CLIFFORDIN ANALYYSIÄ AVARUUDESSA R 3

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "CLIFFORDIN ANALYYSIÄ AVARUUDESSA R 3"

Transkriptio

1 TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Konetekniikan osasto HEIKKI ORELMA CLIFFORDIN ANALYYSIÄ AVARUUDESSA R 3 Diplomityö Tarkastaja prof. Sirkka-Liisa Eriksson Määrätty osastoneuvoston kokouksessa

2 Tiivistelmä TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Konetekniikan osasto/ Matematiikan laitos ORELMA, HEIKKI: Cliordin analyysiä avaruudessa R 3 Diplomityö, 101 s. Tarkastaja: prof. Sirkka-Liisa Eriksson Rahoittaja: TTY/ Matematiikan laitos Marraskuu 005 Funktioteoria on analyyttisten kompleksifunktioiden teoriaa kompleksilukujen joukossa. Kompleksiluvut ajatellaan tason pisteinä. Tässä työssä tutkitaan sitä, miten kaksiulotteinen funktioteoria voidaan yleistää kolmiulotteiseen avaruuteen. Yleistämisen edellytyksenä on määritellä tulo kolmiulotteiseen avaruuteen. Tulon määrittäminen tapahtuu käyttämällä sopivaa Cliordin algebraa. Cliordin algebrojen yleinen tarkastelu on tämän työ puitteissa mahdotonta, joten niitä tarkastellaan ainoastaan yhdessä erityistapauksessa Cliordin algebra Cl 0,. Pääpaino työssä on hyperbolisen funktioteorian tutkiminen ja kehittäminen. Hyperbolista funktioteoriaa voi pitää analogisena funktioteorian analyyttisten ja harmonisten funktioiden teorian kanssa. Hyperbolisen funktioteorian avulla kehitetään tärkeä polyharmonisten funktioiden luokka. Polyharmonisilla funktioilla on yhteys osittaisdierentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Funktioteoriassa analyyttisille funktioille voidaan todistaa Cauchyn integraalikaava. Työn lopussa todistetaan Cauchy-tyyppinen integraalikaava eräälle hyperboliselle funktioluokalle, 1- hyperholomorsille funktioille.

3 3 Abstract Classical complex analysis or classical function theory discusses the properties of analytic functions. The aim of this Master's thesis is to extend the classical function theory to the three-dimensional space. First, some topics concerning Cliord Algebras, particularly Cl 0,, are researched, the main topic of the present thesis being hyperbolic function theory. The hyperbolic function theory is analogous to classical function theory. With the hyperbolic function theory we develop polyharmonic functions that are used in solving partial dierential equations. Another aim for the research was Cauchy-type integral formulas for one particular hyperbolic function class, 1-hyperholomorphic functions.

4 4 Alkusanat Tämä diplomityö on tehty Tampereen teknillisen yliopiston Matematiikan laitoksella. Aloitin työn tekemisen toukokuussa 005 tutkimusapulaisena matematiikan laitoksella. Työn runko valmistui kesän aikana ja lopullinen kirjallinen ulkoasu syksyn 005 kuluessa. Työni ohjaajana ja tarkastajana on toiminut professori Sirkka-Liisa Eriksson. Häntä haluan kiittää lämpimästi opetuksista, neuvoista, ohjauksesta ja kärsivällisyydestä. Erityisesti haluan kiittää Matematiikan laitosta rahoituksesta, kannustavasta ilmapiiristä ja laadukkaasta opetuksesta. Lisäksi haluan kiittää vanhempiani, veljeäni, kestävyysurheiluseura TePS:iä, ystäviäni ja kaikkia jotka ovat edesauttaneet opintojeni edistymistä. Lopuksi haluan kiittää avovaimoani Mirvaa ymmärtämisestä ja jaksamisesta. Tampereella 18. marraskuuta 005 Heikki Orelma Insinöörinkatu 58 C Tampere Puh

5 Sisältö 1 Johdanto 7 Cliordin algebra Cl 0, ja sen ominaisuuksia 9.1 Cliordin algebra Cl 0, Involuutiot Cliordin algebran Cl 0, ja avaruuden R 3 välinen yhteys Derivaatta ja polynomit Derivaatta ja derivoituvuus Polynomit Cliordin algebrassa Cl 0, Monogeeniset funktiot 33 5 Hyperboliset funktiot Hyperholomorset funktiot Hyperbolisesti harmoniset funktiot Hyperholomorsten ja hyperbolisesti harmonisten funktioiden välinen yhteys Polyharmoniset funktiot ja niiden esityslause Integraalikaavat Cauchyn integraalikaava monogeenisille funktioille Cauchyn integraalikaava 1-hyperholomorsille funktioille Yhteenveto ja päätelmiä 99 5

6 Lyhenteet ja merkinnät A B joukkojen A ja B suora summa A B joukkojen A ja B leikkaus i imaginaariyksikkö e j luonnollisen kannan j. kantavektori δ ij Kroneckerin delta -symboli f : A B funktio joukosta A joukkoon B N luonnollisten lukujen joukko Z kokonaislukujen joukko R reaalilukujen joukko C kompleksilukujen joukko R bivektorien joukko R 3 + ylempi puoliavaruus Ba, r a-keskinen r-säteinen avoin pallo Cl 0, Cliordin algebra x y vektorien x ja y sisätulo x y vektorien x ja y ulkotulo x alkion x pääinvoluutio x alkion x reversio x alkion x konjugaatti ˆx alkion x ˆ-involuutio normi x 1 alkion x käänteisalkio Re x paravektorin x reaaliosa Pu x paravektorin x vektoriosa D l, D vasen Diracin operaatori D r oikea Diracin operaatori D l, D vasemman Diracin operaattorin liitto-operaatori D r oikean Diracin operaattorin liitto-operaatori Laplacen operaattori P operaattori P Q operaattori Q M k modioitu vasen Diracin operaattori, missä k Z M k modioidun vasemman Diracin operaattorin liitto-operaattori M r modioitu vasen Diracin operaattori, kun k = 1 M l modioitu vasen Diracin operaattori, kun k = 1 LB LaplaceBeltrami -operaattori 6

7 Luku 1 Johdanto Funktioteoria tutkii analyyttisiä funktioita, integrointia ja kuvauksia kompleksitasossa. Funktioteorian rikkaus ja monipuolisuus antaa aiheen tutkia, onko samankaltaisen funktioteorian kehittäminen mahdollista useampiulotteisissa avaruuksissa. Funktioteorian kehityksen nykyiseen muotoonsa on mahdollistanut kompleksilukujen tulo. Onko siis olemassa kompleksilukujen kaltainen lukujärjestelmä useammassa ulottuvuudessa, jolle jokin funktioteoriaa muistuttava teoria olisi mahdollista perustaa? Useampiulotteista funktioteoriaa on tutkittu 1900-luvun loppupuolen jälkeen mittavasti. Suomalaisen matematiikan menestyneimpiä osa-alueita on ollut ja on funktioteoria. Tämä johtuu suurelta osin Rolf Nevanlinnan ja hänen oppilaidensa tekemästä työstä. Funktioteorian tutkimus on luonnollisesti herättänyt tutkijoissa ajatuksia teorian yleistämiseksi. Vuonna 1968 Jussi Väisälä pohti artikkelissaan [1] n-ulotteista funktioteoriaa ja tuli siihen tulokseen, että: n-ulotteinen funktioteoria on olemassa, ainakin jossakin mielessä. Merkittäviä tuloksia saatiin odotella 1900-luvun lopulle. Ensin keksittiin vastaus kysymykseen, miten määritellä tulo n-ulotteiseen avaruuteen. Pertti Lounesto toi artikkelissaan [] suomalaisten matemaatikkojen laajempaan tietoisuuteen Cliordin algebrat. Cliordin algebra on William Cliordin kehittämä assosiatiivinen algebra. Cliord itse käytti algebroistaan nimitystä geometrinen algebra. Cliordin algebrat ovat siis olleet olemassa jo 1800-luvulta lähtien, mutta matematiikassa vähemmän tutkittu tieteen ala. Voidaan jopa sanoa, että Cliordin algebrat olivat unohdettuja, kunnes ne 1960-luvulla löytyivät uudelleen. Cliordin algebrojen uuteen tulemiseen on suurelta osin vaikuttanut fyysikko David Hestenes. Hestenesin työ Cliordin algebrojen parissa, etenkin soveltajana on ollut uraauurtavaa luvulla Richard Delanghe julkaisi ensimmäiset tuloksensa monogeeni- 7

8 8 sista funktioista luvulla tutkimustyö funktioteorian yleistämiseksi lähti liikkeelle toden teolla. Syntyi tieteenala, jota kutsutaan Cliordin analyysiksi. Cliordin analyysin tehtävä on pyrkiä kehittämään funktioteoriaa avaruudessa R n Cliordin algebrojen avulla. Teoriaa pyrittiin tekemään tunnetuksi myös suomalaisten matemaatikkojen keskuudessa. Osittain Hestenesin töiden pohjalta Lounesto julkaisi artikkelin [3], missä funktioteoriaa yleistettiin korkeampiin dimensioihin. Nykyisin Cliordin analyysin tutkimus on aktiivista ja laaja-alaista. Onhan teoriassa vielä runsaasti kehitettävää. Varsinaisten sovellusten osalta ollaan vielä aivan alkutaipaleella. Kansainvälisistä merkittävistä Cliordin analyysin tutkijoista kannattaa mainita ainakin Frank Sommen, John Ryan, Heinz Leutwiler, Eric Lehman ja Sirkka-Liisa Eriksson. Tässä työssä on jouduttu rajoittumaan ajan ja resurssien takia tarkastelemaan Cliordin analyysiä vain dimensiossa kolme. Pyrkimyksenä on ollut säilyttää analogia perinteisen funktioteorian kanssa mahdollisuuksien mukaan. Luvussa tarkastellaan tarvittavaa matematiikan välineistöä. Cliordin algebroista tarkastellaan ainoastaan tarvittavaa Cliordin algebraa Cl 0,. Kappaleen on tarkoitus olla enemmän hyödyllinen kuin teoreettinen. Involuutioita tarkastellaan kattavasti niiden myöhemmän tarpeellisuuden takia. Luvussa 3 Määritellään derivaatta vektorimuuttujan Cliordin algebra -arvoisille funktioille. Määritellään derivoituvuus ja todistetaan derivointisääntöjä. Potenssifunktiolle x m todistetaan esityskaavoja ja derivointikaavoja. Luvussa 4 Tarkastellaan monogeenisia funktioita. Monogeeniset funktiot toimivat ikään kuin johdantona hyperboliselle funktioteorialle. Luvussa 5. tarkastellaan hyperbolisia funktioita. Määritellään hyperholomorset ja hyperbolisesti harmoniset funktiot. Todistetaan useita keskeisiä tuloksia funktioluokille ja niiden välille. Luvun lopussa määritellään polyharmoniset funktiot. Luvussa 6 todistetaan Cauchy-tyyppisiä integraalikaavoja. Tärkeimpänä tuloksena tässä luvussa todistetaan Cauchyn integraalikaava 1-hyperholomorsille funktioille. Luvussa 7 kootaan yhteen tulokset ja esitellään mahdollisia jatkotutkimuksen kohteita. Suuri osa tässä työssä käytetyistä tuloksista on otettu lähteistä. Tuloksen yhteydessä on kerrottu lähdeviite, jos tulos on otettu lähteestä. Vastaavasti, jos todistus seuraa jotakin lähdettä, se mainitaan todistuksen yhteydessä.

9 Luku Cliordin algebra Cl 0, ja sen ominaisuuksia Kompleksianalyysi eli funktioteoria tutkii funktioita jotka ovat kuvauksia kompleksilukujen kunnassa C. Toisaalta kompleksiluvut voidaan ajatella geometrisesti, jolloin ne voidaan samaistaa tason R pisteiksi. Kompleksilukujen avulla mallinnetussa tasossa on kantana alkiot 1 ja i, jolla on ominaisuus i = 1. Näin muodoin tason piste x 0, x 1 voidaan esittää muodossa x = x 0 + x 1 i. Kompleksiluvut muodostuvat reaalilukujoukkojen suorana summana C = R R. Funktioteorian kehityksen nykyiseen muotoonsa on mahdollistanut tason alkioiden välille määritelty tulo. Tämä johtuu kompleksilukujen kunta ominaisuudesta. Jos halutaan kehittää funktioteoriaa kolmiulotteiseen avaruuteen, pitää määritellä tulo jollakin mielekkäällä tavalla. Seuraavaksi tutustutaan siihen, miten mallinnetaan kolmiulotteista avaruutta Cliordin algebralla Cl 0,..1 Cliordin algebra Cl 0, Tutustutaan tässä kappaleessa Cliordin algebraan Cl 0,. Cliordin algebra Cl 0, voidaan samaistaa kvaternionialgebraan [4]. Yleisiä Cliordin algebroita käsitellään lähteessä [5]. Olkoon {e 1, e } vektoriavaruuden R ortonormaali kanta, siis e 1 = e = 1 ja e 1 e..1 9

10 CL 0, 10 Määritellään tulo kantavektoreiden välille asettamalla e i e j + e j e i = δ ij,. missä δ ij on tavallinen Kroneckerin delta -symboli. Relaatiosta seuraa kantavektorien välille ominaisuudet e 1 = e = 1 ja e 1 e = e e 1..3 Jälkimmäistä ominaisuutta sanotaan antikommutatiivisuudeksi. Kaytetään kantavektorien e 1 ja e tulosta lyhennysmerkintää e 1 := e 1 e.4 ja kutsutaan näin saatua alkiota yksikköbivektoriksi. Yksikköbivektori e 1 on lineaarisesti riippumaton kantavektoreista e 1 ja e. Cliordin algebrassa Cl 0, skalaareiksi sanomme alkioita, joiden neliö on positiivinen, esimerkiksi reaaliluvut. Cliordin algebra Cl 0, on vektoriavaruus, jonka kanta koostuu neljästä elementistä 1 skalaari, e 1, e vektorit, bivektori. Cliordin algebran Cl 0, mielivaltainen alkio on muotoa e 1 x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1.5 eli skalaarin x 0, vektorin x 1 e 1 + e ja bivektorin x 1 e 1 lineaarikombinaatio. Skalaarit ajatellaan reaalilukujen joukkona R, vektorit vektoriavaruuden R alkioina ja bivektorit bivektorien joukon, jota merkitään R, alkioina. Cliordin algebra Cl 0, muodostuu edellisten joukkojen suorana summana Cl 0, = R R R..6 Seurauksena ominaisuuksista.3 kantaelementtien 1, e 1, e ja e 1 välille voidaan kirjoittaa kertolaskutaulu e 1 e e 1 e 1 1 e 1 e e e 1 1 e 1 e 1 e e Cliordin algebran Cl 0, alkioiden a ja b tulo ab määritellään edellä mainitun taulukon avulla käyttämällä hyväksi kantaelementtien tulon antikommutatiivisuutta, distributiivisuutta ja assosiatiivisuutta. Tutkitaan seuraavaksi vektorien tulon laskusääntöjä.

11 CL 0, 11 Lause.1.1 Olkoot a, b ja c Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Tällöin 1 ab + c = ab + ac ja b + ca = ba + ca distributiivisuus, abc = abc assosiatiivisuus. Todistus. Olkoon indeksijoukko I = {0, 1,, 1}. Olkoot a, b ja c Cliordin algebran Cl 0, alkioita a = i I b = j I a i e i, b j e j, c = k I c k e k. Kohdan 1 todistus on triviaali, koska kantavektorien tulo on distributiivinen, eli ab + c = a i e i b j e j + c k e k i I j I k I = a i e i b j e j + a i e i c k e k i I j I i I = ab + ac. Todistetaan vektorien a, b ja c assosiatiivisuus. Käytetään todistuksessa hyväksi kantavektorien assosiatiivisuutta. Tällöin abc = a i e i b j e j c k e k i I j I = a i e i b j e j c k e k i,j I k I = a i e i b j e j c k e k, i,j,k I k I k I

12 CL 0, 1 mihin voidaan soveltaa kantavektorien assosiatiivisuutta. Tulos seuraa tästä, eli abc = a i e i b j e j c k e k i,j,k I = i I = i I = abc. a i e i b j e j c k e k j,k I a i e i b j e j c k e k Kerrottaessa Cliordin algebran Cl 0, vektoreita a ja b keskenään voidaan tulo ab jakaa symmetriseen ja antisymmetriseen osaan j I ab = a b + a b. Symmetristä osaa, jota merkitään a b, kutsutaan sisätuloksi ja antisymmetristä osaa, jota merkitään a b, kutsutaan ulkotuloksi. Tulon ab jakaminen kahteen osaan on erityisen tärkeää sovellettaessa Cliordin algebroja käytännön ongelmiin. Lause.1. [5] Olkoot a ja b Cliordin algebran Cl 0, vektoreita. Tällöin sisätulo saadaan laskettua kaavalla a b = 1 ab + ba k I ja ulkotulo kaavalla a b = 1 ab ba. Todistus. Todistus seuraa lähteessä [5] olevaa todistusta. Olkoot a ja b vektoreita. Lasketaan ab = a b + a b.8 ja ba = b a + b a = a b a b..9 Kun lasketaan.8 ja.9 yhteen, saadaan ab + ba = a b, mistä väite seuraa. Kun vähennetään.9 tulosta.8, saadaan mistä väite seuraa. ab ba = a b,

13 CL 0, 13. Involuutiot Involuutioilla on tärkeä merkitys Cliordin algebrojen teoriassa. Involuutiot ovat lineaarisia operaattoreita. Involuutiot selkyttävät kalkyyliä ja tuovat uudenlaisia objekteja teoriaan. Esimerkki..1 Olkoon z = x 0 +x 1 i kompleksiluku. Kompleksilukujen joukossa C involuutio on kompleksikonjugaatti : C C, joka määritellään kaavalla z = x 0 x 1 i. Kompleksilukujen joukossa on myös toinen involuutio, nimittäin identiteettikuvaus. Tärkeitä involuutioita Cliordin algebrassa Cl 0, on neljä kappaletta. Seuraavaksi näiden määritelmät. Määritelmä.. Pääinvoluutio Operaattoria : Cl 0, Cl 0,, joka määritellään kaavalla kutsutaan pääinvoluutioksi. x = x 0 x 1 e 1 e + x 1 e 1,.10 Pääinvoluutio vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion x vektoritermien etumerkit. Määritelmä..3 Reversio Operaattoria : Cl 0, Cl 0,, joka määritellään kaavalla x = x 0 + x 1 e 1 + e x 1 e 1,.11 kutsutaan reversioksi. Reversio vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion x bivektoritermin etumerkin. Määritelmä..4 Konjugaatti Operaattoria : Cl 0, määritellään kaavalla Cl 0,, joka kutsutaan konjugaatiksi. x = x 0 x 1 e 1 e x 1 e 1,.1 Konjugatti vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion x sekä vektori- että bivektori termien etumerkit. Konjugaatti voidaan antaa pääinvoluution ja reversion avulla x = x. Konjugaattia kutsutaan usein myös Cliordin konjugaatiksi erotukseksi kompleksikonjugaatista.

14 CL 0, 14 Määritelmä..5 Operaattori ˆ: Cl 0, Cl 0,, joka määritellään kaavalla on involuutio. ˆx = x 0 + x 1 e 1 e x 1 e 1,.13 Edellisessä määritelmässä olevalla involuutiolla ei ole nimeä. Puhekielessä involuutiota kutsutaan hattu-involuutioksi. Seuraavaksi tutkitaan involuutioiden ominaisuuksia. Todistetaan ensin, että pääinvoluutio on isomorsmi eli laskutoimituksen säilyttävä kuvaus. Lause..6 [6] Olkoot a ja b Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Pääinvoluutiolle pätee ab = a b..14 Todistus. Todistetaan väite kanta-alkiolle. Pääinvoluutio vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion vektoriosan etumerkit, eli e 0 = 1, e 1 = e 1, e = e ja e 1 = e 1. Olkoon indeksijoukko I = {0, 1,, 1}. Jos i I, niin Vektoritermeille puolestaan Bivektorille ja vektorille e 0 e i = e i = e 0 e i = e 0e i. e 1 e = e 1 = e 1 = e 1 e = e 1 e = e 1e. e 1 e 1 = e 1 e 1 e = e = e = e 1e = e 1 e 1 = e 1e 1 ja vastaavasti tulolle e e 1. Väite pätee kantavektorien välillä, eli e i e j = e ie j, kun i, j I. Olkoot nyt alkiot a = i I a i e i ja b = j I b j e j. Tällöin ab = a i e i b j e j i I j I = a i b j e i e j i,j I = i,j I a i b j e ie j = a i e i i I = a b, b j e j j I

15 CL 0, 15 mikä todistaa väitteen. Edellisessä lauseessa todistettiin pääinvoluution olevan isomorsmi, eli laskutoimituksen säilyttävä operaatio. Vastaavalla todistustekniikalla osoitetaan seuraavaksi, että reversio on anti-isomorsmi. Lause..7 [6] Olkoot a ja b Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Reversiolle pätee ab = b a..15 Todistus. Todistetaan väite kanta-alkiolle. Reversio vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion bivektoriosan etumerkin, eli e 0 = 1, e 1 = e 1, e = e ja e 1 = e 1. Olkoon indeksijoukko I = {0, 1,, 1}. Jos i I, niin Vektoritermeille puolestaan Bivektorille ja vektorille e 0 e j = e j = e je 0. e 1 e = e 1 = e 1 = e 1 = e e 1 = e e 1. e 1 e 1 = e = e = e e 1 = e 1 e 1 e = e 1e 1, ja vastaavasti tulolle e e 1. Väite pätee kantavektorien välillä, eli e i e j = e je i, kun i, j I. Olkoot nyt alkiot a = i I a i e i ja b = j I b j e j. Tällöin ab = a i e i b j e j i I j I = a i b j e i e j i,j I = i,j I a i b j e je i = b j e j j I = a b, a i e i i I mikä todistaa väitteen.

16 CL 0, 16 Lause..8 [7] Olkoot a ja b Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Hattuinvoluutiolle pätee âb = âˆb..16 Todistus. Todistetaan väite kanta-alkiolle. Hattu-involuutio vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion vektoritemin e, ja samalla bivektoritermin e 1 etumerkin, eli ê 0 = 1, ê 1 = e 1, ê = e ja ê 1 = e 1. Olkoon indeksijoukko I = {0, 1,, 1}. Jos i I, niin Vektoritermeille puolestaan Bivektorille ja vektorille ê 0 e j = ê j = ê j ê 0. ê 1 e = ê 1 = e 1 = e 1 = e 1 e = ê 1 ê. ê 1 e 1 = ê = e = e 1 e 1 = ê 1 ê 1, ja vastaavasti tulolle e e 1. Väite pätee kantavektorien välillä, eli ê i e j = ê i ê j, kun i, j I. Olkoot nyt alkiot a = i I a i e i ja b = j I b j e j. Tällöin âˆb = i I a i ê i b j ê j j I = i,j I a i b j ê i ê j = i,j I a i b j ê i e j = âb, mikä todistaa väitteen. Lemma..9 [6] Olkoon z kompleksiluku ja e Cliordin algebran Cl 0, kanta-alkio. Tällöin pätee ze = e z = e z..17

17 CL 0, 17 Todistus. Todistetaan kuten lähteessä [6]. Olkoon z = x 0 + x 1 e 1 e Cl 0,. Tällöin C ja ze = x 0 + x 1 e 1 e = x 0 e + x 1 e 1 e = e x 0 e x 1 e 1 = e x 0 x 1 e 1 = e z = e z. Involuutioiden sovelluksena saadaan normi ja käänteisalkiot Cliordin algebran Cl 0, alkiolle. Määritelmä..10 Normi Olkoon x Cliordin algebran Cl 0, alkio. Alkion normi määritellään kaavalla x = xx = x x = Lause..11 [5] Olkoon x Cliordin algebran Cl 0, alkio ja x 0. Alkion käänteisalkio on tällöin x 1 = x x..19 Todistus. Käyttämällä normin määritelmää x = xx, saadaan ja x 1 x = x x x = x x = 1 xx 1 = x x x = x x = 1..3 Cliordin algebran Cl 0, ja avaruuden R 3 välinen yhteys Kolmiulotteinen avaruus koostuu pisteistä x 0, x 1,. Yleistettäessä funktioteoriaa kolmiulotteiseen avaruuteen tulee laskennallisesti mielekkääksi kuvata edellä mainittu piste Cliordin algebran Cl 0, alkiona x = x 0 + x 1 e 1 + e..0

18 CL 0, 18 Tällaista alkiota kutsutaan paravektoriksi. Välitön analogia kompleksilukujen kanssa löytyy. Määritellään yllä olevalle paravektorille reaaliosa kaavalla Re x := x 0.1 ja vektoriosa Pu x := x 1 e 1 + e.. Pääinvoluution avulla reaaliosalle saadaan laskukaava seuraavassa lemmassa. Lemma.3.1 Olkoon x = x 0 + x 1 e 1 + e Cl 0, paravektori. Tällöin Re x = x + x..3 Todistus. Olkoon x = x 0 +x 1 e 1 + e paravektori. Tällöin x = x 0 x 1 e 1 e ja siis Re x = x + x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 0 x 1 e 1 e = x 0. Näin voidaan tuoda tulo mukaan kolmiulotteiseen avaruuteen, joka mahdollistaa teorian eteenpäinviemisen. Avaruutta R 3 ajatellaan joukkona R 3 = R R..4 Jatkossa tarkoitetaan joukolla R 3 juuri yllä olevan joukon alkioita, joissa on Cliordin algebran tulo-ominaisuus. Näin olemme saaneet aikaiseksi laskennallisesti melkoisen rikkaan struktuurin. Tutkitaan esimerkkien avulla, mitä oikeastaan näin määriteltyyn joukkoon R 3 sisältyy. Esimerkki.3. Reaaliluvut R sisältyvät joukkoon R 3. Esimerkki.3.3 Kompleksiluvut voidaan ajatella osajoukkona missä e 1 = 1. C = {x 0 + x 1 e 1 x 0, x 1 skalaareja}.5

19 CL 0, 19 Edelliset kaksi esimerkkiä ovat luonnollisesti myös Cliordin algebran Cl 0, osajoukkoja. Kuten alussa mainittiin, Cliordin algebra Cl 0, voidaan samaistaa kvaternionien algebran kanssa. Käsitellään tätä seuraavassa esimerkissä. Esimerkki.3.4 Kvaternionit ovat joukko H = {z = z 0 + z 1 i + z j + z 3 k z 0, z 1, z, z 3 skalaareja},.6 missä kanta-alkiot toteuttavat laskusäännöt i = j = k = 1, ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j ja ijk = 1. Asettamalla i = e 1, j = e, k = e 1 e, toteuttavat alkiot i, j ja k kvaternionialgebran laskusäännöt. Näin ollen Cliffordin algebra Cl 0, on isomornen joukon H kanssa. Kvaternioineja käsitellään kattavasti lähteessä [4].

20 Luku 3 Derivaatta ja polynomit Edellisessä kappaleessa esitettiin struktuuri, jonka varaan voidaan lähteä rakentamaan analyysin teoriaa. Tässä kappaleessa määritellään Cliordin algebra -arvoisen funktion derivaatta, määritellään funktion derivoituvuus ja tutustutaan polynomeihin ja niiden derivoimiseen Cliordin algebrassa Cl 0,. 3.1 Derivaatta ja derivoituvuus Analyysi perustuu suurelta osin funktion derivaatan ja derivoituvuuden käsitteiden varaan. Derivaatan määrittely perustuu raja-arvon käsitteeseen. Määritelmä Funktion raja-arvo Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Funktiolla f : Ω Cl 0, on raja-arvo c pisteessä a, jos jokaisella ɛ > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että fz c < ɛ, kun 0 < z a < δ. 3.1 Normi joukossa Ω on tavallinen Euklidinen normi ja Cliordin algebran normi määriteltiin edellisessä kappaleessa. Merkitään raja-arvoa lim fz = c. 3. z a Raja-arvon avulla määritellään funktion f derivaatta muuttujan x i suhteen, kun i = 0, 1,, 1. Määritelmä 3.1. Derivaatta Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon kantavektori e i Cl 0,, kun i = 0, 1,, 1. Funktion f : Ω Cl 0, derivaatta muuttujan x i suhteen määritellään erotusosamäärän raja-arvona f fx + he i fx x = lim. 3.3 x i h 0 h 0

21 1 Välittömänä seurauksena saadaan varsin käyttökelpoinen tulos. Seuraus Olkoon f : Ω Cl 0,. Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Jos funktio f kirjoitetaan muotoon niin sen derivaatta muuttujan x i suhteen on f = f 0 + f 1 e 1 + f e + f 1 e 1, 3.4 f x i = f 0 x i + f 1 x i e 1 + f x i e + f 1 x i e 1, 3.5 kun indeksi i kuuluu joukkoon {0, 1,, 1}. Todistus. Olkoon f = f 0 + f 1 e 1 + f e + f 1 e 1. Lasketaan derivaatta suoraan määritelmästä, saadaan f fx + he i fx = lim x i h 0 h f 0 x + he i f 0 x + f 1 x + he i e 1 f 1 xe 1 + = lim h 0 h f 0 x + he i f 0 x f 1 x + he i f 1 x = lim + lim e 1 h 0 h h 0 h f x + he i f x f 1 x + he i f 1 x + lim e + lim h 0 h h 0 h = f 0 x i + f 1 x i e 1 + f x i e + f 1 x i e 1. e 1 Määritelmä Funktion jatkuva derivoituvuus Funktio f : Ω Cl 0, on jatkuvasti derivoituva avoimessa joukossa Ω R 3, jos sillä on kaikkien muuttujien suhteen jatkuvat osittaisderivaatat jokaisessa joukon Ω pisteessä. Reaaliarvoisten vektorimuuttujan funktioiden derivointia pidetään tunnettuna. Reaaliarvoisen funktioiden teoriaa käsitellään esimerkiksi lähteessä [8]. Osittaisderivaattaa sanotaan jatkuvaksi, jos sen kaikki komponenttifunktiot ovat jatkuvasti osittaisderivoituvia. Määritellään tavanomaiseen tapaan funktioiden f : Ω Cl 0, ja g : Ω Cl 0, yhteenlasku ja tulo pisteittäin, f + gx = fx + gx ja fgx = fxgx. 3.6 Todistetaan seuraavaksi derivointikaavat funktioiden summalle ja tulolle.

22 Lause Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko ja λ Cliordin algebran Cl 0, alkio. Olkoot f : Ω Cl 0, ja g : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituvia funktioita. Tällöin 1 x i f + g = f x i + g x i, x i fg = f x i g + f g x i, 3 x i λf = λ f x i. Todistus. Olkoot f : Ω Cl 0, ja g : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituvia funktioita. Nyt f + gx + e i h f + gx f + g = lim x i h 0 h = lim h 0 fx + e i h + gx + e i h fx gx h fx + e i h fx gx + e i h gx = lim + lim h 0 h h 0 h = f x i + g x i, joten kohta 1 on tosi. Tulolle fx + e i hgx + e i h fxgx fg = lim x i h 0 h fx + e i hgx + e i h fxgx + e i h + fxgx + e i h fxgx = lim h 0 h fx + e i h fx gx + e i h gx = lim gx + e i h + fx lim h 0 h h 0 h = f g + f g, x i x i joten kohta on tosi. Kohdan 3 todistus on selvä kohdan perusteella, kun valitaan f = λ vakio ja g = f. 3. Polynomit Cliordin algebrassa Cl 0, Polynomit muodostavat tärkeän funktioluokan myös kolmidimensioisessa funktioteoriassa. Tästä syystä luomme erityisen katsauksen funktioihin x x m, 3.7

23 3 missä x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 kuuluu Cliordin algebraan Cl 0, ja m luonnollisten lukujen joukkoon N. Polynomien tutkimisen helpottamiseksi otetaan käyttöön seuraavat apukäsitteet. Teoria seuraa lähdettä [6]. Listaa α = α 0, α 1, α, α kutsutaan multi-indeksiksi, missä α i kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon N jokaisella i = 0, 1,, 1. Multi-indeksipotenssi määritellään Kertoma multi-indeksille määritellään Multi-indeksin normi määritellään kaavalla ja multinomikerroin kaavana m = α x α = x α 0 0 x α 1 1 x α x α α! = α 0!α 1!α!α 1! α = α 0 + α 1 + α + α m! α 0!α 1!α!α 1!. 3.1 Multi-indeksiä α = α 0, α 1, α, α 1 sanotaan parilliseksi, jos sen jokainen alkio α i on parillinen. Määritellään vielä yksikkömulti-indeksit ɛ 0 = 1, 0, 0, 0, ɛ 1 = 0, 1, 0, 0, ɛ = 0, 0, 1, 0, ɛ 1 = 0, 0, 0, 1. Polynomien keskeisin tulos on seuraava lause, jossa kehitetään laskentakaava astetta m olevalle monomille. Lause 3..1 [6] Olkoon x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio ja m luonnollinen luku. Tällöin x m = m cαx α, 3.13 α α =m

24 4 missä kerroin cα on cα = m α 0 α α 0 ɛ 0 m α 0 α α 0 ɛ 0 m α 0 1 α α 0 ɛ 0 ɛ i m α 0 α α 0 ɛ 0 1 m α0, kun α α 0 ɛ 0 on parillinen, 1 m α0 1 e i, kun α α 0 ɛ 0 ɛ i on parillinen, 0, muulloin. Todistus perustuu seuraavaan lemmaan. Lemma 3.. Olkoot x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio, x 1,, x 1 reaalilukuja ja m, n 1, n, n 1 luonnollisia lukuja. Tällöin 1 x 1 e 1 + e + x 1 e 1 m = 1 m m, Multinomilause y 1 + y y k n = missä multinomikerroin n 1 +n + +n k =n n n 1,n,...,n k = n! n n 1, n,..., n k n 1!n! n k!. y n 1 1 y n y n k k, 3 Binomikerroin voidaan esittää multinomikertoimien avulla muodossa m m = α α m α0, 0 α α 0 ɛ 0 missä α = α 0, α 1, α, α 1 on multi-indeksi ja ɛ 0 yksikkömulti-indeksi. Todistus. Todistetaan kohta 1 induktiolla. Kohta 1 esitetty lähteessä [6]. Induktio alku saadaan osoittamalla m = 1 todeksi. Tällöin x 1 e 1 + e + x 1 e 1 =x 1 e 1 + e + x 1 e 1 x 1 e 1 + e + x 1 e 1 = 1e 1 + x 1 e 1 e + x 1 x 1 e 1 e 1 + x 1 e e 1 + e + x 1 e e 1 + x 1 x 1 e 1 e 1 + x 1 e 1 e + 1e 1 = , joten induktioalku on tosi. Todistetaan seuraavaksi induktioaskel. Oletetaan, että x 1 e 1 + e +x 1 e 1 m =

25 5 1 m m on tosi. Osoitetaan, että tulos pätee myös indeksillä m + 1. Tällöin x 1 e 1 + e + x 1 e 1 m+1 = x 1 e 1 + e + x 1 e 1 m x }{{} 1 e 1 + e + x 1 e 1 oletus = 1 m m x 1 e 1 + e + x 1 e 1 }{{} induktioalku = 1 m m = 1 m m+1, siis väite pätee ja samalla kohta 1 on tosi. Todistetaan myös kohta induktiolla. Kun k = 1 yhtälön kummatkin puolet ovat y n 1, eli induktioalku on tosi. Oletetaan, että multinomilause pätee arvolla k. Kun sovelletaan binomikaavaa, saadaan y 1 + y y k + y k+1 n = = = = n l=0 n l=0 n n y y k l l }{{} n l l=0 n n k =l n l=0 n n k =l oletus n n k =l n l y n l k+1 l n 1,..., n k l n 1,..., n k y n 1 y n 1 1 y n k k 1 y n k k yn l k+1 yn l k+1 n! l! l!n l! n 1! n k! yn 1 1 y n k k Kun sijoitetaan tulokseen n k+1 = n l eli l = n n k+1, saadaan y 1 + y y k + y k+1 n n n! 1 = n n=n k+1 n n k =n n k+1! n 1! n k! yn 1 1 y n k k+1 n = y n 1 1 y n k k n 1,..., n yn k+1 k+1, k+1 n n k +n k+1 =n mikä todistaa väitteen. k yn k+1 k+1 yn l k+1.

26 6 Kohta 3. Kun sievennetään lauseketta, saadaan m α m α0 α α 0 ɛ 0 = m! α 0!α 1!α!α 1! m α 0! α 1!α!α 1! m! = α 0!m α 0! m =. Todistetaan Lause Todistus seuraa lähdettä [6]. Olkoon x = x 0 +x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cl 0,. Binomikaava on m m y + z m = y k z m k, k k=0 missä m k on binomikerroin. Soveltamalla potenssiin x m binomikaavaa, saadaan x m = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 m m m = x α 0 0 x 1 e 1 + e + x 1 e 1 m α 0. α 0 =0 α 0 Kun käytetään edellisen lemman kohtaa 1, saadaan m m x m = x α m α m α 0 = A + B. α 0 =0 α 0 α 0 }{{} + m m α 0 =0 α 0 x α =:A m α m α 0 1 } {{ } =:B Yllä olevassa yhtälössä oikealla oleva lauseke on jaettu kahteen summaan. Ensimmäisessä summalausekeessa A indeksi m α 0 on parillinen. Jälkimmäisessä summalausekkeessa B puolestaan m α 0 on pariton eli m α 0 1 on parillinen. Tarkastellaan summalausekkeita erikseen. Kun sovelletaan ensimmäiseen summalausekkeeseen A edellisen lemman kohtaa, saadaan A = m m α 0 =0 α 0 x α m α 0 n 1 +n +n 1 = m α 0 m α0 n 1, n, n 1 n 1 1 n n 1 1.

27 7 Kun sijoittetaan α 1 = n 1, α = n ja α 1 = n 1 ja ryhmitellään termejä, saadaan m m m α0 A = x α 0 0 x α 1 1 x α x α m α0 α 0 =0 α =m α 0 α 0 α α 0 ɛ 0 Kun sovelletaan yhtälön binomikertoimeen m α 0 edellisen lemman kohtaa 3 ja multi-indeksin potenssia, saadaan yhtälö muotoon α 0 =0 α 0 A = α =m m α 0 m α α 0 ɛ 0 α m α0 1 m α0 x α. α α 0 ɛ 0 Väite on tosi, kun m α 0 on parillinen. Jos puolestaan m α 0 1 on parillinen, saadaan m m B = x α m α 0 1 m α n 1 1 n n 1 1 e i. n 1, n, n 1 n 1 +n +n 1 = m α 0 1 Kun sijoitetaan α 1 = n 1, α = n ja α 1 = n 1 ja ryhmittelellään termejä, saadaan m m m α0 1 B = 1 m α 0 1 α α α 0 ɛ 0 ɛ i e i x α 0 0 x α 1 1 x α x α α 0 =0 α =m α 0 1 Kun sovelletaan yhtälön binomikertoimeen m α 0 edellisen lemman kohtaa 3 ja multi-indeksin potenssia, saadaan B = α =m m α 0 1 m α α 0 ɛ 0 ɛ i α m α0 1 m α0 1 e i x α. α α 0 ɛ 0 Olkoot α ja β multi-indeksejä ja m luonnollinen luku. Multinomikerroin kahdelle multi-indeksille määritellään m = m! α, β α!β!. Edellisessä lauseessa saatiin laskukaava monomille, seuraavaksi vastaava tulos binomille.

28 8 Lause 3..3 [6] Olkoot x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 ja y = y 0 + y 1 e 1 + y e + y 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Tällöin x + y m = m cα + βx α y β, 3.14 α, β α + β =m missä kertoimet cα + β ovat samoja kuin edellisessä lauseessa. Todistus. Lähdettä [6] seuraten. Olkoon γ = γ 0, γ 1, γ, γ 1 multi-indeksi ja olkoot x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 ja y = y 0 + y 1 e 1 + y e + y 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Kun sovelletaan tuloon x + y γ tavallista binomikaavaa, saadaan x + y γ =x + y γ 0 x + y γ 1 x + y γ x + y γ 1 γ 0 γ 1 x α 0 y γ 0 α 0 = = γ0 α α 0 =0 0 γ γ α 1 =0 γ1 γ 1 x α y γ α x α 1 y γ 1 α1 α 1 γ1 α α =0 α α 1 =0 1 γ i γ0 γ1 γ γ1 α i =0 i=0,1,,1 = α i +β i =γ i i=0,1,,1 α 0 α 1 α α 1 γ 0!γ 1!γ!γ 1! α 0!α 1!α!α 1!β 0!β 1!β!β 1! xα y β. x α 1 y γ 1 α 1 x α 0 y γ 0 α 0 x α 1 y γ 1 α 1 x α y γ α x α 1 y γ 1 α 1 Viimeisessä vaiheessa tehtiin sijoitus α i + β i = γ i. Kun sovelletaan edellistä lausetta, saadaan x + y m = m cγx + y γ γ γ =m = m γ 0!γ 1!γ!γ 1! cγ γ α 0!α 1!α!α 1!β 0!β 1!β β 1! xα y β γ =m α i +β i =γ i i=0,1,,1 = α + β =m = α + β =m m! α 0!α 1!α!α 1!β 0!β 1!β β 1! cα + βxα y β m cα + βx α y β. α, β

29 9 Tutkitaan seuraavaksi polynomien derivointia. Lähdetään liikkeelle helpoimmasta tapauksesta. Lause 3..4 Olkoon x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio ja m luonnollinen luku. Potenssifunktion x m derivaatta muuttujan x i, i = 0, 1,, 1, suhteen on kun e 0 = 1. x m m 1 = x k e i x m 1 k, 3.15 x i k=0 Todistus. Todistetaan lause induktioilla. Todistetaan induktioalku. Kun m =, kaavan oikea puoli on 1 x k e i x 1 k = e i x + xe i. k=0 Toisaalta tulon derivointissäännön nojalla x i = x i xx = x x + x x x i x i = e i x + xe i, joten induktioalku on tosi. Todistetaan seuraavaksi induktioaskel. Oletetaan, että x m m 1 = x k e i x m 1 k x i k=0 on tosi. Tulon derivointisäännön mukaan x m+1 = xm x + x m x x i x i x i m 1 = x k e i x m 1 k x + x m e i k=0 m 1 = x k e i x m k + x m e i x m m = k=0 m x k e i x m k. k=0

30 30 Esimerkki 3..5 Funktion x m ensimmäiset derivaatat muuttujan x i suhteen saadaan poimimalla termit alla olevasta Pascalin kolmiosta. m = 1 e i e i x xe i 3 e i xe i x e i 4 e i x 3 xe i e i x x 3 e i 5 e i x 4 xe i x 3 e i x 3 e i x x 4 e i 6 e i x 5 xe i x 4 e i x 3 x 3 e i x 4 e i x x 5 e i Esimerkiksi funktion x 4 derivaatta muuttujan x i suhteen saadaan laskemalla rivillä m = 4 olevat termit yhteen. Siis x 4 x i = e i x 3 + xe i + e i x + x 3 e i. Seuraavaksi todistetaan derivointisääntö polynomeille. Merkitään mielivaltaista osittaisderivaattaa α x m x α = α x m x α 0 0 x α 1 1 x α x α 1 1 missä α = α 0, α 1, α, α 1 on multi-indeksi., 3.16 Lause 3..6 [6] Olkoon x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio ja α = α 1, α, α 1. Tällöin α x m+ α m + α x α 1 1 x α x α = α! m cα + βx β α, m β β =m Todistus. Derivoimalla kaavaan 3.13 avulla annettua monomia x m+1 kerran muuttujan i suhteen, saadaan x m+1 = m + 1 cαα i x α ɛ i. x i α α =m+1 Kun sijoitetaan β = α ɛ i, α = β + ɛ i ja α i = β i + 1, saadaan x m+1 = m + 1 cβ + ɛ i β i + 1x β x i β + ɛ i β =m = m m + 1 β β i + 1 cβ + ɛ iβ i + 1x β β =m m + 1 = 1! m cβ + ɛ i x β. 1 β β =m

31 31 Väite on tosi ensimmäiselle derivaatalle. Todistetaan tämän jälkeen induktioaskel. Induktio-oletuksena on tällöin α x m+ α m + α = α! m cα + βx β. x α α, m β β =m Induktio-oletus pätee jokaisella m, siis myös arvolla m+1. Tämä johtuu siitä, että induktio suoritetaan indeksin ɛ i suhteen. Tällöin α +1 x m+ α +1 = α x m+1+ α x α+ɛ i x i x α = m α m + 1 α! cα + βx β x i α, m + 1 β = m + α + 1 α, m + 1 α! β =m+1 β =m+1 m + 1 Kun sijoitetaan γ = β ɛ i, β = γ + ɛ i ja β i = γ i + 1, saadaan α +1 x m+ α +1 x α+ɛ i m + α + 1 = α! m + 1 α, m + 1 γ + ɛ i γ =m m + α + 1 α!αi + 1 = α, m m + 1α i + 1 γ =m m + α + 1 = α + ɛ i! m α + ɛ i, m γ γ =m β cα + γ + ɛ i γ i + 1x γ cα + ββ i x β ɛ i. m m + 1 γ γ i + 1 cα + ɛ i + γγ i + 1x γ cα + ɛ i + γx γ. Seuraus 3..7 Olkoon x = x 0 +x 1 e 1 + e +x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio ja α = α 1, α, α 1. Tällöin α x α = α!cα x α Todistus. Valitaan edellisessä lauseessa m = 0, mistä seuraa α x α α = α! 0 cαx β x α α, 0 β = α! α! α!cα = α!cα. β =0

32 3 Lopuksi todistetaan mielivaltaisen polynomin x k osittaisderivaatan kaava. Lause 3..8 Olkoon x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio ja α = α 1, α, α 1. Olkoon lisäksi k α. Tällöin α x k x α = α + β =k k cα + βx β β Todistus. Kun kaavaan 3.17 sijoitetaan m + α = k ja m = k α, joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin 0, niin α x k x = k k α α! cα + βx β α α, k α β = α + β =k = α + β =k β =k α k!α!k α! cα + βxβ α!k α!β! k cα + βx β. β

33 Luku 4 Monogeeniset funktiot Monogeeniset funktiot ovat eräs funktioluokka Cliordin algebra -arvoisten funktioiden joukossa. Monogeeniset funktiot ovat luonnollinen askel siirryttäessä korkeampaan dimensioon kompleksisesta funktioteoriasta. Tähän palataan esimerkin muodossa jäljempänä. Koska Cliordin algebra ei ole kommutatiivinen, on monogeenisia funktioita kahta laatua, sekä oikealta että vasemmalta monogeenisia. Monogeeniset funktiot määritellään Dirac-Fueterintai lyhyesti Diracin-operaattoreiden avulla. Kappale on koottu lähteistä [6] ja [9]. Määritelmä Diracin operaattorit Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko ja funktio f : Ω Cl 0,. Oletetaan, että funktiolla f on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat. Vasen Diracin operaattori määritellään asettamalla D l f = f f f + e 1 + e 4.1 x 0 x 1 ja oikea Diracin operaattori määritellään asettamalla D r f = f x 0 + f x 1 e 1 + f e. 4. Määritellään monogeeniset funktiot Diracin operaattorien avulla. Määritelmä Monogeeninen funktio Olkoon avaruuden R 3 avoin joukko. Olkoon f : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituva funktio. Funktio f on vasemmalta monogeeninen, jos ja f on oikealta monogeeninen, jos D l f = D r f =

34 34 Diracin operaattorien liitto-operaattorit määritellään asettamalla ja D l f = f x 0 e 1 f x 1 e f 4.5 D r f = f f e 1 f e. 4.6 x 0 x 1 Jatkossa, kun puhutaan Diracin operaattorista, tarkoitataan vasenta Diracin operaattoria. Lisäksi merkitään lyhyesti D := D l. Vastaavasti monogeenisella funktiolla tarkoitetaan vasemmalta monogeenista funktiota, ellei toisin mainita. Laplacen operaattori määritellään asettamalla = Diracin operaattorien avulla voidaan esittää korkeampiasteisia operaattoreita. Yksinkertaisin operaattori, joka voidaan hajottaa Diracin operaattorin avulla on Laplacen operaattori. Kattavampi esitys löytyy lähteestä [10]. Lemma Olkoon D Diracin operaattori ja D sen liitto-operaattori. Tällöin Laplacen operaattori saadaan = DD = DD. 4.8 Todistus. Lähdetään sieventämään, saadaan DD = e 1 e + e 1 + e x 0 x 1 x 0 x 1 = =. Vastaavasti saadaan = DD. Laplacen operaattorin avulla määritellään harmoniset funktiot. Määritelmä Harmoninen funktio Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon funktio f : Ω Cl 0, kahdesti jatkuvasti derivoituva. Jos sanotaan funktiota f harmoniseksi. f = 0, 4.9

35 35 Harmonisten ja monogeenisten funktioiden välillä on seuraava tärkeä yhteys. Lause Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon funktio H : Ω C harmoninen. Tällöin funktio on monogeeninen. f = DH 4.10 Todistus. Olkoon H : Ω C harmoninen funktio, eli H = 0. Olkoon f = DH. Kun operoidaan funktiota f vasemmalta Diracin operaattorilla D, saadaan Df = DDH = H = 0. Seuraavaksi pienennetään tutkittavaa funktiojoukkoa siirtymällä paravektoriarvoisiin funktioihin f : Ω R 3. Monogeenisille paravektoriarvoisille funktioille saadaan seuraava mielenkiintoinen tulos: monogeeniset paravektoriarvoiset funktiot toteuttavat niin sanotun M. Rieszin systeemin, mikä on Cauchy-Riemannin systeemin yleistys. Lause M. Rieszin systeemi [9] Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon f : Ω R 3. Funktio f = f 0 +f 1 e 1 +f e on monogeeninen, jos ja vain jos se toteuttaa M. Rieszin systeemin { f0 x 0 f 1 x 1 f f 1 = f x 1, = 0, f 0 x 1 = f 1 x 0, f 0 = f x

36 36 Todistus. Olkoon f : Ω R 3 funktio. Esitetään f muodossa f = f 0 + f 1 e 1 + f e. Suorana laskuna saadaan Df = + e 1 + e f 0 + f 1 e 1 + f e x 0 x 1 jos ja vain jos = f 0 x 0 + f 1 x 0 e 1 + f x 0 e + e 1 f 0 x 1 f 1 x 1 f f 0 f 1 + e 1 + e e 1 f x 1 f0 = f 1 f f1 + e 1 + f 0 x 0 x 1 x 0 x 1 f + e + f 0 f + e 1 f 1 x 0 x 1 =0, { f0 x 0 f 1 x 1 f f 1 = f x 1, = 0, f 0 x 1 = f 1 x 0, f 0 = f x 0. Yhtäpitävyys pätee edellä, koska Cliordin algebran Cl 0, kanta-alkiot ovat lineaarisesti riippumattomat. Esimerkki Cauchy-Riemannin systeemi Olkoon f : Ω C monogeeninen funktio. Funktio on tällöin muotoa f = f 0 + f 1 e 1. Tällöin M. Rieszin systeemi redusoituu muotoon { f0 x 0 = f 1 x 1, f 0 x 1 = f 1 x 0, joka on Cauchy-Riemannin systeemi. Kompleksifunktioiden teoriassa Cauchy- Riemannin systeemin toteuttavia funktioita kutsutaan analyyttisiksi. Seuraavassa esimerkissä osoitetaan, että potenssifunktiot x m eivät ole monogeenisia. Monogeenisia funktioita ei näin ollen voida ajatella kompleksianalyysin analyyttisten funktioiden yleistyksenä. Esimerkki Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko ja f : Ω Cl 0, funktio fx = x. Tällöin Df = 1 + e 1 + e = 1. Potenssifunktiot x m eivät ole monogeenisia.

37 Luku 5 Hyperboliset funktiot Tässä kappaleessa esitetään funktioteorian analyyttisten ja harmonisten funktioiden vastineet kolmiulotteisessa funktioteoriassa. Monogeenisia funktioita ei voitu samaistaa analyyttisen funktioiden kanssa, koska polynomeja ei olisi saatu mukaan teoriaan. On mietittävä miten teoriaa pitäisi muuttaa, jotta polynomit x m saataisiin kuulumaan johonkin selkeästi määrättyyn funktioluokkaan. Ratkaisu ongelmaan ei ole triviaali, ja lopultakin se on vain pitänyt keksiä. Ratkaisuna on metriikan vaihto. Siirrytään Riemannin metriikasta epäeuklidiseen hyperboliseen metriikkaan ds = d 0 + d 1 + d 5.1 ds = dx 0 + d 1 + d. 5. Taso = 0 kompleksitaso on singulaarinen, joten rajoitumme tarkastelemaan ainoastaan ylempää puoliavaruutta R 3 + = {x 0, x 1, R 3 > 0}. 5.3 Metriikan vaihto ja siitä seuraavat operaattorien muutokset sivuutetaan. Lähteessä [9] käsitellään operaattoreita ja metriikan vaihtoa täsmällisesti. Otetaan käyttöön P - ja Q-operaattorit, jotka selkeyttävät hyperbolisten funktioiden määrittelyä. Cliordin algebran Cl 0, mielivaltainen alkio x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 voidaan kirjoittaa muodossa x = z 0 + z 1 e, 37

38 38 missä z 0 ja z 1 ovat kompleksiluvut z 0 = x 0 + x 1 e 1 ja z 1 = + x 1 e 1. Määritellään operaattorit P : Cl 0, C ja Q : Cl 0, C asettamalla ja P x := z Qx := z 1, 5.5 kun x = z 0 + z 1 e. Kompleksilukujen tapauksessa operaattori P antaa reaaliosan ja operaattori Q imaginaariosan. Operaattoreita P ja Q voidaan ajatella reaaliosan ja imaginaariosan yleistyksenä. Operaattoreille saadaan jatkon kannalta tärkeitä laskukaavoja. Listataan näitä seuraavaan lemmaan. Lemma [6] Olkoot P ja Q edellä määriteltyjä operaattoreita ja olkoon x = z 0 + z 1 e Cl 0,. Tällöin 1 P x = P x, Q x = 0, 3 P Qx = Qx, 4 QP x = 0. Todistus. Olkoon alkio x = z 0 + z 1 e. Kohta 1 on voimassa, sillä Kohta on voimassa, sillä Kohta 3 on voimassa, sillä P x = P P x = P z 0 = z 0 = P x. Q x = QQx = Qz 1 = 0. P Qx = P z 1 = z 1 = Qx.

39 39 Kohta 4 on voimassa, sillä QP x = Qz 0 = 0. Operaattorit P ja Q ovat keskeisessä osassa kehitettäessä teoriaa eteenpäin. Tästä syystä tutkitaan seuraavaksi näiden operaattorien ominaisuuksia tarkemmin. Käytetään jatkossa lyhennysmerkintöjä P x := P x ja Q x := Qx. 5.6 Lemma [6] Jos a ja b kuuluvat Cliordin algebraan Cl 0,, niin tällöin P ab = P ap b QaQ b, 5.7 Qab = aqb + Qab. 5.8 Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Olkoot a = P a + Qae ja b = P b + Qbe. Kun sovelletaan kaavaa.17 saadaan ab = P a + Qae P b + Qbe = P ap b + Qae Qbe + P aqbe + Qae P b = P ap b QaQ b + P aqb + QaP be. Operoimalla tuloon operaattorilla P saamme tuloksen 5.7. Q-osa ei ole vielä aivan halutun näköinen. Qab = P aqb + QaP b = a Qae Qb + Qab Qbe = aqb QaQ be + Qab + QaQ be = aqb + Qab. Pääinvoluution ja operaattorien P sekä Q välille saadaan seuraava käytännöllinen tulos. Lemma [6] Jos a kuuluu Cliordin algebraan Cl 0,, niin 1 P a = P a,

40 40 Qa = Q a. Todistus. Olkoon a = P a + Qae. Kun sovelletaan Lemmaa..9, saadaan a = P a + Qae = P a + Q ae = P a Q ae. Todistetaan laskukaavat alkion P - ja Q-osille. Lemma [6] Olkoon a Cliordin algebran Cl 0, alkio. Tällöin a = P a + Qae, missä P a = ae + e a e 5.9 ja Qa = e a ae Todistus. Todistus seuraa ja täydentää lähteen [6] todistusta. Olkoot a = P a + Qae ja a = P a Q ae. Tällöin e a ae = e P a Q ae P a + Qae e = e P a e Q ae P ae + Qa = Qa, missä sovelletiin Lemmaa..9. Tästä saadaan P a = a Qae = a e a ae e = ae 1 e a e + 1 ae = 1 ae 1 e a e = ae e a e.

41 41 Lemma [7] Olkoon a Cliordin algebran Cl 0, alkio. Tällöin a = P a + Qae, missä P a = a + â 5.11 ja Todistus. Olkoon a Cl 0,. Tällöin Qa = â a e. 5.1 â = a 0 + a 1 e 1 a e a 1 e 1. Kun lasketaan alkio a ja â yhteen, saadaan a + â = a 0 + a 1 e 1 + a e + a 1 e 1 + a 0 + a 1 e 1 a e a 1 e 1 = a 0 + a 1 e = P a. Kun vähennetään â ja a toisistaan, saadaan â a = a 0 + a 1 e 1 a e a 1 e 1 a 0 + a 1 e 1 + a e + a 1 e 1 = a e + a 1 e 1. Kun kerrotaan vasemmalta alkiolla e, saadaan â ae = a + a 1 e 1 = Qa. Merkitään redusoitua Diracin operaattoria D 1 f := f x 0 + e 1 f x Cliordin algebra -arvoinen funktio f voidaan kirjoittaa P - ja Q-osien avulla muodossa f = P f + Qfe. Laajennetaan seuraavaksi Diracin operaattorin ominaisuuksia. Myös Diracin operaattorilla operoitu funktio voidaan jakaa P - ja Q-osiin, kuten seuraava lemma osoittaa.

42 4 Lemma 5.0. Olkoon Ω joukon R 3 avoin osajoukko ja olkoon f : Ω R 3 jatkuvasti derivoituva funktio. Tällöin ja P Df = D 1 P f Q f 5.14 QDf = D 1 Qf + P f Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Olkoon f = P f + Qfe funktio. Tällöin Df = DP f + DQfe P f = D 1 P f + e + D 1 Qfe + e Qf e = D 1 P f Q f + D 1 Qf + P f e, missä sovellettiin tulosta.17. Operoimalla tähän operaattoreilla P ja Q väite seuraa. Monogeenisille funktioille saadaan toisenlainen karakterisointi edellisen lemman seurauksena. Lause [6] Olkoon Ω joukon R 3 avoin osajoukko ja olkoon funkio f : Ω R 3 jatkuvasti derivoituva. Tällöin Df = 0, 5.16 jos ja vain jos { D 1 P f Q f = 0, D 1 Qf + P f = Todistus. Olkoon f : Ω R 3 ja Df = 0. Väite seuraa suoraan edellisen lemman nojalla. Olkoon f : Ω R 3 funktio, joka toteuttaa systeemin { D 1 P f Q f = 0, D 1 Qf + P f = 0. Kun sovelletaan tietoa e = 1, saadaan systeemi muotoon { D 1 P f + e Q f = 0, D 1 Qfe + P f e = 0.

43 43 Kun sovelletaan Lemmaa..9, saadaan systeemi muotoon { Qf D 1 P f + e e = 0, P f D 1 Qfe + e = 0. Kun lasketaan systeemin yhtälöt puolittain yhteen, saadaan Tämä sievenee muotoon mistä saadaan D 1 P f + Qfe + e P f + Qfe = 0. D 1 f + e f = 0, Df = Hyperholomorset funktiot Tarvittavat apukäsiteet ja aputulokset on määritelty ja todistettu. Nyt voidaan määritellä modioitu Diracin operaattori ja sen avulla hyperholomorset funktiot. Jäljempänä osoitetaan, että polynomit x m ovat hyperholomor- sia funktioita. Määritelmä Modioitu Diracin operaattori Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon f : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituva funktio. Modioitu Diracin operaattori määritellään kaavalla M k f = Df + k Q f, 5.18 missä D on Diracin operaattori ja k mielivaltainen kokonaisluku. Modioidun Diracin operaattorin liitto-operaattori määritellään puolestaan kaavalla M k f = Df k Q f Operaattorien summalle saadaan käyttökelpoinen tulos, kuten seuraava lemma osoittaa. Lemma 5.1. Olkoon M k modioitu Diracin operaattori ja M k sen liittooperaatori. Tällöin M k f + M k f = Df + Df = f x

44 44 Todistus. Soveltamalla modioidun Diracin operaattorin ja sen liitto-operaattorin määritelmiä, saadaan M k f + M k f = Df + k Q f + Df k Q f = f x 0 + e 1 f x 1 + e f + f x 0 e 1 f x 1 e f = f x 0. Modioidun Diracin operaattorin avulla määritellään k-hyperholomorset funktiot, jotka ovat analogisia funktioteorian analyyttisten funktioiden kanssa. Määritelmä Hyperholomornen funktio Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon f : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituva funktio. Funktio f on k-hyperholomornen, jos M k f = Osoitetaan, että k-hyperholomorsille funktioille saadaan myös toinen karakterisointi. Lause [6] Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukkoa. Olkoon f : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituva funktio. Funktio f on k-hyperholomornen, jos ja vain jos { D 1 P f Q f + k Q f = 0, D 1 Qf + P f 5. = 0. Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Olkoon f : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituva funktio. Oletetaan, että M k f = 0. Kun operoidaan tähän P - operaatorilla, saadaan P M k f = 0. Kun sovelletaan tähän Lemmaa 5.0., saadaan P Df + k P Q f = 0 D 1 P f Q f + k Q f = 0,

45 45 joka on sama kuin yhtälöparin ensimmäinen yhtälö. Kun operoidaan yhtälöön M k f = 0 operaattorilla Q, saadaan QM k f = 0 QDf + k QQ f = 0. }{{} =0 Kun soveltetaan Lemmaa 5.0., saadaan D 1 Qf + P f = 0, joka sama kuin yhtälöparin toinen yhtälö. Oletetaan, että { D 1 P f Q f + k Q f = 0, D 1 Qf + P f = 0. Soveltamalla Lemmaa..9, saadaan laskukaava Q f = e Q f = e Qf e. Tehdään seuraavaksi oletuksen yhtälöparille seuraavat asiat. Kerrotaan sen toista yhtälöä vaselta alkiolla ja oikealta alkiolla e. Kerrotaan sen ensimmäistä yhtälöä alkiolla, sovelletaan yllä olevaa laskukaavaa ja käytetään Lemmaa..9. Tällöin yhtälöpari saadaan muotoon { Qf D 1 P f + e e + kq f = 0, P f D 1 Qfe + e = 0. Kun lasketaan yhtälöt puolittain yhteen, saadaan D 1 P f + D 1 Qfe + e P f + e Qf e + kq f = 0. Kun yhdistetään yhtälössä termejä, saadaan D 1 P f + Qfe + e P f + Qfe + k Q f = 0. Kun sijoitetaan P f + Qfe = f, saadaan D 1 f + e f + k Q f = 0

46 46 eli Df + k Q f = 0. Tämä on sama kuin modioidun Diracin operaattorin määritelmä, joten saadaan M k f = 0. Paravektoriarvoiset k-hyperholomorset funktiot muodostavat tärkeän funktioluokan. Jäljempänä osoitetaan konkreettiset yhtälöt, jotka nämä toteuttavat. Näitä funktioita kutsutaan H k -ratkaisuiksi. Määritelmä H k -ratkaisu Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon f : Ω R 3 paravektoriarvoinen k-hyperholomornen funktio. Tällöin funktio f on H k -ratkaisu. Lemma [6] Cliordin algebran Cl 0, alkio x on paravektori, jos ja vain jos e i xe i = x, 5.3 missä e 0 = 1. Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Olkoon x Cl 0,. Oletetaan, että x on paravektori. Tällöin Laskemalla summa saadaan i=0 x = x 0 + x 1 e 1 + e. e i xe i = e 0 xe 0 + e 1 xe 1 + e xe i=0 = x 0 + x 1 e 1 + e = x. Oletetaan, että on tosi. Tällöin e i xe i = x i=0 x + e 1 xe 1 + e xe = x.

47 47 Kun sijoitetaan yllä olevaan x = x 0 x 1 e 1 e + x 1 e 1, saadaan x = x e 1 xe 1 e xe = x 0 x 1 e 1 e + x 1 e 1 + e 1 + e x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 e 1 + e =x 0 + x 1 e 1 + e. Lause [6] Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Oletetaan, että funktio f : Ω Cl 0, on 1-hyperholomornen ja x R 3. Tulo fxx on 1-hyperholomornen, jos ja vain jos f on H 1 -ratkaisu. Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Oletetaan, että funktio f : Ω Cl 0, on 1-hyperholomornen ja x R 3. Oletetaan, että tulo fxx on 1-hyperholomornen. Tällöin M 1 fxx = 0. Pitää osoittaa, että f on paravektoriarvoinen. Todistamiseen tarvitaan kaavaa Q fx = Q fx + f = Q f x + f. Modioidun Diracin operaattorin määritelmän mukaan 0 = M 1 fx = Dfx + Q fx. Kun sovelletaan edellä johdettua kaavaa ja tulon derivaatan kaavaa, saadaan 0 = Dfx + fdx + Q f x + f = Dfx + f = M 1 fx + i=0 e i e i + Q f x + f e i fe i + f. i=0 Koska fxx on oletuksen mukaan 1-hyperholomornen ja koska f on 1- hyperholomornen, niin M 1 fx = 0. Edellinen yhtälö tulee muotoon e i fe i = f. i=0

48 48 Edellisen lemman mukaan funktio f on tällöin paravektori. Oletetaan, että f on H 1 -ratkaisu. Tällöin määritelmän nojalla M 1 f = 0. Kun operoidaan tuloon f x modioidulla Diracin operaattorilla, saadaan M 1 fx = Dfx + Q fx = Dfx + Q f x + f + e i fe i i=0 = Df + Q f x + f f x }{{ } =0 = Edellisen lauseen todistuksesta saadaan seuraava kaava 1-hyperholomorsille paravektoriarvoisille funktioille f ja alkiolle x, joka muotoa M 1 fx = M 1 fx. 5.5 Lause [6] Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Oletetaan, että funktio F : Ω Cl 0, on 1-hyperholomornen. Funktio fx = F xx 1 on 1-hyperholomornen joukossa Ω\{0}, jos ja vain jos fx on paravektoriarvoinen. Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Oletetaan, että funktio F : Ω Cl 0, on 1-hyperholomornen ja että fx = F xx 1 on 1-hyperholomornen. Koska fxx = F xx 1 x = F xx 1 x = F x ja fxx on 1-hyperholomornen, niin lauseen nojalla fx on H 1 - ratkaisu ja näin ollen paravektoriarvoinen. Olkoon fx paravektoriarvoinen. Jos F x = fxx, niin 0 = M 1 F x = M 1 fxx }{{} 5.5 = M 1 fxx,

Excursio Cliordin analyysiin. 13. helmikuuta 2006

Excursio Cliordin analyysiin. 13. helmikuuta 2006 Excursio Cliordin analyysiin 13. helmikuuta 2006 1 Sisältö 1 Cliordin algebra 3 2 Monogeeniset funktiot 5 3 Cauchyn integraalikaava monogeenisille funktioille 9 2 1 Cliordin algebra Tutustutaan tässä kappaleessa

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

2. Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme

2. Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme . Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme William Kingdon Cliord (1845-1879) esitteli geometrisen algebransa 1800- luvulla. Cliord yhdisti sisä- ja ulkotulot yhdeksi tuloksi, geometriseksi tuloksi.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

1 Cli ordin algebra. Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n :

1 Cli ordin algebra. Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n : 1 Cli ordin algebra Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n : Joukossa R voidaan määritellä summa ja tulo. Myöskin

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Paulin spinorit ja spinorioperaattorit

Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin

Lisätiedot

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella. Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

Diracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on I 0. 0 i 1 0

Diracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on I 0. 0 i 1 0 Diracin spinorit. Määritelmiä Diracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on γ µ (i µ ea µ ψ = mψ, ψ C 4, missä matriisit γ µ ovat ( γ = γ = I I, γ k = γ k = ( σ k σ k missä edelleen I on 2

Lisätiedot

Jatkoa lineaarialgebrasta

Jatkoa lineaarialgebrasta Jatkoa lineaarialgebrasta 16. tammikuuta 2006 Sisältö 1 Singulaariarvohajotelma 1 2 Tensorit ja lineaarikuvausten komponentit 2 2.1 Karteesiset tensorit........................ 3 2.2 Determinantti, osa

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Alkulukujen harmoninen sarja

Alkulukujen harmoninen sarja Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 3. Kompleksinen derivointi 3.1. Määritelmä. Olkoon G kompleksitason C epätyjä osajoukko. Olkoon z 0 joukon G sisäpiste. Funktio f : G C on kompleksisesti

Lisätiedot

Jatko-opintoseminaari Potenssit ja Möbius kuvaukset Cliffordin algebroissa. Petteri Laakkonen

Jatko-opintoseminaari Potenssit ja Möbius kuvaukset Cliffordin algebroissa. Petteri Laakkonen Jatko-opintoseminaari 2009-2010 Potenssit ja Möbius kuvaukset Cliffordin algebroissa Petteri Laakkonen 3.2.2010 Luku 6 Potenssit ja Möbius kuvaukset Tämä teksti noudattaa kirjan [1] luvun 6 tekstiä. Lauseiden,

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Toispuoleiset raja-arvot

Toispuoleiset raja-arvot Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006 Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Kanta ja Kannan-vaihto

Kanta ja Kannan-vaihto ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ;

1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ; MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 11 7.1.009 alkavalle viikolle Ratkaisut (AK) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan tärkeiden transkendenttifunktioiden

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

1 Tensoriavaruuksista..

1 Tensoriavaruuksista.. 1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Epäeuklidista geometriaa

Epäeuklidista geometriaa Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot