[ k ] ja ekvivalenttisen solmukuormitusvektorin { r } määritystä kaavoista (4.20) ja
|
|
- Mari Jurkka
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Elementtimenetelmän perusteet 7. 7 D-SOLIDIRAKEEE 7. ohdanto Edellä tarkasteltiin interpolointia ja numeerista integrointia emoneliön ja emokolmion alueissa. Emoelementtien avulla voidaan muodostaa vaihtelevan muotoisia ja halutulla tavalla -tasolle sijoittuvia kaksiulotteisia elementtejä ns. kuvaustekniikalla. ällöin kätetään koordinaattimuunnosta joka kuvaa emoelementin pisteet kuvaelementin pisteiksi siten että emoelementin solmut kuvautuvat kuvaelementin vastinsolmuiksi. Kuvauksen pitää olla kääntäen ksikäsitteinen jotta kuvaelementti toimisi verkon osana. ämä tarkoittaa sitä että kukin emoelementin piste kuvautuu täsmälleen hdeksi kuvaelementin pisteeksi ja kullakin kuvaelementin pisteellä on täsmälleen ksi alkukuva emoelementissä. Lujuusopissa tasoelementtejä tarvitaan esimerkiksi levrakenteiden käsitteln jolloin kseessä on tasojännitstilan elementti mutta ne ovat tarpeen mös tasomuodonmuutostilan M htedessä. äihin tapauksiin liittvät elementit eroavat toisistaan vain konstitutiivisen matriisin [ E ] osalta joten niiden teoria voidaan esittää samanaikaisesti. ietn elementin kättö verkon osana vaatii sen jäkksmatriisin [ k ] ja ekvivalenttisen solmukuormitusvektorin { r } määritstä kaavoista. ja.. ämä edellttää kenttäunktioiden siirtmäkomponenttien derivointia ja tiettjen lausekkeiden integrointia elementin alueessa. ämä operaatiot voidaan palauttaa emoelementin hteteen jolloin käsittel tulee helpommaksi ja sstemaattisemmaksi. 7. Lineaarinen kolmisivuinen elementti 7.. Emokolmion geometrinen kuvaus arkastellaan kuvan 7. a lineaarista kolmisivuista elementtiä jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat i i i. Määritellään ŷ seuraavasti solmukoordinaattien vektorit { ˆ } ja { } { ˆ } { } { ŷ} { } 7. Lineaariset interpolointiunktiot kuvan 7. b emoelementin alueessa ovat 7. Määritellään elementin geometrian kuvausmatriisi [ G ] seuraavasti [ ] [ ] [ ] G 7. D-solidirakenteet
2 Elementtimenetelmän perusteet 7. Edellä on merkintöjen ksinkertaistamiseksi jätett interpolointiunktioista ja kuvausmatriisista [ G ] niiden argumentit ja pois. äin menetellään jatkossa usein mös muiden suureiden htedessä. Lukijan on kuitenkin stä tarkoin hahmottaa mitkä suureet riippuvat emoelementin koordinaateista ja. Lineaarinen kuvaus joka muuntaa emoelementin -tason kolmioelementiksi e jonka kärjet ovat pisteissä i i i on 7. ällöin emokolmion kärkipisteet kuvautuvat kuvan 7. solmunumeroinnin mukaisesti. Kuvaus 7. voidaan kirjoittaa tiiviimmin muotoon [ G]{ ˆ } [ G]{ ŷ} 7.5 Koska kuvaus 7. on lineaarinen se säilttää suorat suorina hdensuuntaiset hdensuuntaisina ja jakosuhteet ennallaan. Emoelementin sivut kuvautuvat janoiksi jotka määrätvät päätepisteidensä perusteella. ästä seuraa että elementtiverkossa vierekkäisiksi kuvatut elementit liittvät toisiinsa ilman aukkoja. Kuvaus 7. on kääntäen ksikäsitteinen kun kuvaelementin solmut ovat eri pisteissä. [ G] Kuva 7. Emokolmion lineaarinen kuvaus -tasolle. Kuvaus 7. antaa kuvaelementin koordinaatit emoelementin koordinaattien unktiona eli ja. ietn kenttäunktion osittaisderivaatoiksi muuttujien ja suhteen tulee ketjusäännön mukaisesti 7.6 D-solidirakenteet
3 Elementtimenetelmän perusteet 7. D-solidirakenteet Kirjoitetaan edellä oleva tulos matriisimuotoon [ ] 7.7 Matriisi [ ] on kuvauksen acobin matriisi. Kuvaushtälöistä 7. seuraa acobin matriisille ja sen determinantille lausekkeet [ ] 7.8 A 7.9 jossa A on kuvaelementin pinta-ala. Kaavasta 7.9 tulee > kun solmut numeroidaan kiertäen elementti vastapäivään. Kaavasta 7.7 seuraa tulos [ ] A 7. jota tarvitaan elementin kinemaattisen matriisin määritkseen. Kuvaelementin li olevalle integraalille tulee matematiikan mukaan kaava A Emo d d H A d d ] F[ F d d 7. jossa on merkitt H ] [ F. Kuvaelementin li olevat integraalit voidaan muuntaa emoelementin li laskettaviksi kaavan 7. avulla. 7.. Siirtmäkentän interpolointi Kuvan 7. a elementin solmuilla on kaksi vapausastetta siirtmät - ja -suunnissa joten elementillä on kuusi vapausastetta. Kun vapausastenumerointi valitaan solmuittain eteneväksi tulee elementin solmusiirtmävektoriksi { } { } v u v u v u u 7.
4 Elementtimenetelmän perusteet 7. Elementin alueessa tuntemattomana kenttäunktiona on siirtmäkenttä { } { u v } d 7. joka sisältää elementin alueen pisteiden - ja -suuntaiset siirtmät u ja v. Siirtmäkenttä { d } interpoloidaan elementin alueessa solmuarvoistaan. Interpoloinnissa kätetään samoja unktioita 7. kuin geometrian kuvauksessa. Siirtmäkentän komponenteille saadaan näin u v u v u v u v u u u v v v 7. Määritellään elementin interpolointimatriisi [ ] seuraavasti 7.5 [ ] jolloin kenttäunktion interpolointi 7. voidaan kirjoittaa tiiviimpään muotoon { d } [ ]{ u} 7.6 Koska interpolointiunktiot i i määritettiin emoelementin koordinaattien ja avulla antaa kaava 7.6 elementin siirtmäkentän niiden unktiona. ämä ei haittaa koska geometrian kuvaus on tunnettu ja kääntäen ksikäsitteinen. Siirtmäkentän komponentit u ja v ovat jatkuvia mös elementtien rajoilla sillä interpolointiunktioiden perusominaisuuksista seuraa että tietllä sivulla siirtmäkomponentin interpolointiin vaikuttavat vain kseisen sivun solmuarvot ja interpolointiunktiot. Funktioiden u ja v derivaattojen jatkuvuudesta ei sen sijaan ole takeita. 7.. Muodonmuutostilakenttä Kun siirtmäkenttä tunnetaan saadaan muodonmuutostilakenttä lujuusopin perushtälöiden mukaan kinemaattisista htälöistä. D-solidirakenteilla voidaan ottaa kättöön muodonmuutoskomponenttien vektori { ε } seuraavasti { } { ε ε γ } ε 7.7 asomuodonmuutostilassa muut muodonmuutoskomponentit ε z γ z γ z ovat nollia. asojännitstilassa ε z ei ole nolla mutta se voidaan helposti määrittää jälkikäteen -tason jännitksistä joten sitä ei tarvitse ottaa elementtimenetelmäratkaisuun mu- D-solidirakenteet
5 Elementtimenetelmän perusteet 7.5 D-solidirakenteet kaan. Kinemaattiset htälöt ovat tasotapauksessa v u v u γ ε ε 7.8 Kaavasta 7.8 seuraa vektorin { } ε ja siirtmäkentän { } d htedeksi tulos { } [ ]{ } d D v u γ ε ε ε 7.9 jossa on määritelt kinemaattinen dierentiaalioperaattori [ ] D seuraavasti [ ] D 7. Kaavoista 7.9 ja 7.6 saadaan muodonmuutosvektorille { } ε solmusiirtmien avulla esitett likilauseke { } [ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]{ } u B u D d D ε 7. jossa [ ] B on kinemaattinen matriisi ja se ilmaisee muodonmuutoskomponenttien hteden solmusiirtmiin. Matriisin [ ] B lausekkeeksi tulee [ ] [ ][ ] [ ] B D B 7. Interpolointiunktioiden derivaatat voidaan laskea kaavan 7. avulla josta seuraa A A A A A A 7.
6 Elementtimenetelmän perusteet 7.6 Kaavassa 7. on otettu kättöön solmukoordinaateista saatavat vakiot 7. Edellä olevasta seuraa kinemaattiseksi matriisiksi [ B ] vakiomatriisi [ B] A 7.5 Kaavojen 7. ja 7.5 mukaan muodonmuutosvektori on elementin alueessa vakio. Lineaarista kolmisivuista elementtiä kutsutaan mös vakio venmän kolmioksi. 7.. ännitstilakenttä D-solidirakenteilla määritellään jännitskomponenttien vektori { σ } seuraavasti { } { σ σ τ } σ 7.6 asojännitstilassa jännitskomponentit σ z τ z τ z ovat nollia. asomuodonmuutostilassa σ z ei ole nolla mutta se voidaan määrittää -tason muodonmuutoksista joten sitä ei oteta elementtimenetelmäratkaisuun mukaan. Vektoreiden { ε } ja { σ } htes saadaan materiaalihtälöstä joka lineaarisesti kimmoiselle materiaalille on { σ } [ E]{ ε } 7.7 Konstitutiivinen matriisi [ E ] on eri tapauksissa seuraavan kaavan mukainen ν ν ν E E ν ν M ν ν ν 7.8 ν ν [ E] ν [ E] jossa E on kimmomoduuli ν Poissonin vakio ja ν ν ja ν ν. Kaavoista 7.7 ja 7. tulee vektorille { σ } solmusiirtmien avulla esitett likilauseke { σ} [ E ]{ ε} [ E] [ B]{ u} 7.9 Kaavasta 7.9 näk että mös jännitsvektori on lineaarisen kolmisivuisen ele- D-solidirakenteet
7 Elementtimenetelmän perusteet 7.7 mentin alueessa vakio. ällä elementillä saatavat muodonmuutos- ja jännitskomponentit ovat elementtien rajaviivoilla leensä epäjatkuvia ja riittävän tarkkojen tulosten saaminen edellttää varsin tiheän elementtiverkon kättöä äkksmatriisi Elementin jäkksmatriisi saadaan kaavan. integraalista. D-tapauksessa elementin paksuus t oletetaan tasojännitstilassa vakioksi ja tasomuodonmuutostilassa se valitaan kköseksi. äkksmatriisin lauseke on kummassakin tapauksessa [ ] [ B] [ E][ B] k t da 7. A e jolloin integrointi on -tasossa elementin alueen li. Kaavojen 7.5 ja 7.8 matriiseilla [ B ] ja [ E ] kaavan 7. integrandi on vakio ja integrointi voidaan suorittaa tarkasti tuloksen ollessa [ k] [ B] [ E][ B] t A 7. Lineaarisen kolmisivuisen elementin jäkksmatriisi voidaan siis laskea ilman numeerista integrointia kaavasta Ekvivalenttiset solmukuormitukset Elementin ekvivalenttiset solmukuormitukset saadaan kaikissa tapauksissa kaavan. tilavuus- ja pintaintegraaleista ilavuusvoimakuormitus ilavuusvoimakuormitusta vastaa kaavan. keskimmäinen tilavuusintegraali. Se voidaan tasotapauksessa ja elementin paksuuden t ollessa vakio laskea seuraavasti {} [ ] {} dv t [ ] { } r da 7. ve A e jossa viimeinen integrointi on elementin alueen li. ilavuusvoimien vektorilla { } on komponentit - ja -suunnassa eli {} { } 7. D-solidirakenteet
8 Elementtimenetelmän perusteet 7.8 Komponentit ja voivat olla mielivaltaisia koordinaattien ja unktioita. Kun integrointi muunnetaan emokolmion alueeseen kaavan 7. mukaisesti on tilavuusvoimakomponentit lausuttava emon koordinaattien avulla. ämä onnistuu sijoittamalla niihin ja kuvaushtälöistä 7.. Merkitään sijoituksen jälkeen saatavaa tilavuusvoimien vektoria ja sen komponentteja seuraavasti { } { } 7. jolloin integraali 7. menee kaavan 7. perusteella muotoon {} r A t [ ] { } d d 7.5 Lasketaan ensin lausekkeen 7.5 integrandi [ ] {} Edellä olevasta näk että tilavuusvoimakomponentit ja aiheuttavat solmukuormituksia vain oman suuntansa vapausasteisiin. ilavuusvoimavektori { } voidaan muuntaa ekvivalenttisiksi solmukuormituksiksi integraalilla 7.5 ainakin likimääräisesti numeerista integrointia kättäen. os { } { } { } on vakiovektori voidaan integrointi suorittaa tarkasti jolloin saadaan {} r A t d d A t d d A t Kummankin suunnan tilavuusvoimaresultantti jakaantuu solmuille samansuuruisiksi ρg pistevoimiksi. Painovoimakuormituksessa tilavuusvoimavektori on { } { } joka muunnetaan kolmeksi solmuihin vaikuttavaksi -suuntaiseksi pistevoimaksi jotka ovat suuruudeltaan A tρ g mg. D-solidirakenteet
9 Elementtimenetelmän perusteet Pintavoimakuormitus Pintavoimakuormitusta vastaa kaavan. viimeinen integraali. Pintavoimat ovat D-tilanteessa elementin reunapintaan vaikuttavia kuormituksia ja niitä voi esiintä vain elementtiverkon reunaan rajoittuvilla elementin sivuilla. Kaavan. mukaan ekvivalenttiset solmukuormitukset voidaan tasapaksun tasoelementin tapauksessa laskea seuraavasti {} [ ] { p} da t [ ] { p} r ds 7.6 Ae Se Se jossa viimeinen integraali on kuormitussivun li ja S sitä pitkin kulkeva koordinaatti. Merkintä S e kaavassa 7.6 tarkoittaa että suluissa olevassa vektorissa otetaan huomioon koordinaattien ja htes kuormitussivulla sekä koordinaattien ja htes vastaavalla emoelementin sivulla. Pintavoimien vektorilla { p } on komponentit - ja -suunnassa eli { p } { p p } 7.7 Komponentit p ja p voivat olla mielivaltaisia koordinaattien ja unktioita. Seuraavassa oletetaan merkintöjen ksinkertaistamiseksi että tarkasteltava pintakuormitus vaikuttaa sillä kuvaelementin sivulla joka on emokolmion sivun kuva. Kuvassa 7. on esitett erään kuvaelementin a sivulla oleva leinen pintakuormitus b ja kummassakin suunnassa lineaarisesti muuttuvaa pintakuormitus c. s p p p p p p Kuva 7. Pintakuormitus kuvaelementin sivulla. D-solidirakenteet
10 Elementtimenetelmän perusteet 7. Koska emokolmion sivulla on tulee geometrian kuvaushtälöistä 7. tulos d d d d 7.8 Edellä olevasta seuraa edelleen ds d d d s d 7.9 jossa s on kuvaelementin sivun pituus. Kaavojen 7. ja 7.5 mukaan interpolointimatriisi [ ] on emon sivulla [ ] 7. Pintavoimien vektori 7.7 saadaan lausuttua koordinaatin avulla sijoittamalla ja kuvaushtälöistä 7.8. Merkitään sijoituksen jälkeen saatavaa pintavoimien vektoria ja sen komponentteja seuraavasti { p } { p p } 7. Kaavan 7.6 integraali voidaan tulosten ja 7. perusteella muuntaa emoelementin sivun li olevaksi ja se saa muodon {} r t s [ ] { p} d 7. Kirjoitetaan auki kaavan 7. integrandi [ ] { p } p p p p p p Edellä olevasta näk että pintakuormituksesta tulee solmukuormituksia vain sen vaikutussivun solmuihin ja lisäksi kummastakin kuormituskomponentista tulee vaikutus vain sen oman suunnan vapausasteisiin. D-solidirakenteet
11 Elementtimenetelmän perusteet 7. Määritetään vielä kuvan 7. c lineaarisiin pintakuormituksiin liittvät ekvivalenttiset solmukuormitukset integraalista 7.. Kuormituskomponenttien lausekkeet ovat p p p p p p p 7. p Sijoittamalla komponentteihin 7. kuvaushtälöistä 7.8 saadaan p p p p p p p p 7. Kaavasta 7. tulee seuraava lauseke ekvivalenttisille solmukuormituksille {} r [p p p ] [p p p ] [p p p ] t s d [p p p ] t s 6 p p p p p p p p Esijännitstilakenttä Kaavan. ensimmäinen integraali muuntaa esijännitstilakentän ekvivalenttisiksi solmukuormituksiksi ja ne voidaan laskea seuraavasti {} r [ B] { } dv t [ B] { σ} σ da 7.6 ve A e Kuormituksena on esijännitstilakenttä { } { σ σ } σ 7.7 τ jonka komponentit σ σ ja τ voivat olla mielivaltaisia koordinaattien ja unktioita. Kun komponentit lausutaan kuvaushtälöitä 7. kättäen koordinaattien ja avulla saadaan kuormitus { } { σ σ } σ 7.8 τ Integraali 7.6 voidaan kirjoittaa emoelementin alueessa muotoon {} r A t [ B] { σ } dd 7.9 D-solidirakenteet
12 Elementtimenetelmän perusteet 7. Esijännitsvektori { σ } voidaan muuntaa solmukuormituksiksi integraalilla 7.9 numeerista integrointia kättäen. os { } { σ σ } σ τ on vakiovektori voidaan integrointi suorittaa tarkastikin sillä [ B ] on kaavan 7.5 vakiomatriisi. Koska emoelementin pinta-ala on saadaan tulokseksi tässä tapauksessa {} r t σ σ τ t σ σ σ σ σ σ τ τ τ τ τ τ Lineaarinen nelisivuinen elementti 7.. Emoneliön geometrinen kuvaus Kuvassa 7. a on esitett lineaarinen nelisivuinen elementti jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä. Elementin solmukoordinaattien vektorit ovat { ˆ } { } { ŷ} { } 7.5 a e 5 [ G] b emo Kuva 7. Emoneliön lineaarinen kuvaus -tasolle. Lineaariset interpolointiunktiot kuvan 7. b emoelementin alueessa ovat 7.5 D-solidirakenteet
13 Elementtimenetelmän perusteet 7. Geometrian kuvausmatriisi [ G ] on muotoa [ G ] [ ] 7.5 Kuvaus joka muuntaa emoneliön -tason nelikulmioelementiksi siten että kuvaelementin kärjet ovat pisteissä i L voidaan esittää muodossa i i [ G]{ ˆ } [ G]{ ŷ} 7.5 Emoneliön kärkipisteet kuvautuvat kuvan 7. solmunumeroinnin mukaisesti ja emoelementin sivuista tulee kuvaelementin sivuja. Kuvaus 7.5 on bi-lineaarinen joten - ja - akseleiden suuntaisten suorien kuvat ovat suoria ja niiden jakosuhteet säilvät mutta hdensuuntaisuus ei säil. Bi-lineaarisessa kuvauksessa 7.5 emoelementin sivut kuvautuvat janoiksi jotka määrätvät ksikäsitteisesti päätepisteidensä perusteella. ästä seuraa että elementtiverkossa vierekkäisiksi kuvatut elementit liittvät toisiinsa ilman aukkoja. arkastelujen palauttamiseksi emoelementin hteteen tarvitaan kuvauksen 7.5 acobin matriisi [ ] ja sen determinantti. acobin matriisi määritellään htälöllä [ ] 7.55 jossa on mielivaltainen kenttäunktio. acobin matriisissa olevat muuttujien ja derivaatat koordinaattien ja suhteen voidaan laskea kuvaushtälöistä 7.5 ja tulokseksi saadaan 7.56 Kaavassa 7.56 tarvitaan solmukoordinaattien lisäksi interpolointiunktioiden 7.5 derivaatat joille tulee lausekkeet 7.57 Kaavoista 7.56 ja 7.57 tulee acobin matriisiksi D-solidirakenteet
14 Elementtimenetelmän perusteet 7. a b c b a [ ] d d e e b e c 7.58 ähdään että acobin matriisi ei ole vakiomatriisi vaan sen alkiot ovat lineaarisia emoelementin koordinaattien ja unktioita. Kinemaattisen matriisin [ B ] muodostamisessa tarvitaan [ ] jolle voidaan kirjoittaa lauseke [ ] e c b d e a b [a cd ae bd b ce ] Kaavan 7.59 mukaan matriisin [ ] alkiot ovat muuttujien ja rationaalilausekkeita joiden osoittajat ja nimittäjät ovat ensimmäistä astetta. otta [ ] olisi olemassa elementin alueessa ei saa mennä > nollaksi. os menee nollaksi elementin alueessa ei kuvaus 7.5 ole kääntäen ksikäsitteinen ja sntvä kuvaelementti on elementtiverkon osana kelvoton. Voidaan todistaa että jos kuvaelementti on kupera < nelikulmio kuten kuvan 7. tapaukset b ja c ei tule nollaksi sen alueessa. Kuva 7. Emoelementin kuvauksia. ällöin > mikäli kuvaelementin solmut on numeroitu samaan suuntaan kiertäen kuin emoelementissä mutta < numerointisuuntien ollessa vastakkaiset. os emoelementti kuvataan kuvan 7. c tapaan siten että jokin sen kulmista on kovera saa elementin alueessa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja ja menee tietllä viivalla nollaksi. ällöin kuvaelementti kaatuu itsensä päälle kuvassa c viivoitetulla alueella. D-solidirakenteet
15 Elementtimenetelmän perusteet Kenttien interpolointi Siirtmäkenttä voidaan interpolointia hväksi kättäen lausua likimääräisesti solmusiirtmien avulla. Lineaarisen nelisivuisen tasoelementin solmusiirtmävektori on { } { u v u v u v u v } u 7.6 jossa elementin vapausastenumerointi on valittu solmuittain eteneväksi. Siirtmä- d sisältää elementin alueen pisteiden - ja -suuntaiset siirtmät kenttä { } { } { u v } d 7.6 Siirtmäkentän interpoloinnissa kätetään samoja bi-lineaarisia interpolointiunktioita 7.5 kuin geometrian kuvauksessa ja interpolointimatriisiksi [ ] tulee [ ] 7.6 Siirtmäkentän interpolointi on jälleen muotoa { d } [ ]{ u} 7.6 Lauseke 7.6 antaa siirtmäkentän emoelementin koordinaattien ja avulla. Siirtmäkentän interpolointi on C -jatkuva. Muodonmuutoskomponenttien vektorin { ε } ja siirtmäkentän { d } htes on ε u ε 7.6 v γ { } ε [ D]{ d} josta seuraa muodonmuutosvektorille { ε } solmusiirtmien avulla esitett likilauseke { ε } [ D ]{ d} [ D][ ]{ u} [ B]{ u} 7.65 Kinemaattinen matriisin [ B ] lausekkeeksi tulee B 7.66 [ ] [ ][ ] D D-solidirakenteet
16 Elementtimenetelmän perusteet 7.6 B 7.67 [ ] Interpolointiunktioiden derivaatoille tulee kaavasta 7.55 lausekkeet i i L 7.68 i i j i i jossa merkintä tarkoittaa acobin matriisin käänteismatriisin alkiota. Kaavan 7.68 perusteella kinemaattinen matriisi [ B ] saadaan esitettä emoelementin koordinaattien avulla. Voidaan osoittaa että tulos menee seuraavaan matriisitulomuotoon i i [ B] 7.69 Muodonmuutosvektorista { ε } saadaan jännitsvektori { σ } materiaalihtälöillä { σ } [ E]{ ε } 7.7 jossa konstitutiivinen matriisi [ E ] on kaavan 7.8 mukainen. Kaavoista 7.7 ja 7.65 seuraa jännitsvektorille { σ } solmusiirtmien avulla esitett likilauseke { σ } [ E ]{ ε } [ E][ B]{ u} 7.7 Kaavasta 7.69 näk että kinemaattisen matriisin [ B ] alkiot ovat rationaalilausekkeita joissa osoittajat ovat toista ja nimittäjät ensimmäistä astetta muuttujien ja suhteen. Kaavojen 7.65 ja 7.7 perusteella muodonmuutos- ja jännitsvektorin komponentit ovat samantppisiä lausekkeita kuin kinemaattisen matriisin alkiot. 7.. äkksmatriisi äkksmatriisin lauseke on vakio paksuuden t omaavalla tasoelementillä muotoa [ ] [ B] [ E][ B] k t da 7.7 A e D-solidirakenteet
17 Elementtimenetelmän perusteet 7.7 jolloin integrointi on -tasossa elementin alueen li. Integrointi voidaan muuntaa emoelementin alueen li olevaksi kaavan 7. osoittamalla tavalla josta seuraa [ k] t [ B] [ E][ B] d d 7.7 Koska kinemaattisen matriisin [ B ] alkiot ja acobin matriisin determinantti ovat edellä kuvattuja muuttujien ja lausekkeita ei jäkksmatriisin alkioiden tarkka integrointi ole tarkoituksenmukaista vaikka olisi periaatteessa mahdollista. Kätännössä elementtimenetelmäohjelmissa jäkksmatriisi lasketaan kaavasta 7.7 numeerisella Gaussin integroinnilla. ällöin integraali korvataan kätettävän integrointiasteen mukaisella äärellisellä painotetulla summalla n n ij [ k] t Wi Wj [ B] [ E][ B] i j 7.7 jossa merkintä i j tarkoittaa että suluissa oleva matriisi on laskettu integrointipisteessä ja [ ] tarvitaan jäkksmatriisia lasketta- i j. Suureet [ B ] [ ] essa vain integrointipisteissä eikä koko elementin alueessa. Kun [ ] B on tunnettava Gaussin integrointipisteissä voidaan sitä hödntää solmusiirtmien ratkaisun jälkeen mös muodonmuutos- ja jännitskomponenttien laskemiseen näissä pisteissä. 7.. Ekvivalenttiset solmukuormitukset Elementin ekvivalenttiset solmukuormitukset saadaan kaikissa tapauksissa kaavan. tilavuus- ja pintaintegraaleista ilavuusvoimakuormitus ilavuusvoimakuormitusta vastaava integraali on {} [ ] {} dv t [ ] { } r da 7.75 ve A e jossa viimeinen integrointi on elementin alueen li. ilavuusvoimien vektorilla on komponentit - ja -suunnassa eli {} { } 7.76 D-solidirakenteet
18 Elementtimenetelmän perusteet 7.8 jotka voidaan lausua kuvaushtälöitä 7.5 kättäen koordinaattien ja avulla jolloin saatua tilavuusvoimien vektoria merkitään { } { } 7.77 Integraali 7.75 menee kaavan 7. perusteella muotoon {} r t [ ] { } d d 7.78 Koska riippuu koordinaateista ja edellä esitetllä tavalla ei integraalia 7.78 kannata laskea analttisesti edes vakio tilavuusvoimakuormitukselle. Se voidaan aina laskea numeerisella Gaussin integroinnilla halutulla tarkkuudella olipa tilavuusvoimakuormitus mikä tahansa. Kaavan 7.78 integraali korvataan tällöin äärellisellä painotetulla summalla ij n n {} r t W W [ ] { } 7.79 i j i j 7... Pintavoimakuormitus Pintavoimakuormitusta vastaa kaavan. viimeinen integraali ja sen mukaan ekvivalenttiset solmukuormitukset saadaan tasapaksulle tasoelementille kaavasta {} [ ] { p} da t [ ] { p} r ds 7.8 Ae Se Se jossa viimeinen integraali on kuormitussivun li ja S sitä pitkin kulkeva koordinaatti. Pintavoimien vektorilla { p } on komponentit - ja -suunnassa eli { p} { p p } 7.8 Komponentit p ja p voivat olla mielivaltaisia koordinaattien ja unktioita. Seuraavassa oletetaan merkintöjen ksinkertaistamiseksi että tarkasteltava pintakuormitus vaikuttaa emoneliön sivun kuvasivulla jonka solmuja merkitään mös numeroilla ja. Kuvassa 7.5 on esitett erään kuvaelementin a sivulla oleva leinen pintakuormitus b ja kummassakin suunnassa lineaarinen pintakuormitus c. D-solidirakenteet
19 Elementtimenetelmän perusteet 7.9 a 6 e 5 8 S 7 s b p p p c p p Kuva 7.5 Pintakuormitus kuvaelementin sivulla. p Koska emoneliön sivulla on voimassa saadaan kuvaushtälöistä 7.5 d d d d 7.8 Edellä olevasta seuraa edelleen d d d s d 7.8 ds jossa s on kuvaelementin sivun pituus. Kaavojen 7.5 ja 7.6 mukaan interpolointimatriisi [ ] menee emon sivulla muotoon [ ] 7.85 Pintavoimien vektori 7.8 lausutaan koordinaatin avulla sijoittamalla ja kuvaushtälöistä 7.8. Merkitään näin saatavaa vektoria ja komponentteja seuraavasti { p } { p p } 7.86 Kaavan 7.8 integraali voidaan tulosten ja 7.86 perusteella muuntaa emoelementin sivun li olevaksi ja se saa muodon 7.87 {} r t s [ ] { p} d D-solidirakenteet
20 Elementtimenetelmän perusteet 7. Kirjoitetaan auki kaavan 7.87 integrandi [ ] { p } p p p p p p Edellä olevasta nähdään että pintakuormituksesta tulee solmukuormituksia vain sen vaikutussivun solmuihin ja kummastakin kuormituskomponentista tulee vaikutus vain sen oman suunnan vapausasteisiin. Määritetään vielä kuvan 7.5 c kuormituksiin liittvät solmukuormitukset. Kuormituskomponentit ovat p p p p p p p 7.88 p Sijoittamalla komponentteihin 7.88 koordinaatti kuvaushtälöistä 7.8 saadaan p p p p p p p 7.89 p Kaavasta 7.87 tulee seuraava lauseke ekvivalenttisille solmukuormituksille {} r [p [p [p [p t s p p p p p p p p ] ] ] ] d t s 6 p p p p p p p p 7.9 D-solidirakenteet
21 Elementtimenetelmän perusteet Esijännitstilakenttä Kaavan. ensimmäinen integraali muuntaa esijännitstilakentän ekvivalenttisiksi solmukuormituksiksi seuraavasti {} r [ B] { } dv t [ B] { σ} σ da 7.9 ve A e jolloin kuormituksena on esijännitstilakenttä { } { σ σ } σ 7.9 τ Esijännitskomponentit lausutaan emon koordinaattien avulla kuvaushtälöitä 7.5 kättäen josta saadaan kuormitus { } { σ σ } σ 7.9 τ Integrointi muunnetaan emoneliön alueeseen kaavan 7. mukaisesti jolloin se menee muotoon {} r t [ B] { σ} dd 7.9 Koska ja [ B ] riippuvat koordinaateista ja edellä esitetllä tavalla ei integraalia 7.9 kannata laskea analttisesti edes vakio esijännitstilakentällä. Se voidaan laskea Gaussin integroinnilla kaikilla esijännitstilakentillä. Kaavan 7.9 integraali korvataan tällöin integrointiasteen mukaisella äärellisellä painotetulla summalla n n ij {} r t Wi Wj [ B] { σ} i j 7.95 D-solidirakenteet
4 YLEINEN ELEMENTTIMENETELMÄ
Elementtimenetelmän perusteet 4. 4 YLEINEN ELEMENIMENEELMÄ 4. Johdanto Elementtimenetelmä on osittaisdifferentiaalihtälörhmän reuna-arvotehtävän likimääräinen ratkaisumenetelmä. ällöin tarkastellaan tiettä
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 14: Yleisen lujuusopin elementtimenetelmän perusteita.
4/ LMNIMNLMÄN PRS SSSIO 4: Yleisen lujuusopin elementtimenetelmän perusteita. JOHDANO A A A A Yleinen elementtimenetelmä on osittaisdifferentiaalihtälörhmän reuna-arvotehtävän likimääräinen ratkaisumenetelmä.
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotTarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi
Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät
LisätiedotLAATTATEORIAA. Yleistä. Kuva 1.
LAATTATEORIAA Yleistä Kuva 1. Laatta on kahden pinnan rajoittama rakenneosa, jonka paksuus on pieni muihin mittoihin verrattuna. Pintojen puolivälissä oleva keskipinta on taso ennen laatan kuormittamista.
LisätiedotNumeerinen integrointi
Numeerinen integrointi hum 8.0. Numeerinen integrointi Numeerisia integrointimenetelmiä on useita. Käsitellään tässä yhteydessä kuitenkin vain Gauss in integrointia, joka on elementtimenetelmän yhteydessä
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet.
0/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 0: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. JOHDANTO Lujuuslaskentatehtävässä on tavoitteena ratkaista annetuista kuormituksista aiheutuvat rakenteen siirtmätilakenttä,
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2.
7/ EEMENTTIMENETEMÄN PERSTEET SESSIO 7: Aksiaalinen sauvaelementti, osa. RATKAIS EEMENTIN AEESSA Verkon perusyhtälöstä [ K ]{ } = { F} saatavasta solmusiirtymävektorista { } voidaan poimia minkä tahansa
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 17: Interpolointi emoneliön ja emokolmion alueessa.
7/ EEMETTIMEETEMÄ PERUSTEET SESSIO 7: Interpolointi emoneliön ja emokolmion alueessa. ITERPOOITI EMOEIÖ AUEESSA Yksiulotteisen interpoloinnin yhteydessä tulivat esille interpolointifunktioiden perusominaisuudet
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Lisätiedot10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko.
Elementtimenetelmän perusteet Esimerkki. kn kn/m 5 = 8 E= GPa mm 5 5 mm (a) 5 5 6 Y X (b) Kuva. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Tarkastellaan kuvassa (a) olevan tasokehän statiikan ratkaisemista elementtimenetelmällä.
LisätiedotMateriaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.
JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
LisätiedotJohdatus materiaalimalleihin
Johdatus materiaalimalleihin 2 kotitehtäväsarja - kimmoisat materiaalimallit Tehtävä Erään epälineaarisen kimmoisen isotrooppisen aineen konstitutiivinen yhtälö on σ = f(i ε )I + Ge () jossa venymätensorin
Lisätiedot3 Raja-arvo ja jatkuvuus
3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
Lisätiedotnormaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät
TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =
3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotMat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotMAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014
0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotPOIKKIPINNAN GEOMETRISET SUUREET
1.10.018 POIKKIPINNAN GEOMETRISET SUUREET KOORDINAATISTON VALINTA: x akseli sauvan tai palkin akselin suuntainen akseli alaspäin akseli siten, että muodostuu oikeakätinen koordinaatisto Pintamomentti (pinnan
Lisätiedotlim Jännitystila Jännitysvektorin määrittely (1)
Jännitstila Tarkastellaan kuvan ukaista ielivaltaista koliulotteista kaaletta, jota kuoritetaan ja tuetaan siten, että se on tasaainossa. Kaaleen kuoritus uodostuu sen intaan kohdistuvista voiajakautuista,
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotTampere University of Technology
Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
LisätiedotTällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.
39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Lisätiedotdx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.
BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2
Lisätiedoty 1 x l 1 1 Kuva 1: Momentti
BMA58 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Kevät 17 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Integraalit eivät tosin ole niin vaikeita etteikö niitä suurimmassa
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
Lisätiedot1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?
Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 2. luento 10.11.2017 Keinotekoiset neuroverkot Neuroverkko koostuu syöte- ja ulostulokerroksesta
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
Lisätiedot9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt
9 Lineaarikuvaukset, matriisit 9 Vektoriavaruudet Aiemmin olemmme puhuneet tason (R 2 ja kotiavaruuden (R 3 vektoreista Nämä (kuten mös pelkkä R ovat esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista Yleisesti
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/2017
KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/017 1. Määritä oheisen kuvan mukaisen kanaalin portin
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
Lisätiedot1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1
Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotUsean muuttujan funktiot
Usean muuttujan funktiot Johdantoa Kertauksen vuoksi seuraavassa kuviossa on joitakin asioita, joita olemme laskeneet hden muuttujan funktioista f() : [a, b] R Kuvion kärä on funktion f() kuvaaja = f()
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Demonstraatio 7, 6.7... Ratkaise dierentiaalihtälöpari = = Vastaus: DY-pari voidaan esittää muodossa ( = Matriisin ominaisarvot ovat i ja i ja näihin kuuluvat ominaisvektorit (
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotTaivutuksesta ja väännöstä, osa I: Teoria
Rakenteiden Mekaniikka (Journal of Structural Mechanics) Vol. 50 Nro 4 2017 s. 376-404 http://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/inde https:/doi.org/10.23998/rm.64856 Kirjoittaja(t) 2017. Vapaasti saatavilla
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedots = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4
BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotEnsimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettaminen - gradienttimenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotGaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot