ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

Transkriptio

1 ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016

2 Sähköstatiikka (Ulaby, luku ) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali ja sähkökenttä Laplacen yhtälö 2 (22)

3 Maxwellin yhtälöt statiikassa Statiikassa lähteet ja kentät eivät riipu ajasta, jolloin sähkömagneettinen kytkentä häviää: Maxwellin yhtälöt E = B t H = J + D t D = ρ v B = 0 Sähköstatiikka E = 0 D = ρ v D = ε E Magnetostatiikka H = J B = 0 B = µ H 3 (22)

4 Coulombin voimalaki ja sähkökenttä Coulombin voimalain avulla voidaan, kuten Sähkö ja magnetismi -kurssilla, määritellä pistevarauksen sähkökenttä: q F = q E q E = R q 4πε 0 R 2 Sähkökenttä on siis yksikkötestivarauksen kokema sähköinen voima (ja Coulombin laki antaa pistevarauksen sähkökentän). 4 (22)

5 Origonsiirto ja varausjakauman kenttä Origonsiirto q 1 E = R R 1 q 1 R R 1 }{{} 4πε R R 1 2 yksikkövektori R 1 R origo Merkitsemällä R R 1 = R = R R saadaan E = R q 1 4πε R 2 Varausjakauma ρ v jaetaan osiin dq ja integroidaan E = V R ρ v dv 4πε R 2 Integraali on varausjakauman yli ja vektori R on lähdepisteestä kenttäpisteeseen. (Muualla R voi tarkoittaa jotain aivan muuta. Ole tarkkana notaation kanssa... )

6 Esim: Äärellisen viivavarauksen kenttä 1 +L/2 ρ l dz 1 L/2 E = z ρ l L/2 L/2 R E =? r R ρ l dz 1 4πε R 2 = ρ l 4πε L/2 L/2 Muuttujanvaihdos z z 1 = l antaa Kenttäpiste (r, z) Lähdepiste (0, z 1 ) R = r r + ẑ (z z 1 ) (Ratkaisu on pyörähdyssymmetrinen.) r r + ẑ (z z 1 ) ( r 2 + (z z 1 ) 2) 3/2 dz 1 E = ρ l 4πε z+l/2 z L/2 r r + ẑ l ( r 2 + l 2) 3/2 dl 6 (22)

7 Esim: Äärellisen viivavarauksen kenttä 2 Integroimiskaavoilla dx ( x 2 + a 2) 3/2 = x a 2 x 2 + a 2, x dx ( x 2 + a 2) 3/2 = 1 x 2 + a 2 saadaan ρ l z+l/2 r r + ẑ l ( r 2 + l 2) 3/2 dl E = 4πε z L/2 = ρ [ ( ) l z + L/2 r 4πε r r 2 + (z + L/2) z L/2 2 r r 2 + (z L/2) ( 2 )] 1 + ẑ r 2 + (z L/2) 1 2 r 2 + (z + L/2) 2 (Suoraviivaista mutta hieman työlästä integrointia.) 7 (22)

8 Esim: Äärellisen viivavarauksen kenttä 3 8 (22)

9 Esim: Äärettömän viivavarauksen kenttä Raja-arvona L/2 E = ρ [ ( ) l z + L/2 r 4πε r r 2 + (z + L/2) z L/2 2 r r 2 + (z L/2) ( 2 )] 1 + ẑ r 2 + (z L/2) 1 2 r 2 + (z + L/2) 2 saadaan äärettömän viivavarauksen kenttä ρ l E = r 2πεr 9 (22)

10 Gaussin laki Integroimalla Gaussin lakia ds = n ds D = ρ v tilavuuden V yli D dv = ρ v dv V V V S saadaan Gaussin lauseen avulla integraalimuotoinen Gaussin laki S D ds = Q Sähkövuo suljetun pinnan läpi on pinnan sisällä oleva kokonaisvaraus. Voidaanko määrittää D valitsemalla sopiva Gaussin pinta S? 10 (22)

11 Esim: Tasovarauksen sähkövuontiheys Tasovaraustiheys ρ s tasossa z = 0 D = ±ẑ D(z) =? Valitaan Gaussin pinnaksi ρ s sylinteri säteellä a ja h/2 korkeudella h. Gaussin pinnan sisäpuolella on kokonaisvaraus Q = πa 2 ρ s. Sähkövuo Gaussin pinnan läpi on S D ds = D ds + kansi D ds + pohja D ds sivu = D(h/2) πa 2 + D( h/2) πa = 2πa 2 D +ẑ ρ s /2, z > 0 D = ρ s /2 D = ẑ ρ s /2, z < 0 11 (22)

12 Sähköstaattiset perusratkaisut (3D, 2D ja 1D) Symmetria ja Gaussin laki D E = D/ε Pistevaraus q origossa E = R q 4πεR 2 pallokoordinaatistossa Viivavaraus ρ l z-akselilla E = r ρ l 2πεr sylinterikoordinaatistossa Tasovaraus ρ s tasolla z = 0 E = ±ẑ ρ s 2ε suunta poispäin tasosta E 1 etäisyys (dimensio 1) 12 (22)

13 Potentiaali Sähköstaattinen skalaaripotentiaali, eli lyhyemmin potentiaali V, voidaan määritellä kahdella tavalla: Potentiaali V on sähkökentän potentiaalienergia yksikkövarausta kohti. Koska staattinen sähkökenttä on konservatiivinen eli pyörteetön, E = 0, se voidaan esittää skalaarifunktion gradienttina: E = V Miinusmerkki ei ole mielivaltainen valinta. Se tarvitaan, jotta määritelmät olisivat yhtäpitäviä. 13 (22)

14 Potentiaali ja työ q V 1 dl E C V 2 Siiretään pistevaraus q pisteestä 1 pisteeseen 2 käyrää C pitkin. Sähköinen voima on F e = qe, joten tasapainotilanteessa tarvitaan ulkoinen voima F ext = F e. Ulkoisen voiman tekemä työ on tällöin W = F ext dl = q E dl = q ( V ) dl = q (V 2 V 1 ). C C Potentiaalin muutos on työ/varaus, eli potentiaalienergian muutos/varaus. Samalla saatiin jännitteelle lauseke V 21 = V 2 V 1 = E dl C C 14 (22)

15 Kirchhoffin jännitelaki Staattinen sähkökenttä on pyörteetön: E = 0 Integroidaan mielivaltaisen avoimen pinnan yli, ja käytetään Stokesin lausetta: S ( E) ds = C E dl = 0 Kirchhoffin jännitelain mukaan suljetun silmukan jännite on nolla. Tämähän on sama asia, mutta staattiselle sähkökentälle kirjoitettuna. Toisaalta on konservatiivisen vektorikentän määritelmä. 15 (22)

16 Nollapotentiaali ja pistevarauksen potentiaali Potentiaaliin V voidaan lisätä mielivaltainen vakio V 0 muuttamatta sähkökenttää: E = (V + V 0 ) = V. Origossa olevan pistevarauksen potentiaali on pakko olla pallosymmetrinen, eli V = V (R). Tällöin E = V = R V R = R q 4πεR 2 V = q dr 4πε R 2 = q 4πεR + V 0 Valitsemalla V 0 = 0 V saadaan yksinkertaisin lauseke ja äärettömyyteen nollapotentiaali (kuten yleensä halutaan). 16 (22)

17 Yleisen varausjakauman potentiaali Varausjakauman potentiaali saadaan integroimalla tilavuuden (tai käyrän tai pinnan) yli: V = V ρ v dv 4πεR missä R on etäisyys tarkastelu- ja integroimispisteen välillä. Tämä on useimmiten paljon helpompi integraali kuin sähkökentän vastaava, joten usein lasketaan ensin V ja sitten E = V (jos tarpeen). 17 (22)

18 Dipolin potentiaali z R 1 Pistevarausten ±q potentiaali: V = 1 ( q q ) = q ( ) R2 R 1 4πε R 1 R 2 4πε R 1 R 2 +q p = ẑ qd q θ R 2 R d cos θ Jos R d, saadaan V q ( ) d cos θ 4πε R 2 Dipolimomentin p avulla lausuttuna pistemäisen dipolin potentiaali on: V = p R 4πεR 2 18 (22)

19 Dipolin sähkökenttä E = V = qd ( ) cos θ 4πε R 2 = qd 4πεR 3 ( R 2 cos θ + θ sin θ ) Huom: Pistemäinen dipoli (d 0, kun p = qd = vakio) tai R d. 19 (22)

20 Poissonin ja Laplacen yhtälöt Gaussin lain, väliaineyhtälön ja potentiaalin avulla saadaan D = (εe) = (ε V ) = ρ v. Jos väliaine on homogeeninen (eli ε ei riipu paikasta), saadaan Poissonin yhtälö 2 V = ρ v ε, joka lähteettömässä alueessa (ρ v = 0) muuttuu Laplacen yhtälöksi: 2 V = 0 20 (22)

21 Laplacen yhtälön ratkaisu Toinen derivaatta f (x) mittaa funktion f kaarevuutta 2 V = 0 kokonaiskaarevuus = 0 Jos funktio toteuttaa Laplacen yhtälön tietyssä alueessa, se ei voi saada maksimeja tai minimeja tässä alueessa. Esim: V = x 2 y 2 2 V = 2 V x V y 2 = 2 2 = 0

22 Laplacen yhtälön ratkaisu Laplacen yhtälön ratkaisu annetuilla reunaehdoilla muistuttaa pingottua kumikalvoa. (Miten sähkökenttä käyttäytyy nurkkien kohdalla?) 22 (22)