10 y 2 3 x D 100; D D a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on x a C 10

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10"

Transkriptio

1 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä ääsee x km. Tällöin litralla etanolia ääsisi x km, 3 jos auto toimisi uhtaalla etanolilla. Bensiiniä litrassa olttoainetta E05 on 95 D 9 0 litraa ja etanolia 5 D litraa. Saamme yhtälön 0 9 x C 3 x D 0; josta saadaan ratkaistua x D 0 9 C D 0 : Olkoon y kysytty 0 km kulutus olttoainetta E. Tällöin josta saadaan ratkaisuksi 9 y x C y 3 x D 0; y D 0 x 9 C D D D 5 9 : Polttoaineiden E05 ja E energiasisältöjen suhde on 5 9 = D. Vastaava hintasuhde 5 on suuremi, 65 D 5 D, joten on kalliimaa ajaa E05:llä Arvosteluohje: Kummastakin yhtälöstä 3 istettä; ensimmäisen yhtälön ratkaisusta. ja toisen. Toisesta kysymyksestä yhteensä 3 istettä:. suhteiden muodostamisesta,. niiden oikeasta sieventämisesta ja. oikeasta äätelmästä. Jos ratkaisu ensimmäiseen kysymykseen on oikeaa suuruusluokkaa mutta väärin ja toinen kysymys ratkaistu oikein väärällä luvulla, voidaan toisesta osasta antaa täydet 3 istettä, ellei väärän luvun käyttö oleellisesti helota ratkaisua. Toinen ratkaisu: Merkitään kirjaimella a bensiinin energiasisältöä litraa kohden. Tällöin kymmenestä litrasta olttoainetta E05 saatava energiasisältö on 95 0 a C a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan olttoaineen E energiasisältö on 90 0 x a C 0 x 3 a; missä x on tarvittava litramäärä. Näiden energiasisältöjen täytyy olla yhtä suuret, mistä saadaan yhtälö, josta x voidaan ratkaista (a suistuu ois). Kun tiedetään olttoaineiden hinnat litraa kohti ja kulutus sadalle kilometrille, voidaan laskea olttoainekulut sadalle kilometrille kertolaskuilla. Käytettäessä olttoainetta E05 kulut ovat

2 ;65 D 6;50 euroa ja käytettäessä olttoainetta E ne ovat 5 9 mistä on helo nähdä, että olttoaineen E käyttö on edullisemaa. ;60 D 6 9 euroa, Arvosteluohje: Yhtälöstä voidaan antaa 6. ja sen ratkaisusta 3. Jos bensiinin energiasisältö litraa kohti (merkittu a:lla) ei ole mukana eli tehtävää ei ole ratkaistu yleisessä taauksessa, vähennetään istettä. Toisen kysymyksen ratkaisussa voidaan antaa oikein lasketuista kuluista./olttoaine ja. oikeasta äätelmästä. Kolmas ratkaisu tehtävän ensimmäiseen kysymykseen: Polttoaineen E05 energiasisältö suhteessa bensiinin energiasisältöön on 95 C 5 D 95 ja olttoaineen E suhteellinen energiasisältö 90 C D 90. Tästä saadaan laskettua olttoaineiden E05 ja E energiasisältöjen suhde ja edelleen olttoaineen E kulutus D Arvosteluohje: Kaksi istettä kunkin suhteen määrittämisestä ja johdonmukaisesta käyttämisestä. Suhteen käänteisluvun käytöstä voidaan vastaavasti sakottaa kaksi istettä. Tämän lisäksi annetaan kolme istettä oikeista laskutoimituksista. (Huom. Todellisuudessa etanolin rosenttimäärät ovat enimmäisarvoja. Energiasuhde =3 on likiarvo. Ks. lisätietoja a) On oltava x > 3, jotta x 3 on määritelty ja 0. Kertomalla uolittain luvulla x 3, joka on ositiivinen, eäyhtälö saadaan muotoon x C x 3 < x. Koska x on ositiivinen, kun x > 3, eäyhtälö voidaan korottaa uolittain neliöön, jolloin se saadaan yhtäitävään muotoon.x C/.x 3/ D x x 6 <.x / D x x C. Lisäämällä uolittain x C x tästä saadaan eäyhtälö 6 < x C, jonka ratkaisu on x < 7. Alkueräisen eäyhtälön ratkaisuksi saadaan siis 3 < x < 7. [Jos ratkaisuksi ilmoitetaan x < 7, vaikka ehto x > 3 olisikin todettu, vähennetään.] Toinen taa: Todetaan ehto x > 3, kuten yllä. Siirtämällä kaikki termit vasemmalle uolelle ja laventamalla samannimisiksi saadaan alkueräinen eäyhtälö muotoon x C x 3.x / x 3 < 0: Koska nimittäjä x 3 on ositiivinen, tämä saadaan yhtäitävän muotoon x C x 3.x / < 0, ja edelleen muotoon x C x 3 <.x /. Lou menee kuten ensimmäisessä ratkaisutavassa. b) Todetaan aluksi, että ja jx j D jx C j D Jaetaan tarkastelu vastaaviin taauksiin: ( x ; kun x, x C ; kun x <, ( x C ; kun x, x ; kun x <. () Oletetaan ensin, että x <. Tällöin eäyhtälö saa muodon x C < x, josta lisäämällä uolittain x saadaan ratkaisuksi x <.

3 () Oletetaan sitten, että x <. Tällöin eäyhtälö saa muodon x C < x C, josta lisäämällä uolittain x saadaan 0 < 3x, jonka ratkaisu on x > 0. (3) Oletetaan louksi, että x. Tällöin eäyhtälö saa muodon x < xc, josta lisäämällä uolittain x saadaan ratkaisuksi x >. Yhdistämällä taaukset (), () ja (3) nähdään, että alkueräinen eäyhtälö ätee, kun x < tai x > 0. Toinen taa: Koska molemmat uolet ovat ei-negatiivisia, eäyhtälö voidaan korottaa uolittain neliöön, jolloin saadaan jx j D x x C < jx C j D 4x C 4x C. Siirtämällä kaikki termit samalle uolelle tämä saadaan muotoon 3x C 6x > 0. Ottamalla x yhteiseksi tekijäksi ja jakamalla 3:lla tämä saadaan edelleen muotoon x.x C/ > 0. Polynomin x.x C/ nollakohdat ovat ja 0, ja merkkitarkastelu antaa ratkaisuksi x < tai x > Nyt F.x/ D 4x. x / dx D.4x 4x 3 / dx D x x 4 C C: [6.; vain toinen yhteenlaskettavista on integroitu oikein: 3.] Lisäehto on F./ D 3 [3.], josta saadaan F./ D CC D 3 ja edelleen C D. Siis F.x/ D x x 4 C. Toinen mahdollisuus on integroida suoraan F.x/ D 4x. x / dx D. x / C C: [6.; integraalifunktiossa ieni virhe (esim. merkkivirhe): 3.] Lisäehto on F./ D 3 [3.], josta saadaan F./ D 0 C C D 3 ja edelleen C D 3. Siis F.x/ D 3. x / (D 3 C x x 4 D C x x 4 ). [Kummassakin ratkaisutavassa louosan suorituksesta on mahdollista saada oikein suoritettuna 6 istettä, vaikka integraalifunktion määrittämisessä olisi taahtunut virhe (edellyttäen, että saatu integraalifunktio on järjellinen ja louosa tehdään kyseistä integraalifunktiota käyttäen).] 4. Jos c ;, niin ja kulmakertoimet ovat Integrointivakio uuttuu :. Integrointivakio uuttuu :. l W y D c C x C 3c c C ; l W y D c 7 c x 5 ; c k D c C ; k D c 7 : c 3

4 Siis suorat ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos Jos c D, niin k k D c C c 7 D c 7 c D.c C /.c / 7 c D c c c D 9 c D 3: l W y D 3 x C ; l W x D : [. (./ratkaisu)] Silloin l on y-akselin suuntainen, mutta l ei ole x-akselin suuntainen, joten suorat eivät ole kohtisuorassa. Jos c D, niin Suorat eivät ole kohtisuorassa. Toinen taa: Suuntavektorit ovat l W x D 3; l W y D 3 x C 5 3 : Ns D.c C /N{ C N ; Ns D.c /N{ C.c 7/ N : [6.] Suorat ovat kohtisuorassa silloin ja vain silloin, kun Ns Ns D 0 [.].c C /.c / C.c 7/ D 0 [.] c c C c 7 D 0 c D 9 c D 3: [. (./ratkaisu)] 5. Olkoon A i (i D ; ) taahtuma, että i. nostettava ara on voittoara, ja N A i sen komlementtitaahtuma. Olkoon K nostettavien voittoarojen lukumäärä. Tällöin P.K D 0/ D P. AN \ AN / D / P. AN / P. AN j AN / D 7 9 D P.K D / / D P.A \ N A / C P. N A \ A / D 9 C 9 D 9 D 6 P.K D / D P.A \ A / D 9 D Merkkivirhe suuntavektoreissa./vektori 4

5 missä kohdassa / on sovellettu yleistä todennäköisyyksien kertolaskusääntöä ja kohdassa / erillisten taahtumien yhteenlaskusääntöä. Toinen ratkaisu: Käytetään klassisen todennäköisyyden kaavaa P.A/ D n.a/=n.e/; missä n.a/ on suotuisten alkeistaahtumien ja n.e/ kaikkien alkeistaahtumien lukumäärä. Määritetään aluksi todennäköisyys, ettei yksikään ara voita. Kaksi araa voidaan valita kaikestaan eri tavalla, joten n.e/ D. Kaksi voitotonta araa voidaan valita eri tavalla, joten n.a/ D ja siis. 7/=. / P.K D 0/ D D. 9/=. / D Määritetään seuraavaksi todennäköisyys, että yksi ara voittaa. Koska yksi voitollinen ara voidaan valita tavalla ja yksi voitoton tavalla, tuloeriaatteen mukaan n.a/ D. Saamme P.K D / D D. 9/=. / D 6 Kaksi voitollista araa voidaan valita vain yhdellä tavalla, joten P.K D / D D. 9/=. / D Olkoon X nostettettavien arojen yhteenlaskettu arvo. Sen odotusarvo on E.X/ D X kd0 P.K D k/.k/ D 45 0 C 6 45 C 0 D 4: 45 Toinen taa laskea odotusarvo: Olkoon X i i:nnen nostettavan arvan arvo. Tällöin E.X i / D 0 C D, kun i D ;. Odotusarvon summakaavan erusteella E.X/ D E.X C X / D E.X / C E.X / D D 4: (Huom. Tämä ratkaisu edellyttää odotusarvon summakaavaa, joka ei kuulune lukiokurssin ydinainekseen.) Arvosteluohje: Kustakin kolmesta todennäköisyydestä 3 istettä, samoin odotusarvosta. Oikea kaava., oikea sijoitus kaavaan. ja oikea loutulos. Kaavan uuttumisesta ei sakoteta, jos laskulauseke on muuten oikein. 5

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 % Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8.9.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot