LUOTETTAVUUS, KÄYTETTÄVYYS, HUOLLETTAVUUS. Keijo Ruohonen

Transkriptio

1 LUOTETTAVUUS, KÄYTETTÄVYYS, HUOLLETTAVUUS Keijo Ruohonen 22

2 Sisältö I DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS. Vioittumisaika 4.2 Luotettavuustyyppejä 7.3 Luotettavuustyypin testaus: Barlow Campo-testi.4 Luotettavuustyyppien vertailua luotettavuuden avulla 4 II VIKAJAKAUMAT 4 2. Tavalliset vikajakaumat Vikajakauman syntyminen vioittumismekanismin kautta: Birnbaum Saunders-jakauma, alfajakauma, käänteisnormaalijakauma Vikajakauma vioittuvuuden muodon perusteella: Weibullin jakauma, modifioitu Gumbelin jakauma Ääriarvojakaumat vikajakaumina: Weibullin jakauma, Gumbelin jakauma Approksimaatio suurille n:n arvoille Asymptoottiset muodot Maksimientropiajakaumat vikajakaumina: Gammajakauma, Rayleigh n jakauma, normaalijakauma, Pareton jakaumat Vikajakaumien lineaariyhdelmät: Gammajakauma 36 III VIKAJAKAUMIEN TESTAUS JA ESTIMOINTI Jakauman testaus χ 2 -testi Kolmogorov Smirnov-testi Paloittain eksponentiaalinen tiheysfunktion estimaatti Tiheysfunktion estimointi maksimientropian kautta Vikajakauman parametrien estimointi pienimmän neliösumman menetelmällä Sensurointi ja kiihdytys Estimointi suurimman uskottavuuden menetelmällä eli ML-estimointi Täydellinen testi Monisensurointi I tyypin sensurointi II tyypin sensurointi Kaplan Meier-tulorajaestimaatti Eksponenttijakauman estimointi ja testaus Täydellinen testi Tyypin II sensurointi palauttaen Tyypin II sensurointi palauttamatta Tyypin I sensurointi palauttamatta Tyypin I sensurointi palauttaen Monisensurointi palauttaen Monisensurointi palauttamatta Harhaton vs. harhainen: Cramér Rao-raja i

3 ii 53 IV RAKENTEISET SYSTEEMIT Verkkorakenteiset systeemit Eräitä yksinkertaisia verkkorakenteita Sarjaan- ja rinnankytketyt systeemit Rinnan-sarjaan- ja sarjaan-rinnan-kytketyt systeemit Binomikytketty systeemi Loogisesti kytketyt systeemit Inkluusio-ekskluusio-menetelmä Aritmeettinen menetelmä Verkkojen luotettavuuden laskeminen Kokonaistodennäköisyysmenetelmä Polkujoukkomenetelmä Irrotusjoukkomenetelmä Varakomponenttisysteemit Monte Carlo -simulointi Luotettavuuksien approksimointi 72 V HUOLLETTAVUUS JA KÄYTETTÄVYYS Huollettavuus ja systeemin uusiminen Uusimistyyppien testaus yksinkertaisen otoksen avulla Uusimisfunktio ja uusiutuvuus Uusimisluvun todennäköisyyden laskeminen Differentiaaliyhtälömenetelmä Konvoluutiomenetelmä. Laplacen muunnos BAO-uusimiset Weibullin uusimisprosessi Aidot ja viiveuusimiset. Uusimisyhtälöt ja -lauseet Käytettävyys. Vuorottelevat uusimiset Ehkäisevät uusimiset Määräaikaisuusimiset Ikäuusimiset Ohjelmien vertailu Rakenteisten systeemien käytettävyys: Esimerkkejä 97 VI BAYESIN MENETELMÄT Yleistä Konjugaattijakaumat Bayesin estimointi Esimerkkejä Esijakauman valinta 5 Liite A: Lauseen 5.3 todistus 8 Kirjallisuus Hakemisto

4 iii Esipuhe Tämä moniste on tarkoitettu TTKK:n kurssin 7365 Luotettavuusteoria kirjalliseksi materiaaliksi. Paitsi luotettavuusstatistiikan alkeita, se sisältää niin systeemien deskriptiiviseen (parametrittömään) kuin parametriseenkin luokitteluun liittyviä tuloksia ja menetelmiä, systeemien sisäisen rakenteen vaikutuksen analysointimenetelmiä sekä huollon ja käytettävyyskysymysten mallinnusmenetelmiä. Esitietona on tavallinen tilastomatematiikan peruskurssi. Tilastomatemaattisten alueiden joukossa luotettavuusteorialla on aina ollut oma erikoinen paikkansa. Siinä ei niinkään tarvita matemaattisesti vaativia monimuuttujamenetelmiä, vaan yhden muuttujan stokastiikka riittää pitkälle. Luotettavuusteoria tarvitsee kuitenkin laajan kokoelman matemaattisia käsitteitä, mikä näkyy yo. sisältöluettelostakin. Luotettavuusteoria poikkeaa niin paljon tilastotieteen valtavirran alueista, että monet perinteisiin pitäytyvät tilastotieteilijät olisivat valmiit luokittelemaan sen osaksi ns. operaatiotutkimusta. Toisaalta luotettavuusteoria on melkeinpä malliesimerkki siitä miten käytännön tarpeet ohjaavat teorian kehitystä, ja monet luotettavuusteoriassa käyttöön tulleet menetelmät ovat sittemmin tulleet osaksi standardia tilastomatemaattista koneistoa (mm. Bayesin menetelmät). Syy tähän on osaksi se, että luotettavuusanalyysissä otokset ovat usein varsin pieniä ja näin ollen niiden käsittelyyn tarvitaan vahvoja menetelmiä. Tämä moniste on nimenomaan kirjoitettu ajatellen tekniikan tarvitsemaa luotettavuusteoriaa ja -menetelmiä. Vastaavaa teoriaa esiintyy mm. vakuutusmatematiikassa, talouden riskianalyyseissä, populaatiodynamiikassa, epidemiologiassa, jne. Keijo Ruohonen

5 Luku DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS. Vioittumisaika Laitteen ensimmäisen vioittumisen ajankohta t = T sen käyttöönottohetkestä t = laskien on ns.vioittumisaika. (Luotettavuusteoriassa puhutaan systeemistä, jolla voidaan tarkoittaa niin teknistä laitetta, ihmistä, yhteiskuntaa, kansantaloutta kuin muutakin.) Vioittumisaika katsotaan satunnaismuuttujaksi, jolla on jatkuva jakauma. Näin ollen vioittumisen ominaisuuksia käsitellään todennäköisyyslaskennan avulla. Peruskäsite on luotettavuus hetkellä t R(t) =P(T>t). Jos vioittumisajan jakauman kertymäfunktio on F (t), niin R(t) = F (t). On luonnollista sopia, että T :n jakauma on positiivinen, ts. F (t) =, kun t <, jaettä R() =. Jos systeemin tiedetään toimivan hetkellä t, kiinnostaakin usein sen luotettavuus ko. hetkestä eteenpäin. Näin saadaan ns. ehdollinen luotettavuus x:n pituiselle ajalle hetkellä t R(x t) =P(T>t+ x T>t). Ehdollisen todennäköisyyden määritelmää soveltaen R(x t) = P(T >t+ x) P(T >t) = R(t + x). R(t) Paitsi kertymäfunktiota käyttäen, voidaan vioittumisajan jakaumaa käsitellä myös sen tiheysfunktion df (t) f(t) = = dr(t) dt dt avulla. Tällöin voidaan tavalliseen tapaan määritellä T :n odotusarvona keskimääräinen vioittumisaika MTTF 2 P(A B) P(A B) = P(B) 2 mean time tofailure m =E(T )= tf(t) dt (voi olla = )

6 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS 2 ja (jos m< )myös T :n varianssi V =var(t )= (t m) 2 f(t) dt (voi olla = ). Todennäköisyys sille, että systeemi vioittuu aikavälillä (t, t + t] sillä ehdolla, että se toimii vielä hetkellä t,on P(t <T t + t T>t)= P(t <T t + t) P(T >t) = F (t + t) F (t). R(t) Jaettaessa t:llä saadaan rajalla t + ns. vioittuvuus r(t) = F (t + t) F (t) lim t + tr(t) = f(t) R(t). (eli vikatiheys, engl. failure rate, hazard rate, mortality rate). Vioittuvuus kuvaa siis vioittumisajan kertymän muutosnopeutta suhteessa luotettavuuteen. Yllä mainitut aikariippuvat suureet voidaan palauttaa toinen toisikseen. Muut palautuskaavat seuraavat kunhan ensin liitetään toisiinsa r(t) ja R(t). Lause.. R(t) =e t t+x r(s) ds ja R(x t) =e r(s) ds t. Todistus. Jälkimmäinen yhtälö seuraa suoraan edellisestä, joten todistetaan se edellinen yhtälö. Koska dr(t) r(t) = f(t) R(t) = dt R(t) ja R() =, saadaan R(t) alkuarvotehtävän dr = r(t)r, R() = dt ratkaisuna. Kyseinen differentiaaliyhtälö on lineaarinen ja peruskursseilta tiedetään, että sen ratkaisu on juuri lauseessa mainittu funktio. Kootaan kaikki nämä suureet toistensa avulla lausuttuna taulukoksi: F (t) R(t) f(t) r(t) F (t) R(t) f(t) F (t) df (t) dt R(t) dr(t) dt t f(s) ds f(s) ds t e t r(s) ds e t r(s) ds r(t)e t r(s) ds r(t) df (t) F (t) dt dr(t) R(t) dt f(t) f(s) ds t

7 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS 3 Huomautus. Vioittuvuus on käsite, johon on intuitiivisesti jonkin verran vaikea saada otetta. Kyseessä onkin itse asiassa informaatioteoreettinen käsite, nimittäin tapauksen systeemi toimii hetkellä t eli T > t ns. itseinformaation ln R(t) muutosnopeus. Ks. kurssi Informaatioteoria. Tästä ja muista syistä informaatioteoriasta on muodostunutkin tärkeä osa luotettavuusteorian koneistoa, ks. pykälä 2.5. Tärkeä ja ei mitenkään niin ilmeinen kaava liittää yhteen luotettavuuden sekä MTTF:n: Lause.2. m = R(t) dt (myös jos m = ). Todistus. Osittaisintegroinnilla saadaan (epä)yhtälö s tf(t) dt = s Jos nyt m<, niin m = s t d( R(t)) dt tf(t) dt + s / s dt = tf(t) dt s tr(t)+ s tf(t) dt + s s R(t) dt = sr(s)+ s f(t) dt = s R(t) dt s tf(t) dt + sr(s), joten lim sr(s) =ja kaava on tällöin oikea. Jos taas m =, niin välttämättä myös s R(t) dt tf(t) dt =. R(t) dt. Kaava on siis oikea kaikissa tilanteissa. Jos otetaan käyttöön sellainen t:stä riippuva satunnaismuuttuja X t, että t + X t on systeemin vioittumisaika sillä ehdolla, että systeemi toimii hetkellä t, niinx t :n kertymäfunktio on G(x t) =P(X t x) =P(T t + x T>t)= R(x t) = ja tiheysfunktio on g(x t) = dg(x t) dx = f(t + x). R(t) X t :n odotusarvo on ns. keskimääräinen jäävä käyttöikä MRL 3 m(t) =E(X t )= Lauseen.2 seurauksena m(t) = xg(x t) dx = R(t) R(x t) dx = xf(t + x) dx = R(t) R(t + x) R(t) dx = R(t) t t R(s) ds. R(t + x) R(t) (s t)f(s) ds. Graafisesti m ja m(t) voidaan esittää Kuvan tapaan. Siinä m on koko varjostettu alue ja m(t)r(t) siitä ruudutettu osa. Tärkeä vioittumisaikaan liittyvä tilastollinen suure on vielä sen α-kvantiili, ts. sellainen luku t α, että F (t α )=α. Tämä voisi edustaa sellaista takuuaikaa, että sen kuluessa α% laitteista vioittuu ja joutuu näin takuun piiriin. 3 mean residual life

8 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS 4 R(t) m(t)r(t) R(t) m t t Kuva..2 Luotettavuustyyppejä Luotettavuuden karakterisointi yhden luvun, esimerkiksi MTTF:n, avulla ei ole kovinkaan kuvaavaa. Systeemin luotettavuus on usein kovin erilaista sen elinkaaren eri aikoina ja vioittuvuus voi muuttua paljonkin. Vioittuvuuden käyttäytymisen avulla saadaan seuraavat luotettavuuden perustyypit:. Kasvava vioittuvuus eli IFR 4. Tällöin r(t) on kasvava t:n funktio ja vioittuvuus kasvaa iän mukana (kuluminen, tms.). 2. Vähenevä vioittuvuus eli DFR 4. Tällöin r(t) on vähenevä t:n funktio ja vioittuvuus vähenee iän myötä ( lastentaudit katoavat, tms.). 3. Kasvava keskivioittuvuus eli IFRA 4. Tällöin ns. keskivioittuvuus r(t) = ln R(t) t on kasvava t:n funktio. Huomaa, että r(t) todellakin on keskivioittuvuus, sillä t r(s) ds = ( ln R(t)) = r(t). t t 4. Vähenevä keskivioittuvuus eli DFRA 4. Tällöin keskivioittuvuus on vähenevä t:n funktio. 5. Uusi vanhaa parempi eli NBU 4.Tällöin R(x t) <R(x), kun x, t >. 6. Vanha uutta parempi eli NWU 4.Tällöin R(x t) >R(x), kun x, t >. 7. Uusi keskimäärin vanhaa parempi eli NBUE 4. Tällöin m(t) <m, kun t>. 8. Vanha keskimäärin uutta parempi eli NWUE 4. Tällöin m(t) >m, kun t>. 4 increasing failure rate decreasing failure rate increasing failure rate average decreasing failure rate average new better than used new worse than used new better than used in expectation new worse than used inexpectation

9 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS 5 IFR ja DFR voidaan määritellä myös R(x t):n avulla: Lause.3. (i) Systeemi on IFR tarkalleen silloin, kun R(x t) on vähenevä t:n funktio, kun x>. (ii) Systeemi on DFR tarkalleen silloin, kun R(x t) on kasvava t:n funktio, kun x>. Todistus. Näytetään kohta (i), kohta (ii) menee aivan samalla tavoin. Jos systeemi on IFR, niin r(t) on kasvava t:n funktio. Silloin R(x t) =e t+x r(s) ds t on selvästi t:n suhteen vähenevä, jos x>. Jos taas R(x t) on vähenevä kun x>, niin > dr(x t) dt = R(x t) d t+x r(s) ds = R(x t)(r(t) r(t + x)) dt t ja r(t + x) >r(t), kun x>, joten r(t) on kasvava. Eri tyyppien välille saadaan seuraavat loogiset riippuvuudet: Lause.4. (i) IFR IFRA NBU NBUE (ii) DFR DFRA NWU NWUE Mitään näistä implikaationuolista ei voi yleisesti kääntää. Todistus. Näytetään kohta (i), kohdan (ii) todistus on aivan samanlainen. IFR IFRA: Jos systeemi on IFR, niin r(t) on kasvava ja r(t) on myös kasvava, sillä dr(t) = d t r(s) ds = t r(t)t r(s) ds >, dt dt t t 2 kun t>. IFRA NBU: Jos systeemi on IFRA, niin r(t) on kasvava ja e r(t) = R(t) /t on vähenevä ja, jos x, t >, niin Edelleen R(t + x) t+x <R(t) t sekä R(t + x) <R(t) t+x t. R(x t) = R(t + x) R(t) < t+x R(t) t R(t) = R(t) x t. Asia on nyt selvä jos x t, sillä silloin R(t) x/t R(x). Jos taas x>t, niin ensinnäkin R(t + x) t+x <R(x) x <R(t) t ja edelleen ja lopulta R(x t) = R(t + x) <R(x) t+x x sekä R(x) t x <R(t) R(t + x) R(t) < t+x R(x) x R(t) = R(x)R(x) t x R(t) <R(x).

10 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS 6 NBU NBUE: Ilmeisesti, jos systeemi on NBU eli R(x t) <R(x), kun x, t >, niin m(t) = R(x t) dx < R(x) dx = m. Nuolten kääntymättömyys voidaan näyttää vastaesimerkeillä, jotka jätetään lukijan konstruoitaviksi (tai katso esimerkiksi CĂTUNEANU &MIHALACHE). Luotettavuutta voidaan karakterisoida myös käyttäen MRL:ää. Tällöin puhutaan ns. systeemin muistista. Muisti on (i) positiivinen eli systeemi on DMRL 5,josm(t) on vähenevä funktio. (ii) negatiivinen eli systeemi on IMRL 5, jos m(t) on kasvava funktio. (iii) täydellinen, jos dm(t) =. dt (iv) nollamuisti eli systeemi on CFR 5 eli muistiton, jos R(x t) =R(x). Näiden analyysissä tarvitaan luonnollisesti m(t):n derivaatta dm(t) = d R(s) ds = R(t) 2 + f(t) dt dt R(t) R(t) 2 t t R(s) ds = +r(t)m(t). Näin ollen dm(t) ja DMRL-systeemin rajatapaus on täydellisen muistin systeemi. dt Muistittomalle systeemille (Lause.) e t t+x r(s) ds = R(x) =R(x t) =e r(s) ds t, mikä on sama kuin x r(s) ds = t+x r(s) ds ja edelleen (derivoimalla puolittain x:n suhteen) t r(x) =r(t + x). Näin ollen systeemi on muistiton tarkalleen silloin, kun sen vioittuvuus on vakio λ. Tällöin R(t) =e t λds = e λt ja F (t) = e λt. Muistittoman systeemin vioittumisajan jakauma (eli vikajakauma) on siis eksponenttijakauma parametrillä λ = vioittuvuus. Kuvassa 2 on piirretty kaikki suureet, kun λ =.5. MTTF on /λ. Huomautus. Systeemin luokittelu muistiominaisuuksien mukaan ei ole kovin hyvin vertailukelpoinen luokittelun IFR, DFR,... kanssa. 5 decreasing mean residual life inreasing mean residual life constant failure rate

11 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS R(t) F(t) r(t) = λ f(t) Kuva 2. Eksponenttijakautuneen vioittumisajan peruskäyrät (Matlab), λ =.5. Moni systeemi aloittaa elinkaarensa DFR-systeeminä (käyttöönotto, debuggaus ), jatkaa aikansa CFR-systeeminä (varsinainen käyttöaika) ja lopettaa IFR-systeeminä (poistolistalla), ainakin likimain. Tällaisen systeemin vioittuvuuden kuvaaja on ammekäyrä, ks. Kuva 3. r(t) Kuva 3. Ammekäyrä. t.3 Luotettavuustyypin testaus: Barlow Campo-testi Testaus pyrkii selvittämään onko systeemi CFR, IFR vaiko DFR sillä aikavälillä, jolta vioittumisaikojen otos otetaan. Testisuure on t Σ (α) = t α R(t) dt, missä t α on α-kvantiili eli t α = F (α) (ks. sivu 3). Tämä t Σ (α) on todennäköisyyden α funktio, jota ei tunneta, ja se pitää estimoida. Ilmeisesti t Σ () =ja t Σ () = m, sillä t α =, kun α =,jat α =, kun α =. Normalisoidaankin t Σ välille [, ] jakamalla se m:llä: T S (α) = m t α R(t) dt.

12 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS 8 T S :n kuvaaja on yksikköneliössä. Testi perustuu seuraavaan tulokseen. Lause.5. CFR-systeemeille T S (α) =α, IFR-systeemeille T S (α) on konkaavi funktio 6 ja DFRsysteemeille T S (α) on konveksi funktio 7. Todistus. CFR-systeemille, jonka vioittuvuus on vakio λ, onf (t) = e λt ja m =/λ ja suoraan ratkaisemalla saadaan t α = ln( α). Näin ollen λ T S (α) =λ λ ln( α) e λt dt = e ln( α) = α. Yleisessä tapauksessa ketjusäännön ja käänteisfunktion derivointisäännön nojalla dt S (α) dα = dt S dt α dt α dα = dt S df (α) dt α dα = dt S dt α df (t α ) dt = m R(t α) f(t α ) = mr(t α ). α:n kasvaessa t α kasvaa. Näin ollen, jos kyseessä on IFR-systeemi, myös r(t α ) kasvaa ja T S (α):n derivaatta vähenee ja T S (α) on konkaavi funktio. Jos taas kyseessä on DFR-systeemi, r(t α ) vähenee ja T S (α) on vastaavasti konveksi funktio. Jotta saataisiin estimoiduksi T S (α), pitää estimoida m ja t Σ (α). Tätä varten laitetaan n systeemiä testiin, havaitaan näiden realisoituneet vioittumisajat <t <t 2 < <t n ja muodostetaan ns. empiirinen kertymäfunktio, kun t<t /n, kun t t<t 2 2/n, kun t 2 t<t 3 ˆF (t) = (n )/n, kun t n t<t n, kun t t n (n-portainen porrasfunktio). ˆF (t) on nyt kertymäfunktion F (t) estimaatti, joten ˆR(t) = ˆF (t) on luotettavuuden R(t) estimaatti. t Σ (α):n lausekkeessa olevan integraalin estimaatti on t i ˆR(t) dt = i k= ( k ) (t k t k )= n n i (n k + )(t k t k ) k= = i ((n + )(t k t k ) (kt k (k )t k )+t k ) n k= ( ) ( = i i ) (n +)t i it i + t k = t k +(n i)t i, n n k= k= 6 Eli T S (α):n kuvaaja on ylöspäin kupera eli sen derivaatta on vähenevä eli toinen derivaatta on negatiivinen. 7 Eli T S (α):n kuvaaja on alaspäin kupera eli sen derivaatta on kasvava eli toinen derivaatta on positiivinen.

13 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS 9 missä sovitaan, että t =. Otetaan käyttöön testiajan kertymä i:nteen vioittumiseen asti ja kokonaistestiaika, ts. i n T Σi = t k +(n i)t i ja T Σ = T Σn = t k. k= Silloin luonnollinen m:n estimaatti on ˆm = n T Σ ja näin saadaan T S (i/n):n estimaatti ˆT S (i/n) = T Σ i. T Σ Huomautus. Toisinaan käytetään ajan säästämiseksi ns. sensuroitua testiä, ts. laitetaan n systeemiä testiin ja kerätään s ensimmäistä vioittumisaikaa (s on tietty ennalta sovittu lukumäärä). (Kyseessä on ns. II tyypin sensurointi, ks. pykälä 3.5.) Luonnollinen m:n estimaatti on silloin ˆm = T s Σ s, jolloin T S (i/n):lle saadaan vastaavasti estimaatti k= ˆT S (i/n) = s n T Σi T Σs (i =,...,s) Kuva 4. Testi voidaan nyt tehdä graafisesti piirtämällä suora T S = α sekä T S = ˆT S (i/n) murtoviivana samaan kuvioon. Matlabilla tämä voidaan tehdä helposti. Kuvassa 4 on Barlow Campotestikäyrä, missä n =25. (Huomaa, että α-akselia ei tässä ole normalisoitu.) Kvalitatiivisessa Barlow Campo-testissä systeemin CFR-ominaisuus tutkitaan graafisesti kuvan perusteella. (Kuvan 4 systeemi itse asiassa on CFR-systeemi.) Kvantitatiivisessa Barlow Campo-testissä taas lasketaan montako kertaa murtoviiva ylittää suoran. Kuvassa 4 tämä tapahtuu kaksi kertaa. Systeemi hyväksytään CFR-systeemiksi, jos ylityskertojen lukumäärä ylittää tietyn rajan, joka riippuu kokeiden lukumäärästä n sekä riskitasosta p. (p on todennäköisyys, että systeemi on CFR-systeemi, vaikka testi ei sitä sellaiseksi hyväksy.) Ko. raja ei ole helppo laskea, joten usein se määrätään simuloinnilla. Ks. alkuperäisviite BARLOW, R.E. & CAMPO, R.: Total Time on Test Processes and Applications to Failure Data Analysis. SIAM (975). Matlabilla ajetun simulaation tulokset ovat alla taulukoituina. Taulukossa on riskitaso, millä systeemi tuomitaan ei-cfr-systeemiksi, kun ylitysten lukumäärä näytemäärällä n on enintään c.

14 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS c\n Taulukon mukaan Kuvan 4 tapauksessa kyseessä on CFR-systeemi. (Paremminkin niin, että jos pääteltäisiin, että kyseessä ei ole CFR-systeemi, niin päätelmä on väärin 39% tapauksista ja riski on liian suuri.) Usein vain pieni riski, esimerkiksi %, 5% tai %, katsotaan hyväksyttäväksi. Tämä johtaa kuitenkin suuriin näytemääriin, kuten taulukosta näkyy. Jos testin mukaan systeemi ei ole CFR-systeemi, voidaan kuvasta katsoen Lausetta.5 käyttäen päättää onko se IFR- vaiko DFR-systeemi (vai onko kumpaakaan, systeemihän saattaa muuttaa käyttäytymistään, varsinkin jos testiaika on pitkä)..4 Luotettavuustyyppien vertailua luotettavuuden avulla IFRA-systeemille r(t) = ln R(t) t on kasvava ja DFRA-systeemille vähenevä. CFR-systeemille tietysti r(t) = λ. ln R(t):n ja λt:n kuvaajat yhtyvät origossa. Jos kyseessä on IFRA- tai DFRA-systeemi, niin r(t):n kuvaaja voi leikata λ:n kuvaajan vain enintään yhdessä pisteessä. Sama pätee myös R(t):n ja e λt :n kuvaajille. Ennen mainittua leikkaamispistettä ln R(t) kulkee IFRA-systeemille λt:n alapuolella ja DFRA-systeemille sen yläpuolella. Vastaavasti R(t) kulkee IFRA-systeemille e λt :n yläpuolella ja DFRA-systeemille sen alapuolella. Eri tilanteet on esitetty Kuvissa 5 ja Kuva 5. Tyypillisiä IFRA-systeemien luotettavuuksia (Matlab). Katkoviiva on CFR-käyrä.

15 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS Kuva 6. Tyypillisiä DFRA-systeemien luotettavuuksia (Matlab). Katkoviiva on CFR-käyrä. Tästä havaitaan, että IFRA-systeemi voi olla lyhyellä aikavälillä huomattavasti CFR-systeemiä luotettavampi, vaikka se olisi pitemmällä aikavälillä yleisesti ottaen vähemmän luotettava. Vastaavasti DFRA-systeemi voi olla lyhyellä aikavälillä vähemmän luotettava kuin CFR-systeemi ja kuitenkin yleisesti sitä luotettavampi. Esitettyä vertailua käyttäen voidaan myös etsiä luotettavuuksille R(t) ylä- tai alarajoja, mikäli tunnetaan luotettavuus R(t ) ajanhetkellä t = t. Tällöin nimittäin voidaan valita sellainen CFR-systeemi, että R(t) leikkaa sen luotettavuusfunktion kuvaajaa pisteessä t = t : R(t )=e λt eli λ = λ = t ln R(t ). Välillä t t saadaan luotettavuudelle silloin seuraavat arviot: IFRA-systeemille R(t) e λ t, kun t t ja λ = t ln R(t ). DFRA-systeemille R(t) e λ t, kun t t ja λ = t ln R(t ). Samanlainen arvio voidaan tehdä, kun tunnetaankin R(t ):n sijasta MTTF. Otetaan tarkasteltavaksi ajanhetki t >mja valitaan (t :stä riippuva) parametriarvo λ = λ siten, että t e λt dt = R(t) dt = m eli e λt = λm. Koska e λt > λt, kun t> (funktion e x +x minimiarvo saavutetaan pisteessä x =), ratkaisu λ löytyy vain, kun t >m. Nyt IFRA-systeemille e λ t :n kuvaaja on R(t):n kuvaajan yläpuolella tai kuvaajat leikkaavat jollain välillä <t<t olevalla t:n arvolla (ajattele yo. integraalien samuutta). Näin saadaan arvio IFRA-systeemille R(t) e λ t, kun t t >mja λ toteuttaa yhtälön e λ t = λ m. Huomautus. DFRA-systeemille ei vastaavaa arviointitulosta yleisesti ole.

16 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS 2 Mainittu yhtälö e λt = λm eli λ = ( e λt ) m on helppo ratkaista numeerisesti, esimerkiksi iteroimalla. Se voidaan ratkaista symbolisestikin, kunhan otetaan käyttöön ns. Lambertin funktio W (x), joka määritellään yhtälöllä Maple-ohjelmistolla tämä on helppoa: W (x)e W (x) = x. > L:=allvalues(RootOf(exp(-lambda*t[])=-lambda*m,lambda)); (LambertW ( _NN, t e t m m )m + t ) t m Maple-ohjelmiston Lambertin funktio on monihaarainen. Tässä pitää valita parametriksi _NN nolla, jotta saataisiin W (x).tulos on siis λ = ( W t ) t m t m e + m. Myös välille < t m saadaan ylä-/alarajoja, mikäli kyseessä on IFR-systeemi tai DFRsysteemi. IFR-systeemille ln R(t) on konkaavi 8, sillä sen derivaatta r(t) on vähenevä. Analogisesti DFR-systeemille ln R(t) on konveksi 8.Seuraava aputulos on nyt tarpeen. Apulause. (Jensenin epäyhtälö) Konveksille funktiolle g(x) on E(g(X)) g(e(x)) ja konkaaville funktiolle g(x) on E(g(X)) g(e(x)) (X:n jakaumasta riippumatta, jos vain E(X) on olemassa). Todistus. Katsotaan vain konveksin funktion g(x) tapaus (konkaavin g(x):n tapaus on analoginen). Jos g(x) on konveksi, g (x) on kasvava. Jos nyt s<t<u, niin peruskursseilta tutun Väliarvolauseen nojalla g(t) g(s) =g (τ)(t s) ja g(u) g(t) =g (θ)(u t), missä s<τ<tja t<θ<u. Siispä, koska g (x) on kasvava, g(t) g(s) t s = g (τ) <g (t) <g (θ) = g(u) g(t). u t Valitaan nyt t =E(X). Koska (g(t) g(s))/(t s) on s:stä riippumatta ylhäältä rajoitettu, sillä on s:stä riippumaton yläraja ja erityisesti pienin yläraja eli supremum b = sup s<t g(t) g(s) t s (ts. yläraja, jota suurempia kaikki muut ylärajat ovat). Koska (g(u) g(t))/(u t) on tällainen yläraja, se ei voi alittaa b:tä. Näin ollen mikä on sama kuin g(t) g(s) t s b g(u) g(t), u t g(u) g(t)+b(u t) ja g(s) g(t)+b(s t). 8 Ks. sivun 8 alaviite.

17 LUKU. DESKRIPTIIVINEN LUOTETTAVUUS 3 Kaikille kysymykseen tuleville x:n arvoille on näin ollen g(x) g(t)+b(x t) (huomaa erityisesti tapaus x = t). Sijoitetaan x = X ja otetaan puolittain odotusarvot: E(g(X)) E(g(t)) + b(e(x) E(t)) =E(g(t)) = g(t) =g(e(x)). Jensenin epäyhtälöä soveltaen IFR-systeemille ln R(m) E(ln R(T )) = f(t)lnr(t) dt = ln udu= eli R(m) e (tehdään integraalissa muuttujan vaihto u = R(t)). Vastaavasti DFR-systeemille R(m) /e. IFR-systeemi on myös IFRA-systeemi (Lause.4), joten sille r(t) = ln R(t) on kasvava ja t edelleen e r(t) = R(t) /t on vähenevä. Siis, jos t m, onifr-systeemille R(t) t R(m) m e m. DFR-systeemeille on vastaavasti R(t) t e m, kun t m. Näin saadaan arviot IFR-systeemille R(t) e t m, kun t m. DFR-systeemille R(t) e t m, kun t m. Huomautus. Esitetyn kaltaiset ylä/alarajat korostavat eksponenttijakautuneen vioittumisajan merkittävyyttä luotettavuudessa. Se on monessa mielessä rajatapaus.

18 Luku 2 VIKAJAKAUMAT 2. Tavalliset vikajakaumat Tilastomatematiikassa ei esiinny niin paljon jakaumatyyppejä kuin äkkiseltään voisi odottaa. Syynä on pääsääntöisesti normaalijakauman tärkeä asema sekä siihen liittyen Keskeinen rajaarvolause. Luotettavuusteoriassa sen sijaan on käytössä varsin laaja kokoelma erilaisia vioittumisajan jakaumia. Näistä kuitenkin osa on valiutunut yleisimmiksi ja nämä on lueteltu alla olevissa taulukoissa. Kaikki esiintyvät jakaumat ovat kaksiparametrisiä ja jakauma tulee yksikäsitteisesti määritellyksi, kun nämä parametrit annetaan. Ensin ensimmäinen taulukko: Nimi gammajakauma Weibullin jakauma Rayleigh n jakauma parametrit α>,β > λ>,α> θ>,k tiheysfunktio m V β α Γ(α) tα e βt λαt α 2θk+ λtα e Γ(k +) t2k+ e θt2 α β λ /α Γ( + ) Γ(k + 3) 2 α Γ(k +) θ (k + Γ(k + 3 ) 2 )2 θ Γ(k +) 2 α β 2 λ 2/α (Γ( + 2 α ) Γ( + α )2 ) luotettavuus Γ(βt,α) e λtα Γ(θt 2,k+) Tässä esiintyvä Γ(x) on ns. gammafunktio Γ(x) = s x e s ds. Peruskursseilta muistettaneen, että integraali suppenee, kun x >, Γ(x +) =xγ(x) ja että Γ(n +)=n!, kun n on kokonaisluku. Esiintyvä Γ(u, x) taas on ns. vajaa gammafunktio Γ(u, x) = u s x e s ds. Γ(x) Ohjelmistot tuntevat nämä erikoisfunktiot ja osaavat laskea niillä. 4

19 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 5 Huomautus. Eksponenttijakauma saadaan sekä gammajakauman erikoistapauksena (valitaan α = ja β = λ) että Weibullin jakauman erikoistapauksena (valitaan α = ). Valitsemalla Weibullin jakaumassa α =2ja Rayleigh n jakaumassa k =saadaan sama jakauma (jota usein kirjallisuudessa kutsutaan Rayleigh n jakaumaksi). Tilastomatematiikan kurssilta tuttu χ 2 -jakauma n vapausasteella on taas gammajakauman erikoistapaus (valitaan α = n/2 ja β =/2). Vielä voidaan todeta, että gammajakaumaa, missä α on kokonaisluku, kutsutaan usein myös Erlangin jakaumaksi. Toiseen taulukkoon on kerätty suoraan normaalijakaumasta muuntamalla saatuja jakaumia: Nimi normaalijakauma lognormaalijakauma alfajakauma parametrit µ>,σ > α>,β > µ>,σ > tiheysfunktio e β 2σ 2 (t µ)2 2πσ π t e β ln(αt)2 2πσt 2 e 2σ 2 ( t µ)2 m µ α e 4β µ + σ2 µ 3 V σ 2 α (e σ 2 2 β e 2β ) µ + 8σ4 4 µ 6 ( ) t µ luotettavuus Φ Φ( ( 2β ln(αt)) Φ µ ) ( ) t µ Φ σ σ σ Tässä Φ(x) on standardinormaalijakauman kertymäfunktio Φ(x) = x e 2 t2 dt. 2π Alfajakauman parametrit ovat usein kirjallisuudessa α = µ/σ sekä β =/σ. Kolmas taulukko puolestaan pitää sisällään kaksi mutkikkaampaa normaalijakauman johdannaista. Nimi Birnbaum Saunders-jakauma käänteisnormaalijakauma parametrit α>,β > µ>,λ> tiheysfunktio t + β 2α 2πβt 3 e 2α 2 ( t β + β t 2) λ λ 2πt 3 e 2µ 2 t (t µ)2 m β( + 2 α2 ) µ V α 2 β 2 ( α2 ) λ ( ) λt λ ( ) Φ t β luotettavuus Φ α β α µ t ( ) t λt λ Φ µ t µ 3 e 2 λ µ

20 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 6 Käänteisnormaalijakaumaa kutsutaan toisinaan myös Schrödingerin jakaumaksi. Neljännessä taulukossa on vielä kolme jakaumaa. Nimi Gumbelin jakauma. Pareton jakauma 2. Pareton jakauma parametrit α,θ > γ α>,β > α>,β > α { { αβ α t α, kun t β, kun t<β tiheysfunktio α e α(t θ) eα(t θ), kun t>β αβ α t α, kun t β m V luotettavuus θ γ α αβ α + π 2 6α 2 αβ 2 { e eα(t θ), kun α> e eα(t θ), kun α< αβ α (α>) αβ 2 (α >2) (α + 2)(α +) 2 (α 2)(α ) 2 { { β α t α, kun t β, kun t<β, kun t>β β α t α, kun t β Vakio γ on ns. Eulerin vakio (= ). Itse asiassa nämä esiintyvät gammat liittyvät toisiinsa, sillä Γ () = γ ja Γ () = γ 2 + π 2 /6. Gumbelin jakauman parametriehto θ > γ/α tarvitaan vain takaamaan, että m >, muuta merkitystä sillä ei ole. Huomaa, että. Pareton jakaumassa vioittuminen tapahtuu varmasti välillä t β, kun taas 2. Pareton jakaumassa se ei koskaan tapahdu tällä välillä. Huomaa myös, että 2. Pareton jakauman odotusarvo on ääretön, jos α,javarianssi on ääretön, jos <α 2. Huomautus. Normaalijakauma, alfajakauma ja Gumbelin jakauma eivät ole tarkkaan ottaen vikajakaumia, sillä ne sallivat negatiiviset vioittumisajat. Jos kuitenkin parametrit valitaan niin, että P(T <) on hyvin pieni, ei tästä tule suurtakaan virhettä. Tarkasti tehden nämä jakaumat tulisi oikeaoppisesti typistää, ts. kertoa tiheysfunktio f(t) sellaisella vakiolla K, että K f(t) dt =. Jokaisesta vikajakaumasta saadaan ns. δ:lla siirretty jakauma ottamalla tiheysfunktioksi { f(t δ), kun t δ f δ (t) =, kun t<δ. Tällainen siirto tuo mukaan uuden parametrin δ ja välillä t < δ vioittuvuus on =. Normaalijakauman µ sekä Gumbelin jakauman θ itse asiassa ovat tällaisia siirtoparametrejä. Seuraavassa on näiden vikajakaumien peruskäyrät piirrettyinä tietyille edustaville parametriarvoille. Kuvat on piirretty Matlabilla. Myös vioittuvuuden raja-arvo r( ) =lim t r(t) sekä luotettavuustyyppi (IFR, jne., jos olemassa) on annettu. Peruskursseilta tutun l Hospitalin säännön nojalla myös lim t r(t) =r( ). Huomautus. Vikajakaumille, jotka pienellä todennäköisyydellä sallivat negatiiviset vioittumisajat (normaalijakauma, alfajakauma ja Gumbelin jakauma), on kaksi tapaa piirtää vioittuvuus (ja keskivioittuvuus). Näillä tavoilla ei ole suurtakaan eroa pienille ja tavallisille ajoille t, sen

21 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 7 sijaan suurille t:n arvoille niillä voi olla radikaali ero. Ensimmäisessä tavassa valitaan luotettavuus siten, että R() =. Silloin lim t R(t) > ja r( ) =(koska aina lim t f(t) =). Toisessa tavassa, jota tässä käytetään, valitaan luotettavuus siten, että lim t R(t) =. Haittapuolena on nyt se, että R() <, jolloin ln R() > ja lim t + r(t) =. Tällaisia vaikeuksia ei esiinny, jos jakaumat typistetään, mutta hintana on silloin lausekkeiden huomattavasti suurempi mutkikkuus. 2 Ga mmajakauma r(t) 2 R(t) r(t) f(t) Kuva 7. α =.5,β =,r( ) =(DFR) Ga mmajakauma R(t) r(t).6 r(t) f(t) Kuva 8. α =2,β =,r( ) =(IFR)

22 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 8 2 Weibullin jakauma f(t) R(t) r(t) r(t) Kuva 9. α =.5,λ=,r( ) =(DFR) 2 Weibullin jakauma 8 r(t) 6 4 r(t) 2 R(t) f(t) Kuva. α =3,λ=,r( ) = (IFR)

23 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 9 7 Rayleigh n jakauma r(t) 3 2 R(t) f(t) r(t) Kuva. k =3,θ =,r( ) = (IFR) 3.5 Normaalija kauma r(t).5 R(t).5 f(t) r(t) Kuva 2. µ =5,σ =,r( ) = (IFR)

24 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 2 Lognorm aalija kauma r(t).5 r(t) f(t) R(t) Kuva 3. α =,β =.5,r( ) = 3.5 Alfajakauma f(t) r(t) R(t) r(t) Kuva 4. µ =2,σ =,r( ) =

25 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 2 Birnbaum-Saunders-jakauma.9.8 r(t).7 r(t).6.5 R(t) f(t) Kuva 5. α =,β =,r( ) =.5.8 Käänteisnormaalijakauma r(t).8.6 f(t) r(t).4 R(t) Kuva 6. µ =,λ=.5,r( ) =.25

26 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 22 8 Gumbe lin jakauma r(t) 3 2 R(t) f(t) r(t) Kuva 7. α =,θ =,r( ) = (IFR) Gumbe lin jakauma.9.8 R(t) r(t).7.6 r(t).5.4 f(t) Kuva 8. α =,θ =2,r( ) =(IFR)

27 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT Pareton jakauma 2.5 R(t) r(t).5 r(t) f(t) Kuva 9. α =.5,β =,r() = 2. Pareton jakauma R(t).8 r(t) f(t) r(t) Kuva 2. α =2,β =,r() = (IFR)

28 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT Pareton jakauma R(t) r(t) r(t). f(t) Kuva 2. α =.5,β =,r( ) = 2.2 Vikajakauman syntyminen vioittumismekanismin kautta: Birnbaum Saunders-jakauma, alfajakauma, käänteisnormaalijakauma Ideaalisesti vikajakauma saadaan tutkimalla ja mallintamalla vikojen syntymekanismia ja käyttämällä jotain tunnettua jakaumaa fysikaalisten ym. prosessien yhteydessä. Tällä tavoin saadaan kuitenkin vain osa vikajakaumista. Muut jakaumat tulevat luotettavuusmatemaattisten tarkastelujen kautta. (Edellisessä luvussa jo todettiinkin eksponenttijakauman keskeinen asema luotettavuustarkasteluissa.) Alfajakauma, Birnbaum Saunders-jakauma sekä käänteisnormaalijakauma saadaan kuitenkin nimenomaan vioittumismekanismia tutkimalla sekä käyttämällä Keskeistä raja-arvolausetta. Lause 2.. (Keskeinen raja-arvolause) Jos X,X 2,...,X N ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, joilla on sama odotusarvo µ sekä sama varianssi σ 2,jaF N (x) on satunnaismuuttujan X = Nσ (X + X X N Nµ) kertymäfunktio, niin lim F N(x) =Φ(x) (tasaisesti). N (Huomaa, että X + X X N :n odotusarvo on Nµ sekä varianssi Nσ 2.) Suurilla N:n arvoilla X + X X N :llä on siis likimain N(Nµ,Nσ 2 )-jakauma. Todistus. Löytyy kutakuinkin kaikista vähänkään pidemmälle menevistä tilastomatematiikan kirjoista, ks. esimerkiksi ROUSSAS. Itsessään normaalijakauma voidaan usein katsoa syntyneeksi Keskeisen raja-arvolauseen nojalla jonkin vioittumismekanismin kautta. Jos esimerkiksi systeemi vioittuu saatuaan tietyn (suuren) määrän N satunnaisina ajanhetkinä tapahtuvia iskuja ja X i on aika i :nnestä iskusta i:nteen iskuun (X vastaavasti ensimmäisen iskun aika), niin systeemin vioittumisaika on

29 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 25 T = X + X X N. Usein voidaan tehdä Keskeisen raja-arvolauseen oletukset satunnaismuuttujista X i, jolloin vikajakauma on (likimain) normaali. Huomautus. Myös lognormaalin jakauman synty selitetään usein vastaavalla tavalla, mutta tämä selitys on jonkin verran ontuva, ks. esimerkiksi MANN &SCHAFER &SINGPURWALLA tai CĂTUNEANU &MIHALACHE tai HØYLAND &RAUSAND. Lognormaalijakaumalle ei vikajakaumana ole oikeastaan lainkaan hyvää perustelua, josta syystä sen käyttöä eivät kaikki suosittele. Alfajakauman tapaus on varsin mutkikas (ks. esimerkiksi CĂTUNEANU & MIHALACHE), samoin käänteisnormaalijakauman (ks. esimerkiksi HØYLAND & RAUSAND), joten tarkastellaan tässä vain Birnbaum Saunders-jakaumaa. Tarkastellaan tilannetta, jossa jaksottaisesti toistuvat m kuormitusta L,L 2,...,L }{{ m,l },L 2,...,L m,l }{{},L 2,...,L m,... }{{}. jakso 2. jakso 3. jakso aiheuttavat syvenevän rasitusmurtuman. Merkitään X i :llä murtuman syvenemää i:nnen kuormituksen aikana. X i on satunnaismuuttuja, josta tehdään seuraavat oletukset: X i riippuu vain sitä samassa jaksossa edeltävistä syvenemistä, mutta ei edeltävien jaksojen syvenemistä. Lisäksi X i :n jakauma voi riippua kaikista edeltäneistä kuormituksista i:nteen kuormitukseen asti (eli i:stä). j:nnen jakson kokonaissyvenemä Y j on satunnaismuuttuja, jolla on (jaksosta riippumatta) aina sama odotusarvo µ ja sama varianssi σ 2. Huomaa, että edellisen kohdan nojalla Y j :t ovat riippumattomia. n jakson aikana syntyvä murtuman syvyys on satunnaismuuttuja jonka odotusarvo on ja varianssi on (riippumattomuuden takia) Z n = Y + Y Y n, E(Z n )=E(Y )+E(Y 2 )+ +E(Y n )=nµ var(z n )=var(y )+var(y 2 )+ +var(y n )=nσ 2. Valitaan aikayksiköksi jakson pituus sekä merkitään T :llä sitä jaksojen lukumäärää, johon mennessä murtuma on syventynyt yli kriittisen rajan C. Silloin ( Zt tµ P(T t) =P(Z t >C)= P(Z t C) = P C tµ ) tσ tσ ja Keskeisen raja-arvolauseen nojalla Z t tµ tσ on likimain standardinormaalisti jakautunut, kun t on suuri (kuten sen oletetaan olevan). Siis ( ) ( ) ( ) P(T t) C tµ tµ C tµ C/ t = Φ =Φ =Φ. tσ tσ σ

30 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 26 Nyt voidaan approksimatiivisesti ajatella T :n ja t:n olevan jatkuvia ja merkitään α = σ µc sekä β = C µ, jolloin saadaan ( F (t) t = Φ α β β α t ). 2.3 Vikajakauma vioittuvuuden muodon perusteella: Weibullin jakauma, modifioitu Gumbelin jakauma Usein voidaan vioittuvuuden muoto tuntea ainakin suurinpiirtein ja valita tätä kautta vikajakauma (parametrejä vaille). Weibullin jakauman vioittuvuus on r(t) = f(t) R(t) = λαtα e λtα e λtα = λαt α. Näin ollen Weibullin jakauma saadaan, kun arvellaan vioittuvuuden olevan potenssimuotoa ct a joillekin vakioille a> ja c>. Jos taas arvellaan vioittuvuuden olevan eksponentiaalista muotoa r(t) =ce at joillekin vakioille a ja c>,saadaan ns. modifioitu Gumbelin jakauma, jonka luotettavuus on Nyt on kaksi mahdollisuutta: R(t) =e t r(s) ds = e c a( e at ).. Jos a>, kirjoitetaan β = c/a ja α = a ja modifioidun Gumbelin jakauman kertymäfunktio ja tiheysfunktio ovat F (t) = e β( eαt ) ja f(t) =αβe αt+β( eαt). Kyseessä on tällöin itse asiassa typistetty Gumbelin jakauma. 2. Jos taas a<, kirjoitetaan β = c/a ja α = a ja modifioidun Gumbelin jakauman kertymäfunktio ja tiheysfunktio ovat F (t) = e β(e αt ) ja f(t) =αβe αt+β(e αt ). Tämä ei ole typistetty Gumbelin jakauma ja jakaumakin vain approksimatiivisessa mielessä, sillä lim t F (t) = e β <. 2.4 Ääriarvojakaumat vikajakaumina: Weibullin jakauma, Gumbelin jakauma Monet vikajakaumat syntyvät ääriarvojakaumina, ts. vioittuminen tapahtuu, kun jonkin satunnaismuuttujan suurin arvo ylittää tai pienin arvo alittaa kriittisen rajan. Esimerkiksi astia alkaa vuotaa, kun pisimmälle syöpynyt reikä syöpyy seinämän läpi. Syöpymiä on tällöin suuri määrä, joista vain yksi (tai muutama) syöpyy läpi.

31 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 27 Satunnaismuuttujan X ns. n-maksimi X n max saadaan, kun otetaan n riippumatonta satunnaismuuttujaa X,X 2,...,X n,joilla on sama jakauma kuin X:llä, ja merkitään Vastaavalla tavalla määritellään n-minimi X n max = max(x,x 2,...,X n ). X n min = min(x,x 2,...,X n ). Yleisesti, jos satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on F (x), niin satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on F ( x).toisaalta min(x,x 2,...,X n )= max( X, X 2,..., X n ) (totea!), joten minimin jakauma saadaan välittömästi, kunhan maksimin jakauma tunnetaan. Nyt X n max :n kertymäfunktio on F n max (y) =P(X n max y) =P(X,X 2,...,X n y) =P(X y)p(x 2 y) P(X n y) = F (y) n. Näin ollen X n min :n kertymäfunktio on F n min (y) = ( F (y)) n. Huomautus. Weibullin jakauman kertymäfunktio on e λtα. Näin ollen Weibullin jakauman minimin jakauma on jälleen Weibullin jakauma. Tästä voi päätellä, että Weibullin jakauma syntyy nimenomaan minimijakaumana, kuten jatkossa todetaankin Approksimaatio suurille n:n arvoille Jos n on suuri, on näiden kertymäfunktiolausekkeiden käsittely hankalaa (pieni luku potenssiin suuri luku, lähellä :tä oleva luku potenssiin suuri luku). Kertymäfunktioille käytetään tästä syystä approksimatiivisia ja asymptoottisia hyvin suurille n:n arvoille käypiä lausekkeita. Merkitään Y n = n( F (X n max )). Y n :n kertymäfunktio on ( ) G n (y) =P(Y n y) =P F (X n max ) y ( n =P (X n max F y )) = P ( n = F (F y )) n ( = y n. n n) Näin ollen suurilla n:n arvoilla G n (y) ( = lim n Näin voidaan approksimoida (jakaumamielessä) X n max = F ( y ) n ) = e y. n ( Y ), n ( (X n max F y )) n

32 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 28 missä Y on eksponenttijakautunut satunnaismuuttuja, jonka kertymäfunktio on e y. Edelleen X n max :n kertymäfunktiolle saadaan approksimaatio ( F n max (y) = P (F Y ) ) y =P ( Yn ) n F (y) =P(Y n( F (Y ))) = G n (n( F (Y ))) = ( e n( F (y)) ) eli F n max (y) = e n( F (y)). Aivan vastaavasti saadaan minimille approksimaatio ( ) X n min = F Y n (silloin pitää valita Y n = nf (X n min ))jasen kertymäfunktiolle approksimaatio F n min (y) = e nf (y). Huomautus. Nämä approksimatiiviset kertymäfunktiot eivät ole tarkasti ottaen kertymäfunktioita, sillä niiden todennäköisyysmassa (eli :ssä ja :ssä saavutettujen arvojen erotus) on e n.jos n on suuri, on tämä massa tietysti erittäin lähellä :tä Asymptoottiset muodot Toinen tapa lähestyä ääriarvojakaumia suurilla n:n arvoilla on olettaa, että nämä jakaumat olisivat (likimain) saman muotoisia. Yleisesti ottaen jakaumat ovat saman muotoiset, jos niiden kertymäfunktiot F (y) ja F 2 (y) toteuttavat yhtälön F (y) =F 2 (ay + b) joillekin vakioille a> ja b. Jos otetaan maksimeista maksimi, pitäisi jakauman muodon oletuksen mukaan pysyä (likimain) samana, ts. F n max (y) n = Fn max (a n y + b n ), missä a n ja b n riippuvat n:stä. Nyt joko a n =tai sitten yhtälöstä y = a n y + b n voidaan ratkaista sellainen y:n arvo y n = b n, a n että F n max (y n ) n = Fn max (y n ). Siis Katsotaan eri tapaukset. a n = tai F n max (y n ) = tai F n max (y n ) =. Alkuperäisviite on FISHER, R.A. & TIPPETT, L.H.C.: Limiting Forms of the Largest or Smallest Member of a Sample. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 24 (928), 8 9. Se on yhä varsin lukukelpoinen. Toinen klassinen viite on GUMBEL, E.: Statistics of Extremes. Columbia University Press (958). Moderni viite on esimerkiksi GALAMBOS.

33 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 29. a n =: Tällöin F n max (y) n = Fn max (y + b n ). Ilmeisesti b = ja b mn = b n + b m.tästä päätellään, että b n on muotoa b n = C ln n. Vakio C on negatiivinen, koska kertymäfunktio on kasvava. Edelleen n ln F n max (y) = ln F n max (y + b n ) ja Tästä nähdään, että ln( ln F n max (y)) = ln( ln F n max (y + b n )) ln n. ln( ln F n max (y)) y ln n b n = ln( ln Fn max (y + b n )) (y + b n)lnn b n, josta päätellään vielä, että ln( ln F n max (y)) y ln n b n = ln( ln F n max (y)) y C = A jollekin vakiolle A. Ratkaisemalla saadaan F n max (y) = G(y) =e e y C +A. G(y) on Gumbelin jakauman kertymäfunktio parametrein α =/C < ja θ = AC. Kyseessä on ns. Gumbelin jakauma maksimille. 2. a n ja F n max (y n )=: Merkitään u = y y n ja H(u) =F n max (u + y n ), jolloin jakaumassa u ja H(u) n = F n max (u + y n ) n = Fn max (a n (u + y n )+b n ) = F n max (a n u + y n )=H(a n u). Ilmeisesti a =ja a mn = a n a m. Tästä päätellään, että a n on muotoa a n = n c. Vakio c on negatiivinen, koska a n ja H(u) on kasvava. Edelleen n ln H(u) = ln H(a n u) ja ln( ln H(u)) = ln( ln H(a n u)) ln n. Näin ollen ln( ln H(u)) ln n ln u ln a n = ln( ln H(an u)) ln n ln(a nu) ln a n, josta taas päätellään, että ln( ln H(u)) ln n ln u ln a n jollekin vakiolle A. Ratkaisemalla saadaan = ln( ln H(u)) ln u c = A H(u) = e u/c e A,

34 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 3 jolloin F n max (y) =H(y y n ) = G(y) =e ea (y y n) /c. Yleensä G(y) kirjoitetaan muotoon G(y) =e λ(y θ) α (kun y>θ), missä λ = e A ja α = /c ovat positiivisia parametrejä. Luotettavuusteoriassa siirtoparametri θ on tietysti positiivinen. 3. a n ja F n max (y n )=: Aivan kuten edellisessä kohdassa todetaan nyt, että ln( ln H(u)) ln( u) c jollekin vakiolle A, jolloin saadaan F n max (y) = G(y) =e λ(θ y)α = A (kun y θ). Tässä λ ja α ovat positiivisia parametrejä. (Huomaa, että nyt c:n on oltava positiivinen.) Luotettavuusteoreettista käyttöä ajatellen θ:n on oltava niin suuri, että negatiivisten y:n arvojen todennäköisyys on hyvin pieni. Vastaavat minimin jakauman asymptoottiset muodot saadaan samaan tapaan kuin maksimin (tai esimerkiksi päättelemällä identiteetistä min(x,x 2,...,X n )= max( X, X 2,..., X n )). Tällöin saadaan seuraavat muototyypit:. F n min (y) = G(y) = e eα(y θ) (α>). Tämä on Gumbelin jakauma minimille. 2. F n min (y) = G(y) = e λ(θ y) α (y<θ; λ>ja α>). Luotettavuusteoreettista käyttöä ajatellen θ:n on oltava niin suuri, että negatiivisten y:n arvojen todennäköisyys on hyvin pieni. 3. F n min (y) = G(y) = e λ(y θ)α (y θ; λ>ja α>). Tämä on θ:lla siirretty Weibullin jakauma. Luotettavuusteoriassa θ on tietysti ei-negatiivinen. Edellä on tietysti todettu vain mitkä mahdolliset asymptoottiset muodot ovat, jos niitä ylipäänsä on! Toisaalta voidaan näyttää, että asymptoottiset muodot ovat olemassa varsin heikoin oletuksin (ks. sivun 28 alaviitteessä mainitut viitteet). Asian voi heuristisesti päätellä myös käyttäen edellä esitettyjä approksimaatioita suurille n:n arvoille. Sanotaan, että funktio K(x) on asymptoottisesti sama kuin funktio L(x) rajalla x a, merkitään K(x) = a L(x), jos K(x) lim x a L(x) =. Maksimille F n max (y) = e n( F (y)) ja suurelle n:n arvolle muotoon vaikuttaa olennaisesti F (y):n käyttäytyminen silloin, kun se on lähellä :tä (muuallahan F n max (y) = ). Vastaavasti minimille F n min (y) = e nf (y) ja suurelle n:n arvolle ratkaisevaa on F (y):n käyttäytyminen, kun se on lähellä :aa (muualla F n min (y) = ). Näin saadaan esimerkiksi maksimille taulukko

35 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 3 ja minimille taulukko Jakaumatyyppi Maksimin muoto f(y) = ae by (a>,b>). F (y) = ay b (a>,b>) 2. F (y) = θ a(θ y) b (a>,b>) 3. Jakaumatyyppi Minimin muoto f(y) = ae by (a>,b>). F (y) = a( y) b (a>,b>) 2. F (y) = θ+ a(y θ) b (a>,b>) 3. Taulukoiden. rivillä on annettu tiheysfunktiot. Huomaa kuitenkin, että jos f(y) = ae by, niin l Hospitalin säännön nojalla F (y) lim y a b e by Vastaavasti, jos f(y) = ae by, niin lim y F (y) a b = lim y f(y) ae by = eli F (y) = eby = lim y f(y) ae by = eli F (y) = Näin nämäkin ehdot koskettavat myös kertymäfunktioita. a b e by. a b eby. Huomautus. Normaalijakauma ei ole taulukon jakaumatyyppien joukossa. Silti voidaan näyttää, että normaalijakaumasta lähtienkin päästään tyyppiä. oleviin asymptoottisiin jakaumamuotoihin, tosin vain hyvin hitaasti (eli hyvin suurille n:n arvoille). Taulukot eivät siis suinkaan kata kaikkia tapauksia. 2.5 Maksimientropiajakaumat vikajakaumina: Gammajakauma, Rayleigh n jakauma, normaalijakauma, Pareton jakaumat Maksimientropiajakauma ei ole mikään jakaumien erikoistyyppi, itse asiassa kaikki jakaumat ovat jossain mielessä maksimientropiajakaumia. Tärkeä asia on millä side-ehdoilla maksimi on saatu. Jos satunnaismuuttujan X jakauman tiheysfunktio on f(x), niin sen (differentiaali)entropia on H =E( ln f(x)) = f(x)lnf(x) dx. Informaatioteoriassa entropia on epävarmuuden mitta (ks. kurssi Informaatioteoria), ts. mikä on epävarmuus satunnaismuuttujan arvosta ennen sen realisoitumista. Tämä tulkinta on kuitenkin lähinnä tarkoitettu äärellisille jakaumille, jatkuville jakaumille se ei ole perusteltu, paitsi silloin kun kyseessä on entropioiden erotus, ts. kun entropioita verrataan. Valittaessa tietyin ehdoin satunnaismuuttujan jakaumaa johtaa konservatiivinen ajattelu jakaumaan, jossa ko. ehtojen lisäksi ei ole käytetty mitään muuta tietoa, ts. jakaumaan, jossa satunnaismuuttujan realisoituvista arvoista vallitsee suurin epävarmuus (ehtojen puitteissa):

36 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 32 MAKSIMIENTROPIAPERIAATE (PME). Satunnaismuuttujan jakaumaksi valitaan mikäli mahdollista se, joka annettujen lisäehtojen puitteissa antaa suurimman entropian. Koska suurinta entropiaa etsittäessä vertaillaan entropioita, on yo. differentiaalientropia tässä käyttökelpoinen. Valitettavasti sen arvot tosin voivat olla myös = (tai jopa = ), jolloin vertailu ei välttämättä onnistu. Jokainen jakauma on ainakin maksimientropiajakauma ehdolla E(ln f(x)) = η, joka kiinnittää entropian η:ksi. Ehdot, joiden puitteissa entropia maksimoidaan, ovat yleisestikin odotusarvomuotoa E(g (X)) = η,..., E(g k (X)) = η k, missä g,...,g k ovat annettuja funktioita, ns. informaatiofunktiot, ja η,...,η k ovat annettuja lukuja. Huomaa, että valitsemalla informaatiofunktioksi esimerkiksi, kun x<a g(x) =, kun a x b, kun x>b saadaan E(g(X)) = b f(x) dx =P(a x b). a Välien todennäköisyyksiä voidaan näin kiinnittää. Erityisesti näin voidaan estää X:n arvojen tuleminen tietyiltä väleiltä (asettamalla niiden todennäköisyys nollaksi). Tämä hoidetaan kuitenkin tavallisesti sopimalla satunnaismuuttujan arvoväli I etukäteen ja kirjoittamalla H = f(x) lnf(x) dx ja yleisesti E(g(X)) = f(x)g(x) dx. I Tässä I voi olla yleisemmin myös erillisten välien yhdisteestä muodostuva arvojoukko. Integraalit lasketaan silloin kullekin osavälille ja summataan. Kaiken kaikkiaan, etsittäessä maksimientropiajakaumaa annetaan I sekä funktiot g,...,g k ja luvut η,...,η k. Entropian maksimoinnin perustana on sen seuraava ominaisuus: Apulause. Jos f(x) ja g(x) ovat satunnaismuuttujien X ja Y tiheysfunktiot, niin H f(x)lng(x) dx, I missä H on X:n entropia ja I on X:n arvojoukko. Jos f(x) g(x) jollain I:n osavälillä, kyseessä on aito pienemmyys. Todistus. Tässä voidaan olettaa, että f(x) joukossa I. Tulos pitää selvästi paikkansa, jos jollain I:n osavälillä g(x) on identtisesti =. Näin ollen voidaan siirtyä tapaukseen, jossa myös g(x) joukossa I. Koska ln x x (funktion ln x x + maksimiarvo saavutetaan, kun x =), on H + I f(x)lng(x) dx = I = f(x)ln g(x) f(x) dx I I ( ) g(x) f(x) f(x) dx g(x) dx f(x) dx =. I I

37 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 33 Jos f(x) g(x) jollain I:n osavälillä, on ko. osavälillä g(x)/f(x) ja f(x)ln g(x) ( ) g(x) f(x) <f(x) f(x) eikä yhtäsuuruus näin tule kysymykseen. Maksimoinnin antaa Lause 2.2. (PME:N PERUSLAUSE) Eo. odotusarvoehdoin maksimientropian, mikäli äärellisenä olemassa, antaa jakauma, jonka tiheysfunktio on f ME (x) =αe λ g (x) λ k g k (x) (x I), missä vakiot α ja λ,...,λ k määrätään siten, että f ME (x) dx = ja E(g (X)) = η,..., E(g k (X)) = η k I (k +tuntematonta, k +yhtälöä). Jos jakauma on olemassa, se on yksikäsitteinen (vaikka sallittaisiin muutkin arvojoukot!). Todistus. Nyt joten H ME = ln f ME (x) =lnα λ g (x) λ k g k (x), f ME (x)lnf ME (x) dx = f ME (x)(ln α λ g (x) λ k g k (x)) dx I = ln α + λ η + + λ k η k. I Sen näyttämiseksi, että kyseessä todella on maksimientropiajakauma, pitää osoittaa, että jos f(x) on arvojoukon I toinen tiheysfunktio, jolle vaaditut odotusarvoehdot E(g (X)) = η,..., E(g k (X)) = η k toteutuvat, niin sitä vastaava entropia H ei ole suurempi kuin H ME. Apulauseen nojalla mainittu entropia onkin H = f(x)lnf(x) dx f(x)lnf ME (x) dx I = f(x)(ln α λ g (x) λ k g k (x)) dx I I = ln α + λ η + + λ k η k = H ME. Maksimientropiajakauman yksikäsitteisyys seuraa sekin Apulauseesta, sillä jos jakauma eroaa f ME (x):n antamasta jakaumasta, sen tiheysfunktio f(x) on f ME (x) jollain I:n osavälillä ja H<H ME. Yleisesti PME:n peruslauseesta saatu yhtälöryhmä on epälineaarinen yhtälöryhmä, jonka ratkaiseminen tai ratkeamisen selvittäminenkin voi olla hankalaa. Numeerisen ja symbolisen laskennan työympäristöt ovat tässä avuksi. Huomaa, että vakio α voidaan eliminoida välittömästi yhtälöistä, joten oleellisesti tuntemattomia ja yhtälöitä on k kpl. PME:n peruslauseen nojalla voidaan välittömästi havaita, että seuraavassa taulukossa annetut vikajakaumat ovat luonnollisella tavalla maksimientropiajakaumia.

38 LUKU 2. VIKAJAKAUMAT 34 Nimi f(t) g,...,g k I eksponenttijakauma λe λt g (t) =t [, ) gammajakauma Rayleigh n jakauma normaalijakauma β α Γ(α) tα e βt g (t) =lnt, g 2 (t) =t (, ) 2θ k+ Γ(k +) t2k+ e θt2 g (t) =lnt, g 2 (t) =t 2 (, ) 2πσ e 2σ 2 (t µ)2 g (t) =t, g 2 (t) =t 2 (, ). Pareton jakauma αβ α t α g =lnt [,β] tai (,β] 2. Pareton jakauma αβ α t α g =lnt [β, ) Jakauman valinnassa ollaan siis valmiita hyväksymään mukaan tieto esitettyjen funktioiden g (T ),...,g k (T ) keskimääräisistä arvoista (ja väli, jolla vioittumisaika T on), mutta ei mitään muuta. 2.6 Vikajakaumien lineaariyhdelmät: Gammajakauma Jos f (x),f 2 (x),...,f k (x) ovat tiheysfunktioita, niin samoin on niiden lineaariyhdelmä f(x) =ω f (x)+ω 2 f 2 (x)+ + ω k f k (x), edellyttäen, että ω + ω ω k =ja että yhdelmän arvot ovat ei-negatiivisia. Tällöin yhdelmää vastaava kertymäfunktio on myös kertymäfunktioiden lineaariyhdelmä F (x) =ω F (x)+ω 2 F 2 (x)+ + ω k F k (x). Vikajakaumia ajatellen tällaisen lineaariyhdelmän eräs tulkinta on seuraava. Käyttöönotettaessa systeemi on jossain k:sta tilasta S,S 2,...,S k. Systeemin ollessa tilassa S i sen vioittumisajan kertymäfunktio on F i (t). Systeemin tilaa ei tiedetä, sen sijaan tiedetään millä todennäköisyydellä ω i systeemi asettuu tilaan S i. Silloin vioittumisajan T kertymäfunktio on Kokonaistodennäköisyysperiaatteen mukaan F (t) =P(T t) = = k P(T t systeemi on tilassa S i )P(systeemi on tilassa S i ) i= k P(T t systeemi on tilassa S i )ω i = i= k ω i F i (t). Mikäli kyseessä ovat eksponenttijakaumat tai tietyt gammajakaumat, saadaan toinenkin tulkinta. Tätä varten tarvitaan tiheysfunktioiden konvoluution käsite. Tiheysfunktioiden f (t) ja f 2 (t) konvoluutio on f (t) f 2 (t) = t i= f (t s)f 2 (s) ds.