Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus"

Transkriptio

1 TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus 1 SISÄLTÖ 1. Saint-Venantin periaate 2. Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos 3. Yhteenlaskuperiaate 4. Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva 5. Voimamenetelmä aksiaalisesti kuormitetulla sauvalla 6. Lämpöjännityksistä 7. Jännityskeskittymät 8. *Plastinen aksiaalinen muodonmuutos 9. *Jäännösjännitykset 2 1

2 4.1 SAINT-VENANTIN PERIAATE Paikallisia muodonmuutoksia tapahtuu sekä voimien että tukien läheisyydessä Kauempana kuormista ja tuista on muodonmuutos lähes vakio, esim. leikkaus c-c, jossa jännitys on lähes vakio verrattuna leikkauksiin a-a, b-b Leikkaus c-c on riittävän kaukana voimasta P, jolloin paikallinen vaikutus on hävinnyt, ts. kyseessä on minimietäisyys SAINT-VENANTIN PERIAATE Perussääntö: minimietäisyys on oltava vähintään yhtäsuuri kuin suurin poikkileikkauksen dimensio. Edellisen kalvon sauvalle minimietäisyys on siis sauvan leveys. Ilmiön havaitsi Barré de Saint-Venant vuonna 1855, siksi sitä sanotaan Saint-Venantin periaatteeksi Saint-Venantin periaate: minkä tahansa kuorman paikallinen vaikutus häviää alueilla, jotka ovat riittävän kaukana kuormituspisteistä Siten lujuusopissa usein jätetään tutkimatta jännitysjakauma lähellä aktiivisia ulkoisia kuormia tai tukipisteitä 4 2

3 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Lasketaan kuvan sauvan pään siirtymä suhteessa sauvan toiseen päähän (δ) Sovelletaan Saint-Venantin periaatetta ja jätetään huomioimatta kuormituksen paikallinen vaikutus Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Piirretään tutkittavasta differentiaalielementistä vapaakappalekuva: σ = P(x) ε = dδ A(x) dx Suhteellisuusrajaa ei ylitetä, jolloin Hooke n laki on voimassa: σ = Eε P(x) A(x) = E dδ dx ( ) dδ = P(x) dx A(x) E 6 3

4 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Yhtälö 4-1 L δ = 0 P(x) dx A(x) E δ = pisteen siirtymä toisen pisteen suhteen L = kahden pisteen välinen etäisyys P(x) = leikkauksen aksiaalikuorma, aksiaalikoordinaatin x funktiona A(x) = sauvan poikkileikkauksen pinta-ala, aksiaalikoordinaatin x funktiona E = materiaalin kimmomoduli Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Vakiokuorma ja vakiopoikkileikkaus (prismaattinen sauva) Sauvalla on vakiopoikkileikkaus A, sauva on homogeeninen ja kimmomoduli E on vakio Kun sauvaan vaikuttaa ulkoinen vakiokuormalla P, joka vaikuttaa molemmissa päissä, on sisäinen rasitus vakio P Siten integroimalla yhtälö 4-1 yli sauvan saadaan Yhtälö 4-2 δ = PL AE 8 4

5 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Vakiokuorma ja vakiopoikkileikkaus Mikäli sauvaan vaikuttaa useita aksiaalivoimia tai poikkileikkauksen pinta-ala ei ole vakio, voidaan yhtälöä soveltaa jokaiselle sauvan segmentille, jolla kuorma- ja poikkileikkaus on vakio, jolloin yhtälö saa muodon δ = PL AE Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Merkkisääntö Etumerkki Positiivinen (+) Negatiivinen ( ) Voimat Veto Puristus Siirtymät Venymä Puristuma 10 5

6 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Analyysin vaiheet Sisäinen voima Käytä leikkausmenetelmää sisäisen aksiaalivoiman P määrittämiseksi Jos voima vaihtelee aksiaalisuunnassa, on siasäinen voima funktio pituuskoordinaatista, ts. P(x) Jos voimat ovat pistevoimia, on sisäinen voima määritettävä jokaisessa segmentissä voimien välillä Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Analyysin vaiheet Sisäinen voima Jokaiselle segmentille sisäinen vetovoima on positiivinen ja puristus vastaavasti negatiivinen. Graafisesti rasitus voidaan esittää normaalivoimakuvaajana pituussuunnassa Siirtymä Mikäli poikkileikkauksen pinta-ala vaihtelee pituussuunnassa, on pinta-ala esitettävä pituuskoordinaatin funktiona, ts. A(x) 12 6

7 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Analyysin vaiheet Siirtymä Mikäli poikkipinta-ala, kimmomoduli tai sisäinen kuormitus vaihtelee, on yhtälöä 4-2 sovellettava jokaiselle alueelle, jossa em. suureet ovat vakiot. Merkkisääntöä on sovellettava huolellisesti ja yksiköiden on oltava yhteneviä. Mikäli tulos on positiivinen, osa venyy ja päinvastoin. 13 ESIMERKKI 4.1 Teräksestä S234 valmistetun terässauvan alueen AB poikkileikkauspinta-ala A AB = 600 mm 2 ja alueen BD A BD = 1200 mm 2. Määritä pisteen A pystysiirtymä ja pisteen B siirtymä pisteen C suhteen. 14 7

8 ESIMERKKI 4.1 (RATKAISU) Sisäiset voimat Ulkoisten kuormien jakautumisen vuoksi sisäiset rasitukset alueissa AB, BC ja CD ovat erilaiset. Leikkausmenetelmäl lä ja statiikan tasapainoyhtälöitä soveltaen saadaan sisäiset rasitukset ratkaistua. 15 ESIMERKKI 4.1 (RATKAISU) Siirtymät Teräkselle (esim. teräsrakennenormit) E = 210(10 3 ) MPa. Siten pisteen A siirtymä on δ A = PL [+75 kn](1 m)(10 6 ) = AE [600 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] [+35 kn](0.75 m)(10 6 ) + [1200 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] [ 45 kn](0.5 m)(10 6 ) + [1200 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] = mm 16 8

9 ESIMERKKI 4.1 (RATKAISU) Siirtymät Koska tulos on positiivinen, sauva venyy ja pisteen A siirtymä on ylöspäin. Soveltaen kaavaa 4-2 pisteiden B ja C välille δ A = P BC L BC A BC E = [+35 kn](0.75 m)(10 6 ) [1200 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] = mm Tässä siis B liikkuu vastakkaiseen suuntaan kuin C, koska segmentti venyy YHTEENLASKUPERIAATE (SUPERPOSITIO) Summausperiaatteen mukaan kokonaisjännitys- ja siirtymä koostuu komponentteihin jaetun kuorman yksittäisistä vaikutuksista. Resultoiva jännitys/siirtymä saadaan summaamalla (superponoimalla) yksittäisten komponenttien vaikutus 18 9

10 4.3 YHTEENLASKUPERIAATE (SUPERPOSITIO) Ehdot 1. Kuormituksen on oltava kimmoisella alueella eli siirtymän ja jännitysten yhteys on lineaarinen. 2. Kuormitus ei saa oleellisesti muuttaa rakenteen geometriaa Milloin muodonmuutoksia ei huomioida? Useimmiten kuormitettujen rakenneosien muodonmuutokset ovat niin pieniä, että kuormien paikka ja suunta eivät oleellisesti muutu, joten niitä ei oteta huomioon analyysissa Tällä kurssilla poikkeuksen tekee aksiaalisesti kuormitettu sauva, jonka stabiiliusanalyysissa muodonmuutos on otettava huomioon Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Toisesta päästään jäykästi tuettu aksiaalisesti kuormitettu sauva voidaan ratkaista statiikan tasapainoyhtälöllä. Kyseessä on siis staattisesti määrätty rakenne. Mikäli sauvan molemmat päät on kiinnitetty, on rakenne staattisesti määräämätön, koska tuntemattomia tukireaktioita on kaksi: + F = 0; F B + F A P =

11 4.4 Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Lisäyhtälö saadaan siirtymien avulla. Kyseessä on silloin yhteensopivuus- tai kinemaattinen ehto. Tässä tapauksessa yhteensopivuusehto on seuraava: koska molemmat päät ovat jäykästi kiinnitetyt, on päiden välinen siirtymä δ A/B = 0 Tämä lisäyhtälö voidaan kirjoittaa kuormituksen funktiona käyttäen voima-siirtymäyhteyttä, joka on riippuvainen materiaalikäyttäytymisestä Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Kimmoisella alueella (lineaarielastinen käyttäytyminen) yhteensopivuusehto on F A L AC AE Mikäli aksiaalijäykkyys AE on vakio, voidaan tasapaino- ja yhteensopivuusehdoista ratkaista F B L CB AE = 0 L CB F A = P( ) L L AC F B = P( ) L 22 11

12 4.4 Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Analyysin vaiheet Tasapainoehto Piirrä vapaakappalekuva kappaleesta ja merkitse siihen kaikki vaikuttavat voimat Mikäli tuntemattomia voimasuureita on enemmän kuin tasapainoyhtälöitä, on rakenne staattisesti määräämätön Kirjoita tasaopainoyhtälöt VKK:n perusteella Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Analyysin vaiheet Yhteensopivuusehto Piirrä siirtymäkuvaaja, jolla tutkitaan rakenteen venymistä tai puristumista (deformaatiota) Kirjoita yhteensopivuusehto (-ehdot) voimien aiheuttamien siirtymien perusteella Sovella voima-siirtymäehtoa (δ=pl/ae), jolla tuntemattomat siirtymät suhteutetaan Ratkaise yhtälöt. Mikäli tuloksena saatava voimasuure on negatiivinen, vaikuttaa voima vastakkaiseen suuntaan kuin VKK:ssa

13 ESIMERKKI 4.5 Kuvan terässauvan halkaisija on 5 mm. Se on jäykästi kiinnitetty seinämiin pisteessä A ja ennen kuorman asettamista vapaan pään B ja seinämän välissä on 1 mm rako. Määritä tukireaktiot kun sauvaan vaikuttaa kuorma P = 20 kn. Pisteen C kaulusta ei tarvitese ottaa huomioon. E st = 200 GPa 25 ESIMERKKI 4.5 (RATKAISU) Tasapainoehto Oletetaan voima P niin suureksi, että vapaa pää kiinnittyy seinämään. Tasapainoehto on silloin + F = 0; F A F B + 20(10 3 ) N = 0 Yhteensopivuusehto δ B/A = m 26 13

14 ESIMERKKI 4.5 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Käytetään kuormitus-siirtymäyhteyttä (Yhtälö 4-2), jota sovelletaan molemmille sauvanosille AC ja CB δ B/A = m = F A L AC F B L CB AE AE F A (0.4 m) F B (0.8 m) = N m Ratkaisusta saadaan, F A = 16.6 kn F B = 3.39 kn VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Voimamenetelmää käytetään myös staattisesti määräämättömissä rakenteissa käyttäen superpositiomenetelmää vapaakappalekuvassa Ensin valitaan riittävä määrä tuntemattomia tukireaktioita, jotka vapautetaan, jolloin rakenteesta saadaan staattisesti määrätty Sen jälkeen sovelletaan superpositioperiaatetta ja ratkaistaan yhtälöt 28 14

15 4.5 VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Vapaakappalekuvasta voidaan määrittää tukireaktio pisteessä A Pisteessä B ei ole siirtymää = Pisteen B siirtymä, kun tuenta vapautetaan + Pisteen B siirtymä, kun tuntematon tukivoima vaikuttaa VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Analyysin vaiheet Yhteensopivuusehto Valitaan vapautettava tuki ja kirjoitetaan yhteensopivuusehto. Kun tunnetaan siirtymä vapautetussa tuessa (joka on usein nolla) ja asetetaan se yhtäsuureksi kuin siirtymä johtuen ulkoisista kuormista, johon summataan tuntemattoman tukireaktion aiheuttama siirtymä

16 4.5 VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Analyysin vaiheet Yhteensopivuusehto Kirjoitetaan ulkoiset kuormat ja vapautettujen tukien siirtymät voima-siirtymäyhteyksien perusteella Yhteensopivuusyhtälöstä ratkaistaan tuntematon tukireaktio VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Analyysin vaiheet Tasapainoehto Vapaakappalekuvan avulla kirjoitetaan tasapainoyhtälöt, joissa on mukana myös ratkaistu tuntematon voimasuure. Ratkaistaan yhtälöt, jolloin saadaan myös muut tukireaktiot 32 16

17 ESIMERKKI 4.6 Kuvan terästangon halkaisija on 5 mm. Ennen kuorman asettamista vapaan pään seinämän välissä on 1 mm:n rako. Määritä tukireaktiot. E = 200 GPa. 33 ESIMERKKI 4.6 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Vapautetaan tuki pisteessä B ja sovelletaan summausperiaatetta. ( + ) m = δ P δ B Yhtälö

18 ESIMERKKI 4.6 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Siirtymät δ P ja δ B määritetään yhtälöstä 4-2 δ P = PL AC AE = = m δ B = F B L AB AE = = (10-6 )F B Sijoittamalla yhtälöön 1 saadaan m = m (10-6 )F B F B = 3.40(10 3 ) N = 3.40 kn 35 ESIMERKKI 4.6 (RATKAISU) Tasapainoehto Vapaakappalekuvasta + F x = 0; F A + 20 kn 3.40 kn = 0 F A = 16.6 kn 36 18

19 4.6 LÄMPÖJÄNNITYKSISTÄ Materiaalin laajeneminen ja kutistuminen on suoraan verrannollista lämpötilan muutokseen homogeenisellla ja isotrooppisella materiaalilla Kokeellisesti on todettu, että L pituisella kappaleella δ T = α T L α = kappaleen lämpölaajenemiskerroin. Yksikkö on venymä astetta kohti: 1/ o C (Celsius) tai 1/ o K (Kelvin) T = lämpötilan muutos δt = kappaleen pituuden muutos LÄMPÖJÄNNITYKSISTÄ Staattisesti määräämättömillä rakenteilla lämpötilan muutoksista johtuvat siirtymät voivat olla estettyjä tukien vuoksi, joten ne on otettava huomioon suunnittelussa

20 ESIMERKKI 4.7 Kuvan terästanko on asetettu tukien väliin siten että se juuri mahtuu väliin lämpötilassa T 1 = 30 o C. Jos lämpötila nousee arvoon T 2 = 60 o C, määritä keskimääräinen lämpöjännitys sauvassa. 39 ESIMERKKI 4.7 (RATKAISU) Tasapainoehto Vapaakappalekuvan perusteella + Fy = 0; F A = F B = F Tehtävä on siis staattisesti määräämätön. Yhteensopivuusehto Koska δ A/B =0, täytyy olla lämpösiirtymän δ T pisteessä A olla nollasta poikkeava. Siten + δ A/B = 0 = δ T δ F 40 20

21 ESIMERKKI 4.7 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Soveltaen lämpöyhtälöä ja kuorma-siirtymäyhteyttä saadaan 0 = α TL FL AL F = α TAE = = 7.2 kn Lämpölaajenemisen estäminen aiheuttaa siis varsin suuren voiman rakenteeseen. Keskimääräinen normaalijännitys on σ = F A = = 72 MPa JÄNNITYSKESKITTYMÄT Voimatasapainon vuoksi jännitysjakauman resultantti on = P. Siten P = A σ da Integraalissa lasketaan jännitysvuon tilavuus, joka nähdään alla olevassa kuvassa graafisesti: 42 21

22 4.7 JÄNNITYSKESKITTYMÄT Käytännön suunnittelussa ei tarvitse tietää varsinaista jännitysjakaumaa vaan tärkein on suurin jännitys tutkittavassa leikkauksessa. Rakenne suunnitellaan kestämään tämä jännitys kun aksiaalikuorma P vaikuttaa. Jännityskonsentraatiokerroin K määritetään suurimman ja keskimääräisen jännityksen suhteena pienimmässä poikkileikkauksessa: Yhtälö 4-7 K = σ max σ avg JÄNNITYSKESKITTYMÄT K on riippuvainen ainoastaan sauvan geometriasta ja epäjatkuvuuden tyypistä. Kun epäjatkuvuuden koko (esim. reikä) pienenee, myös jännityskeskittymä kasvaa. Staattisesti kuormitetuilla rakenteilla jännityskonsentraatiokerrointa käytetään suunnittelussa ainoastaan haurailla materiaaleilla. Rakenneteräksillä materiaalin sitkeyden vuoksi ei yleensä tarvitse välittää paikallisista jännityskeskittymistä. Sen sijaan vaihtelevasti kuormitetuilla rakenteilla, joilla materiaalin väsyminen on otettava huomioon, jännityskeskittymät ovat aina keskeinen analyysin kohde 44 22

23 ESIMERKKI 4.8 Kuvan vetosauvan sallittu jännitys on σ allow = 115 MPa. Määritä suurin aksiaalikuorma P, jonka sauva voi kantaa, kun a) materiaali on haurasta b) materiaali on sitkeää. 45 ESIMERKKI 4.8 (RATKAISU) Oheisesta käyrästöstä saadaan jännityskonsentraatiokerroin geometrian perusteella

24 ESIMERKKI 4.8 (RATKAISU) Geometriset parametrit ovat r 10 mm = n 20 mm = 0.50 w h = 40 mm 20 mm = 2 Siten jännityskonsentraatiokerroin käyrältä: K = 1.4 Keskimääräinen normaalijännitys pienimmässä leikkauksessa on P σ avg = = 0.005P N/mm 2 (20 mm)(10 mm) 47 ESIMERKKI 4.8 (RATKAISU) a) Hauraalle materiaalille soveltaen yhtälöä 4-7 kun σ allow = σ max antaa σ allow = K σ max 115 N/mm 2 = 1.4(0.005P) P = 16.43(10 3 ) N = kn a) sitkeälle materiaalille σ allow = σ avg antaa σ allow = σ avg 115 N/mm 2 = (0.005P) P = 23(10 3 ) N = 23.0 kn 48 24

25 *4.8 KIMMOTON AKSIAALINEN MUODONMUUTOS Toisinaan rakenneosa suunnitellaan siten, että kuormitus johtaa myötämiseen ja siten pysyvään muodonmuutokseen. Tämäntyyppiset rakenneosat tehdään hyvin sitkeästä materiaalista kuten matalahiilisistä teräksistä, joiden jännitysvenymäpiirros on esitetty kuvassa: Materiaalityyppiä sanotaan elastisplastiseksi materiaalimalliksi. 49 *4.8 KIMMOTON AKSIAALINEN MUODONMUUTOS Plastinen (kimmoton) kuorma P P on suurin kuorma, jonka elastoplastisesti käyttäytyvä rakenneosa kantaa 50 25

26 ESIMERKKI 4.9 Kuvan terässauvan materiaali oletetaan elastoplastiseksi ja sen myötöraja on σ Y = 250 MPa. Määritä (a) kuorman P suurin arvo ilman että materiaali myötää (b) suurin kuorman P arvo, jonka rakenneosa kantaa. 51 ESIMERKKI 4.9 (RATKAISU) (a) Kimmoisella alueella materiaali alkaa myötää, kun jännityskeskittymän aiheuttama maksimijännitys saavuttaa myötörajan. r 4 mm n = (40 mm 8 mm) = w 40 mm h = (40 mm 8 mm) = 1.25 Asetetaan σ max = σ Y. Keskimääräinen normaalijännitys σ avg = P/A σ max = K σ avg ; P Y σ Y = K( ) A P Y = 9.41 kn Näiden perusteella saadaan jännityskonsentraa tiokerroin K = 1,

27 ESIMERKKI 4.9 (RATKAISU) (a) Rajakuorma P Y laskettiin pienimmässä poikkileikkauksessa. Jännitysjakauma on silloin kuvan mukainen. Tasapainotilassa jännitysvuon tilavuus on oltava yhtä kuin 9.41 kn. 53 ESIMERKKI 4.9 (RATKAISU) (b) Suurimmalla kantokuormalla P P pienimmän poikkileikkauksen koko materiaali on myötörajalla. Asetetaan σ max = σ Y. Keskimääräinen normaalijännitys σ avg = P/A P Y σ Y = ( ) A P P = 16.0 kn Tässä P P on yhtä kuin jännitysvuon tilavuus oikean puolen kuvassa eli P P = σ Y A 54 27

28 *4.9 JÄÄNNÖSJÄNNITYKSET Aksiaalisesti kuormitetuilla rakenneosilla tai niistä koostuvilla rakenteilla, jotka ovat staattisesti määräämättömiä systeemejä, voivat kantaa sekä veto- että puristusvoimia. Myötörajan ylittävät ulkoiset kuormat aiheuttavat jäännösjännityksiä kappaleeseen kuorman poistamisen jälkeen. Syynä on materiaalin kimmoinen palautuminen kuormituksen poistamisen jälkeen 55 *4.9 JÄÄNNÖSJÄNNITYKSET Näissä analyyseissa on tunnettava rakenteen kuormitushistoria, jolloin voidaan soveltaa superpositioperiaatetta positiiviselle kuormalle (kuormitus) ja negatiiviselle voimalle (kuorman poisto). Kuormitus (OC) aiheuttaa plastisen jännitysjakauman Kuorman poisto (CD) aiheuttaa kimmoisen jännitysjakauman. Kuvan mukaisesti kappaleeseen jää jäännösvenymä ja siten jäännösjännitys

29 ESIMERKKI 4.10 Alumiinisauvan säde on 5 mm, materiaali on elastoplastinen ja σ Y = 420 MPa, E = 70 GPa. Kuorma P = 60 kn vaikuttaa sauvaan kuvan mukaisesti. Määritä jäännösjännitysjakauma ja pisteen C pysyvä muodonmuutos. 57 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Rakenne on staattisesti määräämätön. Soveltaen edellä esitettyä voimamenetelmää saadaan F A = 45 kn F B = 15 kn Siten jännitys on ja σ AC = σ CB = 45 kn π(0.005 m) 2 15 kn π(0.005 m) 2 = 573 MPa (puristusta) > σ Y = 420 MPa = 191 MPa 58 29

30 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Koska segmentti AC myötää, oletetaan AC:n olevan puhtaasti plastisella alueella ja CB:n säilyvän elastisella alueella. (F A ) Y = σ Y A =... = 33.0 kn Siten F B = 60 kn 33.0 kn = 27.0 kn σ AC = σ Y = 420 MPa (puristusta) σ CB = 27 kn π(0.005 m) 2 = 344 MPa (vetoa) < 420 MPa (OK!) 59 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Jäännösjännitys. Koska CB käyttäytyy kimmoisesti δ C = F B L CB =... = m AE Siten ε CB = δ C / L CB = ε AC = δ C / L AC =

31 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Jäännösjännitys. (σ AC ) r = 420 MPa MPa = 153 MPa (σ CB ) r = 344 MPa 191 MPa = 153 MPa Molemmat vetojännitykset ovat samat, mikä oli odotettavissakin 61 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Pysyvä muodonmuutos Jäännösvenymä CB:ssä on ε CB = σ/e =... = Siten pysyvä muodonmuutos C:n kohdalla on δ C = ε CB L CB = (300 mm) = mm Vaihtoehtoisesti voi määrittää jäännösvenymän ε AC, ja ε AC = ε AC + δε AC ja δc = ε AC L AC =... = mm 62 31

32 YHTEENVETO Kuorman alaisen kappaleen jännitysjakauma on sitä tasaisemmin jakautunut mitä kauempana se on kuormituspisteestä. Tämä on ns. Saint- Venant s prinsiippi. Aksiaalisesti kuormitetun rakenneosan suhteellinen siirtymä toisen pään suhteen on Mikäli aksiaalijäykkyys AE on vakio ja kappaleeseen vaikuttaa useita voimia L δ = 0 P(x) dx A(x) E δ = PL AE 63 YHTEENVETO Merkkisääntö on varmistettava sisäisen rasituksen P jakaumassa ja materiaalin jännitys pysyy kimmoisella alueella Voiman ja siirtymän superponoiminen (summaaminen) on mahdollista, mikäli materiaali pysyy lineaarielastisena (kimmoisena) ja geometria ei muutu Staattisesti määräämättömän rakenteen tukireaktiot saadaan tasapaino- ja yhteensopivuusehdoista, kun käytetään kuormasiirtymäyhteyttä δ = PL/AE 64 32

33 YHTEENVETO Lämpötilan muutos homogeenisella ja isotrooppisella materiaalilla aiheuttaa pituussuuntaisen muodonmuutoksen δ = α TL. Mikäli muodonmuutos on rajoitettu tai estetty, kappaleeseen syntyy lämpöjännityksiä. Poikkileikkauksessa olevat epäjatkuvuudet aiheuttavat jännityskeskittymiä. Suunnittelussa käytetään empiirisesti saatuja graafisia käyriä, joiden avulla voidaan määrittää jännityskonsentraatiokerroin. Jännityskonsentraatiokertoimella K kerrotaan keskimääräinen normaalijännitys, jolloin saadaan suurin jännitys ko. leikkauksessa σ max = Kσ avg 65 33

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 3.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Ristikon sauvavoimat (Kirjan luvut 6.1-6.4) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mikä on ristikkorakenne Osata soveltaa aiemmin kurssilla

Lisätiedot

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 2.3.2016 Susanna Hurme äivän aihe: Staattisesti määrätyn rakenteen tukireaktiot (Kirjan luvut 5.7 ja 6.6) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mitä tarkoittaa staattisesti

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-

Lisätiedot

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 25.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voimasysteemien samanarvoisuus ja jakaantuneen voiman käsite (Kirjan luvut 4.7-4.9) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mikä on

Lisätiedot

Lumen teknisiä ominaisuuksia

Lumen teknisiä ominaisuuksia Lumen teknisiä ominaisuuksia Lumi syntyy ilmakehässä kun vesihöyrystä tiivistyneessä lämpötila laskee alle 0 C:n ja pilven sisällä on alijäähtynyttä vettä. Kun lämpötila on noin -5 C, vesihöyrystä, jäähiukkasista

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Rakenneterästen myötörajan f y ja vetomurtolujuuden f u arvot valitaan seuraavasti: a) käytetään suoraan tuotestandardin arvoja f y = R eh ja f u = R m b) tai käytetään

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.

Lisätiedot

10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko.

10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Elementtimenetelmän perusteet Esimerkki. kn kn/m 5 = 8 E= GPa mm 5 5 mm (a) 5 5 6 Y X (b) Kuva. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Tarkastellaan kuvassa (a) olevan tasokehän statiikan ratkaisemista elementtimenetelmällä.

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä. JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

RAK-31000 Statiikka 4 op

RAK-31000 Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. Mastopilarin perustusliitos liimaruuveilla

Esimerkkilaskelma. Mastopilarin perustusliitos liimaruuveilla Esimerkkilaskelma Mastopilarin perustusliitos liimaruuveilla.08.014 3.9.014 Sisällysluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3 - KUORMAT... - 3-3 MATERIAALI... - 4-4 MITOITUS... - 4-4.1 ULOSVETOKESTÄVYYS (VTT-S-07607-1)...

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri

Lisätiedot

Katso lasiseinän rungon päämitat kuvista 01 ja Jäykistys ja staattinen tasapaino

Katso lasiseinän rungon päämitat kuvista 01 ja Jäykistys ja staattinen tasapaino YLEISTÄ itoitetaan oheisen toimistotalo A-kulman sisääntuloaulan alumiinirunkoisen lasiseinän kantavat rakenteet. Rakennus sijaitsee Tampereen keskustaalueella. KOKOAISUUS Rakennemalli Lasiseinän kantava

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN Esa Makkonen Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 Tiivistelmii: Artikkelissa kehitetaan laskumenetelma, jonka avulla

Lisätiedot

Harjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

YEISTÄ KOKONAISUUS. 1 Rakennemalli. 1.1 Rungon päämitat

YEISTÄ KOKONAISUUS. 1 Rakennemalli. 1.1 Rungon päämitat YEISTÄ Tässä esimerkissä mitoitetaan asuinkerrostalon lasitetun parvekkeen kaiteen kantavat rakenteet pystytolppa- ja käsijohdeprofiili. Esimerkin rakenteet ovat Lumon Oy: parvekekaidejärjestelmän mukaiset.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillinen suunnittelu 18 1.5 Lujuusopin

Lisätiedot

1.3 Pilareiden epäkeskisyyksien ja alkukiertymien huomioon ottaminen

1.3 Pilareiden epäkeskisyyksien ja alkukiertymien huomioon ottaminen 1. MASTOPILARIN MITOITUSMENETELMÄ 1.1 Käyttökohteet Mitoitusmenetelmä soveltuu ensisijaisesti yksilaivaisen, yksikerroksisen mastojäykistetyn teräsbetonikehän tarkkaan analysointiin. Menetelmän soveltamisessa

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 Tämä päivitetty ohje perustuu aiempiin versioihin: 18.3.1988 AKN 13.5.1999 AKN/ks SISÄLLYS: 1. Yleistä... 2 2. Mitoitusperusteet...

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0 Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

HalliPES 1.0 OSA 11: JÄYKISTYS

HalliPES 1.0 OSA 11: JÄYKISTYS 1.0 JOHDANTO Tässä osassa käsitellään yksittäisen kantavan rakenteen ja näistä koostuvan rakennekokonaisuuden nurjahdus-/ kiepahdustuentaa sekä primäärirungon kokonaisjäykistystä massiivipuurunkoisessa

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa.

Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa. LAATTAPALKKI Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa. Laattapalkissa tukimomentin vaatima raudoitus

Lisätiedot

RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op

RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat Osaamistavoitteet

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Rak-54.1200 Rakenteiden lujuusoppi Tentti 8.3.2007

Rak-54.1200 Rakenteiden lujuusoppi Tentti 8.3.2007 Rak-54.00 Raketeide lujuusoppi Tetti 8..007 Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai.

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. 0/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 0: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. JOHDANTO Lujuuslaskentatehtävässä on tavoitteena ratkaista annetuista kuormituksista aiheutuvat rakenteen siirtmätilakenttä,

Lisätiedot

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä

Lisätiedot

MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen 1/16

MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen 1/16 1/16 MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen Mitoitettava hitsattu palkki on rakenneosa sellaisessa rakennuksessa, joka kuuluu seuraamusluokkaan CC. Palkki on katoksen pääkannattaja. Hyötykuorma

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN EUROKOODI 3: TERÄSRAKENTEIDEN SUUNNITTELU. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN EUROKOODI 3: TERÄSRAKENTEIDEN SUUNNITTELU. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt LIITE 9 1 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1993-1-1 EUROKOODI 3: TERÄSRAKENTEIDEN SUUNNITTELU. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot