TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat
|
|
- Eveliina Pesonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria, poikkileikkaukseltaan symmetrisiä ja materiaaliltaan homogeenisia Lisäksi tutkitaan jännityskeskittymiä epäjatkuvuuskohdissa 1 SISÄLTÖ 1. Leikkausvoima- ja taivutuskuvaajat 2. Graafinen menetelmä leikkausvoima- ja taivutuskuvaajien määrittämiseksi 3. Suoran sauvan taivutusmuodonmuutos 4. Taivutusyhtälö 5. Jännityskeskittymät 2 1
2 6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Hoikkia sauvoja, joita kuormitetaan poikittaissuunnassa sanotaan palkeiksi LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Palkin suunnittelu edellyttää suurimman leikkausvoiman ja taivutusmomentin määrittämistä Muodostetaan leikkausvoiman ja taivutusmomentin lausekkeet pituuskoordinaatin x funktiona Esitetään funktiot graafisesti: leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat Suunnittelijoiden on tunnettava leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakauma, jolloin palkkia voidaan tarvittaessa vahvistaa joltain osalta 4 2
3 6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Leikkausvoiman ja taivutusmomentin lausekkeet pitää määrittää jokaisella alueella, jonka rajaa kuormituksen epäjatkuvuus LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Merkkisääntö Käytetään samaa merkkisääntöä kuin statiikassa: 6 3
4 6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Määritelmiä Palkit ovat pitkiä suoria rakenneosia, jotka kantavat poikittaiskuormia. Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumien määrittäminen on tärkeää, jotta suunnittelija näkee missä pisteessä rasitus on suurimmillaan Merkkisäännön avulla voidaan muodostaa em. rasitusyhtälöt ja piirtää ne kuvaajina Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumien määrittäminen on esitetty statiikan kurssissa, joten tässä ne kerrataan vain esimerkin avulla 7 ESIMERKKI 6.6 Määritä kuvan palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat: 8 4
5 ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Tukireaktiot: Lasketaan vapaakappalekuvasta Leikkausvoima- ja taivutusmomenttifunktiot : Palkki on jaettava kahteen osaan, koska keskellä on kuormituksen epäjatkuvuus (pistevoima 15 kn) 0 x 1 5 m, + Σ F y = 0;... V = 5.75 N + Σ M = 0;... M = (5.75x ) kn m 9 ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Leikkausvoima- ja taivutusmomenttifunktiot 5 m x 2 10 m, + Σ F y = 0;... V = ( x 2 ) kn + Σ M = 0;... M = ( 2.5x x ) kn m Tarkista tulos: w = dv/dx ja V = dm/dx. 10 5
6 ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Leikkausvoima- ja Taivutusmomenttifunktiot: graafinen esitys GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Edellä esitetty tapa on varsin työläs yksinkertaistenkin rakenteiden analyysissa. Yksinkertaisempi vaihtoehto on käyttää differentiaaliyhtälöitä, jotka sitovat yhteen kuormitustiheyden, leikkausvoiman ja taivutusmomentin: dv ( ) dx = wx V = w( x) dx dm V dx = M = Vdx 12 6
7 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w dv dx = w(x) dm dx = V Leikkaus- = kuormitustiheys ko. voima- jakauman pisteessä kulmakerroin Taivutus- = leikkausvoima ko. momentti- jakauman pisteessä kulmakerroin GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w V = w(x) dx Leikkausvoiman muutos = kuormitustiheyden rajaama alue Taivutusmomentin muutos M = V(x) dx = leikkausvoimakuvion rajaama alue 14 7
8 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Pistemäisen voiman ja momentin alueet GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w 16 8
9 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Tukireaktiot Ratkaise tukireaktiot ja määritä kuormat, jotka vaikuttavat palkin poikittais- ja pitkittäissuunnassa Leikkausvoimajakauma Piirrä tunnetut leikkausvoiman arvot palkin kahteen pisteeseen GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Leikkausvoimajakauma Koska dv/dx = w, leikkausvoimajakauman kulmakerroin on sama kuin kuormitustiheyden negatiivinen arvo ko. pisteessä Leikkausvoiman numeerinen arvo määrätyssä pisteessä saadaan joko leikkausmenetelmällä ja tasapainoyhtälöillä. Toinen vaihtoehto on käyttää yhteyttä V = w(x) dx eli leikkausvoiman muutos kahden pisteen välillä on kuormitustiheyden rajaama alue negatiivisena. 18 9
10 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Leikkausvoimajakauma Koska w(x) on integroitava V:n laskemiseksi, on kuormitustiheyden w(x) asteluku yhtä astetta pienempi kuin leikkausvoimajakauman asteluku Taivutusmomenttijakauma Piirrä tunnetut taivutusmomentin arvot palkin kahteen pisteeseen Koska dm/dx = V, momenttijakauman kulmakerroin on sama kuin leikkausvoima ko. pisteessä GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Taivutusmomenttijakauma Pisteessä, jossa leikkausvoima on nolla on dm/dx = 0 ja taivutusmomentilla on pienin tai suurin arvonsa (paikallisesti) Mikäli halutaan momentin numeerinen arvo, on käytettävä leikkausmenetelmää ja tasapainoehtoja. Toinen tapa on laskea M = V(x) dx, ts. momentin muutos on kahden pisteen rajaaman alueen leikkausvoimakuvaajan pinta-ala. Momenttifunktio on siis astetta korkeampi kuin leikkausvoimafunktio
11 ESIMERKKI 6.11 Piirrä leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat kuvan palkille. 21 ESIMERKKI 6.11 (RATKAISU) Tukireaktiot: Vapaakappalekuvasta Leikkausvoimajakauma Kuormitustiheyden perusteella leikkausvoimajakauman kulmakerroin muuttuu arvosta nolla pisteessä x = 0 arvoon 2 pisteessä x = 4.5. Siten sen muoto on parabolinen. Leikkausmenetelmällä saadaan piste, jossa leikkausvoima on nolla: + Σ F y = 0;... x = 2.6 m 22 11
12 ESIMERKKI 6.11 (RATKAISU) Taivutusmomenttijakauma Leikkausvoimakuvaajan mukaan kulmakerroin alussa on +1.5 ja se pienenee arvoon nolla pisteessä 2.6 m. Sen jälkeen se pienenee arvoon 3 pisteessä x = 4.5 m. Momenttijakauma on kolmannen asteen yhtälö. + Σ M = 0;... M = 2.6 kn m TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Suoraa, prismaattista palkkia kuormitetaan taivutusmomentilla. Pitkittäissäikeet kaartuvat ja poikittaissäikeet pysyvät suorina, mutta kiertyvät: 24 12
13 6.3 TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Neutraaliakselilla pitkittäissäikeiden pituus ei muutu: TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Teknisen taivutusteorian perusoletukset: 1. Neutraaliakselilla pituussuuntaiset säikeet eivät veny tai puristu 2. Kaikki poikkileikkaukset pysyvät tasoina ja ovat kohtisuorassa pituusakselia vastaan myös muodonmuutoksessa 3. Poikkileikkauksen omaa muodonmuutosta ei oteta huomioon 26 13
14 6.3 TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Poikkileikkauksessa pitkittäinen normaalivenymä muuttuu lineaarisesti neutraaliakselilta etäisyyden y funktiona (kuva) Positiivisella momentilla neutraaliakselin yläpuoliset säikeet (+y) ovat puristuksella ( ε) Positiivisella momentilla neutraaliakselin alapuoliset säikeet (-y) ovat vedolla (+ε) Yhtälö 6-8 ε = (y/c)ε max Normaalivenymän jakauma TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Oletetaan materiaalin käyttäytyvän lineaarielastisesti joten Hooken laki pätee Normaalivenymän lineaarinen muutos tarkoittaa silloin myös normaalijännityksen lineaarisuutta Soveltaen Hooken lakia edellisen sivun yhtälöön 6-8 saadaan Normaalivenymän jakauma Yhtälö 6-9 σ = (y/c)σ max Taivutusnormaalijännityksen jakauma 28 14
15 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Soveltaen statiikan tasapainoyhtälöitä voidaan kuvan jännitysjakaumasta johtaa yhteydet Yhtälö 6-10 A y da = 0 Yhtälö 6-11 M = σ max c A y 2 da Taivutusnormaalijännityksen jakauma Alemman yhtälön integraali on poikkileikkauksen ns. neliömomentti tai taivutusjäyhyys. Se merkitään suuremerkinnällä I TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Jälkimmäisestä yhtälöstä voidaan ratkaista suurin taivutusnormaalijännitys eli Mc σ Yhtälö 6-12 max = I σ max = poikkileikkauksen suurin jännitys, joka sijaitsee pisteessä joka on kauimpana neutraaliakselilta M = sisäinen taivutusmomentti I = taivutusjäyhyys c = suurin kohtisuora etäisyys neutraaliakselilta poikkileikkauksessa 30 15
16 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Normaalijännitys mielivaltaisessa pisteessä y voidaan määrittää yhtälöstä My Yhtälö 6-13 σ = I Yhtälöitä 6-12 ja 6-13 sanotaan taivutusyhtälöiksi. Negatiivinen taivutus +y +x TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Vasemmassa kuvassa on skemaattisesti esitetty ulokepalkin taivutusnormaalijännityksen kehittyminen pituuden kasvaessa Rasituksena on oma paino Sininen väri kuvaa vetojännitystä, punainen puristusjännitystä 32 16
17 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Neliömomentti tai taivutusjäyhyys lasketaan yleisesti kaavasta I = A y 2 da Usein poikkileikkaus voidaan jakaa suorakaideosiin (leveys b, korkeus h), jolloin voidaan em. integraali laskea summalausekkeena I = Σ( I i +d i2 A i )= Σ( b i h i 3 /12+d i 2 A i ) missä d i on koko pinnan A=ΣA i pintakeskiön etäisyys osapinnan A i pintakeskiöstä ESIMERKKI: I-PALKIN TAIVUTUSJÄYHYYS Laske oheisen I-profiilin neliömomentti eli taivutusjäyhyys Jaetaan poikkileikkaus kolmeen osaan: ylä- ja alalaippa sekä uuma ovat suorakaideosia. Pintakeskiö C on symmetrian vuoksi keskellä. Siten 34 17
18 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ TAIVUTUSTEORIAN YHTEENVETOA Poikkileikkaus säilyy tasona muodonmuutoksessa Neutraaliakselilla on normaalijännitys nolla puhtaassa taivutuksessa Muodonmuutoksessa pituussuuntainen venymä muuttuu lineaarisesti nollasta neutraaliakselilla suurimpaan arvoonsa uloimmissa palkin säikeissä Jännitys muuttuu siten myös lineaarisesti mikäli materiaali on homogeenista ja jännitys pysyy suhteellisuusrajan alapuolella, ts. Hooken laki pätee TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ TAIVUTUSTEORIAN YHTEENVETOA Lineaarielastisella (kimmoisella) materiaalikäyttäytymisellä neutraaliakseli käy poikkipinnan pintakeskiön kautta. Tämä perustuu siihen, että normaalivoima leikkauksessa on oltava nolla (leikkauksessa vaikuttaa voimapari!) Taivutusyhtälö perustuu edellytykseen, että sisäinen taivutusmomentti on lineaarisen normaalijännitysjakauman resultantin momentti neutraaliakselin suhteen 36 18
19 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Yksinkertainen esimerkki Määritä oheiseen puupalkin poikkileikkauksen sisäinen rasitus (taivutusmomentti), kun suurin taivutusnormaalijännitys on 20 MPa TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Sisäinen taivutusmomentti Määritä leikkausmenetelmällä tutkittavan poikkileikkauksen sisäinen taivutusmomentti M Poikkileikkauksen pintakeskiö tai neutraaliakseli on tunnettava, koske taivutusmomentti M lasketaan tämän akselin suhteen Taivutusmomenttikuvaajasta saa suurimman taivutusmomentin mikäli taivutusnormaalijännitys on määritettävä 38 19
20 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Poikkileikkaussuure Määritä taivutusjäyhyys I neutraaliakselin suhteen Taivutusjäyhyys saadaan joko suoraan taulukoista normeeratuille poikkipinnoille tai laskemalla TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Normaalijännitys Määritä etäisyys y neutraaliakselilta pisteessä, jossa jännitys määritetään Sovella yhtälöä σ = My/I, tai maksimijännitystä laskettaessa σ max = Mc/I Yksiköt! 40 20
21 ESIMERKKI 6.16 Kuvan ulokepalkin poikkileikkaus on U- profiili. Määritä suurin taivutusnormaalijännitys leikkauksessa a-a. y 41 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Sisäinen taivutusmomentti Tukireaktioita ei tässä tapauksessa tarvitse määrittää. Sen sijaan käytetään leikkausmenetelmää ja otetaan tutkittavaksi alue leikkauksen a-a vasemmalta puolelta. Huomaa, että leikkauksen normaalivoima N vaikuttaa pintakeskiössä. Taivutusmomentti lasketaan neutraaliakselin suhteen, joka käy poikkileikkauksen pintakeskiön kautta. y y 42 21
22 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Neutraaliakseli Neutraaliakselin sijainti saadaan laskemalla pintakeskiön paikka: y = Σ y A Σ A =... = mm 43 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Sisäinen rasitus Tasapainoehto neutraaliakselin suhteen antaa + Σ M NA = 0; 24 kn(2 m) kn( m) M = 0 M = kn m 44 22
23 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Poikkileikkaussuure (taivutusjäyhyys) Neliömomentti (tai taivutusjäyhyys) lasketaan jakamalla poikkileikkaus kolmeen suorakaideosaan ja soveltamalla paralleeliakseliteoreemaa jokaiselle osalle erikseen. I = [1/12(0.250 m)(0.020 m) 3 + (0.250 m)(0.020 m)( m m) 2 ] + 2[1/12(0.015 m)(0.200 m) 3 + (0.015 m)(0.200 m)(0.100 m m) 2 ] I = 42.26(10-6 ) m 4 45 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Suurin taivutusnormaalijännitys Suurin taivutusnormaalijännitys sijaitsee kauimpana neutraaliakselilta. Palkin alapinnalla c = 200 mm mm = mm. Siten σ = Mc max I = kn m( m) 42.26(10 = 16.2 MPa -6 ) m 4 Yläpinnalla σ = 6.79 MPa. Lisäksi normaalivoima N = 1 kn ja leikkausvoima V = 2.4 kn aiheuttavat lisäjännityksiä palkkiin
24 6.5 VINO TAIVUTUS Tässä esityksessä keskitytään vain symmetrisiin profiileihin ja pääakselien suhteen vaikuttaviin rasituksiin Taivutusyhtälöä voidaan kuitenkin soveltaa myös tapauksiin, jolloin profiili on epäsymmetrinen tai poikittaiskuormitus eroaa päätasoista (vino taivutus) VINO TAIVUTUS Huomaa alempien kuvien pääakselien suunta: 48 24
25 6.5 VINO TAIVUTUS Mielivaltaisesti vaikuttava momentti voidaan jakaa pääakseleille ja soveltaa superpositioperiaatetta: JÄNNITYSKESKITTYMÄT Taivutusyhtälöä voidaan käyttää vain silloin jännitysjakauman määrittämiseen poikkileikkauksessa kun palkki on prismaattinen eli poikkileikkaus ei muutu palkin pituussuunnassa Mikäli poikkileikkaus äkillisesti muuttuu, voidaan jännitysjakauma määrittää kokeellisesti tai kimmoteorialla, palkin taivutusteoria ei enää päde 50 25
26 6.9 JÄNNITYSKESKITTYMÄT Usein rakenneosissa on kuvan mukaisia epäjatkuvuuksia, ts. reikiä, koloja tai muita poikkipinnan muutoksia. Suurin taivutusnormaalijännityksen arvo sijaitsee pienimmässä poikkileikkauksessa JÄNNITYSKESKITTYMÄT Suunnittelussa/analyysissa ei tarvitse tietää tarkkaa jännitysjakaumaa, vaan suurin jännitys leikkauksessa saadaan käyttämällä jännityskonsentraatiokerrointa K Siten suurin taivutusnormaalijännitys voidaan laskea kaavasta σ = K Mc I Yhtälö
27 6.9 JÄNNITYSKESKITTYMÄT TÄRKEÄÄ Mitä suurempi muutos epäjatkuvuudessa, sitä suurempi huippujännitys Suunnittelussa/analyysissa ei tarvitse tietää tarkkaa jännitysjakaumaa vaan suurin arvo Suurin normaalijännitys vaikuttaa pienimmässä leikkauksessa Mikäli materiaali on haurasta tai rakenne on vaihtelevan kuormituksen alainen (väsymisvaara), on huippujännitys otettava huomioon 53 ESIMERKKI 6.26 Määritä suurin taivutusjännitys kuvan palkissa, johon vaikuttaa taivutusmomentti 5 knm. Myötöraja σ Y = 500 MPa
28 ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Jännityshuippu on olakkeen kohdalla. Kuvasta saadaan konsentraatiokerroin K. r/h =... = 0.2 w/h =... = 1.5 Arvojen perusteella käyrästä saadaan K = ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Soveltamalla yhtälöä 6-26: σ = K Mc I =... = 340 MPa Eli jännitys pysyy myötörajan alapuolella. Jännitysjakauma on epälineaarinen (kuva) Saint-Venantin periaatteen mukaisesti paikallinen jännityshuippu tasoittuu nopeasti siirryttäessä epäjatkuvuuskohdasta ja on lähes hävinnyt 80 mm etäisyydellä olakkeesta
29 ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Jännitys olakkeen ulkopuolella on siis taivutusyhtälön mukaan σ max = 234 MPa. Huomaa, että olakkeen loiventaminen pienentää merkittävästi huippujännitystä σ max, koska r :n kasvaessa K pienenee. 57 YHTEENVETO Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ovat palkin sisäisten rasitusten graafisia esityksiä. Ne voidaan muodostaa statiikan leikkausmenetelmällä jakaen palkki sopiviin osiin ja soveltamalla tasapainoyhtälöillä. Toinen vaihtoehto on soveltaa rasitusten matemaattisia yhteyksiä, joiden perusteella tiedetään, että leikkausvoimakuvaajan kulmakerroin on kuormitustiheys w = dv/dx ja taivutusmomenttijakauman kulmakerroin on leikkausvoima V = dm/dx
30 YHTEENVETO Kuormitustiheyden pinta-ala (negatiivisena) vastaa leikkausvoiman muutosta eli V = w dx. Vastaavasti leikkausvoimajakauman rajaama pinta-ala vastaa taivutusmomentin muutosta M = Vdx. Leikkausmenetelmällä voidaan laskea missä tahanasa pisteessä leikkausvoima ja taivutusmomentti. Taivutusmomentti aiheuttaa lineaarisesti muuttuvan normaalivenymän palkin poikkileikkaukseen Mikäli materiaali on homogeeninen ja Hooken laki pätee eli momentin aiheuttama jännitys ei ylitä myötörajaa, saadaan sisäinen momentti laskettua jännitysjakauman momenttitasapainosta. 59 YHTEENVETO Tuloksena saadaan taivutusyhtälö σ = Mc/I, jossa I ja c määräytyvät neutraaliakselista joka käy poikkileikkauksen pintakeskiön kautta Mikäli poikkileikkaus ei ole symmetrinen, on kyseessä vino taivutus, jota tässä kurssissa ei käsitellä Suuriin jännitys yleisessä kuormitustapauksessa saadaan jakamalla taivutusmomentti pääakseleille ja soveltamalla superpositioperiaatetta suurimman jännityksen selvittämiseksi
7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ
TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima
LisätiedotMääritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja
TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti
Lisätiedot8. Yhdistetyt rasitukset
TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.
Lisätiedotnormaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät
TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,
LisätiedotSUORAN PALKIN TAIVUTUS
SUORAN PALKIN TAIVUTUS KERTAUSTA! Palkin rasituslajit Palkki tasossa: Tasopalkin rasitukset, sisäiset voimat, ovat normaalivoima N, leikkausvoima Q ja taivutusmomentti M t. Ne voidaan isostaattisessa rakenteessa
LisätiedotPUHDAS, SUORA TAIVUTUS
PUHDAS, SUORA TAIVUTUS Qx ( ) Nx ( ) 0 (puhdas taivutus) d t 0 eli taivutusmomentti on vakio dx dq eli palkilla oleva kuormitus on nolla 0 dx suora taivutus Taivutusta sanotaan suoraksi, jos kuormitustaso
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti
KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Statiikan välikoe 12.3.2018 Ajankohta ma 12.3.2018 klo 14:00 17:00 Salijako
LisätiedotAnalysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus
TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,
LisätiedotSUORAN PALKIN RASITUKSET
SUORAN PALKIN RASITUKSET Palkilla tarkoitetaan pitkänomaista rakenneosaa, jota voidaan käsitellä yksiulotteisena eli viivamaisena. Palkkia kuormitetaan pääasiassa poikittaisilla kuormituksilla, mutta usein
LisätiedotAksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu
TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 8.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Normaalivoiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin käsitteet (Kirjan luku 7.1) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, millaisia sisäisiä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 3.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Ristikon sauvavoimat (Kirjan luvut 6.1-6.4) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mikä on ristikkorakenne Osata soveltaa aiemmin kurssilla
LisätiedotTasokehät. Kuva. Sauvojen alapuolet merkittyinä.
Tasokehät Tasokehä muodostuu yksinkertaisista palkeista ja ulokepalkeista, joita yhdistetään toisiinsa jäykästi tai nivelkehässä nivelellisesti. Palkit voivat olla tasossa missä kulmassa tahansa. Palkkikannattimessa
LisätiedotRASITUSKUVIOT (jatkuu)
RASITUSKUVIOT (jatkuu) Rakenteiden suunnittelussa yksi tärkeimmistä tehtävistä on rakenteen mitoittaminen kestämään ja kantamaan annetut kuormitukset muotonsa riittävässä määrin säilyttäen. Kun on selvitetty
LisätiedotHarjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotHarjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri
LisätiedotHarjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.
LisätiedotRASITUSKUVIOT. Kuvioiden laatimisen tehostamiseksi kannattaa rasitukset poikkileikkauksissa laskea seuraavassa esitetyllä tavalla:
RASITUSKUVIOT Suurimpien rasitusten ja niiden yhdistelmien selvittämiseksi laaditaan niin sanotut rasituskuviot, joissa esitetään kunkin rasituksen arvot kaikissa rakenteen poikkileikkauksissa. Rasituskuvioita
Lisätiedot10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat
TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-
LisätiedotPALKIN KIMMOVIIVA M EI. Kaarevuudelle saatiin aiemmin. Matematiikassa esitetään kaarevuudelle v. 1 v
PALKIN KIMMOVIIVA Palkin akseli taipuu suorassa taivutuksessa kuormitustasossa tasokäyräksi, jota kutsutaan kimmoviivaksi tai taipumaviivaksi. Palkin akselin pisteen siirtymästä y akselin suunnassa käytetään
LisätiedotMUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat:
MUODONMUUTOKSET Lähtöotaksumat:. Materiaali on isotrooppista ja homogeenista. Hooken laki on voimassa (fysikaalinen lineaarisuus) 3. Bernoullin hypoteesi on voimassa (tekninen taivutusteoria) 4. Muodonmuutokset
Lisätiedot2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv
2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten
LisätiedotLaskuharjoitus 2 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 7.3. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2.
7/ EEMENTTIMENETEMÄN PERSTEET SESSIO 7: Aksiaalinen sauvaelementti, osa. RATKAIS EEMENTIN AEESSA Verkon perusyhtälöstä [ K ]{ } = { F} saatavasta solmusiirtymävektorista { } voidaan poimia minkä tahansa
Lisätiedot10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko.
Elementtimenetelmän perusteet Esimerkki. kn kn/m 5 = 8 E= GPa mm 5 5 mm (a) 5 5 6 Y X (b) Kuva. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Tarkastellaan kuvassa (a) olevan tasokehän statiikan ratkaisemista elementtimenetelmällä.
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla
LisätiedotPalkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa.
LAATTAPALKKI Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa. Laattapalkissa tukimomentin vaatima raudoitus
LisätiedotKoesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)
Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen
LisätiedotMITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen 1/16
1/16 MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen Mitoitettava hitsattu palkki on rakenneosa sellaisessa rakennuksessa, joka kuuluu seuraamusluokkaan CC. Palkki on katoksen pääkannattaja. Hyötykuorma
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 1.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Jäykän kappaleen tasapaino ja vapaakappalekuva (Kirjan luvut 5.1-5.4) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mitä tukireaktiot ovat
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 25.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voimasysteemien samanarvoisuus ja jakaantuneen voiman käsite (Kirjan luvut 4.7-4.9) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mikä on
LisätiedotLaskuharjoitus 7 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin 25.4. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 7 Ratkaisut 1. Kuvan
LisätiedotRatkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotMitoitetaan MäkeläAlu Oy:n materiaalivaraston kaksiaukkoinen hyllypalkki.
YLEISTÄ Mitoitetaan MäkeläAlu Oy:n materiaalivaraston kaksiaukkoinen hyllypalkki. Kaksi 57 mm päässä toisistaan olevaa U70x80x alumiiniprofiilia muodostaa varastohyllypalkkiparin, joiden ylälaippojen päälle
Lisätiedot3. SUUNNITTELUPERUSTEET
3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 2.3.2016 Susanna Hurme äivän aihe: Staattisesti määrätyn rakenteen tukireaktiot (Kirjan luvut 5.7 ja 6.6) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mitä tarkoittaa staattisesti
LisätiedotLaskuharjoitus 1 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 28.2. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1.
Lisätiedot3. SUUNNITTELUPERUSTEET
3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Rakenneterästen myötörajan f y ja vetomurtolujuuden f u arvot valitaan seuraavasti: a) käytetään suoraan tuotestandardin arvoja f y = R eh ja f u = R m b) tai käytetään
LisätiedotMateriaalien mekaniikka
Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =
LisätiedotKJR-C2001 KIINTEÄN AINEEN MEKANIIKAN PERUSTEET, KEVÄT 2018
Vastaukset palautetaan htenä PDF-tiedostona Courses:iin 1.3. klo 1 mennessä. ahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. askuharjoitus 1. Selitä seuraavat käsitteet:
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,
LisätiedotHämeenkylän koulun voimistelusalin vesikaton liimapuupalkkien kantavuustarkastelu
TUTKIMUSSELOSTUS Nro VTT S 01835 10 4.3.010 Hämeenkylän koulun voimistelusalin vesikaton liimapuupalkkien kantavuustarkastelu Tilaaja: Vantaan Tilakeskus, Hankintapalvelut, Rakennuttaminen TUTKIMUSSELOSTUS
LisätiedotRakenteiden mekaniikka TF00BO01, 5op
Rakenteiden mekaniikka TF00BO01, 5op Sisältö: Nivelpalkit Kehät Virtuaalisen työn periaate sauvarakenteelle Muodonmuutosten laskeminen Hyperstaattiset rakenteet Voimamenetelmä Crossin momentintasausmenetelmä
LisätiedotRatkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
Lisätiedot2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys
SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillinen suunnittelu 18 1.5 Lujuusopin
LisätiedotOheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!
LUT-Kone Timo Björk BK80A2202 Teräsrakenteet I: 31.3.2016 Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!
LisätiedotPalkin taivutus. 1 Johdanto. missä S on. määritetään taivuttamalla. man avulla.
PALKIN TAIVUTUS 1 Johdanto Jos homogeenista tasapaksua palkkia venytetäänn palkin suuntaisella voimalla F, on jännitys σ mielivaltaisellaa etäisyydellää tukipisteestä, 1 missä S on palkin poikkileikkauksen
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotHYPERSTAATTISET RAKENTEET
HYPERSTAATTISET RAKENTEET Yleistä Sauva ja palkkirakenne on on isostaattinen, jos tasapainoehdot yksin riittävät sen tukireaktioiden ja rasitusten määrittämiseen. Jos näiden voimasuureiden määrittäminen
LisätiedotSISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa
SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia
LisätiedotHarjoitus 7. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 4: mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotPOIKKIPINNAN GEOMETRISET SUUREET
1.10.018 POIKKIPINNAN GEOMETRISET SUUREET KOORDINAATISTON VALINTA: x akseli sauvan tai palkin akselin suuntainen akseli alaspäin akseli siten, että muodostuu oikeakätinen koordinaatisto Pintamomentti (pinnan
LisätiedotOheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!
LUT-Kone Timo Björk BK80A2202 Teräsrakenteet I: 17.12.2015 Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34
SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotOSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43
OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN Esa Makkonen Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 Tiivistelmii: Artikkelissa kehitetaan laskumenetelma, jonka avulla
LisätiedotTampere University of Technology
Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö
LisätiedotSTATIIKKA. TF00BN89 5op
STATIIKKA TF00BN89 5op Sisältö: Statiikan peruslait Voiman resultantti ja jako komponentteihin Voiman momentti ja voimapari Partikkelin ja jäykän kappaleen tasapainoyhtälöt Tukivoimat Ristikot, palkit
LisätiedotLaskuharjoitus 3 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tieostona MyCourses:iin 14.3. klo 14.00 mennessä. Maholliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 3 Ratkaisut 1. Kuvien
LisätiedotLUJUUSOPPI. TF00BN90 5op. Sisältö:
LUJUUSOPPI TF00BN90 5op Sisältö: Peruskäsitteet Jännitystila Suoran sauvan veto ja puristus Puhdas leikkaus Poikkileikkaussuureiden laskeminen Suoran palkin taivutus Vääntö Nurjahdus 1 Kirjallisuus: Salmi
LisätiedotA on sauvan akselia vastaan kohtisuoran leikkauspinnan ala.
Leikkausjännitys Kuvassa on esitetty vetosauvan vinossa leikkauksessa vaikuttavat voimat ja jännitykset. N on vinon tason normaalivoima ja on leikkausvoima. Q Kuvan c perusteella nähdään N Fcos Q Fsin
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L3 Luento : Jäykän kappaleen tasapaino
KJR-C1001: Statiikka L3 Luento 27.2.2018: Jäykän kappaleen tasapaino Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon (ja laskuharjoitusten) jälkeen opiskelija
LisätiedotKatso lasiseinän rungon päämitat kuvista 01 ja Jäykistys ja staattinen tasapaino
YLEISTÄ itoitetaan oheisen toimistotalo A-kulman sisääntuloaulan alumiinirunkoisen lasiseinän kantavat rakenteet. Rakennus sijaitsee Tampereen keskustaalueella. KOKOAISUUS Rakennemalli Lasiseinän kantava
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotSovelletun fysiikan pääsykoe
Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
Lisätiedot3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
Lisätiedot2 SUORA SAUVA ja PALKKI Suoran sauvan puhdas veto tai puristus Suoran palkin taivutus Harjoitustehtäviä 71
7 SISÄLLYSLUETTELO Alkulause 5 Kirjallisuus 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Yleistä 13 1.2 Rakenteiden statiikan historiallista taustaa 15 1.3 Rakennetyyppejä 17 1.4 Rakenteen tuennat 22 1.5 Kuormitukset 25 2 SUORA
LisätiedotRuuvien päiden muotoja. [Decker ja esimerkiksi: ]
Ruuvien päiden muotoja [Decker ja esimerkiksi: http://www.schrauben-lexikon.de/norm/din_609.asp ] Erilaisia muttereita [Decker] Torx- ja kuusiokolokannat Vasemmassa kuvassa esitetty Torx kanta ei rikkoonu
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/2017
KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/017 1. Määritä oheisen kuvan mukaisen kanaalin portin
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
LisätiedotVastaanottaja Helsingin kaupunki. Asiakirjatyyppi Selvitys. Päivämäärä 30.10.2014 VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS
Vastaanottaja Helsingin kaupunki Asiakirjatyyppi Selvitys Päivämäärä 30.10.2014 VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS Päivämäärä 30/10/2014 Laatija Tarkastaja Kuvaus Heini
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotStabiliteetti ja jäykistäminen
Stabiliteetti ja jäykistäminen Lommahdusjännitykset ja -kertoimet Lommahdus normaalijännitysten vuoksi: Leikkauslommahdus: Eulerin jännitys Lommahduskerroin normaalijännitykselle, pitkä jäykistämätön levy:
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotESIMERKKI 1: NR-ristikoiden kannatuspalkki
ESIMERKKI 1: NR-ristikoiden kannatuspalkki Perustietoja - NR-ristikot kannatetaan seinän päällä olevalla palkilla P101. - NR-ristikoihin tehdään tehtaalla lovi kannatuspalkkia P101 varten. 2 1 2 1 11400
LisätiedotSISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen
TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten
LisätiedotPinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotRAK-31000 Statiikka 4 op
RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka
LisätiedotPalkin teknisen taivutusteorian historiasta
Rakenteiden Mekaniikka Vol. 46, Nro 3, 013, s. 55-69 Palkin teknisen taivutusteorian historiasta Timo Saksala Tiivistelmä. Tässä artikkelissa tarkastellaan palkin teknisen (Eulerin-Bernoullin) taivutusteorian
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 6. harjoitus jännitysmitat Ratkaisut T 1: Ohuen suoran sauvan pituus referenssitilassa on 0 ja poikkipinta-ala on A 0. Sauvan akselin suuntaisen
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
Lisätiedot