Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia"

Transkriptio

1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1

2 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja arvolause Log normaali, Cauchy, Gamma, Beta ja Weibull jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 2

3 Jatkuva tasainen jakauma Jatkuva tasainen jakauma ja sen tiheysfunktio 1/3 Olkoon satunnaismuuttujan X arvoalueena reaaliakselin äärellinen väli [a, b]. Olkoot [c 1, d 1 ] ja [c 2, d 2 ] välin [a, b] kaksi mielivaltaista, samanpituista osaväliä: [c 1, d 1 ] [a, b] [c 2, d 2 ] [a, b] d 1 c 1 = d 2 c 2 Oletetaan, että väleihin [c 1, d 1 ] ja [c 2, d 2 ] liittyvät todennäköisyydet ovat yhtä suuria: Pr( X [ c, d ]) = Pr( X [ c, d ]) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 3

4 Jatkuva tasainen jakauma Jatkuva tasainen jakauma ja sen tiheysfunktio 2/3 Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on 0, x< a 1 f( x) =, a x b b a 0, x> a Funktio f(x) kelpaa tiheysfunktioksi, koska b a f ( x) dx = 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 4

5 Jatkuva tasainen jakauma Jatkuva tasainen jakauma ja sen tiheysfunktio 3/3 Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa parametreinaan a ja b. Merkintä: X Uniform(a, b) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 5

6 Jatkuva tasainen jakauma Jatkuva tasainen jakauma ja sen kertymäfunktio Olkoon X Uniform(a, b). Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on 0, x a x a F( x) = Pr( X x) =, a x b b a 1, x b TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 6

7 Jatkuva tasainen jakauma Jatkuva tasainen jakauma ja sen kertymäfunktio: Johto Olkoon X Uniform(a, b). Satunnaismuuttujan X tiheysfunktion lauseke, kun x [a, b] : 1 f( x) = b a Siten satunnaismuuttujan X kertymäfunktion lausekkeeksi saadaan, kun x [a, b] : x x 1 F( x) = Pr( X x) = f () t dt = dt b a a 1 = b a = x a b a x a TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 7

8 Jatkuva tasainen jakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X Uniform(a, b). Odotusarvo: a+ b E( X) = 2 Varianssi ja standardipoikkeama: 2 ( b a) Var( X) = D ( X) = 12 b a D( X) = TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 8

9 Jatkuva tasainen jakauma Odotusarvon johto Olkoon X Uniform(a, b) Tällöin + 1 E( X ) = xf ( x) dx = x dx b a b a = x b a b a = 2( b a) a+ b = 2 b a TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 9

10 Jatkuva tasainen jakauma Tiheysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää jatkuvan tasaisen jakauman Uniform(a, b) tiheysfunktiota 1 f( x) =, a x b b a Jakauman odotusarvo: a+ b E( X) = 2 a Uniform(a, b) 1 b a b a+ b E( X) = 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 10

11 Jatkuva tasainen jakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuudet Jatkuvan tasaisen jakauman tiheysfunktio 1 f( x) =, a x b b a saa positiivisen vakioarvon 1/(b a) välillä [a, b] ja saa arvon 0 välin [a, b] ulkopuolella. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 11

12 Jatkuva tasainen jakauma Kertymäfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää jatkuvan tasaisen jakauman Uniform(a, b) kertymäfunktiota 0, x a x a F( x) =, a x b b a 1, x b 1 0 a Uniform(a, b) b TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 12

13 Jatkuva tasainen jakauma Todennäköisyyksien määrääminen jatkuvasta tasaisesta jakaumasta 1/2 Olkoon X Uniform(a, b). Olkoon [c, d] [a, b] jokin välin [a, b] osaväli. Välin [c, d] todennäköisyys saadaan integroimalla jatkuvan tasaisen jakauman Uniform(a, b) tiheysfunktio 1 f( x) =, a x b b a välillä [c, d]: d d c Pr( c X d) = f ( x) dx = b a c TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 13

14 Jatkuva tasainen jakauma Todennäköisyyksien määrääminen jatkuvasta tasaisesta jakaumasta 2/2 Kaikkien muiden jatkuvaan tasaiseen jakaumaan Uniform(a, b) liittyvien tapahtumien todennäköisyydet saadaan välin [a, b] osavälien todennäköisyyksistä todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 14

15 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma >> Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja arvolause Log normaali, Cauchy, Gamma, Beta ja Weibull jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 15

16 Eksponenttijakauma Eksponenttijakauma ja sen tiheysfunktio Olkoon satunnaismuuttujan X tiheysfunktio λ x f( x) = λe, λ > 0, x 0 Funktio f(x) kelpaa tiheysfunktioksi, koska + 0 f ( x) dx = 1 Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa eksponenttijakaumaa parametrinaan λ. Merkintä: X Exp(λ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 16

17 Eksponenttijakauma Eksponenttijakauma ja sen kertymäfunktio Olkoon X Exp(λ). Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on λx F( x) = Pr( X x) = 1 e, λ > 0, x 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 17

18 Eksponenttijakauma Eksponenttijakauma ja sen kertymäfunktio: Johto Olkoon X Exp(λ). Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio: λx f( x) = λe, λ > 0, x 0 Siten satunnaismuuttujan X kertymäfunktioksi saadaan, kun x 0 : λt F( x) = Pr( X x) = f () t dt = λe dt x x 0 = e = 1 e λt λx x 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 18

19 Eksponenttijakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X Exp(λ). Odotusarvo: 1 E( X) = λ Varianssi ja standardipoikkeama: 2 Var( X) D ( X) 1 D( X) = λ = = 1 2 λ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 19

20 Eksponenttijakauma Odotusarvon johto Olkoon X Exp(λ) Tällöin osittaisintegroinnilla saadaan: + + λx E( X ) = xf ( x) dx = xλe dx = e λ 1 = λ + λx + λx xe e dx 0 0 = + λx + 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 20

21 Eksponenttijakauma Tiheysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää eksponenttijakauman Exp(λ) tiheysfunktiota f( x) =λe λx välillä [0, 6], kun (i) λ = 1/2 (ii) λ = 1/4 Jakauman odotusarvo: E( X) = 1/ λ Exp(λ) Exp(1/2) Exp(1/4) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 21

22 Eksponenttijakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuudet Eksponenttijakauman tiheysfunktio λ x f( x) = λe, λ > 0, x 0 on positiivinen kaikille ei negatiivisille argumentin arvoille: f(x) > 0, x > 0 Tiheysfunktiolla on maksimi pisteessä x = 0 Tiheysfunktio on monotonisesti laskeva kaikille λ > 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 22

23 Eksponenttijakauma Kertymäfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää eksponenttijakauman Exp(λ) kertymäfunktiota F( x) = 1 e λx välillä [0, 6], kun λ = 1/ Exp(λ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 23

24 Eksponenttijakauma Poisson prosessi Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista jatkuvalla aikavälillä, jonka pituus on t aikayksikköä. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja Z = Niiden tapahtumien lukumäärä, jotka sattuvat aikavälillä [0, t] Sopivin oletuksin satunnaismuuttuja Z noudattaa Poisson jakaumaa parametrinaan νt: Z Poisson(νt) Parametri νt kuvaa tapahtumaintensiteettiä eli tapahtumien keskimääräistä lukumäärää aikavälillä, jonka pituus on t aikayksikköä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 24

25 Eksponenttijakauma Poisson prosessi ja eksponenttijakauma Olkoon Z Poisson(νt) Määritellään jatkuva satunnaismuuttuja X = Ensimmäisen tapahtuman sattumisaika = Tapahtumien väliaika Satunnaismuuttuja X noudattaa eksponenttijakaumaa parametrinaa ν : X Exp(ν) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 25

26 Eksponenttijakauma Eksponenttijakauman tiheysfunktion johto 1/2 Olkoon X Exp(λ) Johdetaan ensin satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F X. Kertymäfunktion määritelmän ja komplementtitodennäköisyyden kaavan mukaan ( ) FX ( x) = Pr( X x) = 1 Pr( X > x) Ensimmäinen tapahtuma sattuu ajanhetken x jälkeen, jos ja vain jos aikavälillä [0, x] ei ole sattunut yhtään tapahtumaa. Siten Pr( X > x) = Pr( Z = 0) jossa Z Poisson(λx). Poisson jakauman pistetodennäköisyysfunktion kaavasta saadaan: Pr( X > x) = Pr( Z = 0) = exp( λx) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 26

27 Eksponenttijakauma Eksponenttijakauman tiheysfunktion johto 2/2 Sijoittamalla tämä satunnaismuuttujan X lausekkeeseen ( ) kalvolla 1/2 saadaan josta satunnaismuuttujan X tiheysfunktioksi saadaan derivoimalla Siten F ( x) = Pr( X x) = 1 Pr( X > x) = 1 exp( λx) X d fx( x) = FX( x) = λexp( λx) dx X Exp(λ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 27

28 Eksponenttijakauma Eksponenttijakauman unohtamisominaisuus Olkoon X Exp(λ). Tällöin Pr( X a+ b X b) = Pr( X a) Siten eksponenttijakaumalla on seuraava unohtamisominaisuus: Se, että tapahtuman sattumista on jouduttu odottamaan ajan b, ei vaikuta todennäköisyyteen joutua odottamaan ajan a lisää. Poisson prosessin unohtamisominaisuutta on esimerkki stokastisen prosessin Markov ominaisuudesta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 28

29 Eksponenttijakauma Todennäköisyyksien määrääminen eksponenttijakaumasta 1/2 Olkoon X Exp(λ). Olkoon [c, d] [0, + ) jokin välin [0, + ) osaväli. Välin [c, d] todennäköisyys saadaan integroimalla eksponenttijakauman Exp(λ) tiheysfunktio λx f( x) = λe, λ > 0, x 0 välillä [c, d]: d λc Pr( c X d) = f( x) dx= e e c λd TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 29

30 Eksponenttijakauma Todennäköisyyksien määrääminen eksponenttijakaumasta 2/2 Kaikkien muiden eksponenttijakaumaan Exp(λ) liittyvien tapahtumien todennäköisyydet saadaan välin [a, b] osavälien todennäköisyyksistä todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 30

31 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma >> Normaalijakauma Keskeinen raja arvolause Log normaali, Cauchy, Gamma, Beta ja Weibull jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 31

32 Normaalijakauma Normaalijakauma ja sen tiheysfunktio 1/2 Olkoon satunnaismuuttujan X tiheysfunktio x µ f( x) = exp, < µ <+, σ > 0 σ 2π 2 σ < x< + Funktio f(x) kelpaa tiheysfunktioksi, koska + f ( x) dx = 1 Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa parametreinaan µ ja σ 2. Merkintä: X N(µ, σ 2 ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 32

33 Normaalijakauma Normaalijakauma ja sen tiheysfunktio 2/2 Normaalijakaumaa kutsutaan kehittäjänsä mukaan usein Gaussin jakaumaksi ja sen tiheysfunktion kuvaajaa Gaussin käyräksi tai kellokäyräksi (engl. bell curve). TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 33

34 Normaalijakauma Normaalijakauma ja sen kertymäfunktio Olkoon X N(µ, σ 2 ). Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on 1 t µ 1 2 σ F( x) = Pr( X x) = e dt σ 2π Koska normaalijakauman tiheysfunktion integraalifunktiota ei osata esittää suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla, niin normaalijakauman kertymäfunktiolle ei voida antaa eksplisiittistä lauseketta. Siten normaalijakauman kertymäfunktion arvojen määräämiseen on käytettävä numeerista integrointia. x 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 34

35 Normaalijakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X N(µ, σ 2 ). Odotusarvo: E( X ) = µ Varianssi ja standardipoikkeama: Var( X) = D ( X) = σ D( X) = σ 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 35

36 Normaalijakauma Odotusarvon johto 1/2 Olkoon X N(µ, σ 2 ) Tällöin Sijoituksella z = saadaan: x µ σ x µ 1 2 σ σ 2π E( X ) = xf ( x) dx = xe dx 1 + z 1 2 µ σ 2π E( X ) = ( + z) e dz z + z 1 2 σ 2 µ 2π 2π = e dz + ze dz 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 36

37 Normaalijakauma Odotusarvon johto 2/2 Nyt Perustelu: z + z 1 2 σ 2 2π 2π 2 2 E( X) = µ e dz + ze dz = µ z + z e dz e dz 1 2π 2π µ = µ = µ = µ koska integroitava on standardoidun normaalijakauman N(0,1) tiheysfunktio ja z σ 2 ze dz = 0 2π koska integroitava on muuttujan z pariton funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 37

38 Normaalijakauma Tiheysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää normaalijakauman N(µ, σ 2 ) tiheysfunktiota välillä [ 6, +6], kun (i) µ = 2 σ 2 = 4 (ii) µ = 0 σ 2 = 1 (iii) µ = +3 σ 2 = 0.09 Jakauman odotusarvo: { 2 ( ) } 2 x f( x) = exp E( X ) = µ 1 1 µ σ 2π 2σ N(µ, σ 2 ) N(3, 0.09) N(0,1) N( 2, 4) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 38

39 Normaalijakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuuksia 1/3 Normaalijakauman tiheysfunktio on kaikkialla positiivinen: { 2 ( ) } 2 x f( x) = exp 1 1 µ σ 2π 2σ f(x) > 0 kaikille x Tiheysfunktio on yksihuippuinen. Tiheysfunktio saa maksimiarvonsa pisteessä µ. Tiheysfunktio on symmetrinen suoran x = µ suhteen: f(µ x) = f(µ + x) kaikille x TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 39

40 Normaalijakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuuksia 2/3 Tiheysfunktiolla on käännepisteet pisteissä µ σ ja µ + σ ja tiheysfunktio on kupera ylöspäin välin [µ σ, µ + σ] sisäpuolella ja kupera alaspäin välin [µ σ, µ + σ] ulkopuolella. Kaikki normaalijakaumat ovat samanmuotoisia, jos ne piirretään standardoiduissa yksiköissä x µ z = σ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 40

41 Normaalijakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuuksia 3/3 Kuva oikealla esittää normaalijakauman N(µ, σ 2 ) tiheysfunktiota Tiheysfunktiolla on maksimi pisteessä x = µ Tiheysfunktiolla on käännepisteet pisteissä x = µ σ x=µ+σ { 2 ( ) } 2 x f( x) = exp 1 1 µ σ 2π 2σ N(µ, σ 2 ) Maksimi Käännepiste Käännepiste σ σ µ σ µ µ + σ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 41

42 Normaalijakauma sääntö Kaikille normaalijakaumille pätee (likimäärin): (i) 68% jakauman todennäköisyysmassasta on välillä [µ σ, µ + σ] (ii) 95% jakauman todennäköisyysmassasta on välillä [µ 2σ, µ +2σ] (iii) 99.7% jakauman todennäköisyysmassasta on välillä [µ 3σ, µ +3σ] TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 42

43 Normaalijakauma sääntö: Havainnollistus N(µ, σ 2 ) µ 3σ µ 2σ µ σ µ µ + σ µ + 2σ µ + 3σ 68 % 95 % 99.7 % TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 43

44 Normaalijakauma Standardoitu normaalijakauma Olkoon X N(0,1) jolloin siis E( X ) = 0 2 D ( X ) = 1 Tällöin sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa standardoitua normaalijakaumaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 44

45 Normaalijakauma Standardoitu normaalijakauma: Tiheysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää standardoidun normaalijakauman N(0,1) tiheysfunktiota f( x) = exp { x 2 } 1 1 2π N(0,1) jakauman tiheysfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 45

46 Normaalijakauma Standardoitu normaalijakauma: Kertymäfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktiota. Standardoidun normaalijakauman kertymäfunktion F(x) määrittelee kaava F( x) Pr( X x) f () t dt = = jossa f(x) on standardoidun normaalijakauman tiheysfunktio. x N(0,1) jakauman kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 46

47 Normaalijakauma Lineaarimuunnoksen jakauma Olkoon X N(µ, σ 2 ). Määritellään satunnaismuuttuja Y = a + bx jossa a ja b ovat (ei satunnaisia) vakioita. Tällöin Y on normaalinen: Perustelu: Y a b b 2 2 ~ N( + µ, σ ) Ks. lukua Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 47

48 Normaalijakauma Standardointi Olkoon X N(µ, σ 2 ), jolloin E(X) = µ D(X) = σ Standardoidaan satunnaismuuttuja X: X µ Z = σ Standardoitu satunnaismuuttuja Z noudattaa standardoitua normaalijakaumaa N(0,1): Z ~ N(0,1) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 48

49 Normaalijakauma Normaalijakauma ja standardoitu normaalijakauma 1/2 Kaikki normaalijakaumat N(µ, σ 2 ) ovat samanmuotoisia standardoiduissa yksiköissä X µ Z = σ Siten todennäköisyydet mielivaltaisesta normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ) voidaan aina määrätä standardoidun normaalijakauman N(0,1) avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 49

50 Normaalijakauma Normaalijakauma ja standardoitu normaalijakauma 2/2 Olkoon siis X N(µ, σ 2 ) Z N(0,1) Tällöin Pr( a X b) a µ X µ b µ = Pr σ σ σ a µ b µ = Pr Z σ σ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 50

51 Normaalijakauma Normaalijakauma ja standardoitu normaalijakauma: Esimerkki X N(2,1/ 4) Z = ( X µ )/ σ N(0, 1) µ σ X 2 X = 2 = 1/4 A µ σ Z 2 Z = 0 X X = 1 A a = 1.5 b = 3 a µ X σ b µ X = 1 = 2 σ Standardoidun normaalijakauman N(0,1) taulukoista saadaan: ( ) ( ) Alueen A pinta ala = Pr 1.5 X 3 = Pr 1 Z 2 = TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 51 X X

52 Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta 1/2 Todennäköisyydet standardoidusta normaalijakaumasta N(0,1) voidaan määrätä jakauman kertymäfunktion avulla. Olkoon Z N(0,1). Olkoon satunnaismuuttujan Z kertymäfunktio Φ(z) = Pr(Z z) Huomautus: Koska normaalijakauman tiheysfunktion integraalifunktiota ei osata esittää suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla, normaalijakauman kertymäfunktion määräämiseen on käytettävä jotakin numeerista menetelmää. Siksi useimmissa alan oppikirjoissa on valmis taulukko, jossa on taulukoituna normaalijakauman kertymäfunktion arvoja ja niihin liittyviä todennäköisyyksiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 52

53 Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta 2/2 Kaikkien standardoituun normaalijakaumaan liittyvien tapahtumien todennäköisyydet saadaan todennäköisyyksistä Pr(Z z) = Φ(z) todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen avulla. Esimerkiksi Pr( a Z b) =Φ( b) Φ( a) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 53

54 Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta: Taulukot 1/2 Standardoidun normaalijakauman taulukot sisältävät standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktion Φ(z) arvoja taulukoituna usealle eri argumentin z arvolle. Siten taulukot mahdollistavat seuraavien tehtävien ratkaisemisen: (i) Määrää todennäköisyys Pr(Z z) = Φ(z) kun z on annettu. (ii) Määrää z, kun todennäköisyys Pr(Z z) = Φ(z) on annettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 54

55 Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta: Taulukot 2/2 Monissa normaalijakauman taulukoissa on taulukoitu todennäköisyyksiä Pr( Z z) =Φ( z) vain, kun z 0. Tällöin todennäköisyydet Pr(Z z) = Φ( z) saadaan soveltamalla standardoidun normaalijakauman tiheysfunktion symmetrisyyttä suoran z = 0 suhteen: Φ( z) = Pr( Z z) = 1 Pr( Z z) = 1 Pr( Z z) = 1 Φ( z) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 55

56 Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta: Esimerkki 1/2 Olkoon Z ~ N(0,1) ja olkoon f Z (z) satunnaismuuttujan Z tiheysfunktio. Standardoidun normaalijakauman N(0,1) taulukoista saadaan: Alueen = 1 f Z A pinta ala ( z) dz = Pr( Z 1) = N(0,1) jakauman tiheysfunktio A TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 56

57 Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta: Esimerkki 2/2 Olkoon Z ~ N(0,1) ja olkoon Φ(z) satunnaismuuttujan Z kertymäfunktio. Standardoidun normaalijakauman N(0,1) taulukoista saadaan: Φ(1) = Pr( Z 1) = N(0,1) jakauman kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 57

58 Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen normaalijakaumasta: Ohjelmat Olkoon X N(µ, σ 2 ). Monet tietokoneohjelmat mahdollistavat seuraavien tehtävien ratkaisemisen mielivaltaisille parametrien µ, σ 2 arvoille: (i) Määrää todennäköisyys Pr(X x) kun x on annettu. (ii) Määrää x, kun todennäköisyys Pr(X x) kun on x annettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 58

59 Normaalijakauma Kahden normaalijakautuneen satunnaismuuttujan summan jakauma Olkoon X N(µ X, σ X2 ) Y N(µ Y, σ Y2 ) ja olkoot X ja Y lisäksi riippumattomia. Määritellään satunnaismuuttuja W = X + Y Tällöin summa W = X + Y on normaalinen: Perustelu: W µ µ σ σ 2 2 ~ N( X + Y, X + Y) Ks. lukua Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 59

60 Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma 1/2 Olkoon X i, i = 1, 2,, n jono riippumattomia normaalijakautuneita satunnaismuuttujia. Siten X, X, K, X Xi N( µ i, σi ), i = 1,2, K, n Olkoon Y n n = i= 1 X i n satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n summa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 60

61 Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma 2/2 Tällöin summa Y n on normaalinen: Sanoin: Riippumattomien, normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summa on normaalinen ja parametrit saadaan yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien vastaavien parametrien summina. Perustelu: Y ~ N( µ + µ + L+ µ, σ + σ + L+ σ ) n 1 2 n 1 2 n Ks. lukua Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 61

62 Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma 1/2 Olkoon X i, i = 1, 2,, n jono riippumattomia, samaa normaalijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia. Siten X, X, K, X 2 Xi N( µσ, ), i = 1,2, K, n Olkoon Y 1 2 n n = i= 1 X i n satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n summa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 62

63 Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma 2/2 Tällöin summa Y n on normaalinen: i= 1 Siten riippumattomien, samaa normaalijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summa on normaalinen ja parametrit saadaan yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien vastaavien parametrien summina. Huomautus: n n = Y X n n i 2 ~ N( µ, σ ) Tulos on erikoistapaus riippumattomien, normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summaa koskevasta yleisestä jakaumatuloksesta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 63

64 Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien aritmeettisen keskiarvon jakauma 1/2 Olkoon X i, i = 1, 2,, n jono riippumattomia, samaa normaalijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia. Siten X, X, K, X 2 Xi N( µσ, ), i = 1,2, K, n Olkoon X n Xi n i = 1 = n satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n aritmeettinen keskiarvo. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 64

65 Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien aritmeettisen keskiarvon jakauma 2/2 Tällöin aritmeettinen keskiarvo Xon normaalinen: 2 σ X ~ N( µ, ) n Siten riippumattomien, samaa normaalijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien aritmeettinen keskiarvo on normaalinen. Huomautus: Ilman normaalisuusoletustakin pätee: E( X) 2 D ( X) = µ 2 σ = n TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 65

66 Normaalijakauma Miksi normaalijakauma on normaali? Normaalijakauma on sekä teoreettisen että soveltavan tilastotieteen tärkein jakauma. Normaalijakauman keskeinen asema tilastotieteessä perustuu siihen teoreettiseen ja empiiriseen tosiseikkaan, että moniin satunnaisilmiöihin liittyvät satunnaismuuttujat noudattavat ainakin approksimatiivisesti normaalijakaumaa. Mikä on tämän tosiseikan selitys? Selityksenä on keskeinen raja arvolause; ks. seuraavaa kappaletta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 66

67 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma >> Keskeinen raja arvolause Log normaali, Cauchy, Gamma, Beta ja Weibull jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 67

68 Keskeinen raja arvolause Johdanto 1/2 Olkoon X i, i = 1, 2,, n jono riippumattomia, samaa normaalijakaumaa N(µ, σ 2 ) noudattavia satunnaismuuttujia. Tällöin satunnaismuuttujien X i summa Y n on normaalinen: n Kysymys: n = Y X nµ nσ i= 1 i 2 ~ N(, ) Mitä voidaan sanoa riippumattomien, samaa jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakaumasta, jos ko. satunnaismuuttujat eivät noudata normaalijakaumaa? TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 68

69 Keskeinen raja arvolause Johdanto 2/2 Ei normaalisten satunnaismuuttujien summa ei yleensä ole normaalinen. Kuitenkin, jos yhteenlaskettavia on tarpeeksi paljon, satunnaismuuttujien summa on (hyvin yleisin ehdoin) approksimatiivisesti normaalinen. Tämä on keskeisen raja arvolauseen olennainen sisältö. Koska monia satunnaismuuttujia voidaan pitää usean riippumattoman tekijän summana, antaa keskeinen rajaarvolause selityksen empiiriselle havainnolle niiden normaalisuudesta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 69

70 Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen formulointi 1/3 Olkoon X i, i = 1, 2, jono riippumattomia, samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo ja varianssi ovat E( X ) = µ, i = 1,2, K i 2 2 D ( Xi) = σ, i = 1,2, K Olkoon Y n n = i= 1 X i satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n summa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 70

71 Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen formulointi 2/3 Summan Y n odotusarvo ja varianssi ovat E( Y ) = nµ n 2 2 D ( Yn) = nσ Standardoidaan summa Y n : Yn nµ Zn = σ n Annetaan n + Tällöin satunnaismuuttujan Z n jakauma lähestyy standardoitua normaalijakaumaa N(0,1). TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 71

72 Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen formulointi 3/3 Siten keskeinen raja arvolause sanoo, että jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. Merkintä: n X nµ i i= 1 lim Pr z =Φ( z) n + n i= σ n Xi nµ 1 a N(0,1) σ n TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 72

73 Keskeinen raja arvolause Kommentteja 1/3 Keskeiselle raja arvolauseelle esitetään todistus luvussa Stokastiikan konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet. Keskeisen raja arvolauseen mukaan usean satunnaismuuttujan summa on (tietyin ehdoin) approksimatiivisesti normaalinen (lähes) riippumatta yhteenlaskettavien jakaumasta. Huomautus: Yhteenlaskettavien ei tarvitse olla edes jatkuvia, vaan ne voivat olla jopa diskreettejä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 73

74 Keskeinen raja arvolause Kommentteja 2/3 Approksimaation hyvyys riippuu yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien lukumäärästä, niiden jakaumasta ja erityisesti niiden jakauman vinoudesta. Approksimaation hyvyys paranee, kun yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien lukumäärä kasvaa. Jos yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien jakauma on symmetrinen, approksimaatio on hyvä jo suhteellisen pienillä yhteenlaskettavien lukumäärillä. Jos yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien jakauma on epäsymmetrinen, hyvä approksimaatio vaatii enemmän yhteenlaskettavia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 74

75 Keskeinen raja arvolause Kommentteja 3/3 Keskeinen raja arvolause koskee satunnaismuuttujien asymptoottista käyttäytymistä samaan tapaan kuin luvussa Jakaumien tunnusluvut esitetty suurten lukujen laki. Keskeisessä raja arvolauseessa esiintyvä rajakäyttäytymisen muoto on esimerkki ns. jakaumakonvergenssista eli heikosta konvergenssista. Keskeisestä raja arvolauseesta on olemassa yleisempiä muotoja, joissa lievennetään samoinjakautuneisuus ja riippumattomuusoletuksia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 75

76 Keskeinen raja arvolause Aritmeettisen keskiarvon approksimatiivinen jakauma Keskeisestä raja arvolauseesta seuraa: Riippumattomien samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n aritmeettinen keskiarvo X n 1 n n i = 1 = X i on suurille (mutta äärellisille) n approksimatiivisesti normaalinen parametreinaan µ ja σ 2 /n: X n a σ N µ, n 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 76

77 Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen seurauksia 1/3 Keskeisellä raja arvolauseesta seuraa erikoistapauksina monet yksittäisiä jakaumia koskevat asymptoottiset tulokset. Käsittelemme seuraavia erikoistapauksia: (i) Binomijakauma lähestyy normaalijakaumaa, kun toistokokeiden lukumäärän n annetaan kasvaa. (ii) Poisson jakauma lähestyy normaalijakaumaa, kun jakauman intensiteettiparametrin λ arvon annetaan kasvaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 77

78 Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen seurauksia 2/3 Sitä, että binomijakauma lähestyy toistokokeiden lukumäärän n kasvaessa normaalijakaumaa, kutsutaan tavallisesti De Moivren ja Laplacen raja arvolauseeksi. De Moivren ja Laplacen raja arvolauseen mukaan binomitodennäköisyyksiä voidaan approksimoida normaalijakaumasta määrätyillä todennäköisyyksillä, jos toistokokeiden lukumäärä on kyllin suuri. Koska hypergeometrinen jakauma muistuttaa tietyin ehdoin binomijakaumaa, myös hypergeometrisen jakauman todennäköisyyksiä voidaan approksimoida normaalijakaumasta määrätyillä todennäköisyyksillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 78

79 Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen seurauksia 3/3 Poisson jakaumaa koskevan keskeisen raja arvolauseen muodon mukaan Poisson jakauman todennäköisyyksiä voidaan approksimoida normaalijakaumasta määrätyillä todennäköisyyksillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 79

80 Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause Olkoon X Bin(n, p) ja q = 1 p. Siten E( X ) = np Var( X ) = npq Tällöin X np lim Pr z =Φ( z) n + npq jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 80

81 Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Perustelu 1/2 Olkoon X Bin(n, p). Tällöin satunnaismuuttuja X voidaan esittää riippumattomien, samaa Bernoulli jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien X i summana: n X X jossa Koska niin = i = 1 i X Bernoulli( p), i = 1,2, K, n i E( X ) = i Var( X ) = npq, q = 1 p i p n i= 1 E( X ) = E( X ) = np n Var( X ) = Var( X ) = npq i= 1 i i TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 81

82 Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Perustelu 2/2 Tällöin keskeisestä raja arvolauseesta seuraa, että X np lim Pr z =Φ( z) n + npq jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 82

83 Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Havainnollistus 1/5 Kalvoilla 2/5 5/5 oleva kuvasarja havainnollistaa De Moivren ja Laplacen raja arvolausetta. Kuvasarja näyttää miten satunnaismuuttujien X Bin(n, p) Z N(µ, σ 2 ) jakaumat alkavat muistuttaa yhä enemmän toisiaan, kun toistokokeiden lukumäärän n annetaan kasvaa. Kuvasarjassa p = 0.1 n = 1, 10, 30, 100 µ = np σ 2 = np(1 p) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 83

84 Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Havainnollistus 2/5 Olkoon ja X Bin(n, p) n = 1 p = 0.1 Z N(µ, σ 2 ) µ = np = 0.1 σ 2 = np(1 p) = 0.09 Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiota ja satunnaismuuttujan Z tiheysfunktiota välillä [ 3, 12] Jakaumat Bin(1, 0.1) ja N(0.1, 0.09) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 84

85 Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Havainnollistus 3/5 Olkoon ja X Bin(n, p) n = 10 p = 0.1 Z N(µ, σ 2 ) µ = np = 1 σ 2 = np(1 p) = 0.9 Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiota ja satunnaismuuttujan Z tiheysfunktiota välillä [ 3, 12] Jakaumat Bin(10, 0.1) ja N(1, 0.9) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 85

86 Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Havainnollistus 4/5 Olkoon ja X Bin(n, p) n = 30 p = 0.1 Z N(µ, σ 2 ) µ = np = 3 σ 2 = np(1 p) = 2.7 Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiota ja satunnaismuuttujan Z tiheysfunktiota välillä [ 3, 12] Jakaumat Bin(30, 0.1) ja N(3, 2.7) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 86

87 Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Havainnollistus 5/5 Olkoon ja X Bin(n, p) n = 100 p = 0.1 Z N(µ, σ 2 ) µ = np = 10 σ 2 = np(1 p) = 9 Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiota ja satunnaismuuttujan Z tiheysfunktiota välillä [0, 20] Jakaumat Bin(100, 0.1) ja N(10, 9) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 87

88 Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma 1/4 De Moivren ja Laplacen raja arvolauseen mukaan binomijakaumaa Bin(n, p) voidaan suurille n approksimoida normaalijakaumalla N(µ, σ 2 ) jossa µ = σ 2 np = npq, q = 1 p TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 88

89 Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma 2/4 Jos siis X Bin(n, p) niin De Moivren ja Laplacen raja arvolauseen mukaan suurille n b np a np Pr( a< X b) Φ Φ npq npq jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 89

90 Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma 3/4 Jos a ja b ovat kokonaislukuja, approksimaatio on hieman parempi, jos käytetään kaavaa b + 1/2 np a 1/2 np Pr( a< X b) Φ Φ npq npq Korjaustekijä 1/2 perustuu siihen, että diskreettiä binomijakaumaa approksimoidaan jatkuvalla normaalijakaumalla. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 90

91 Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma 4/4 Jos annetaan a, saadaan approksimaatiotulos b + 1/2 np Pr( X b) = FX( b) Φ npq jossa F X on binomijakauman kertymäfunktio. Jos a = b, saadaan approksimaatiotulos a + 1/2 np a 1/2 np Pr( X = a) = fx( a) Φ Φ npq npq jossa f X on binomijakauman pistetodennäköisyysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 91

92 Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma: Esimerkki 1/3 Kuva oikealla esittää jakauman Bin(100, 0.1) pistetodennäköisyysfunktiota ja jakauman N(10, 9) tiheysfunktiota välillä [6, 12]. De Moivren ja Laplacen rajaarvolauseen mukaan binomitodennäköisyyttä pisteessä x = 8 voidaan approksimoida varjostetun alueen pinta alalla; ks. kalvoja 2/3 3/ Jakaumat Bin(100, 0.1) ja N(10, 9) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 92

93 Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma: Esimerkki 2/3 Olkoon X Bin(n, p), jossa n = 100 p = 0.1 Tällöin f ( 8) = jossa X f X (x) on binomijakauman Bin(100, 0.1) pistetodennäköisyysfunktio Jakaumat Bin(100, 0.1) ja N(10, 9) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 93

94 Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma: Esimerkki 3/3 Olkoot µ = np =10 σ 2 = np(1 p) = 9 jossa n = 100 p = 0.1 Tällöin 8+ 1/2 µ Φ σ 8 1/2 µ Φ = σ jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio Jakaumat Bin(100, 0.1) ja N(10, 9) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 94

95 Keskeinen raja arvolause Hypergeometrisen jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 1/2 Hypergeometrinen jakauma HyperGeom(N, r, n) lähestyy perusjoukon koon N kasvaessa rajatta binomijakaumaa jossa Bin(n, p) p = r/n TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 95

96 Keskeinen raja arvolause Hypergeometrisen jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 2/2 Siten hypergeometrista jakaumaa HyperGeom(N, r, n) voidaan suurille N approksimoida normaalijakaumalla N(µ, σ 2 ) jossa µ = r n N σ 2 r = n 1 N r N TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 96

97 Keskeinen raja arvolause Poisson jakauma ja normaalijakauma Olkoon X Poisson(λ). Siten E( X) = λ Var( X) = λ Tällöin X λ lim Pr z =Φ( z) λ + λ jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 97

98 Keskeinen raja arvolause Poisson jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 1/4 Poisson jakaumaa koskevan raja arvolauseen mukaan Poisson jakaumaa Poisson(λ) voidaan suurille λ approksimoida normaalijakaumalla N(µ, σ 2 ) jossa µ = λ σ 2 = λ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 98

99 Keskeinen raja arvolause Poisson jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 2/4 Jos siis X Poisson(λ) niin Poisson jakaumaa koskevan raja arvolauseen mukaan suurille λ b λ a λ Pr( a< X b) Φ Φ λ λ jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 99

100 Keskeinen raja arvolause Poisson jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 3/4 Jos a ja b ovat kokonaislukuja, approksimaatio on hieman parempi, jos käytetään kaavaa b+ 1/2 λ a 1/2 λ Pr( a< X b) Φ Φ λ λ Korjaustekijä 1/2 perustuu siihen, että diskreettiä Poisson jakaumaa approksimoidaan jatkuvalla normaalijakaumalla. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 100

101 Keskeinen raja arvolause Poisson jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 4/4 Jos annetaan a, saadaan approksimaatiotulos b+ 1/2 λ Pr( X b) = FX( b) Φ λ jossa F X on Poisson jakauman kertymäfunktio. Jos a = b, saadaan approksimaatiotulos a+ 1/2 λ a 1/2 λ Pr( X = a) = fx( a) Φ Φ λ λ jossa f X on Poisson jakauman pistetodennäköisyysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 101

102 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja arvolause >> Log normaali, Cauchy, Gamma, Beta ja Weibull jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 102

103 Jakaumia Log normaalijakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa log normaalijakaumaa parametrein µ ja σ 2, jos sen tiheysfunktio on log x µ f( x) = exp, x 0 2 > 2πσ x 2 σ Merkitään: Odotusarvo: Varianssi: 2 X LogN( µσ, ) 2 E( X ) = exp( µ + σ / 2) 2 2 Var( ) exp[2( )] exp[2( / 2)] X = µ + σ µ + σ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 103

104 Jakaumia Log normaalijakauman tiheysfunktion kuvaajia Oikealla on log normaalijakauman tiheysfunktion kuvaajia, kun (i) (ii) (iii) µ = 0.25, σ = 1.5 µ = 0, σ = µ = 1, σ = LogN(µ,σ 2 ) LogN( 0.25,1.5 2 ) LogN(0,1 2 ) LogN(1,0.5 2 ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 104

105 Jakaumia Log normaalijakauman yhteydet muihin jakaumiin Jos 2 X LogN( µσ, ) niin satunnaismuuttuja noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ ja σ 2 : ja kääntäen, jos niin Y = log( X) 2 Y N( µσ, ) 2 Y N( µσ, ) 2 X = Exp( Y ) LogN( µσ, ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 105

106 Jakaumia Cauchyn jakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa Cauchy jakaumaa parametrilla θ, jos sen tiheysfunktio on 1 1 f( x) =, x 2 π 1 + ( x θ) < < + Merkitään: X Cauchy( θ) Odotusarvo: Cauchy jakaumalla ei ole odotusarvoa. Varianssi: Cauchy jakaumalla ei ole varianssia. Parametri θ on Cachy jakauman mediaani ja moodi. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 106

107 Jakaumia Cauchy jakauman tiheysfunktion kuvaaja Oikealla on Cauchyjakauman tiheysfunktion kuvaaja, kun θ = Cauchy(0) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 107

108 Jakaumia Cauchyn jakauman yhteydet muihin jakaumiin Jos satunnaismuuttuja Y noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä ( π/2,+π/2) eli Y Uniform( π / 2, + π / 2) jossa niin tällöin Jos X = tan( Y) X Cauchy(0) niin tällöin Cauchy(0) X t(1) jossa t(1) on t jakauma yhdellä vapausasteella; ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 108

109 Jakaumia Gamma jakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa gamma jakaumaa parametrein α ja β, jos sen tiheysfunktio on 1 α 1 x/ β f( x) = x e, x 0 α Γ( αβ ) Merkitään: X Gamma( αβ, ) Odotusarvo: E( X) Varianssi: Var( X) = αβ = αβ 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 109

110 Jakaumia Gamma jakauman tiheysfunktion kuvaajia Oikealla on gammajakauman tiheysfunktion kuvaajia, kun (i) (ii) (iii) α = 1, β = 1 α = 2, β = 1 α = 2, β = Gamma(α,β) Gamma(1,1) Gamma(2,1) Gamma(2,2) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 110

111 Jakaumia Gamma jakauman yhteydet muihin jakaumiin 1/3 Jos X Gamma( αβ, ) jossa α on kokonaisluku, niin tällöin Pr( X x) = Pr( Y α) jossa satunnaismuuttuja Y noudattaa Poisson jakaumaa parametrilla x/β : Y Poisson( x/ β ) Lisätietoja Poisson jakaumasta: ks. lukua Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 111

112 Jakaumia Gamma jakauman yhteydet muihin jakaumiin 2/3 Jos X Gamma( αβ, ) jossa α = 1, niin tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla 1/β : X Exp(1/ β ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 112

113 Jakaumia Gamma jakauman yhteydet muihin jakaumiin 3/3 Jos X Gamma( αβ, ) jossa α = p/2 ja β = 2, niin tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa χ 2 jakaumaa vapausastein p : X χ 2 ( p) Lisätietoja χ 2 jakaumasta: ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 113

114 Jakaumia Beta jakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa beta jakaumaa parametrein α ja β, jos sen tiheysfunktio on Γ ( α + β) α 1 β 1 f( x) = x (1 x),0 x 1 Γ( α) Γ( β) Merkitään: X Odotusarvo: Varianssi: Beta( αβ, ) E( X) = α /( α + β) 2 Var( X) = αβ /[( α + β) ( α + β + 1)] TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 114

115 Jakaumia Beta jakauman tiheysfunktion kuvaajia 1/2 Oikealla on beta jakauman tiheysfunktion kuvaajia, kun (i) (ii) (iii) α = 1, β = 4 α = 2, β = 3 α = 2, β = 1.5 (iv) α = 2.5, β = Beta(1,4) Beta(α,β) Beta(2,3) Beta(2.5,1) Beta(2,1.5) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 115

116 Jakaumia Beta jakauman tiheysfunktion kuvaajia 2/2 Oikealla on beta jakauman tiheysfunktion kuvaajia, kun (i) (ii) (iii) (iv) α = 1, β = 1 α = 0.7, β = 0.7 α = 2, β = 2 α = 0.3, β = Beta(α,β) Beta(0.3,0.3) Beta(0.7,0.7) Beta(2,2) Beta(1,1) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 116

117 Jakaumia Beta jakauman yhteydet muihin jakaumiin Jos X Beta( αβ, ) jossa α = 1 ja β = 1, niin tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä (0,1) : X Uniform(0,1) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 117

118 Jakaumia Weibull jakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa Weibull jakaumaa parametrein γ ja β, jos sen tiheysfunktio on γ γ 1 x / f( x) x e γ β =, x 0 β Merkitään: X Weibull( γ, β) Odotusarvo: 1/ γ E( X ) = β Γ (1+ 1/ γ) Varianssi: γ Var( X) = β Γ (1 + 2 / γ) [E( X)] 2/ 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 118

119 Jakaumia Weibull jakauman tiheysfunktion kuvaajia Oikealla on Weibulljakauman tiheysfunktion kuvaajia, kun (i) (ii) (iii) γ = 0.8, β = 1 γ = 2, β = 1 γ = 2, β = Weibull(γ,β) Weibull(0.8,1) Weibull(2,1) Weibull(2,4) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 119

120 Jakaumia Weibull jakauman yhteydet muihin jakaumiin Jos Y Exp( β ) niin satunnaismuuttuja 1/ X = Y γ noudattaa Weibull jakaumaa parametrein γ ja β : X Weibull( γ, β) ja kääntäen, jos niin X Weibull(1, β ) Y = X Exp( β ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 120

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita 11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja 4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot