TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat"

Transkriptio

1 TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria, poikkileikkaukseltaan symmetrisiä ja materiaaliltaan homogeenisia Lisäksi tutkitaan jännityskeskittymiä epäjatkuvuuskohdissa 1 SISÄLTÖ 1. Leikkausvoima- ja taivutuskuvaajat 2. Graafinen menetelmä leikkausvoima- ja taivutuskuvaajien määrittämiseksi 3. Suoran sauvan taivutusmuodonmuutos 4. Taivutusyhtälö 5. Jännityskeskittymät 2 1

2 6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Hoikkia sauvoja, joita kuormitetaan poikittaissuunnassa sanotaan palkeiksi LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Palkin suunnittelu edellyttää suurimman leikkausvoiman ja taivutusmomentin määrittämistä Muodostetaan leikkausvoiman ja taivutusmomentin lausekkeet pituuskoordinaatin x funktiona Esitetään funktiot graafisesti: leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat Suunnittelijoiden on tunnettava leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakauma, jolloin palkkia voidaan tarvittaessa vahvistaa joltain osalta 4 2

3 6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Leikkausvoiman ja taivutusmomentin lausekkeet pitää määrittää jokaisella alueella, jonka rajaa kuormituksen epäjatkuvuus LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Merkkisääntö Käytetään samaa merkkisääntöä kuin statiikassa: 6 3

4 6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Määritelmiä Palkit ovat pitkiä suoria rakenneosia, jotka kantavat poikittaiskuormia. Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumien määrittäminen on tärkeää, jotta suunnittelija näkee missä pisteessä rasitus on suurimmillaan Merkkisäännön avulla voidaan muodostaa em. rasitusyhtälöt ja piirtää ne kuvaajina Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumien määrittäminen on esitetty statiikan kurssissa, joten tässä ne kerrataan vain esimerkin avulla 7 ESIMERKKI 6.6 Määritä kuvan palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat: 8 4

5 ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Tukireaktiot: Lasketaan vapaakappalekuvasta Leikkausvoima- ja taivutusmomenttifunktiot : Palkki on jaettava kahteen osaan, koska keskellä on kuormituksen epäjatkuvuus (pistevoima 15 kn) 0 x 1 5 m, + Σ F y = 0;... V = 5.75 N + Σ M = 0;... M = (5.75x ) kn m 9 ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Leikkausvoima- ja taivutusmomenttifunktiot 5 m x 2 10 m, + Σ F y = 0;... V = ( x 2 ) kn + Σ M = 0;... M = ( 2.5x x ) kn m Tarkista tulos: w = dv/dx ja V = dm/dx. 10 5

6 ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Leikkausvoima- ja Taivutusmomenttifunktiot: graafinen esitys GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Edellä esitetty tapa on varsin työläs yksinkertaistenkin rakenteiden analyysissa. Yksinkertaisempi vaihtoehto on käyttää differentiaaliyhtälöitä, jotka sitovat yhteen kuormitustiheyden, leikkausvoiman ja taivutusmomentin: dv ( ) dx = wx V = w( x) dx dm V dx = M = Vdx 12 6

7 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w dv dx = w(x) dm dx = V Leikkaus- = kuormitustiheys ko. voima- jakauman pisteessä kulmakerroin Taivutus- = leikkausvoima ko. momentti- jakauman pisteessä kulmakerroin GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w V = w(x) dx Leikkausvoiman muutos = kuormitustiheyden rajaama alue Taivutusmomentin muutos M = V(x) dx = leikkausvoimakuvion rajaama alue 14 7

8 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Pistemäisen voiman ja momentin alueet GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w 16 8

9 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Tukireaktiot Ratkaise tukireaktiot ja määritä kuormat, jotka vaikuttavat palkin poikittais- ja pitkittäissuunnassa Leikkausvoimajakauma Piirrä tunnetut leikkausvoiman arvot palkin kahteen pisteeseen GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Leikkausvoimajakauma Koska dv/dx = w, leikkausvoimajakauman kulmakerroin on sama kuin kuormitustiheyden negatiivinen arvo ko. pisteessä Leikkausvoiman numeerinen arvo määrätyssä pisteessä saadaan joko leikkausmenetelmällä ja tasapainoyhtälöillä. Toinen vaihtoehto on käyttää yhteyttä V = w(x) dx eli leikkausvoiman muutos kahden pisteen välillä on kuormitustiheyden rajaama alue negatiivisena. 18 9

10 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Leikkausvoimajakauma Koska w(x) on integroitava V:n laskemiseksi, on kuormitustiheyden w(x) asteluku yhtä astetta pienempi kuin leikkausvoimajakauman asteluku Taivutusmomenttijakauma Piirrä tunnetut taivutusmomentin arvot palkin kahteen pisteeseen Koska dm/dx = V, momenttijakauman kulmakerroin on sama kuin leikkausvoima ko. pisteessä GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Taivutusmomenttijakauma Pisteessä, jossa leikkausvoima on nolla on dm/dx = 0 ja taivutusmomentilla on pienin tai suurin arvonsa (paikallisesti) Mikäli halutaan momentin numeerinen arvo, on käytettävä leikkausmenetelmää ja tasapainoehtoja. Toinen tapa on laskea M = V(x) dx, ts. momentin muutos on kahden pisteen rajaaman alueen leikkausvoimakuvaajan pinta-ala. Momenttifunktio on siis astetta korkeampi kuin leikkausvoimafunktio

11 ESIMERKKI 6.11 Piirrä leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat kuvan palkille. 21 ESIMERKKI 6.11 (RATKAISU) Tukireaktiot: Vapaakappalekuvasta Leikkausvoimajakauma Kuormitustiheyden perusteella leikkausvoimajakauman kulmakerroin muuttuu arvosta nolla pisteessä x = 0 arvoon 2 pisteessä x = 4.5. Siten sen muoto on parabolinen. Leikkausmenetelmällä saadaan piste, jossa leikkausvoima on nolla: + Σ F y = 0;... x = 2.6 m 22 11

12 ESIMERKKI 6.11 (RATKAISU) Taivutusmomenttijakauma Leikkausvoimakuvaajan mukaan kulmakerroin alussa on +1.5 ja se pienenee arvoon nolla pisteessä 2.6 m. Sen jälkeen se pienenee arvoon 3 pisteessä x = 4.5 m. Momenttijakauma on kolmannen asteen yhtälö. + Σ M = 0;... M = 2.6 kn m TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Suoraa, prismaattista palkkia kuormitetaan taivutusmomentilla. Pitkittäissäikeet kaartuvat ja poikittaissäikeet pysyvät suorina, mutta kiertyvät: 24 12

13 6.3 TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Neutraaliakselilla pitkittäissäikeiden pituus ei muutu: TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Teknisen taivutusteorian perusoletukset: 1. Neutraaliakselilla pituussuuntaiset säikeet eivät veny tai puristu 2. Kaikki poikkileikkaukset pysyvät tasoina ja ovat kohtisuorassa pituusakselia vastaan myös muodonmuutoksessa 3. Poikkileikkauksen omaa muodonmuutosta ei oteta huomioon 26 13

14 6.3 TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Poikkileikkauksessa pitkittäinen normaalivenymä muuttuu lineaarisesti neutraaliakselilta etäisyyden y funktiona (kuva) Positiivisella momentilla neutraaliakselin yläpuoliset säikeet (+y) ovat puristuksella ( ε) Positiivisella momentilla neutraaliakselin alapuoliset säikeet (-y) ovat vedolla (+ε) Yhtälö 6-8 ε = (y/c)ε max Normaalivenymän jakauma TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Oletetaan materiaalin käyttäytyvän lineaarielastisesti joten Hooken laki pätee Normaalivenymän lineaarinen muutos tarkoittaa silloin myös normaalijännityksen lineaarisuutta Soveltaen Hooken lakia edellisen sivun yhtälöön 6-8 saadaan Normaalivenymän jakauma Yhtälö 6-9 σ = (y/c)σ max Taivutusnormaalijännityksen jakauma 28 14

15 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Soveltaen statiikan tasapainoyhtälöitä voidaan kuvan jännitysjakaumasta johtaa yhteydet Yhtälö 6-10 A y da = 0 Yhtälö 6-11 M = σ max c A y 2 da Taivutusnormaalijännityksen jakauma Alemman yhtälön integraali on poikkileikkauksen ns. neliömomentti tai taivutusjäyhyys. Se merkitään suuremerkinnällä I TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Jälkimmäisestä yhtälöstä voidaan ratkaista suurin taivutusnormaalijännitys eli Mc σ Yhtälö 6-12 max = I σ max = poikkileikkauksen suurin jännitys, joka sijaitsee pisteessä joka on kauimpana neutraaliakselilta M = sisäinen taivutusmomentti I = taivutusjäyhyys c = suurin kohtisuora etäisyys neutraaliakselilta poikkileikkauksessa 30 15

16 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Normaalijännitys mielivaltaisessa pisteessä y voidaan määrittää yhtälöstä My Yhtälö 6-13 σ = I Yhtälöitä 6-12 ja 6-13 sanotaan taivutusyhtälöiksi. Negatiivinen taivutus +y +x TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Vasemmassa kuvassa on skemaattisesti esitetty ulokepalkin taivutusnormaalijännityksen kehittyminen pituuden kasvaessa Rasituksena on oma paino Sininen väri kuvaa vetojännitystä, punainen puristusjännitystä 32 16

17 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Neliömomentti tai taivutusjäyhyys lasketaan yleisesti kaavasta I = A y 2 da Usein poikkileikkaus voidaan jakaa suorakaideosiin (leveys b, korkeus h), jolloin voidaan em. integraali laskea summalausekkeena I = Σ( I i +d i2 A i )= Σ( b i h i 3 /12+d i 2 A i ) missä d i on koko pinnan A=ΣA i pintakeskiön etäisyys osapinnan A i pintakeskiöstä ESIMERKKI: I-PALKIN TAIVUTUSJÄYHYYS Laske oheisen I-profiilin neliömomentti eli taivutusjäyhyys Jaetaan poikkileikkaus kolmeen osaan: ylä- ja alalaippa sekä uuma ovat suorakaideosia. Pintakeskiö C on symmetrian vuoksi keskellä. Siten 34 17

18 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ TAIVUTUSTEORIAN YHTEENVETOA Poikkileikkaus säilyy tasona muodonmuutoksessa Neutraaliakselilla on normaalijännitys nolla puhtaassa taivutuksessa Muodonmuutoksessa pituussuuntainen venymä muuttuu lineaarisesti nollasta neutraaliakselilla suurimpaan arvoonsa uloimmissa palkin säikeissä Jännitys muuttuu siten myös lineaarisesti mikäli materiaali on homogeenista ja jännitys pysyy suhteellisuusrajan alapuolella, ts. Hooken laki pätee TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ TAIVUTUSTEORIAN YHTEENVETOA Lineaarielastisella (kimmoisella) materiaalikäyttäytymisellä neutraaliakseli käy poikkipinnan pintakeskiön kautta. Tämä perustuu siihen, että normaalivoima leikkauksessa on oltava nolla (leikkauksessa vaikuttaa voimapari!) Taivutusyhtälö perustuu edellytykseen, että sisäinen taivutusmomentti on lineaarisen normaalijännitysjakauman resultantin momentti neutraaliakselin suhteen 36 18

19 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Yksinkertainen esimerkki Määritä oheiseen puupalkin poikkileikkauksen sisäinen rasitus (taivutusmomentti), kun suurin taivutusnormaalijännitys on 20 MPa TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Sisäinen taivutusmomentti Määritä leikkausmenetelmällä tutkittavan poikkileikkauksen sisäinen taivutusmomentti M Poikkileikkauksen pintakeskiö tai neutraaliakseli on tunnettava, koske taivutusmomentti M lasketaan tämän akselin suhteen Taivutusmomenttikuvaajasta saa suurimman taivutusmomentin mikäli taivutusnormaalijännitys on määritettävä 38 19

20 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Poikkileikkaussuure Määritä taivutusjäyhyys I neutraaliakselin suhteen Taivutusjäyhyys saadaan joko suoraan taulukoista normeeratuille poikkipinnoille tai laskemalla TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Normaalijännitys Määritä etäisyys y neutraaliakselilta pisteessä, jossa jännitys määritetään Sovella yhtälöä σ = My/I, tai maksimijännitystä laskettaessa σ max = Mc/I Yksiköt! 40 20

21 ESIMERKKI 6.16 Kuvan ulokepalkin poikkileikkaus on U- profiili. Määritä suurin taivutusnormaalijännitys leikkauksessa a-a. y 41 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Sisäinen taivutusmomentti Tukireaktioita ei tässä tapauksessa tarvitse määrittää. Sen sijaan käytetään leikkausmenetelmää ja otetaan tutkittavaksi alue leikkauksen a-a vasemmalta puolelta. Huomaa, että leikkauksen normaalivoima N vaikuttaa pintakeskiössä. Taivutusmomentti lasketaan neutraaliakselin suhteen, joka käy poikkileikkauksen pintakeskiön kautta. y y 42 21

22 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Neutraaliakseli Neutraaliakselin sijainti saadaan laskemalla pintakeskiön paikka: y = Σ y A Σ A =... = mm 43 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Sisäinen rasitus Tasapainoehto neutraaliakselin suhteen antaa + Σ M NA = 0; 24 kn(2 m) kn( m) M = 0 M = kn m 44 22

23 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Poikkileikkaussuure (taivutusjäyhyys) Neliömomentti (tai taivutusjäyhyys) lasketaan jakamalla poikkileikkaus kolmeen suorakaideosaan ja soveltamalla paralleeliakseliteoreemaa jokaiselle osalle erikseen. I = [1/12(0.250 m)(0.020 m) 3 + (0.250 m)(0.020 m)( m m) 2 ] + 2[1/12(0.015 m)(0.200 m) 3 + (0.015 m)(0.200 m)(0.100 m m) 2 ] I = 42.26(10-6 ) m 4 45 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Suurin taivutusnormaalijännitys Suurin taivutusnormaalijännitys sijaitsee kauimpana neutraaliakselilta. Palkin alapinnalla c = 200 mm mm = mm. Siten σ = Mc max I = kn m( m) 42.26(10 = 16.2 MPa -6 ) m 4 Yläpinnalla σ = 6.79 MPa. Lisäksi normaalivoima N = 1 kn ja leikkausvoima V = 2.4 kn aiheuttavat lisäjännityksiä palkkiin

24 6.5 VINO TAIVUTUS Tässä esityksessä keskitytään vain symmetrisiin profiileihin ja pääakselien suhteen vaikuttaviin rasituksiin Taivutusyhtälöä voidaan kuitenkin soveltaa myös tapauksiin, jolloin profiili on epäsymmetrinen tai poikittaiskuormitus eroaa päätasoista (vino taivutus) VINO TAIVUTUS Huomaa alempien kuvien pääakselien suunta: 48 24

25 6.5 VINO TAIVUTUS Mielivaltaisesti vaikuttava momentti voidaan jakaa pääakseleille ja soveltaa superpositioperiaatetta: JÄNNITYSKESKITTYMÄT Taivutusyhtälöä voidaan käyttää vain silloin jännitysjakauman määrittämiseen poikkileikkauksessa kun palkki on prismaattinen eli poikkileikkaus ei muutu palkin pituussuunnassa Mikäli poikkileikkaus äkillisesti muuttuu, voidaan jännitysjakauma määrittää kokeellisesti tai kimmoteorialla, palkin taivutusteoria ei enää päde 50 25

26 6.9 JÄNNITYSKESKITTYMÄT Usein rakenneosissa on kuvan mukaisia epäjatkuvuuksia, ts. reikiä, koloja tai muita poikkipinnan muutoksia. Suurin taivutusnormaalijännityksen arvo sijaitsee pienimmässä poikkileikkauksessa JÄNNITYSKESKITTYMÄT Suunnittelussa/analyysissa ei tarvitse tietää tarkkaa jännitysjakaumaa, vaan suurin jännitys leikkauksessa saadaan käyttämällä jännityskonsentraatiokerrointa K Siten suurin taivutusnormaalijännitys voidaan laskea kaavasta σ = K Mc I Yhtälö

27 6.9 JÄNNITYSKESKITTYMÄT TÄRKEÄÄ Mitä suurempi muutos epäjatkuvuudessa, sitä suurempi huippujännitys Suunnittelussa/analyysissa ei tarvitse tietää tarkkaa jännitysjakaumaa vaan suurin arvo Suurin normaalijännitys vaikuttaa pienimmässä leikkauksessa Mikäli materiaali on haurasta tai rakenne on vaihtelevan kuormituksen alainen (väsymisvaara), on huippujännitys otettava huomioon 53 ESIMERKKI 6.26 Määritä suurin taivutusjännitys kuvan palkissa, johon vaikuttaa taivutusmomentti 5 knm. Myötöraja σ Y = 500 MPa

28 ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Jännityshuippu on olakkeen kohdalla. Kuvasta saadaan konsentraatiokerroin K. r/h =... = 0.2 w/h =... = 1.5 Arvojen perusteella käyrästä saadaan K = ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Soveltamalla yhtälöä 6-26: σ = K Mc I =... = 340 MPa Eli jännitys pysyy myötörajan alapuolella. Jännitysjakauma on epälineaarinen (kuva) Saint-Venantin periaatteen mukaisesti paikallinen jännityshuippu tasoittuu nopeasti siirryttäessä epäjatkuvuuskohdasta ja on lähes hävinnyt 80 mm etäisyydellä olakkeesta

29 ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Jännitys olakkeen ulkopuolella on siis taivutusyhtälön mukaan σ max = 234 MPa. Huomaa, että olakkeen loiventaminen pienentää merkittävästi huippujännitystä σ max, koska r :n kasvaessa K pienenee. 57 YHTEENVETO Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ovat palkin sisäisten rasitusten graafisia esityksiä. Ne voidaan muodostaa statiikan leikkausmenetelmällä jakaen palkki sopiviin osiin ja soveltamalla tasapainoyhtälöillä. Toinen vaihtoehto on soveltaa rasitusten matemaattisia yhteyksiä, joiden perusteella tiedetään, että leikkausvoimakuvaajan kulmakerroin on kuormitustiheys w = dv/dx ja taivutusmomenttijakauman kulmakerroin on leikkausvoima V = dm/dx

30 YHTEENVETO Kuormitustiheyden pinta-ala (negatiivisena) vastaa leikkausvoiman muutosta eli V = w dx. Vastaavasti leikkausvoimajakauman rajaama pinta-ala vastaa taivutusmomentin muutosta M = Vdx. Leikkausmenetelmällä voidaan laskea missä tahanasa pisteessä leikkausvoima ja taivutusmomentti. Taivutusmomentti aiheuttaa lineaarisesti muuttuvan normaalivenymän palkin poikkileikkaukseen Mikäli materiaali on homogeeninen ja Hooken laki pätee eli momentin aiheuttama jännitys ei ylitä myötörajaa, saadaan sisäinen momentti laskettua jännitysjakauman momenttitasapainosta. 59 YHTEENVETO Tuloksena saadaan taivutusyhtälö σ = Mc/I, jossa I ja c määräytyvät neutraaliakselista joka käy poikkileikkauksen pintakeskiön kautta Mikäli poikkileikkaus ei ole symmetrinen, on kyseessä vino taivutus, jota tässä kurssissa ei käsitellä Suuriin jännitys yleisessä kuormitustapauksessa saadaan jakamalla taivutusmomentti pääakseleille ja soveltamalla superpositioperiaatetta suurimman jännityksen selvittämiseksi

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,

Lisätiedot

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1

Lisätiedot

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Rakenneterästen myötörajan f y ja vetomurtolujuuden f u arvot valitaan seuraavasti: a) käytetään suoraan tuotestandardin arvoja f y = R eh ja f u = R m b) tai käytetään

Lisätiedot

Palkin taivutus. 1 Johdanto. missä S on. määritetään taivuttamalla. man avulla.

Palkin taivutus. 1 Johdanto. missä S on. määritetään taivuttamalla. man avulla. PALKIN TAIVUTUS 1 Johdanto Jos homogeenista tasapaksua palkkia venytetäänn palkin suuntaisella voimalla F, on jännitys σ mielivaltaisellaa etäisyydellää tukipisteestä, 1 missä S on palkin poikkileikkauksen

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN Esa Makkonen Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 Tiivistelmii: Artikkelissa kehitetaan laskumenetelma, jonka avulla

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Tuulen nopeuden mittaaminen

Tuulen nopeuden mittaaminen KON C3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma / ryhmä K Tuulen nopeuden mittaaminen Matias Kidron 429542 Toni Kokkonen 429678 Sakke Juvonen 429270 Kansikuva: http://www.stevennoble.com/main.php?g2_view=core.downloaditem&g2_itemid=12317&g2_serialnumber=2

Lisätiedot

Stabiliteetti ja jäykistäminen

Stabiliteetti ja jäykistäminen Stabiliteetti ja jäykistäminen Lommahdusjännitykset ja -kertoimet Lommahdus normaalijännitysten vuoksi: Leikkauslommahdus: Eulerin jännitys Lommahduskerroin normaalijännitykselle, pitkä jäykistämätön levy:

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

1.3 Pilareiden epäkeskisyyksien ja alkukiertymien huomioon ottaminen

1.3 Pilareiden epäkeskisyyksien ja alkukiertymien huomioon ottaminen 1. MASTOPILARIN MITOITUSMENETELMÄ 1.1 Käyttökohteet Mitoitusmenetelmä soveltuu ensisijaisesti yksilaivaisen, yksikerroksisen mastojäykistetyn teräsbetonikehän tarkkaan analysointiin. Menetelmän soveltamisessa

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari VÄÄNTÖRASITETUN RAKENNEOSAN EURONORMIIN PERUSTUVA KESTÄVYYSLASKENTAYHTÄLÖIDEN

Lisätiedot

Vastaanottaja Helsingin kaupunki. Asiakirjatyyppi Selvitys. Päivämäärä 30.10.2014 VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS

Vastaanottaja Helsingin kaupunki. Asiakirjatyyppi Selvitys. Päivämäärä 30.10.2014 VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS Vastaanottaja Helsingin kaupunki Asiakirjatyyppi Selvitys Päivämäärä 30.10.2014 VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS Päivämäärä 30/10/2014 Laatija Tarkastaja Kuvaus Heini

Lisätiedot

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin FYSP102 / K2 KIMMOKERTOIMEN MÄÄRITYS Työn tavoitteita tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin kerrata monia toistoja sisältävien laskujen sekä suoransovituksen tekemistä

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

AVOIMEN SARJAN VASTAUKSET JA PISTEITYS

AVOIMEN SARJAN VASTAUKSET JA PISTEITYS AVOIME SARJA VASTAUKSET JA PISTEITYS 1. Käytössäsi on viivoitin, 10 g:n punnus, 2 :n kolikko sekä pyöreä kynä. Määritä kolikon ja viivoittimen massa. Selosta vastauksessa käyttämäsi menetelmät sekä esitä

Lisätiedot

RAK-31000 Statiikka 4 op

RAK-31000 Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

ESIMERKKI 4: Välipohjan kehäpalkki

ESIMERKKI 4: Välipohjan kehäpalkki ESIMERKKI 4: Välipohjan kehäpalkki Perustietoja - Välipohjan kehäpalkki sijaitsee ensimmäisen kerroksen ulkoseinien päällä. - Välipohjan kehäpalkki välittää ylemmän kerroksen ulkoseinien kuormat alemmille

Lisätiedot

Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen

Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen Ryhmä S: Pekka Vartiainen 427971 Jari Villanen 69830F Anssi Petäjä 433978 Sisällysluettelo 1 Johdanto...

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

RIL263 KAIVANTO-OHJE TUETUN KAIVANNON MITOITUS PETRI TYYNELÄ/RAMBOLL FINLAND OY

RIL263 KAIVANTO-OHJE TUETUN KAIVANNON MITOITUS PETRI TYYNELÄ/RAMBOLL FINLAND OY RIL263 KAIVANTO-OHJE TUETUN KAIVANNON MITOITUS PETRI TYYNELÄ/RAMBOLL FINLAND OY YLEISTÄ Kaivanto mitoitetaan siten, että maapohja ja tukirakenne kestävät niille kaikissa eri työvaiheissa tulevat kuormitukset

Lisätiedot

Reikien vaikutus palkin jäykkyyteen

Reikien vaikutus palkin jäykkyyteen Reikien vaikutus palkin jäykkyyteen Kon-41.4005 Kokeelliset menetelmät koesuunnitelma Sami Lahtinen, Petteri Peltonen, Perttu Hettula, Olli-Ville Laukkanen & Teemu Seppänen 2/16/2014 Sisällysluettelo 1

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. 05/1 ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. YLEISTÄ Laskentamallin luonnin ja varsinaisen laskennan lisäksi FEM-analyysi sisältää myös tulosten tarkastelun

Lisätiedot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti

Lisätiedot

ESIMERKKI 2: Asuinhuoneen välipohjapalkki

ESIMERKKI 2: Asuinhuoneen välipohjapalkki ESIMERKKI 2: Asuinhuoneen välipohjapalkki Perustietoja - Välipohjapalkki P102 tukeutuu ulkoseiniin sekä väliseiniin ja väliseinien aukkojen ylityspalkkeihin. - Palkiston päällä oleva vaneri liimataan palkkeihin

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Osa 4: Palkit Palkkien suunnittelu eurokoodeilla Johdanto Mitoitusmenettely Palonkestävyys

Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Osa 4: Palkit Palkkien suunnittelu eurokoodeilla Johdanto Mitoitusmenettely Palonkestävyys 1(12) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Johdanto Eurokoodien käyttöönotto kantavien rakenteiden suunnittelussa on merkittävin suunnitteluohjeita koskeva muutos kautta aikojen. Koko Eurooppa

Lisätiedot

KANTAVUUSTAULUKOT (EN-1993-1-3 mukaan) Kantavat poimulevyt W-70/900 W-115/750 W-155/840

KANTAVUUSTAULUKOT (EN-1993-1-3 mukaan) Kantavat poimulevyt W-70/900 W-115/750 W-155/840 KANTAVUUSTAUUKOT (EN-1993-1-3 mukaan) Kantavat poimulevyt W-70/900 W-115/750 W-155/840 W-1 / Kantavilla poimulevyillä VTT:n laadunvalvontasopimus Poimulevyjä käytetään vesikattona tai kantavana rakenteena

Lisätiedot

Copyright 2010 Metsäliitto Osuuskunta, Puutuoteteollisuus. Finnwood 2.3 ( 2.3.027) FarmiMalli Oy. Katoksen takaseinän palkki. Urpo Manninen 12.7.

Copyright 2010 Metsäliitto Osuuskunta, Puutuoteteollisuus. Finnwood 2.3 ( 2.3.027) FarmiMalli Oy. Katoksen takaseinän palkki. Urpo Manninen 12.7. Laskelmat on tehty alla olevilla lähtötiedoilla vain kyseiselle rakenneosalle. Laskelmissa esitetty rakenneosan pituus ei ole tilausmitta. Tilausmitassa on otettava huomioon esim. tuennan vaatima lisäpituus.

Lisätiedot

Copyright 2010 Metsäliitto Osuuskunta, Puutuoteteollisuus. Finnwood 2.3 ( 2.3.027) FarmiMalli Oy. Katoksen rakentaminen, Katoksen 1.

Copyright 2010 Metsäliitto Osuuskunta, Puutuoteteollisuus. Finnwood 2.3 ( 2.3.027) FarmiMalli Oy. Katoksen rakentaminen, Katoksen 1. Laskelmat on tehty alla olevilla lähtötiedoilla vain kyseiselle rakenneosalle. Laskelmissa esitetty rakenneosan pituus ei ole tilausmitta. Tilausmitassa on otettava huomioon esim. tuennan vaatima lisäpituus.

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Tuomas Kaira. Ins.tsto Pontek Oy. Tuomas Kaira

Tuomas Kaira. Ins.tsto Pontek Oy. Tuomas Kaira Ins.tsto Pontek Oy Lasketaan pystykuorman resultantin paikka murtorajatilan STR/GEO yhdistelmän mukaan Lasketaan murtorajatilan STR/GEO yhdistelmän mukaisen pystykuorman aiheuttama kolmion muotoinen pohjapainejakauma

Lisätiedot

PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS

PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS VERKKOLIITE 1a Diagonaalien liitos pääkannattajan alapaarteeseen (harjalohkossa) Huom! K-liitoksen mitoituskaavoissa otetaan muuttujan β arvoa ja siitä laskettavaa k n

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 Tämä päivitetty ohje perustuu aiempiin versioihin: 18.3.1988 AKN 13.5.1999 AKN/ks SISÄLLYS: 1. Yleistä... 2 2. Mitoitusperusteet...

Lisätiedot

ESIMERKKI 2: Kehän mastopilari

ESIMERKKI 2: Kehän mastopilari ESIMERKKI : Kehän mastopilari Perustietoja: - Hallin 1 pääpilarit MP101 ovat liimapuurakenteisia mastopilareita. - Mastopilarit ovat tuettuja heikomman suunnan nurjahusta vastaan ulkoseinäelementeillä.

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn

Lisätiedot

ESIMERKKI 3: Nurkkapilari

ESIMERKKI 3: Nurkkapilari ESIMERKKI 3: Nurkkapilari Perustietoja: - Hallin 1 nurkkapilarit MP10 ovat liimapuurakenteisia mastopilareita. 3 Halli 1 6000 - Mastopilarit on tuettu heikomman suunnan nurjahusta vastaan ulkoseinäelementeillä.

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa

Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa Rakenteiden Mekaniikka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 75 82 Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa Reijo Kouhia Tiivistelmä. Momenttimenetelmä on käyttökelpoinen ratkaisutapa

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Ryhmä T. Koesuunnitelma. Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt, KON-C3004

Ryhmä T. Koesuunnitelma. Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt, KON-C3004 Ryhmä T Koesuunnitelma Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt, KON-C3004 Henri Makkonen 430450, Iivari Sassi 311582, Alexander Hopsu 429005 12.10.2015 Sisällys Tutkimusongelma ja tutkimuksen tavoite...

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

T512905 Puurakenteet 1 5 op

T512905 Puurakenteet 1 5 op T512905 Puurakenteet 1 5 op Kantavat puurakenteet Rajatilamitoituksen periaatteet Murtorajatila Materiaalin osavarmuusluku M Kuorman keston ja kosteusvaikutuksen huomioiva lujuuden ja jäykkyyden muunnoskerroin

Lisätiedot

TIESILTOJEN VÄSYTYSKUORMAT

TIESILTOJEN VÄSYTYSKUORMAT TIESILTOJEN VÄSYTYSKUORMAT Siltaeurokoodien koulutus Teräs-, liitto- ja puusillat 29-30.3.2010 Heikki Lilja Liikennevirasto 2 MILLE RAKENNEOSILLE TEHDÄÄN VÄSYTYSMITOITUS (TERÄS- JA LIITTOSILLAT) EN1993-2

Lisätiedot

MYNTINSYRJÄN JALKAPALLOHALLI

MYNTINSYRJÄN JALKAPALLOHALLI Sivu 1 / 9 MYNTINSYRJÄN JALKAPALLOHALLI Tämä selvitys on tilattu rakenteellisen turvallisuuden arvioimiseksi Myntinsyrjän jalkapallohallista. Hallin rakenne vastaa ko. valmistajan tekemiä halleja 90 ja

Lisätiedot

HITSATUT PROFIILIT EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010)

HITSATUT PROFIILIT EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010) EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010) Täsmennykset ja painovirhekorjaukset 6.6.2012: Sivu 27: Sivun alaosassa, ennen kursivoitua tekstiä: standardin EN 10149-2 mukaiset..., ks. taulukot 1.6 ja 1.7 standardin EN

Lisätiedot

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen.

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. X.X.2015 Tehtävä 1 Bipolaaritransistoria käytetään alla olevan kuvan mukaisessa kytkennässä, jossa V CC = 40 V ja kuormavastus

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

ESIMERKKI 5: Ulkoseinän runkotolppa

ESIMERKKI 5: Ulkoseinän runkotolppa ESIMERKKI 5: Ulkoseinän runkotolppa Perustietoja - Ulkoseinätolpat oletetaan päistään nivelellisesti tuetuksi. - Ulkoseinätolppien heikompi suunta on tuettu nurjahdusta vastaan tuulensuojalevytyksellä.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Niittiliitokset toimivat periaatteessa kuin ruuviliitokset kiinnitysluokissa A ja D.

Niittiliitokset toimivat periaatteessa kuin ruuviliitokset kiinnitysluokissa A ja D. 3. LIITOKSET 3.1 Yleistä Teräsrakenteiden liittämiseen toisiinsa voidaan käyttää seuraavia menetelmiä: - ruuvi-, niitti- ja niveltappiliitokset - hitsausliitokset - liimaliitokset Näistä tulevat yleensä

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Finnwood 2.3 SR1 (2.4.017) Copyright 2012 Metsäliitto Osuuskunta, Metsä Wood

Finnwood 2.3 SR1 (2.4.017) Copyright 2012 Metsäliitto Osuuskunta, Metsä Wood Laskelmat on tehty alla olevilla lähtötiedoilla vain kyseiselle rakenneosalle. Laskelmissa esitetty rakenneosan pituus ei ole tilausmitta. Tilausmitassa on otettava huomioon esim. tuennan vaatima lisäpituus.

Lisätiedot

Nurjahduspituudesta. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s. 21-25. Jussi Jalkanen ja Matti Mikkola

Nurjahduspituudesta. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s. 21-25. Jussi Jalkanen ja Matti Mikkola Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s. 21-25 Nurjahduspituudesta Jussi Jalkanen ja Matti Mikkola Tiivistelmä. Artikkelissa käsitellään nurjahduspituuden määrittämiseen liittyvää väärinkäsityksen

Lisätiedot

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA 1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus

Lisätiedot

Finnwood 2.3 SR1 (2.4.017) Copyright 2012 Metsäliitto Osuuskunta, Metsä Wood? 19.11.2015

Finnwood 2.3 SR1 (2.4.017) Copyright 2012 Metsäliitto Osuuskunta, Metsä Wood? 19.11.2015 Laskelmat on tehty alla olevilla lähtötiedoilla vain kyseiselle rakenneosalle. Laskelmissa esitetty rakenneosan pituus ei ole tilausmitta. Tilausmitassa on otettava huomioon esim. tuennan vaatima lisäpituus.

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

Rak-54.1200 Rakenteiden lujuusoppi Tentti 8.3.2007

Rak-54.1200 Rakenteiden lujuusoppi Tentti 8.3.2007 Rak-54.00 Raketeide lujuusoppi Tetti 8..007 Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai.

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

DI Risto Lilja, kommentaattori RI, DI Aarre Iivonen Tampereen ammattikorkeakoulu, valvojana Olli Saarinen

DI Risto Lilja, kommentaattori RI, DI Aarre Iivonen Tampereen ammattikorkeakoulu, valvojana Olli Saarinen TAMPEREEN AMMATTIKORKEAKOULU Rakennustekniikan koulutusohjelma Talonrakennustekniikka Tutkintotyö Timo Sormunen STATIIKAN PERUSKURSSIN OPPIMATERIAALI Työn ohjaaja Työn teettäjä Tampere 005 DI Risto Lilja,

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot