Jatko-opintoseminaari Potenssit ja Möbius kuvaukset Cliffordin algebroissa. Petteri Laakkonen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Jatko-opintoseminaari Potenssit ja Möbius kuvaukset Cliffordin algebroissa. Petteri Laakkonen"

Transkriptio

1 Jatko-opintoseminaari Potenssit ja Möbius kuvaukset Cliffordin algebroissa Petteri Laakkonen

2 Luku 6 Potenssit ja Möbius kuvaukset Tämä teksti noudattaa kirjan [1] luvun 6 tekstiä. Lauseiden, määritelmien ja esimerkkien numerointi on sama kuin kirjassa. Käymme läpi lähinnä korkeampi ulotteisiin Cliffordin algebroihin liittyvän teorian ja käytämme kompleksilukujen teoriaa lähinnä johdatuksena teoriaan. Kirjan kuudennen luvun ulkopuolelta otetut määritelmät ja tulokset on numeroitu roomalaisin kirjaimin. 6.0 Kertausta Olkoon f : R n+1 G Cl (n) sellainen, että f C 1 (G). Muuttuja x R n+1 kirjoitetaan muotoon x = x 0 + x 1 e x n e n. Operaattori määritellään asettamalla := k e k k=0 ja konjugaattioperaattori määritellään asettamalla := 0 σ k e k. k=1 Fueter-muuttujat määritellään asettamalla z k := 1 2 (e kx + xe k ) = x k x 0 e k, k = 1,..., n. Määritelmä I. Funktio f on oikealta (vasemmalta) holomorfinen, mikäli Cauchy- Riemann yhtälö f = 0 ( f = 0) on voimassa. 1

3 Kaivetaan vielä esiin pari jatkossa tarpeellista tulosta, eli kirjan Lauseet 3.14 ja Lause II. Tarkastellaan Cliffordin algebroja Cl (n), n = 0, 1,.... i) Jokaisella n löytyy sellainen vakio K n 2 n/2, että xy K n x y. ii) Jos y toteuttaa ehdon yȳ = y 2, niin xy = yx = x y. Määritelmä III. Cliffordin ryhmä Γ n+1 on kaikkien joukon R n+1 äärellisten nollasta eroavien paravektorien tulo. Lause IV. Kaikki rotaatiot joukossa R n+1 voidaan esittää muodossa missä u Γ n+1. f(x) = uxû (= uxũ 1 ), 6.1 Potenssit Potenssit joukossa C Kompleksilukujen joukossa potenssi funktio voidaan derivoida normaaliin tapaan dz k dz = kzk 1 ja derivoituvuudesta seuraa holomorfisuus. Edelleen kaikki polynomit ovat holomorfisia Potenssit korkeamissa dimensioissa Kuten jo aiemmin on todettu joukossa Cl (n) x = x = 1 n 0, 2

4 eli edes polynomi x ei ole holomorfinen. Fueter-muuttujille z k on voimassa z k = z k = 0, mutta jo (z k z l ) = 2x 0 e k e l, kun k l. Fueter ratkaisi ongelman käyttämällä tietyllä tapaa symmetrisiä tuloja ja löysi näin holomorfisia polynomeja. Seuraavaksi esittelemme nämä polynomit. Kaikkien joukon {1, 2,..., k} permutaatioiden joukkoa merkitään perm(k). Määritelmä 6.1. Olkoon x R n+1. i) Multi-indeksi on vektori k = (k 1, k 2,..., k n ), missä k i Z. Jos k i, niin multi-indeksin aste on k := k := k i. Lisäksi käytämme merkintää k! := n k i!. ii) Jos k sisältää yhdenkin negatiivisen elementin, niin merkitsemme P k (x) = 0 ja jos k = (0,..., 0) = 0, niin merkitsemme P 0 (x) = 1. iii) Olkoon k > 0. Tarkastellaan indeksimonijoukkoa {j 1,..., j k }, missä on k 1 kappaletta alkioita 1, k 2 kappaletta alkiota 2 ja niin edelleen. Lisäksi oletetaan, että indeksit ovat kasvavassa järjestyksessä, eli j 1 j 2 j k. Olkoon σ perm(k). Merkitään z k := k z ji = z k 1 1 z k 2 2 z kn n ja σ(z k ) := Fueter-polynomit määritellään asettamalla: P k (x) := 1 k! σ perm(k) σ(z k ). k z jσ(i). Seuraavaksi huomataan, että Fueter-polynomeilla on tiettyjä kommutatiivisuusominaisuuksia, joiden ansiosta ne ovat holomorfisia. Lause 6.2. Merkitään ɛ i := (0,..., 0, 1, 0,..., 0), missä 1 on i. alkio. 3

5 i) kp k (x) = mistä seuraa, että k i P k ɛi (x) z i = k i z i P k ɛi (x), k i P k ɛi (x) e i = k i e i P k ɛi (x). ii) Kaikilla i = 1,..., n j P k (x) = k j P k ɛi (x). iii) Yhtälöt 0 P k (x) = k i e i P k ɛi (x) = e i j P k (x) ja P k (x) 0 = k i P k ɛi (x) e i = j P k (x) e i ovat voimassa ja niistä seuraa holomorfisuus, eli P k (x) = P k (x) = 0. Todistus: i) Osoitetaan aluksi kp k (x) = n k i P k ɛi (x) z i. Tarkastellaan niitä permutaatioita, joilla σ(n) = i, eli σ(z k ) = ( n 1 ) z jσ(i) Kun σ käy läpi kaikki permutaatiot, joilla yllä oleva ehto toteutuu, niin ylläolevan yhtälön oikeanpuolen tulo käy läpi kaikki mahdolliset multi-indeksin (k 1,..., k i 1, k i 1, k i+1,..., k n ) = k ɛ i määräämät tulot k i kertaa. Täten on osoitettu, että 1 kp k (x) = (k 1)! = k i P k ɛi (x) z i. 4 z i. σ perm(k) σ(n)=i σ(z k )

6 Vastaavasti tarkastelemalla ehtoa σ(1) = i voidaan osoittaa, että kp k (x) = n k i z i P k ɛi (x). Saadut yhtälöt voidaan kirjoittaa auki sijoittamalla z i = x i x 0 e i, jolloin k i P k ɛi (x) x i k i P k ɛi (x) x 0 e i = x i k i P k ɛi (x) x 0 e i k i P k ɛi (x), mistä reaaliosan kommutatiivisuutta käyttäen ja puolittain supistaen termi x 0 saadaan k i P k ɛi (x) e i = k i e i P k ɛi (x). ii) Väite osoitetaan induktiolla k:n suhteen. Väite on triviaalisti voimassa, jos k = 0. Oletetaan, että kohdan ii) yhtälö on voimassa arvolla k 1. Käyttäen kohdan i) tulosta saadaan k j P k (x) = k i j (P k ɛi (x) z i ) = k i k j P k ɛi ɛ j (x) z i + k i P k ɛi (x) j z i = (k 1)k j P k ɛj (x) + k j P k ɛj (x) = kk j P k ɛj (x), mistä väite seuraa jakamalla reaalisella termillä k. iii) Väite osoitetaan induktiolla k:n suhteen. Väite on triviaalisti voimassa, jos k = 0. Oletetaan, että kohdan iii) ensimmäinen yhtälö on voimassa arvolla k 1, jolloin k 0 P k (x) = k i ( 0P k ɛi (x))z i k i P k ɛi (x) 0 z i = k i k j e j P k ɛi ɛ j (x) z i k i P k ɛi (x) e i i,j=1 = (k 1) k j e j P k ɛj (x) k i e i P k ɛi (x) j=1 = k k i e i P k ɛi (x) = k i P k (x) e i. 5

7 Vastaavasti saadaan tulos oikean puoleiselle derivaatalle. Suorat laskut osoittavat holomorfisuustulokset. Seuraus 6.3. Fueter-plynomit ovat oikealta ja vasemmalta lineaarisesti riippumattomia. ( ) Huomautus 6.4. Polynomeja P x k x, missä k = k, kutsutaan astetta k oleviksi pallopolynomeiksi yksikköpallolla S n. Seuraus 6.5. Fueter-polynomeilla on voimassa arvio P k (x) i = 1 n z i k i = z k x k. Todistus: Fueter-muuttujilla on voimassa ominaisuus z j z j = (x j x 0 e j )(x j + x 0 e j ) = x x 2 j = z j 2, joten Lauseen II nojalla k σ(z k ) = z jσ(i) i = 1 n z i k i. Koska permutaatioita σ on k! kappaletta, niin saadaan P k (x) i = 1 n z i k i. Koska z j = x x 2 j x j = x, j=0 niin i = 1 n z i k i x k. Esimerkki 6.6. a) Astetta 1 olevat Fueter-polynomit ovat P ɛj (x) = z j, j = 1,..., n. 6

8 b) Astetta 2 olevat Fueter-polynomit ovat P 2ɛj (x) = z 2 j ja P ɛj +ɛ i (x) = 1 2 (z jz i + z i z j ). c) Astetta 3 olevat Fueter-polynomit ovat jotain seuraavista muodoista. P 3ɛj (x) = z 3 j, P 2ɛj +ɛ i (x) = 1 3 (z2 j z i + z j z i z j + z i z 2 j ) tai P ɛj +ɛ i +ɛ l (x) 1 6 (z jz i z l + z j z l z i + z i z j z l + z i z l z j + z l z j z i + z l z i z j ). 6.2 Möbius kuvaukset Möbius kuvaukset joukossa C Määritelmä 6.8. Kuvausta f : Ĉ Ĉ f(z) = az + b cz + d, missä ad bc 0, kutsutaan Möbius-kuvaukseksi ja siihen liitetään Vahlenmatriisi [ ] a b. c d Möbius kuvaus on bijektio joukossa Ĉ ja se on holomorfinen (paitsi pisteessä z = d). Jos c 0, niin se kuvaa pisteen z = d pisteeksi w = ja pisteen c c z = pisteeksi w = a. Oletetaan edelleen, että c 0. Tällöin c f(z) = a c ad bc 1 c 2 z + d, c eli Möbius-kuvaus on yhdiste siirrosta, kierrosta, venytyksestä ja kuvauksesta 1 z. Jokaisella kyseisistä funktioista on yhteisenä ominaisuutena, että ne kuvaavat suorat ja ympyrät vastaaviksi geometrisiksi objekteiksi. Siis seuraava lause on voimassa: 7

9 Lause 6.9. Möbius-kuvaus kuvaa z-tason ympyrät ja suorat ympyröiksi ja suoriksi w-tasossa. Tämä lause antaa syyn puhua ympyröistä ja suorista yleistettyinä ympyröinä, jolloin siis Möbius-kuvaus kuvaa ympyrät ympyröiksi yleistetyssä mielessä. Seuraava lause saadaan suoraan helpolla laskulla. Lause Möbius-kuvaukset muodostavat ryhmän kuvausten yhdisteen suhteen Möbius kuvaukset korkeammissa dimensioissa Tarkastellaan Möbius-kuvauksia avaruudessa R n+1, eli tutkimme tilannetta Cliffordin algebrassa Cl (n). Ensiksi tarkastelemme yleistettyjen pallojen esitystä. Olkoon c reaaliluku ja B paravektori. Yhtälö joka voidaan kirjoittaa muodossa x B = c, x B + B x = 2c =: C, määrittää tasot n-dimensionaalisessa tasossa R n+1. B keskisen ja r-säteisen Pallon samassa avaruudessa määrittelee yhtälö (x + B)( x + B) = r 2, joka voidaan puolestaan kirjoittaa muotoon x x + x B + B x = r 2 B 2 =: C. Kutsumme pallojen ja tasojen muodostamaa geometristen objektien joukkoa yleistetyiksi palloiksi (tai palloiksi yleistetyssä mielessä), joten seuraava lause on voimassa. Lause n-dimensionaaliset yleistetyt pallot joukossa R n+1 voidaan kirjoittaa muodossa Ax x + x B + B x + C = 0, missä A ja C ovat reaalilukuja ja B paravektori, jotka toteuttavat ehdon B 2 AC > 0. 8

10 Olkoon x = x + a, jolloin Ax x + x B + B x + C = Ax x + (x B + B x) + x(aa + (Aa) x) + Aaā + (a B + Bā) + C }{{}}{{} =x B +B ā =C R ja B 2 AC = B + Aa 2 A(Aaā + a (B) + Bā + C) = B 2 AC = 0. Siis siirto sailyttää pallot palloina ja suorat suorina. Vastaavanlaisilla laskuilla voidaan todeta, että venytys x = axb, kierto ja peilaus yksikköpallon suhteen x = uxû, u Γ n+1, x = 1 x sailyttävät pallot palloina yleistetyssä mielessä. Lause Siirrot, kierrot, venytykset ja peilaus yksikköpallon suhteen säilyttävät pallot yleistetyssä mielessä. Määritelmä Olkoot a, b, c, d Γ n+1 := Γ n+1 {0} sellaisia alkioita, jotka toteuttavat ehdot 1) H := a ˆd bĉ R 0 := R \ {0} (H := ˆda ĉb R 0 ), 2) jos c 0, niin ac 1, c 1 d R n+1 (c 1 a, dc 1 R n+1 ), 3) jos c = 0, niin bd 1 R n+1 (d 1 d R n+1 ). Kuvauksen f, joka määritellään kaavalla f(x) = (ax + b)(cx + d) 1 ( f(x) = (xc + d) 1 (xa + b) ), missä x R n+1, jatkuvaa laajennusta joukkoon ˆR n+1 (respect to chordal metric) kutsutaan vasemman (oikean) puoleiseksi Möbius-kuvauksen esitykseksi. Lause i) Möbius-kuvaus f : ˆRn+1 ˆR n+1 on bijektio ja säilyttää yleistetyt pallot. 9

11 ii) Möbius-kuvauksilla on sekä vasemman, että oikeanpuoleiset esitykset. iii) Möbius-kuvaukset muodostavat ryhmän ( Möbius-ryhmän). Todistus: i) Osoitetaan väite vasemmanpuoleisille esityksille. Oikeanpuoleisten esitysten tapaus saadaan vastaavasti. Olkoon c 0, jolloin f(x) = (ax + b)(cx + d) 1 = (a(x + c 1 d) + b ac 1 d)(x + c 1 d) 1 c 1 = ac 1 + (b ac 1 d)(x + c 1 d) 1 c 1. Kun määritellään kuvaukset f 1 (x) = x + c 1 d, f 2 (x) = 1 x, f 3(x) = (b ac 1 d)xc 1 ja f 4 (x) = ac 1 + x, niin f = f 4 f 3 f 2 f 1. Kuvauksista f 1 ja f 4 ovat siirtoja (c 1 d, ac 1 R n+1 ) ja f 2 on peilaus yksikköpallon suhteen, joten ne ovat bijektiivisiä kuvauksia laajennetussa avaruudessa ja säilyttävät pallot yleistetyssä mielessä. Siis jos f 3 on bijektio, joka säilyttää pallot yleistetyssä mielessä, niin väite on todistettu. Tarkastellaan kuvausta f 3. Koska c 1 d R n+1, niin c 1 d = c 1 d = dĉ 1 ja Funktio f 3 voidaan kirjoittaa muodossa b ac 1 d = b a dĉ 1 = (bĉ a d) ĉ 1. }{{} = H R 0 f 3 (x) = λĉ 1 xc 1, missä λ 0. Täten f 3 on rotaation (Lause IV) ja venytyksen yhdisteenä bijektio, joka säilyttää pallot yleistetyssä mielessä. Oletetaan seuraavaksi, että c = 0, jolloin f(x) = axd 1 + bd 1. Koska H = a d R 0, niin on oltava a = λ ˆd 1, missä λ 0. Siis f on rotaation, venytyksen ja siirron yhdisteenä bijektio, joka säilyttää pallot yleistetyssä mielessä. ii) Tyydytään taas osoittamaan, että vasemman puoleisesta esityksestä saadaan oikean puoleinen esitys ja todetaan, että toinen suunta saadaan osoitettua vastaavilla laskuilla. Kun c = 0 (oletusten nojalla a 0), niin f(x) = axd 1 + bd 1 = (a 1 ) 1 (xd 1 + a 1 bd 1 ) = (xc r + d r ) 1 (xa r + b r ), missä a r = d 1, b r = a 1 bd 1, c r = 0 ja d r = a 1. 10

12 Kun c 0, niin f(x) = ac 1 + (b ac 1 d)(x + c 1 d) 1 c 1 = ac 1 c 1 (cac 1 d cb) (x + c 1 d) 1 c 1 }{{} =H 0 = ac 1 ( (x + c 1 d)h 1 c ) 1 c 1 = (xh 1 c + c 1 dh 1 c) 1 (xh 1 cac 1 + c 1 dh 1 cac 1 c 1 ) = (xc r + d r ) 1 (xa r + b r ), missä a r = H 1 cac 1, b r = c 1 dh 1 cac 1 c 1, c r = H 1 c ja d r = c 1 dh 1 c. Koska Möbius-kuvaus ei ole vakio funktio, niin välttämättä Möbius-kuvauksen vakioita a, b, c ja d koskevat ehdot ovat voimassa uusilla vakioilla a r, b r, c r ja d r. iii) Kahden Möbius-kuvauksen yhdiste on Möbius-kuvaus, sillä (a (ax + b)(cx + d) 1 + b )(c (ax + b)(cx + d) 1 + d ) 1 = ((a a + b c)x + (a b + b d))((c a + d c)x + (c d + d d)) 1, eli Möbius-kuvausten joukko on suljettu kuvausten yhdisteen suhteen. Vaihdannaisuus on voimassa suoraan yhdistettyjen kuvausten ominaisuuksien perusteella ja neutraali-alkio on luonnollisesti identtinen kuvaus (a = d = 1, b = c = 0). Möbius-kuvauksen käänteiskuvaus on f 1 (x) = (xc a) 1 ( xd + b), joka on myös Möbius-kuvaus. Seuraava apulause on kirjan tehtävä Apulause V. Jos x Cl (n) on paravektori, niin n j=0 e j xe j = (n 1) x. Todistus: Kirjoitetaan x = n i=0 x i e i. Nyt e 0 xe 0 = x ja kun j > 0, niin e j xe j = x i e j e i e j = x 0 x j e j + x i e i. i=0 i j 11

13 Edelleen e j xe j = x + ( x 0) x j e j + x i e i j=0 j=1 i j = x (n 1)x 0 x 0 = (n 1) x. x j e j + } j=1 {{ } = x j=1 x i e i i j Lause Tarkastellaan Möbius-kuvausta f(x) = (ax+b)(cx+d) 1 ja olkoon h R n+1, sekä c r ja d r kuten edellisen lauseen todistuksessa. i) f (x)[h] = (xc r + d r ) 1 h(cx + d) 1, ii) ( f)(x) = (n 1)(xc r + d r ) 1 (cx + d) 1, iii) (f (d))(x) = (n 1)(xc r + d r ) 1 (cx + d) 1. Todistus: i) Suoraan laskemalla saadaan Möbius-kuvaukselle kaava (tapauksessa c = 0, myös c r = 0 mikä yksinkertaistaa laskuja) f(x) f(y) = (ax + b)(cx + d) 1 (yc r + d r ) 1 (ya r + b r ) = (yc r + d r ) 1 ((yc r + d r )(ax + b) (ya r + b r )(cx + d)) (cx + d) 1 = (yc r + d r ) 1 y (c r a ac) x + y (c r b a r d) + (d r a b r c) x + (d r b b r d) (cx + d) 1 }{{}}{{}}{{}}{{} =0 = 1 =1 =0 = (yc r + d r ) 1 (x y) (cx + d) 1. Siis kun f on kuten yllä ja g(x) = (cx +d) 1, jotka ovat Möbius-kuvauksia, niin yllä oleva kaava antaa g(x + h) = g(x) + (xc + d ) 1 h(c(x + h) + d) 1 = (cx + d) 1 + h O(1) ja f(x + h) f(x) = (yc r + d r ) 1 h(c(x + h) + d) 1. 12

14 Yhdistämällä saadut tulokset voidaan todeta, että f(x + h) = f(x) + (yc r + d r ) 1 h(cx + d) 1 + h 2 O(1), mikä osoittaa väitteen. ii) Koska i f(x) = f (x)[e i ] = (xc r + d r ) 1 e i (cx + d) 1, niin ( f)(x) = e i (xc r + d r ) 1 e i (cx + d) 1 i=0 = (n 1)(xc r + d r ) 1 (cx + d) 1, missä viimeinen yhtälö seuraa Apulauseesta V. iii) Osoitetaan vastaavasti kuin kohta ii) 13

15 Kirjallisuutta [1] Gürlebeck, Klaus, Klaus Habetha ja Wolfgang Sprößig: Holomorphic Functions in the Plane and n-dimensional Space. Birkhäuser, Basel,

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Toispuoleiset raja-arvot

Toispuoleiset raja-arvot Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014

Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Möbius-kuvauksista 13. Konformikuvauksista 13.1. Johdantoa. Seuraavassa α ja β ovat annettuja kompleksilukuja ja k ja t 0 ovat reaalisia vakioita.

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Käänteismatriisi 1 / 14

Käänteismatriisi 1 / 14 1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 BCH-, RS- ja Goppa-koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 15 5.1 BCH-koodien määrittely Olkoon jälleen F = F q, syt(n,

Lisätiedot

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0). Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006 Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset

Lisätiedot

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1) HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

Kanta ja Kannan-vaihto

Kanta ja Kannan-vaihto ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V

Lisätiedot

Kanta ja dimensio 1 / 23

Kanta ja dimensio 1 / 23 1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot

1 Cli ordin algebra. Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n :

1 Cli ordin algebra. Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n : 1 Cli ordin algebra Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n : Joukossa R voidaan määritellä summa ja tulo. Myöskin

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..

Lisätiedot

Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:

Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot: Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot