suppeneva jono, niin erityisesti (y k ) on skalaarikunnan K Cauchyn jono. Siis on olemassa sellainen m ε N, että kaikilla j, k m ε. Tällöin y j y k < ε 3 x j x k ey x j y j + y j y k + y k x k < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε kaikilla j, k m ε. Koska ε > mielivaltainen, niin x = (x k ) on myös skalaarikunnan K Cauchyn jono. Siispä (x k ) suppenee, joten x c. Siis c = c on suljettu, joten Lauseen 3.12 nojalla c on Banachin avaruus. Huomautus. Olkoon N = N { } ja varustetaan se topologialla τ, jonka kantana ovat joukot U = {n} ja V = { } { k N : k m }, missä n, m N.

35 32 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Saatu avaruus (N, τ) on N:n yhden pisteen kompaktifiointi. Tällöin itse asiassa c = C(N). Siten Lause 3.19 seuraa myös Seurauksesta Vektoriarvoisista sarjoista Olkoon E normiavaruus ja (x k ) k jono avaruudessa E. Mietimme seuraavaksi vastaavan vektorisarjan j=1 x j summautumista. Toisin sanoen, pätevätkö tutut sarjateorian perusteet myös äärettömän dimension tapauksessa? Sarjaa merkitään tavallisesti symbolilla k x k tai x k. Osasummille käytetään myös tuttuja merkintöjä, n s n = x 1 + x x n = x j kun n N. (s n E n.) j=1 Edelleen, alkio x k E on sarjan k:s termi Määritelmä. Olkoon x k normiavaruuden E alkioiden muodostama sarja. Mikäli osasummien jono (s n ) suppenee kohti vektoria s E, eli lim s n s =, n sanotaan että sarja k x k suppenee ja sen summa on s; merkitään tällöin s = x k. Sanotaan, että E:n sarja k x k on normisuppeneva (tai absoluuttisesti suppeneva), jos (R-terminen) sarja k x k suppenee Esimerkki. Olkoon e n = (,,...,, 1 }{{},,...) l 2, kun n N. Sup- n:s peneeko sarja e nn n=1 l 2 :ssä? Ratkaisu: Olkoon x = ( 1 n ) n. Nyt n=1 1 n 2 <, joten x l 2. Tällöin e nn = x ja kyseinen sarja suppenee, sillä sarjan m:s osasumma s m on m e n s m = n = (1, 1 2, 1 3,..., 1,,,...) m n=1 ja siis 1 x s m 2 = (,,...,, }{{} m + 1, 1 ( m + 2,...) 2 = mkpl j=m+1 1 j 2 ) 1/2,

36 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 33 kun m ; kyseessä on suppenevan sarjan jäännöstermi. Kuitenkaan sarja enn ei ole normisuppeneva avaruudessa l 2, sillä e n = n 2 n=1 n=1 1 n e n 2 = n=1 1 n DI =. Täydellisyyden ja normisuppenevien sarjojen välillä on tärkeä yhteys: Lause. Normiavaruus E on Banachin avaruus jos ja vain jos jokainen avaruuden E normisuppeneva sarja k x k suppenee avaruudessa E. Todistus. Olkoon E Banachin avaruus ja k x k sarja. Jos n N, p N, niin avaruuden E normisuppeneva n+p s n+p s n = x j ey j=1 n+p j=n+1 n x j = x n x n+p j=1 x j j=n+1 x j kaikilla p N, kun n. Siis (s n ) on Cauchyn jono avaruudessa E, joten se suppenee. Oletetaan, että avaruuden E jokainen normisuppeneva sarja suppenee. Olkoon (x n ) Cauchyn jono avaruudessa E. Lauseen 3.4 nojalla riittää löytää suppeneva osajono (x nj ). Konstruoidaan osajono (x nj ) induktiolla seuraavasti: Koska (x n ) on Cauchyn jono, niin löytyy sellainen n N, että x p x q < 1 2 kaikilla p, q n. Oletetaan, että on jo valittu luvut n < n 1 <... < n j ja valitaan seuraavaksi n j+1. Koska jono (x n ) on Cauchyn jono, niin edelleen löytyy sellainen n j+1 N, että n j+1 > n j ja x p x q < 1 2 j+2 kaikilla p, q n j+1. Merkitään nyt y = x n, y j = x nj x nj 1 kun j = 1, 2,.... Tällöin y j = x nj x nj 1 < 1 2 j kaikilla j = 1, 2,..., sillä n j > n j 1 ja valitsemalla p = n j ja q = n j 1 arvio seuraa.

37 34 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Siispä jono (y j ) on normisuppeneva, sillä y j < 2 (j+1) <. j j Oletuksen nojalla sarja y j siis suppenee ja merkitään sarjan summaa y = y j. j= Tarkastellaan sitten sarjan y j osasummia. Havaitaan, että itse asiassa k y j = x n + (x n1 x n ) + + (x nk x nk 1 ) = x nk. j= Näin ollen jonon (x n ) osajono (x nk ) k suppenee kohti pistettä y E. Lauseen 3.4 nojalla siis myös jono (x n ) suppenee kohti pistettä y ja siis E on täydellinen. Lauseen 3.22 nojalla voidaan usein osoittaa avaruuden täydellisyys: näin on esimerkiksi reaalilukujen joukon R tapauksessa. Olkoon a k itseisesti suppeneva sarja R:ssä. Merkitään b k = a k a k, kun k N. Tällöin b k 2 a k, joten sarja b k suppenee vertailuperiaatteen nojalla. Koska a k = a k b k, suppenee sarja a k myös. Siis Lause 3.22 sanoo, että R on täydellinen. Normisuppenevien sarjojen avulla myös avaruuksien l p täydellisyys saadaan kivuttomasti Lause. Jokainen jonoavaruus l p on Banachin avaruus. Todistus. Olkoon x (n) normisuppeneva sarja avaruudessa l p, siis x (n) p <. n= Jos vektori eli jono x (n) = (x (n) k ) k, niin ( x (n) kaikilla k N, joten x (n) k n= x (n) k i i p ) 1 p = x (n) p <, kullakin k N. Siten skalaarilukujen sarja n x(n) k suppenee, sillä K on täydellinen. Merkitään y k = x (n) k, k N. n=