Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus"

Transkriptio

1 TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus 1 SISÄLTÖ 1. Saint-Venantin periaate 2. Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos 3. Yhteenlaskuperiaate 4. Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva 5. Voimamenetelmä aksiaalisesti kuormitetulla sauvalla 6. Lämpöjännityksistä 7. Jännityskeskittymät 8. *Plastinen aksiaalinen muodonmuutos 9. *Jäännösjännitykset 2 1

2 4.1 SAINT-VENANTIN PERIAATE Paikallisia muodonmuutoksia tapahtuu sekä voimien että tukien läheisyydessä Kauempana kuormista ja tuista on muodonmuutos lähes vakio, esim. leikkaus c-c, jossa jännitys on lähes vakio verrattuna leikkauksiin a-a, b-b Leikkaus c-c on riittävän kaukana voimasta P, jolloin paikallinen vaikutus on hävinnyt, ts. kyseessä on minimietäisyys SAINT-VENANTIN PERIAATE Perussääntö: minimietäisyys on oltava vähintään yhtäsuuri kuin suurin poikkileikkauksen dimensio. Edellisen kalvon sauvalle minimietäisyys on siis sauvan leveys. Ilmiön havaitsi Barré de Saint-Venant vuonna 1855, siksi sitä sanotaan Saint-Venantin periaatteeksi Saint-Venantin periaate: minkä tahansa kuorman paikallinen vaikutus häviää alueilla, jotka ovat riittävän kaukana kuormituspisteistä Siten lujuusopissa usein jätetään tutkimatta jännitysjakauma lähellä aktiivisia ulkoisia kuormia tai tukipisteitä 4 2

3 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Lasketaan kuvan sauvan pään siirtymä suhteessa sauvan toiseen päähän (δ) Sovelletaan Saint-Venantin periaatetta ja jätetään huomioimatta kuormituksen paikallinen vaikutus Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Piirretään tutkittavasta differentiaalielementistä vapaakappalekuva: σ = P(x) ε = dδ A(x) dx Suhteellisuusrajaa ei ylitetä, jolloin Hooke n laki on voimassa: σ = Eε P(x) A(x) = E dδ dx ( ) dδ = P(x) dx A(x) E 6 3

4 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Yhtälö 4-1 L δ = 0 P(x) dx A(x) E δ = pisteen siirtymä toisen pisteen suhteen L = kahden pisteen välinen etäisyys P(x) = leikkauksen aksiaalikuorma, aksiaalikoordinaatin x funktiona A(x) = sauvan poikkileikkauksen pinta-ala, aksiaalikoordinaatin x funktiona E = materiaalin kimmomoduli Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Vakiokuorma ja vakiopoikkileikkaus (prismaattinen sauva) Sauvalla on vakiopoikkileikkaus A, sauva on homogeeninen ja kimmomoduli E on vakio Kun sauvaan vaikuttaa ulkoinen vakiokuormalla P, joka vaikuttaa molemmissa päissä, on sisäinen rasitus vakio P Siten integroimalla yhtälö 4-1 yli sauvan saadaan Yhtälö 4-2 δ = PL AE 8 4

5 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Vakiokuorma ja vakiopoikkileikkaus Mikäli sauvaan vaikuttaa useita aksiaalivoimia tai poikkileikkauksen pinta-ala ei ole vakio, voidaan yhtälöä soveltaa jokaiselle sauvan segmentille, jolla kuorma- ja poikkileikkaus on vakio, jolloin yhtälö saa muodon δ = PL AE Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Merkkisääntö Etumerkki Positiivinen (+) Negatiivinen ( ) Voimat Veto Puristus Siirtymät Venymä Puristuma 10 5

6 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Analyysin vaiheet Sisäinen voima Käytä leikkausmenetelmää sisäisen aksiaalivoiman P määrittämiseksi Jos voima vaihtelee aksiaalisuunnassa, on siasäinen voima funktio pituuskoordinaatista, ts. P(x) Jos voimat ovat pistevoimia, on sisäinen voima määritettävä jokaisessa segmentissä voimien välillä Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Analyysin vaiheet Sisäinen voima Jokaiselle segmentille sisäinen vetovoima on positiivinen ja puristus vastaavasti negatiivinen. Graafisesti rasitus voidaan esittää normaalivoimakuvaajana pituussuunnassa Siirtymä Mikäli poikkileikkauksen pinta-ala vaihtelee pituussuunnassa, on pinta-ala esitettävä pituuskoordinaatin funktiona, ts. A(x) 12 6

7 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Analyysin vaiheet Siirtymä Mikäli poikkipinta-ala, kimmomoduli tai sisäinen kuormitus vaihtelee, on yhtälöä 4-2 sovellettava jokaiselle alueelle, jossa em. suureet ovat vakiot. Merkkisääntöä on sovellettava huolellisesti ja yksiköiden on oltava yhteneviä. Mikäli tulos on positiivinen, osa venyy ja päinvastoin. 13 ESIMERKKI 4.1 Teräksestä S234 valmistetun terässauvan alueen AB poikkileikkauspinta-ala A AB = 600 mm 2 ja alueen BD A BD = 1200 mm 2. Määritä pisteen A pystysiirtymä ja pisteen B siirtymä pisteen C suhteen. 14 7

8 ESIMERKKI 4.1 (RATKAISU) Sisäiset voimat Ulkoisten kuormien jakautumisen vuoksi sisäiset rasitukset alueissa AB, BC ja CD ovat erilaiset. Leikkausmenetelmäl lä ja statiikan tasapainoyhtälöitä soveltaen saadaan sisäiset rasitukset ratkaistua. 15 ESIMERKKI 4.1 (RATKAISU) Siirtymät Teräkselle (esim. teräsrakennenormit) E = 210(10 3 ) MPa. Siten pisteen A siirtymä on δ A = PL [+75 kn](1 m)(10 6 ) = AE [600 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] [+35 kn](0.75 m)(10 6 ) + [1200 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] [ 45 kn](0.5 m)(10 6 ) + [1200 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] = mm 16 8

9 ESIMERKKI 4.1 (RATKAISU) Siirtymät Koska tulos on positiivinen, sauva venyy ja pisteen A siirtymä on ylöspäin. Soveltaen kaavaa 4-2 pisteiden B ja C välille δ A = P BC L BC A BC E = [+35 kn](0.75 m)(10 6 ) [1200 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] = mm Tässä siis B liikkuu vastakkaiseen suuntaan kuin C, koska segmentti venyy YHTEENLASKUPERIAATE (SUPERPOSITIO) Summausperiaatteen mukaan kokonaisjännitys- ja siirtymä koostuu komponentteihin jaetun kuorman yksittäisistä vaikutuksista. Resultoiva jännitys/siirtymä saadaan summaamalla (superponoimalla) yksittäisten komponenttien vaikutus 18 9

10 4.3 YHTEENLASKUPERIAATE (SUPERPOSITIO) Ehdot 1. Kuormituksen on oltava kimmoisella alueella eli siirtymän ja jännitysten yhteys on lineaarinen. 2. Kuormitus ei saa oleellisesti muuttaa rakenteen geometriaa Milloin muodonmuutoksia ei huomioida? Useimmiten kuormitettujen rakenneosien muodonmuutokset ovat niin pieniä, että kuormien paikka ja suunta eivät oleellisesti muutu, joten niitä ei oteta huomioon analyysissa Tällä kurssilla poikkeuksen tekee aksiaalisesti kuormitettu sauva, jonka stabiiliusanalyysissa muodonmuutos on otettava huomioon Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Toisesta päästään jäykästi tuettu aksiaalisesti kuormitettu sauva voidaan ratkaista statiikan tasapainoyhtälöllä. Kyseessä on siis staattisesti määrätty rakenne. Mikäli sauvan molemmat päät on kiinnitetty, on rakenne staattisesti määräämätön, koska tuntemattomia tukireaktioita on kaksi: + F = 0; F B + F A P =

11 4.4 Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Lisäyhtälö saadaan siirtymien avulla. Kyseessä on silloin yhteensopivuus- tai kinemaattinen ehto. Tässä tapauksessa yhteensopivuusehto on seuraava: koska molemmat päät ovat jäykästi kiinnitetyt, on päiden välinen siirtymä δ A/B = 0 Tämä lisäyhtälö voidaan kirjoittaa kuormituksen funktiona käyttäen voima-siirtymäyhteyttä, joka on riippuvainen materiaalikäyttäytymisestä Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Kimmoisella alueella (lineaarielastinen käyttäytyminen) yhteensopivuusehto on F A L AC AE Mikäli aksiaalijäykkyys AE on vakio, voidaan tasapaino- ja yhteensopivuusehdoista ratkaista F B L CB AE = 0 L CB F A = P( ) L L AC F B = P( ) L 22 11

12 4.4 Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Analyysin vaiheet Tasapainoehto Piirrä vapaakappalekuva kappaleesta ja merkitse siihen kaikki vaikuttavat voimat Mikäli tuntemattomia voimasuureita on enemmän kuin tasapainoyhtälöitä, on rakenne staattisesti määräämätön Kirjoita tasaopainoyhtälöt VKK:n perusteella Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Analyysin vaiheet Yhteensopivuusehto Piirrä siirtymäkuvaaja, jolla tutkitaan rakenteen venymistä tai puristumista (deformaatiota) Kirjoita yhteensopivuusehto (-ehdot) voimien aiheuttamien siirtymien perusteella Sovella voima-siirtymäehtoa (δ=pl/ae), jolla tuntemattomat siirtymät suhteutetaan Ratkaise yhtälöt. Mikäli tuloksena saatava voimasuure on negatiivinen, vaikuttaa voima vastakkaiseen suuntaan kuin VKK:ssa

13 ESIMERKKI 4.5 Kuvan terässauvan halkaisija on 5 mm. Se on jäykästi kiinnitetty seinämiin pisteessä A ja ennen kuorman asettamista vapaan pään B ja seinämän välissä on 1 mm rako. Määritä tukireaktiot kun sauvaan vaikuttaa kuorma P = 20 kn. Pisteen C kaulusta ei tarvitese ottaa huomioon. E st = 200 GPa 25 ESIMERKKI 4.5 (RATKAISU) Tasapainoehto Oletetaan voima P niin suureksi, että vapaa pää kiinnittyy seinämään. Tasapainoehto on silloin + F = 0; F A F B + 20(10 3 ) N = 0 Yhteensopivuusehto δ B/A = m 26 13

14 ESIMERKKI 4.5 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Käytetään kuormitus-siirtymäyhteyttä (Yhtälö 4-2), jota sovelletaan molemmille sauvanosille AC ja CB δ B/A = m = F A L AC F B L CB AE AE F A (0.4 m) F B (0.8 m) = N m Ratkaisusta saadaan, F A = 16.6 kn F B = 3.39 kn VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Voimamenetelmää käytetään myös staattisesti määräämättömissä rakenteissa käyttäen superpositiomenetelmää vapaakappalekuvassa Ensin valitaan riittävä määrä tuntemattomia tukireaktioita, jotka vapautetaan, jolloin rakenteesta saadaan staattisesti määrätty Sen jälkeen sovelletaan superpositioperiaatetta ja ratkaistaan yhtälöt 28 14

15 4.5 VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Vapaakappalekuvasta voidaan määrittää tukireaktio pisteessä A Pisteessä B ei ole siirtymää = Pisteen B siirtymä, kun tuenta vapautetaan + Pisteen B siirtymä, kun tuntematon tukivoima vaikuttaa VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Analyysin vaiheet Yhteensopivuusehto Valitaan vapautettava tuki ja kirjoitetaan yhteensopivuusehto. Kun tunnetaan siirtymä vapautetussa tuessa (joka on usein nolla) ja asetetaan se yhtäsuureksi kuin siirtymä johtuen ulkoisista kuormista, johon summataan tuntemattoman tukireaktion aiheuttama siirtymä

16 4.5 VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Analyysin vaiheet Yhteensopivuusehto Kirjoitetaan ulkoiset kuormat ja vapautettujen tukien siirtymät voima-siirtymäyhteyksien perusteella Yhteensopivuusyhtälöstä ratkaistaan tuntematon tukireaktio VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Analyysin vaiheet Tasapainoehto Vapaakappalekuvan avulla kirjoitetaan tasapainoyhtälöt, joissa on mukana myös ratkaistu tuntematon voimasuure. Ratkaistaan yhtälöt, jolloin saadaan myös muut tukireaktiot 32 16

17 ESIMERKKI 4.6 Kuvan terästangon halkaisija on 5 mm. Ennen kuorman asettamista vapaan pään seinämän välissä on 1 mm:n rako. Määritä tukireaktiot. E = 200 GPa. 33 ESIMERKKI 4.6 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Vapautetaan tuki pisteessä B ja sovelletaan summausperiaatetta. ( + ) m = δ P δ B Yhtälö

18 ESIMERKKI 4.6 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Siirtymät δ P ja δ B määritetään yhtälöstä 4-2 δ P = PL AC AE = = m δ B = F B L AB AE = = (10-6 )F B Sijoittamalla yhtälöön 1 saadaan m = m (10-6 )F B F B = 3.40(10 3 ) N = 3.40 kn 35 ESIMERKKI 4.6 (RATKAISU) Tasapainoehto Vapaakappalekuvasta + F x = 0; F A + 20 kn 3.40 kn = 0 F A = 16.6 kn 36 18

19 4.6 LÄMPÖJÄNNITYKSISTÄ Materiaalin laajeneminen ja kutistuminen on suoraan verrannollista lämpötilan muutokseen homogeenisellla ja isotrooppisella materiaalilla Kokeellisesti on todettu, että L pituisella kappaleella δ T = α T L α = kappaleen lämpölaajenemiskerroin. Yksikkö on venymä astetta kohti: 1/ o C (Celsius) tai 1/ o K (Kelvin) T = lämpötilan muutos δt = kappaleen pituuden muutos LÄMPÖJÄNNITYKSISTÄ Staattisesti määräämättömillä rakenteilla lämpötilan muutoksista johtuvat siirtymät voivat olla estettyjä tukien vuoksi, joten ne on otettava huomioon suunnittelussa

20 ESIMERKKI 4.7 Kuvan terästanko on asetettu tukien väliin siten että se juuri mahtuu väliin lämpötilassa T 1 = 30 o C. Jos lämpötila nousee arvoon T 2 = 60 o C, määritä keskimääräinen lämpöjännitys sauvassa. 39 ESIMERKKI 4.7 (RATKAISU) Tasapainoehto Vapaakappalekuvan perusteella + Fy = 0; F A = F B = F Tehtävä on siis staattisesti määräämätön. Yhteensopivuusehto Koska δ A/B =0, täytyy olla lämpösiirtymän δ T pisteessä A olla nollasta poikkeava. Siten + δ A/B = 0 = δ T δ F 40 20

21 ESIMERKKI 4.7 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Soveltaen lämpöyhtälöä ja kuorma-siirtymäyhteyttä saadaan 0 = α TL FL AL F = α TAE = = 7.2 kn Lämpölaajenemisen estäminen aiheuttaa siis varsin suuren voiman rakenteeseen. Keskimääräinen normaalijännitys on σ = F A = = 72 MPa JÄNNITYSKESKITTYMÄT Voimatasapainon vuoksi jännitysjakauman resultantti on = P. Siten P = A σ da Integraalissa lasketaan jännitysvuon tilavuus, joka nähdään alla olevassa kuvassa graafisesti: 42 21

22 4.7 JÄNNITYSKESKITTYMÄT Käytännön suunnittelussa ei tarvitse tietää varsinaista jännitysjakaumaa vaan tärkein on suurin jännitys tutkittavassa leikkauksessa. Rakenne suunnitellaan kestämään tämä jännitys kun aksiaalikuorma P vaikuttaa. Jännityskonsentraatiokerroin K määritetään suurimman ja keskimääräisen jännityksen suhteena pienimmässä poikkileikkauksessa: Yhtälö 4-7 K = σ max σ avg JÄNNITYSKESKITTYMÄT K on riippuvainen ainoastaan sauvan geometriasta ja epäjatkuvuuden tyypistä. Kun epäjatkuvuuden koko (esim. reikä) pienenee, myös jännityskeskittymä kasvaa. Staattisesti kuormitetuilla rakenteilla jännityskonsentraatiokerrointa käytetään suunnittelussa ainoastaan haurailla materiaaleilla. Rakenneteräksillä materiaalin sitkeyden vuoksi ei yleensä tarvitse välittää paikallisista jännityskeskittymistä. Sen sijaan vaihtelevasti kuormitetuilla rakenteilla, joilla materiaalin väsyminen on otettava huomioon, jännityskeskittymät ovat aina keskeinen analyysin kohde 44 22

23 ESIMERKKI 4.8 Kuvan vetosauvan sallittu jännitys on σ allow = 115 MPa. Määritä suurin aksiaalikuorma P, jonka sauva voi kantaa, kun a) materiaali on haurasta b) materiaali on sitkeää. 45 ESIMERKKI 4.8 (RATKAISU) Oheisesta käyrästöstä saadaan jännityskonsentraatiokerroin geometrian perusteella

24 ESIMERKKI 4.8 (RATKAISU) Geometriset parametrit ovat r 10 mm = n 20 mm = 0.50 w h = 40 mm 20 mm = 2 Siten jännityskonsentraatiokerroin käyrältä: K = 1.4 Keskimääräinen normaalijännitys pienimmässä leikkauksessa on P σ avg = = 0.005P N/mm 2 (20 mm)(10 mm) 47 ESIMERKKI 4.8 (RATKAISU) a) Hauraalle materiaalille soveltaen yhtälöä 4-7 kun σ allow = σ max antaa σ allow = K σ max 115 N/mm 2 = 1.4(0.005P) P = 16.43(10 3 ) N = kn a) sitkeälle materiaalille σ allow = σ avg antaa σ allow = σ avg 115 N/mm 2 = (0.005P) P = 23(10 3 ) N = 23.0 kn 48 24

25 *4.8 KIMMOTON AKSIAALINEN MUODONMUUTOS Toisinaan rakenneosa suunnitellaan siten, että kuormitus johtaa myötämiseen ja siten pysyvään muodonmuutokseen. Tämäntyyppiset rakenneosat tehdään hyvin sitkeästä materiaalista kuten matalahiilisistä teräksistä, joiden jännitysvenymäpiirros on esitetty kuvassa: Materiaalityyppiä sanotaan elastisplastiseksi materiaalimalliksi. 49 *4.8 KIMMOTON AKSIAALINEN MUODONMUUTOS Plastinen (kimmoton) kuorma P P on suurin kuorma, jonka elastoplastisesti käyttäytyvä rakenneosa kantaa 50 25

26 ESIMERKKI 4.9 Kuvan terässauvan materiaali oletetaan elastoplastiseksi ja sen myötöraja on σ Y = 250 MPa. Määritä (a) kuorman P suurin arvo ilman että materiaali myötää (b) suurin kuorman P arvo, jonka rakenneosa kantaa. 51 ESIMERKKI 4.9 (RATKAISU) (a) Kimmoisella alueella materiaali alkaa myötää, kun jännityskeskittymän aiheuttama maksimijännitys saavuttaa myötörajan. r 4 mm n = (40 mm 8 mm) = w 40 mm h = (40 mm 8 mm) = 1.25 Asetetaan σ max = σ Y. Keskimääräinen normaalijännitys σ avg = P/A σ max = K σ avg ; P Y σ Y = K( ) A P Y = 9.41 kn Näiden perusteella saadaan jännityskonsentraa tiokerroin K = 1,

27 ESIMERKKI 4.9 (RATKAISU) (a) Rajakuorma P Y laskettiin pienimmässä poikkileikkauksessa. Jännitysjakauma on silloin kuvan mukainen. Tasapainotilassa jännitysvuon tilavuus on oltava yhtä kuin 9.41 kn. 53 ESIMERKKI 4.9 (RATKAISU) (b) Suurimmalla kantokuormalla P P pienimmän poikkileikkauksen koko materiaali on myötörajalla. Asetetaan σ max = σ Y. Keskimääräinen normaalijännitys σ avg = P/A P Y σ Y = ( ) A P P = 16.0 kn Tässä P P on yhtä kuin jännitysvuon tilavuus oikean puolen kuvassa eli P P = σ Y A 54 27

28 *4.9 JÄÄNNÖSJÄNNITYKSET Aksiaalisesti kuormitetuilla rakenneosilla tai niistä koostuvilla rakenteilla, jotka ovat staattisesti määräämättömiä systeemejä, voivat kantaa sekä veto- että puristusvoimia. Myötörajan ylittävät ulkoiset kuormat aiheuttavat jäännösjännityksiä kappaleeseen kuorman poistamisen jälkeen. Syynä on materiaalin kimmoinen palautuminen kuormituksen poistamisen jälkeen 55 *4.9 JÄÄNNÖSJÄNNITYKSET Näissä analyyseissa on tunnettava rakenteen kuormitushistoria, jolloin voidaan soveltaa superpositioperiaatetta positiiviselle kuormalle (kuormitus) ja negatiiviselle voimalle (kuorman poisto). Kuormitus (OC) aiheuttaa plastisen jännitysjakauman Kuorman poisto (CD) aiheuttaa kimmoisen jännitysjakauman. Kuvan mukaisesti kappaleeseen jää jäännösvenymä ja siten jäännösjännitys

29 ESIMERKKI 4.10 Alumiinisauvan säde on 5 mm, materiaali on elastoplastinen ja σ Y = 420 MPa, E = 70 GPa. Kuorma P = 60 kn vaikuttaa sauvaan kuvan mukaisesti. Määritä jäännösjännitysjakauma ja pisteen C pysyvä muodonmuutos. 57 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Rakenne on staattisesti määräämätön. Soveltaen edellä esitettyä voimamenetelmää saadaan F A = 45 kn F B = 15 kn Siten jännitys on ja σ AC = σ CB = 45 kn π(0.005 m) 2 15 kn π(0.005 m) 2 = 573 MPa (puristusta) > σ Y = 420 MPa = 191 MPa 58 29

30 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Koska segmentti AC myötää, oletetaan AC:n olevan puhtaasti plastisella alueella ja CB:n säilyvän elastisella alueella. (F A ) Y = σ Y A =... = 33.0 kn Siten F B = 60 kn 33.0 kn = 27.0 kn σ AC = σ Y = 420 MPa (puristusta) σ CB = 27 kn π(0.005 m) 2 = 344 MPa (vetoa) < 420 MPa (OK!) 59 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Jäännösjännitys. Koska CB käyttäytyy kimmoisesti δ C = F B L CB =... = m AE Siten ε CB = δ C / L CB = ε AC = δ C / L AC =

31 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Jäännösjännitys. (σ AC ) r = 420 MPa MPa = 153 MPa (σ CB ) r = 344 MPa 191 MPa = 153 MPa Molemmat vetojännitykset ovat samat, mikä oli odotettavissakin 61 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Pysyvä muodonmuutos Jäännösvenymä CB:ssä on ε CB = σ/e =... = Siten pysyvä muodonmuutos C:n kohdalla on δ C = ε CB L CB = (300 mm) = mm Vaihtoehtoisesti voi määrittää jäännösvenymän ε AC, ja ε AC = ε AC + δε AC ja δc = ε AC L AC =... = mm 62 31

32 YHTEENVETO Kuorman alaisen kappaleen jännitysjakauma on sitä tasaisemmin jakautunut mitä kauempana se on kuormituspisteestä. Tämä on ns. Saint- Venant s prinsiippi. Aksiaalisesti kuormitetun rakenneosan suhteellinen siirtymä toisen pään suhteen on Mikäli aksiaalijäykkyys AE on vakio ja kappaleeseen vaikuttaa useita voimia L δ = 0 P(x) dx A(x) E δ = PL AE 63 YHTEENVETO Merkkisääntö on varmistettava sisäisen rasituksen P jakaumassa ja materiaalin jännitys pysyy kimmoisella alueella Voiman ja siirtymän superponoiminen (summaaminen) on mahdollista, mikäli materiaali pysyy lineaarielastisena (kimmoisena) ja geometria ei muutu Staattisesti määräämättömän rakenteen tukireaktiot saadaan tasapaino- ja yhteensopivuusehdoista, kun käytetään kuormasiirtymäyhteyttä δ = PL/AE 64 32

33 YHTEENVETO Lämpötilan muutos homogeenisella ja isotrooppisella materiaalilla aiheuttaa pituussuuntaisen muodonmuutoksen δ = α TL. Mikäli muodonmuutos on rajoitettu tai estetty, kappaleeseen syntyy lämpöjännityksiä. Poikkileikkauksessa olevat epäjatkuvuudet aiheuttavat jännityskeskittymiä. Suunnittelussa käytetään empiirisesti saatuja graafisia käyriä, joiden avulla voidaan määrittää jännityskonsentraatiokerroin. Jännityskonsentraatiokertoimella K kerrotaan keskimääräinen normaalijännitys, jolloin saadaan suurin jännitys ko. leikkauksessa σ max = Kσ avg 65 33

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen

Lisätiedot

Lumen teknisiä ominaisuuksia

Lumen teknisiä ominaisuuksia Lumen teknisiä ominaisuuksia Lumi syntyy ilmakehässä kun vesihöyrystä tiivistyneessä lämpötila laskee alle 0 C:n ja pilven sisällä on alijäähtynyttä vettä. Kun lämpötila on noin -5 C, vesihöyrystä, jäähiukkasista

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Rakenneterästen myötörajan f y ja vetomurtolujuuden f u arvot valitaan seuraavasti: a) käytetään suoraan tuotestandardin arvoja f y = R eh ja f u = R m b) tai käytetään

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

RAK-31000 Statiikka 4 op

RAK-31000 Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. Mastopilarin perustusliitos liimaruuveilla

Esimerkkilaskelma. Mastopilarin perustusliitos liimaruuveilla Esimerkkilaskelma Mastopilarin perustusliitos liimaruuveilla.08.014 3.9.014 Sisällysluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3 - KUORMAT... - 3-3 MATERIAALI... - 4-4 MITOITUS... - 4-4.1 ULOSVETOKESTÄVYYS (VTT-S-07607-1)...

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN Esa Makkonen Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 Tiivistelmii: Artikkelissa kehitetaan laskumenetelma, jonka avulla

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 Tämä päivitetty ohje perustuu aiempiin versioihin: 18.3.1988 AKN 13.5.1999 AKN/ks SISÄLLYS: 1. Yleistä... 2 2. Mitoitusperusteet...

Lisätiedot

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0 Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. 0/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 0: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. JOHDANTO Lujuuslaskentatehtävässä on tavoitteena ratkaista annetuista kuormituksista aiheutuvat rakenteen siirtmätilakenttä,

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

HalliPES 1.0 OSA 11: JÄYKISTYS

HalliPES 1.0 OSA 11: JÄYKISTYS 1.0 JOHDANTO Tässä osassa käsitellään yksittäisen kantavan rakenteen ja näistä koostuvan rakennekokonaisuuden nurjahdus-/ kiepahdustuentaa sekä primäärirungon kokonaisjäykistystä massiivipuurunkoisessa

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari VÄÄNTÖRASITETUN RAKENNEOSAN EURONORMIIN PERUSTUVA KESTÄVYYSLASKENTAYHTÄLÖIDEN

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin FYSP102 / K2 KIMMOKERTOIMEN MÄÄRITYS Työn tavoitteita tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin kerrata monia toistoja sisältävien laskujen sekä suoransovituksen tekemistä

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Erään teräsrunkoisen teoll.hallin tarina, jännev. > 40-50 m

Erään teräsrunkoisen teoll.hallin tarina, jännev. > 40-50 m Erään teräsrunkoisen teoll.hallin tarina, jännev. > 40-50 m 1 HALLIN ROMAHDUS OLI IHAN TIPALLA - lunta katolla yli puoli metriä, mutta paino olennaisesti alle 180 kg neliölle KEHÄT HIEMAN TOISESTA NÄKÖKULMASTA

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004 Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla Ryhmä C Aleksi Mäki 350637 Simo Simolin 354691 Mikko Puustinen 354442 1. Tutkimusongelma ja

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Finnwood 2.3 SR1 (2.4.017) Copyright 2012 Metsäliitto Osuuskunta, Metsä Wood? 19.11.2015

Finnwood 2.3 SR1 (2.4.017) Copyright 2012 Metsäliitto Osuuskunta, Metsä Wood? 19.11.2015 Laskelmat on tehty alla olevilla lähtötiedoilla vain kyseiselle rakenneosalle. Laskelmissa esitetty rakenneosan pituus ei ole tilausmitta. Tilausmitassa on otettava huomioon esim. tuennan vaatima lisäpituus.

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Kondensaattorit ja kapasitanssi

Sähköstatiikka ja magnetismi Kondensaattorit ja kapasitanssi Sähköstatiikka ja magnetismi Konensaattorit ja kapasitanssi ntti Haarto 1.5.13 Yleistä Konensaattori toimii virtapiirissä sähköisen potentiaalin varastona Kapasitanssi on konensaattorin varauksen Q ja

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Stabiliteetti ja jäykistäminen

Stabiliteetti ja jäykistäminen Stabiliteetti ja jäykistäminen Lommahdusjännitykset ja -kertoimet Lommahdus normaalijännitysten vuoksi: Leikkauslommahdus: Eulerin jännitys Lommahduskerroin normaalijännitykselle, pitkä jäykistämätön levy:

Lisätiedot

ESIMERKKI 4: Välipohjan kehäpalkki

ESIMERKKI 4: Välipohjan kehäpalkki ESIMERKKI 4: Välipohjan kehäpalkki Perustietoja - Välipohjan kehäpalkki sijaitsee ensimmäisen kerroksen ulkoseinien päällä. - Välipohjan kehäpalkki välittää ylemmän kerroksen ulkoseinien kuormat alemmille

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA 1 ALLIN ILMIÖ MOTIVOINTI allin ilmiötyössä tarkastellaan johteen varauksenkuljettajiin liittyviä suureita Työssä nähdään kuinka all-kiteeseen generoituu all-jännite allin ilmiön tutkimiseen soveltuvalla

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. 05/1 ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. YLEISTÄ Laskentamallin luonnin ja varsinaisen laskennan lisäksi FEM-analyysi sisältää myös tulosten tarkastelun

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Stokesin lause LUKU 5

Stokesin lause LUKU 5 LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1

Lisätiedot

HITSATUT PROFIILIT EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010)

HITSATUT PROFIILIT EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010) EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010) Täsmennykset ja painovirhekorjaukset 6.6.2012: Sivu 27: Sivun alaosassa, ennen kursivoitua tekstiä: standardin EN 10149-2 mukaiset..., ks. taulukot 1.6 ja 1.7 standardin EN

Lisätiedot

Fy06 Koe ratkaisut 29.5.2012 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/13

Fy06 Koe ratkaisut 29.5.2012 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/13 Fy06 Koe ratkaisut 9.5.0 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/3 Koe. Yksilöosio. 6p/tehtävä.. Kun 4,5 V:n paristo kytketään laitteeseen, virtapiirissä kulkee,0 A:n suuruinen sähkövirta ja pariston napojen välinen

Lisätiedot

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

RAKENNEPUTKET EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2012)

RAKENNEPUTKET EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2012) RAKENNEPUTKET EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2012) Täsmennykset ja painovirhekorjaukset 20.4.2016: Sivu 16: Kuvasta 1.1 ylöspäin laskien 2. kappale: Pyöreän putken halkaisija kalibroidaan lopulliseen mittaan ja...

Lisätiedot

MYNTINSYRJÄN JALKAPALLOHALLI

MYNTINSYRJÄN JALKAPALLOHALLI Sivu 1 / 9 MYNTINSYRJÄN JALKAPALLOHALLI Tämä selvitys on tilattu rakenteellisen turvallisuuden arvioimiseksi Myntinsyrjän jalkapallohallista. Hallin rakenne vastaa ko. valmistajan tekemiä halleja 90 ja

Lisätiedot

TKK/ Sillanrakennustekniikka Rak-11.2107 SILLAT JA PERUSTUKSET (4op) TENTTI 11.1.2008 Tenttipaperiin: Sukunimi, etunimet, op.

TKK/ Sillanrakennustekniikka Rak-11.2107 SILLAT JA PERUSTUKSET (4op) TENTTI 11.1.2008 Tenttipaperiin: Sukunimi, etunimet, op. TKK/ Sillanrakennustekniikka Rak-.207 SIAT JA PERUSTUKSET (4op) TENTTI..2008 Tenttipaperiin: Sukunimi, etunimet, op.kirjan nro, vsk. uettele sillan tavanomaiset varusteet ja laitteet sekä niiden tehtävät.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

SIMULINK 5.0 Harjoitus. Matti Lähteenmäki 2004 www.tpu.fi/~mlahteen/

SIMULINK 5.0 Harjoitus. Matti Lähteenmäki 2004 www.tpu.fi/~mlahteen/ SIMULINK 5.0 Harjoitus 2004 www.tpu.fi/~mlahteen/ SIMULINK 5.0 Harjoitus 2 Harjoitustehtävä. Tarkastellaan kuvan mukaisen yhden vapausasteen jousi-massa-vaimennin systeemin vaakasuuntaista pakkovärähtelyä,

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Häiriöt kaukokentässä

Häiriöt kaukokentässä Häiriöt kaukokentässä eli kun ollaan kaukana antennista Tavoitteet Tuntee keskeiset periaatteet radioteitse tapahtuvan häiriön kytkeytymiseen ja suojaukseen Tunnistaa kauko- ja lähikentän sähkömagneettisessa

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon 30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää.

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää. Yhtälörhmä Lineaarisen htälörhmän alkeisoperaatiot ovat ) kahden htälön järjestksen vaihto ) htälön kertominen puolittain nollasta eroavalla luvulla ja ) luvulla puolittain kerrotun htälön lisääminen johonkin

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

ESIMERKKI 3: Nurkkapilari

ESIMERKKI 3: Nurkkapilari ESIMERKKI 3: Nurkkapilari Perustietoja: - Hallin 1 nurkkapilarit MP10 ovat liimapuurakenteisia mastopilareita. 3 Halli 1 6000 - Mastopilarit on tuettu heikomman suunnan nurjahusta vastaan ulkoseinäelementeillä.

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä hysica 6 OETTAJAN OAS 1. painos 1(16) : Luku 1 1. c) 1 0,51 A c) 0,6 A 1 0,55 A 0,6 A. b) V B 4,0 V c) U BC,0 V b) 4,0 V c),0 V 3. a) Kichhoffin. 1 + 3 1 3 4 0,06 A 0,06 A 0 V. b) Alin lamppu syttyy. Kokonaisvita

Lisätiedot

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) Täm ä olettaa, että D = 4π λ 2 S a E a ds 2. (2 40 ) S a E a 2 ds Pääkeila aukon tasoa koh tisuoraan suuntaan

Lisätiedot

AVOIMEN SARJAN VASTAUKSET JA PISTEITYS

AVOIMEN SARJAN VASTAUKSET JA PISTEITYS AVOIME SARJA VASTAUKSET JA PISTEITYS 1. Käytössäsi on viivoitin, 10 g:n punnus, 2 :n kolikko sekä pyöreä kynä. Määritä kolikon ja viivoittimen massa. Selosta vastauksessa käyttämäsi menetelmät sekä esitä

Lisätiedot

Rautatiesiltojen kuormat

Rautatiesiltojen kuormat Siltaeurokoodien koulutus Betonirakenteet ja geosuunnittelu Rautatiesiltojen kuormat Ilkka Sinisalo, Oy VR-Rata Ab 2.12.2009, Ilkka Sinisalo, Siltaeurokoodien koulutus, sivu 1 Raideliikennekuormat Pystysuorat

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa

Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa Rakenteiden Mekaniikka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 75 82 Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa Reijo Kouhia Tiivistelmä. Momenttimenetelmä on käyttökelpoinen ratkaisutapa

Lisätiedot