MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ..07 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissiinnitetään huomiotokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä..07

2 Osa A. :n derivaatta on MAA kevät, A-osa 07 Pisteohjeen tulkintaohjeet: Hyväksytyt tarkkuudet: ± merkitsevä numero pisteytysohjeeseen nähden kelpaa, ellei ohjeissa erikseen muuta sanota. Sulkeissa oleva rivi: pisteen saa myös, jos seuraavohta/rivi oikein, eli pisteeseen oikeuttavaa asiaa ei tarvitse välttämättä eksplisiittisesti todeta ratkaisussa. korostaa, että tämä piste on riippumaton muista pisteistä. tarkoittaa, että pisteen saa vain, jos perustelu (edellinen kohta/rivi) on kunnossa. Muista myös yleiset pisteitysohjeet. A-osa. Sijoitus ratkaisukaavaan 7± toinen juuri löydetty ja tarkistettu 4 x = tai x =4 (vertaamallertoimia) a = 4 ja a = b (muodostetamalla yhtälön) x +ax + a = x + 4x + b a =7ja b = 49 Valittu jotkut testipisteet, saatu yhtälöpari ja ratkaistu a ja b näillä testipistevalinnoilla max Sijoitettu (mistä tahansa saatu) a =7ja b = 49 ja sievennetty 4c + d =ja 7c + d = c = ja d = 5 joten x = 5 Piirretty suora pisteiden (4, ) ja (7, ) läpi x = 5. Vastauksesta piste per kohta D, A, B D, C, E. Pituuden minimi saavutetaan pisteessä, jossa c t on kohtisuorassa vektorin d = b anssa (tai päätepisteessä) d = i j +k d a = 4+6=ja d b =+0+0= Siten c t d =t + ( t) Ratkaisemalla nollakohta t = 4 Koska 4 saavutetaan minimi tällä B-osa parametrin arvolla eikä päätepisteessä. c t =(t+( t))i+tj +(t+5( t))k tai vastaava muoto (kertoimet koottu) = ( t)i +tj + (5 t)k c t = ( t) + (t) + (5 t) =9t 4t + 9 Derivaatta 8t 4 Nollakohta t = 4 Merkkikaavio tai reunatarkastelu Matematiikan koe, pitkä oppimäärä..07

3 B-osa 4. Kaikki samankantaisiksi ( ln y = ln x) ln 4 ln sievennys ln 4 ln =tai = ln ln 4 eroon logaritmeista eksponentiaalifunktiolla (y = x ) sieventämätön vastaus y = x ln 4/ ln sieventämätön vastaus y =4 log x f(x) dx, missä f on a-kohdan funktio (vaikka virheellinenkin) = F () F (), missä F = f (esim. / ln 4/ ln + xln 4/ ln + ) Sievennetty vastaus 9 Pelkkä piirros 0 Vastaus a-kohdassa lineaarinen, pinta-ala laskettu geometrisesti, esim. suorakulmion tai kolmion alan kaavalla (Kun, on ) B-osa 5. (Kun x, on x = x) f(x) = x Vastauksessa ± (ei hyödynnetty x:n rajausta, esim. f(x) =± ( x)) 0 Vastattu myös, että f(x) =x kun x 0 (Pyörähdyskappaleen tilavuus saadaan kaavasta π 0 f(x) dx JA sijoitettu f:n paikalle funktio (myös virheellinen)) 0 x) dx = / 0 x) = 7 x dx = 7 symmertia tilavuus on 4π π puuttuu max integroitu laskimella max 4 integroitu vain max 0 Tilavuus voidaan laskeatkaistuinartioina ( kpl) Säteet ja, korkeus Tilavuus π h(r + r r r)= 7π symmetria tuplatilavuus Matematiikan koe, pitkä oppimäärä..07

4 B-osa 6. Jäljelle jäävää osaa verraten Kolmion A pidemmän kateetin pituus on s cos 0 = s. Kolmio, josta on poistettu A on yhdenmuotoinen alkuperäisen kanssa, skaalauskerroin on. Iteroimalla, kun kolmiosta on poistettu A,..., A n, on jäljellä kolmio jonka lyhyt kateetti on ( )n s. Jäljelle jäävän kolmion pinta-ala on ( )n s alkuperäisen kolmion pinta-alasta. Ratkaistaan siis yhtälö ( )n =0,0 ratkaisu,89 joten n = Poistettujolmioita laskien A = 8 s peräkkäisten kolmioiden sivujen suhde pinta-alojen suhde 4 A k+ = A 4 k josta A k =( 4 )k A A k on geometrinen jono koko pinta-ala A k =4A geometrisen sarjan summasta laskettuna alkuperäisestä kolmiosta pääteltynä etsitään n, jolle n k= A k 4 0,97A n>,89 joten n = Ratkaisun voi tehdä myös taulukoiden, likiarvot (väh. desimaalia) ok n = s puuttuu tai s = taulukko kahdella desimaalilla max 5 7. Merkitään sisäsädettä r ja sisäkorkeutta h (mm). Tilavuusehdosta saadaan πr h = (mm ). Pohjan tilavuus π(r + ) 5 Seinämän tilavuus π[(r + ) r ]h Minimoitava lauseke on π(4r + 4) π(r + ). πr Derivaatta ( r r )+0π(r + ) (= (r + )(0πr )r ) minimi saavutetaan kun r = ,4. Halkaisija on siten (r + ) π 6,84 6,8 jorkeus h +5 78,55 78,6. Minimointi laskimella 0 Yksikkömuunnos tekemättä, jolloin seurauksena esim. l = mm tai πr h = 0 p. Yksikkömuunnos väärin l = 000 mm, dl = mm max 4 8. (Derivaatta x + 6x + ) Graafinen tarkastelu tai taulukointi osoittaa, että lähin nollakohta on lähellä pistettä 0,5. Sopivasti valittu alkupiste, esim. x 0 = 0,5 (kaikki x 0 > 0,9 käy) Newtonin menetelmän ensimmäinen iteraatio Newtonin menetelmän iteraatiot siihen asti, että neljä desimaalia pysyy samana Vastaus: x 0, ,445 iteraatio kohti,40 lähellä olevaa nollakohtaa max iteraatio kohti,67 lähellä olevaa nollakohtaa max 4 väärää derivaatta max Matematiikan koe, pitkä oppimäärä..07

5 OsaA-osa A. :n derivaatta on 9. Tutkitaan ensin tapausta, jossa luvuista p, q ja r vähintään on parillisia. Kahden parillisen luvun summa on parillinen, joten tulo (p + q)(q + r)(r + p) on parillinen. Tutkitaan sitten tapausta, jossa luvuista p, q ja r vähintään on paritonta. Kahden parittoman luvun summa on parillinen, joten tulo (p + q)(q + r)(r + p) on parillinen. (taulukointi) 0,, tai parillista/paritonta p./kohta (taulukointi) 0,, ja parillista/paritonta 5 taulukointi + perustelu miksi taulukointi riittää 6 Kokeiltu joitain lukuja 0 p, q, r peräkkäisiä, mutta tutkittu parillisuutta/parittomuutta max Yleiskommentti: Tähän on hyvin monta oikeaa ratkaisutapaa max 6 Marin vastaus on oikea todettu, että on oikein (riittää jos tämä on B-osa 0. Marin vastaus on oikea todettu, että 4e x on oikein (riittää jos tämä on todettu jossain kohtaa ratkaisua). Elmeri ei ole ottanut huomioon sisäfunktion derivaattaa. Oikeaava on h (x) =g (f(x))f (x) =4e x e x =4e x. Uolevi on laskenut potenssit väärin. (e x ) = e x, joten h(x) =e x + sisäfunktion derivaatan avulla h (x) =4e x. Päättelyratkaisu Koska arvosanan 9 ylittäviä arvosanoja on selvästi enemmän kuin sen alittavia, päätellään, että keskiarvo on yli 9. Toisaalta, koska 9 on tavallisempi arvosanuin 0, on keskiarvo alle 9,5. Arvosanojen 8 painolleskiarvon pitää siis olla 9 eli Ratkaisut, joissa pylväitä on mitattu max Käytetty prosentteja siten, että kokonaismäärä on alle 80% tai yli 0%. max Vastaus 9,0 9,5 max Pelkkä vastaus 9 9,5 Väärä tarkkuus (/4 arvosanaa) - Vastauksena jakauma (jos frekvenssit, niin yhteensä 000 vastausta, jos prosentteja, niin yhteensä 00 %) Laskettu/arvioitu em. jakauman keskiarvo, yli 50 % vastaajista yli keskiarvon Laskettu/arvioitu em. jakauman keskiarvo, yli 80 % vastaajista yli keskiarvon Jakaumaksi käy esimerkiksi (5, 0, 80, 5) tai (0,0,,99) prosenttia arvosanoille 7 0. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä..07

6 B-osa. Kolmion sivut ovat s, 9s ja s. Neliön N pinta-ala on s. Koska 9+ =, niin Pythagoraan lauseen mukaan kolmio on suorakulmainen. Kolmion pinta-ala on siten s 9s = s kysytty suhde on 4 4 likiarvot max s on vakio - Kolmion sivut ovat s, 9s ja s. Neliön N pinta-ala on s. cos α = sin α = cos α = Kolmion pinta-ala on siten s 9s sin α = s kysytty suhde on 4 4 Neljännen ja viidennen pisteen voi saada myös laskulla sin(cos (α)) = (vaikka se olisi laskimella tehty), kunhan vastauksena on tarkka arvo. Vastauksessa α:lle likiarvo, mutta vastaus/sinin arvo tarkka max 5 likiarvot, ml. vastaus max Mikäli ratkaisu tehty Heronin kaavalla, vastaaavan käyttäminen pisteitä - 5 edellisissä malleissa, eli ensimmäinen, toinen juudes piste tulevat kuten muissakin pisteytysmalleissa. max 6. Valitaan (esimerkiksi) niin, että sin( )=0jokaisell eli on π:n monikerta Valinnalla = pätee a πk k 0 ja lim sin( )=lim0=0. Valitaan (esimerkiksi) niin, että sin( ) = sin(t) jokaisell eli on muotoa t +πn jollain luonnollisella luvulla n. Valinnalla = pätee a t+πk k 0 ja lim sin( ) = lim sin(t) = sin(t). geometrinen ratkaisu, esim. piirretty suoruvaan + Matematiikan koe, pitkä oppimäärä..07