KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA

Transkriptio

1 KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA X = S = s = Otossuureita X i tai x = x i (otoskeskiarvo) (X i X) = (x i x) = Xi x i E(X) =µ, var(x) = σ X x tai, E(S )=σ (otosvariassi) Normaalijakautuee populaatio otossuureet V = Z = X µ σ/ N(0, ) T = X µ S/ t vapausasteella ( )S σ = (X i X) Z = (X X ) (µ µ ) σ / + σ / N(0, ) σ χ vapausasteella T = (X X ) (µ µ ) S p / +/ t vapausastei +, missä S p = ( )S +( )S + olettae, että σ = σ W = (X X ) (µ µ ) (a + a ) t vapausastei S / + S/ a /( ) + a /( ), missä a = s ja a = s (Welch Satterthwaite-approksimaatio) F = S /σ F vapausastei S/σ ja i Piste-estimoiti Parametri θ Estimaatti ˆθ Estimaattori ˆΘ µ ˆµ = x X σ σ = s S m ˆm = q(0.5) Q(0.5) Odotusarvo väliestimoiti Z = X µ σ/ : x ± z σ α/ T = X µ S/ : x ± t s α/ (vapausastei ) Z = (X X ) (µ µ ) σ : (x x ) ± z α/ + σ σ / + σ/ T = (X X ) (µ µ ) : (x x ) ± t α/ s p + S p / +/ (vapausastei + ) W = (X X ) (µ µ ) s : (x x ) ± t α/ + s (Welch Satterthwaite) S / + S/ (vapausastei = V = (a + a ) a /( ) + a /( ), missä a = s ja a = s ) Suhdeluvu estimoiti biomijakaumalle ( ) P(X = x) = p x ( p) x x E(X) = p, var(x) = p( p) i=x F = S /σ : S/σ ( ) ˆp i i L( ˆp L ) i = α ( )S σ : ˆp = x x, i=0 Variassi väliestimoiti s s f,α/ ( )s h,α/ ja s s ja ( ) ˆp i i U( ˆp U ) i = α ( )s h,α/ (vapausastei ) f,α/ (vapausastei ja ) ii

2 Odotusarvoje testaus z = x µ 0 σ/ ja H 0 : µ = µ 0 : µ>µ 0 z z α Φ(z) µ<µ 0 z z α Φ(z) µ µ 0 z z α/ mi ( Φ(z), Φ(z) ) Φ o stadardiormaali jakauma kertymäfuktio. t = x µ 0 s/ ja H 0 : µ = µ 0 : µ>µ 0 t t α F (t) µ<µ 0 t t α F (t) µ µ 0 t t α/ mi ( F (t), F (t) ) F o t-jakauma kertymäfuktio vapausasteella. v = Variassie testaus ( )s σ 0 ja H 0 : σ = σ 0 : σ > σ0 v h,α F (v) σ < σ0 v h,α F (v) σ σ0 v h,α/ tai v h,α/ mi ( F (v), F (v) ) F o χ -jakauma kertymäfuktio vapausasteella. f = k s s ja H 0 : σ = kσ : σ >kσ f f,α G(f) σ <kσ f f,α G(f) σ kσ f f,α/ tai f f,α/ mi ( G(f), G(f) ) G o F-jakauma kertymäfuktio vapausastei ja. z = x x d 0 ja H 0 : µ µ = d 0 : σ / + σ/ µ µ >d 0 z z α Φ(z) µ µ <d 0 z z α Φ(z) µ µ d 0 z z α/ mi ( Φ(z), Φ(z) ) Φ o stadardiormaali jakauma kertymäfuktio. t = x x d 0, missä s p = ( )s +( )s, ja H 0 : µ µ = d 0 : s p / +/ + µ µ >d 0 t t α F (t) µ µ <d 0 t t α F (t) µ µ d 0 t t α/ mi ( F (t), F (t) ) F o t-jakauma kertymäfuktio vapausastei +. t = x x d 0 ja H 0 : µ µ = d 0 (Welch Satterthwaite) : s / + s / µ µ >d 0 t t α F (t) µ µ <d 0 t t α F (t) µ µ d 0 t t α/ mi ( F (t), F (t) ) F o approksimatiivisesti t-jakauma kertymäfuktio vapausastei (a + a ) a /( ) + a /( ), missä a = s ja a = s. iii H = H = Jakauma sopivuustesti H o : P(T )=p,..., P(T k )=p k k (F i p i ) p i χ k vapausasteella Riippumattomuustesti. Kotigessitaulut P(T )=p,..., P(T k )=p k ja P(S )=q,..., P(S l )=q l k j= P(T i S j )=p i,j (i =,..., k ja j =,..., l) H 0 : p i,j = p i q j (i =,..., k ja j =,..., l) l (F i,j F i G j /) χ F i G j / Kotigessitaulu: (k )(l ) vapausasteella S S S l Σ T f, f, f,l f T f, f, f,l f T k f k, f k, f k,l f k Σ g g g l iv

3 Suurimma uskottavuude estimoiti L(θ,..., θ m ; x,..., x )=f(x ; θ,..., θ m ) f(x ; θ,..., θ m ) l(θ,..., θ m ; x,..., x ) = l f(x ; θ,..., θ m )+ + l f(x ; θ,..., θ m ) (ˆθ,..., ˆθ m ) = argmax θ,...,θm (ˆθ,..., ˆθ m ) = argmax θ,...,θm Malli: Data: L(θ,..., θ m ; x,..., x ) l(θ,..., θ m ; x,..., x ) Lieaarie regressio y = β 0 + β x + + β k x k + ɛ x x x k y x, x, x,k y x, x, x,k y.... x, x, x,k y x, x, x,k y ɛ β 0 x, x, x,k X = , y = y., ɛ = ɛ., β = β. x, x, x,k y ɛ β k Datamalli: y = Xβ + ɛ. ˆβ = b =(X T X) X T y = β +(X T X) X T ɛ C =(c ij ) = (X T X) H = XCX T (hattumatriisi) P = I H E(b i )=β i, var(b i )=c ii σ ja cov(b i,b j )=c ij σ σ = ŷ = Xb e = y ŷ = Py = Pɛ SSE = e = e i = (y i ŷ i ) SSE k = MSE, MSE = RMSE v tai SST = (y i y), SSR = (ŷ i y) SST = SSE + SSR MST = SST, MSR = SSR k ANOVA-taulu: Variaatio lähde Vapausasteet Neliösummat Keskieliöt F Regressio Residuaali Kokoaisvariaatio H 0 : β = = β k = 0 : k k SSR SSE SST MSR σ = MSE (MST) F = MSR MSE F = MSR F vapausastei k ja k MSE H 0 : β i = β 0,i ; T i = b i β 0,i RMSE c ii t vapausastei k R = SSR SSE = SST SST Radj = MSE MST = SSE k SST, y = β 0 + β x + + β k x k + Kategoriset regressorit: z i z i, z i, z i,mi A i, 0 0 A i, A i,mi 0 0 A i,mi l (β i, z i, + + β i,mi z i,mi )+ɛ Logistie regressio P(y = A) = +e β0 βx βkxk L(β 0,..., β k )=L (β 0,..., β k ) L (β 0,..., β k ), missä p i = +e, jos y β0 βxi, βkxi,k i =A L i (β 0,..., β k )= e β0 βxi, βkxi,k p i = +e, jos y β0 βxi, βkxi,k i =B vi

4 H = r S = r S = (b 0,b,..., b k ) = argmax L(β 0, β,..., β k ) β0,β...,βk ( + ) ˆp 0 = +e b0 bx0, bkx0,k. Kruskal Wallis-testi k j= H 0 : µ = = µ k W j j 3( + ) χ k vapausasteella Spearmai järjestyskorrelaatiokerroi Otokset: x,,...,x, ja x,,...,x, Järjestysluvut: r,,...,r, ja r,,...,r, (r,i r)(r,i r) (r,i r) 6 ( ) (r,i r), missä r = d i, missä d i = r,i r,i + (Olettae, että otosarvot ovat erilliset!) Stadardiormaalijakauma kvatiileja Stadardiormaalijakauma z vii viii

5 t-jakauma khi-toisee-jakauma alkuhätäkvatiileja χ -jakauma v.a. Kvatiili (alkuhätä) E This table was produced usig APL programs writte by William Kight. t-jakauma kvatiileja (loppuhätä) (kaksi hätää) V a p a u s a s t e e t (kaksi hätää) (loppuhätä) This table was calculated by APL programs writte by William Kight. ix x

6 F-jakauma Merkity järjestykse testi F-jakauma loppuhätäkvatiilit f,α todeäköisyyksille α = 0.05, 0.05, 0.0 vapausasteille v ja v. Iverssit ovat F-jakauma alkuhätäkvatiilit f,α samoille todeäköisyyksille vapausasteille v ja v. Merkity järjestykse testi kriittisiä arvoja riskitasoille α = 0.05 ja α = 0.0 Kaksipuolie testi Toispuolie testi v v : v This table is computed by Victor L. Bissoette. xi xii

7 Ma Whitey-testi Tolerassivälitaulukko kaksipuoliselle välille Ma Whitey-testi kriittisiä arvoja riskitasoille α = 0.05 ja α = 0.0 (kaksipuolie testi) o otoskoko siiä otoksessa, joka järjestyssumma o pieempi. This table is computed by Victor L. Bissoette. Taulukko ataa kertoime k arvo kaksipuoliselle tolerassivälille. k: γ =0. γ =0.05 γ =0.0 α =0. α =0.05 α =0.0 α =0. α =0.05 α =0.0 α =0. α =0.05 α = xiii xiv

8 Tolerassivälitaulukko toispuoliselle välille Taulukko ataa kertoime k arvo toispuoliselle tolerassivälille. k: γ =0. γ =0.05 γ =0.0 α =0. α =0.05 α =0.0 α =0. α =0.05 α =0.0 α =0. α =0.05 α = xv