2. Uskottavuus ja informaatio
|
|
- Asta Hämäläinen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö tieto (informaatio) tuskaa vai ei?
2 2.1 Uskottavuusfunktio Tässä kappaleessa esitellään (palautetaan mieleen) tilastollisen päättelyn kannalta keskeiset uskottavuusfunktion ja log-uskottavuusfunktion käsiteet Lisäksi nämä määrätään parille perusesimerkillemme
3 2.1.1 Perusmääritelmä ja tulkinta Tarkastellaan parametrista tilastollista mallia y f Y (y; θ), θ Ω R d. (Bayesiläinen versiohan olisi y f Y Θ (y θ).) Kuvausta L(θ) = L(θ; y) = f Y (y; θ) sanotaan (erääksi) aineistoon y liittyväksi uskottavuusfunktioksi. Kun sv Y on diskreetti, niin tämä valinta vastaa yptnf:ää L(θ) = P θ (Y = y) (eli vastaa kysymykseen: jos θ kuvaisi todellisuutta, kuinka todennäköistä olisi havaita aineisto y)
4 2.1.1 Perusmääritelmä ja tulkinta Kun sv Y on diskreetti, niin havaitaan, että L(θ ) < L(θ ) joss P θ (Y = y) < P θ (Y = y) Tällöin sanotaankin θ on aineiston valossa uskottavampi kuin θ Kun sv Y on jatkuva, niin korvaamalla aineisto y sen pikkuriikkisellä ympäristöllään, voidaan tämä ajatus mukavasti laajentaa myös jatkuville jakaumille.
5 2.1.2 Esimerkki: lampputoistokoe Palataan esimerkkiin Tilastollinen malli on f Y (y; θ) = θ k (1 θ) n k kun k = k(y) = y y n, ja θ Ω = [0, 1]. Oletetaan, että meillä on aineisto y = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), eli n = 10, k = 1. Uskottavuusfunktio on tällöin L(θ) = θ(1 θ) 9
6 2.1.2 Esimerkki: lampputoistokoe
7 2.1.2 Esimerkki: lampputoistokoe
8 2.1.2 Esimerkki: lampputoistokoe
9 2.1.2 Esimerkki: lampputoistokoe
10 2.1.2 Esimerkki: lampputoistokoe
11 2.1.2 Esimerkki: lampputoistokoe
12 2.1.2 Esimerkki: lampputoistokoe
13 2.1.2 Esimerkki: lampputoistokoe
14 2.1.2 Esimerkki: lampputoistokoe
15 2.1.2 Esimerkki: lampputoistokoe
16 2.1.3 Yleinen määritelmä Esimerkissä tarkastelimme vain suhdetta L(θ)/L( 1 10 ), joten määrittelemmekin Määritelmä Olkoon f Y ( ; θ) tilastollinen malli, θ Ω. Kukin muotoa L(θ) = L(θ; y) = c(y)f Y (y; θ), θ Ω olevista funktioista on aineistoon y liittyvä uskottavuusfunktio. Tässä c(y) > 0 voi riippua vain aineistosta.
17 2.1.6 Logaritminen uskottavuusfunktio Uskottavuusfunktiosta on sekä teoreettisista (kuten myöhemmin havaitsemme informaatiokäsitteen ja testiteorian yhteydessä) että laskennallisista syistä mukava siirtyä myös logaritmiseen uskottavuusfunktioon tai log-uskottavuusfunktioon. Määritelmä Kun L(θ) on aineistoon y liittyvä uskottavuusfunktio, niin l(θ) = l(θ; y) = log L(θ; y) on aineistoon y liittyvä log-uskottavuusfunktio.
18 Käytännön syy log-uskottavuusfunktiolle Yleensä Y 1,..., Y n. Joten tästä johtuen f Y (y; θ) = n L(θ) i=1 kun aineisto y on annettu (eli L on tulomuotoa) Vastaavasti l(θ) = log L(θ) = log c(y) + n log... i=1 eli log-uskottavuusfunktio l on summamuotoa, jota usein mukavampi käsitellä esim. derivoida, jne.
19 2.1.4 Esimerkki: normaalimalli. Palautetaan mieleen θ = (µ, σ 2 ), parametriavaruus on Ω = R (0, ) Sv:n Y = Y 1,..., Y n tiheys on ( f Y (y; θ) = (2πσ 2 ) n/2 exp 1 2σ 2 Siispä eräs uskottavuusfunktio on n (y i µ) 2) i=1 ( L(θ) = L(µ, σ 2 ) = (σ 2 ) n/2 exp 1 2σ 2 n (y i µ) 2) i=1
20 2.1.4 Esimerkki: normaalimalli. Harjoitustehtävästä seuraa, että tämä voidaan kirjoittaa myös missä ( L(θ) = (σ 2 ) n/2 exp 1 ( (n 1)s 2 2σ 2 + n(y µ) 2)) y = otoskeskiarvo = 1 n n i=1 ja s 2 = otosvarianssi = 1 n 1 y i n (y i y) 2 i=1
21 2.1.4 Esimerkki: normaalimalli. Huomaamme: L(θ) riippuu aineistosta y tunnuslukujen (eli aineiston muunnosten) y ja s 2 välityksellä. Normaalimallin log-uskottavuusfunktioksi käy siten l(θ) = n 2 log(σ2 ) 1 2σ 2 ( (n 1)s 2 + n(y µ) 2)
22 2.1.4 Esimerkki: normaalimalli kun varianssi tunnetaan. Kun σ 2 = σ0 2 > 0, niin edellisissä uskottavuusfunktioissa ja log-uskottavuusfunktioissa on paljon pelkästään aineistosta (ja tunnetusta σ0 2 :sta) riippuvia termejä: Tällöin Ω = R ja θ = µ ja eräs log-uskottavuusfunktio on ja eräs uskottavuusfunktio on l(µ) = n 2σ0 2 (y µ) 2 L(µ) = exp ( n 2σ 2 0 (y µ) 2)
23 2.1.5 Esimerkki: binomimalli (rikkinäiset lamput v2) Palataan rikkinäisiin lamppuihin (Esimerkit ja 2.1.2) ja tuntemattomaan rikkinäisten lamppujen suhteeseen θ kaikista lampuista Tällä kertaa aineisto onkin yksi luku k = rikkinäisten lamppujen lkm otoksessa jonka koko on n { 0, 1, 2,..., n } Koska tiedämme tn-laskennasta, että K Bin(n, θ), niin tätä vastaa tilastollinen malli ( ) n f K (k; θ) = θ k (1 θ) n k k
24 2.1.5 Esimerkki: binomimalli (rikkinäiset lamput v2) Eräs aineistoa k vastaava uskottavuusfunktio L(θ) = θ k (1 θ) n k Havaitaan, että tällä mallilla sekä Esimerkin (rikkinäiset lamput v1) mallilla on sama uskottavuusfunktio ja siten myös sama log-uskottavuusfunktio Kummallekin mallille log-uskottavuusfunktio on (ainakin kun 0 < θ < 1). l(θ) = k log θ + (n k) log(1 θ)
25 2.1.5 Esimerkki: binomimalli (rikkinäiset lamput v2) Havainto tukee intuitiota: rikkinäisten lamppujen järjestyksellä ei väliä. Uskottavuusperiaate: Jos eri malleilla samat uskottavuusfunktiot, niin päätelmien tulisi olla aina samat.
26 2.2 Suurimman uskottavuuden estimointi Tässä kappaleessa esitellään (palautetaan mieleen) tilastollisen päättelyn kannalta keskeinen su-estimaatti sekä su-estimaattori Lisäksi esitellään uskottavuusyhtälöt näiden löytämiseksi.
27 2.2.1 Estimaatti ja estimaattori Tässä luvussa oletamme, että aineisto y sekä tilastollinen malli f Y ( ; θ), θ Θ on annettu. Tunnusluku t = t(y) on aineiston muunnos. Kun tunnusluku t Ω on valittu siten, että se on hyvä arvio tuntemattomasta θ:sta, niin tunnuslukua t kutsutaan parametrin θ estimaatiksi Vastaavaa satunnaisvektoria T = t(y) kutsutaan estimaattoriksi
28 Estimaatti ja estimaattori Koska hyvyys on aina katsojan silmässä, niin lyhyesti: estimaatti = tunnusluku t(y) Ω, estimaattori = aineiston tuottavan sv:n Y muunnossv t(y), jonka tilajoukkona on Ω.
29 2.2.2 Su-estimaatin määritelmä Määritelmä Olkoon L(θ; y) annettua aineistoa y ja tilastollista mallia f Y ( ; θ) vastaava uskottavuusfunktio. SU-estimaatti (suurimman uskottavuuden estimaatti) on mikä tahansa piste θ = θ(y) Ω, jolla L( θ; y) L(θ; y) kaikilla θ Ω SU-estimaattori on sv θ(y) mutta tätäkin merkitään monesti θ. Yhtä hyvin voisimme käyttää log-uskottavuusfunktiota l määritelmässä.
30 2.2.3 Esimerkki: normaalimalli kun varianssi tunnettu Kun σ 2 = σ0 2 > 0, niin monisteen Esimerkki b) ja kalvojen Esimerkissä määräsimme log-uskottavuusfunktioksi l(µ) = n 2σ0 2 (y µ) 2 kun tuntematon parametri µ R = Ω. Tämä on alaspäin aukeava paraabeli, joten su-estimaatti θ(y) = y. Vastaavasti su-estimaattori on θ(y) = Y = n 1 n Y i. i=1
31 2.2.4 Uskottavuusyhtälöt Jos l(θ) on derivoituva, voidaan su-estimaattia θ hakea derivaattojen avulla Jos maksimi on Ω:n sisäpiste, niin tässä kohdassa on voimassa uskottavuusyhtälöt θ j l(θ; y) = 0, j = 1,..., d (2.2) jos d = 1, tämä on l (θ; y) = 0 (2.3)
32 2.2.4 Uskottavuusyhtälöt Jos l(θ) on kahdesti derivoituva, voidaan tarkistaa onko uskottavuusyhtälön (2.3) ja (2.2) ratkaisu (lokaali) maksimi Hessen matriisin avulla. Hessen matriisi on ( 2 ) l(θ; y) θ i θ j lokaali ääriarvo (eli uskottavuusyhtälön ratkaisu) on maksimi, jos Hessen matriisi on negatiivisesti definiitti.
33 2.2.5 Esimerkki: toistokoemalli (rikkinäiset lamput) Voimme käyttää joko mallia v1 (aineisto y = (y 1,..., y n )), jolloin tilastollisena mallina on f Y (y; θ) = θ k (1 θ) n k, kun k = ny tai mallia v2 (aineisto k { 0, 1,..., n }), jolloin tilastollisena mallina on f K (k; θ) = ( ) n k θ k (1 θ) n k sillä kummassakin tapauksessa log-uskottavuusfunktio on l(θ) = k log θ + (n k) log(1 θ)
34 2.2.5 Esimerkki: toistokoemalli (rikkinäiset lamput) derivoimalla l (θ) = k θ n k 1 θ = k nθ θ(1 θ) havaitaan, että uskottavuusyhtälön ainoa ratkaisu θ = k/n on myös maksimi, joten su-estimaatit malleissa ovat θ(y) = θ(k) = k/n. su-estimaattorit ovat θ(y) = (Y Y n )/n ja θ(k) = K/n. Huom! tapaukset k = 0 ja k = n ovat erityisiä/ongelmallisia.
35 2.2.6 Esimerkki: normaalimalli Monisteen Esimerkissä b) ja kalvojen Esimerkissä määräsimme log-uskottavuusfunktioksi l(θ) = n 2 log(σ2 ) 1 2σ 2 ( (n 1)s 2 + n(y µ) 2) kun tuntematon parametri θ = (µ, σ 2 ) R (0, ) = Ω. Etsitään su-estimaattia θ = ( µ, σ 2 ) Koska (y µ) 2 0, niin µ = y. Päädymme maksimoimaan yhden muuttujan funktiota l P (σ 2 ) = n (n 2 log(σ2 1)s2 ) 2σ 2 Derivaattatarkastelulla nähdään, että tämän funktion maksimikohta on σ 2 = σ 2 = n 1 n s2
36 2.2.6 Esimerkki: normaalimalli su-estimaattipari ( µ, σ 2 ) on siis µ = y = 1 n n y i, σ 2 = 1 n n (y i y) 2. i=1 i=1 Yleensä käytetään kuitenkin varianssin estimaattina otosvarianssia s 2, koska vastaava estimaattori S 2 on harhaton eli ES 2 = σ 2. Kun n ei ole liian pieni, on ero varianssin estimaattien välillä pieni.
37 2.2.7 Esimerkki: yhden selittäjän lineaarinen regressio Oletukset: Y i N(α + βx i, σ 2 ) ja Y 1,... Y n. Parametrina θ = (α, β, σ 2 ) ja Ω = R R (0, ). Mallin log-uskottavuusfunktio on l(α, β, σ 2 ) = n 2 log(σ2 ) 1 2σ 2 n (y i α βx i ) 2 i=1
38 2.2.7 Esimerkki: yhden selittäjän lineaarinen regressio Parametrivektorin θ = (α, β, σ 2 ) su-estimaatti on tässä tapauksessa α = y βx, (xi x)(y i y) β = (xi x) 2 σ 2 = 1 n (yi α βx i ) 2 Tässäkin mallissa varianssin estimointiin käytetään yleensä harhatonta estimaattia s 2 = 1 (yi α n 2 βx i ) 2
39 2.2.8 SU-estimaatin olemassaolo ja yksikäsitteisyys Onko su-estimaatin määritelmä ongelmaton? Onko su-estimaatti aina olemassa? Jos se on aina olemassa, onko su-estimaatti yksikäsitteinen?
40 2.2.8 SU-estimaatin olemassaolo ja yksikäsitteisyys Edellä tarkastelluissa esimerkeissä on aina löytynyt yksikäsitteinen parametriavaruuden piste θ(y), jossa uskottavuusfunktio saa suurimman arvonsa, paitsi ehkä joidenkin yksittäisten aineistojen y tapauksessa (vrt ). Joissakin malleissa näin ei ole ja näistä malliesimerkkinä (muutenkin kurssilla hieman poikkeavana esimerkkinä) toimii havainnot tasajakaumasta. Tarkastellaan esimerkkinä riippumatonta otosta välin (0, θ) tasajakaumasta, jossa θ > 0 on estimoitava parametri. Siis Y 1,..., Y n Tas(0, θ).
41 2.2.8 SU-estimaatin olemassaolo ja yksikäsitteisyys TN2a-kurssilla määrittelimme tasajakauman Tas(0, θ) tiheysfunktion yleensä seuraavasti f (y; θ) = θ 1 1{ 0 < y < θ } Jos merkitään y (n) = max(y 1,..., y n ), niin aineistoon liittyvän uskottavuusfunktion lauseke voidaan kirjoittaa muodossa { 1/θ n, kun θ > y L(θ; y) = f Y (y; θ) = (n), 0, kun 0 < θ y (n), Tällä uskottavuusfunktiolla L ei ole maksimia, joten vaikuttaisi että su-estimaattia ei ole olemassa, koska funktio vain lähestyy pienintä ylärajaansa, kun θ y (n).
42 2.2.8 SU-estimaatin olemassaolo ja yksikäsitteisyys TN2a-kurssilta tiedämme, että Tas(0, θ) tiheysfunktioksi kävisi myös f (y; θ) = θ 1 1{ 0 y θ } Tätä vastaava uskottavuusfunktion lauseke voidaan kirjoittaa muodossa { 1/θ n, kun θ y L(θ; y) = f Y (y; θ) = (n), 0, kun 0 < θ < y (n), Tämä uskottavuusfunktion L maksimi on θ = y (n), joten nyt su-estimaatti on olemassa! Esimerkki valaissee sitä, että jatkuvaan jakaumaan perustuvassa mallissa tiheysfunktioon liittyvä monikäsitteisyys aiheuttaa periaatteessa epämääräisyyttä su-estimaatin määrittelyyn.
43 2.2.8 SU-estimaatin olemassaolo ja yksikäsitteisyys Edellisen esimerkin ongelmat ovat yleensä vältettävissä valitsemalla tiheysfunktion versiot sopivalla (vakiintuneella) tavalla SU-estimaatti ei myöskään välttämättä ole yksikäsitteinen, sillä esimerkiksi tarkastelemalla riippumattomia havaintoja Tas(θ, θ + 1) jakaumasta (HT) havaitaan, että uskottavuusfunktio voi saavuttaa maksiminsa jopa ylinumeroituvassa joukossa
44 Bayesiläinen lähestyminen Totesimme aluksi, että tilastollinen malli f Y ( ; θ) vastasi bayesiläisittäin ajateltuna ehdollista jakaumaa f Y Θ (y θ) TN2b-kurssilta muistamme, että jos f Θ ( ) on sv:n Θ tiheys, niin kertolaskusäännöllä saamme sv:n (Y, Θ) yhteistiheyden. Yhteistiheys on nyt kahden muuttujan funktio, joten sitä voidaan ajatella myös θ:n funktiona kiintellä y. Erityisesti kun y on kiinteä. f Θ y (θ y) f Y,Θ (y, θ) = f Θ (θ)f Y Θ (y θ)
45 Bayesiläinen lähestyminen Totesimme aluksi, että tilastollinen malli f Y ( ; θ) vastasi bayesiläisittäin ajateltuna ehdollista jakaumaa f Y Θ (y θ) TN2b-kurssilta muistamme, että jos f Θ ( ) on sv:n Θ tiheys, niin kertolaskusäännöllä saamme sv:n (Y, Θ) yhteistiheyden. Yhteistiheys on nyt kahden muuttujan funktio, joten sitä voidaan ajatella myös θ:n funktiona kiintellä y. Erityisesti kun y on kiinteä. f Θ y (θ y) f Y,Θ (y, θ) = f Θ (θ)f Y Θ (y θ) Jos priorijakauma f θ (θ) 1, niin tällöin L(θ; y) f Θ Y (θ y)
46 Bayesiläinen lähestyminen Jos priorijakauma olisi siis tasainen, niin suurimman uskottavuuden estimaatti θ(y) olisi posteriorijakauman f Θ Y moodi! Kannattaa miettiä, mitä ongelmia sivuuttelimme. Tästä ja muusta lisää Bayesian inference -kurssilla (MAT22005).
Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:
4. Tyhjentyvyys Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: Voidaanko päätelmät perustaa johonkin tunnuslukuun t = t(y) koko aineiston y sijasta? Mitä
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
Lisätiedot5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II
5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II Tässä pykälässä pohditaan edellä tarkasteltujen kolmen testisuureen yleistystä malleihin, joiden parametri on useampiulotteinen, ja testausasetelmiin, joissa
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Viimeksi käsittelimme uskottavuusfunktioita, log-uskottavuusfunktioita ja su-estimaatteja Seuraavaksi tarkastelemme parametrin muunnoksia ja kuinka su-estimaatit käyttäytyvät
Lisätiedot3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 14..2017 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon θ positiivinen parametri, ja asetetaan 2θ 1 y exp y 2 /θ), kun y > 0 fy; θ) = 0, muuten
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A
Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten
Lisätiedot6.1.2 Luottamusjoukon määritelmä
6.1.1 Johdanto Olemme tarkastelleet piste-estimointia: tavoitteemme oli etsiä tunnuslukuja t, joilla piste t(y) hyvä arvio mallin parametrille θ (tai sen muunnokselle g(θ)). Pelkän piste-estimaatin esittäminen
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotUskottavuuden ominaisuuksia
Luku 9 Uskottavuuden ominaisuuksia 9.1 Tyhjentävyys T yhjentävyys (Fisher 1922) luonnehtii täsmällisesti havaintoihin sisältyvän informaation kvantitatiivisesti. Parametrin θ estimaatti T(x) on tyhjentävä
Lisätiedot3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
LisätiedotPelaisitko seuraavaa peliä?
Lisätehtävä 1 seuraavassa on esitetty eräs peli, joka voidaan mallintaa paramterisena tilastollisena mallina tehtävänä on selvittää, kuinka peli toimii ja näyttää mallin takana oleva apulause (Tehtävä
LisätiedotMaximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatkoa Harjoitus 8A tehtävään 3. Muodosta odotusarvolle µ approksimatiivinen
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastollisen päättelyn kurssi
Pekka Nieminen Pentti Saikkonen Tilastollisen päättelyn kurssi Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2013 1. laitos 2004 2. laitos 2005 3. laitos 2006, korjattu 2007, 2009 ja 2013 http://www.iki.fi/pjniemin/paattely.pdf
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
Lisätiedot5 Hypoteesien testaaminen
5 Hypoteesien testaaminen Seuraavaksi tutustumme tilastollisiin testeihin ja niihin liittyviin peruskäsitteisiin Esittelemme aluksi hypoteesit sekä testisuureet ja puhumme p-arvosta (eli havaitusta merkitsevyystasosta)
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotMallipohjainen klusterointi
Mallipohjainen klusterointi Marko Salmenkivi Johdatus koneoppimiseen, syksy 2008 Luentorunko perjantaille 5.12.2008 Johdattelua mallipohjaiseen klusterointiin, erityisesti gaussisiin sekoitemalleihin Uskottavuusfunktio
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa
Lisätiedot5 Hypoteesien testaaminen
5 Hypoteesien testaaminen Seuraavaksi tutustumme tilastollisiin testeihin ja niihin liittyviin peruskäsitteisiin Esittelemme aluksi hypoteesit sekä testisuureet ja puhumme p-arvosta (eli havaitusta merkitsevyystasosta)
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotLuku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017
Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedot1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI
1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI Edellä esitelty Bayesiläinen luokittelusääntö ( Bayes Decision Theory ) on optimaalinen tapa suorittaa luokittelu, kun luokkien tnjakaumat tunnetaan Käytännössä tnjakaumia
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotParametrin estimointi ja bootstrap-otanta
Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista
Lisätiedotη i (θ)t i (x) A(θ) + c(x),
288 Luku 10. Perusmallit ja niiden sovelluksia muotoa (10.9.1) log f θ (x) = p η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x), i=1 missä θ = (θ 1,...,θ p ) ja A(θ), c(x), η i (θ) ja T i (x) ovat tunnettuja funktioita. Lisäksi
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen aineiston kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin
Lisätiedot1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI
1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI Edellä esitelty Bayesiläinen luokittelusääntö ( Bayes Decision Theory ) on optimaalinen tapa suorittaa luokittelu, kun luokkien tnjakaumat tunnetaan Käytännössä tnjakaumia
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen datan kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
Lisätiedot3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4
Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotKertausluento. Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe
Kertausluento Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe Yleistä tietoa TP II -2. kurssikokeesta 2. kurssikoe maanantaina 6.5.2019 klo 12.00-14.30 jossakin Exactumin auditoriossa Kurssikokeeseen ilmoittaudutaan
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotLause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.
Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotTilastollinen päättely, 10 op, 4 ov
Tilastollinen päättely, 0 op, 4 ov Arto Luoma Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede 3304 TAMPEREEN YLIOPISTO Syksy 2006 Kirjallisuutta Garthwaite, Jolliffe, Jones Statistical Inference,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
Lisätiedotp(θ 1 y) on marginaalijakauma p(θ 1 θ 2, y) on ehdollinen posteriorijakauma Viime kerralla Termejä viime kerralta Marginalisointi Marginaalijakauma
Viime kerralla Marginalisointi Marginaalijakauma Posteriorijakauman faktorointi Ehdollinen posteriorijakauma Slide 1 Posteriorijakaumasta simulointi Normaalijakauma - tuntematon keskiarvo ja varianssi
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
Lisätiedot