Tarkastellaan sitten tilastollisesti riippumattomien identtisesti kuten X edellä jakautuneiden muuttujien summaa Y = X i. 1 p p. Muuttujan X PDF.

Transkriptio

1 Jakaumia Seuraavassa esitellään digitaalisessa tietoliikenteessäuseinkäytettyjä jakaumia Esitellään jakaumien CDF, PDF ja karakteristiset funktiot sekä joitain momentteja kuten keskiarvo, 2. momentti ja varianssi Ensimmäisenä tarkastellaan yksi diskreettien muuttujien jakauma ja sen jälkeen keskitytään jatkuvien muuttujien jakaumiin 107

2 Binomijakauma Olkoon X diskreetti muuttuja joka voi saada kaksi eri arvoa X = 1 tai X = 0 (kuten bittijonon alkiot), todennäköisyyksillä p ja 1 p. Tämän PDF on esitetty alla olevassa kuvassa 1 p p 0 1 x Muuttujan X PDF Tarkastellaan sitten tilastollisesti riippumattomien identtisesti kuten X edellä jakautuneiden muuttujien summaa n Y = i=1 tavoitteena määrätä summan PDF X i 108

3 Selvästi 0 Y n Arvon 0 summa saa jos kaikki arvot ovat nollia. Tämä tapahtuu todennäköisyydellä P(Y =0)=(1 p) n koska muuttujat ovat identtisiä ja riippumattomia Arvon 1 summa saa jos yksi muuttuja X i = 1 ja muut nollia. Tämä tapahtuma voi tapahtua n:llä eri tavalla joten P(Y =1)=n }{{} p (1 p) }{{ n 1 } 1 ykkönen n 1 nollaa 109

4 Jotta Y = k, niin k:n muuttujan täytyy saada arvo 1 ja muiden nolla. Koska tämä voi tapahtua ( ) n n! = (binomikerroin) k k!(n k)! tavalla, niin haluttu todennäköisyys on ( ) n P(Y = k) = p k (1 p) n k (61) k Vastaava PDF on p(y) = = n P(Y = k)δ(y k) k=0 n k=0 ( ) n p k (1 p) n k δ(y k) (62) k 110

5 CDF on taas F (y) =P(Y y) [y] ( ) n = p k (1 p) n k (63) k k=0 jossa merkintä [y] tarkoittaa suurinta kokonaislukua jolle pätee m y Ensimmäiset momentit ovat E{Y } = np (64a) E{Y 2 } = np(1 p)+n 2 p 2 (64b) σ 2 = np(1 p) (64c) Binomijakauman karakteristinen funktio on ψ(jv)=(1 p + pe jv ) n (65) 111

6 Tasajakauma Tasajakaumassa muuttuja voi saada yhtä suurella todennökäisyydellä kaikkia arvoja joltain väliltä [a, b]. Sen PDF on p(x) = { 1 b a a x b 0 muutoin Kuvassa on esitetty ko. PDF ja vastava CDF p(x) 1/(b a) 1 F (x) (66) a b x a b PDF CDF x 112

7 Ensimmäiset momentit ovat E{Y } = 1 2 (a + b) (67a) E{Y 2 } = 1 3 (a2 + b 2 + ab) σ 2 = 1 12 (a b)2 (67c) Tasajakauman karakteristinen funktio on ψ(jv)= ejvb e jva jv(b a) (67b) (68) 113

8 Gaussin eli normaalijakauma Digitaalisten tietoliikennejärjestelmien analyysissä ehkäpäuseimmiten (ainakin perinteisesti) käytetty jakauma. Yksi syy on se että Gaussin jakauma johtaa suhteellisen järkeviin vastaanotinrakenteisiin joiden on usein havaittu toimivan myös käytännössä Normaalijakauman PDF on p(x) = 1 e (x m x) 2 /2σ 2 (69) 2πσ jossa m x on muuttujan keskiarvo ja σ 2 varianssi Tämä on siis normalisoidun normaalijakauman p(x) = 1 e x2 /2 2π siirros (m x )jalevitys(σ 2 ). 114

9 Useat taulukot ja funktiot, varsinkin normaalijakautuneen muuttujan todennäköisyydelle, on esitetty normalisoidulle muuttujalle. Niin myös seuraavassa Normaalijakauman CDF on F (x) = x p(u) du = 1 2πσ x e (u m x) 2 /2σ 2 du Suoritetaan muuttujanvaihdos t =(u m x )/ 2σ, jolloin du = 2σdt ja jos u = tai u = x niin t = ja t =(x m x )/ 2σ 115

10 Tällöin jossa F (x) = 2 2 }{{} =1 1 (x mx )/ 2σ π = 1 [ 2 0 e t2 dt 2 π } {{} =1 = ( x 2 erf mx ) 2σ erf(x) = 2 π x 0 e t2 dt + 2 (x mx )/ 2σ π 0 ] e t2 dt (70) e t2 dt (71) joka on ns. virhefunktio (error function) PDF ja CDF on hahmoteltu seuraavissa kuvissa 116

11 normalisoitu 0.4 normalisoitu PDF 1/ 2πσ m x =2 σ =2 CDF /2 0.4 m x =2 σ = x m x x m x 117

12 CDF voidaan esittää myös komplementaarisen virhefunction erfc(x) =1 erf(x) = 2 π e t2 dt (72) avulla, jolloin F (x) =1 1 2 erfc ( x m x ) 2σ x (73) Havaitaan, että erf( x) = erf(x), erfc( x) =2 erfc(x), erf(0) = erfc( ) =0jaerf( ) = erfc(0) = 1. Jos x>m x, niin komplementaarinen virhefunktio esittää Gaussin jakauman hännän alaa Suurille x:n arvoille pätee approksimaatio ( erfc(x) = e x2 x 1 1 π 2x x ) x6 + (74) jossa virhe on pienempi kuin viimeisin käytetty termi 118

13 Toinen usein käytetty Gaussin jakauman hännän alaa esittävä funktio on Q-funktio Q(x) = 1 e t2 /2 dt, x 0 (75) 2π x Vertaamalla tätä komplementaariseen virhefunktioon havaitaan, että Q(x) = 1 2 erfc ( x 2 ) Gaussin jakauman karakteristinen funktio on ψ(jv)= e jvx [ 1 2π e (x m x) 2 /2σ 2] dx = e jvm x (1/2)v 2 σ 2 (76) 119

14 Gaussin jakauman kaikki keskeismomentit ovat { E{(X m x ) k 1 3 (k 1)σ k (parillinen k) } µ k = 0 (pariton k) (77) eli parillisia keskeismomentteja ei ole Tavalliset momentit voidaan esittää keskeismomenttien µ k avulla seuraavasti k ( ) k E{X} = m i i xµ k i (78) i=0 Gaussinjakauma onerittäinusein käytetty mm. siksi, ettäkeskeisen raja-arvolauseen nojalla satunnaismuuttujien summa tuppaa olemaan Gaussin jakautunut jos muuttujia on paljon ja mikään niistä ei dominoi. 120

15 Tällä perusteella esim. taustakohina (joka tulee useista lähteistä) mallinnetaan usein Gaussin jakautuneeksi Gaussin jakaumalla on mm. se kiva ominaisuus että riippumattomien Gaussin muuttujien summa on Gaussin jakautunut (ei siis tarvita edes keskeistä raja-arvo lausetta) Mistäs tämä johtuu? Käytetään selittämiseen karakteristista funktiota jolloin riippumattomien muuttujien summan karakteristinen funktio on erillisten karakterististen funktioiden tulo Tarkastellaan siis summaa Y = n i=1 X i, jossa muuttujat X i ovat riippumattomia Gaussin jakautuneita satunnaismuuttujia keskiarvolla m i ja varianssilla σi 2 121

16 Silloin summan karakteristinen funktio on n ψ Y (jv)= ψ Xi (jv) = i=1 n i=1 =exp ( jv e jvm i v 2 σ 2 i /2 n m i i=1 }{{} =m y = e jvm y v 2 σ 2 y/2 v 2 /2 n σi 2 i=1 }{{} =σ 2 y ) (79) joka on Gaussin jakauman karakteristinen funktio eli summa Y on Gaussin jakautunut keskiarvolla m y ja varianssilla σ 2 y 122

17 Chi-neliö jakauma (Chi-Square) Liittyy läheisesti Gaussin jakaumaan Sitäkäytettään analysoitaessa vastaanottimia jotka neliöivät vastaanotetun Gaussin jakautuneen signaalin eli laskevat vastaanotetun signaalin tehoa tai energiaa Näitä ovat mm. epäkoherentit vastaanottimet tietoliikenteessäja radiometri signaalitiedustelussa 123

18 Olkoon X Gaussin jakautunut satunnaismuuttuja Silloin Y = X 2 on chi-neliö jakautunut Eri tyypit: keskinen chi-neliö jakauma nollakeskiarvoisille X epäkeskinen chi-neliö jakauma yleiselle X (X:llä voi olla keskiarvo) 124

19 Tarkastellaan ensin keskistä chi-neliö jakaumaa Olkoon X nollakeskiarvoinen normaalijakautunut muuttuja, jonka varianssi on σ 2 Aiemmassa esimerkissä laskettiin muuttujan Y = ax 2 + b jakauma, joka pätee nyt jos a =1jab =0.Y :n PDF oli p Y (y) = p ( ) X (y b)/a 2a (y b)/a + p ( ) X (y b)/a 2a (y b)/a Siitä seuraa, että p Y (y) = 1 2πyσ e y/2σ2, y 0 (80) 125

20 CDF saadaan integroimalla eli F Y (y) = y 0 p Y (u) du = 1 2πσ y 0 1 u e u/2σ2 du (81) jolle ei ole olemassa ratkaisua suljetussa muodossa Karakteristinen funktio on 1 ψ(jv)= (82) (1 j2vσ 2 ) 1/2 Entäs sitten jos meillä on usean neliöidyn Gaussin muuttujan summa eli summa n Y = i=1 X 2 i 126

21 jossa X i ovat tilastollisesti riippumattomia, identtisesti jakautuneita nollakeskiarvoisia Gaussin muuttujia varianssilla σ 2. Karakteristinen funktio on nyt yhden karakteristisen funktion n:s potenssi eli 1 ψ(jv)= (1 j2vσ 2 ) n/2 (83) Tämän käänteismuunnos antaa PDF:n 1 p(y) = σ n 2 n/2 Γ( 1 2 n) yn/2 1 e y/2σ2, y 0 (84) jossa Γ(p) = 0 t p 1 e t dt, p 0 (gammafunktio) Γ(p) =(p 1)! jos p on kokonaisluku, p>0 Γ( 1 2 )= π, Γ( 3 2 )=1 2 π 127

22 Jakaumaa (84) kutsutaan keskiseksi chi-neliö (tai gamma) jakaumaksi n:llä vapausasteella Sen ensimmäiset momentit ovat E{Y } = nσ 2 E{Y 2 } =2nσ 4 + n 2 σ 4 σ 2 y =2nσ 4 Jakauman CDF on y 1 F (y) = σ n 2 n/2 Γ( 1 2 n) un/2 1 e u/2σ2 du, y 0 (85) 0 Tämä voidaan esittää (muuttujanvaihdosten jälkeen) epätäydellisen gammafunktion (incomplete gamma function) avulla, joka on taulukoitu ja löytyy esim. Matlabista 128

23 Epätäydellinen gammafunktio on γ(a, x) = x 0 e t t a 1 dt, Re{a} > 0 eli tarvittava muuttujanvaihdos olisi t = u/2σ 2 Jos a on positiivinen kokonaisluku m niin m 1 γ(m, x) =(m 1)! (1 e x s=0 x s ) s! Tästä seuraa, että josm = 1 2n on positiivinen kokonaisluku, niin chi-neliöjakauman CDF (85) on m 1 F (y) =1 e y/2σ2 k=0 1 ( y ) k, y 0 (86) k! 2σ 2 129

24 Esimerkki: kompleksinen muuttuja Z = X + jy jossa X ja Y identtisesti jakautuneita riippumattomia nollakeskiarvoisia Gaussin muuttujia Nyt Z 2 = ZZ =(X +jy )(X jy )=X 2 jxy +jy X jjy 2 = X 2 + Y 2 eli kyseessä on kahden neliöidyn Gaussin muuttujan summa eli saadaan keskinen chi-neliö jakauma 2:lla vapausasteella Jos tarkastellaan summaa Y = n i=1 Z i 2 = n ( i=1 Xi 2 + Y i 2) niin saadaan keskinen chi-neliö jakauma 2n vapausasteella 130

25 Epäkeskisessä chi-neliö jakaumassa X ei (välttämättä) ole nollakeskiarvoinen PDF:n määräämisessä voidaan lähteä liikkeelle samasta esimerkistä kuin keskisen chi-neliöjakauman kanssa. Nytkin muunnoksessa Y = ax 2 + b, a =1jab =0 Sijoittamalla ratkaisuun saadaan 1 1( p(y) = e ( y m x ) 2 /2σ 2 + e ( y m x ) 2 /2σ 2 ) 2πyσ 2 Koska cosh(x) =(e x + e x )/2, niin 1 ( ymx ) p(y) = e (y m2 x )/2σ2 cosh, y 0 (87) 2πyσ σ 2 Karakteristiseksi funktioksi tulee 1 ψ(jv)= (1 j2vσ 2 ) 1/2 ejm2 x v/(1 j2vσ2 ) (88) 131

26 Olkoon meillä sitten usean riippumattoman neliöidyn Gaussin muuttujan summa. Gaussin muuttujien keskiarvot voivat olla erisuuret eli E{X i } = m i mutta niiden varianssi on sama σ 2. Tarkastellaan siis summaa Y = n i=1 X2 i Koska muuttujat ovat riippumattomia, niin summan karakteristinen funktio on muuttujien karakterististen funktioiden tulo, jolloin 1 ( jv n ) ψ(jv)= (1 j2vσ 2 ) exp i=1 m2 i (89) n/2 1 j2vσ 2 Olkoon s 2 = n i=1 m2 i eli keskiarvojen neliöiden summa Silloin PDF, joka on karakteristisen funktion käänteismuunnos, on p(y) = 1 ( y ) (n 2)/4 ( e (y+s 2 )/2σ 2 y s ) I 2σ 2 s 2 n/2 1, y 0 σ 2 (90) 132

27 jossa I α (x)onα-asteinen modifioitu ensimmäisen asteen Besselin funktio jolle on olemassa sarjaesitys (x/2) α+2k I α (x) = k!γ(α + k +1), x 0 k=0 Tämän n-vapausasteen epäkeskisen chi-neliö jakauman CDF on F (y) = y 0 p(u) du jolle ei ole olemassa suljetussa muodossa olevaa ratkaisua Jos m = n/2 on kokonaisluku, niin CDF voidaan esittää yleistetyn Marcumin Q-funktion Q m (a, b) avulla. Tälle funktiolle on olemassa tietokoneohjelmia, jotka laskevat sen arvon Tällöin ( s y ) F (y) =1 Q m σ, (91) σ 133

28 Jakauman ensimmäiset momentit ovat E{Y } = nσ 2 + s 2 E{Y 2 } =2nσ 4 +4σ 2 s 2 +(nσ 2 + s 2 ) 2 σ 2 =2nσ 4 +4σ 2 s 2 134

29 Rayleigh jakauma Rayleigh mallia käytetään kuvaamaan häipyvässä kanavassa vastaanotetun signaalin amplitudia Se on läheisessä suhteessa keskiseen chi-neliö jakaumaan (ja siten Gaussin jakaumaan) Lähdetään liikkeelle 2:n vapausasteen keskisestä chi-neliö jakaumasta (esim. kompleksiluvun neliöstä) p Y (y) = 1 2σ 2 e y/2σ2 joka on siis muuttujan Y = X X 2 2 PDF. 135

30 Olkoon muuttuja R = Y Suorittamalla muuttujanvaihdos y = r jolloin y = r 2.Koska r 0 kuvaus y = r 2 on yksikäsitteinen ja Jacobiaani on 2r. Muuttujan R PDF on täten p R (r) = r σ 2e r2 /2σ 2, r 0 (92) Vastaava CDF on F R (r) =1 e r2 /2σ 2 (93) Muuttujan R momentit ovat E{R k } =(2σ 2 ) k/2 Γ( k) σ 2 r =(2 1 2 π)σ2 Karakteristinen funktio voidaan esittää konfluenttisen hypergeometrisen funktion avulla kts. kirja 136

31 Jos kyseessä on useamman nollakeskiarvoisen identtisesti Gaussin jakautuneen riippumattoman muuttujan neliöiden summan neliöjuuri eli muuttuja R = n i=1 X2 i, niin sen jakauma on yleistetty Rayleigh jakauma Sen PDF on r n 1 /2σ2 p(r) = 2 (n 2)/2 σ n Γ( 1 e r2 (94) 2n) Jos m = n/2 on kokonaisluku, niin jakauman CDF voidaan esittää suljetussa muodossa (kuten chi-neliö jakauman tapauksessa) ja se on m 1 F (y) =1 e r2 /2σ 2 k=0 1 ( r 2 ) k (95) k! 2σ 2 137

32 Yleistetyn Rayleigh muuttujan momentit ovat E{R k } =(2σ 2 ) k/2γ( 1(n + k)) 2 Γ( 1 2 n) (96) joka pätee kokonaisluvuille n 138

33 Rice jakauma Rice jakauma liittyy epäkeskiseen chi-neliö jakaumaan ja Gaussin muuttujiin joiden keskiarvo ei välttämättä ole nolla Se on neliöiden summan neliöjuuri Aloitetaan tarkastelemalla tilannetta Y = X1+X eli epäkeskistä chi-neliö jakaumaa 2:lla vapausasteella. Nyt siis riippumattomilla Gaussin muuttujilla X i on keskiarvo m i ja varianssi σ 2.Epäkeskisyysparametri s 2 = m m 2 2 Muuttujan Y PDF on p(y) = 1 2σ 2e (s2 +y)/2σ 2 I 0 ( y s σ 2 ), y 0 139

34 Muuttujan R = Y PDF saadaan muuttujanvaihdoksella r = y jolloin y = r 2. Koska ko. kuvaus on yksikäsitteinen (r 0) ja sen Jacobiaani on 2r, niin p(r) = r ( +r 2 )/2σ 2 rs ) I 0, r 0 (97) σ 2e (s2 σ 2 Tämä on Rice jakautuneen muuttujan PDF. Se kuvaa mm. vastaanotetun signaalin verhokäyrän PDF:ää jo- on kompleksimuuttujan Z = X 1 + jx 2 itseisarvo ZZ = ka X Xs 2.Tällöin deterministinen tietoliikennesignaali (keskiarvo) on enemmän tai vähemmän hautautunut Gaussin kohinaan. Tähän törmätään DTS:än kurssilla. Se kuvaa myös kanavan, jossa on suora etenemistie (keskiarvo) ja useita muita etenemisteitä, amplitudia ZZ 140

35 Yleisessä tapauksessa meillä on n:nnän neliöidyn Gaussin muuttujan X i neliöiden summan neliöjuuri eli Y = n i=1 X2 i. Muuttujien keskiarvo on m i ja varianssi σ 2 Haluttu PDF on r n/2 ( p(r) = σ 2 s (n 2)/2 e (r2 +s 2 )/2σ 2 rs ) I n/2 1, r 0 (98) σ 2 Vastaava CDF on F R (r) =P(Y r 2 )=F Y (r 2 )eliepäkeskisen chi-neliö jakauman CDF, joka erikoistapauksessa m = n/2 on kokonaisluku on ( s F R (r) =1 Q m σ, r ) (99) σ Rice jakauman k:s momentti on esitettävissä konfluenttisen hypergeometrisen funktion avulla, kts. oppikirja 141

36 Nakagami m-jakauma Nakagami m-jakaumaa käytetään kuvaamaan radiokanavasta vastaanotetun signaalin amplitudia R häipyvässä monitiekanavassa (kuten Rayleigh ja Rice jakaumiakin) Sen PDF on p(r) = Γ(m)( 2 m ) m r 2m 1 e mr2 /Ω (100) Ω jossa Ω = E{R 2 } on toinen momentti ja parametri m on momenttien suhde, eli nk. häipymäluku, Ω 2 m = E{(R 2 Ω) 2 }, m 1 2 (101) Nakagami jakauman n:s momentti on E{R n Γ(m + n/2) ( Ω ) n/2 } = Γ(m) m (102) 142

37 Asettamalla m = 1 saadaan Rayleigh jakauma Jos 1/2 m 1, niin Nakagami jakauman hännät ovat Rayleigh jakauman häntiä suuremmat eli ääriarvot ovat todennäköisempiä kuin Rayleigh jakaumassa Jos m>1niin hännät pienempiä eri ääriarvot epätodennäköisempiä 143

38 Moniulotteinen normaalijakauma Usein tarvitsee käsitellä usean muuttujan jakaumia eli monimuuttuja tai moniulotteisia jakaumia (multivariate or multidimensional) Näistä useimmiten törmätään moniulotteiseen Gaussin jakaumaan, jota käsitellään tässä Olkoon X =[X 1... X n ] T satunnaivektori jonka elementit X i ovat Gaussin muuttujia keskiarvolla m i, variansseilla σi 2 ja kovariansseilla µ ij (huom. µ ii = σ1) 2 Olkoon m =[m 1... m n ] T keskiarvovektori ja M =E{(X m)(x m) T } n n kovarianssimatriisi 144

39 Muuttujien X i yhteis PDF on 1 p(x) = (2π) n/2 M exp ( 1 1/2 2 (x m)t M 1 (x m) ) (103) On helppo tarkistaa että tilanteessa n =1tämä palautuu yhden muuttujan Gaussin PDF:ksi Olkoon v =[v 1... v n ] T Silloin moniulotteinen karakteristinen funktio on Laskemalla saadaan ψ(jv) =E{e jvtx } (104) ψ(jv) =e jmt v 1 2 vt Mv (105) 145

40 Oletetaan seuraavaksi, että muuttujat X i ovat korreloimattomia eli kovarianssit µ ij =0 i j Silloin kovarianssimatriisi M on diagonaalinen eli σ σ M = σn σn 2 jonka determinantti M = n i=1 σ2 i 146

41 Tällöin moniulotteinen Gaussin jakauma (103) menee muotoon 1 p(x) = (2π) n/2 M exp ( 1 n ) [x m] 2 1/2 i /σi 2 2 i=1 n 1 = exp ( 1 ) 2πσ 2 i 2σi 2 [x m] 2 i (106) i=1 jossa merkintä [x] i tarkoittaa vektorin x i:nettä elementtiä Eli korreloimattomien Gaussin muuttujien yhteis PDF on yksittäisten muuttujien PDF:ien tulo korreloimattomat Gaussin muuttujat ovat riippumattomia Tämä tulos ei ole yleispätevä eli ei ole välttämättä voimassa muille jakaumille 147

42 Tarkastellaan sitten Gaussin muuttujan muunnosta eli muuttujaa Y = AX, jossa A on ei-singulaarinen Aiemmin laskettiin tämän muunnoksen PDF yleisessä tapauksessa. Sovelletaan sitä nyt jolloin 1 p(y) = (2π) n/2 M 1/2 A exp ( 1 2 (A 1 y m) T M 1 (A 1 y m) ) Huomataan, että(x m) T M 1 (x m) =x T M 1 x x T M 1 m m T M 1 x m T M 1 m Samoin y T A T M 1 A 1 }{{} Q 1 (A 1 y m) T M 1 (A 1 y m) = y y T A} T {{ M 1 } m m T M 1 A 1 y + m T Q 1 A M}{{} 1 m A T Q 1 A 148

43 Määrittämällä edelleen m y = Am ja vertaamalla kahta edellistä yhtälöä saadaan 1 p(y) = (2π) n/2 Q exp ( 1 1/2 2 (y m y) T Q 1 (y m y ) ) (107) Tämä tarkoittaa, että Gaussisesti yhteisjakautuneiden satunnaismuutujien (X) lineaarinen muunnos (Y = AX) on Gaussisesti yhteisjakautunut Entäjoshalutaan muunnos A joka takaa että muunnetut muuttujat ovat riippumattomia Gaussin jakautuneita muuttujia. Miten muunnos on valittava? Muistetaan, että jos Gaussin muuttujat ovat korreloimattomia, niin ne ovat riippumattomia. Tämä tarkoittaa että muunnoksen kovarianssimatriisin Q = AMA T 149

44 (sillä (AB) 1 = B 1 A 1 jos käänteismatriisit olemassa) täytyy olla diagonaalinen Eräs ratkaisu on valita muunnosmatriisin sarakkeiksi kovarianssimatriisin M ominaisvektorit, jolloin Q:n diagonaalielementit ovat kovarianssimatriisin M ominaisarvoja Esimerkkinä tästä tarkastellaan kaksiulotteista Gaussin PDF:ää Olkoon kovarianssimatriisi M = [ ] Määrätään ensin ominaisarvot λ. Nehän toteuttavat yhtälön M λi = 0, jossa I on yksikkömatriisi. Nyt M λi = 1 λ λ =(1 λ) =0 150

45 josta λ = 3 2 ja λ = 1 2 Seuraavaksi määrätään ominaisvektorit e jotka toteuttavat yhtälöryhmän tai Me = λe (M λi)e =0 Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuksi saadaan [ ] 1/2 λ = 2 3 e 1 = 1/2 [ ] 1/2 λ = 1 2 e 2 = 1/2 151

46 Sopiva muunnosmatriisi on siis A =[e 1 e 2 ]= 1/2 Lasketaan AA T joka antaa [ ][ ] = joten A 1 = A T ja AMA T = [ ] [ ] [ ] 3/ /2 = I 152