TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat"

Transkriptio

1 TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria, poikkileikkaukseltaan symmetrisiä ja materiaaliltaan homogeenisia Lisäksi tutkitaan jännityskeskittymiä epäjatkuvuuskohdissa 1 SISÄLTÖ 1. Leikkausvoima- ja taivutuskuvaajat 2. Graafinen menetelmä leikkausvoima- ja taivutuskuvaajien määrittämiseksi 3. Suoran sauvan taivutusmuodonmuutos 4. Taivutusyhtälö 5. Jännityskeskittymät 2 1

2 6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Hoikkia sauvoja, joita kuormitetaan poikittaissuunnassa sanotaan palkeiksi LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Palkin suunnittelu edellyttää suurimman leikkausvoiman ja taivutusmomentin määrittämistä Muodostetaan leikkausvoiman ja taivutusmomentin lausekkeet pituuskoordinaatin x funktiona Esitetään funktiot graafisesti: leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat Suunnittelijoiden on tunnettava leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakauma, jolloin palkkia voidaan tarvittaessa vahvistaa joltain osalta 4 2

3 6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Leikkausvoiman ja taivutusmomentin lausekkeet pitää määrittää jokaisella alueella, jonka rajaa kuormituksen epäjatkuvuus LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Merkkisääntö Käytetään samaa merkkisääntöä kuin statiikassa: 6 3

4 6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Määritelmiä Palkit ovat pitkiä suoria rakenneosia, jotka kantavat poikittaiskuormia. Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumien määrittäminen on tärkeää, jotta suunnittelija näkee missä pisteessä rasitus on suurimmillaan Merkkisäännön avulla voidaan muodostaa em. rasitusyhtälöt ja piirtää ne kuvaajina Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumien määrittäminen on esitetty statiikan kurssissa, joten tässä ne kerrataan vain esimerkin avulla 7 ESIMERKKI 6.6 Määritä kuvan palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat: 8 4

5 ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Tukireaktiot: Lasketaan vapaakappalekuvasta Leikkausvoima- ja taivutusmomenttifunktiot : Palkki on jaettava kahteen osaan, koska keskellä on kuormituksen epäjatkuvuus (pistevoima 15 kn) 0 x 1 5 m, + Σ F y = 0;... V = 5.75 N + Σ M = 0;... M = (5.75x ) kn m 9 ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Leikkausvoima- ja taivutusmomenttifunktiot 5 m x 2 10 m, + Σ F y = 0;... V = ( x 2 ) kn + Σ M = 0;... M = ( 2.5x x ) kn m Tarkista tulos: w = dv/dx ja V = dm/dx. 10 5

6 ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Leikkausvoima- ja Taivutusmomenttifunktiot: graafinen esitys GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Edellä esitetty tapa on varsin työläs yksinkertaistenkin rakenteiden analyysissa. Yksinkertaisempi vaihtoehto on käyttää differentiaaliyhtälöitä, jotka sitovat yhteen kuormitustiheyden, leikkausvoiman ja taivutusmomentin: dv ( ) dx = wx V = w( x) dx dm V dx = M = Vdx 12 6

7 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w dv dx = w(x) dm dx = V Leikkaus- = kuormitustiheys ko. voima- jakauman pisteessä kulmakerroin Taivutus- = leikkausvoima ko. momentti- jakauman pisteessä kulmakerroin GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w V = w(x) dx Leikkausvoiman muutos = kuormitustiheyden rajaama alue Taivutusmomentin muutos M = V(x) dx = leikkausvoimakuvion rajaama alue 14 7

8 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Pistemäisen voiman ja momentin alueet GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w 16 8

9 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Tukireaktiot Ratkaise tukireaktiot ja määritä kuormat, jotka vaikuttavat palkin poikittais- ja pitkittäissuunnassa Leikkausvoimajakauma Piirrä tunnetut leikkausvoiman arvot palkin kahteen pisteeseen GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Leikkausvoimajakauma Koska dv/dx = w, leikkausvoimajakauman kulmakerroin on sama kuin kuormitustiheyden negatiivinen arvo ko. pisteessä Leikkausvoiman numeerinen arvo määrätyssä pisteessä saadaan joko leikkausmenetelmällä ja tasapainoyhtälöillä. Toinen vaihtoehto on käyttää yhteyttä V = w(x) dx eli leikkausvoiman muutos kahden pisteen välillä on kuormitustiheyden rajaama alue negatiivisena. 18 9

10 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Leikkausvoimajakauma Koska w(x) on integroitava V:n laskemiseksi, on kuormitustiheyden w(x) asteluku yhtä astetta pienempi kuin leikkausvoimajakauman asteluku Taivutusmomenttijakauma Piirrä tunnetut taivutusmomentin arvot palkin kahteen pisteeseen Koska dm/dx = V, momenttijakauman kulmakerroin on sama kuin leikkausvoima ko. pisteessä GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Taivutusmomenttijakauma Pisteessä, jossa leikkausvoima on nolla on dm/dx = 0 ja taivutusmomentilla on pienin tai suurin arvonsa (paikallisesti) Mikäli halutaan momentin numeerinen arvo, on käytettävä leikkausmenetelmää ja tasapainoehtoja. Toinen tapa on laskea M = V(x) dx, ts. momentin muutos on kahden pisteen rajaaman alueen leikkausvoimakuvaajan pinta-ala. Momenttifunktio on siis astetta korkeampi kuin leikkausvoimafunktio

11 ESIMERKKI 6.11 Piirrä leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat kuvan palkille. 21 ESIMERKKI 6.11 (RATKAISU) Tukireaktiot: Vapaakappalekuvasta Leikkausvoimajakauma Kuormitustiheyden perusteella leikkausvoimajakauman kulmakerroin muuttuu arvosta nolla pisteessä x = 0 arvoon 2 pisteessä x = 4.5. Siten sen muoto on parabolinen. Leikkausmenetelmällä saadaan piste, jossa leikkausvoima on nolla: + Σ F y = 0;... x = 2.6 m 22 11

12 ESIMERKKI 6.11 (RATKAISU) Taivutusmomenttijakauma Leikkausvoimakuvaajan mukaan kulmakerroin alussa on +1.5 ja se pienenee arvoon nolla pisteessä 2.6 m. Sen jälkeen se pienenee arvoon 3 pisteessä x = 4.5 m. Momenttijakauma on kolmannen asteen yhtälö. + Σ M = 0;... M = 2.6 kn m TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Suoraa, prismaattista palkkia kuormitetaan taivutusmomentilla. Pitkittäissäikeet kaartuvat ja poikittaissäikeet pysyvät suorina, mutta kiertyvät: 24 12

13 6.3 TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Neutraaliakselilla pitkittäissäikeiden pituus ei muutu: TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Teknisen taivutusteorian perusoletukset: 1. Neutraaliakselilla pituussuuntaiset säikeet eivät veny tai puristu 2. Kaikki poikkileikkaukset pysyvät tasoina ja ovat kohtisuorassa pituusakselia vastaan myös muodonmuutoksessa 3. Poikkileikkauksen omaa muodonmuutosta ei oteta huomioon 26 13

14 6.3 TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Poikkileikkauksessa pitkittäinen normaalivenymä muuttuu lineaarisesti neutraaliakselilta etäisyyden y funktiona (kuva) Positiivisella momentilla neutraaliakselin yläpuoliset säikeet (+y) ovat puristuksella ( ε) Positiivisella momentilla neutraaliakselin alapuoliset säikeet (-y) ovat vedolla (+ε) Yhtälö 6-8 ε = (y/c)ε max Normaalivenymän jakauma TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Oletetaan materiaalin käyttäytyvän lineaarielastisesti joten Hooken laki pätee Normaalivenymän lineaarinen muutos tarkoittaa silloin myös normaalijännityksen lineaarisuutta Soveltaen Hooken lakia edellisen sivun yhtälöön 6-8 saadaan Normaalivenymän jakauma Yhtälö 6-9 σ = (y/c)σ max Taivutusnormaalijännityksen jakauma 28 14

15 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Soveltaen statiikan tasapainoyhtälöitä voidaan kuvan jännitysjakaumasta johtaa yhteydet Yhtälö 6-10 A y da = 0 Yhtälö 6-11 M = σ max c A y 2 da Taivutusnormaalijännityksen jakauma Alemman yhtälön integraali on poikkileikkauksen ns. neliömomentti tai taivutusjäyhyys. Se merkitään suuremerkinnällä I TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Jälkimmäisestä yhtälöstä voidaan ratkaista suurin taivutusnormaalijännitys eli Mc σ Yhtälö 6-12 max = I σ max = poikkileikkauksen suurin jännitys, joka sijaitsee pisteessä joka on kauimpana neutraaliakselilta M = sisäinen taivutusmomentti I = taivutusjäyhyys c = suurin kohtisuora etäisyys neutraaliakselilta poikkileikkauksessa 30 15

16 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Normaalijännitys mielivaltaisessa pisteessä y voidaan määrittää yhtälöstä My Yhtälö 6-13 σ = I Yhtälöitä 6-12 ja 6-13 sanotaan taivutusyhtälöiksi. Negatiivinen taivutus +y +x TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Vasemmassa kuvassa on skemaattisesti esitetty ulokepalkin taivutusnormaalijännityksen kehittyminen pituuden kasvaessa Rasituksena on oma paino Sininen väri kuvaa vetojännitystä, punainen puristusjännitystä 32 16

17 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Neliömomentti tai taivutusjäyhyys lasketaan yleisesti kaavasta I = A y 2 da Usein poikkileikkaus voidaan jakaa suorakaideosiin (leveys b, korkeus h), jolloin voidaan em. integraali laskea summalausekkeena I = Σ( I i +d i2 A i )= Σ( b i h i 3 /12+d i 2 A i ) missä d i on koko pinnan A=ΣA i pintakeskiön etäisyys osapinnan A i pintakeskiöstä ESIMERKKI: I-PALKIN TAIVUTUSJÄYHYYS Laske oheisen I-profiilin neliömomentti eli taivutusjäyhyys Jaetaan poikkileikkaus kolmeen osaan: ylä- ja alalaippa sekä uuma ovat suorakaideosia. Pintakeskiö C on symmetrian vuoksi keskellä. Siten 34 17

18 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ TAIVUTUSTEORIAN YHTEENVETOA Poikkileikkaus säilyy tasona muodonmuutoksessa Neutraaliakselilla on normaalijännitys nolla puhtaassa taivutuksessa Muodonmuutoksessa pituussuuntainen venymä muuttuu lineaarisesti nollasta neutraaliakselilla suurimpaan arvoonsa uloimmissa palkin säikeissä Jännitys muuttuu siten myös lineaarisesti mikäli materiaali on homogeenista ja jännitys pysyy suhteellisuusrajan alapuolella, ts. Hooken laki pätee TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ TAIVUTUSTEORIAN YHTEENVETOA Lineaarielastisella (kimmoisella) materiaalikäyttäytymisellä neutraaliakseli käy poikkipinnan pintakeskiön kautta. Tämä perustuu siihen, että normaalivoima leikkauksessa on oltava nolla (leikkauksessa vaikuttaa voimapari!) Taivutusyhtälö perustuu edellytykseen, että sisäinen taivutusmomentti on lineaarisen normaalijännitysjakauman resultantin momentti neutraaliakselin suhteen 36 18

19 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Yksinkertainen esimerkki Määritä oheiseen puupalkin poikkileikkauksen sisäinen rasitus (taivutusmomentti), kun suurin taivutusnormaalijännitys on 20 MPa TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Sisäinen taivutusmomentti Määritä leikkausmenetelmällä tutkittavan poikkileikkauksen sisäinen taivutusmomentti M Poikkileikkauksen pintakeskiö tai neutraaliakseli on tunnettava, koske taivutusmomentti M lasketaan tämän akselin suhteen Taivutusmomenttikuvaajasta saa suurimman taivutusmomentin mikäli taivutusnormaalijännitys on määritettävä 38 19

20 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Poikkileikkaussuure Määritä taivutusjäyhyys I neutraaliakselin suhteen Taivutusjäyhyys saadaan joko suoraan taulukoista normeeratuille poikkipinnoille tai laskemalla TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Normaalijännitys Määritä etäisyys y neutraaliakselilta pisteessä, jossa jännitys määritetään Sovella yhtälöä σ = My/I, tai maksimijännitystä laskettaessa σ max = Mc/I Yksiköt! 40 20

21 ESIMERKKI 6.16 Kuvan ulokepalkin poikkileikkaus on U- profiili. Määritä suurin taivutusnormaalijännitys leikkauksessa a-a. y 41 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Sisäinen taivutusmomentti Tukireaktioita ei tässä tapauksessa tarvitse määrittää. Sen sijaan käytetään leikkausmenetelmää ja otetaan tutkittavaksi alue leikkauksen a-a vasemmalta puolelta. Huomaa, että leikkauksen normaalivoima N vaikuttaa pintakeskiössä. Taivutusmomentti lasketaan neutraaliakselin suhteen, joka käy poikkileikkauksen pintakeskiön kautta. y y 42 21

22 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Neutraaliakseli Neutraaliakselin sijainti saadaan laskemalla pintakeskiön paikka: y = Σ y A Σ A =... = mm 43 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Sisäinen rasitus Tasapainoehto neutraaliakselin suhteen antaa + Σ M NA = 0; 24 kn(2 m) kn( m) M = 0 M = kn m 44 22

23 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Poikkileikkaussuure (taivutusjäyhyys) Neliömomentti (tai taivutusjäyhyys) lasketaan jakamalla poikkileikkaus kolmeen suorakaideosaan ja soveltamalla paralleeliakseliteoreemaa jokaiselle osalle erikseen. I = [1/12(0.250 m)(0.020 m) 3 + (0.250 m)(0.020 m)( m m) 2 ] + 2[1/12(0.015 m)(0.200 m) 3 + (0.015 m)(0.200 m)(0.100 m m) 2 ] I = 42.26(10-6 ) m 4 45 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Suurin taivutusnormaalijännitys Suurin taivutusnormaalijännitys sijaitsee kauimpana neutraaliakselilta. Palkin alapinnalla c = 200 mm mm = mm. Siten σ = Mc max I = kn m( m) 42.26(10 = 16.2 MPa -6 ) m 4 Yläpinnalla σ = 6.79 MPa. Lisäksi normaalivoima N = 1 kn ja leikkausvoima V = 2.4 kn aiheuttavat lisäjännityksiä palkkiin

24 6.5 VINO TAIVUTUS Tässä esityksessä keskitytään vain symmetrisiin profiileihin ja pääakselien suhteen vaikuttaviin rasituksiin Taivutusyhtälöä voidaan kuitenkin soveltaa myös tapauksiin, jolloin profiili on epäsymmetrinen tai poikittaiskuormitus eroaa päätasoista (vino taivutus) VINO TAIVUTUS Huomaa alempien kuvien pääakselien suunta: 48 24

25 6.5 VINO TAIVUTUS Mielivaltaisesti vaikuttava momentti voidaan jakaa pääakseleille ja soveltaa superpositioperiaatetta: JÄNNITYSKESKITTYMÄT Taivutusyhtälöä voidaan käyttää vain silloin jännitysjakauman määrittämiseen poikkileikkauksessa kun palkki on prismaattinen eli poikkileikkaus ei muutu palkin pituussuunnassa Mikäli poikkileikkaus äkillisesti muuttuu, voidaan jännitysjakauma määrittää kokeellisesti tai kimmoteorialla, palkin taivutusteoria ei enää päde 50 25

26 6.9 JÄNNITYSKESKITTYMÄT Usein rakenneosissa on kuvan mukaisia epäjatkuvuuksia, ts. reikiä, koloja tai muita poikkipinnan muutoksia. Suurin taivutusnormaalijännityksen arvo sijaitsee pienimmässä poikkileikkauksessa JÄNNITYSKESKITTYMÄT Suunnittelussa/analyysissa ei tarvitse tietää tarkkaa jännitysjakaumaa, vaan suurin jännitys leikkauksessa saadaan käyttämällä jännityskonsentraatiokerrointa K Siten suurin taivutusnormaalijännitys voidaan laskea kaavasta σ = K Mc I Yhtälö

27 6.9 JÄNNITYSKESKITTYMÄT TÄRKEÄÄ Mitä suurempi muutos epäjatkuvuudessa, sitä suurempi huippujännitys Suunnittelussa/analyysissa ei tarvitse tietää tarkkaa jännitysjakaumaa vaan suurin arvo Suurin normaalijännitys vaikuttaa pienimmässä leikkauksessa Mikäli materiaali on haurasta tai rakenne on vaihtelevan kuormituksen alainen (väsymisvaara), on huippujännitys otettava huomioon 53 ESIMERKKI 6.26 Määritä suurin taivutusjännitys kuvan palkissa, johon vaikuttaa taivutusmomentti 5 knm. Myötöraja σ Y = 500 MPa

28 ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Jännityshuippu on olakkeen kohdalla. Kuvasta saadaan konsentraatiokerroin K. r/h =... = 0.2 w/h =... = 1.5 Arvojen perusteella käyrästä saadaan K = ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Soveltamalla yhtälöä 6-26: σ = K Mc I =... = 340 MPa Eli jännitys pysyy myötörajan alapuolella. Jännitysjakauma on epälineaarinen (kuva) Saint-Venantin periaatteen mukaisesti paikallinen jännityshuippu tasoittuu nopeasti siirryttäessä epäjatkuvuuskohdasta ja on lähes hävinnyt 80 mm etäisyydellä olakkeesta

29 ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Jännitys olakkeen ulkopuolella on siis taivutusyhtälön mukaan σ max = 234 MPa. Huomaa, että olakkeen loiventaminen pienentää merkittävästi huippujännitystä σ max, koska r :n kasvaessa K pienenee. 57 YHTEENVETO Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ovat palkin sisäisten rasitusten graafisia esityksiä. Ne voidaan muodostaa statiikan leikkausmenetelmällä jakaen palkki sopiviin osiin ja soveltamalla tasapainoyhtälöillä. Toinen vaihtoehto on soveltaa rasitusten matemaattisia yhteyksiä, joiden perusteella tiedetään, että leikkausvoimakuvaajan kulmakerroin on kuormitustiheys w = dv/dx ja taivutusmomenttijakauman kulmakerroin on leikkausvoima V = dm/dx

30 YHTEENVETO Kuormitustiheyden pinta-ala (negatiivisena) vastaa leikkausvoiman muutosta eli V = w dx. Vastaavasti leikkausvoimajakauman rajaama pinta-ala vastaa taivutusmomentin muutosta M = Vdx. Leikkausmenetelmällä voidaan laskea missä tahanasa pisteessä leikkausvoima ja taivutusmomentti. Taivutusmomentti aiheuttaa lineaarisesti muuttuvan normaalivenymän palkin poikkileikkaukseen Mikäli materiaali on homogeeninen ja Hooken laki pätee eli momentin aiheuttama jännitys ei ylitä myötörajaa, saadaan sisäinen momentti laskettua jännitysjakauman momenttitasapainosta. 59 YHTEENVETO Tuloksena saadaan taivutusyhtälö σ = Mc/I, jossa I ja c määräytyvät neutraaliakselista joka käy poikkileikkauksen pintakeskiön kautta Mikäli poikkileikkaus ei ole symmetrinen, on kyseessä vino taivutus, jota tässä kurssissa ei käsitellä Suuriin jännitys yleisessä kuormitustapauksessa saadaan jakamalla taivutusmomentti pääakseleille ja soveltamalla superpositioperiaatetta suurimman jännityksen selvittämiseksi

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,

Lisätiedot

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1

Lisätiedot

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.

Lisätiedot

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen 1/16

MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen 1/16 1/16 MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen Mitoitettava hitsattu palkki on rakenneosa sellaisessa rakennuksessa, joka kuuluu seuraamusluokkaan CC. Palkki on katoksen pääkannattaja. Hyötykuorma

Lisätiedot

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Rakenneterästen myötörajan f y ja vetomurtolujuuden f u arvot valitaan seuraavasti: a) käytetään suoraan tuotestandardin arvoja f y = R eh ja f u = R m b) tai käytetään

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillinen suunnittelu 18 1.5 Lujuusopin

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Hämeenkylän koulun voimistelusalin vesikaton liimapuupalkkien kantavuustarkastelu

Hämeenkylän koulun voimistelusalin vesikaton liimapuupalkkien kantavuustarkastelu TUTKIMUSSELOSTUS Nro VTT S 01835 10 4.3.010 Hämeenkylän koulun voimistelusalin vesikaton liimapuupalkkien kantavuustarkastelu Tilaaja: Vantaan Tilakeskus, Hankintapalvelut, Rakennuttaminen TUTKIMUSSELOSTUS

Lisätiedot

Palkin taivutus. 1 Johdanto. missä S on. määritetään taivuttamalla. man avulla.

Palkin taivutus. 1 Johdanto. missä S on. määritetään taivuttamalla. man avulla. PALKIN TAIVUTUS 1 Johdanto Jos homogeenista tasapaksua palkkia venytetäänn palkin suuntaisella voimalla F, on jännitys σ mielivaltaisellaa etäisyydellää tukipisteestä, 1 missä S on palkin poikkileikkauksen

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN Esa Makkonen Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 Tiivistelmii: Artikkelissa kehitetaan laskumenetelma, jonka avulla

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten

Lisätiedot

Ruuvien päiden muotoja. [Decker ja esimerkiksi: ]

Ruuvien päiden muotoja. [Decker ja esimerkiksi:  ] Ruuvien päiden muotoja [Decker ja esimerkiksi: http://www.schrauben-lexikon.de/norm/din_609.asp ] Erilaisia muttereita [Decker] Torx- ja kuusiokolokannat Vasemmassa kuvassa esitetty Torx kanta ei rikkoonu

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Palkin teknisen taivutusteorian historiasta

Palkin teknisen taivutusteorian historiasta Rakenteiden Mekaniikka Vol. 46, Nro 3, 013, s. 55-69 Palkin teknisen taivutusteorian historiasta Timo Saksala Tiivistelmä. Tässä artikkelissa tarkastellaan palkin teknisen (Eulerin-Bernoullin) taivutusteorian

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

2 SUORA SAUVA ja PALKKI Suoran sauvan puhdas veto tai puristus Suoran palkin taivutus Harjoitustehtäviä 71

2 SUORA SAUVA ja PALKKI Suoran sauvan puhdas veto tai puristus Suoran palkin taivutus Harjoitustehtäviä 71 7 SISÄLLYSLUETTELO Alkulause 5 Kirjallisuus 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Yleistä 13 1.2 Rakenteiden statiikan historiallista taustaa 15 1.3 Rakennetyyppejä 17 1.4 Rakenteen tuennat 22 1.5 Kuormitukset 25 2 SUORA

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Vastaanottaja Helsingin kaupunki. Asiakirjatyyppi Selvitys. Päivämäärä 30.10.2014 VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS

Vastaanottaja Helsingin kaupunki. Asiakirjatyyppi Selvitys. Päivämäärä 30.10.2014 VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS Vastaanottaja Helsingin kaupunki Asiakirjatyyppi Selvitys Päivämäärä 30.10.2014 VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS Päivämäärä 30/10/2014 Laatija Tarkastaja Kuvaus Heini

Lisätiedot

Tuulen nopeuden mittaaminen

Tuulen nopeuden mittaaminen KON C3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma / ryhmä K Tuulen nopeuden mittaaminen Matias Kidron 429542 Toni Kokkonen 429678 Sakke Juvonen 429270 Kansikuva: http://www.stevennoble.com/main.php?g2_view=core.downloaditem&g2_itemid=12317&g2_serialnumber=2

Lisätiedot

Stabiliteetti ja jäykistäminen

Stabiliteetti ja jäykistäminen Stabiliteetti ja jäykistäminen Lommahdusjännitykset ja -kertoimet Lommahdus normaalijännitysten vuoksi: Leikkauslommahdus: Eulerin jännitys Lommahduskerroin normaalijännitykselle, pitkä jäykistämätön levy:

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

AVOIMEN SARJAN VASTAUKSET JA PISTEITYS

AVOIMEN SARJAN VASTAUKSET JA PISTEITYS AVOIME SARJA VASTAUKSET JA PISTEITYS 1. Käytössäsi on viivoitin, 10 g:n punnus, 2 :n kolikko sekä pyöreä kynä. Määritä kolikon ja viivoittimen massa. Selosta vastauksessa käyttämäsi menetelmät sekä esitä

Lisätiedot

1.5 KIEPAHDUS Yleistä. Kuva. Palkin kiepahdus.

1.5 KIEPAHDUS Yleistä. Kuva. Palkin kiepahdus. .5 KEPAHDUS.5. Yleistä Kuva. Palkin kiepahdus. Tarkastellaan yllä olevan kuvan palkkia. Palkilla vaikuttavasta kuormituksesta palkki taipuu. Jos rakenteen eometria, tuenta ja kuormituksen sijainti palkin

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari VÄÄNTÖRASITETUN RAKENNEOSAN EURONORMIIN PERUSTUVA KESTÄVYYSLASKENTAYHTÄLÖIDEN

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen

Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen Ryhmä S: Pekka Vartiainen 427971 Jari Villanen 69830F Anssi Petäjä 433978 Sisällysluettelo 1 Johdanto...

Lisätiedot

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin FYSP102 / K2 KIMMOKERTOIMEN MÄÄRITYS Työn tavoitteita tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin kerrata monia toistoja sisältävien laskujen sekä suoransovituksen tekemistä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

1.3 Pilareiden epäkeskisyyksien ja alkukiertymien huomioon ottaminen

1.3 Pilareiden epäkeskisyyksien ja alkukiertymien huomioon ottaminen 1. MASTOPILARIN MITOITUSMENETELMÄ 1.1 Käyttökohteet Mitoitusmenetelmä soveltuu ensisijaisesti yksilaivaisen, yksikerroksisen mastojäykistetyn teräsbetonikehän tarkkaan analysointiin. Menetelmän soveltamisessa

Lisätiedot

RAK-31000 Statiikka 4 op

RAK-31000 Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

KANTAVUUS- TAULUKOT W-70/900 W-115/750 W-155/560/840

KANTAVUUS- TAULUKOT W-70/900 W-115/750 W-155/560/840 KANTAVUUS- TAUUKOT W-70/900 W-115/750 W-155/560/840 SISÄYSUETTEO MITOITUSPERUSTEET... 3 KANTAVUUSTAUUKOT W-70/900... 4-9 W-115/750... 10-15 W-155/560/840... 16-24 ASENNUS JA VARASTOINTI... 25 3 MITOITUSPERUSTEET

Lisätiedot

ESIMERKKI 4: Välipohjan kehäpalkki

ESIMERKKI 4: Välipohjan kehäpalkki ESIMERKKI 4: Välipohjan kehäpalkki Perustietoja - Välipohjan kehäpalkki sijaitsee ensimmäisen kerroksen ulkoseinien päällä. - Välipohjan kehäpalkki välittää ylemmän kerroksen ulkoseinien kuormat alemmille

Lisätiedot

RIL263 KAIVANTO-OHJE TUETUN KAIVANNON MITOITUS PETRI TYYNELÄ/RAMBOLL FINLAND OY

RIL263 KAIVANTO-OHJE TUETUN KAIVANNON MITOITUS PETRI TYYNELÄ/RAMBOLL FINLAND OY RIL263 KAIVANTO-OHJE TUETUN KAIVANNON MITOITUS PETRI TYYNELÄ/RAMBOLL FINLAND OY YLEISTÄ Kaivanto mitoitetaan siten, että maapohja ja tukirakenne kestävät niille kaikissa eri työvaiheissa tulevat kuormitukset

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Reikien vaikutus palkin jäykkyyteen

Reikien vaikutus palkin jäykkyyteen Reikien vaikutus palkin jäykkyyteen Kon-41.4005 Kokeelliset menetelmät koesuunnitelma Sami Lahtinen, Petteri Peltonen, Perttu Hettula, Olli-Ville Laukkanen & Teemu Seppänen 2/16/2014 Sisällysluettelo 1

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Kerto-Tyyppihyväksynnät. Toukokuu 2001

Kerto-Tyyppihyväksynnät. Toukokuu 2001 Kerto-Tyyppihyväksynnät Toukokuu 2001 Kerto-S Tuoteseloste 1. Kerto-S, standardikertopuun kuvaus Kerto-S valmistetaan sorvatuista havupuuviiluista liimaamallla siten, että kaikkien viilujen syysuunta on

Lisätiedot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

ESIMERKKI 2: Asuinhuoneen välipohjapalkki

ESIMERKKI 2: Asuinhuoneen välipohjapalkki ESIMERKKI 2: Asuinhuoneen välipohjapalkki Perustietoja - Välipohjapalkki P102 tukeutuu ulkoseiniin sekä väliseiniin ja väliseinien aukkojen ylityspalkkeihin. - Palkiston päällä oleva vaneri liimataan palkkeihin

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. 05/1 ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. YLEISTÄ Laskentamallin luonnin ja varsinaisen laskennan lisäksi FEM-analyysi sisältää myös tulosten tarkastelun

Lisätiedot

Copyright 2010 Metsäliitto Osuuskunta, Puutuoteteollisuus. Finnwood 2.3 ( 2.3.027) FarmiMalli Oy. Katoksen takaseinän palkki. Urpo Manninen 12.7.

Copyright 2010 Metsäliitto Osuuskunta, Puutuoteteollisuus. Finnwood 2.3 ( 2.3.027) FarmiMalli Oy. Katoksen takaseinän palkki. Urpo Manninen 12.7. Laskelmat on tehty alla olevilla lähtötiedoilla vain kyseiselle rakenneosalle. Laskelmissa esitetty rakenneosan pituus ei ole tilausmitta. Tilausmitassa on otettava huomioon esim. tuennan vaatima lisäpituus.

Lisätiedot

Copyright 2010 Metsäliitto Osuuskunta, Puutuoteteollisuus. Finnwood 2.3 ( 2.3.027) FarmiMalli Oy. Katoksen rakentaminen, Katoksen 1.

Copyright 2010 Metsäliitto Osuuskunta, Puutuoteteollisuus. Finnwood 2.3 ( 2.3.027) FarmiMalli Oy. Katoksen rakentaminen, Katoksen 1. Laskelmat on tehty alla olevilla lähtötiedoilla vain kyseiselle rakenneosalle. Laskelmissa esitetty rakenneosan pituus ei ole tilausmitta. Tilausmitassa on otettava huomioon esim. tuennan vaatima lisäpituus.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

TTY FYS-1010 Fysiikan työt I AA 1.2 Sähkömittauksia Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk.

TTY FYS-1010 Fysiikan työt I AA 1.2 Sähkömittauksia Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk. TTY FYS-1010 Fysiikan työt I 14.3.2016 AA 1.2 Sähkömittauksia 253342 Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk. 246198 Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk. Sisältö 1 Johdanto 1 2 Työn taustalla oleva teoria 1 2.1 Oikeajännite-

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Osa 4: Palkit Palkkien suunnittelu eurokoodeilla Johdanto Mitoitusmenettely Palonkestävyys

Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Osa 4: Palkit Palkkien suunnittelu eurokoodeilla Johdanto Mitoitusmenettely Palonkestävyys 1(12) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Johdanto Eurokoodien käyttöönotto kantavien rakenteiden suunnittelussa on merkittävin suunnitteluohjeita koskeva muutos kautta aikojen. Koko Eurooppa

Lisätiedot

Suhteellinen puristuskapasiteetti arvioida likimääräisesti kaavalla 1 + Kyseisissä lausekkeissa esiintyvillä suureilla on seuraavat merkitykset:

Suhteellinen puristuskapasiteetti arvioida likimääräisesti kaavalla 1 + Kyseisissä lausekkeissa esiintyvillä suureilla on seuraavat merkitykset: RAUDOITTAMATTOMAN SUORAKAIDEPOIKKILEIKKAUKSISEN SAUVAN PURISTUSKAPASITEETTI Critical Compression Load of Unreinforced Concrete Member with Rectangular Cross-Section Pentti Ruotsala Vaasa 04 TIIVISTELMÄ

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

KANTAVUUSTAULUKOT (EN-1993-1-3 mukaan) Kantavat poimulevyt W-70/900 W-115/750 W-155/840

KANTAVUUSTAULUKOT (EN-1993-1-3 mukaan) Kantavat poimulevyt W-70/900 W-115/750 W-155/840 KANTAVUUSTAUUKOT (EN-1993-1-3 mukaan) Kantavat poimulevyt W-70/900 W-115/750 W-155/840 W-1 / Kantavilla poimulevyillä VTT:n laadunvalvontasopimus Poimulevyjä käytetään vesikattona tai kantavana rakenteena

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 Tämä päivitetty ohje perustuu aiempiin versioihin: 18.3.1988 AKN 13.5.1999 AKN/ks SISÄLLYS: 1. Yleistä... 2 2. Mitoitusperusteet...

Lisätiedot

PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS

PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS VERKKOLIITE 1a Diagonaalien liitos pääkannattajan alapaarteeseen (harjalohkossa) Huom! K-liitoksen mitoituskaavoissa otetaan muuttujan β arvoa ja siitä laskettavaa k n

Lisätiedot

Tuomas Kaira. Ins.tsto Pontek Oy. Tuomas Kaira

Tuomas Kaira. Ins.tsto Pontek Oy. Tuomas Kaira Ins.tsto Pontek Oy Lasketaan pystykuorman resultantin paikka murtorajatilan STR/GEO yhdistelmän mukaan Lasketaan murtorajatilan STR/GEO yhdistelmän mukaisen pystykuorman aiheuttama kolmion muotoinen pohjapainejakauma

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

ESIMERKKI 2: Kehän mastopilari

ESIMERKKI 2: Kehän mastopilari ESIMERKKI : Kehän mastopilari Perustietoja: - Hallin 1 pääpilarit MP101 ovat liimapuurakenteisia mastopilareita. - Mastopilarit ovat tuettuja heikomman suunnan nurjahusta vastaan ulkoseinäelementeillä.

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn

Lisätiedot

ESIMERKKI 3: Nurkkapilari

ESIMERKKI 3: Nurkkapilari ESIMERKKI 3: Nurkkapilari Perustietoja: - Hallin 1 nurkkapilarit MP10 ovat liimapuurakenteisia mastopilareita. 3 Halli 1 6000 - Mastopilarit on tuettu heikomman suunnan nurjahusta vastaan ulkoseinäelementeillä.

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

TIESILTOJEN VÄSYTYSKUORMAT

TIESILTOJEN VÄSYTYSKUORMAT TIESILTOJEN VÄSYTYSKUORMAT Siltaeurokoodien koulutus Teräs-, liitto- ja puusillat 29-30.3.2010 Heikki Lilja Liikennevirasto 2 MILLE RAKENNEOSILLE TEHDÄÄN VÄSYTYSMITOITUS (TERÄS- JA LIITTOSILLAT) EN1993-2

Lisätiedot

ESIMERKKI 5: Päätyseinän palkki

ESIMERKKI 5: Päätyseinän palkki ESIMERKKI 5: Päätyseinän palkki Perustietoja: - Hallin 1 päätyseinän palkit PP101 ovat liimapuurakenteisia. - Palkki PP101 on jatkuva koko lappeen matkalla. 6000 - Palkin yläreuna on tuettu kiepahdusta

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa

Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa Rakenteiden Mekaniikka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 75 82 Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa Reijo Kouhia Tiivistelmä. Momenttimenetelmä on käyttökelpoinen ratkaisutapa

Lisätiedot

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b 7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista)

Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista) 1 Voimat mekanismeissa Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista) 12.2.2016 Sisältö Staattiset voimat Staattinen tasapainotila Vapaakappalekuva Tasapainoyhtälöt Kitkavoimat Hitausvoimat Hitausvoimien

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot